SKKN Ứng dụng hệ thức Viét và ..

Phần I - Đặt vấn đề Lí chọn đề tài: a) Cơ sở lí luận: Để phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động học sinh nhằm bồi dỡng phát triển trí tuệ lực hoạt động học sinh nhiệm vụ trọng tâm trình dạy học nội dung việc đổi phơng pháp dạy học Dạy học toán dạy cho học sinh phơng pháp học toán giải toán để vận dụng kiến thức học vào giải toán thực tế sống Nội dung kiến thức toán học đợc trang bị cho học sinh THCS việc dạy lí thuyết phải trọng tới việc dạy học sinh phơng pháp giải số toán, nhng để nắm vững cách giải dạng toán đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng kiến thức học cách linh hoạt, sáng tạo, tính cẩn thận, kết hợp với khéo léo kinh nghiệm tích luỹ đợc để giải tập có liên quan Thông qua việc giải tập em đợc rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức học vào giải tập, kĩ trình bày, kĩ sử dụng máy tính bỏ túi, đồ dùng dạy học Do nâng cao lực t duy, óc tởng tợng, sáng tạo, rèn khả phán đoán, suy luận học sinh b) Cơ sở thực tiễn: Các toán ứng dụng hệ thức Vi ét có vị trí quan trọng chơng trình dạy học toán THCS Học sinh vận dụng ứng dụng hệ thức Vi - ét nh: Nhẩm nghiệm phơng trình bậc hai trờng hợp a + b + c = ; a - b + c = , trờng hợp mà tổng tích hai nghiệm số nguyên với giá trị tuyệt đối không lớn Tìm đợc hai số biết tổng tích chúng Biết cách biểu diễn tổng bình phơng, lập phơng hai nghiệm qua hệ số phơng trình lúng túng, khó khăn trình vận dụng vào giải toán có liên quan Các toán ứng dụng hệ thức Vi - et phơng phú đa dạng, đòi hỏi phải vận dụng nhiều kiến thức, cách linh hoạt, sáng tạo, độc đáo; yêu cầu học sinh phải có óc quan sát nhạy bén, giúp học sinh phát triển t Những ứng dụng hệ thức Vi ét học sinh THCS khó em thờng gặp khó khăn việc tìm lời giải toán này; có toán em đâu? Vận dụng kiến thức chơng trình học? Làm để tìm đợc giá trị tham số m thỏa mãn điều kiện toán ấy? Đặc biệt mang nội dung sâu sắc việc giáo dục t tởng qua môn toán; hình thành cho học sinh thói quen tìm giải pháp tối u cho công việc cụ thể sống sau Chính toán thờng xuyên có mặt kì thi học sinh giỏi lớp 9, nh kì thi tuyển sinh vào lớp 10 Qua số năm giảng dạy toán THCS đợc giao công tác bồi dỡng học sinh lớp quan tâm vấn đề mạnh dạn nghiên cứu hoàn thành đề tài Với thời gian hạn chế mong muốn nghiên cứu sâu nên đề tài tập trung vào vấn đề: Những ứng dụng hệ thức Vi ét 2) Đối tợng phơng pháp nghiên cứu: a, Đối tợng nghiên cứu: Là học sinh lớp b, Phơng pháp nghiên cứu: - Nghiên cứu tài liệu SGK; SBT Toán 9, sách nâng cao - Các đề thi vào trờng THPT, chuyên đề đại số PHần II - giải vấn đề A Một số vấn đề lí thuyết: 1) Hệ thức Vi ét: - Nếu x1 ; x2 hai nghiệm phơng trình bậc hai : ax + bx + c = ( a ) b x1 + x2 = a x x = c a Mở rộng: - Nếu phơng trình bậc ba: ax + bx + cx + d = ( a ) có nghiệm x1 ; x2 ; x3 b x + x + x = a c x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = a d x1.x2 x3 = a ( I) Và ngợc lại số x1 ; x2 ; x3 thỏa mãn hệ thức ( I ) x1 ; x2 ; x3 nghiệm phơng trình bậc ba ax + bx + cx + d = ( a ) +) Hệ 1: Nếu phơng trình ax + bx + c = ( a ) có a + b + c = phơng trình có nghiệm x1 = nghiệm x2 = +) Hệ 2: Nếu phơng trình ax + bx + c = ( a ) có a - b + c = c a c a phơng trình có nghiệm x1 = nghiệm x2 = +) Hệ 3: Nếu phơng trình ax + bx +cx + d = ( a ) có nghiệm x0 phơng trình phân tich đợc thành ( x-x ) ( Ax +Bx + C ) = +) Có nghiệm x = a + b + c + d = +) Có nghiệm x = a b + c d = Tìm hai số biết tổng tích chúng: Nếu số u v có tổng u + v = S tích u.v = P hai số u v hai nghiệm phơng trình bậc hai: x Sx + P = Thật vậy: Các số u; v tồn nghiệm phơng trình: ( x - u ) ( x - v ) = x - ( u+v ) x + u.v = x - Sx + P = Nh biết tổng tích hai số ta tìm đợc hai số thông qua việc giải phơng trình bậc hai Điều kiện để có hai số là: S2 - 4P Vị trí tơng đối đờng thẳng y = mx + n ( m ) ( d ) đồ thị hàm số y = ax ( a ) ( P ) - Số giao điểm đờng thẳng y = mx + n ( m ) đồ thị hàm số y = ax ( a ) y = ax nghiệm hệ phơng trình y = mx + n - ( d ) cắt ( P ) điểm phân biệt phơng trình ax mx n = có nghiệm phân biệt - ( d ) tiếp xúc với ( P ) điểm phơng trình ax mx n = có nghiệm kép - ( d ) không cắt ( P ) (không có điểm chung) phơng trình ax mx n = vô nghiệm Khái niệm giá trị lớn - Giá trị nhỏ nhất: Cho hàm số f ( x) xác định miền D 1) m đợc gọi giá trị lớn ( GTLN ) f ( x) miền D thoả mãn điều kiện sau đây: a, f ( x) m với x D b, x0 D cho f ( x0 ) = m ; Kí hiệu m = max f ( x) , x D 2) m đợc gọi giá trị nhỏ ( GTNN ) f ( x) miền D thoả mãn điều kiện sau đây: a, f ( x) m với x D b, x0 D cho f ( x0 ) = m ; Kí hiệu m = f ( x) , x D Với x2 [ f (x)] 2n với x R, n Z [ f (x)] 2n + M M (M giá trị nhỏ nhất) M - [ f (x)] 2n M (M giá trị lớn nhất) Hoặc *Hệ quả: - Nếu x > 0, y > x.y = k (không đổi) tổng x + y đạt GTNN x = y - Nếu x > 0, y > x + y = k (không đổi) tích x.y đạt GTLN x = y B số ví dụ ứng dụng hệ thức Vi- ét I Dạng I: ứng dụng hệ thức Vi et vào việc nhẩm nghiệm phơng trình bậc hai ax + bx + c = ( a ) biết hệ số a; b; c Hệ 1: Nếu phơng trình ax + bx + c = ( a ) có a + b + c = phơng trình có nghiệm x1 = nghiệm x2 = Hệ 2: Nếu phơng trình ax + bx + c = ( a ) có a - b + c = c a phơng trình có nghiệm x1 = - nghiệm x2 = Hệ 3: Nếu phơng trình ax + bx +cx + d = ( a ) có nghiệm x0 c a phơng trình phân tich đợc thành ( x-x ) ( Ax +Bx + C ) = +) Có nghiệm x = a + b + c + d = +) Có nghiệm x = a b + c d = Chú ý: Nếu phơng trình ax + bx + c = ( a ) có x1 + x2 = b c x1 x2 = x1 , x2 hai a a nghiệm phơng trình Ví dụ 1: Tính nhẩm nghiệm phơng trình ( Bài 31 - SGK Toán - Trang 54) a) - 5x + 3x + = b) 2008x + 2009 x + = ( ) c) 3x - - x - = Hớng dẫn cách giải: d) ( m - 1) x - ( 2m + 3) x + m + = - Muốn giải phơng trình ta làm nh ? - Học sinh nêu cách làm dùng công thức nghiệm để giải phơng trình - Có em phát cách làm vận dụng hệ thức Vi ét vào tính nhẩm nghiệm ph ơng trình bậc hai ax + bx + c = ( a ) có a + b + c = phơng trình có nghiệm x1 = nghiệm x2 = c a - b + c = phơng trình có nghiệm x1 = nghiệm a c a x2 = - Khi em nhận thấy cách vận dụng hệ thức Vi ét vào nhẩm nghiệm phơng trình bậc hai em trình bày lời giải nh sau: Giải: a) - 5x2 + 3x + = (a = - 5; b = 3; c = 2) Vì a + b + c = ( ) + + = phơng trình có hai nghiệm x1 = 1; x2 = b) 2008x + 2009 x + = (a = 2008; b = 2009; c = 1) Vì a - b + c = 2008 - 2009 + = phơng trình có hai nghiệm là: x1 = ; x2 = 2008 ( ) c) 3x - - x - = ( {a = ( } ) 3; b = - - ; c = - ) Vì a b + c = 3- - - + ( - 1) = phơng trình có hai nghiệm là: x1 = ; x2 = ữ= 3 d) ( m - 1) x - ( 2m + 3) x + m + = ( a = ( m - 1) ;b = - ( 2m + 3) ; c = m + ) Với m ta có a + b + c = ( m - 1) + - ( 2m + 3) + ( m + ) = phơng trình có hai nghiệm là: x1 = ; x2 = m+4 m+4 = m m Ví dụ 2: Nhẩm nghiệm phơnh trình sau: a, x2 + 7x + 12 = d, x2 12x + 35 = b, x2 - 7x + 12 = c, x2 -11x + 28 = e, x + 10x + 21 = Giải a, Ta có (-3) + (-4) = -7 (-3)(-4) = 12 nên phơng trình có hai nghiệm x1 = -3; x2 = -4 b, Ta có + = 3.4 = 12 nên phơng trình có hai nghiệm x1 = 3; x2 = Các phần c,d,e tơng tự học sinh nhẩm Sau tính đợc nghiệm phơng trình xong yêu cầu em sử dụng máy tính bỏ túi Casio giải phơng trình để kiểm tra nghiệm vừa tìm đợc phần a b Lu ý: - Khi giải phơng trình bậc hai ta cần ý vận dụng hệ thức Vi et để tính nhẩm nghiệm phơng trình Nếu không tính nhẩm đợc nghiệm phơng trình ta dùng công thức nghiệm để giải - Việc vận dụng hệ hệ thức Vi et tính toán cho phép tính nhanh chóng nghiệm phơng trình Ví dụ 3: Giải phơng trình a) 5x - 6x + 8x - = Hớng dẫn cách giải: b) 2x + x + 4x +5 = Hãy vận dụng hệ thức Vi ét vào tính nhẩm nghiệm phơng trình bậc ba ax + bx +cx + d = ( a ) +) Có nghiệm x = a + b + c + d = +) Có nghiệm x = a b + c d = - Khi em trình bày lời giải nh sau: Giải: a) 5x - 6x + 8x - = có tổng hệ số a + b + c + d = - + - = nên phơng trình có nghiệm x = phơng trình 5x - 6x + 8x - = ( 5x - 5x ) - ( x - x ) + ( 7x - ) = 5x ( x - 1) - x ( x - 1) + ( x - 1) = ( x - 1) ( 5x - x + ) = ( 1) x - = 5x - x + 7= ( ) +) Giải phơng trình ( 1) x - 1= x =1 +) Giải phơng trình ( ) 5x - x + = Ta có = ( 1) 4.5.7 = 140 = 139 < phơng trình ( ) có vô nghiệm Vậy phơng trình có nghiệm x = b) 2x + x + 4x +5 = có a - b + c - d = - + - = nên phơng trình có nghiệm x = phơng trình 2x +x + 4x +5 = ( 2x + 2x ) - ( x 2 + x ) + ( 5x +5 ) = 2x ( x + 1) - x ( x + 1) + ( x + 1) = ( x + 1) ( 2x - x+5 )=0 ( 1) x + = 2x - x + = ( ) +) Giải phơng trình ( 1) x + = x = - +) Giải phơng trình ( ) 2x - x + = Ta có = ( 1) 4.2.5 = 40 = 39 < phơng trình ( ) vô nghiệm Vậy phơng trình có nghiệm x = Nh vậy: - Qua ví dụ hớng dẫn cho học sinh cách giải phơng trình cách vận dụng hệ thức Vi ét vào tính nhẩm nghiệm phơng trình bậc hai phơng trình bậc ba ẩn - Chú ý trình giải phơng trình nên vận dụng linh hoạt hệ thức vi ét để nhẩm nghiệm phơng trình bậc hai bậc ba ẩn Ví dụ 4: Giải phơng trình x + ( x +1) ( 5x - 6x - ) = Giải: Nhận thây x = - không nghiệm phơng trình nên ta chia vế phơng trình cho ( x +1) 2 ta đợc phơng trình: x ữ + x ữ = x +1 x +1 Đặt y = x ta dợc phơng trình y + 5y = x +1 phơng pháp nhẩm nghiệm ta tính đợc y1 = y2 = x2 = x = ( x + 1) x x = x +1 Giải phơng trình ta đợc nghiệm x1 = + ; x2 = 2 +) Với y2 = x = x = ( x + 1) x + x + = x +1 Giải phơng trình ta đợc nghiệm x3 = + ; x4 = +) Với y1 = Vậy phơng trình cho có nghiệm x1 = + ; x2 = ; x3 = + ; x4 = 2 Qua ví dụ hớng dẫn cho học sinh cách giải phơng trình cách vận dụng hệ thức Vi - ét vào tính nhẩm nghiệm phơng trình bậc hai ẩn hớng dẫn cách biến đổi linh hoạt (đặt ẩn phụ) để đa phơng trình bậc phơng trình bậc hai ẩn nhẩm nghiệm đợc qua em đợc rèn luyện kĩ biến đổi trình bày lời giải, vận dụng kiến thức, khả phân tích, dự đoán Phơng pháp chung: - Vận dụng hệ hệ thức Vi ét để tính nhẩm nghiệm phơng trình bậc hai, bậc ba Hoặc phơng trình đa đợc dạng để tinh nhẩm nghiệm II Dạng II: ứng dụng hệ thức Vi et vào việc tìm số biết tổng tích chúng: Nếu hai số u v có tổng u + v = S tích u.v = P hai số u v hai nghiệm phơng trình bậc hai: Ví dụ 1: ( SGK Toán - Trang 52) x - Sx + P = Điều kiện để có hai số là: S2 - 4P a) Tìm số biết tổng chúng 27 tích chúng 180 b) Tìm số biết tổng chúng tích chúng Hớng dẫn cách giải: Tìm số biết tổng chúng 27 tích chúng 180 x1 + x2 = 27 Nếu áp dụng hệ thức Vi et đảo x1 x2 x1.x2 = 180 Tức ta cần tìm số x1 x2 biết nghiệm phơng trình bậc hai x - 27x + 180 = ta có lời giải nh sau: Giải: a) Vì số cần tìm có tổng 27 tích 180 Nên số nghiệm phơng trình: x - 27x + 180 = Ta có: = 27 - 4.1.180 = 729 - 720 = > = = phơng trình có nghiệm x1 = 27 + = 15 ; x2 = 27 = 12 Vậy hai số cần tìm 15 12 b) Vì số cần tìm có tổng tích 5, Nên số nghiệm phơng trình: x2 - x + = Ta có: = ( -1) - 4.1.5 = 1- 20 = - 19 < phơng trình vô nghiệm Vậy hai số thoả mãn điều kiện đề Khai thác ví dụ nêu ví dụ sau: Ví dụ 2: a) Tìm cạnh hình chữ nhật biết chu vi 100 m diện tích 621 m b) Tìm cạnh hình chữ nhật có chu vi 20 cm diện tích 32cm Hớng dẫn cách giải - Bài toán cho biết ? cần tìm gì? ( a + b ) = 100 ữ ữ - Nếu gọi cạch hình chữ nhật a b ta có điều gì? a.b = 621 a + b = 50 a b nghiệm phơng trình bậc hai nào? ( x - 50x + 621 = ) a b = 621 - Vậy Với gợi ý cho em thảo luận phút đại diện em trình bày lời giải Giải: ( a + b ) = 100 a + b = 50 a.b = 621 a.b = 621 Nên a b nghiệm phơng trình bậc hai: x - 50x + 621 = phơng trình có nghiệm x1 = 27 ; x2 = 23 a) Gọi cạch hình chữ nhật a b ta có hệ phơng trình: Vậy độ dài cạnh hình chữ nhật 27 (m ) 23 (m) ( a + b ) = 20 a + b = 10 a.b = 32 a.b = 32 Nên a b nghiệm phơng trình bậc hai: x - 10x + 32 = Ta có: ' = ( 52 ) 1.32 = < phơng trình vô nghiệm b) Gọi cạch hình chữ nhật a b ta có hệ phơng trình Vậy không tồn hình chữ nhật có chu vi 20 cm diện tích 32 cm Lu ý: Muốn tìm hai số biết tổng tích chúng, ta áp dụng hệ thức Vi et để đa dạng phơng trình bậc hai ẩn giải III Dạng III: ứng dụng hệ thức Vi et vào việc giải hệ phơng trình đối xứng Khái niệm hệ phơng trình đối xứng: Một phơng trình ẩn gọi đối xứng ta thay x y y x phơng trình không thay đổi Ví dụ: Phơng trình đối xứng x + y + xy = 11 y + x + yx = 11 x + y = 25 y + x = 25 Một hệ phơng trình đợc gọi hệ đối xứng loại I gồm phơng trình đối xứng x + y = 25 y + x = 25 Ví dụ: Hệ phơng trình đối xứng loại I: 2 2 x + y xy = 13 y + x yx = 13 Cách giải hệ phơng trình đối xứng loại I +) Biểu diễn phơng trình qua x + y ; xy +) Đặt S = x + y ; P = xy ta đợc hệ phơng trình chứa ẩn S P +) Giải hệ phơng trình tìm S P +) Các số x y nghiệm phơng trình t St + P = (Vận dụng hệ thức Vi et đảo- Tìm số biết tổng tích chúng) (Hệ cho có nghiệm hệ phơng trình theo S P có nghiệm thỏa mãn S2 P ) Tùy theo yêu cầu toán ta giải biện luận phơng trình theo tham số t từ suy nghiệm kết luận cần thiết cho hệ phơng trình Ví dụ 1: Giải hệ phơng trình ( x + y ) + xy = 19 ( x + y ) + xy = 35 x xy + y = x + y = a) b) x2 y = 18 + c) y x x + y = 12 x + y = d) ( x + y ) xy = Hớng dẫn cách giải: ( x + y ) + xy = 19 ( x + y ) + xy = 35 - Em có nhận xét hệ phơng trình - Muốn giải hệ phơng trình ta làm nh ? (GV nêu cách làm cách đặt ẩn phụ S = x + y P = x y em thảo luận trình bày lời giải nh sau) Giải: ( x + y ) + xy = 19 Đặt S = x + y P = x y ta có hệ phơng trình x + y + xy = 35 ( ) a) 5S + P = 19 15S + P = 57 13S = 13 S = S = S + 3P = 35 2S + P = 70 S + 3P = 35 + 3P = 35 P = 12 x + y = theo định lí Vi ét x; y nghiệm phơng trình bậc hai X X 12 = giải x y = 12 phơng trình ta đợc nghiệm X = X = Vậy hệ phơng trình có nghiệm ( 4; 3) ( 3; ) - Hoặc em biến đổi trực tiếp hệ phơng trình phơng pháp cộng đại số (không đặt ẩn x + y = từ áp dụng hệ thức vi- ét để giải hệ phơng trình tìm x; y x y = 12 phụ) ta tính đợc b) x xy + y = x + y = ( x + xy + y ) xy = x + y = ( x + y ) xy = 52 xy = x + y = x + y = xy = x + y = Theo định lí Vi ét x; y nghiệm phơng trình bậc hai X X + = Giải phơng trình ta đợc nghiệm X = X = Vậy hệ phơng trình có nghiệm ( 3; ) ( 2;3) c) x2 y = 18 + x y x + y = 12 ( x + y ) xy ( x + y ) = 18 xy x + y = 12 x + y = 18 xy x + y = 12 123 xy.12 = 18 xy 54 xy = 1728 x + y = 12 x + y = 12 xy = 32 x + y = 12 theo định lí Vi ét x; y nghiệm phơng trình bậc hai t 12t + 32 = Giải phơng trình ta đợc nghiệm t1 = t2 = Vậy hệ phơng trình có nghiệm ( 4;8 ) ( 8; ) ( x + y ) xy ( x + y ) = ( x + y ) ( ) = x + y = x + y = d) xy = ( x + y ) xy = ( x + y ) xy = ( x + y ) xy = theo định lí Vi ét x; y nghiệm phơng trình bậc hai: t t = (1) a - b + c = 1- ( -1) + ( -2 ) = nên phơng trình (1) có nghiệm t1 = t2 = Vậy hệ phơng trình có nghiệm ( 1; ) ( 2; 1) x = a x = b có nghiệm y = b y = a Chú ý: Nếu hệ đối xứng loại I có nghiệm Chúng ta cần lu ý điều để không bỏ xót nghiệm hệ phơng trình Ví dụ 2: Giải hệ phơng trình x + y + xy = x + y = 17 2 x + y + xy = a) b) 2 x + y + xy = Hớng dẫn cách giải: x + y + xy = - Muốn giải hệ phơng trình 2 x + y + xy = x + x + y + y = 18 x ( x + 1) y ( y + 1) = 72 c) ta làm nh ? - Học sinh nêu cách làm biến đổi hpt dạng tổng tích x y cách đặt S = x + y S + P = P = x y ta có hệ pt S S 12 = giải hệ phơng trình - Khi em nhận thấy cách vận dụng hệ thức Vi et vào nhẩm nghiệm ph ơng trình bậc hai em trình bày lời giải nh sau: Giải: xy = ( x + y ) ( x + y ) + xy = x + y + xy = 2 x + y + xy = ( x + y ) xy = ( x + y ) ( x + y ) = xy = ( x + y ) Đặt S = x + y P = x y ( x + y ) ( x + y ) 12 = S + P = S + P = Ta có hệ phơng trình S = 3; S = S S 12 = a) x + y = theo định lí Vi ét x; y nghiệm xy = +) Với S = P = ta có phơng trình bậc hai t 3t + = (1) a + b + c = 1+ ( -3) + 2= nên phơng trình (1) có nghiệm t1 = t2 = Vậy hệ phơng trình có nghiệm ( 1; ) ( 2;1) x + y = theo định lí Vi ét x; y nghiệm xy = +) Với S = P = ta có phơng trình bậc hai t 2t + = (2) Giải pt (2) ta có ' = ( 1) 1.3 = = < nên phơng trình (2) vô nghiệm Vậy hệ phơng trình có nghiệm ( 1; ) ( 2;1) Tôi gợi ý hpt ta biến đổi vế trái hpt thành tổng x + y ; xy ta có lời giải nh sau: ( x + y ) ( xy ) = 17 4 x + y = 17 b) 2 Đặt S = x + y ; P = xy 2 x + y + xy = ( x + y ) + xy = S ( S + S ) = 17 S ( S ) = 17 S P = 17 Ta có hệ phơng trình P = S S + P = P = S S 18 + 12 S S = 17 P = S Giải phơng trình S 12 S + 35 = ( 1) ta đợc S1 = S 12S + 35 = ( 1) ( 2) P = S ; S2 = x + y = (I) xy = +) Với S1 = P1 = ta có theo định lí Vi ét x; y nghiệm phơng trình bậc hai t 7t = (3) Giải phơng trình (3) ta có = ( ) 4.1 ( ) = 49 + 16 = 65 > nên phơng trình (3) có nghiệm phân biệt t1 = ( ) + 65 = + 65 ; t2 = ( ) 65 = 65 2.1 2.1 + 65 65 hệ phơng trình (I) có nghiệm ; ữ 2 ữ x + y = +) Với S = P2 = ta có ( II ) xy = 2 65 + 65 ; ữ 2 ữ theo định lí Vi ét x; y nghiệm phơng trình bậc hai t 5t = (4) Giải phơng trình (4) ta có = ( ) 4.1 ( ) = 49 + 16 = 65 > nên phơng trình (4) có nghiệm phân biệt t3 = ( ) + 33 = + 33 ; t4 = ( ) 33 = 33 2.1 2.1 + 33 33 33 + 33 hệ phơng trình ( II ) có nghiệm ; ; ữ ữ ữ ữ 2 2 Vậy hệ phơng trình có nghiệm là: + 65 65 ; ữ ữ; 2 65 + 65 + 33 33 33 + 33 ; ; ; ; ữ ữ ữ ữ ữ ữ 2 2 2 x ( x + 1) + y ( y + 1) = 18 ( 1) x + x + y + y = 18 c) x ( x + 1) y ( y + 1) = 72 x ( x + 1) y ( y + 1) = 72 ( ) Từ ( 1) ; ( ) áp dụng hệ thức Vi - et suy x ( x+1) ; y ( y+1) nghiệm phơng trình bậc hai: t 18t + 72 = t1 = 6; t2 = 12 x ( x+1) y ( y+1) x ( x+1) Giải hệ phơng trình ( I ) : y ( y+1) Khi xảy hai trờng hợp =6 = 12 x ( x+1) = 12 ( II ) y ( y+1) = ( I) =6 x + x = = 12 y + y 12 = x = x = giải hệ phơng trình ta đợc nghiệm: v y = y = x ( x+1) = 12 ( II ) Giải hệ phơng trình y ( y+1) = x + x 12 = y + y = x = x = giải hệ phơng trình ta đợc nghiệm : v y = y = Vậy hệ phơng trình có nghiệm là; ( 2;3) ; ( 3; ) ; ( 3; ) ; ( 4; 3) Nhận xét: Bài toán nhìn vào phức tạp nhng biến đổi đôi chút vận dụng linh hoạt hệ thức Vi ét tổng tích số x +y x.y nhng nhìn nhận số x ( x + 1) y ( y + 1) ta đa đợc hệ phơng trình dạng đơn giản hệ hai phơng trình bậc hai, phơng trình bậc hai ẩn Phơng pháp chung: - Nh từ toán giải hệ phơng trình đối xứng loại I phức tạp xong biết biến đổi linh hoạt vận dụng hệ thức Vi - et tìm hai số biết tổng tích đ a toán trở dạng đơn giản từ tìm đợc nghiệm hệ phơng trình - Khi giải hệ phơng trình mà vế trái đa thức đối xứng ta coi ẩn nghiệm phơng trình sử dụng hệ thức Vi - et để thiết lập phơng trình Nghĩa ta chuyển việc giải hệ phơng trình n ẩn giải phơng trình bậc n ẩn, phơng trình giải đợc nghiệm hệ n phơng trình cho Bài tập áp dụng: Bài 1: Giải hệ phơng trình x + y + xy = a) 2 x + y + xy = đ/s { ( x; y ) } = { ( 0; ) ; ( 2;0 ) } 1 x + y + x + y = c) đ/s x2 + y2 + + = x2 y2 { ( x; y ) } = { ( 1;1) } x y + y x = 30 b) x x + y y = 35 { ( x; y ) } = { ( 4;9 ) ; ( 9; ) } ( x + y ) ( x + y ) = d) 2 ( x y ) ( x y ) = 15 { ( x; y ) } = { ( 1; ) ; ( 2;1) } Bài 2: Giải hệ phơng trình x + y xy = a) y + x xy = x + y x y = 13 b) 2 ( x + y ) xy = IV Dạng IV: ứng dụng hệ thức Vi et vào việc tính giá trị biểu thức đối xứng nghiệm tìm điều kiện để nghiệm liên hệ với theo hệ thức cho trớc Ví dụ 1: Cho phơng trình x + x + = ( 1) a) GiảI phơng trình ( 1) b) Gọi x1; x2 hai nghiệm phơng trình ( 1) Tính giá trị biểu thức: B = x13 + x23 Hớng dẫn cách giải: - Khi nêu ví dụ em nhanh chóng vận dụng công công thức nghiệm để giải ph ơng trình tìm đợc nghiệm phần a 10 Vậy phơng trình ( P ) : y = x 2 b) Ta có: x + y = y = x + Giả sử phơng trình đờng thẳng ( d ) y = ax + b a= 1 - đờng thẳng y = ax + b song song vói đờng thẳng y = x + 2 b Mà đờng thẳng y = ax + b qua điểm B(0; m) ta có m = a.0 + b b = m 1 Vậy phơng trình đờng thẳng ( d ) y = x + m với m ữ 2 - Để đờng thẳng ( d ) cắt ( P ) điểm có hoành độ x1 x2 1 phơng trình hoành độ giao điểm x = x + m có nghiệm x1 x2 2 phơng trình x x + 4m = ( *) có nghiệm x1 x2 x + x = ( 1) - áp dụng hệ thức Vi- et cho phơng trình ( *) ta có ( 2) x1 x2 = 4m Để phơng trình ( *) có nghiệm thỏa mãn điều kiện x1 + x2 = ( 3) Khi ' = ( 1) 1.4m 4m m x1 + x2 = 2m + x + x = 2m + x2 + x1 = x2 + x1 = x1 = x + x = x + x = 10 x = 2 x1 + x2 = x1 + x2 = x1 + x2 = x = 2 Thay x1 = ; x2 = vào phơng trình ( ) ta đợc ữ = 4m 2 5 4m = m = (thỏa mãn điều kiện m ) 16 Vậy với m = phơng trình ( *) có nghiệm thỏa mãn x1 + x2 = 16 Từ ( 1) ( 3) ta có hệ phơng trình Chú ý: Trong tập ta vận dụng điều kiện để đờng thẳng parabol cắt điểm phân biệt (Đờng thẳng ( d ) : y = mx + n cắt Parabol ( P ) : y = ax điểm phân biệt phơng trình ax mx n = có nghiệm phân biệt) hệ thức Vi - et để tính tổng tích nghiệm để tính đợc giá trị m thỏa mãn điều kiện toán Ví dụ 9: Gọi x1 ; x2 x3 ; x4 tất nghiệm phơng trình: Tính x1.x2 x3 x4 ( x + 2) ( x + 4) ( x + 6) ( x + 8) = Giải: - Xét phơng trình ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) = ( 1) ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) = x + 10 x + 16 x + 10 x + 24 - = y ( y + 8) - = y2 + y - = 16 Đặt x + 10 x + 16= y ( 2) Ta có: ' = 42 1.1 = 16 = 15 > ' = 15 phơng trình ( ) có nghiệm y1 = + 15 ; y2 = 15 +) Với y1 = + 15 x + 10 x + 16 = + 15 x + 10 x + 20 15 = ( 3) ( ) Xét phơng trình ( 3) ta có '3 = 52 20 15 = + 15 > phơng trình ( 3) có nghiệm phân biệt x1 ; x2 x1.x2 = 20 15 +) Với y2 = 15 x + 10 x + 16 = 15 x + 10 x + 20 + 15 = ( ) ( ) Xét phơng trình ( ) ta có '3 = 52 20 + 15 = 15 > phơng trình ( ) có nghiệm phân biệt x3 ; x4 x3 x4 = 20 + 15 ( )( ) Khi x1.x2 x3 x4 = ( x1.x2 ) ( x3 x4 ) = 20 15 20 + 15 = 202 ( 15 ) = 400 15 = 385 Vậy x1.x2 x3 x4 = 385 Nhận xét: Trong tập phơng trình cho có bậc xong ta vận dụng linh hoạt sáng tạo hệ thức Vi et để tính tích nghiệm x1 x2 x3 x4 từ ta tính đợc giá trị biểu thức x1.x2 x3 x4 10 Ví dụ 10: Cho phơng trình x ( m 1) x = Gọi x1; x2 hai nghiệm phơng trình Hãy tìm m để x1 + x2 = Giải: +) Xét phơng trình x ( m 1) x = ( *) Vì a.c =1 ( -4 ) = < ( m R ) phơng trình ( *) có nghiệm phân biệt x1 x2 với giá trị m x1 + x2 = 2m x1.x2 = +) áp dụng hệ thức Vi et cho phơng trình ( *) ta có +) Để phơng trình ( *) có nghiệm thỏa mãn điều kiện x1 + x2 = (x ) + x2 2 = 52 x1 + x1 x2 + x2 = 25 x12 + x1 x2 + x2 = 25 mà x1.x2 = < x1.x2 = x1.x2 x12 x1 x2 + x2 = 25 (x ( x1 + x2 ) x1 x2 = 25 ( 2m ) ( ) = 25 2m 8m = ( **) + x1 x2 + x2 ) x1 x2 = 25 Giải phơng trình ( **) ta đợc m1 = + 26 ; m2 = 26 2 Vậy với m = + 26 m = 26 phơng trình ( *) có nghiệm thỏa mãn điều kiện 2 x1 + x2 = Chú ý: Trong tập ta vận dụng công thức A = B A2 = B với ( A; B ) ; A B = AB ; A = A2 để biến đổi kết hợp vận dụng hệ thức Vi et ta tìm đ ợc giá trị m thỏa mãn điều kiện toán 17 Phơng pháp chung: Nh toán tìm điều kiện tham số để thỏa mãn điều kiện nghiệm đối xứng liên hệ với theo hệ thức cần làm nh sau: +) Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm ( ) (hoặc a.c < 0) +) áp dụng hệ thức Vi ét để tính tổng tích nghiệm +) Kết hợp với điều kiện ( hệ thức) giải hệ phơng trình gồm điều kiện với tổng tích nghiệm tìm đợc tham số thỏa mãn điều kiện toán +) So sánh với điều kiện có nghiệm để (trả lời) kêt luận toán Bài tập áp dụng: Bài 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol y = x (P) đờng thẳng (d) có phơng trình: y = ( a - 1) x + - 2a ; (a tham số) Với a = tìm toạ độ giao điểm đờng thẳng (d) (P) Chứng minh với a đờng thẳng (d) cắt (P) điểm phân biệt Gọi hoành độ giao điểm đờng thẳng (d) (P) x1, x2 Tìm a để x12 + x 22 = Bài 2: Cho phơng trình x x + = gọi x1 ; x2 hai nghiệm phơng trình Không giải phơng trình tính giá trị biểu thức sau: 1) x12 + x22 2) x1 x1 + x2 x2 ( ) ( Bài 3: Cho phơng trình x 3 + x x12 + x22 + x1 x2 ( x1 + x2 ) 3) ) x12 ( x12 1) + x22 ( x22 1) ( 1) +1 = Gọi x1 ; x2 nghiệm phơng trình ( 1) Tính giá trị biểu thức: ( ) S = x12009 + x22009 3 + ( x12008 + x22008 ) ( ) ( x12007 + x22007 ) Bài 4: Cho phơng trình x 2mx + 2m = 1) Chứng minh phơng trình luôn có nghiệm với giá trị m 2) Tìm điều kiện m để phơng trình có nghiệm trái dấu Bài 5: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho Parabol (P) có phơng trình: y = 2x2, đờng thẳng (d) có hệ số góc m qua điểm I ( 0; ) 1) Viết phơng trình đờng thẳng (d) 2) CMR: (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A B 3) Gọi hoành độ giao điểm A B xA, xB CMR: x A - x B 2 Bài 6: Cho hàm số: y = x (P) y = 3x + m (d) 1) Chứng minh với giá trị m (d) cắt (P) điểm phân biệt 2) Gọi y1 y2 tung độ giao điểm đờng thẳng (d) (P) Tìm m để y1 +y = 11y1 y2 Bài 7: Cho parabol (P): y = x đờng thẳng (d): y = mx - m + (m tham số) Tìm m để đờng thẳng (d) (P) qua điểm có hoành độ x = CMR đờng thẳng (d) cắt (P) điểm phân biệt với m R Giả sử (x1;y1) (x2;y2) toạ độ giao điểm (d) (P) CMR: y1 + y 2 ( x1 + x ) Bài 8: Trên mặt phẳng tọa độ (hình vẽ), có điểm A thuộc đồ thị (P) hàm số y = ax điểm B không thuộc (P) a) Tìm hệ số a vẽ (P) b) Viết phơng trình đờng thẳng qua điểm A B Xác định tọa độ giao điểm thứ hai (P) đờng thẳng AB Bài Cho phơng trình ( 2m 1) x + 2mx + = ( a) Xác định m để phơng trình có nghiệm thuộc khoảng ( 1;0 ) b) Xác định m để nghiệm x1; x2 thỏa mãn: x x = 1 18 ) 10 Bài 10 Cho phơng trình: ( x + x ) ( x + x - ) = m 1) Giải phơng trình m = 2) Tìm m để phơng trình có nghiệm x1 ; x2; x3 ; x4 thỏa mãn 1 1 + + + =8 x1 x2 x3 x4 V Dạng V ứng dụng hệ thức Vi ét vào việc lập phơng trình bậc hai có chứa hai biểu thức nghiệm phơng trình Ví dụ 1: Lập phơng trình bậc có nghiệm là: a, c, + b, + Hớng dẫn cách giải: - Muốn tìm hai số biết tổng tích làm ntn? (Nếu hai số u v có tổng u + v = S tích u.v = P hai số u v hai nghiệm phơng trình bậc hai: x - Sx + P = ; Đ/K S P ) Giải: 1 a, Ta có S = + = P = ì = 2 2 Do phơng trình cần lập x x + = hay x x + = 2 Vậy phơng trình cần tìm x x + = b, Ta có S = + + = P = + = = ( ) ( ) ( )( ) Do ta có phơng trình x x = Vậy phơng trình cần tìm x x = c, Ta có S = + + = + + = 2 ( )( ) ( ) 32 3+ 3+ P = = ữ ữ ữ ữ= 4 Do ta có phơng trình bậc hai: x x + = Vậy phơng trình cần tìm là: x x + = = 95 =1 Nhận xét: Để lập đợc phơng trình bậc hai có nghiệm nhận số cho trớc nghiệm ta vận dụng hệ thức Vi et đảo (tìm hai số biết tổng tích chúng) ta làm nh sau: - Bớc 1: Tính tổng tích hai số - Bớc 2: áp dụng hệ thức Vi et đảo để tìm phơng trình cần lập Ví dụ 2: Cho phơng trình x x + = x1 ; x2 hai nghiệm phơng trình 1) Không giải phơng trình tính giá trị biểu thức sau: a) x1 + x2 ; x1.x2 b) x13 + x23 2) Xác định phơng trình bậc hai nhận x12 x2 x22 x1 nghiệm Giải: 1) Xét phơng trình x x + = Ta có: = ( ) 4.2.4 = 49 32 = 17 > Phơng trình có nghiệm phân biệt x1 ; x2 x1 + x2 = áp dụng đinh lí Vi ét ta có: x1.x2 = b) Ta có: x13 + x23 = ( x13 + 3x12 x1 + x1 x22 + x23 ) ( 3x12 x1 + 3x1 x22 ) = 19 (x + x2 ) x1 x2 ( x1 + x2 ) 3 = 343 42 = 343 168 = 175 = ữ 3.2 ữ 8 2 175 Vậy x13 + x23 = 2) Đặt u = x12 x2 v = x22 x1 Ta có: u + v = ( x12 x2 ) + ( x22 x1 ) = x12 + x22 - ( x1 + x2 ) = ( x1 + x2 ) x1 x2 - ( x1 + x2 ) 49 49 16 + 14 47 = ữ 2.2 + = 4+ = = 4 2 u+v = 47 Mà: u v = ( x12 x2 ) ( x22 x1 ) = x12 x22 - ( x13 + x23 ) - x1.x2 = ( x1 x2 ) - ( x13 + x23 ) - x1.x2 175 175 16 175 159 159 - = u.v = = = 8 8 47 159 Vì số u v có tổng u + v = tích u = 47 159 Nên u ; v nghiệm phơng trình bậc hai: X X =0 47 159 Vậy phơng trình cần tìm là: X X =0 Ví dụ 3: Cho phơng trình x x + = gọi x1 ; x2 hai nghiệm phơng trình Xác định phơng trình bậc hai nhận x1 x2 x2 x1 nghiệm = 22 - Giải: - Xét phơng trình x x + = - Ta có: = ( ) 4.2.6 = 81 48 = 33 > Phơng trình có nghiệm phân biệt x1 ; x2 x1 + x2 = áp dụng đinh lí Vi ét ta có: x1.x2 = Đặt u = x1 x2 v = x2 x1 - Ta có: u + v = ( x1 3x2 ) + ( x2 3x1 ) = x1 3x2 + x2 x1 = - ( x1 + x2 ) = 9 u+v = 2 - Mà: u.v = ( x1 3x2 ) ( x2 3x1 ) = x1 x2 - ( x12 + x22 ) - x1.x2 = x1.x2 ( x1 + x2 ) = 7.3 ữ = 21 81 = 84 81 = 4 Vì số u v có tổng u + v = u.v = tích u v = Nên u; v nghiệm phơng trình bậc hai: Vậy phơng trình cần tìm là: X2 X2 X =0 X =0 4 Ví dụ 4: Gọi y1 y2 hai nghiệm phơng trình: y + 5y +1 = Tìm a; b cho phơng trình x + ax + b = có hai nghiệm là: x1 = y12 + 3y x = y 2 + 3y1 Giải: - Xét phơng trình y + 5y +1 = Ta có: = 52 4.1.1 = 25 = 21 > Phơng trình có nghiệm phân biệt y1 ; y2 y1 + y2 = Đặt x1 = y12 +3y x = y 2 + 3y1 y1 y2 = - áp dụng đinh lí Vi ét ta có: 20 - Ta có: x1 + x = ( y12 + 3y ) + ( y 22 + 3y1 ) = ( y12 + y 2 ) + ( 3y1 + 3y ) = ( y1 + y ) 2y1 y + ( y1 + y ) = ( ) 2.1 + ( ) = 2 x1 + x = Mà: x1.x = ( y12 + 3y ) ( y 2 + 3y1 ) = ( y1y ) + ( y13 + y32 ) + 9y1y 2 = ( y1 y ) + ( y1 +y ) 9y1 y ( y1 +y ) + 9y1 y 2 =12 + ( -5 ) 9.1( -5 ) + 9.1=1-125 + 45 + = 70 x1.x = 70 Vì số x1 ; x2 có tổng x1 + x = tích x1.x = 70 Nên x1 ; x2 nghiệm phơng trình bậc hai: X X 70 = Vậy phơng trình cần tìm là: X X 70 = Ví dụ 5: a) Lập phơng trình bậc hai có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn: x1 x a2 + = x1 x2 a x1 x = 3+ b) Lập phơng trình bậc hai có hệ số nguyên có nghiệm : Hớng dẫn cách giải: - Đối với phần a ta biết đợc tích hai số x1 x = nên ta cần tính x1 + x = ? - ta có lời giải nh sau Giải: x1 x a + = x1 x2 a a) Ta có: x1 x a2 + = x1 x2 a Từ hớng dẫn cho học sinh tìm tổng x1 + x = ? từ biểu thức ( 1) x1 ( x2 1) + x2 ( x1 1) a = a ( x1 1) ( x2 1) x1 x2 ( x1 + x2 ) a2 x1 x2 x1 + x1 x2 x2 a = = x1 x2 ( x1 + x2 ) + a x1 x2 x1 x2 + a ( x1 + x2 ) a = ( x1 + x2 ) a ( x1 + x2 ) a2 = ( x1 + x2 ) + a ( x1 + x2 ) ( a ) = ( x1 + x2 ) ( a ) ( x1 + x2 ) = 3a + x1 + x2 = a + Điều kiện: S P ( a + 1) a a a Vậy nghiệm phơng trình: X ( a + 1) X + = với a a Nhận xét: Để lập đợc phơng trình bậc hai biết tích hai ẩn hệ thức ( 1) ta cần tìm tổng hai ẩn để áp dụng định lí Vi et b) Phơng trình bậc hai cần tìm có dạng tổng quát x + px + q = ( ) với Ta có: = 3+ ( ( 3+ )( ) ( p; q Z ) = 15 ) ( 3) ( 5) = ( 15 = + 15 ) ( ) Vì phơng trình ( ) có nghiệm : + 15 ta có: + 15 + p + 15 + q = 31 15 + p 15 p + q = ( 31 p + q ) ( p ) 15 = 31 p + q 31 p + q Z (vô lí) Vì 15 R ; p p +) Nếu p = tức p = q = +) Nếu p 15 = 21 Cho nên phơng trình cần tìm là: x + x + = Nhận xét: Khi lập phơng trình bậc hai biết trớc nghiệm hệ số số nguyên Ta cần thay nghiệm phơng trình vào phơng trình ban đầu xét hệ số nguyên Phơng pháp chung: +) Muốn lập phơng trình bậc hai có nghiệm hai số cho trớc ta làm nh sau: - Bớc 1: Tính tổng tích hai số - Bớc 2: áp dụng hệ thức Vi et đảo để tìm phơng trình cần lập ta tính tổng tích chúng áp dụng hệ thức Vi ét đảo để xác định phơng trình cần lập +) Trong trờng hợp phơng trình bậc hai cần lập biết trớc nghiệm hệ số số nguyên ta thay nghiệm vào phơng trình ban đầu tìm hệ số Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho phơng trình x x = gọi x1 ; x2 hai nghiệm phơng trình 1) Không giải phơng trình tính giá trị biểu thức sau: a) x1 + x2 ; x1.x2 b) x12 + x22 x1 x2 2) Xác định phơng trình bậc hai nhận x12 x22 nghiệm Bài 1) Lập phơng trình bậc hai với hệ số nguyên có nghiệm là: x1 = 4 3+ 2) Tính: P = + 3+ Bài Cho phơng trình: mx + ( m - ) x + m - = (1) a) Tìm m để (1) có hai nghiệm trái dấu ; b) Xác định m để (1) có hai nghiệm trái dấu cho nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn 3 c) Lập phơng trình bậc hai nhận nghiệm VI Dạng VI: ứng dụng hệ thức Vi ét vào việc xét mối quan hệ nghiệm phơng trình bậc hai b c Phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = có = b 4ac ; S = ; P = a a + hai nghiệm trái dấu P < ( ac < 0) a > + hai nghiệm dơng S > P > a > + hai nghiệm âm S < P > P < S < + hai nghiệm trái dấu nhng nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn nghiệm dơng P < S > + hai nghiệm trái dấu nhng nghiệm âm có giá trị tuyệt đối nhỏ nghiệm dơng Ví dụ 1: Cho phơng trình ax + bx + c = có nghiệm dơng x1 , x2 CMR: phơng trình cx + bx + a = có hai nghiệm dơng, gọi nghiệm x3 , x4 CMR: x1 + x2 + x3 + x4 Hớng dẫn giải: 22 - Để chứng minh phơng trình cx + bx + a = có nghiệm dơng ta cần chứng minh điều gì? b c ( = b 4ac ; x3 + x4 = > ; x3 x4 = a >0) c Giải Vì phơng trình ax + bx + c = có nghiệm dơng x1 , x2 nên = b 4ac b a.b < ( 1) từ ( 1) ( ) b c trái dấu, a c dấu x1 + x2 = > a c a.c > ( ) x1.x2 = a > = b 4ac a x3 x4 = > b c x3 + x4 = > a Nh nghiệm x3 , x4 phơng trình cx + bx + a = dơng Bất đẳng thức Cô si: Với hai số không âm A B ta có: ( A+ B ) (dấu xảy A = B) A + B AB áp dụng cho số dơng x1 , x2 x3 , x4 nghiệm phơng trình ax + bx + c = cx + bx + a = c a + ữ ữ ì a c ta có: x1 + x2 + x3 + x4 = ( x1 + x2 ) + ( x3 + x4 ) ì x1 x2 + ì x3 x4 = Vậy x1 + x2 + x3 + x4 (đpcm) c a =4 a c Nhận xét: - Qua ví dụ vận dụng điều kiện để phơng trình bậc hai có nghiệm phân biệt dơng ( ; x1 + x2 > ; x1.x2 > ) - áp dụng hệ thức Vi et cho phơng trình bậc hai đồng thời vận dụng linh hoạt Bất đẳng thức Cô si cho hai số dơng ta chứng minh đợc x1 + x2 + x3 + x4 Ví dụ 2: Tìm m để phơng trình x + 2x + m = ( 1) x + 3x - 2m = ( 2) có nghiệm phân biệt nghiệm phơng trình xen kẽ Hớng dẫn giải: - Phơng trình x + 2x + m = x - 2x - 2m = có nghiệm phân biệt nào? ( ' ) - Khi hai nghiệm phơng trình xen kẽ nhau? Giải Gọi vế trái phơng trình ( 1) ( ) f ( x ) g ( x ) f ( x ) có nghiệm phân biệt x1 < x2 ' m > m < g ( x ) có nghiệm phân biệt x3 , x4 xen kẽ nghiệm x1 , x2 g ( x ) có nghiệm thuộc ( x1; x2 ) có nghiệm [ x1; x2 ] g ( x1 ) g ( x2 ) < ( x12 + 3x1 - 2m ) ( x 2 + 3x - 2m ) < ( *) x12 = -2x1 - m x = -2x - m Do f ( x ) có nghiệm phân biệt x1 ; x2 nên ( **) x +x = x x = m 23 Thay ( **) vào ( *) ta đợc ( x1 - 3m ) ( x - 3m ) < x1x - 3m ( x1 + x ) + 9m < m- 3m ( -2m ) + 9m < 9m +7m< < m phơng trình có nghiệm phân biệt x1 = + 41 ; x2 = 41 24 2) Xét phơng trình x ( 2m 3) x + m = Ta có: = ( 2m 3) 4.1.m = 4m 16m + Để phơng trình có nghiệm ; 4m 16m + ( *) + = 2m áp dụng hệ thức Vi ét cho phơng trình x ( 2m 3) x + m = ta có = m Khi + = ( + ) = ( 2m 3) 2.m = 4m 14m + 2 2 7 13 13 = 4m 2.2m + ữ + ữ = 2m m R ( ) 2m 4 13 7 Vậy tổng + đạt giá trị nhỏ 2m = m = 4 Ví dụ 2: Cho số a = b = + Chứng tỏ A = a + b3 số nguyên 2 Cách 1: Thay a = Giải 3+ b = vào biểu thức A = a + b3 2 3 3+ Ta có: A = ữ ữ + ữ ữ 2 + + + = + ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ+ ữ ữ 2 14 14 + = + = 3.6 = 18 Z 4 Vậy A số nguyên Cách 2: Ta có a + b = 3+ + = 2 3+ a.b = ữ ữ ữ ữ= Mà a + b3 = (a + b)3 3ab(a + b) a + b3 = 33 3.1.3 = 27 = 18 Z Vậy A số nguyên Nhận xét: - Đối với phần a) ta sử dụng đẳng thức A3 + B3 ( A + B ) cách hợp lí ta tính đợc giá trị biểu thức A = a + b3 từ suy điều phải chứng minh Ví dụ 3: Cho Parabol y = x điểm M ( -1; ) 1) Chứng minh phơng trình đờng thẳng qua M có hệ số góc k cắt Parabol điểm phân biệt A B với giá trị k 2) Gọi xA , xB hoành độ giao điểm A B Xác định k để xA2 + xB + x A xB ( xA + xB ) đạt giá trị lớn Tìm giá trị Giải 1) Giả sử phơng trình đờng thẳng qua M có hệ số góc k có dạng y = kx + b Vì đờng thẳng y = kx + b qua điểm M ( -1; ) nên ta có: = k ( 1) + b b = k + Khi phơng trình đờng thẳng là: y = kx + k + 25 Tọa độ giao điểm đờng thẳng y = kx + k + với Parabol y = x nghiệm hệ phơng trình y = x2 y = x y = kx + k + x = kx + k + 2 y = x x 2kx 2k = ( *) Xét phơng trình x 2kx 2k = ( *) Ta có: ' = ( k ) ( 2k ) = ( k + 1) + > ( k R ) Vậy phơng trình có nghiệm phân biệt với giá trị k Hay đờng thẳng y = kx + k + cắt Parabol y = x điểm phân biệt với ( k R ) 2) Vì hoành độ giao điểm đồ thị hai hàm số xA , xB nên xA , xB nghiệm phơng trình x 2kx 2k = ( *) x A + xB = k x A x B = k - áp dụng hệ thức Viet cho phơng trình x 2kx 2k = ta có: Đặt A = x A2 + xB + x A xB ( x A + xB ) = ( x A + xB ) x A xB + x A xB ( x A + xB ) = ( 2k ) ( 2k ) + ( 2k ) 2k = 4k + 4k + 8k 8k = 4k 4k + = ( 4k + 4k + 1) = ( 2k + 1) ( k R ) Vậy A đạt giá trị lớn bẳng 2k + 1= k = ( 2k + 1) ( k R ) Ví dụ 4: Cho Parabol (P) y = x đờng thẳng (D) qua điểm A B nằm P có hoành độ lần lợt -2 Tìm điểm M cung AB (P) tơng ứng hoành độ x [ 2; 4] cho tam giác MAB có diện tích lớn ? (50 đề thi vào THPT) Giải Vì điểm A B nằm P có hoành độ lần lợt -2 nên ta có 1 ( ) = ( xA ; y A ) = ( 2;1) ; xB = yB = 42 = ( xB ; yB ) = ( 4; ) 4 Giả sử phơng trình đờng thẳng qua A ( 2;1) B ( 4; ) có dạng y = ax + b nên ta có hệ phơng x A = y A = = a ( ) + b 2a + b = a = trình = a.4 + b 4a + b = b = Khi phơng trình đờng thẳng (D) y = x + 2 - Tam giác MAB có đáy AB không đổi nên diện tích tam giác MAB lớn độ dài đờng cao MH lớn Gọi (D) đờng thẳng song song với AB có dạng y = x + k tiếp xúc với (P) 2 x phơng trình hoành độ có nghiệm kép x = x + k có nghiệm kép 4 x x 4k = ( *) có nghiệm kép 1 Khi ( 1) ( 4k ) = k = phơng trình đờng thẳng (D) y = x 4 y= 26 1 vào ( *) x x + = x1 = x2 = yM = 12 = M 1; ữ 4 Vậy vói M 1; ữ thuộc (P) tam giác MAB có diện tích lớn Thay k = Mọi điểm M M (M tiếp điểm) cung AB ( P ) nằm đờng thẳng song song AB (D) khoảng cách từ M đến đờng thẳng AB nhỏ khoảng cách đờng thẳng Vậy tam giác MAB có diện tích lớn M tiếp điểm tiếp tuyến (D) song song với AB tiếp xúc với (P), Điểm M cần tìm có tọa độ M 1; ữ * Phơng pháp chung: - Muốn tìm cực trị biểu thức M ta viết biểu thức M dới dạng tổng biểu thức mà ta xét dấu cách thuận lợi (chẳng hạn tổng bình phơng hiệu bình phơng) từ ta áp dụng tính chất bất đẳng thức - Nếu biểu thức A tìm đợc tam thức bậc hai để tìm đợc GTLN; GTNN ta thờng biến đổi biểu thức A dạng +) A = M - k.f2(x) M (M giá trị lớn nhất) ( M; k số, f(x) nhị thức bậc nhất) +) A = k.f2(x) + m m (m giá trị nhỏ nhất) ( m; k số, f(x) nhị thức bậc ) * Bài tập áp dụng: Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho đồ thị (P) hàm số y = - x đờng thẳng (d) qua điểm A (-1; -2) có hệ số góc k Chứng minh với giá trị k đờng thẳng (d) cắt đồ thị (P) điểm A, B Tìm k cho A, B nằm hai phía trục tung Gọi (x1; y1) (x2; y2) toạ độ điểm A, B nói tìm k cho tổng S = x1 + y1 + x + y đạt giá trị lớn Bài 2: Cho phơng trình: x ( 2a 1) x + 2a = 1) Tìm a để phơng trình có nghiệm Tìm nghiệm lại 2) Gọi x1 ; x2 nghiệm phơng trình Tìm a để phơng trình có tổng bình phơng nghiệm đạt giá trị nhỏ Bài 3: Cho Parabol y = x đờng thẳng (d) có phơng trình y = 2mx - m + a Tìm hoành độ điểm thuộc Parabol biết tung độ chúng b Chứng minh Parabol đờng thẳng (d) cắt điểm phân biệt Tìm toạ độ giao điểm chúng Với giá trị m tổng tung độ chúng đạt giá trị nhỏ nhất? VIII Dạng VIII: ứng dụng hệ thức Vi et vào việc tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc vào tham số - Xét toán nghiệm phuơng trình chứa tham số Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc vào tham số Muốn giải toán trớc hết ta phải đặt điều kiện để phơng trình cho có nghiệm, sau áp dụng hệ thức Vi - et để tính tổng tích nghiệm phơng trình (S P) +) Nếu tổng tích không chứa tham số ta có hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc vào tham số 27 +) Nếu tổng tích có chứa tham số khử tham số từ S P Từ tính đợc hệ thc phải tìm (Lu ý: Phép khử thờng phép phép cộng đại số) Ví dụ 1: Cho phơng trình: x - ( m + 1) x + m - = (1) a) CMR: Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt b) CMR: Giá trị biểu thức A = x1 ( - x ) + x ( - x1 ) không phụ thuộc vào m Giải a) Xét phơng trình: x - ( m + 1) x + m - = ( 1) 19 ' = ( m + 1) ( m ) = m + m + = m + ữ + > Ta có: ( m R ) Vậy phơng trình có nghiệm phân biệt với giá trị m b) - áp dụng hệ thức Vi et cho phơng trình x - ( m + 1) x + m - = ( 1) x1 + x2 = 2m + x1.x2 = m ta có: Khi A = x1 ( - x ) + x ( - x1 ) = x1 x1x + x x1x = ( x1 + x ) 2x1x = ( 2m + ) ( m ) = 10 ( m R ) Vậy giá trị biểu thức A không phụ thuộc vào m Ví dụ 2: Cho phơng trình: x - ( 2m - 1) x + m - m - = (1) a) CMR: Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt b) Gọi x1 ; x2 nghiệm phơng trình Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc vào m Giải 2 a) Xét phơng trình: x - ( 2m - 1) x + m - m - = ( *) Ta có: ' = ( 2m - 1) 4.1 ( m m 1) = 4m 4m + 4m + 4m + = > ( m R ) Vậy phơng trình có nghiệm phân biệt với giá trị m b) * Cách 1: - áp dụng hệ thức Vi et cho phơng trình x - ( 2m - 1) x + m - m - = ( x1 + x2 ) = 4m 4m + x1 + x2 = 2m ta có: 2 x x = m m x1.x2 = 4m 4m Khi ( x1 + x2 ) x1.x2 = hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc vào m * Cách 2: x1 + x2 = 2m - áp dụng hệ thức Vi et cho phơng trình ( *) ta có: x1.x2 = m m Từ ( 1) m = ( 1) ( 2) x1 + x2 + Thay m vào ( ) ta đợc: x1.x2 = x1 + x2 + ữ x1 + x2 + 2 ( x1 + x2 ) x1.x2 = Khi ( x1 + x2 ) x1.x2 = hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc vào m Kết luận: Muốn chứng minh biểu thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc vào tham số ta áp dụng hệ thức Vi et để tính tổng tích nghiệm thay vào biểu thức cần chứng minh rút gọn kết luận Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho phơng trình: x - ( m - 1) x + m + m + = (1) 1) Với giá trị m phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt? 2) Gọi x1 ; x2 nghiệm phơng trình Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc vào m 28 Bài 2: Cho phơng trình: x - ( m - 1) x + m - = (1) 1) Với giá trị m phơng trình (1) có nghiệm kép 2) Gọi x1 ; x2 nghiệm phơng trình Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc vào m Qua tiến hành kiểm tra viết lớp 9A (tôi vận dụng SKKN) lớp 9D (không áp dụng) thu đợc kết nh sau: Kết thực nghiệm: Lớp sĩ số Giỏi Khá Trung bình Yếu 9A 33 21,2% 12 36.4% 10 30.3% 12.1% 9D 36 13.9% 15 41.7% 22.2% 22.2 % Bài học kinh nghiệm : Qua trình giảng dạy: Những ứng dụng hệ thức Vi et Nhìn chung em có kĩ vận dụng tơng đối thành thạo kiến thức bất đẳng thức học vào giải số tập tơng tự nâng cao nh ứng dụng thực tế tạo nên hứng thú học tập cho học sinh Đối với dạng tập giáo viên cần phải có lời giải mẫu với phân tích để em hiểu nắm bắt vận dụng đợc phơng pháp làm Từ tập cụ thể giáo viên cần phải khai thác cách giải nh mở rộng kiến thức (khái quát hoá) Khi xây dựng đề tài giáo viên phải chọn lọc xếp phân loại tập theo trình tự lôgíc từ dễ đến khó từ đơn giản đến phức tạp, Giáo viên cần khái quát cách giải dạng tập vận dụng linh hoạt phơng pháp dạy học nh hình thức tổ chức dạy học phù hợp cho hiệu Phần III: Kết luận kiến nghị 1) Kết luận: Sau thời gian nghiên cứu kết hợp với kinh nghiệm giảng dạy nh công tác bồi dỡng học sinh giỏi, ôn thi vào THPT với giúp đỡ bạn bè đồng nghiệp hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm : Những ứng dụng hệ thức Vi et Tôi thấy đa số em tự giác, tích cực học tập vận dụng tơng đối linh hoạt ứng dụng hệ thức Vi - et vào giải tập có liên quan; tập t ơng tự nâng cao nh ứng dụng thực tế toán học sống Tuy nhiên trình thực đề tài không tránh khỏi thiếu sót kính mong đợc góp ý xây dựng đồng nghiệp để đề tài ngày phong phú đầy đủ tạo đợc hứng thú học tập học sinh phát huy đợc tính tích cực chủ động em trình học tập Từ giúp em thêm yêu thích môn Toán Đối với giáo viên cần đầu t thời gian, với tìm tòi lựa chọn xây dựng hệ thống toán, phân dạng tập, xây dựng cách giải tổng quát trình giảng dạy rèn luyện đ ợc kĩ vận dụng, trình bày lời giải, t sáng tạo học sinh qua giúp em tự tin, phấn khởi trình học tập 2) Kiến nghị: Đối với nhà trờng : 29 - Cần tạo điều kiện thuận lợi để giúp giáp viên giảng dạy tốt - Trang bị thêm đồ dùng dạy học, sách tham khảo để phục vụ tốt công tác trờng Đối với ngành : - Mở buổi hội thảo chuyên đề môn Toán để nâng cao trình độ chuyên môn học hỏi kinh nghiệm đồng nghiệp Tuy nhiên đề tài tránh khỏi sai xót mong thầy cô bạn bè đồng nghiệp, cấp góp ý xây dựng để đề tài đợc hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! 30 [...] ... + 1 Thay m vào ( 2 ) ta đợc: x1.x2 = x1 + x2 + 1 ữ x1 + x2 + 1 1 2 2 2 2 ( x1 + x2 ) 4 x1.x2 = 5 Khi đó ( x1 + x2 ) 2 4 x1.x2 = 5 là hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m Kết luận: Muốn chứng minh biểu thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số ta áp dụng hệ thức Vi et để tính tổng và tích các nghiệm rồi thay vào biểu thức cần chứng minh và rút gọn và kết luận ... không phụ thuộc vào tham số Muốn giải bài toán này trớc hết ta phải đặt điều kiện để phơng trình đã cho có nghiệm, sau đó áp dụng hệ thức Vi - et để tính tổng và tích các nghiệm của phơng trình (S và P) +) Nếu tổng và tích không chứa tham số thì ta có ngay hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm không phụ thuộc vào tham số 27 +) Nếu tổng và tích có chứa tham số thì khử tham số từ S và P Từ đó tính đợc hệ thc phải ... chúng b Chứng minh rằng Parabol và đờng thẳng (d) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt Tìm toạ độ giao điểm của chúng Với giá trị nào của m thì tổng các tung độ của chúng đạt giá trị nhỏ nhất? VIII Dạng VIII: ứng dụng của hệ thức Vi et vào việc tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số - Xét các bài toán đối với các nghiệm của một phuơng trình chứa tham số Tìm hệ thức liên hệ giữa ... bồi dỡng học sinh giỏi, ôn thi vào THPT cùng với sự giúp đỡ của bạn bè đồng nghiệp tôi đã hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm : Những ứng dụng của hệ thức Vi et Tôi thấy rằng đa số các em đều tự giác, tích cực trong học tập vận dụng tơng đối linh hoạt những ứng dụng của hệ thức Vi - et vào giải các bài tập có liên quan; các bài tập t ơng tự và nâng cao cũng nh các ứng dụng thực tế của toán học trong ... khi biết trớc một nghiệm và các hệ số là số nguyên Ta cần thay nghiệm của phơng trình vào phơng trình ban đầu và xét các hệ số nguyên đó Phơng pháp chung: +) Muốn lập phơng trình bậc hai có nghiệm là hai số cho trớc ta làm nh sau: - Bớc 1: Tính tổng và tích của hai số đó - Bớc 2: áp dụng hệ thức Vi et đảo để tìm phơng trình cần lập ta tính tổng và tích của chúng rồi áp dụng hệ thức Vi ét đảo để xác ... phơng trình Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m Qua tiến hành kiểm tra viết đối với lớp 9A (tôi đã vận dụng SKKN) và lớp 9D (không áp dụng) tôi thu đợc kết quả nh sau: Kết quả thực nghiệm: Lớp sĩ số Giỏi Khá Trung bình Yếu 9A 33 7 21,2% 12 36.4% 10 30.3% 4 12.1% 9D 36 5 13.9% 15 41.7% 8 22.2% 8 22.2 % Bài học kinh nghiệm : Qua quá trình giảng dạy: Những ứng dụng của hệ thức Vi et ... hệ thức Vi et Nhìn chung các em đều có kĩ năng vận dụng tơng đối thành thạo các kiến thức các bất đẳng thức đã học vào giải quyết một số bài tập tơng tự và nâng cao cũng nh các ứng dụng thực tế đã tạo nên hứng thú học tập cho học sinh Đối với mỗi dạng bài tập giáo viên cần phải có lời giải mẫu cùng với sự phân tích để các em hiểu và nắm bắt và vận dụng đợc phơng pháp làm bài Từ một bài tập cụ thể giáo ... phân biệt với mọi giá trị của m b) * Cách 1: - áp dụng hệ thức Vi et cho phơng trình x 2 - ( 2m - 1) x + m 2 - m - 1 = 0 2 ( x1 + x2 ) 2 = 4m 2 4m + 1 x1 + x2 = 2m 1 ta có: 2 2 x x = m m 1 1 2 4 x1.x2 = 4m 4m 4 Khi đó ( x1 + x2 ) 2 4 x1.x2 = 5 là hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m * Cách 2: x1 + x2 = 2m 1 - áp dụng hệ thức Vi et cho phơng trình ( *) ta có: 2 x1.x 2... ý: Trong bài tập trên ta đã vận dụng công thức A = B A2 = B 2 với ( A; B 0 ) ; 2 A B = AB ; A = A2 để biến đổi và kết hợp vận dụng hệ thức Vi et thì ta có thể tìm đ ợc các giá trị của m thỏa mãn điều kiện bài toán 17 Phơng pháp chung: Nh vậy trong bài toán tìm điều kiện của tham số để thỏa mãn điều kiện của các nghiệm đối xứng hoặc liên hệ với nhau theo một hệ thức nào đó chúng ta cần làm nh sau :... nghiệm 3 Bài 3: Chứng minh rằng: ( a1c2 a 2 c1 ) 2 = ( a1b2 a 2b1 ) ( b1c2 b2 c1 ) 5 Bài 5: Gọi a và b là 2 nghiệm của phơng trình x 2 + px + 1 = 0 c và d là 2 nghiệm của phơng trình x 2 + qx + 1 = 0 Chứng minh hệ thức ( a c) ( a d ) ( b c) ( b d ) = ( p q) 2 VII Dạng VII: ứng dụng hệ thức Vi et vào bài toán cực trị đơn giản 1 Ví dụ 1: Cho phơng trình: x 2 ( 2m 3) x + m = 0 1) Giải phơng trình ... hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc vào m Kết luận: Muốn chứng minh biểu thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc vào tham số ta áp dụng hệ thức Vi et để tính tổng tích nghiệm thay vào biểu thức. .. giảng dạy: Những ứng dụng hệ thức Vi et Nhìn chung em có kĩ vận dụng tơng đối thành thạo kiến thức bất đẳng thức học vào giải số tập tơng tự nâng cao nh ứng dụng thực tế tạo nên hứng thú học tập ... trình bậc hai ẩn giải III Dạng III: ứng dụng hệ thức Vi et vào việc giải hệ phơng trình đối xứng Khái niệm hệ phơng trình đối xứng: Một phơng trình ẩn gọi đối xứng ta thay x y y x phơng trình không