Sáng kiến kinh nghiệm Mở đầu I - Lý do chọn đề tài Trong công tác dạy và học trong nhà trờng phổ thông ở mị cấp học, việc đổi mới phơng pháp giảng dạy rất cần thiết tạo tiền đề cho việc rèn luyện tính tích cực, chủ động tìm ra kiến thức trong học tập cho học sinh theo phơng châm: "Phát huy tính độc lập suy nghĩ, tự chủ trong học tập và rèn luyện". Trong thực tế, ở các trờng THCS số học sinh còn non về môn toán chiếm tỷ lệ đáng kể. Hiện tợng này di do nhiều nguyên nhân, trong đó chủ yếu là do các học sinh đó cha có điều kiện tốt cho học tập, giáo viên cha khơi dậy đợc niềm đam mê học toán cho học sinh Vấn đề này đặt ra cho ngời thầy về phơng pháp giảng dạy, thông qua từng tiết dạy, từng bài dạy trên lớp thực hiện theo định hớng là làm thế nào để học sinh phát huy đợc tính tích cực, sáng tạo, giúp các em biết cách học, cách suy nghĩ, tìm tòi và từng bớc sáng tạo trong học toán. Với tinh thần đó, nhiệm vụ của giáo viên phổ thông nói chung, giáo viên dạy toán nói riêng phải chủ động tìm ra cách giải hợp lý để khơi dậy niềm đam mê học toán cho học sinh, giúp cho tất cả các học sinh nắm đợc các kiến thức cơ bản, từ đó tự khai thác các kiến thức cao hơn, sâu hơn, tạo điều kiện tiếp cận nền khoa học kỹ thuật hiện đại, tiên tiến. Góp phần thực hiện mục tiêu chiến lựơc của ngành Giáo dục và Đào tạo hiện nay: "Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi d- ỡng nhân tài". Là giáo viên dạy toán, tôi thấy rằng: môn Toán có khả năng to lớn phát triển trí tuệ học sinh thông qua việc rèn luyện các thao tác t duy (Phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, trừu tợng hoá và cụ thể hoá). Năng lực lĩnh hội các khái niệm trừu tợng, năng lực suy luận lôgic và ngôn ngữ nhằm rèn luyện phẩm chất trí tuệ về t dy độc lập, t duy sáng tạo. Trong năm qua, đợc phân công giảng dạy toán lớp 7. ở phần đa thức SGK mới chỉ đề cập đến cộng, trừ đa thức, chứng tỏ một giá trị nào đó của biến là nghiệm của đa thức (hoặc không phải là nghiệm của đa thức), tìm nghiệm của đa thức ở mức độ đơn giảnDo dó, cần phải khai thác thêm các dạng toán phức tạp để tạo cơ hội cho học sinh t duy sáng tạo khi học phần này. Từ đó giúp các em học tốt chơng trình đại số sau này. II Mục đích của đề tài. Đề tài này nghiên cứu nhằm giúp học sinh lớp 7 nắm chắc, đào sâu kiến thức về phần đa thức thông qua việc: + Rèn luyện cho học sinh t duy độc lập, sáng tạo + Học sinh biết cách suy luận, lập luận đúng để tìm tòi dự đoán và phát hiện vấn đề. + Học sinh biết tìm ra nhiều lời giải, chọn lời giải hợp lý, khoa học. Nội dung chính: 1 Sáng kiến kinh nghiệm 1. Một số ví dụ: Xuất phát từ bài tập ở SGK: Ví dụ 1: Cho các đa thức A(x) = 3x 3 - 5x 2 + 4x - 2 B(x) = x 3 + 4x 2 + 8x + 5 Chứng tỏ rằng: a) x = 1 là một nghiệm của đa thức A(x) b) x = -1 là một nghiệm của đa thức B(x) - Học sinh dễ dàng chỉ ra đợc: A(1) = 3.1 3 - 5.1 2 + 4.1 - 2 = 3 - 5 + 4 - 2 = 0 B(-1) = (-1) 3 + 4. (-1) 2 + 8(-1) + 5 = -1 + 4 - 8 + 5 = 0 Từ đó kết luận x = 1 là một nghiệm của đa thức A(x) x = -1 là một nghiệm của đa thức B(x) Qua ví dụ này giáo viên có thể nêu câu hỏi gợi mở để học sinh dự đoán, nhận xét về hệ số các hạng tử của đa thức và đa ra bài toán mới: Ví dụ 2: Cho đa thức f(x) = a.x 3 + b.x 2 + c.x + d. Chứng minh rằng: a) Nếu a + b + c + d = 0 thì x = 1 là một nghiệm của đa thức f(x) b) Nếu a + c = b + d thì x = -1 là một nghiệm của đa thức f(x) Với bài toán này cần sử dụng định nghĩa nghiệm của một đa thức: "x = a là nghiệm của đa thức f(x) f(a) = 0" a) x = 1 là một nghiệm của f(x) f(1) = 0 Thật vậy, f(1) = a.1 3 + b.1 2 + c.1 + d f(1) = a + b + c + d mà a + b + c + d = 0 (theo gt) f(1) = 0 b) x = -1 là một nghiệm của đa thức f(x) f(-1) = 0 Thật vậy, f(-1) = a.(-1) 3 + b.(-1) 2 + c.(-1) + d f(-1) = -a + b - c + d (1) mà a + c = b + d (gt) -a - c + b + d = 0 (2) Từ (1) và (2) f(-1) = 0 Qua bài toán này, giáo viên có thể tổng quát: 2 Sáng kiến kinh nghiệm " x = 1 là một nghiệm của đa thức f(x) khi và chỉ khi tổng các hệ số của các hạng tử bằng 0" " x = -1 là một nghiệm của đa thức f(x) khi và chỉ khi tổng các hệ số của các hạng tử có luỹ thừa bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử có luỹ thừa bậc lẻ (xem hạng tử tự do là hệ số của x 0 )". Ví dụ 3: Tìm nghiệm của các đa thức: M(x) = x 2 + 3x + 2 N(x) = x 2 - 4x + 3 Học sinh dễ dàng nhẩm đợc x = -1 là một nghiệm của đa thức M(x) (Vì.1 + 2 = 3). Vấn đề đặt ra là tìm các nghiệm còn lại của đa thức là nh thế nào ?. Giáo viên cần gợi ý để học sinh hiểu đợc nếu x = a là nghiệm của f(x) f(x) = (x - a).g(x). Từ đó, học sinh tìm ra cách giải: a) Ta có M(x) = x 2 + 3x +2 = x 2 + x + 2x + 2 = x(x + 1) + 2.(x + 1) = (x + 1) (x + 2) M(x) = 0 (x + 1) (x + 2) = 0 x + 1 = 0 x = -1 x + 2 = 0 x = -1 Vậy, x = -1, x = -2 là nghiệm của đa thức M(x) b) Ta có: N(x) = x 2 - 4x + 3 = x 2 - x - 3x + 3 = x(x - 1) - 3(x - 1) = (x - 1)(x - 3) N(x) = 0 (x - 1)(x - 3) = 0 x - 1 = 0 x = 1 x - 3 = 0 x = 3 Vậy x = 1, x = 3 là nghiệm của đa thức N(x) Qua ví dụ này, giáo viên gợi mở để học sinh nhận xét đợc: " Một đa thức với hệ số nguyên và hệ số cao nhất bằng 1 thì moị nghiệm nguyên của đa thức (nếu có) là ớc của hạng tử tự do" Ví dụ 4: Chứng tỏ rằng đa thức: P(x) = x 2 - 4x + 3 chia hết cho đa thức Q(x) = x - 3 Cách 1: Sử dụng phép biến đổi ở mục b ví dụ 3: P(x) = (x- 1) (x - 3) Học sinh đễ dàng chỉ ra đợc đa thức Q(x) là ớc của đa thức P(x) 3 Sáng kiến kinh nghiệm Qua đó, giáo viên có thể gợi mở để học sinh hiểu đợc P(x) chia hết cho Q(x) khi và chỉ khi tất cả các nghiệm của Q(x) cũng là nghiệm của P(x). Ta có cách giải 2: Q(x) = 0 x - 3 = 0 x = 3 Với x = 3, ta có: P(3) = 3 2 - 4.3 + 3 = 9 - 12 + 3 = 0 Vậy đa thức P(x) chia hết cho đa thức Q(x) Ví dụ 5: Chứng tỏ rằng biểu thức: M = x 3 + 6x 2 + 3x - 10 nguyên x 2 + x - 2 ( Bài toán này cha đề cập đến điều kiện có nghĩa của biểu thức) Dễ thấy M nguyên đa thức x 2 + x - 2 là ớc của đa thức x 3 + 6x 2 +3x - 10. Do đó, ta có cách giải sau: Đặt f(x) = x 3 + 6x 2 + 3x - 10 g(x) = x 2 + x - 2 g(x) = 0 x 2 + x - 2 = 0 (x - 1) (x + 2) = 0 x = 1 hoặc x = 2 Với x = 1, ta có: f(1) = 1 3 + 6.1 2 + 3.1 - 10 = 0 Với x = -2, ta có: f(-2) = (-2) 3 + 6(-2) 2 + 3 (-2) - 10 = 0 Do mọi nghiệm của g(x) cũng là nghiệm của đa thức f(x) Suy ra: f(x) chia hết cho g(x) Vậy: M = x 3 + 6x 2 + 3x - 10 nguyên x 2 + x - 2 Ví dụ 6: Tìm giá trị của m và n, sao cho: Q = 2x 4 - 3x 3 + 7x 2 - (m + 1)x - n - 1 nguyên x 2 - 5x + 6 Vận dụng cách giải ví dụ 5, học sinh giải nh sau: Đặt M(x) = 2x 4 - 3x 3 + 7x 2 -(m + 1)x - n - 1 N(x) = x 2 - 5x + 6 N(x) = 0 x 2 - 5x + 6 = 0 (x - 2)(x - 3) = 0 x = 2 hoặc x = 3 4 Sáng kiến kinh nghiệm Q nguyên M(x) chia hết cho N(x) M(2) = 0 M(3) = 0 2.2 4 - 3.2 3 + 7.2 2 -(m + 1).2 - n - 1 = 0 2.3 4 - 3.3 3 + 7.3 2 - (m + 1).3 - n - 1 = 0 33 - 2m - n = 0 (1) 130 - 3m - n = 0 (2) Từ (1) suy ra: n = 33 - 2m, thay vào (2) ta có: 130 - 3m - (33 - 2m) = 0 m = 97 Thay m = 97 vào n = 33 - 2m ta đợc: n = -161 Vậy với m = 97 và n = -161 thì biểu thức Q nguyên . Ví dụ 7: Tim nghiệm nguyên của đa thức: f(x,y) = (x - y) (x + y) - 5 Học sinh đã đợc làm quen với cách tìm a, b nguyên, biết a . b = k (kz) đã đợc học ở lớp 6 Nếu k = 0 a = 0 hoặc b = 0 Nếu k 0; viết k = k i . k j (k i , k j là ớc của k), đa về: a = k j a = k i b = k i b = k j Từ đó đa ra cách giải cho bài tập ở ví dụ 7. f(x,y) = 0 (x - y) (x + y) - 5 = 0 (x - y) (x + y) = 5 (1) Ta có: 5 = 1.5 = (-1).(-5) x - y = 5 x + y = 1 x - y = 1 x + y = 5 x - y = -1 x + y = -5 x - y = -5 x + y = -1 5 Hoặc (1) x = 3; y = -2 x = 3; y = 2 x = -3; y = 2 x = -3; y = -2 Sáng kiến kinh nghiệm Vậy đa thức f(x,y) có nghiệm nguyên là: (x = 3; y = -2); (x = 3; y = 2); (x = -3; y = 2); (x = -3; y = -2) Ví dụ 8: Tìm nguyện nguyên của đa thức: g(x,y) = 3x 2 + 5xy + 2y 2 + 7 Với bài toán dạng này đa về: 3x 2 + 5xy + 2y 2 + 7 = 0 3x 2 + 5xy + 2y 2 = -7 (3x + 2y) (x + y) = -7 Đến đây bài toán giải tơng tự nh ví dụ 7 * Một số bài toán cần lu ý thêm: 1 1. Chứng tỏ rằng đa thức: f(x) có ít nhất hai nghiệm, biết rằng: 2 xf(x + 1) = (x + 2)f(x) 3 2. Tìm nghiệm của đa thức: 4 f(x) = 4x 2 + 4x + 1 (đề thi khảo sát học sinh khá, giỏi) 3. Cho các đa thức: f(x) = x 3 - 7x 2 - 9x + 8 g(x) = ax + b h(x) = x 2 + x - 1 a) Tìm a, b để f(x) = g(x) h(x) b) Có tồn tại a và b để f(x) = g(x) (x - 1) không ? 4. Tìm giá trị lớn nhất, (bé nhất) 6 . tiền đề cho việc rèn luyện tính tích cực, chủ động tìm ra kiến thức trong học tập cho học sinh theo phơng châm: "Phát huy tính độc lập suy nghĩ, tự chủ trong học tập và rèn luyện". Trong. cho ngời thầy về phơng pháp giảng dạy, thông qua từng tiết dạy, từng bài dạy trên lớp thực hiện theo định hớng là làm thế nào để học sinh phát huy đợc tính tích cực, sáng tạo, giúp các em biết. f(1) = 0 Thật vậy, f(1) = a.1 3 + b.1 2 + c.1 + d f(1) = a + b + c + d mà a + b + c + d = 0 (theo gt) f(1) = 0 b) x = -1 là một nghiệm của đa thức f(x) f(-1) = 0 Thật vậy, f(-1) = a.(-1) 3