SKKN Toán 9(Hệ thức vi-et)

Phần I: Đặt vấn đề I I. Lí do chọn chuyên đề 1.Cơ sở thực tiễn: Đứng trớc yêu cầu của công cuộc đổi mới, giáo dục phải luôn đi trớc một bớc. Muốn giáo dục và đào tạo tồn tại và phát triển, xứng đáng với vị trí của nó trong xã hội thì mỗi giáo viên phải tự mình đổi mới, đề ra những định hớng kịp thời. Là một giáo viên dạy toán THCS trong những năm qua tôi đã đặt cho mình những câu hỏi, những trăn trở để từ đó tìm hiểu nghiên cứu tìm ra những phơng pháp dạy phù hợp. Môn toán là một môn học khó nhng nó rất hấp dẫn và bổ ích với những em yêu thích Toán học. Nó giúp các em từng bớc phát triển năng lực t duy. Hình thành kĩ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn cũng nh vào việc học tập các môn học khác. Qua tìm hiểu tình hình thực tế và kinh nghiệm của bản thân tôi thấy đa số học sinh lớp 9 gặp khó khăn khi giải các bài toán có liên quan đến Phơng trình bậc hai : ax 2 +bx+c= 0 có chứa tham số nói chung và ứng dụng của định lí Vi-ét trong phơng trình bậc hai ax 2 +bx+c =0 (a 0) nói riêng. Trong chơng trình lớp 9 kiến thức này đề cập rất ít trong sách giáo khoa. Tuy nhiên các bài tập liên quan đến nó lại rất nhiều và rất đa dạng. Là một giáo viên dạy Toán trớc thực trạng nh vậy tôi không khỏi băn khoăn trăn trở làm nh thế nào để giúp đỡ các em bớt đi những khó khăn, lúng túng trong việc giải các bài toán có liên quan đến hệ thức Vi-ét trong phơng trình bậc hai ax 2 +bx+c=0 (a 0). Từ thực tiễn giảng dạy tôi xin đợc trình bày một ý kiến nhỏ, một kinh nghiệm mà qua thử nghiệm tôi thấy đã làm giảm bớt khó khăn cho các em khi giải các bài toán có liên quan đến hệ thức Vi-ét trong phơng trình bậc hai. 2. Cơ sở tâm lí Theo tâm lý, con ngời chỉ t duy tích cực khi có nhu cầu, hoạt động nhận thức chỉ có kết quả cao khi chủ thể ham thích một cách tự giác. Đối với học sinh cũng vậy nếu các em chỉ học một cách thụ động, tức là tiếp thu kiến thức theo lối nhồi nhét, không có thói quen suy nghĩ một cách sâu sắc thì kiến thức nhanh chóng bị lãng quên. Vì vậy để phát huy tính tích cực và sáng tạo của học sinh không còn cách nào khác là phải tạo niềm tin và hứng thú học tập cho các em. Có nghĩa là chúng ta phải có những phơng pháp phù hợp giúp học sinh tiếp thu kiến thức một cách chủ động có hệ thống. Giúp các em nhận dạng bài toán và nắm đợc hớng giải quyết tốt nhất. 3. Cơ sở giáo dục học Những kết quả nghiên cứu của giáo dục học cho thấy kết quả giáo dục sẽ cao 1 hơn nếu quá trình đào tạo đợc biến thành quá trình tự đào tạo, quá trình giáo dục đ- ợc biến thành quá trình tự giáo dục. II. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 1. Mục đích nghiên cứu - Chuyên đề giúp giáo viên có cái nhìn tổng thể về các vấn đề có liên quan đến hệ thức Vi-ét, rút ra những kinh nghiệm trong giảng dạy và học tập, đào sâu và hoàn thiện hiểu biết. Từ đó có phơng pháp dạy- học có hiệu quả, giúp học sinh giảm bớt những khó khăn lúng túng khi học nội dung này. - Thực hiện chuyên đề này thấy đợc những thuận lợi và khó khăn khi dạy học nội dung hệ thức Vi-ét. Qua đó có định hớng năng cao chất lợng dạy học môn Toán. 2. Nhiệm vụ nghiên cứu - Thấy đợc vai trò của hệ thức Vi-ét trong chơng trình Toán THCS đặc biệt là những dạng toán có liên quan. - Giảm bớt những khó khăn, lúng túng của các em khi nghiên cứu nội dung có liên quan đến hệ thức Vi-ét. Học sinh xác định đợc cách giải của một số dạng toán cơ bản. III. Đối tợng và phạm vi nghiên cứu 1. Nghiên cứu phần Phơng trình bậc hai : ax 2 +bx+c=0 có chứa tham số nói chung và ứng dụng của định lí Vi-ét trong phơng trình bậc hai ax 2 +bx+c=0 (a 0) . 2. Nghiên cứu các tài liệu có liên quan đến hệ thức Vi-ét và ứng dụng. 3. Giáo viên giảng dạy cấp THCS và học sinh THCS đặc biệt là học sinh khối lớp 9. IV. Các phơng pháp nghiên cứu 1. Phơng pháp nghiên cứu lí luận Đọc các tài liệu có liên quan để phân dạng bài tập và phơng pháp giải. - Các tạp chí giáo dục toán học. - Sách giáo khoa, sách giáo viên toán 9 tập hai. - Sách tham khảo. - Phơng pháp dạy học môn Toán THCS. 2. Phơng pháp thực nghiệm Tiến hành dạy thực nghiệm để kiểm tra kết quả áp dụng chuyên đề. 3.Phơng pháp tổng kết kinh nghiệm Rút ra những bài học cho bản thân và đồng nghiệp để giảng dạy tốt hơn. Phần II: Nội dung I. Hệ thống các kiến thức cần nhớ 1. Định nghĩa phơng trình bậc hai một ẩn. 2 Phơng trình bậc hai một ẩn ( gọi là phơng trình bậc hai) là phơng trình có dạng ax 2 +bx+c=0.Trong đó x là ẩn, a,b,c là các hệ số cho trớc a 0 2. Cách giải phơng trình bậc hai a) Phơng trình khuyết b (b=0) ax 2 +c=0 2 c x a = + Nếu c a <0 => Phơng trình vô nghiệm + Nếu c a >0 => Phơng trình có hai nghiệm 1 .c c a x a a = = 2 .c c a x a a = = b) Phơng trình khuyết c (c=0) ax 2 +bx =0 x(ax+b) =0 + x=0 + ax+b=0 x= b a c)Nếu a, b, c 0 phơng trình bậc hai có dạng ax 2 +bx+c=0. 2 4b ac = + Nếu >0 thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt 1 2 b x a + = 2 2 b x a = + Nếu =0 thì phơng trình có nghiệm kép 1 2 2 b x x a = = + Nếu <0 thì phơng trình vô nghiệm. d) Công thức nghiệm thu gọn Phơng trình ax 2 +bx+c=0 có b=2b 2 ' 'b ac = + Nếu ' >0 thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt 1 ' 'b x a + = 2 ' 'b x a = + Nếu ' =0 thì phơng trình có nghiệm kép 1 2 'b x x a = = + Nếu ' <0 thì phơng trình vô nghiệm. 3. Hệ thức Vi-ét +Nếu phơng trình ax 2 +bx+c=0 có hai nghiệm 1 x , 2 x ( 0) thì ta có: 1 2 b x x a + = 3 1 2 . c x x a = + Nếu có hai số a, b sao cho a+b=S, a.b=P thì a,b là hai nghiệm của phơng trình X 2 -SX+P=0 4. Hệ quả của định lí Vi-ét *Phơng trình bậc hai ax 2 +bx+c=0 + Nếu có a+b+c=0 thì phơng trình có hai nghiệm: 1 2 1; c x x a = = + Nếu có a-b+c=0 thì phơng trình có hai nghiệm: 1 2 1; c x x a = = *Phơng trình bậc hai ax 2 +bx+c=0 có hai nghiệm 1 x , 2 x thì ta có: ax 2 +bx+c=a( 1 x x )( 2 x x ) *Phơng trình bậc hai ax 2 +bx+c=0 có nghiệm kép 0 x x= thì ta có: ax 2 +bx+c=a( 0 x x ) 2 II. Các bài tập ứng dụng Để học sinh nắm kiến thức một cách có hệ thống tôi đã phân thành các dạng bài tập cụ thể . Sau đó đa ra ví dụ minh họa để học sinh vận dụng. Một số bài tập học sinh rèn luyện tại lớp và bài tập về nhà để cho học sinh luyên tập rèn trí nhớ. Dạng I: Không giải phơng trình hãy tính tổng và tích hai nghiệm 1 x , 2 x của phơng trình bậc hai nếu có: 1. Cách giải: Bớc 1: Chứng tỏ phơng trình bậc hai có nghiệm ( 0 hoặc a.c<0) Bớc 2: Vận dụng hệ thức Vi- ét tính: 1 2 b x x a + = 1 2 . c x x a = 2. Bài tập áp dụng: Không giải phơng trình hãy tính tổng và tích hai nghiệm 1 x , 2 x của phơng trình bậc hai nếu có: Ví dụ 1: x 2 -5x-6=0 Giải: Xét phơng trình x 2 -3x-6=0 có a.c=1.(-6)=-6<0 nên phơng trình có hai nghiệm 1 x , 2 x Theo hệ thức Vi-ét ta có: 1 2 3x x+ = 1 2 . 6x x = Ví dụ 2: x 2 -5x+3=0 Giải: Xét phơng trình x 2 -5x+3=0 có =(-5) 2 -4.1.3=25-12=13>0 nên phơng trình có hai nghiệm 1 x , 2 x 4 Theo hệ thức Vi-ét ta có: 1 2 5x x+ = 1 2 . 3x x = Ví dụ 3: 3x 2 -4x+3=0 có =(-4) 2 - 4.3.3=16-36=-20<0 nên phơng trình vô nghiệm. 3. Bài tập thực hành: Không giải phơng trình hãy tính tổng và tích hai nghiệm 1 x , 2 x của phơng trình bậc hai nếu có: a) 3x 2 - 4x-7=0 b) 2x 2 - 7x+3=0 c) 9x 2 - 4x+1=0 Dạng II: Kiểm tra một số 0 x x= có phải là nghiệm của phơng trình bậc hai không? Nếu phải hãy tính nghiệm còn lại. 1. Cách giải: 0 x x= là nghiệm của phơng trình bậc hai khi và chỉ khi 2 0 0 0ax bx c+ + = Dùng hệ thức Vi-ét 1 2 b x x a + = 1 2 . c x x a = để tìm nghiệm còn lại biết 1 0 x x= 2. Bài tập áp dụng: Ví dụ 1: Kiểm tra một số 3x = có phải là nghiệm của phơng trình bậc hai x 2 - x- 6 = 0 không? Nếu phải hãy tính nghiệm còn lại. Giải: Thay x=3 vào vế trái của phơng trình ta có: 3 2 -3-6=0 nên x=3 là một nghiệm của phơng trình Theo hệ thức Vi-ét ta có: 1 2 . 6x x = mà x 1 =3=>x 2 =-2 Vậy 3x = là nghiệm của phơng trình bậc hai x 2 - x- 6 = 0 và nghiệm còn lại x=- 2. Ví dụ 2: Kiểm tra một số x=1 có phải là nghiệm của phơng trình bậc hai 2 2( 3 1) 2 3 1 0x x + + + = không? Nếu phải hãy tính nghiệm còn lại. Giải: Thay x=1 vào vế trái của phơng trình ta có: 2 1 2( 3 1).1 2 3 1 0 + + + = nên x=1 là một nghiệm của phơng trình Theo hệ thức Vi-ét ta có: 1 2 . 2 3 1x x = + mà x 1 =1=>x 2 = 2 3 1+ Vậy x=1 là nghiệm của phơng trình bậc hai 2 2( 3 1) 2 3 1 0x x + + + = và nghiệm còn lại x 2 = 2 3 1+ 3. Bài tập thực hành: Kiểm tra một số 0 x x= có phải là nghiệm của phơng trình bậc hai không? Nếu 5 phải hãy tính nghiệm còn lại. a) 2 3 2 0x x + = ( 0 2x = ) b) 2 2 5 3 0x x = ( 0 3x = ) c) 2 3( 3 1) 3 3 2 0x x + + + = ( 0 1x = ) Dạng III: Tìm giá trị của tham số m để phơng trình bậc hai có một nghiệm cho trớc. Tính nghiệm số còn lại. 1. Cách giải: Cho ax 2 +bx+c=0 ( a 0) phơng trình tham số m + Thay 0 x x= vào phơng trình ta đợc phơng trình ẩn m + Dùng hệ thức Vi-ét tính nghiệm còn lại. 2. Bài tập ứng dụng Ví dụ 1: Cho phơng trình 2x 2 +(m+4)x+2m=0. Tìm m để phơng trình có một nghiệm là -1. Tìm nghiệm còn lại. Giải: Thay x=-1 vào phơng trình ta đợc: 2(-1) 2 +(m+4).(-1)+2m=0 2- m- 4+2m=0 -2+m=0 m=2 Với m=2 phơng trình có một nghiệm x 1 =1 Theo Vi-ét ta có: 1 2 .x x m= mà x 1 =1, m=2=> x 2 =2 Vậy với m=2 thì phơng trình có một nghiệm x=1, nghiệm còn lại x=2. Ví dụ 2: Cho phơng trình x 2 +4x+m 2 -2m+1=0. Tìm m để phơng trình có một nghiệm là -2. Tìm nghiệm còn lại. Giải: Thay x=-2 vào phơng trình ta đợc: (-2) 2 +4.(-2)+ m 2 -2m+1=0 4-8+m 2 -2m+1=0 m 2 -2m-3=0 ( phơng trình có a-b+c=0) m 1 =-1, m 2 =3 Với m 1 =-1, m 2 =3 thì phơng trình có một nghiệm x=-2 Theo Vi-ét ta có: 1 2 .x x = m 2 -2m+1 Với x 1 =-2, m 1 =-1 thì 2 2 ( 1) 2.( 1) 1 4 2 2 2 x + = = = Với x 1 =-2, m 2 =3 thì 2 2 3 2.3 1 4 2 2 2 x + = = = Vậy với m=-1, m=3 thì phơng trình có 1 nghiệm x=-2, nghiệm còn lại x=-2. Ví dụ 3: Cho phơng trình x 2 -mx+m 2 -7=0. Tìm m để phơng trình có một nghiệm là -1. Tìm nghiệm còn lại. 6 Giải: Thay x=-1 vào phơng trình ta đợc: (-1) 2 -m.(-1)+ m 2 -7=0 1+m+m 2 -7=0 m 2 +m-6=0 ( phơng trình có =25) m 1 =2, m 2 =-3 Với m 1 =2, m 2 =-3 thì phơng trình có một nghiệm x=-1 Theo Vi-ét ta có: 1 2 .x x = m 2 -7 Với x 1 =-1, m 1 =2 thì 2 2 2 7 3 3 1 1 x = = = Với x 1 =-1, m 2 =-3 thì 2 2 ( 3) 7 2 2 1 1 x = = = Vậy với m=2, nghiệm còn lại của phơng trình x=3 với m=-3, nghiệm còn lại của phơng trình x=-2 3. Bài tập thực hành Bài 1 : Cho phơng trình 4x 2 +2(m-1)x+2m=0. Tìm m để phơng trình có một nghiệm là 1. Tìm nghiệm còn lại. Bài 2: Cho phơng trình 3x 2 +6x+3m 2 -6m-18=0. Tìm m để phơng trình có một nghiệm là 3. Tìm nghiệm còn lại. Bài 3: Cho phơng trình x 2 -(m+1)x+m 2 +m-7=0. Tìm m để phơng trình có một nghiệm là -1. Tìm nghiệm còn lại. Bài 4: Cho phơng trình x 2 -2x+m=0. Tìm m để phơng trình có một nghiệm là 3 . Tìm nghiệm còn lại. Dạng IV: Không giải phơng trình hãy tính giá trị của một biểu thức giữa các nghiệm của phơng trình bậc hai: 1. Cách giải + Chứng tỏ phơng trình bậc hai có hai nghiệm x 1 , x 2 ( >0) + Biến đổi biểu thức bài cho về dạng tổng và tích hai nghiệm + Viết hệ thức Vi-ét thay vào biểu thức tính giá trị 2. Bài tập ứng dụng Ví dụ 1: Cho phơng trình x 2 - 10x+15 = 0 không giải phơng trình . Hãy tính giá trị của các biểu thức sau( Với x 1 , x 2 là hai nghiệm của phơng trình x 1 <x 2 ) a) 2 2 1 2 x x+ b) 1 2 1 1 x x + c) 3 3 1 2 x x+ d) 2 1 1 2 x x x x + e) 2 2 1 2 x x g) 3 3 1 2 x x Giải: Xét phơng trình x 2 - 10x+15 = 0 =(-5) 2 -1.15=10>0=> phơng trình có hai nghiệm x 1 , x 2 (x 1 <x 2 ) Theo hệ thức Vi-ét ta có: 1 2 10x x+ = (1) 7 1 2 . 15x x = (2) a) 2 2 1 2 x x+ = 2 1 2 1 2 ( ) 2x x x x+ =10 2 -2.15=100-30=70 b) 1 2 1 1 x x + = 1 2 1 2 x x x x + = 10 15 = 2 3 c) 3 3 1 2 x x+ = 2 2 1 2 1 1 2 2 ( )( )x x x x x x+ + = 2 1 2 1 2 1 2 ( )[( ) 3 ]x x x x x x+ + = 3 1 2 1 2 1 2 ( ) 3 ( )x x x x x x+ + =10 3 -3.10.15=1000-450=550 d) 2 1 1 2 x x x x + = 2 2 2 1 1 2 . x x x x + = 70 14 15 3 = e) Đặt A= 2 2 1 2 x x =( 1 2 x x+ )( 1 2 x x ) B= 1 2 x x <0 vì x 1 <x 2 Ta có B 2 =( 1 2 x x ) 2 = 2 2 1 2 x x+ 1 2 2x x =70-2.15=40 =>B=- 2 10 Do đó A= 2 2 1 2 x x =10.(- 2 10 )=- 20 10 g) 3 3 1 2 x x = 2 2 1 2 1 1 2 2 ( )( )x x x x x x + + =- 20 10 (70 15)+ =- 20 10 . 85 = 170 10 Ví dụ 2: Cho phơng trình x 2 -5x+6=0 không giải phơng trình . Hãy tính giá trị của các biểu thức sau( Với x 1 , x 2 là hai nghiệm của phơng trình x 1 >x 2 ) a) 1 2 x x+ b) 1 1 2 2 x x x x+ c) 2 1 1 2 x x x x+ d) 1 2 x x Giải: Xét phơng trình x 2 -5x+6=0 =(-5) 2 -4.6=25-24=1>0 Phơng trình có hai nghiệm x 1 , x 2 Theo hệ thức Vi-ét ta có: 1 2 5 0x x+ = > 1 2 . 6 0x x = > => x 1 >0, x 2 >0 a)A= 1 2 x x+ >0 A 2 = ( 1 2 x x+ ) 2 = 1 2 x x+ 1 2 2 x x+ = 5 2 6+ = 2 ( 3 2)+ Vậy A= 3 2+ b) 1 1 2 2 x x x x+ = 1 2 1 2 1 2 ( )( )x x x x x x+ + = ( 3 2+ )( 5 6) = 3 3 2 3+ c) 2 1 1 2 x x x x+ = 2 1 1 2 ( ) 6( 3 2) 3 2 2 3x x x x+ = + = + d) Đặt B= 1 2 x x >0 vì x 1 >x 2 B 2 =( 1 2 x x ) 2 = 1 2 x x+ 1 2 2 x x = 5 2 6 = 2 ( 3 2) Vậy B= 3 2 Ví dụ 3: Cho phơng trình x 2 +3x+1=0 không giải phơng trình . Hãy tính giá trị của các biểu thức sau( Với x 1 , x 2 là hai nghiệm của phơng trình ) a) x 1 (2-x 2 )+x 2 (2-x 1 ) b) 12-10x 1 x 2 -(x 1 2 +x 2 2 ) c) (2x 1 -x 2 )(2x 2 -x 1 ) Giải: Xét phơng trình x 2 +3x+1=0 8 =3 2 -4.1=9-4=5>0 Phơng trình có hai nghiệm x 1 , x 2 Theo hệ thức Vi-ét ta có: 1 2 3 0x x+ = < 1 2 . 1 0x x = > a) x 1 (2-x 2 )+x 2 (2-x 1 ) = 2x 1 - x 1 x 2 +2x 2 - x 1 x 2 = 2(x 1 +x 2 )-2x 1 x 2 =2.(-3)-2.1=-8 b) 12-10x 1 x 2 -(x 1 2 +x 2 2 )= 12-10x 1 x 2 -(x 1 +x 2 ) 2 +2 x 1 x 2 =12-8x 1 x 2 -(x 1 +x 2 ) 2 = 12-8.1-(-3) 2 =-5 c) (2x 1 -x 2 )(2x 2 -x 1 ) =4 x 1 x 2 -2x 1 2 -2x 2 2 + x 1 x 2 =5 x 1 x 2 -2(x 1 2 +x 2 2 ) = 5 x 1 x 2 -2(x 1 +x 2 ) 2 + 4 x 1 x 2 =9 x 1 x 2 -2(x 1 +x 2 ) 2 =9.1-2.(-3) 2 =-9 3. Bài tập thực hành Bài 1. Cho phơng trình x 2 - 27x+43 = 0 không giải phơng trình . Hãy tính giá trị của các biểu thức sau( Với x 1 , x 2 là hai nghiệm của phơng trình trên x 1 <x 2 ) a) 2 2 1 2 x x+ b) 1 2 1 1 x x + c) 3 3 1 2 x x+ d) 2 1 1 2 x x x x + e) 2 2 1 2 x x g) 3 3 1 2 x x Bài 2: Cho phơng trình x 2 -3x+2=0 không giải phơng trình . Hãy tính giá trị của các biểu thức sau( Với x 1 , x 2 là hai nghiệm của phơng trình x 1 >x 2 ) a) 1 2 x x+ b) 1 1 2 2 x x x x+ c) 2 1 1 2 x x x x+ d) 1 2 x x Bài 3: Cho phơng trình x 2 +4x+3=0 không giải phơng trình . Hãy tính giá trị của các biểu thức sau( Với x 1 , x 2 là hai nghiệm của phơng trình ) a)x 1 (2-x 2 )+x 2 (2-x 1 ) b) 1 2 1 2 1 1 2 x x x x + + c) 1 2 2 1 1 2 2 2 x x x x x x + Dạng V: Tìm điều kiện của m để các phơng trình sau có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn một hệ thức cho trớc. 1. Cách giải + Tìm điều kiện của m để phơng trình bậc hai có hai nghiệm x 1 , x 2 + Viết hệ thức Vi-ét 1 2 b x x a + = (1) 1 2 . c x x a = (2) + Kết hợp (1) và (2) với hệ thức đầu bài cho ta tìm đợc m( ở mỗi dạng hệ thức có cách giải riêng) 2. Bài tập áp dụng 9 2.1 Hệ thức chứa tổng và tích hai nghiệm (3) Thay (1), (2) vào (3) ta đợc phơng trình ẩn m. Giải phơng trình ẩn m và so với điều kiện => trả lời. Ví dụ 1: Cho phơng trình x 2 +mx-m 2 -8=0. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoả mãn: x 2 1 +x 2 2 =25 Giải: Xét phơng trình x 2 +mx-m 2 -8=0 Phơng trình có hai nghiệm = m 2 +4(m 2 +8)= 5m 2 +32>0 với mọi m Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 + Theo hệ thức Vi-ét ta có: 1 2 x x m+ = (1) 2 1 2 . 8x x m= (2) Theo đề bài ta có: x 2 1 +x 2 2 =25 2 1 2 1 2 ( ) 2x x x x+ =25 (3) Thay (1), (2) vào (3) ta có: (-m) 2 +2m 2 +16=25 3m 2 =9 m 2 =3 m= 3 Vậy với m= 3 thì phơng trình có hai nghiệm thoả mãn: x 2 1 +x 2 2 =25 Ví dụ 2: Cho phơng trình x 2 -mx+m-1=0. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoả mãn: x 2 1 +x 2 2 -6 x 1 x 2 =8 Giải: Xét phơng trình x 2 -mx+m-1=0 Phơng trình có hai nghiệm =m 2 -4(m-1)= m 2 -4m+4=(m-2) 2 0 với mọi m Vậy phơng trình có hai nghiệm x 1 , x 2 + Theo hệ thức Vi-ét ta có: 1 2 x x m+ = (1) 1 2 . 1x x m= (2) Theo đề bài ta có: x 2 1 +x 2 2 -6 x 1 x 2 =8 (x 1 +x 2 ) 2 -8x 1 x 2 =8 (3) Thay (1), (2) vào (3) ta có: (m) 2 -8(m-1)=8 m 2 -8m+8=8 m(m-8)=0 m=0, m=8 Vậy với m=0, m=8 thì phơng trình có hai nghiệm thoả mãn: x 2 1 +x 2 2 -6 x 1 x 2 =8 Ví dụ 3: Cho phơng trình x 2 -2x+m+2=0. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoả mãn: a)x 2 1 +x 2 2 +4 x 1 x 2 =0 b) 2 1 1 2 10 3 x x x x + = Giải: Xét phơng trình x 2 -2x+m+2=0 Phơng trình có hai nghiệm =(-1) 2 -(m+2)= -m-1 0 m -1 (*) Vậy phơng trình có hai nghiệm x 1 , x 2 10 [...]... các nghiệm + Tìm điều kiện của m để phơng trình bậc hai có hai nghiệm x1, x2 + Viết hệ thức Vi-ét x1 + x2 = x1.x2 = c a b a (1) (2) + Thay (1) và (2) vào biểu thức bài cho rồi tính GTLN và GTNN của biểu thức giữa các nghiệm Ví dụ 1: Cho phơng trình x2-(2m+1)x+m2+m-1=0 Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 và biểu thức A=(2x1-x2) (2x2-x1) đạt GTNN 12 Giải: Xét phơng trình x2-(2m+1)x+m2+m-1=0 Phơng... x2-2(m+1)x+2m+10=0 Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 và biểu thức A=x12+x22+10x2x1 đạt GTNN b) Cho phơng trình x2+mx+1=0 Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 2 2 thoả mãn bất đẳng thức: x1 ữ + x2 ữ >7 x2 x1 c) Cho phơng trình x2-2x-(m-1)(m-3)=0 Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 và biểu thức B=(x1+x2)x2 đạt GTNN Dạng VI: Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phơng trình bậc hai không... 19 III Kết quả thực nghiệm: Sau khi dạy xong cho học sinh phần kiến thức này và kết hợp với việc rèn luyện giải một số bài tập tôi nhận thấy: - Học sinh nắm chắc các vấn đề liên quan đến phơng trình bậc hai và hệ thức Vi-ét - Học sinh biết phân biệt và nhận dạng từng loại bài tập và vận dụng linh hoạt đợc kiến thức đã học để giải toán - Học sinh làm bài và trình bày bài khoa học, lập luận chặt chẽ... giỏi cha cao, nên khả năng biến đổi các biểu thức và vận dụng tính chất về bắt đẳng thức cha nhanh do đó việc giải phơng trình chứa tham số vận dụng hệ thức Vi-ét còn chậm dù các em đã biết phơng pháp và cách giải - Giáo viên: Cha có nhiều thời gian và trình độ còn có hạn nên cha đa ra các bài tập phong phú và khai thác triệt để các cách giải của cùng một bài toán. Do đó chuyên đề còn cha đợc hoàn thiện,... xuất 21 - Đối với sách giáo khoa cần tăng thời lợng về phơng trình bậc hai có chứa tham số Đa thêm một số bài toán có ứng dụng hệ thức Vi-ét vào sách giáo khoa - Đối với giáo viên: Cần định hớng cho học sinh thấy đợc tầm quan trọng của hệ thức Vi-ét trong môn đại số và ứng dụng của nó trong giải toán - Đối với nhà trờng: Tạo điều kiện về mặt thời gian cũng nh tài liệu để các đồng chí giáo viên có thể... và (2) x1 +x2-2x1x2=2m-2-2m+4=2 x1 +x2-2x1x2=2 Vậy hệ thức cần tìm là: x1 +x2-2x1x2=2 Ví dụ 3: Cho phơng trình x2-2mx+m2- 4=0 Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m Giải: Xét phơng trình x2-2mx+m2- 4=0 Phơng trình có 2 nghiệm =m2-m2+4 >0 4>0 với mọi m Vậy phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m + Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = 2m (1) 2 x1.x2 = m 4 (2) Từ... Vậy phơng trình có hai nghiệm x1, x2 + Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = 2 (1) x1.x2 = m + 1 (2) Theo đề bài ta có: x1-x2=8 (3) Từ (1) và (3) ta có hệ phơng trình: x1 x2 = 8 (3) x1 + x2 = 2 (1) x1 = 3; x2 = 5 Thay x1, x2 vào (2) ta có: 3g 5) = m + 1 ( m = 16 m=-16 (thoả mãn *) Vậy m=-16 là giá tri cần tìm 2.3 Tìm GTLN và GTNN, bất đẳng thức của biểu thức giữa các nghiệm + Tìm điều kiện của m để... nghĩ đa về dạng đã biết - Phải hớng dẫn học sinh phơng pháp giải hợp lí, nhanh gọn dễ hiểu * Đối vơi học sinh: - Rèn luyện ý thức tự giác suy nghĩ 20 - Phải say sa tìm hiểu nghiên cứu và sáng tạo ttrong giải toán * Đối với nhà trờng - Cần phân loại học sinh để giáo viên chọn kiến thức phù hợp và có phơng pháp dạy hợp lí - Tổ chức các buổi thảo luận chuyên môn để trao đổi và xây dựng chuyên đề, sáng kiến... Đại số lớp 9 Tuy rằng cha phải là đầy đủ nhất song đó là những vấn đề cơ bản, là nền tảng cho việc suy nghĩ và giải quyết mọi bài toán có liên quan đến phơng trình bậc hai- Định lí Vi-ét Trong thực tế dạng toán này rất đa dạng vì điều kiện thời gian và sự tiếp nhận kiến thức của học sinh và năng lực của bản thân còn nhiều hạn chế nên nội dung chuyên đề cha đợc phong phú Rất mong các cấp lãnh đạo, ban... Viết hệ thức Vi-ét x1 + x2 = x1.x2 = c a b a (1) (2) + Từ (1) và (2) tìm cách khử m 2 Bài tập áp dụng Ví dụ 1: Cho phơng trình x2+(2m+1)x+m-1=0 Tìm hệ thức liên hệ giữa x 1, x2 không phụ thuộc vào m Giải: Xét phơng trình x2+(2m+1)x+m-1=0 Phơng trình có 2 nghiệm =(2m+1)2-4(m-1) 0 4m2+4m+1-4m+4 0 4m2+5 0 với mọi m Vậy phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m + Theo hệ thức Vi-ét . nội dung hệ thức Vi-ét. Qua đó có định hớng năng cao chất lợng dạy học môn Toán. 2. Nhiệm vụ nghiên cứu - Thấy đợc vai trò của hệ thức Vi-ét trong chơng trình Toán THCS đặc biệt là những dạng toán có. em khi giải các bài toán có liên quan đến hệ thức Vi-ét trong phơng trình bậc hai. 2. Cơ sở tâm lí Theo tâm lý, con ngời chỉ t duy tích cực khi có nhu cầu, hoạt động nhận thức chỉ có kết quả. tập và phơng pháp giải. - Các tạp chí giáo dục toán học. - Sách giáo khoa, sách giáo viên toán 9 tập hai. - Sách tham khảo. - Phơng pháp dạy học môn Toán THCS. 2. Phơng pháp thực nghiệm Tiến hành