Lượng giác toàn tập: Hệ thức lượng, phương trình, hệ PT lượng giác

CHƯƠNG 1: CÔNG THỨC LƯNG GIÁC I. Đònh nghóa Trên mặt phẳng Oxy cho đường tròn lượng giác tâm O bán kính R=1 và điểm M trên đường tròn lượng giác mà sđ  AM = β với 02 ≤ β≤ π Đặt k2 ,k Zα=β+ π ∈ Ta đònh nghóa: sin OKα= cos OHα= sin tg cos α α= α với cos 0α≠ cos cot g sin α α= α với sin 0α≠ II. Bảng giá trò lượng giác của một số cung (hay góc) đặc biệt Góc α Giá trò () o 00 () o 30 6 π () o 45 4 π () o 60 3 π () o 90 2 π sinα 0 1 2 2 2 3 2 1 cosα 1 3 2 2 2 1 2 0 tgα 0 3 3 1 3 || cot gα || 3 1 3 3 0 III. Hệ thức cơ bản 22 sin cos 1α+ α= 2 2 1 1tg cos +α= α với () kkZ 2 π α≠ + π ∈ 2 2 1 tcotg sin += α với ( ) kkZα≠ π ∈ IV. Cung liên kết (Cách nhớ: cos đối, sin bù, tang sai π ; phụ chéo) a. Đối nhau: α và −α ( ) sin sin−α = − α ( ) cos cos−α = α ( ) ( ) tg tg−α = − α ( ) ( ) cot g cot g−α = − α www.VNMATH.com 1 b. Buø nhau: α vaø π−α ( ) () () () sin sin cos cos tg tg cot g cotg π−α = α π−α =− α π−α =− α π−α =− α c. Sai nhau π : vaø α π+α ( ) () () () sin sin cos cos tg tg cot g cot g π+α =− α π+α =− α π+α = α π+α = α d. Phuï nhau: α vaø 2 π −α sin cos 2 cos sin 2 tg cotg 2 cot g tg 2 π ⎛⎞ −α = α ⎜⎟ ⎝⎠ π ⎛⎞ −α = α ⎜⎟ ⎝⎠ π ⎛⎞ −α = α ⎜⎟ ⎝⎠ π ⎛⎞ −α = α ⎜⎟ ⎝⎠ e.Sai nhau 2 π : vaø α 2 π +α sin cos 2 cos sin 2 tg cotg 2 cot g tg 2 π ⎛⎞ +α = α ⎜⎟ ⎝⎠ π ⎛⎞ +α =− α ⎜⎟ ⎝⎠ π ⎛⎞ +α =− α ⎜⎟ ⎝⎠ π ⎛⎞ +α =− α ⎜⎟ ⎝⎠ www.VNMATH.com 2 f. ()() ()() () () +π=− ∈ +π=− ∈ +π= ∈ +π= k k sin x k 1 sinx,k Z cos x k 1 cosx,k Z tg x k tgx,k Z cotg x k cotgx V. Công thức cộng ( ) () () sin a b sinacosb sinbcosa cos a b cosacosb sinasinb tga tgb tg a b 1tgatgb ±= ± ±= ± ±= ∓ ∓ VI. Công thức nhân đôi = =−=− = = − − = 22 2 2 2 2 sin2a 2sinacosa cos2a cos a sin a 1 2sin a 2cos a 1 2tga tg2a 1tga cotg a 1 cotg2a 2cotga − VII. Công thức nhân ba: 3 3 sin3a 3sina 4sin a cos3a 4cos a 3cosa =− =− VIII. Công thức hạ bậc: () () 2 2 2 1 sin a 1 cos2a 2 1 cos a 1 cos2a 2 1 cos2a tg a 1 cos2a =− =+ − = + IX. Công thức chia đôi Đặt a ttg 2 = (với ) ak2≠π+ π www.VNMATH.com 3 2 2 2 2 2t sina 1t 1t cosa 1t 2t tga 1t = + − = + = − X. Công thức biến đổi tổng thành tích () () ab ab cosa cosb 2cos cos 22 ab ab cosa cosb 2sin sin 22 ab ab sina sin b 2cos sin 22 ab ab sina sinb 2cos sin 22 sin a b tga tgb cosacosb sin b a cotga cotgb sina.sin b +− += +− −=− +− += +− −= ± ±= ± ±= XI. Công thức biển đổi tích thành tổng () () () () ()() 1 cosa.cosb cos a b cos a b 2 1 sina.sinb cos a b cos a b 2 1 sina.cosb sin a b sin a b 2 = ⎡++ − ⎣⎦ − ⎤ = ⎡+−− ⎣⎦ ⎤ = ⎡++ −⎤ ⎣⎦ Bài 1 : Chứng minh 44 66 sin a cos a 1 2 sin a cos a 1 3 +− = +− Ta có: ( ) 2 44 22 22 2 sin a cos a 1 sin a cos a 2sin acos a 1 2sin acos a+−= + − −=− 2 Và: ( ) ( ) () 66 224224 4422 22 22 22 sin a cos a 1 sin a cos a sin a sin acos a cos a 1 sin a cos a sin acos a 1 1 2sinacosa sinacosa 1 3sin acos a +−= + − + =+ − − =− − − =− − www.VNMATH.com 4 Do đó: 44 22 66 22 sin a cos a 1 2sin acos a 2 sin a cos a 1 3sin acos a 3 +−− = = +−− Bài 2: Rút gọn biểu thức () 2 2 1cosx 1cosx A1 sinx sin x ⎡ ⎤ − + ==+ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Tính giá trò A nếu 1 cosx 2 =− và x 2 π < <π Ta có: 22 2 1cosxsinx12cosxcosx A sinx sin x ⎛⎞ ++−+ = ⎜⎟ ⎝⎠ ( ) 2 21 cosx 1cosx A. sinx sin x − + ⇔= ( ) 2 2 33 21 cosx 2sin x 2 A sin x sin x sinx − ⇔= = = (với sinx 0 ≠ ) Ta có: 22 13 sin x 1 cos x 1 44 =− =− = Do: x 2 π <<π nên sin x 0> Vậy 3 sinx 2 = Do đó 244 A sinx 3 3 === 3 Bài 3 : Chứng minh các biểu thức sau đây không phụ thuộc x: a. A =− 4422 2 2cos x sin x sin xcos x 3sin x+ + b. 2cotgx1 tgx1 cotgx1 + −− B =+ a. Ta có: 4422 A 2cos x sin x sin xcos x 3sin x=−+ + 2 ( ) ( ) ( ) () 2 42 22 2 42424 A 2cos x 1 cos x 1 cos x cos x 3 1 cos x A 2cos x 1 2cos x cos x cos x cos x 3 3cos x ⇔= −− +− + − ⇔= −− + + − +− 2 A2⇔= (không phụ thuộc x) b. Với điều kiện sinx.cosx 0,tgx 1 ≠ ≠ Ta có: 2cotgx B tgx1 cotgx1 1 + =+ −− www.VNMATH.com 5 1 1 22 tgx B 1 tgx1 tgx11tgx 1 tgx + + ⇔= + = + −− − 1tgx − ( ) 21tgx 1tgx B1 tgx 1 tgx 1 −− − ⇔= = =− −− (không phụ thuộc vào x) Bài 4: Chứng minh () 2 22 22 222 1cosa 1cosa cosbsinc 1 cotg bcotg c cotga 1 2sina sin a sin bsin c ⎡⎤ − +− − +−= ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ − Ta có: * 22 22 22 cos b sin c cotg b.cot g c sin b.sin c − − 2 22 22 cotg b 1 cot g bcotg c sin c sin b =−− ( ) ( ) 22 222 cot g b 1 cot g c 1 cot g b cotg bcotg c 1=+−+− =− (1) * () 2 2 1cosa 1cosa 1 2sina sin a ⎡ ⎤ − + − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ () 2 2 1cosa 1cosa 1 2sina 1 cos a ⎡ ⎤ − + =− ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 1cosa 1cosa 1 2sina 1 cosa +− ⎡ ⎤ =− ⎢ ⎥ + ⎣ ⎦ 1cosa2cosa .c 2sina 1 cosa + == + otga (2) Lấy (1) + (2) ta được điều phải chứng minh xong. Bài 5: Cho tùy ý với ba góc đều là nhọn. ABCΔ Tìm giá trò nhỏ nhất của P tgA.tgB.tgC = Ta có: AB C+=π− Nên: ( ) tg A B tgC+=− tgA tgB tgC 1 tgA.tgB + ⇔= − − + tgA tgB tgC tgA.tgB.tgC⇔+=−+ Vậy: P tgA.tgB.tgC tgA tgB tgC==+ www.VNMATH.com 6 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương tg ta được A,tgB,tgC 3 tgA tgB tgC 3 tgA.tgB.tgC++≥ 3 P3P⇔≥ 32 P3 P33 ⇔≥ ⇔≥ Dấu “=” xảy ra == ⎧ π ⎪ ⇔⇔= ⎨ π << ⎪ ⎩ tgA tgB tgC ABC 3 0A,B,C 2 == Do đó: MinP 3 3 A B C 3 π =⇔=== Bài 6 : Tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của a/ 84 y2sinxcos2x=+ b/ 4 ysinxcos=−x a/ Ta có : 4 4 1cos2x y2 cos2x 2 − ⎛⎞ =+ ⎜⎟ ⎝⎠ Đặt với thì tcos2x= 1t1−≤ ≤ () 4 4 1 y1t 8 =−+ t => () 3 3 1 y' 1 t 4t 2 =− − + Ta có : Ù () y' 0= 3 3 1t 8t−= ⇔ 1t 2t−= ⇔ 1 t 3 = Ta có y(1) = 1; y(-1) = 3; 11 y 32 ⎛⎞ = ⎜⎟ ⎝⎠ 7 Do đó : và ∈ = x y3 Max ∈ = x 1 y Min 27 b/ Do điều kiện : sin và co nên miền xác đònh x 0≥ s x 0≥ π ⎡⎤ =π+π ⎢⎥ ⎣⎦ Dk2, k2 2 với ∈ k Đặt tcos= x x với thì 0t1≤≤ 42 2 tcosx1sin==− Nên 4 sin x 1 t=− Vậy 8 4 y1t=−−t trên [ ] D' 0,1= Thì () − =−< − 3 7 4 8 t y' 1 0 2. 1 t [ ) ∀∈t0;1 Nên y giảm trên [ 0, 1 ]. Vậy : ( ) ∈ = = xD max y y 0 1, ( ) ∈ = =− xD min y y 1 1 www.VNMATH.com 7 Bài 7: Cho hàm số 44 ysinxcosx2msinxcos=+− x Tìm giá trò m để y xác đònh với mọi x Xét 44 f (x) sin x cos x 2m sin x cos x=+− () () 2 22 2 fx sinx cosx msin2x 2sinxcosx=+ − − 2 () 2 1 f x 1 sin 2x m sin 2x 2 =− − Đặt : với tsin2x= [ ] t1,∈− 1 y xác đònh x ∀ ⇔ () fx 0x R≥∀∈ ⇔ 2 1 1t [ ] mt 2 −−≥0 t1,1−∀∈ ⇔ () 2 gt t 2mt 2 0=+ −≤ [ ] t1,1− t ∀∈ Do ∀ nên g(t) có 2 nghiệm phân biệt t 2 'm 20Δ= + > m 1 , t 2 Lúc đó t t 1 t 2 g(t) + 0 - 0 Do đó : yêu cầu bài toán ⇔ 12 t11 ≤ −< ≤ ⇔ ⇔ () () 1g 1 0 1g 1 0 −≤ ⎧ ⎪ ⎨ ≤ ⎪ ⎩ 2m 1 0 2m 1 0 −−≤ ⎧ ⎨ −≤ ⎩ ⇔ 1 m 2 1 m 2 − ⎧ ≥ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ≤ ⎪ ⎩ ⇔ 11 m 22 −≤ ≤ Cách khác : gt () 2 t 2mt 2 0=+ −≤ [ ] t1,∀∈− 1 { } [,] max ( ) max ( ), ( ) t gt g g ∈− ⇔≤ ⇔−≤ 11 0110 { } max ), )mm⇔−−−+≤21210 ⇔ 1 m 2 1 m 2 − ⎧ ≥ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ≤ ⎪ ⎩ m⇔− ≤ ≤ 11 22 Bài 8 : Chứng minh 4444 357 A sin si n sin sin 16 16 16 16 2 π πππ =+++ 3 = Ta có : 7 sin sin cos 16 2 16 16 πππ π ⎛⎞ =−= ⎜⎟ ⎝⎠ πππ ⎛⎞ =−= ⎜⎟ ⎝⎠ 55 sin cos cos 16 2 16 16 π3 www.VNMATH.com 8 Mặt khác : ( ) 2 44 22 2 sin cos sin cos 2sin cosα+ α= α+ α − α α 2 22 12sin cos = −αα 2 1 1sin2 2 = −α Do đó : 4444 73 A sin sin sin sin 16 16 16 16 π πππ =+++ 5 44 44 33 sin cos sin cos 16 16 16 16 ππ π ⎛⎞⎛ =+++ ⎜⎟⎜ ⎝⎠⎝ π ⎞ ⎟ ⎠ 22 11 1 sin 1 sin 28 2 8 3 π π ⎛⎞⎛ =− +− ⎜⎟⎜ ⎝⎠⎝ ⎞ ⎟ ⎠ 22 13 2sinsin 28 8 π π ⎛⎞ =− + ⎜⎟ ⎝⎠ 22 1 2sincos 28 8 π π ⎛⎞ =− + ⎜⎟ ⎝⎠ π π = ⎝⎠ 3 do sin cos 88 ⎛⎞ ⎜⎟ 13 2 22 = −= Bài 9 : Chứng minh : oooo 16 sin 10 .sin 30 .sin 50 .sin 70 1 = Ta có : o o Acos10 1 A cos10 cos10 == o (16sin10 o cos10 o )sin30 o .sin50 o .sin70 o ⇔ () oo o 11 o A 8sin20 cos40 .cos20 2 cos10 ⎛⎞ = ⎜⎟ ⎝⎠ ⇔ () 0o o 1 o A 4 sin 20 cos 20 . cos 40 cos1 0 = ⇔ () oo o 1 A 2sin40 cos40 cos1 0 = ⇔ o o oo 1cos10 A sin 80 1 cos10 cos10 === Bài 10 : Cho A BCΔ . Chứng minh : A BBCCA tg tg tg tg tg tg 1 22 22 22 + += Ta có : A BC 22 +π =− 2 Vậy : A BC tg cot g 22 + = ⇔ A B tg tg 1 22 A BC 1tg .tg tg 22 2 + = − ⇔ A BC A tg tg tg 1 tg tg 222 2 ⎡⎤ +=− ⎢⎥ ⎣⎦ B 2 www.VNMATH.com 9 ⇔ A CBCAB tg tg tg tg tg tg 1 22 22 22 ++ = Bài 11 : Chứng minh : () πππ π ++ +=84tg 2tg tg cotg * 81632 32 Ta có : (*) ⇔ 8cotg tg 2tg 4tg 32 32 16 8 ππ π =−−− π Mà : 22 cos a sin a cos a sin a cot ga tga sin a cos a sin a cos a − −=−= cos 2a 2cotg2a 1 sin 2a 2 == Do đó : (*) ⇔ cot g tg 2tg 4tg 8 32 32 16 8 ππ π π ⎡⎤ −−− ⎢⎥ ⎣⎦ = ⇔ 2cotg 2tg 4tg 8 16 16 8 ππ π ⎡⎤ −− ⎢⎥ ⎣⎦ = ⇔ 4cotg 4tg 8 88 ππ −= ⇔ 8cotg 8 4 π = (hiển nhiên đúng) Bài :12 : Chứng minh : a/ 22 2 22 cos x cos x cos x 33 ππ ⎛⎞⎛⎞ 3 2 + ++ −= ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ b/ 111 1 cot gx cot g16x sin 2x sin 4x sin 8x sin16x +++ =− a/ Ta có : 22 2 22 cos x cos x cos x 33 ππ ⎛⎞⎛ +++− ⎜⎟⎜ ⎝⎠⎝ ⎞ ⎟ ⎠ () 11 414 1cos2x 1cos2x 1cos 2x 22 323 ⎡ π⎤ ⎡ π ⎤ ⎛⎞ ⎛ =+ ++ + ++ − ⎜⎟ ⎜ ⎞ ⎟ ⎢ ⎥⎢ ⎝⎠ ⎝ ⎥ ⎠ ⎣ ⎦⎣ ⎦ 31 4 4 cos 2x cos 2x cos 2x 22 3 3 ⎡π ⎛⎞⎛ =+ + + + − ⎜⎟⎜ ⎢⎥ ⎝⎠⎝ ⎣⎦ π⎤ ⎞ ⎟ ⎠ 31 4 cos 2 x 2cos2x cos 22 3 π ⎡⎤ =+ + ⎢⎥ ⎣⎦ 31 1 cos2x 2cos2x 22 2 ⎡⎤ ⎛⎞ =+ + − ⎜⎟ ⎢⎥ ⎝⎠ ⎣⎦ 3 2 = b/ Ta có : cos a cosb sin b cos a sin a cos b cot ga cot gb sin a sin b sin a sin b − −=−= www.VNMATH.com 10 [...]... ∨ sin x = cos x ⇔ cot g3x = BÀI TẬP 35 www.VNMATH.com 1 2 3 ⎛π ⎞ Tìm cá c nghiệ m trê n ⎜ , 3π ⎟ của phương trình: ⎝3 ⎠ 5π ⎞ 7π ⎞ ⎛ ⎛ sin ⎜ 2x + ⎟ − 3 cos ⎜ x − ⎟ = 1 + 2 sin x 2 ⎠ 2 ⎠ ⎝ ⎝ ⎛ π⎞ Tìm cá c nghiệ m x trên ⎜ 0, ⎟ của phương trình ⎝ 2⎠ 2 2 sin 4x − cos 6x = sin (10, 5π + 10x ) Giả i các phương trình sau: a/ sin 3 x + cos3 x = 2 sin5 x + cos5 x ( ) sin x + sin 2x + sin 3x = 3 cos x + cos... i phương trình : ( 2 cos x − 1)( 2 sin x + cos x ) = sin 2x − sin x ( *) Ta có (*) ⇔ ( 2 cos x − 1)( 2 sin x + cos x ) = sin x ( 2 cos x − 1) 22 www.VNMATH.com ⇔ ( 2 cos x − 1) ⎡( 2 sin x + cos x ) − sin x ⎤ = 0 ⎣ ⎦ ⇔ ( 2 cos x − 1)( sin x + cos x ) = 0 1 ∨ sin x = − cos x 2 π ⎛ π⎞ ⇔ cos x = cos ∨ tgx = −1 = tg ⎜ − ⎟ 3 ⎝ 4⎠ π π ⇔ x = ± + k2π ∨ x = − + kπ, ( k ∈ Z ) 3 4 ⇔ cos x = Bà i 30 : Giả i phương. .. cos 2x = 0 ∨ cos 5x = 0 ∨ cos x = 0 π π π ⇔ 2x = + kπ ∨ 5x + kπ ∨ x = + kπ, k ∈ 2 2 2 π kπ π kπ π ∨x= + ∨ x = + kπ , k ∈ ⇔ x= + 4 2 10 5 2 Bà i 32 : Cho phương trình ⎛π x⎞ 7 sin x.cos 4x − sin2 2x = 4 sin 2 ⎜ − ⎟ − ( *) ⎝4 2⎠ 2 Tìm cá c nghiệ m của phương trình thỏa : x − 1 < 3 23 www.VNMATH.com 1 ⎡ ⎛π ⎞⎤ 7 (1 − cos 4x ) = 2 ⎢1 − cos ⎜ − x ⎟ ⎥ − 2 ⎝2 ⎠⎦ 2 ⎣ 1 1 3 sin x cos 4x − + cos 4x = − − 2sin x... Giả i phương trình : sin 2 3x − cos2 4x = sin 2 5x − cos2 6a ( * ) ⇔ 12x = kπ ⇔ x= Ta có : (*) ⇔ 1 1 1 1 (1 − cos 6x ) − (1 + cos 8x ) = (1 − cos10x ) − (1 + cos12x ) 2 2 2 2 ⇔ cos 6x + cos 8x = cos10x + cos12x ⇔ 2 cos7x cos x = 2 cos11x cos x ⇔ 2 cos x ( cos 7x − cos11x ) = 0 ⇔ cos x = 0 ∨ cos7x = cos11x π ⇔ x = + kπ ∨ 7x = ±11x + k 2π 2 π kπ kπ ∨x= ,k ∈ ⇔ x = + kπ ∨ x = − 2 2 9 Bà i 35 : Giả i phương. .. k ∈ Z ) ⇔ x=± 3 8 2 ⇔ cos x = − Bà i 36: Giả i phương trình cos 10x + 2 cos2 4x + 6 cos 3x cos x = cos x + 8 cos x cos3 3x ( * ) Ta có : (*) ⇔ cos10x + (1 + cos 8x ) = cos x + 2 cos x ( 4 cos3 3x − 3 cos 3x ) ⇔ ( cos10x + cos 8x ) + 1 = cos x + 2 cos x.cos 9x ⇔ 2 cos 9x cos x + 1 = cos x + 2 cos x.cos 9x ⇔ cos x = 1 ⇔ x = k2π ( k ∈ Z ) Bà i 37 : Giả i phương trình 25 www.VNMATH.com 4 sin 3 x + 3 cos3... B nă m 2005) Giả i phương trình : sin x + cos x + 1 + sin 2x + cos 2x = 0 ( * ) Ta có : (*) ⇔ sin x + cos x + 2sin x cos x + 2 cos2 x = 0 ⇔ sin x + cos x + 2 cos x ( sin x + cos x ) = 0 ⇔ ( sin x + cos x ) (1 + 2 cos x ) = 0 ⎡sin x = − cos x ⇔ ⎢ ⎢cos 2x = − 1 = cos 2π 2 3 ⎣ ⎡ tgx = −1 ⇔ ⎢ ⎢ x = ± 2π + k 2π 3 ⎣ π ⎡ ⎢ x = − 4 + kπ ⇔ ⎢ ( k ∈ Z) 2π ⎢x = ± + k2π ⎢ 3 ⎣ Bà i 39 : Giả i phương trình ( 2 sin... ± 2 3 π π ⇔ t = + kπ ∨ t = ± + kπ 2 3 π Mà x = t − 3 π 2π + kπ, ( vớ ik ∈ Z ) Vậy (*) ⇔ x = + k2π ∨ x = kπ ∨ x = 6 3 Ghi chú : Khi giả i các phương trình lượ n g giá c có chứa tgu, cotgu, có ẩ n ở mẫ u , hay chứa că n bậ c chẵ n ta phả i đặ t điề u kiệ n để phương trình xác đònh Ta sẽ dù n g các cá c h sau đây để kiểm tra điều kiện xem có nhậ n nghiệm hay khô n g + Thay các giá trò x tìm đượ c vào... n g mộ t đườ n g trò n lượ n g giá c Ta sẽ loạ i bỏ ngọ n cung của nghiệm khi có trù n g vớ i ngọ n cung củ a điề u kiện Hoặc + So vơi các điều kiện trong quá trình giả i phương trình ⇔ cos t = 0 ∨ cos 2t = − Bà i 43 : Giả i phương trình tg 2 x − tgx.tg3x = 2 ( * ) π hπ ⎧cos x ≠ 0 ⇔ cos3x ≠ 0 ⇔ x ≠ + Điề u kiện ⎨ 6 3 cos 3x = 4 cos3 x − 3 cos x ≠ 0 ⎩ Lúc đó ta có (*) ⇔ tgx ( tgx − tg3x ) = 2 sin... với 0 < x < ∞ b/ y = 4x + x c/ y = 2 sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 7 Tìm giá trò lớn nhất của : a/ y = sin x cos x + cos x sin x b/ y = sinx + 3sin2x c/ y = cos x + 2 − cos2 x 21 www.VNMATH.com PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CƠ BẢN Chương 2 : ⎡ u = v + k2π sin u = sin v ⇔ ⎢ ⎣ u = π − v + k2π cos u = cos v ⇔ u = ± v + k2π π ⎧ ⎪u ≠ + kπ tgu = tgv ⇔ ⎨ 2 ⎪u = v + k ' π ⎩ ⎧u ≠ kπ cot gu = cot gv ⇔ ⎨ ⎩u = v + k ' π... thì tg ( x + y ) = sin y cos y − 2 3 Cho ΔABC có 3 góc đều nhọn và A ≥ B ≥ C a/ Chứng minh : tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC b/ Đặt tgA.tgB = p; tgA.tgC = q Chứng minh (p-1)(q-1) ≥ 4 4 Chứng minh các biểu thức không phụ thuộc x : a/ A = sin 4 x (1 + sin 2 x ) + cos4 x (1 + cos2 x ) + 5 sin 2 x cos2 x + 1 b/ B = 3 ( sin 8 x − cos8 x ) + 4 ( cos6 x − 2 sin 6 x ) + 6 sin 4 x c/ C = cos2 ( x − a ) + sin2 ( . CHƯƠNG 1: CÔNG THỨC LƯNG GIÁC I. Đònh nghóa Trên mặt phẳng Oxy cho đường tròn lượng giác tâm O bán kính R=1 và điểm M trên đường tròn lượng giác mà sđ  AM = β với 02 ≤ β≤. Công thức nhân ba: 3 3 sin3a 3sina 4sin a cos3a 4cos a 3cosa =− =− VIII. Công thức hạ bậc: () () 2 2 2 1 sin a 1 cos2a 2 1 cos a 1 cos2a 2 1 cos2a tg a 1 cos2a =− =+ − = + IX. Công thức. cosα 1 3 2 2 2 1 2 0 tgα 0 3 3 1 3 || cot gα || 3 1 3 3 0 III. Hệ thức cơ bản 22 sin cos 1α+ α= 2 2 1 1tg cos +α= α với () kkZ 2 π α≠ + π ∈ 2 2 1 tcotg sin += α