Phương pháp giải phương trình vô tỷ toán THCS

A. KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Phương trình vô tỷ là phương trình chứa ẩn ở dưới dấu căn. Ví dụ: √(x 1)¬ + 2√(x2) = 4 B. CÁC BƯỚC GIẢI : Tìm tập xác định của phương trình Biến đổi đưa phương trình về dạng đã học So sách kết quả với tập xác đinh và kết luận C. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ 1. Phương pháp nâng lên lũy thừa a. Ví dụ 1: Giải phương trình: √(x1) = x – 2 (1) Tập xác định {█(x+1 ≥0x2 ≤0)┤ ⇔ {█(x≥ 1x≤ 2)┤ ⇔ x ≥ 2 Học sinh thường mắc sai lầm ở đây là : Chỉ đặt điều kiện cho biểu thức dưới dấu căn rồi bình phương 2 vế. (1) ⇔ x + 1 = x2 – 4x + 4 ⇔ x2 – 5x + 5 = 0 ∆ = 25 – 20 = 5 > 0 phương trình có 2 nghiệm là: x1 = (5 + √5)2 và x2 = (5 √5)2 Đối chiếu với điều kiện nghiệm ta được nghiệm của phương trình (1) là x = (5 + √5)2

A KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Phương trình vô tỷ phương trình chứa ẩn dấu Ví dụ: √𝑥2 − + 2√𝑥 − = B CÁC BƯỚC GIẢI : - Tìm tập xác định phương trình - Biến đổi đưa phương trình dạng học - So sách kết với tập xác đinh kết luận C MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Phương pháp nâng lên lũy thừa a Ví dụ 1: Giải phương trình: √𝑥 − = x – (1) Tập xác định { 𝑥+1 ≥0 𝑥 ≥ −1 ⇔{ ⇔x≥2 𝑥−2 ≤0 𝑥≤ Học sinh thường mắc sai lầm : Chỉ đặt điều kiện cho biểu thức dấu bình phương vế (1) ⇔ x + = x2 – 4x + ⇔ x2 – 5x + = ∆ = 25 – 20 = > phương trình có nghiệm là: x1 = + √5 x2 = − √5 Đối chiếu với điều kiện nghiệm ta nghiệm phương trình (1) x= + √5 b Ví dụ 2: Giải phương trình √𝑥 − = x – (1) - Tập xác định: x ≥ Khi ý vế phương trình dương - Bình phương vế ta được: (1) ⇔ x – = x2 – 2x + ⇔ x2 – 3x + = (2) Do a + b +c = – + = nên (2) có nghiệm x1 = x2 = Đó nghiệm (1) Tuy nhiên ví dụ có cách giải khác sau: (1) ⇔ √𝑥 − – (x – 1) = Do: x – ≥ ⇔ x ≥ ⇔ √𝑥 − 1(1 - √𝑥 − 1) = 𝑥−1=0 𝑥=1 ⇔ [1−√ √𝑥−1=0 ⇔ [𝑥=2 Như việc cần vận dụng phương pháp để trở thành kĩ yếu tố cần thiết cầm phải hình thành cho học sinh Phương pháp nâng lên lũy thừa vận dụng vào giải số phương trình vô tỷ dạng sau: c Vận dụng giải phương trình dạng g(𝑥) ≥ (*) √𝑓(𝑥) = g(x) ⇔ {𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑥) = [g(𝑥)] (1) (2) (3) Giải phương trình (3), chọn nghiệm thích hợp suy nghiệm (*) Ví dụ ví dụ minh họa cách giải d Vận dụng giải phương trình dạng: √𝑓(𝑥) + √ℎ(𝑥) = g(x) Sơ đồ giải - Tìm tập xác định phương trình: g(𝑥) ≥ {𝑓(𝑥) ≥ ℎ(𝑥) ≥ - Các bước giải: Vận dụng phương pháp nâng lên lũy thừa khử dấu *) Ví dụ 3: Giải phương trình: √𝑥 + = - √𝑥 − 2(1) ⇔ √𝑥 + + √𝑥 − = (2) 𝑥+3 ≥0 - Tập xác định: { ⇔x≥2 𝑥−2 ≥0 Chú ý em học sinh thường mắc sai lầm là: Nếu chưa biến đổi (1) tương đương với (2) việc đặt điều kiện hay tìm tập xác định chưa chặt chẽ Do phải đưa (1) (2) đặt điều kiện vế phương trình dương Mới thực phép nâng lên lũy thừa - Bình phương vế ta được: (2) ⇔ x + + x – + 2√(𝑥 + 3)(𝑥 − 2) = 25 ⇔ 2x + + 2√(𝑥 + 3)(𝑥 − 2) = 25 ⇔ 2√(𝑥 + 3)(𝑥 − 2) = 24 – 2x ⇔ √(𝑥 + 3)(𝑥 − 2) = 12 – x (3) Đến cần lưu ý sai lầm mà học sinh hay mắc phải (3) phải có điều kiện bình phương vế, điều kiện (3) phải thỏa mãn điều kiện (1) là: 12 – x ≥ ⇔ x ≤ 12 Do điều kiện tồn nghiệm (1) ≤ x ≤ 12 Bình phương hai vế ta được: (3) ⇔ x2 + x – = 144 – 24x + x2 ⇔ 25x = 150 ⇒ x = thỏa mãn điều kiện nghiệm Vậy nghiệm phương trình cho x = e Vận dụng phương pháp giải phương trình dạng: √𝑓(𝑥) + √ℎ(𝑥) = √g(𝑥) Ví dụ: Giải phương trình: √𝑥 + = √12 − 𝑥 + √𝑥 − (1) 𝑥+1≥0 𝑥 ≥ −1 Điều kiện: {12 − 𝑥 ≥ ⇔ { 𝑥 ≤ 12 ⇔ ≤ x ≤ 12 (*) 𝑥−7≥0 𝑥≥ Bình phương hai vế ta được: ( hai vế phương trình dương) (1) ⇔ x + = 12 – x + x – + 2√(12 − 𝑥)(𝑥 − 7) ⇔ 2√(12 − 𝑥)(𝑥 − 7) = x – (2) Cần ý học sinh với điều kiện ≤ x ≤ 12 vế (2) đề dương Bình phương vế ta được: (2) ⇔ 4( -x2 + 19x – 84) = x2 – 8x + 16 ⇔ 5x2 – 84x + 352 = (3) Giải phương trình (3) ta nghiệm x1 = 44 x2 = thỏa mãn điều kiện (*) Vậy nghiệm phương trình cho là: x1 = 44 x2 = g Phương pháp nâng lên lũy thừa sử dụng vào giải phương trình dạng: √𝑓(𝑥) + √ℎ(𝑥) = √g(𝑥) + √g(𝑥) Ví dụ: Giải phương trình: √𝑥 + √𝑥 + - √𝑥 + - √𝑥 + = Để lời giải chặt chẽ tránh sai lầm ta biến đổi (1) ⇔ √𝑥 + √𝑥 + = √𝑥 + + √𝑥 + (2) 𝑥≥0 𝑥+9≥0 Rồi tìm tập xác định: { ⇔x≥0 𝑥+1≥0 𝑥+4 ≥0 - Khi vế (2) có giá trị dương Bình phương vế ta được: + 5𝑥 + = -2 (2) ⇔ √2𝑥 + 9𝑥 - √𝑥 + 5𝑥 + = √2𝑥 + 9𝑥 + (3) ⇔ √𝑥 Tiếp tục bình phương vế ta được: (3) √2𝑥 + 9𝑥 = -x (4) Điều kiện (4) có nghiệm x ≤ Đến cần ý điều kiện nghiệm ban đầu x ≥ nên kết hợp lại ta x = nghiệm (1) Không phải bình phương (4) tránh dài dòng không cần thiết học sinh học toán Tóm lại: Phương pháp nâng lên lũy thừa sử dụng vào giải số dạng phương trình vô tỷ quen thuộc Song trình giảng dạy cần ý đến điều kiện tồn căn, điều kiện vế vấn đề mà học sinh hay mắc sai lầm, chủ quan sử dụng phương pháp Ngoài phương pháp phối hợp vận dụng phương pháp khác Phương pháp đưa phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối a Ví dụ: Giải phương trình 2 2 √𝑥 − 2𝑥 + + √𝑥 − 6𝑥 + = ⇔ √(𝑥 − 2) + √(𝑥 − 3) = (1) - Tập xác định: Với giá trị x Chú ý biểu thức dấu dương - Đưa (1) dạng (1) ⇔ |x-2| + |x-3| = (2) Lập bảng xét dấu (2) x x–2 x–3 - | + - | + + Từ ta có: * Với x ≤ ta có (2) ⇔ – x + – x = ⇔ - 2x = ⇒ x = nghiệm Với ≤ x ≤ ta có (2) ⇔x–2+3–x=5 ⇔ x = Vô lý Trường hợp phương trình vô nghiệm * Với x ≥ ta có: (2) ⇔x–2+x–3=5 ⇔ 2x = 10 ⇒ x = nghiệm Vậy phương trình (1) có nghiệm x = x = b Ví dụ : Giải phương trình : √𝑥 + 2√𝑥 − + √𝑥 − 2√𝑥 − = (1) ⇔ √𝑥 − + 2√𝑥 − + + √𝑥 − − 2√𝑥 − + = (2) Điều kiện x ≥ 2 * Ta có (2) ⇔ √(√𝑥 − 1) + √(√𝑥 − 1) = ⇔ √𝑥 − + + |√𝑥 − – 1| = (3) - Nếu x ≥ (3) ⇔ √𝑥 − + + √𝑥 − – = ⇔ √𝑥 − = ⇔ = nghiệm (1) - Nếu ≤ x ≤ (3) ⇔ √𝑥 − + + - √𝑥 − = ⇔ = Phương trình có vô số nghiệm số Vậy phương trình (1) có vô số nghiệm : ≤ x ≤ Phương pháp đặt ẩn phụ : a Ví dụ : Giải phương trình : − 3𝑥 + = 3x + (1) x2 + √𝑥 − 3𝑥 + – 12 = (2) ⇔ x2 – 3x + + √𝑥 Điều kiện ∀ x ∈ R − 3𝑥 + = m ≥ Chú ý học sinh thường mắc sai lầm không - Đặt √𝑥 đặt điều kiện cho ẩn phụ m Cũng nhấn mạnh thêm điều kiện m điều kiện có nghiệm (1) tránh việc học sinh hiểu sai x2 – 3x + dương không cần điều kiện m - Ta phương trình : m2 + m – 12 = △ = + 48 = 49 √△ = Phương trình có nghiệm là: m1 = − 1+7 = m2 = − 1−7 = (loại) − 3𝑥 + = - Từ m = ta có : √𝑥 ⇔ x2 – 3x + = ⇔ x2 – 3x – = Dễ thấy phương trình có nghiệm x1 = 1, x2 = nghiệm phương trình (1) b Ví dụ : Giải phương trình : √𝑥 + + √3 − 𝑥 - √(𝑥 + 1)(3 − 𝑥) = (1) 𝑥+1 ≥ - Điều kiện: { ⇔-1≤x ≤3 3−𝑥 ≥ - Đặt ẩn phụ: t = √𝑥 + + √3 − 𝑥 với điều kiện t ≥ ( cần đặt vấn đề ta lại đặt ẩn phụ ? Để phát huy trí sáng tạo học sinh) Khi ta có: t2 = + 2√(𝑥 + 1)(3 − 𝑥) ⇒ 2√(𝑥 + 1)(3 − 𝑥) = t2 – Thay vào (1) ta phương trình mới: 𝑡 −4 t= =2 ⇔ t2 – 2t = ⇔ t(t – 2) = 𝑡=0 ⇒ [𝑡=2 - Với t = o Phương trình vô nghiệm - Với t = ta có: √𝑥 + + √3 − 𝑥 = Hay 2√(𝑥 + 1)(3 − 𝑥) = ⇒ x1 = -1, x2 = Thỏa mãn điều kiện ban đầu: Vậy (1) có nghiệm : x1 = -1 x2 = Chú ý thay vế phải phương trình (1) số tham số m yêu cầu học sinh tìm giá trị m để phương trình có nghiệm trình để khái quát baì toán c Ví dụ : Giải phương trình : 1 x + √𝑥 + + √𝑥 + - Điều kiện: x ≥ – = (1) 1 4 - Đặt: √𝑥 + = a ≥ ⇒ 𝑥 + = a2 + 1 4 Ta có (1) ⇔ a2 – + √𝑎 +𝑎+ 21 ⇔ a2 – + √(𝑎 + ) = 1 ⇔ a2 – + 𝑎 + = =1 1 ⇔ 𝑎 + 𝑎 + = ⇔ (𝑎 + ) = 1 2 ⇔𝑎+ =1⇒𝑎= 1 ⇒ √𝑥 + = ⇒ 𝑥 = Thử lại x = nghiệm phương trình (1) Vậy phương trình (1) có nghiệm x = Tóm lại: Phương pháp giải đặt ẩn phụ có ưu điểm riêng, song để vận dụng phương pháp phải có nhận xét, đánh giá tìm tòi hướng giải, cách đặt ẩn cho phù hợp, ví dụ cho thấy dạng cách đặt ẩn phụ khác Học sinh vận dụng phương pháp đặt ẩn phụ vào giải số phương trình dạng sau: * Dạng: √𝑎 + 𝑐𝑥 + √𝑏 − 𝑐𝑥 + √(𝑎 + 𝑐𝑥)(𝑏 − 𝑐𝑥) = n Ví dụ minh họa cách giải * Dạng: √𝑥 +2𝑎 − 𝑏 + 2𝑎√𝑥 − 𝑏 + √𝑥 +2𝑎 − 𝑏 − 2𝑎√𝑥 − 𝑏 = cx + m Trong a, b, c, m số a ≠ Cách giải: - Điều kiện: x – b ≥ ⇔ x ≥ b - Đặt ẩn phụ: t = √𝑥 − 𝑏, t ≥ ta có : t2 = x – b ⇔ x = t2 + b Thay vào x + a2 – b ± 2a√𝑥 − 𝑏 Ta được: t2 + a2 ± 2at = (t ± a)2 Phương trình trở thành |t +a| + |t – a| = c(t2 + b) + m (*) Xét trường hợp : + t ≥ a (*) trở thành 2t = ct2 + bc + , ⇔ ct2 – 2t + bc + m = + ≤ t ≤ a (*) trở thành 2a = ct2 + bc + m ⇔ ct2 – 2a + bc + m = Giải phương trình ta tìm nghiệm t, lúc x = t2 + b thỏa mãn điều kiện đề Ví dụ: Giải phương trình: √𝑥 + 6√𝑥 − + √𝑥 − 6√𝑥 − = 𝑥+23 - Điều kiện: x ≥ - Đặt t = √𝑥 − (t ≥ 0) Khi x = t2 + Phương trình cho trở thành : 6(√(𝑡 + 23) + √(𝑡 − 23) ) = t2 + 32 ⇔ (| 𝑡 + 3| + |𝑡 − 3|) = t2 + 32 𝑡 − 12𝑡 + 32 = 𝑣ớ𝑖 𝑡 ≥ ⇔ 2{ 𝑡 − = 𝑣ớ𝑖 ≤ t ≤ Giải ta : t1 = 8, t2 = 4, t3 = ⇒ Phương trình có nghiệm là: x1 = 72, x2 = 25, x3 = 13 Phương pháp đưa lũy thừa bậc : Ví dụ : Giải phương trình : + 2005 - 2005 = x4 + √𝑥 + 2005 + 2005 ⇔ x4 = - √𝑥 1 4 + 2005 + ⇔ x4 + x2 + = x2 + 2005 - √𝑥 1 2 + ) = (√𝑥 + 2005 − ) ⇔ (𝑥 2 + 2005 ⇔ x2 + = √𝑥 ⇔ x4 + x2 – 2004 = * Đặt x2 = t ≥ Ta có : * ⇔ t2 + t – 2004 = ∆ = + 8016 = 8017 Phương trình có hai nghiệm : t1 = −1+ √8017 Suy x2 = t2 = −1− √8017 −1+ √8017 2 (loại) ⇔x=±√ √8017−1 cho ban đầu Phương pháp hệ phương trình nghiệm phương trình Ví dụ : Giải phương trình √𝑥 − + √𝑥 + = (1) Điều kiện: x ≥ −1 - Đặt √𝑥 − = y, √𝑥 + = z (z ≥ 0) Khi Ta có : x – = y3 x + = z2 neen z2 – y3 = - Phương trình cho đưa hệ 𝑦 + 𝑥 = (2) {2 𝑧 −3 𝑦 = (3) 𝑧 ≥0 (4) Từ (2) ⇒ z = – y thay vào (3) ta có : (3 – y)2 – y3 = ⇔ (y – 1)(y2 + 6) = ⇔ y = Suy z = thỏa mãn (4) Từ ta tìm x = thỏa mãn điều kiện Vậy phương trình (1) có nghiệm : x = Ví dụ : Giải phương trình 3 √𝑥 + √35 − 𝑥 = (1) 3 Đặt √𝑥 = a, √35 − 𝑥 = b - Từ phương trình (1) chuyển thành hệ phương trình : 𝑎 + 𝑏 = (2) {3 𝑎 +3 𝑏 = 35 (1) Từ (3) ta có (3) ⇔ (a + b)(a2 – ab + b2) = 35 ⇔ (a + b)3 = 3ab(a+b) = Kết hợp với (2) ta ab = Từ suy : 𝑎+𝑏 =5 { 𝑎𝑏 = 𝑎 = 2𝑎 = { 2𝑏 = 1𝑏 = Giải hệ phương trình ta tìm nghiệm {1 Do ta có x1 = 27 x2 = nghiệm phương trình cho 10 Tóm lại : Qua ví dụ cho thấy phương pháp hệ phương trình có điểm sáng tạo đặc thù riêng, đòi hỏi học sinh phải tư hơn, sử dụng giảng dạy cho học sinh đại trà mà áp dụng cho đối tượng học sinh giỏi Sau số tập áp dụng giải phương trình : 1 + 𝑥 √2−2 𝑥 =2 3 √𝑥 − + √𝑥 − = √2𝑥 − 3 x3 + √(1 −2 𝑥3 ) = x√2(1 −2 𝑥 ) Phương pháp nhẩm nghiệm : Ví dụ : Giải phương trình : + + √2004𝑥 + = – 4x2 (1) √3𝑥 ( Đề thi học sinh giỏi lớp tỉnh Thái Bình năm 2004) - Thử với x = thỏa mãn (1) Do phương trình (1) có nghiệm x = - Nếu thử x ≠ 3x2 + ≥ : √3𝑥 + > với x 2004x2 + > với x : √2004𝑥 + > Suy vế trái lớn (*) ∀ x - Mặt khác x ≠ để phương trình (1) có nghiệm vế phải – 4x2 > với x ⇒ 4x2 < ∀ x (**) - Từ (*) (**) suy : Khi x ≠ vế trái luôn lớn vế phải Do phương trình có nghiệm x = Phương pháp chứng tỏ tập giá trị hai rời phương trình vô nghiệm Ví dụ : Giải phương trình : √𝑥 − - √5𝑥 − = √3𝑥 − (1) Điều kiện x ≥ Do với điều kiện x < 5x ⇒ √𝑥 − < √5𝑥 − Khi vế trái phương trình (1) số âm vế phải (1) số dương Vậy phương trình (1) vô nghiệm Phương pháp sử dụng tính đói nghịch vế: Ví dụ : Giải phương trình : 2 11 √3𝑥 + 6𝑥 + + √5𝑥 + 10𝑥 + 14 = – 2x – x2 (1) Ta có vế trái (1): +9 + 6𝑥 + + √5𝑥 + 10𝑥 + 14 = √3(𝑥 + 21) + + √5(𝑥 + 1) √3𝑥 ≥ √4 + √9 = Vế phải (1): – 2x – x2 = – (x+1)2 ≤ Vậy hai vế x = -1 Do phương trình (1) có nghiệm x = -1 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số: Ví dụ : Giải phương trình : √𝑥 − + √𝑥 + = (1) - Điều kiện x ≥ -1 - Đặt f(x) = √𝑥 − + √𝑥 + Ta thấy f(3) = Vậy x = nghiệm (1) + Nếu x > √𝑥 − > √𝑥 + > Nên f(x) > phương trình (1) vô nghiệm + Nếu -1 ≤ x ≤ √𝑥 − < √𝑥 + < Nên f(x) < Khi (1) vô nghiệm Vậy x = nghiệm phương trình (1) 10 Phương pháp sử dụng điều kiện xảy dấu ‘‘=’’ bất đẳng thức không chặt : Ví dụ : Giải phương trình : 𝑥 √4𝑥−1 + √4𝑥−1 𝑥 = (1) - Điều kiện : x > 𝑎 𝑏 𝑏 𝑎 - Sử dụng bất đẳng thức : + ≥ với a, b > Dấu “=” xảy a = b Do dấu “=” (1) xảy x = √4𝑥 − ⇔ x2 – 4x + = (*) (do x > ) 12 Giải phương trình (*) ta tìm x = ± √3 Thỏa mãn yêu cầu toán Một số tập áp dụng giải phương trình: √𝑥 − + √5 − 𝑥 = x2 – 8x + 18 2 √2 𝑥 − + √2004𝑥 + = – 4x2 √𝑥 + + √𝑥 + = 𝑥 √6𝑥+9 + √6𝑥+9 𝑥 =2 11 Phương pháp miền giá trị: Ví dụ : Giải phương trình : √𝑥 + + √𝑥 − - √5 − 𝑥 - √18 − 3𝑥 = (1) Đây dạng phương trình không mẫu mực Ta tìm miền giá trị hàm số: y = √𝑥 + + √𝑥 − - √5 − 𝑥 - √18 − 3𝑥 Tên tập xác định [1;5] ta có: y’ = 2√𝑥+1 + 2√𝑥 − + 2√5−𝑥 + 2√18−3𝑥 > với x ∈ [1;5] Do hàm số y liên tục đồng biến [1;5] nên miền giá trị hàm số y [y(1), y(5)] Hay ⌊ √2 − − √15, + √6 − √3⌋ suy ymin = √2 − − √15 ymax = + √6 − √3 với x ∈ [1;5] Để phương trình (1) có nghiệm : ymin ≤ x ≤ ymax điều không xảy ymin = √2 − − √15 < ymax = + √6 − √3 < Do phương trình (1) vô nghiệm không tồn giá trị xi ∈ [1;5] để y(xi) = Chú ý : Phương pháp miền giá trị dành để giáo viên THCS tham khảo giải số phương trình không mẫu mực Không thể áp dụng vào giảng dạt bậc THCS nội dung kiến thức bậc phổ thông trung học Sau phương pháp tham khảo thêm : 12 Phương pháp hàm số : Ví dụ : Giải phương trình : 13 x3 + = √2𝑥 − (1) 𝑥 +1 Ta có : (1) ⇔ Đặt y = 𝑥 +1 = √2𝑥 − hàm số có đạo hàm y’ = 23𝑥 liên tục R Suy y = 𝑥 +1 𝑥 +1 ( Vì y = có hàm ngược y = √2𝑥 − ⇔ x = 3√2𝑦 − 1) Do nghiệm phương trình phương trình 𝑥 +1 ≥ 0, ∀x nên đơn điệu tăng 𝑥 +1 = √2𝑥 − nghiệm =x ⇔ x3 – 2x + = ⇒ x = x = −1 ± √5 𝑥=1 Vậy nghiệm phương trình (1) { −1 ± √5 𝑥 = 14 [...]... phải Do đó phương trình chỉ có một nghiệm là x = 0 7 Phương pháp chứng tỏ tập giá trị của hai về là rời nhau khi đó phương trình vô nghiệm Ví dụ : Giải phương trình : √𝑥 − 1 - √5𝑥 − 1 = √3𝑥 − 2 (1) Điều kiện x ≥ 1 Do đó với điều kiện này thì x < 5x ⇒ √𝑥 − 1 < √5𝑥 − 1 Khi đó vế trái của phương trình (1) là một số âm còn vế phải của (1) là một số dương Vậy phương trình (1) vô nghiệm 8 Phương pháp sử dụng... 4x + 1 = 0 (*) (do x > ) 4 12 Giải phương trình (*) ta tìm được x = ± √3 Thỏa mãn yêu cầu bài toán Một số bài tập áp dụng giải phương trình: 1 √𝑥 − 3 + √5 − 𝑥 = x2 – 8x + 18 2 2 √2 𝑥 − 4 + √2004𝑥 + 9 = 5 – 4x2 3 √𝑥 + 1 + √𝑥 + 8 = 7 4 𝑥 √6𝑥+9 + √6𝑥+9 𝑥 =2 11 Phương pháp miền giá trị: Ví dụ : Giải phương trình : √𝑥 + 1 + √𝑥 − 1 - √5 − 𝑥 - √18 − 3𝑥 = 9 (1) Đây là dạng phương trình không mẫu mực Ta tìm miền... mọi x ∈ [1;5] Để phương trình (1) có nghiệm thì : ymin ≤ x ≤ ymax nhưng điều này không xảy ra vì ymin = √2 − 2 − √15 < 9 và ymax = 2 + √6 − √3 < 9 Do đó phương trình (1) vô nghiệm vì không tồn tại giá trị xi ∈ [1;5] để y(xi) = 9 Chú ý : Phương pháp miền giá trị chỉ dành để giáo viên THCS tham khảo và giải quyết 1 số phương trình không mẫu mực Không thể áp dụng vào giảng dạt ở bậc THCS vì nội dung kiến... nghiệm (1) 3 + Nếu x > 3 thì √𝑥 − 2 > 1 và √𝑥 + 1 > 2 Nên f(x) > 3 thì phương trình (1) vô nghiệm 3 + Nếu -1 ≤ x ≤ 3 thì √𝑥 − 2 < 1 và √𝑥 + 1 < 2 Nên f(x) < 3 Khi đó (1) vô nghiệm Vậy x = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình (1) 10 Phương pháp sử dụng điều kiện xảy ra dấu ‘‘=’’ ở bất đẳng thức không chặt : Ví dụ : Giải phương trình : 𝑥 √4𝑥−1 + √4𝑥−1 𝑥 = 1 (1) - Điều kiện : x > 1 4 𝑎 𝑏 𝑏 𝑎 - Sử dụng... phổ thông trung học Sau đây là một phương pháp tham khảo thêm : 12 Phương pháp hàm số : Ví dụ : Giải phương trình : 13 3 x3 + 1 = 2 √2𝑥 − 1 (1) 3 𝑥 +1 Ta có : (1) ⇔ Đặt y = 𝑥 +1 2 3 = √2𝑥 − 1 là hàm số có đạo hàm y’ = 2 23𝑥 2 liên tục trong R Suy ra y = 𝑥 +1 2 3 𝑥 +1 ( Vì y = 2 3 có hàm ngược y = √2𝑥 − 1 ⇔ x = 3√2𝑦 − 1) 2 3 Do đó nghiệm của phương trình 3 phương trình 𝑥 +1 2 ≥ 0, ∀x nên đơn điệu tăng... phương pháp hệ phương trình có những điểm sáng tạo và đặc thù riêng, nó đòi hỏi học sinh phải tư duy hơn, do đó ít sử dụng trong khi giảng dạy cho học sinh đại trà mà chỉ áp dụng cho các đối tượng học sinh khá và giỏi Sau đây là một số bài tập áp dụng giải các phương trình : 1 1 + 𝑥 3 1 √2−2 𝑥 =2 3 3 2 √𝑥 − 1 + √𝑥 − 2 = √2𝑥 − 3 3 x3 + √(1 −2 𝑥3 ) = x√2(1 −2 𝑥 ) 6 Phương pháp nhẩm nghiệm : Ví dụ : Giải. .. ở 2 vế: Ví dụ : Giải phương trình : 2 2 11 √3𝑥 + 6𝑥 + 7 + √5𝑥 + 10𝑥 + 14 = 4 – 2x – x2 (1) Ta có vế trái của (1): 2 +9 2 + 6𝑥 + 7 + √5𝑥 2 + 10𝑥 + 14 = √3(𝑥 + 21) + 4 + √5(𝑥 + 1) √3𝑥 ≥ √4 + √9 = 5 Vế phải của (1): 4 – 2x – x2 = 5 – (x+1)2 ≤ 5 Vậy hai vế đều bằng 5 khi x = -1 Do đó phương trình (1) có nghiệm là x = -1 9 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số: Ví dụ : Giải phương trình : 3 √𝑥 − 2... nghiệm : Ví dụ : Giải phương trình : 2 + 4 + √2004𝑥 2 + 1 = 3 – 4x2 (1) √3𝑥 ( Đề thi học sinh giỏi lớp 7 tỉnh Thái Bình năm 2004) - Thử với x = 0 thỏa mãn (1) Do đó phương trình (1) có nghiệm là x = 0 - Nếu thử x ≠ 0 thì 3x2 + 4 ≥ 4 do đó : √3𝑥 + 4 > 2 với mọi x và 2004x2 + 1 > 1 với mọi x do đó : √2004𝑥 + 1 > 1 Suy ra vế trái luôn lớn hơn 3 (*) ∀ x - Mặt khác do x ≠ 0 và để phương trình (1) có nghiệm... 3√2𝑦 − 1) 2 3 Do đó nghiệm của phương trình 3 phương trình 𝑥 +1 2 ≥ 0, ∀x nên đơn điệu tăng và 𝑥 +1 2 3 = √2𝑥 − 1 cũng là nghiệm của =x ⇔ x3 – 2x + 1 = 0 ⇒ x = 1 hoặc x = −1 ± √5 2 𝑥=1 Vậy nghiệm của phương trình (1) là { −1 ± √5 𝑥 = 2 14