SKKN Ứng dụng hệ thức Viét vào các dạng bài tập

www.huongdanvn.com SKKN: Ứng dụng hệ thức Viét vào dạng tập SangKienKinhNghiem.org Tổng Hợp Hơn 1000 Sáng Kiến Kinh Nghiệm Chuẩn I Mở đầu: Hệ thức Viét nội dung quan trọng chương trình Đại số Trong kỳ thi vào lớp 10 THPT hay vào trường chuyên lớp chọn phần thiếu trình ôn thi Trong tài liệu tham khảo viết chung chung nên học sinh lúng túng học phần Sau nhiều năm dạy lớp 9, kinh nghiệm giảng dạy tìm tòi thêm tài liệu phân chia ứng dụng Hệ thức Viét thành nhiều dạng để học sinh dễ nhận dạng vận dụng linh hoạt gặp dạng toán Hệ thức Viét tiếp tục vận dụng chương trình Toán THPT nhiên viết đề cập nội dung chương trình Toán THCS Hệ thức Viét ứng dụng rộng vào tập để học sinh dễ nhớ,dễ vận dụng dạy giáo viên nên chia thành nhiều dạng ứng dụng phân chia thời gian dạy nội dung phải thích hợp Sau hệ thống tập mà áp dụng vào ôn thi cho học sinh lớp có hiệu tốt II Nội dung: A Lý thuyết: + Nếu x1, x2 hai nghiệm phương trình bậc hai ax2 + bx + c = S = x1 +x2 = −b a P = x1.x2 = c a -1 Giáo viên: Phan Thị Hường trường THCS Cao Xuân Huy - Diễn Châu www.huongdanvn.com SKKN: Ứng dụng hệ thức Viét vào dạng tập + Nếu hai số x , x2 có tổng x1 + x2 = S tích x1x2 = P hai số nghiệm phương trình X2 - SX + P = (Định lý Viét đảo) B Nội dung: Vận dụng Định lý Viét Viét đảo ta chia làm dạng tập sau: Dạng 1: Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai + Nếu phương trình ax2 + bx + c = (a khác 0) có a + b + c = phương trình có nghiệm x1= 1, nghiệm x2 = c a + Nếu phương trình ax2 + bx + c = (a khác 0) có a - b + c = phương trình có nghiệm x1= -1, nghiệm x2 = - c a Ví dụ 1: Không giải phương trình nhẩm nghiệm phương trình sau: a) 3x2 - 5x + = b) -7x2 - x + = Giải: a) Ta có a + b + c = - + = nên phương trình có hai nghiệm x1 = 1, x2 = c = a b) Ta có a - b + c = -7 +1 + = nên phương trình có hai nghiệm x1= -1, x2 = - c = a Trong trường hợp phương trình có nghiệm nguyên đơn giản ta nhẩm nghiệm theo hệ thức Viét, xét ví dụ sau: Ví dụ 2: Nhẩm nghiệm phương trình sau a) x2 - 7x + 10 = -2 Giáo viên: Phan Thị Hường trường THCS Cao Xuân Huy - Diễn Châu www.huongdanvn.com SKKN: Ứng dụng hệ thức Viét vào dạng tập b) x2 + 6x +8 = Giải: a) Nếu phương trình có nghiệm x1, x2 theo hệ thức Viét ta có: x1+ x2 = x1x2 = 10 ta nhẩm hai nghiệm x1= 2, x2 = b) Tương tự câu a) ta có x1 + x2 = -6 x1x2 = nên x1 = -2, x2 = -4 Dạng 2: Tìm điều kiện tham số biết nghiệm phương trình cho Ví dụ1: Cho phương trình 2x2 - px + = Biết phương trình có nghiệm Tìm p tìm nghiệm lại Giải: Cách 1: Thay x = vào phương trình ta p = x1x2 = 13 Theo hệ thức Viét ta có 5 mà x1= nên x2 = Cách 2: Vì phương trình có nghiệm nên theo hệ thức Viét ta có x1 x2 = 5 mà x1 = nên x2 = Mặt khác x1+ x2 = p ⇒ p 13 =2+ ⇒ p= Ví dụ 2: Cho phương trình x2 + mx - = Biết phương trình có nghiệm Tìm m tìm nghiệm lại Giải: Tương tự ví dụ ta tìm m = -2 nghiệm lại x = -1 Dạng 3: Xét dấu nghiệm phương trình bậc hai -3 Giáo viên: Phan Thị Hường trường THCS Cao Xuân Huy - Diễn Châu www.huongdanvn.com SKKN: Ứng dụng hệ thức Viét vào dạng tập Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = có nghiệm thoả mãn: a) P < hai nghiệm trái dấu b) P > S > hai nghiệm dương c) P > S < hai nghiệm âm Ví dụ1 : Không giải phương trình xét dấu nghiệm phương trình sau: a) x2 - x + = b) x2 + 5x - = c) x2 - x + =0 d) x2 + 9x + = Giải: a) Ta có ∆ '= -1 < nên phương trình vô nghiệm b) Ta có P < nên phương trình có hai nghiệm trái dấu c) Ta có ∆' = 2; S = > 0; P = > nên phương trình có hai nghiệm dương phân biệt d) Ta có ∆ =57; S = -9 < 0; P = > nên phương trình có hai nghiệm âm phân biệt Ví dụ 2: Tìm điều kiện m để phương trình sau: 2x2 + (2m - 1)x + m - = a) Có hai nghiệm khác dấu b) Có hai nghiệm phân biệt âm c) Có hai nghiệm phân biệt dương d) Có hai nghiệm giá trị tuyệt đối trái dấu Giải: a) Phương trình có hai nghiệm khác dấu P < hay m - < ⇔ m < -4 Giáo viên: Phan Thị Hường trường THCS Cao Xuân Huy - Diễn Châu www.huongdanvn.com SKKN: Ứng dụng hệ thức Viét vào dạng tập b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt âm ∆ > ( 2m − 3) >  m >1     S < ⇔  − 2m < ⇔  P >  m −1 >  m ≠   c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt dương ( 2m − 3) > ∆ >    S > ⇔  − 2m > ⇔ giá trị m thoả mãn P >  m −1 >   d) Phương trình có hai nghiệm giá trị tuyệt đối trái dấu hay phương trình có hai nghiệm đối Phương trình có hai nghiệm đối ∆ ≥  S = ⇔ - 2m = ⇔ m= Điều cần ý ∆ < không cần xét dấu nghiệm phương trình phương trình vô nghiệm Khi P < kết luận phương trình có hai nghiệm trái dấu ∆ > Khi P > ta phải xét đến hai yếu tố lại ∆ S Dạng 4: Tính giá trị biểu thức chứa nghiệm phương trình cho Ví dụ 1: Cho phương trình x2+ mx + = ( m tham số) Nếu phương trình có nghiệm x1, x2 Hãy tính giá trị biểu thức sau theo m: a) x12 + x22 b) x13 + x23 c) x1 − x2 -5 Giáo viên: Phan Thị Hường trường THCS Cao Xuân Huy - Diễn Châu www.huongdanvn.com SKKN: Ứng dụng hệ thức Viét vào dạng tập Giải: Vì phương trình có nghiệm x1, x2 nên theo hệ thức Viét ta có: x1+ x2 = -m x1.x2 = a) x12 + x22 = (x1 +x2)2 - 2x1x2 = m2 - b) x13 + x23 = (x1+x2)3 - 3x1x2(x1+ x2) = -m3+ 3m c) (x1 - x2)2 = (x1 +x2)2 - 4x1x2 = m2- nên x1 − x2 = m2 − Ví dụ 2: Cho phương trình x2 - 4x + = Tính giá trị biểu thức A = x14 + x1 + − x1 ( với x1 nghiệm phương trình cho) Giải: Ta phải biến đổi biểu thức bậc hai thành dạng (5x1+a)2 để đưa A dạng A= x1 + a − x1 Bằng cách xét dấu nghiệm phương trình cho chứng tỏ 5x 1+ a > từ tính giá trị A Sau cách biến đổi cụ thể: Vì x1 nghiệm phương trình : x12 = 4x1-1 ⇒ x14 = 16x12 - 8x1+ A = 32 x12 − x1 + 11 − x1 = 25 x12 + x12 − x1 + 11 − x1 = 25 x12 + 7(4 x1 − 1) − x1 + 11 − x1 = ( x1 + ) − x1 = x1 + − x1  x1 + x2 = > Phương trình cho có ∆' > nên theo hệ thức Viét ta có:  x x = >  ⇒ x1 > ⇒ 5x1+ > ⇒ A =2 -6 Giáo viên: Phan Thị Hường trường THCS Cao Xuân Huy - Diễn Châu www.huongdanvn.com SKKN: Ứng dụng hệ thức Viét vào dạng tập Ví dụ 3: Cho phương trình x2 + x - = x1,x2 nghiệm phương trình (x1 < x2) Tính giá trị biểuthức B = x18 + 10 x1 + 13 + x1 Giải: Từ giả thiết ta có: x12 = - x1⇒ x14 = x12 -2x1 + 1=(1 - x1) - 2x1 + 1=- 3x1 + ⇒ x18 = 9x12 - 12x1+ ⇒ B = x18 + 10 x1 + 13 + x1 = x12 − x1 + 17 + x1 = ( x1 − ) + x1 Vì P < nên phương trình cho có hai nghiệm trái dấu mà x1< x2 nên x1< Vậy B = x1 − + x1 = - x1+ x1 = Dạng 5: Tìm điều kiện tham số để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức Ví dụ 1: Tìm m để phương trình x + 2x + m = (m tham số) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn a) 3x1 + 2x2 = b) x12 -x22 = c) x12 + x22 = Giải: Để phương trình có nghiệm ∆' ≥ ⇔ m ≤ a) Kết hợp hệ thức Viét ta có hệ:  x1 + x2 = −2 (1)  3 x1 + x2 = (2)  xx =m (3)  Giải hệ (1), (2) ta x1= 5; x2= -7 Thay vào (3) ta m = -35 (thoả mãn điều kiện) -7 Giáo viên: Phan Thị Hường trường THCS Cao Xuân Huy - Diễn Châu www.huongdanvn.com SKKN: Ứng dụng hệ thức Viét vào dạng tập b) Kết hợp hệ thức Viét ta có hệ:  x12 − x22 = (1)   x1 + x2 = −2 (2)  x x = m (3)  Giải hệ (1), (2) ta x1= − Thay vào (3) ta m = - ; x2 = 2 (thoả mãn điều kiện) c) x12 + x22 = (x1+ x2)2 - 2x1x2 ⇒ - 2m = ⇒ m = -2 (thoả mãn) Ví dụ 2: Tìm m để phương trình x2 - mx + = (m tham số) có hai nghiệm thoả mãn 3x1+ x2 = Giải: Để phương trình có nghiệm ∆ ≥ hay m2 - 12 ≥ ⇔ m ≥ m ≤ -2 Kết hợp với hệ thức Viét ta có  x1 + x2 = m (1)  3 x1 + x2 = (2)  x x = (3)  giải hệ (1), (2) ta x1= 6−m 3m − ; x2 = 2 Thay vào (3) ta (6 - m)(3m - 6) = 12 giải ta m = (thoả mãn) Ví dụ 3: Giả sử x1, x2 nghiệm phương trình x2 + 2mx + = Xác định m để x14 + x24 ≤ 32 Giải: Để phương trình có nghiệm ∆' ≥ hay m2 - ≥ ⇔ m ≥ 2 Ta có: x14 + x24 = (x12 + x22)2 - 2x12x22 = ( x1 + x2 ) − x1 x2  − 2( x1 x2 )  x1 + x2 = −2m  x1 x2 = Theo hệ thức Viét ta có:  nên x14 + x24 ≤ 32 ⇔ (4m2 - 8)2 - 32 ≤ 32 -8 Giáo viên: Phan Thị Hường trường THCS Cao Xuân Huy - Diễn Châu www.huongdanvn.com SKKN: Ứng dụng hệ thức Viét vào dạng tập -2 ⇔ m − ≤ ⇔ −2 ≤ m − ≤ ⇔ m ≤ Kết hợp với điều kiện ∆' ≥ ta m = m = -2 Dạng 6: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số Ví dụ1 : Cho phương trình x2 - 2(m + 1) x + m2 =0 a) Tìm m để phương trình có nghiệm b) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m Giải: a) Ta có ∆' = (m + 1)2 - m2 = 2m + Phương trình cho có nghiệm ⇔ ∆' ≥ ⇔ m ≥ -  x1 + x2 = 2(m + 1) (1) b ) Theo hệ thức Viét ta có   x1 x2 = m (2) x +x x +x  Từ (1) ta có m = − thay vào (2) ta x1 x2 =  − 1÷   hay 4x1x2 = (x1 + x2 - 2)2 hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m Cách giải chung dạng theo hệ thức Viét ta có hai biểu thức liên hệ hai nghiệm phương trình Từ hai biểu thức ta rút m theo hai nghiệm, sau vào biểu thức lại ta biểu thức cần tìm Tuy nhiên dùng cách biến đổi tương đương để khử m từ hai phương trình, ta xét tiếp ví dụ sau: Ví dụ 2: Cho phương trình mx2 - 2(m - 3)x + m+ = (m tham số ) -9 Giáo viên: Phan Thị Hường trường THCS Cao Xuân Huy - Diễn Châu www.huongdanvn.com SKKN: Ứng dụng hệ thức Viét vào dạng tập Biết phương trình có hai nghiệm, tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m Giải : Do phương trình có hai nghiệm nên theo hệ thức Viét ta có: 2( m − 3) = 2− (1) m m m +1 x1 x2 = = 1+ (2) m m x1 + x2 = Ta có (2) ⇔ 6x1x2 = + m (3) Cộng vế theo vế (1) (3) ta x1 + x2 + 6x1x2 = Vậy biểu thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m là: x1 + x2 + 6x1x2 = Dạng 7: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất, chứng minh bất đẳng thức biểu thức nghiệm Ví dụ 1: Cho phương trình x2 - 2(m - 1)x + m - = với m tham số Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình Với giá trị m biểu thức A = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị Giải: Ta có ∆' = (m - 1)2 -(m - 5) = m2 - 3m + > nên phương trình có nghiệm với giá trị m Theo hệ thức Viét ta có: x1+ x2 = 2(m - 1) x1x2 = m - ⇒ x12+ x22 = (x1+x2)2 - 2x1x2 = 4(m - 1)2 - 2(m - 5)  11 11  = 4m - 10m +14 =  2m − ÷ + ≥ 2 4  -10 Giáo viên: Phan Thị Hường trường THCS Cao Xuân Huy - Diễn Châu www.huongdanvn.com SKKN: Ứng dụng hệ thức Viét vào dạng tập -5 11 Dấu xẩy m = Vậy Amin = m = 4 Ví dụ 2: Cho phương trình x2 - mx + m - 1= với m tham số Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức: C= x1 x2 + x + x22 + 2( x1 x2 + 1) Giải: ∆= m2 -4(m - 1) = (m - 2)2 ≥ nên phương trình có nghiệm với Ta có giá trị m Theo hệ thức Viét ta có: x1+ x2 = m x1x2 = m - ⇒ x12+x22 =(x1+x2)2 - 2x1x2 = m2 -2m + Thay vào ta có C= Đặt t = x1 x2 + x + x22 + 2( x1 x2 + 1) = 2m + m2 + 2m + ta có tm2 - 2m + 2t - = (1) m +2 Nếu t = m = − Nếu t ≠ phương trình (1) phương trình bậc hai m Ta có : ∆' = - t(2t - 1) ≥ ⇔ -2t2+ t + ≥ ⇔ (t - 1)(-2t - 1) ≥ ⇔ − ≤ t ≤ t=- m = -2 ; Vậy Cmin = − t =1 m = 1 m = -2; Cmax= m = -11 Giáo viên: Phan Thị Hường trường THCS Cao Xuân Huy - Diễn Châu www.huongdanvn.com SKKN: Ứng dụng hệ thức Viét vào dạng tập -1 Hoặc ta chứng minh C - ≤ C + ≥ Ví dụ 3: Giả sử x1, x2 nghiệm phương trình 2008x2 - (2008m - 2009)x - 2008 = Chứng minh x −x 1 A= ( x1 − x2 ) +  + − ÷ ≥ 24 x1 x2   Giải: Theo hệ thứcViet ta có: x1 + x2 = 2008m − 2009 x1x2 = -1 2008 nên A = 6(x1 - x2)2 = 6( (x1 + x2)2 + 4) ≥ 24 Ví dụ 4: Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình x2 - 18x + 1= Đặt Sn = x1n + x2n ( n ∈ N) Chứng minh: a) Sn+2 = 18 Sn+1 - Sn b) Sn nguyên dương Sn không chia hết 17 với n số tự nhiên Giải: a) Vì x1 , x2 nghiệm phương trình x2 - 18x + = nên theo hệ thức Viét ta có: x1 + x2 = 18 x1x2 = Ta có: Sn+2 = x1n+2 + x2n+2 Sn+1 = x1n+1 + x2n+1 x1n(x12 - 18x1 + 1) + x2n(x22 - 18x2 + 1) = hay x1n+2 + x2n+2 - 18(x1n+1 + x2n+1) - (x1n + x2n) = ⇒ Sn+2 = 18 Sn+1 - Sn b) Ta c ó: S1 = 18 , S2 = x12 + x22 = (x1+ x2)2 - 2x1x2 = 182 - = 322 mà Sn+2 = 18 Sn+1 - Sn nên Sn nguyên dương với n số tự nhiên Tương tự câu a) ta có: Sn+3 = 18Sn+2 - Sn+1 = 17Sn+2 + Sn+2 - Sn+1 = 17Sn+2 + (18Sn+1 - Sn) - Sn+1 = 17(Sn+2 + Sn+1) - Sn -12 Giáo viên: Phan Thị Hường trường THCS Cao Xuân Huy - Diễn Châu www.huongdanvn.com SKKN: Ứng dụng hệ thức Viét vào dạng tập mà S1 = 18, S2 = 322, S3 = 5778 không chia hết cho 17 nên S4 , S5,… không chia hết cho 17 ⇒ Sn không chia hết cho 17với n số tự nhiên Dạng 8: Ứng dụng hệ thức Viét đảo vào tập Ví dụ 1: Tìm hai số x y biết  x+ y =3 2 x + y = a)   x− y =2 2  x + y = 34 b)  Giải: a) Đặt S = x + y; P = xy ta có hệ  S =3  ⇔ S − 2P = S =  P = Suy x, y nghiệm phương trình X2 - 3X + = Giải phương trình ta x1 = 1; x2 = Vậy (x ; y) ∈ { ( 2;1) ; ( 1; ) } b) Đặt S = x - y; P = xy ta có hệ S =2  S =2 ⇔   S + P = 34  P = 15 Suy x + (-y) = x(-y) = -15 hay x -y nghiệm phương trình X2 - 2X - 15 = giải ta x1 = 3; x2 = -5 Vậy (x ; y) ∈ { ( 3;5) ; ( 5;3) } Thực chất dạng ứng dụng vào giải hệ đối xứng hai ẩn Ta xét tiếp ví dụ sau Ví dụ 2: Giải hệ  x + xy + y = a)   x + xy + y = b)  xy ( x + 1)( y − 2) = −2  2  x + x + y − 2y =1 Giải: -13 Giáo viên: Phan Thị Hường trường THCS Cao Xuân Huy - Diễn Châu www.huongdanvn.com SKKN: Ứng dụng hệ thức Viét vào dạng tập a) Đặt S = x + y; P = xy ta có hệ S − P = ⇔ S = , P = S = -3; P =  S+P=2 Suy x, y nghiệm phương trình X2 - 2X = X2 + 3X + =0 Vậy (x ; y) ∈ { ( 0; ) ; ( 2;0 ) } b) Đặt x2 + x = S; y2 - 2y = P ta đưa hệ đối xứng hai ẩn sau:  SP = −2  S + P = suy S, P nghiệm phương trình X2 - X - = Giải ta x1= -1; x2 =  x + x = −1 Từ ta có  y − 2y =  x2 + x = 2  y − y = −1  Vậy (x ; y) ∈ { ( 1;1) ; ( −2;1) } Hệ thức Viét đảo ứng dụng vào chứng minh bất đẳng thức, vận dụng vào toán chứng minh khác Ta xét ví dụ sau Ví dụ 3: Cho ba số a, b, c thoả mãn điều kiện sau: a > 0, a2 = bc, a + b + c = abc Chứng minh rằng: a ≥ , b > 0, c > b2 + c2 ≥ 2a2 Giải: Từ a + b + c = abc ⇒ b + c = a(bc - 1) = a( a - 1) mà bc = a nên b, c nghiệm phương trình: X2 - (a3 - a)X + a2 = Ta có ∆ =(a3 - a)2 - 4a2 ≥ ⇔ (a2 - 1)2 ≥ ⇔ a2 ≥ ⇔ a ≥ ( a > 0) Khi b+ c = a( a2 - 1) > bc = a2 > nên b > 0, c > Ví dụ 4: Cho a, b, c ba số khác đôi c ≠ Chứng minh hai phương trình x + ax + bc = (1) x + bx + ca = (2) có -14 Giáo viên: Phan Thị Hường trường THCS Cao Xuân Huy - Diễn Châu www.huongdanvn.com SKKN: Ứng dụng hệ thức Viét vào dạng tập nghiệm chung nghiệm khác phương trình thoả mãn phương trình x2 + cx + ab = Giải: Giả sử (1) có nghiệm x0 , x1 (2) có nghiệm x0 , x2 ( x1 ≠ x2) Ta có:  x02 + ax0 + bc = ⇒ ( a - b)(x0 - c) = ⇒ x0 = c ( a ≠ b)  x + bx + ca = 0  Áp dụng định lý Viét vào phương trình (1) phương trình (2) ta có:  x0 + x1 = −a   x0 x1 = bc  x1 = b  x0 + x2 = −b  x + x = −c  ⇒ ⇒  x2 = a   x0 x2 = ca  a + b + c =  x1 x2 = ab  Do x1, x2 nghiệm phương trình x2 + cx + ab = ( phương trình có nghiệm ∆= c2 - 4ab = (a + b)2 - 4ab = (a - b)2 > 0) C Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Không giải phương trình xét dấu nghiệm phương trình sau: a) x2 - 3x + = b) 2x2 - x + = Bài tập 2: Tìm m để phương trình x4 - mx2 + m -1 = có: a) Bốn nghiệm phân biệt b) Ba nghiệm phân biệt c) Hai nghiệm phân biệt Bài tập 3: Cho phương trình x2 + 4x + = có hai nghiệm x1 x2 Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x12 + x22 x12 - x22 Bài tập 4: Cho phương trình x2 - mx + = -15 Giáo viên: Phan Thị Hường trường THCS Cao Xuân Huy - Diễn Châu www.huongdanvn.com SKKN: Ứng dụng hệ thức Viét vào dạng tập Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn a) x1 - x2 = b) x12 + x22 = 37 Bài tập 5: Cho phương trình x2 - 2(m + 1)x - m = a) Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm b) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m c) Tìm m để phương trình có nghiệm âm d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm giá trị tuyệt đối trái dấu e) Tìm m để x1 − x2 nhỏ Bài tập 6: Giải hệ  x + y = 25 a)   xy ( x + y ) = 84  x y + y x = 30 b)   x x + y y = 35  x + y − ( x + y ) = 12 c)   xy ( x − 1)( y − 3) = 20 Bài tập 7: Cho phương trình x2 - 3x + = Tính giá trị biểu thức A = x14 + 11x + 29 − x1 (x1 nghiệm phương trình ) Bài tập 8: Cho phưong trình x2 - 3x - = với x1 < x2 Tính giá trị biểu thức B = x14 − 25 x1 − + x1 Bài tập 9: Tìm p, q để phương trình x2 + px + q = có nghiệm x1, x2 thoả mãn:  x1 − x2 =  3  x1 − x2 = 35 Bài tập 10: Xác định a để phương trình x2 + ax + = có nghiệm x1, x2 thoả mãn: -16 Giáo viên: Phan Thị Hường trường THCS Cao Xuân Huy - Diễn Châu www.huongdanvn.com SKKN: Ứng dụng hệ thức Viét vào dạng tập -x12 x22 + >7 x22 x12 Bài tập 11: Giả sử phương trình ax2 + bx + c = có hai nghiệm dương x 1, x2 Chứng minh phương trình cx2 + bx + a = có hai nghiệm dương x3, x4 x1+ x2 + x3 + x4 ≥ III Kết luận: Trên nội dung ứng dụng hệ thức Viét vào dạng tập mà hệ thống trình dạy cho học sinh lớp ôn thi vào THPT vào trường chuyên lớp chọn Bằng cách hệ thống thành nhiều dạng: Dạng 1: Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai Dạng 2: Tìm điều kiện tham số biết nghiệm phương trình cho Dạng 3: Xét dấu nghiệm phương trình bậc hai Dạng 4: Tính giá trị biểu thức chứa nghiệm phương trình cho Dạng 5: Tìm điều kiện tham số để phương trình có hai nghiệm thoả mãn hệ thức Dạng 6: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc tham số Dạng 7: Tính giá trị lớn nhỏ , chứng minh bất đẳng thức biếu thức chứa nghiệm Dạng 8: Ứng dụng hệ thức Viét đảo vào tập Tôi vận dụng phần sau tiết học lý thuyết tiết luyện tập hệ thức Viét để học sinh củng cố khắc sâu thêm, đồng thời rèn luyện cho -17 Giáo viên: Phan Thị Hường trường THCS Cao Xuân Huy - Diễn Châu www.huongdanvn.com SKKN: Ứng dụng hệ thức Viét vào dạng tập em kỹ trình bày gặp dạng Trong thời gian ôn thi em hệ thống lại cách hoàn chỉnh theo dạng Vì việc áp dụng hệ thức Viét em gặp kỳ thi vào THPT hay trường chuyên lớp chọn không khó khăn Và em biết vận dụng linh hoạt tiếp tục học lên chương trình THPT Phần ứng dụng hệ thức Viét có nhiều bạn đọc quan tâm, phần có nhiều ứng dụng hay Tuy nhiên trình bày theo quan điểm mình, theo kinh nghiệm giảng dạy lớp nhiều năm cho thấy có hiệu tốt Rất mong góp ý chân thành từ đồng nghiệp để sáng kiến hay hơn, phong phú Xin chân thành cảm ơn! Diễn châu ngày 2/5/2009 Người trình bày: Phan Thị Bạch Hường -18 Giáo viên: Phan Thị Hường trường THCS Cao Xuân Huy - Diễn Châu www.huongdanvn.com SKKN: Ứng dụng hệ thức Viét vào dạng tập Tài liệu tham khảo: Báo Toán học Tuổi trẻ Báo Toán tuổi thơ Các đề thi vào THPT, trường chuyên tỉnh Sách giáo khoa Toán 9(tập 2)- NXB giáo dục-2005 Sách Nâng cao phát triển Toán 9(tập 2)- NXB giáo dục-2005 - Vũ Hữu Bình- 2005 Sách Toán nâng cao chuyên đề Đại số 9- NXB giáo dục-2005 - Vũ Dương Thuỵ- Nguyễn Ngọc Đạm Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS- Đại số- NXB giáo dục-2005 - Nguyễn Vũ Thanh -19 Giáo viên: Phan Thị Hường trường THCS Cao Xuân Huy - Diễn Châu