SKKN Ứng dụng hệ thức Viét và ..

Nội dung kiến thức toán học đợc trang bị cho học sinhTHCS ngoài việc dạy lí thuyết còn phải chú trọng tới việc dạy học sinh phơng pháp giải một số bàitoán, nhng để nắm vững cách giải 1 d

Dạy học toán là dạy cho học sinh phơng pháp học toán và giải toán để vận dụng kiến thức

đã học vào giải toán thực tế cuộc sống Nội dung kiến thức toán học đợc trang bị cho học sinhTHCS ngoài việc dạy lí thuyết còn phải chú trọng tới việc dạy học sinh phơng pháp giải một số bàitoán, nhng để nắm vững cách giải 1 dạng toán nào đó đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng kiếnthức đã học một cách linh hoạt, sáng tạo, tính cẩn thận, kết hợp với sự khéo léo và kinh nghiệm đãtích luỹ đợc để giải quyết các bài tập có liên quan Thông qua việc giải bài tập các em đợc rènluyện kĩ năng vận dụng kiến thức đã học vào giải bài tập, kĩ năng trình bày, kĩ năng sử dụng máytính bỏ túi, đồ dùng dạy học Do đó nâng cao năng lực t duy, óc tởng tợng, sáng tạo, rèn khả năngphán đoán, suy luận của học sinh

b) Cơ sở thực tiễn:

Các bài toán ứng dụng hệ thức Vi – ét có một vị trí quan trọng trong chơng trình dạy họctoán THCS Học sinh vận dụng những ứng dụng của hệ thức Vi - ét nh: Nhẩm nghiệm của phơngtrình bậc hai trong các trờng hợp a + b + c = 0;a - b + c = 0, hoặc các trờng hợp mà tổng và tích củahai nghiệm là những số nguyên với giá trị tuyệt đối không quá lớn Tìm đợc hai số biết tổng vàtích của chúng Biết cách biểu diễn tổng các bình phơng, các lập phơng của hai nghiệm qua các hệ

số của phơng trình còn lúng túng, khó khăn trong quá trình vận dụng vào giải các bài toán có liênquan

Các bài toán về những ứng dụng hệ thức Vi - et rất phơng phú đa dạng, nó đòi hỏi phải vậndụng nhiều kiến thức, cách linh hoạt, sáng tạo, độc đáo; yêu cầu học sinh phải có óc quan sát nhạybén, giúp học sinh phát triển t duy

Những ứng dụng của hệ thức Vi – ét đối với học sinh THCS là khó và mới các em thờnggặp khó khăn trong việc đi tìm lời giải của bài toán này; có những bài toán các em không biết bắt

đầu từ đâu? Vận dụng kiến thức gì trong chơng trình đã học? Làm thế nào để tìm đợc giá trị củatham số m thỏa mãn điều kiện của bài toán ấy? Đặc biệt nó mang nội dung sâu sắc trong việc giáodục t tởng qua môn toán; hình thành cho học sinh thói quen đi tìm một giải pháp tối u cho mộtcông việc cụ thể trong cuộc sống sau này

Chính vì vậy bài toán này thờng xuyên có mặt trong các kì thi học sinh giỏi lớp 9, cũng nhtrong các kì thi tuyển sinh vào lớp 10

Qua một số năm giảng dạy toán THCS đợc giao công tác bồi dỡng học sinh lớp 9 tôi rất quan tâm vấn đề nay chính vì vậy tôi mạnh dạn nghiên cứu và hoàn thành đề tài này Với thời gian hạn chế và mong muốn nghiên cứu sâu hơn nên đề tài này chỉ tập trung vào vấn đề:

“Những ứng dụng của hệ thức Vi ét – ”

2) Đối t ợng và ph ơng pháp nghiên cứu:

a, Đối t ợng nghiên cứu: Là học sinh lớp 9

b, Ph ơng pháp nghiên cứu:

- Nghiên cứu tài liệu SGK; SBT Toán 9, sách nâng cao

- Các đề thi vào các trờng THPT, các chuyên đề đại số

PHần II - giải quyết vấn đề

x x x x x x

a d

+) Có nghiệm x= − 1 nếu a b c d− + − = 0

2 Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:

Nếu 2 số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì hai số u và v là hai nghiệm của phơng trình bậc hai: x2 −Sx P+ =0

Thật vậy: Các số u; v nếu tồn tại là các nghiệm của phơng trình:

(x - u x - v = 0) ( ) ⇔ x - u+v x + u.v = 02 ( ) ⇔ x - Sx + P = 0 2

Nh vậy khi biết tổng và tích hai số thì ta sẽ tìm đợc hai số đó thông qua việc giải phơng trình bậc hai Điều kiện để có hai số là: S - 4P 0 2 ≥

3 Vị trí tơng đối của đờng thẳng y mx n= + (m≠0) ( )d và đồ thị hàm sốy ax= 2(a≠0) ( )P

- Số giao điểm của đờng thẳng y mx n= + (m≠0) và đồ thị hàm số y ax= 2(a≠0)

- ( )d không cắt ( )P (không có điểm chung) ⇔phơng trình ax2−mx n− =0 vô nghiệm

4 Khái niệm về giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất:

Cho hàm số f x( )xác định trên miền D

1) m đợc gọi là một giá trị lớn nhất (GTLN) của f x( ) trên miền D nếu thoả mãn các điều kiện sau đây:

a, f x( )≤m với ∀x∈D

b, ∃x0 ∈ D sao cho f x( )0 =m; Kí hiệu m = max f x( ), ∀x∈D

2) m đợc gọi là một giá trị nhỏ nhất (GTNN) của f x( )trên miền D nếu thoả mãn các điều kiệnsau đây:

a, f x( )≥m với ∀x∈D

b, ∃x0 ∈ D sao cho f x( )0 =m; Kí hiệu m = min f x( ),∀x∈D

Với x2 ≥ 0 ⇒ [f (x)]2n ≥ 0 với ∀x∈R, n ∈ Z

⇒ [f (x)]2n + M ≥ M (M là giá trị nhỏ nhất)

Hoặc M -[f (x)]2n ≤ M (M là giá trị lớn nhất)

*Hệ quả:

- Nếu x > 0, y > 0 và x.y = k2 (không đổi) thì tổng x + y đạt GTNN ⇔ x = y

- Nếu x > 0, y > 0 và x + y = k2(không đổi) thì tích x.y đạt GTLN ⇔ x = y

B một số ví dụ về những ứng dụng của hệ thức Vi- ét

I Dạng I: ứng dụng hệ thức Vi – et vào việc nhẩm nghiệm của phơng trình bậc hai

1 Ví dụ 1: Tính nhẩm nghiệm của phơng trình ( Bài 31 - SGK Toán 9 - Trang 54)

- Muốn giải phơng trình trên ta làm nh thế nào ?

- Học sinh nêu cách làm là dùng công thức nghiệm để giải các phơng trình này

- Có em đã phát hiện cách làm là vận dụng hệ thức Vi – ét vào tính nhẩm các nghiệm của

2008x + 2009 x + 1 = 0 (a = 2008; b = 2009; c = 1)

Vì a - b + c = 2008 - 2009 + 1 = 0 ⇒ phơng trình có hai nghiệm là: x1= −1; 2 1

2008

- ViÖc vËn dông hÖ qu¶ cña hÖ thøc Vi – et vµ tÝnh to¸n cho phÐp tÝnh nhanh chãng nghiÖmcña ph¬ng tr×nh.

1

2 +) Gi¶i ph¬ng tr×nh ( )1 x - 1= 0 ⇔ x =1

2 +) Giải phơng trình ( )1 x + 1 = 0 ⇔ x = - 1

x = −

+) Với y2 = −6 ⇔ x2 6

x +1= − ⇔ x2 = −6(x+ ⇔1) x2+6x+ =6 0

Giải phơng trình này ta đợc 2 nghiệm x3 = − +3 3 ; x4 = − −3 3

Vậy phơng trình đã cho có 4 nghiệm 1 1 5

2

x = + ;

2

1 52

x = − ;

x = − + ;x4 = − −3 3

 Qua ví dụ 3 tôi đã hớng dẫn cho học sinh cách giải phơng trình bằng cách vận dụng hệ thức Vi

- ét vào tính nhẩm nghiệm của phơng trình bậc hai một ẩn và hớng dẫn cách biến đổi linh hoạt(đặt ẩn phụ) để đa phơng trình bậc 4 về phơng trình bậc hai một ẩn có thể nhẩm nghiệm đợcqua đó các em đợc rèn luyện kĩ năng biến đổi và trình bày lời giải, vận dụng kiến thức, khả năngphân tích, dự đoán

 Phơng pháp chung:

bậc ba Hoặc các phơng trình đa đợc về dạng cơ bản để tinh nhẩm nghiệm.

II Dạng II: ứng dụng của hệ thức Vi – et vào việc tìm 2 số khi biết tổng và tích của chúng:

Nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì hai số u và v là hai nghiệm của phơng trình bậc hai: x - Sx + P = 0 2 ( SGK Toán 9 - Trang 52)

Điều kiện để có hai số là: S - 4P 0 2 ≥

1 Ví dụ 1: a) Tìm 2 số biết tổng của chúng bằng 27 và tích của chúng bằng 180

b) Tìm 2 số biết tổng của chúng bằng 1 và tích của chúng bằng 5

 Nếu áp dụng hệ thức Vi – et đảo thì x1 và x2

là 2 nghiệm của phơng trình bậc hai 2

x - 27x + 180 = 0 ta có lời giải nh sau:

Vậy không có hai số nào thoả mãn điều kiện đề bài

Khai thác ví dụ 1 tôi nêu ra ví dụ sau:

2 Ví dụ 2:

a) Tìm các cạnh của hình chữ nhật biết chu vi là 100 m và diện tích bằng 621 m2

b) Tìm các cạnh của hình chữ nhật có chu vi là 20 cm và diện tích bằng 32cm2

H

ớng dẫn cách giải - Bài toán cho biết gì ? cần tìm gì?

- Nếu gọi các cạch của hình chữ nhật là a và b ta có điều gì? 2.( ) 100

L

u ý: Muốn tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng, ta áp dụng hệ thức Vi – et để đa về

dạng phơng trình bậc hai một ẩn rồi giải

III Dạng III: ứng dụng hệ thức Vi – et vào việc giải hệ phơng trình đối xứng.

1 Khái niệm hệ ph ơng trình đối xứng:

Một phơng trình 2 ẩn gọi là đối xứng nếu ta thay x bởi y và y bởi x thì phơng trình không thay đổi.

Ví dụ: Phơng trình đối xứng x y xy+ + =11 ⇔ y x yx+ + =11

Ví dụ: Hệ phơng trình đối xứng loại I:

2513

2 Cách giải hệ ph ơng trình đối xứng loại I

+) Biểu diễn từng phơng trình qua x y+ ; xy

+) Đặt S = +x y ; P xy= ta đợc hệ phơng trình mới chứa các ẩn S và P

+) Giải hệ phơng trình tìm S và P

+) Các số x và y là nghiệm của phơng trình t2− + =St P 0 (Vận dụng hệ thức Vi et đảo- Tìm–

2 số khi biết tổng và tích của chúng)

(Hệ đã cho có nghiệm khi hệ phơng trình theo S và P có nghiệm thỏa mãn S2−4P≥0)Tùy theo yêu cầu của bài toán ta giải hoặc biện luận phơng trình theo tham số t từ đó suy ranghiệm hoặc kết luận cần thiết cho hệ phơng trình

- Muốn giải hệ phơng trình trên ta làm nh thế nào ?

(GV nêu cách làm bằng cách đặt ẩn phụ S= +x y và P x y= khi đó các em thảo luận và trình bày lời giải nh sau)

S P

Theo định lí Vi – ét thì x; y là nghiệm của phơng trình bậc hai X2 −5X + =6 0

Giải phơng trình này ta đợc 2 nghiệm là X1 =3 và X2 =2

Vậy hệ phơng trình có 2 nghiệm là ( )3; 2 và ( )2;3

c)

1812

x y xy

 rồi giải hệ phơng trình này.

- Khi đó các em đều nhận thấy cách vận dụng hệ thức Vi et vào nhẩm nghiệm của ph– ơng trình bậc hai các em đã trình bày lời giải nh sau:

+) Với S = 2 ⇒ P = 3 ta có 2

3

x y xy

12

Giải phơng trình S2−12S+35 0= ( )1 ta đợc S1=7 ; S2 =5

+) Với S1= ⇒7 P1= −4 ta có 7

4

x y xy

12

Từ ( )1 ; ( )2 và áp dụng hệ thức Vi - et suy ra x x+1( ); y(y+1) là nghiệm của phơng trình bậc hai:

t − t+ = ⇒ =t1 6; t2 =12

Khi đó xảy ra hai trờng hợp ( )

x x+1 6y+1 12

⇒ giải hệ phơng trình này ta đợc 2 nghiệm: 2

3

x y

x y

⇒ giải hệ phơng trình này ta đợc 2 nghiệm : 3

2

x y

x y

- Nh vậy từ những bài toán giải hệ phơng trình đối xứng loại I rất phức tạp xong nếu biết biến đổi

linh hoạt và vận dụng hệ thức Vi - et về tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng ta sẽ đ a bài toán trở về dạng đơn giản hơn từ đó tìm đợc nghiệm của hệ phơng trình.

- Khi giải hệ phơng trình mà vế trái là những đa thức đối xứng thì ta có thể coi các ẩn đó là nghiệm của một phơng trình rồi sử dụng hệ thức Vi - et để thiết lập phơng trình mới này Nghĩa

là ta đã chuyển việc giải hệ phơng trình n ẩn về giải một phơng trình bậc n một ẩn, nếu phơng trình này giải đợc thì đó là nghiệm của hệ n phơng trình đã cho

- Đối với biểu thức 3 3

ớng dẫn cách giải: - Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm (∆ ≥0) (hoặc a.c < 0)

Sau đó áp dụng hệ thức Vi – et để tính tổng và tích của 2 nghiệm Kết hợp với điều kiện (hệ thức) giảI hệphơng trình gồm điều kiện với tổng và tích các nghiệm chúng ta tìm đợc tham số thỏa mãn điều kiện bài toán ta có lời giảI nh sau:

- Khi đó phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1 + x2 = 2 và x1 x2 = -2m

- Để phơntg trình có 2 nghiệm thoả mãn điều kiện ( 2) ( 2)

3 Ví dụ 3: Cho phơng trình 2x2−9x+ =6 0 gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phơng trình

1) Không giảI phơng trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau:

a) x1+x2; x x1 2 b) 3 3

x +x c) x1+ x1 2) Xác định phơng trình bậc hai nhận 2

x +x =

c) Ta có: 1 2

1 2

926

Chú ý:Để tính đợc tổng A+ B thì ta cần chứng minh đợc điều kiện để tồn tại các căn thức

và áp dụng công thức sau để tính hoặc bình phơng biểu thức đó để tính theo tổng và tích các nghiệm của phơng trình bậc hai

tích đợc m3+3m2+3m+28 0≥ thành (m2− +m 7) (m+ ≥4) 0 để tìm đợc m tôi đã gợi ý sử dụngmáy tính Casio để tìm đợc nghiệm x1= −4; 2 1 2598076211

2 − m+4 2 3+ m+ =3 0 ⇔ 4 2 − m− + 8 3m+ = 3 0 ⇔ m= 1 Vì x1+ = +x2 m 4 ⇒ 2+ = + ⇒x2 1 4 x2 =3 Vậy m = 1 và x2 = 3

1 Tìm các giá trị của m để phơng trình có nghiệm và tính các nghiệm của phơng trình theo m

2 Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm sao cho một nghiệm gấp đôi nghiệm kia

12

x m x

m x

m x

= thì phơng trính có 2 nghiệm thỏa mãn nghiệm này gấp đôi nghiệm kia

Hoặc các em có thể thay trực tiếp 2 nghiệm vừa tìm đợc và cho x1=2x2 từ đó ta cùng tìm

đợc giá trị của m thỏa mãn điều kiện bài toán.

12

Để phơng trình ( )* có nghiệm thỏa mãn điều kiện x2+5x1=4 ( )3

2

m x

2

m x

m x

Đối với bài toán này ta cần vận dụng điều kiện để Parabol và đờng thẳng cắt nhau tại 2

điểm phân biệt ( ( )d : y mx n= + cắt ( )P : y ax= 2 tại 2 điểm phân biệt ⇔phơng trình

1) Viết phơng trình của parabol ( )P

2) Viết phơng trình đờng thẳng ( )d song song với x+2y=1 và đi qua điểm B(0; )m Với giá trịnào của m thì ( )d cắt parabol ( )P tại hai điểm có hoành độ x x1, 2 sao cho 3x1+5x2 =5

4 a

4

a= −

- Để đờng thẳng ( )d cắt ( )P tại 2 điểm có hoành độ x1 và x2

⇔ phơng trình hoành độ giao điểm 1 2 1

12

Để phơng trình ( )* có nghiệm thỏa mãn điều kiện 3x1+5x2 =5 ( )3

16

m= − thì phơng trình ( )* có nghiệm thỏa mãn 3x1+5x2 =5

 Chú ý: Trong bài tập trên ta đã vận dụng điều kiện để đờng thẳng và parabol cắt nhau tại 2

điểm phân biệt (Đờng thẳng ( )d :y mx n= + cắt Parabol ( )P : 2

y ax= tại 2 điểm phân biệt ⇔

phơng trình ax2−mx n− =0 có 2 nghiệm phân biệt) và hệ thức Vi - et để tính tổng và tích cácnghiệm để tính đợc giá trị của m thỏa mãn điều kiện bài toán

9 Ví dụ 9: Gọi x1; x2 x3; x4 là tất cả các nghiệm của phơng trình:

 Phơng pháp chung:

Nh vậy trong bài toán tìm điều kiện của tham số để thỏa mãn điều kiện của các nghiệm đối xứnghoặc liên hệ với nhau theo một hệ thức nào đó chúng ta cần làm nh sau:

+) Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm (∆ ≥0) (hoặc a.c < 0)

+) áp dụng hệ thức Vi – ét để tính tổng và tích của 2 nghiệm

+) Kết hợp với điều kiện ( hệ thức) giải hệ phơng trình gồm điều kiện với tổng và tích cácnghiệm chúng ta tìm đợc tham số thỏa mãn điều kiện bài toán

+) So sánh với điều kiện có nghiệm để (trả lời) kêt luận bài toán

Bài tập áp dụng:

1 Bài 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol y = x2 (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình:

y = 2 a - 1 x + 5 - 2a ; (a là tham số)

1 Với a = 2 tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng (d) và (P)

2 Chứng minh rằng với mọi a đờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt

3 Gọi hoành độ giao điểm của đờng thẳng (d) và (P) là x1, x2 Tìm a để 2 2

x + x = 6

2 Bài 2: Cho phơng trình x2−6x+ =1 0 gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phơng trình

Không giải phơng trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau:

1) Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

2) Tìm điều kiện của m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu

5 Bài 5: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho Parabol (P) có phơng trình: y = 2x2, một đờng thẳng (d)

có hệ số góc bằng m và đi qua điểm I 0; 2( )

1) Viết phơng trình đờng thẳng (d)

2) CMR: (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B

3) Gọi hoành độ giao điểm của A và B là xA, xB CMR: x - xA B ≥2

6 Bài 6: Cho hàm số: y = x2 (P) và y = 3x + m2 (d)

1) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt

2) Gọi y1 và y2 là tung độ giao điểm của đờng thẳng (d) và (P) Tìm m để y +y = 11y y1 2 1 2

7 Bài 7: Cho parabol (P): y = x2

2 và đờng thẳng (d): y = mx - m + 2 (m là tham số)

1 Tìm m để đờng thẳng (d) và (P) cùng đi qua điểm có hoành độ bằng x = 4

2 CMR đờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt với ∀ ∈m R

3 Giả sử (x1;y1) và (x2;y2) là toạ độ giao điểm của (d) và (P) CMR: y1+ y2 ≥(2 2−1) (x1 +x2)

8 Bài 8: Trên mặt phẳng tọa độ (hình vẽ), có điểm A thuộc

đồ thị (P) của hàm số y ax= 2 và điểm B không thuộc (P)

a) Tìm hệ số a và vẽ (P)

b) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua 2

điểm A và B Xác định tọa độ giao điểm thứ

hai của (P) và đờng thẳng AB

- Muốn tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng ta làm ntn?

(Nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P

thì hai số u và v là hai nghiệm của phơng trình bậc hai: 2

 Nhận xét: Để lập đợc phơng trình bậc hai có 2 nghiệm nhận 2 số cho trớc là nghiệm thì

ta vận dụng hệ thức Vi – et đảo (tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng) ta làm nh sau: