PHƯƠNG TRÌNH HỆ PT TOÁN THCS

Chuyên đề: hệ phơng trình Các kiến thức cần nhớ 1) Hệ hai phơng trình bậc hai ẩn: - Định nghĩa: Cho hai phơng trình bậc hai ẩn: ax+by=c a'x+b'y=c' Khi ta có hệ hai phơng tr×nh bËc nhÊt hai Èn: ìï ax + by = c (1) ï (I) í ïï a ' x + b'y = c '(2) ợ - Nếu hai phơng trình Êy cã nghiƯm chung (x 0; y0) th× (x0; y0) đợc gọi nghiệm hệ (I) - Nếu hai phơng trình nghiệm chung ta nói hệ vô nghiệm 2) Quan hệ số nghiệm hệ đờng thẳng biểu diễn tập nghiệm Phơng trình (1) đợc biểu diễn đờng thẳng (d) Phơng trình (2) đợc biểu diễn đờng thẳng (d') Nếu (d) c¾t (d') hƯ cã nghiƯm nhÊt NÕu (d) song song với (d') hệ vô nghiệm Nếu (d) trùng (d') hệ vô số nghiệm 3) Hệ phơng trình tơng đơng: Hai hệ phơng trình đợc gọi tơng đơng với chúng có tập nghiệm 4) Giải hệ phơng trình phơng pháp thế, phơng pháp cộng a) Quy tắc thế: Quy tắc dùng để biến đổi hệ phơng trình thành hệ phơng trình tơng đơng + Bớc 1: Từ phơng trình hệ cho ta biểu diễn ẩn theo ẩn vào phơng trình thứ hai để đợc phơng trình (chỉ ẩn) + Bớc 2: Dùng phơng trình để thay cho phơng trình thứ hai hệ (phơng trình thứ thờng đợc thay hệ thức biểu diễn ẩn theo ẩn có đợc bớc 1) b) Quy tắc cộng đại số: Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương + Bíc 1: Cộng hay trừ vế hai phơng trình hệ hệ phơng trình cho để đợc phơng trình + Bớc 2: Dùng phơng trình thay cho hái phơng trình hệ (và nguyên phơng trình kia) Lu ý: Khi hệ số ẩn đối (hoặc nhau) ta cộng (hoặc trừ) hai vế hƯ Khi hƯ sè cđa cïng mét Èn kh«ng b»ng không đối ta chọn nhân với số thích hợp để đa hệ số ẩn đối (hoặc nhau) Bài tập Loại 1: Giải hệ phơng trình phơng pháp cộng, phơng ph¸p thÕ ìï 2x + 3y = - ìï 4x + 3y = ìï 9x + 8y = ï ï ï Bµi a) í b) í c) í ïï 3x - 2y = - ïï 2x + y = ïï 2x - y = ỵ ỵ ỵ ìï x - 6y = 17 ìï 7x + 4y = 74 ìï x - 3y = ï ï ï d) í e) í f) í ïï 5x + y = 23 ïï 3x + 2y = 32 ïï - 2x + 6y = - 12 ợ ợ ợ Bài ỡù x y ïï + - = a) íï ïï 5x - y = 11 ỵ ìï a b ïï + = - b) íï 3 ïï 4a - 5b - 10 = ỵ ìï x y ïï = í2 ïï x + y - 10 = ùợ c) Bài 3: ỡù x - y = ìï ( - 1)x - y = ïï ï a) í b) ïí ïï x + y = ïï x + ( + 1)y = ïỵ ïỵ ìï (x - (1 + 3)y = ï e) ïí ïï (1- 3)x + y = ïỵ Bµi 4: ìï 6(x + y) = + 2x - 3y ï ïỵ 5(y - x) = + 3x + 2y ìï (x - 2)(y + 1) = xy ï í ïï (x + 8)(y - 2) = xy ỵ a) íï ìï x - 3y = ï c) ïí ïï 2x + y = - ïỵ ìï 5x + y = 2 ï f) ïí ïï x - y = ïỵ ìï (x - 1)(y - 2) = (x + 1)(y - 3) ï ïỵ (x - 5)(y + 4) = (x - 4)(y + 1) b) íï c) Loại 2: Hệ phơng trình gồm phơng trình bậc nhất, phơng trinh bậc ỡù x - y + = ï a) íï 2 ïïỵ 2x - xy + 3y - 7x - 12y + = ìï x2 + y2 - 2x - 2y - 23 = ï c) íï ïïỵ x - 3y - = ìï x - 5y = - ï b) íï 2 ïïỵ x + y - 3xy + x + y = 10 ìï 3x2 + 6xy - x + 3y = ï d) íï ïïỵ 4x - 9y = Loại 3: Giải hệ phơng trình phơng pháp đặt ẩn phụ Dạng thứ nhất: ỡù 1 ïï =1 ïï x y a) íï ïï + = ïïỵ x y ìï 1 ïï + = ï x y 24 d) ïí ïï ïï = ïỵ x y ìï ïï =1 ïï x y + 12 g) íï ïï + = ïïỵ x y + 12 ìï 7x2 + 13y = - 39 ï j) í ïï 5x - 11y = 33 ïỵ ìï x + y = ï n) ïí ïï x - y = 4,5 ïỵ ìï ïï + = ïx y b) ïíï ïï - 10 = ïïỵ x y ìï 1 ïï + =2 ïï x - y - e) í ïï =1 ïï ïỵ x - y - ìï ïï + =- ïï 2x + y - h) íï ïï - = 13 ïïỵ 2x + y - ìï 1 ïï + = ïx y c) ïíï ïï 10 - = ïïỵ x y ïìï + =2 ïï x - y +1 ï f) í ïï 29 + = ïï ïỵ x - y + 20 ìï 1 ïï + =2 ïï x - y - i) íï ïï - = ïïỵ y - x - ìï x - y = ìï 2x2 + 3y2 = 36 ìï 3x2 + y2 = ï ï ï k) í l) í m) ïí 2 ïï 3x + 7y = 37 ïï x - 3y = ïï x + y = 18 ïỵ ïỵ ïỵ ìï ïï = ìï x + - y + = ïï x - ï y +6 o) ïí p) í ïï x + + y + = ïï + =2 ïỵ ïï y +6 ïïỵ x - D¹ng thø hai: ìï 2x y ïï + =2 ïï x + y + a) í ïï x 3y + =- ïï ïỵ x + y + ìï x x ïï =1 ïï y y + 12 d) íï ïï x - x = ïïỵ y + 12 y ìï x + y xy ïï + = ï xy x +y g) ïí ïï x - y xy 10 + = ïï x- y ïỵ xy ìï ïï + =- ïï 2x - 3y 3x + y b) í ïï = 21 ïï ïỵ 3x + y 2x - 3y ïìï =- ïï 2x - y x + y ï e) íï ïï =0 ïïỵ 2x - y x + y ìï 2x 3y ïï + =1 ïï y - x - h) í ïï 2y 5x =2 ïï ïỵ x - y - ìï ïï = ï x - y +2 x +y - c) ïí ïï + =4 ïï ïỵ x - y + x + y - ïìï 5 = ïï x + y - 2x - y + f) ïíï ïï + = ïïỵ x + y - 2x - y + ïìï + =3 ïï x - 2y x + 2y ï i) í ïï + =- ïï ïỵ x - 2y x + 2y Loại 4: Hệ hai phơng trình hai ẩn, vế phải vế trái phân tích đợc thành nhân tử ỡù x + y + xy + = ìï (x + 2y + 1)(x + 2y + 2) = ìï (2x + 3y - 2)(x - 5y - 3) = ï ï ï a) íï b) íï c) íï 2 ïỵ x + y - x - y = 22 ïỵ xy + y + 3y + = ïỵ x - 3y = ìï (x + y + 2)(2x + 2y - 1) = ìï (x + y)2 - 3(x + y) + = ìï (x - 1)2 - (y + 1)2 = ï ï ï d) íï e) íï f) íï x + 32 y + = x y = ïïỵ ïïỵ ïïỵ x + 3y - = ìï (x + y)2 - 4(x + y) = 12 ìï (x - y)2 - (x - y) = ï ï g) íï b) íï 2 ïïỵ (x - y) - 2(x - y) = ïïỵ 2(x + y ) = 5xy Loại 5: Hệ phơng trình có vế trái đẳng cấp với x, y; vế phải không chứa x, y ỡù x2 - 4xy + y2 = ï a) íï ïïỵ y - 3xy = ìï 3x2 + y2 = ï d) íï 2 ïïỵ x - 3y = ìï x2 + 4xy - 2y2 = ï g) íï 2 ïïỵ 2x - xy + 3y = ìï x2 + y2 = 25 - 2xy ï j) íï ïỵ y(x + y) = 10 b) e) h) k) ìï x2 - xy + y2 = 21 ï í ïï y - 2xy + = ïỵ ìï 2x2 + 3y2 = 36 ï í ïï 3x + 7y2 = 37 ïỵ ìï x2 + 3xy = 54 ï í ïï xy + 4y2 = 115 ïỵ ìï (x + y)(x2 + y2) = ï í ïï (x - y)(x2 - y2) = ïỵ ìï 3x2 + 5xy - 4y2 = 38 ï c) íï 2 ïïỵ 5x - 9xy - 3y = 15 ìï x2 + 2xy + 3y2 = ï f) íï 2 ïïỵ 2x + 2xy + y = ìï 2x2 - y2 = ï i) íï ïïỵ xy + x = ìï (x + y)(x2 - y2) = 45 ï l) íï 2 ïïỵ (x - y)(x + y ) = 85 Loại 6: Hệ phơng trình đối xứng loại ỡù x + y + xy = ï a) í ïï x + y2 + xy = 13 ỵ ìï xy = x + y + 17 ï d) í ïï x + y2 = 65 ỵ ìï xy = 10 ï g) í ïï x + y2 = 29 ỵ ìï x + y + xy = - ï ị) íï 2 ïỵ x y + y x = - ìï x + xy + y = ï b) í ïï x + y2 = ïỵ ìï x + +y - xy = - 17 ï e) í f) ïï xy - 12 = ỵ ìï xy = 15 ï h) í ïï x + y2 = 34 ỵ ìï x + y2 - x - y = 102 ï k) íï ïỵ xy + x + y = 69 ìï x2 + y2 + x + y = ï c) í ïï x + y2 + xy = ïỵ ìï x + y = ï í ïï x + y2 = 34 ỵ ìï x2 + xy + y2 = ï i) í ïï x + xy + y = ỵ ìï 3(x + y) = xy ï l) íï 2 ïỵ x + y = 160 ìï xy(x + 2)(y + 2) = ï m) íï 2 ïỵ x + y + 2(x + y) = ìï x2 + y2 + xy = ï o) íï 3 ïïỵ x + y = x + y ìï x2 + y2 + 2x(y - 3) + 2y(x - 3) + = ï n) íï ïỵ 2(x + y) - xy + = ìï x(x + 1) + y(y + 1) + xy = 17 ï p) íï ïỵ (x + 1)(y + 1) = ìï xy + x + y = 11 ìï xy + x + y = ïï ïï r) íï 6 s) íï x y 10 ïï x + y + xy = 11 ïï y + x = ïỵ ïỵ ìï ìï ïï x + = - ïï y + = - ï ï x +y 2x - y u) ïí v) ïí ïï x ïï x =- =6 ïï ïï ïỵ x + y ïỵ 2x - y ïìï x y + y x = 30 ìï x + y = ï y) í z) ïí ïï x + y3 = 133 ïï x x + y y = 35 ỵ ïỵ ìï x + y + xy = ï q) íï 2 ïỵ x + y + xy = ìï x2 + y2 = 52 ïï t) ïí 1 ïï + = ïïỵ x y 12 ìï x3 + y3 = ï x) í ïï x + y2 = ùợ Loại 7: Hệ phơng trình đối xứng loại ìï 2x = y2 - 4y + ï a) íï ïïỵ 2y = x - 4x + ìï x2 = - y ï e) íï f) ïïỵ y = - x ìï x3 = 2y - x ï i) íï j) ïïỵ y = 2x - y ìï y2 = 2x + ï b) íï ïïỵ x = 2y + ìï x3 - 2y = ï í ïï y - 2x = ïỵ ìï x3 = 13x - 6y ï í ïï y = 13y - 6x ïỵ ìï x2 - 2y2 = 7x ï c) íï d) ïïỵ y - 2x = 7y ìï 2x2 - 3x + = y2 ï g) íï 2 ïïỵ 2y - 3y + = x ìï y2 = x3 - 4x2 + 3x ï k) íï ïïỵ x = y - 4y + 3y ìï 2x2 - 3xy = y2 - 3x - ï í ïï 2y - 3xy = x2 - 3y - ïỵ ìï x3 = 5x + y ï h) íï ïïỵ y = 5y + x ìï x3 - 2y = ï l) íï ïïỵ y - 2x = Loại 8: Hệ phơng trình bậc ba phơng trình ba Èn ìï x + y + z = ïï a) ïí x + 2y + 4z = ïï ïï x + 3y + 9z = 27 ỵ ìï x + y + 2z = ïï d) ïí 2x - 3y + 3z = ïï ïï x - 3y + 4z = ỵ ìï x y ïï = = z g) í - ïï 4x + 3y - 2z = 24 ïïỵ ìï x - y + z ïï = = j) í ïï 4x - y - z = ïïỵ ìï 1 ïï + = ïï x y ïï 1 n) ïí + = ïï y z ïï 1 ïï + = ïïỵ x z ìï x + y + z = 12 ïï b) ïí 2x - 3y + z = 12 ïï ïï x + y - 2z = ỵ ìï 2x - y + 3z = ïï e) ïí 3x - 2y + 2z = ïï ïï 5x - 4y = ỵ ìï x y z ïï = = h) í ïï 2x - y + 4z = 30 ïïỵ ìï x + y = ïï k) ïí y + z = ïï ïï x + z = ỵ ìï 2x2 ïï =y ïï + x2 ïï 2y2 ï =z o) í ïï + y2 ïï ïï 2z = x ïï + z2 ỵ ìï x + 2y + 3z = ïï c) ïí 3x + y + 2z = ïï ïï 2x + 3y + z = - ỵ ìï 2x + y + 3z = ïï f) ïí - x + 4y - 6z = ïï ïï 5x - y + 3z = - ỵ ìï 4x + 3y - 2z = - ïï i) í x ïï = y = z ïỵ - 10 - ìï x + y = 16 ìï x + y = 25 ïï ïï ï l) í y + z = 28 m) ïí y + z = 30 ïï ïï ïï x + z = 22 ïï x + z = 29 ỵ ỵ ìï 3xy = 2(x + y) ïï p) ïí 5yz = 6(y + z) ïï ïï 4xz = 3(z + x) ỵ ìï x + 3y + z = - ïï q) ïíï x - y + 2z = ïï z = 3x ïỵ ìï x = + z ïï r) ïíï y = + 3z ïï - 3x - 2y + z = - ùợ Loại 9: Hệ phơng trình hỗn hợp ỡù x y - + y x - = xy ìï x + + x + + x + = y - + y - + y - ï ïï a) í b) ïí 2 ïï x + y + x + y = 80 ïï (x - 1) y + (y - 1) x = y ïỵ ïỵ ìï x + y = (3 - x)3 ïï ìï x2 + z2 = ïï ìï ïï (2z - y)(y + 2) = + 4y 2 ïï x + y = x 1- y + y 1- x ï y2 + t2 = 16 c) í d) í e) ïí ïï 3x - 4y = ïï ïï x + z2 = 4x ïỵ ïï xt + yz ³ 12 ïï ỵ ïïỵ z ³ ìï xy + xz = x2 + ìï x + xy + y = ïï ïï ï ï f) í y + yz + z = g) í xy + yz = y + ïï ïï ïï z + zx + x = ïï xz + yz = z2 + ỵ ỵ ... - 1)(y - 2) = (x + 1)(y - 3) ï ïỵ (x - 5)(y + 4) = (x - 4)(y + 1) b) ớù c) Loại 2: Hệ phơng trình gồm phơng trình bậc nhất, phơng trinh bậc ỡù x - y + = ï a) íï 2 ïïỵ 2x - xy + 3y - 7x - 12y... ïỵ ìï x3 = 5x + y ï h) íï ïïỵ y = 5y + x ìï x3 - 2y = ï l) íï ïïỵ y - 2x = Loại 8: Hệ phơng trình bậc ba phơng trình ba ẩn ỡù x + y + z = ïï a) ïí x + 2y + 4z = ïï ïï x + 3y + 9z = 27 ỵ ìï x +... ïïỵ x + y - 2x - y + ïìï + =3 ïï x - 2y x + 2y ï i) í ïï + =- ïï ïỵ x - 2y x + 2y Loại 4: Hệ hai phơng trình hai ẩn, vế phải vế trái phân tích đợc thành nhân tử ỡù x + y + xy + = ìï (x + 2y +