he thuc

BÀI TẬP CHƯƠNG HỆ THỨC Bài 1:(trang 173) qua điểm O tuỳ ý trong tam giác ABC, ta dựng các đường thẳng DE, FK, MN tương ứng song song với AB, AC, BC sao cho F và M nằm trên BC, N và D trên AC. Chứng minh rằng: 1=++ CA CN BC BE AB AF bài làm Ta có: DE//AB (gt) ⇒ AC AD BC BE = (1) Xét OND và BAC Ta có: ∧ N = ∧ C (MN//BC) ∧∧ = AD (DE//AB) vậy OND ~ BAC (g-g) BA OD AC DN =⇒ Mà OD=AF (Vì FADO là hbh) Suy ra AC DN AB FA = (2) (1)+(2) ⇒ AC DN AC AD AB FA BC BE +=+ Cộng CA CN vào hai vế ta được: CA CN AC DN AC AD CA CN AB FA BC BE ++=++ Suy ra: 1==++ AC AC CA CN BC BF AB AF (đpcm) Bài 2 (trang 173) cho tam giác ABC vuông ở A có các cạnh a, b, c, kẻ đường cao AD, kẻ DE, DF tương ứng vuông góc với AB và AC. đặt BE =m, CF=n, AD=h. chứng minh: a) 3 )( b c n m = b) 2222 3 anmh =++ bài làm a) xét ABC và FDC ta có: ∧ C chung )90( 0 == ∧∧ FA F O B A C D E K M N B A C D F E ∧∧ = BD (so le trong) vậyABC ~ FDC (g.g.g) ⇒ FC FD AC AB = (1) Tương tự ta có: ABC ~ EBD (g.g.g) ED BE AC AB =⇒ (2) ABC ~ DEF (g.g.g) DF DE AC AB =⇒ (3) Nhân vế với vế của (1),(2),(3) ta được: n m b c hay FC BE AC AB == 33 )()( (đpcm) b) ta có: 222 EDmBD += 222 FDnDC += 2 . hDCBD DC h h BD =⇒= 2222 22222 22222 3 2 .2)( nmha hhnma DCBDFDEDnmDCBC ++=⇔ +++=⇔ ++++=+⇒ (đpcm) Bài 4(trang173)Cho lục giác ABCDEF nội tiếp đường tròn (0). chứng minh rằng nếu AD,BE,CF cắt nhau tại 1 điểm thì AB.CD. EF=BC.DE.FA Bài làm Xét AIB và EID ta có: ∧∧ = EDIABI (cùng chắn cung AE ) ∧∧ = IEDIAB (cùng chắn cung BD) Vậy AIB ~ EID(g.g) IE IA ED AB =⇒ (1) chứng minh tương tự ta có: CIB ~ EIF IC IE BC EF =⇒ (2) FIA ~ DIC IA IC FA CD =⇒ (3) (1)x(2)x(3) 1=⋅⋅=⋅⋅⇒ IA IC IC IE IE IA FA CD BC EF ED AB FABCEDEFCDAB =⇒ (đpcm) I O D A B C E F C B A A1 B1 C1 Bài 5(trang 173)trên cạnh AB của tam giác ABC người ta lấy C 1. Qua a dựng đường thắng song song với CC 1 , đường thẳng này cắt BC tại A 1. Qua B kẻ 1 đường thẳng song song với CC 1 , đường thẳng này cắt AC tại B 1. Chứng minh rằng: 111 111 CCBBAA =+ Bài làm Ta có: CC 1 //BB 1 AB AC BB CC 1 1 1 =⇒ (1) CC 1 // AA 1 AB BC AA CC 1 1 1 =⇒ (2) (1)+(2) 1 11 1 1 1 1 == + =+⇒ AB AB AB BCAC AA CC BB CC 1) 11 ( 11 1 =+⇒ AABB CC 111 111 CCBBAA =+⇒ ( đpcm) Bài 6(trang 173) từ điểm I thuộc miền trong của tam giác ABC, người ta kẻ AI cắt BC ở D. qua I kẻ các đường thẳng MN, PQ, RS, theo thứ tự song song với BC, AB, AC(M, S ∈ AB; Q, R ∈ BC và N, P ∈ AC). chứng minh rằng: a) DC DB IN IM = b) 1 = IS IR IQ PI IN IM bài làm a)vì MI//BD AD AI BD MI =⇒ (1) IN//DC AD AI DC IN =⇒ (2) từ (1) và (2) DC DB IN IM DC IN BD MI =⇒=⇒ ( đpcm) b) Xét QIR và BAC ta có: ∧∧ = QB (so le trong) ∧∧ = CR (so le trong) I B A C M N S R P Q D Vậy QIR ~ BAC (g.g) AB AC IQ IR =⇒ (1) Tương tự: SMI ~ ABC (g.g) AC BC SI MI =⇒ (2) PIN ~ ABC (g.g) BC AB IN IP =⇒ (3) (1).(2).(3) 1=⋅⋅=⋅⋅⇒ BC AB AC BC AB AC IN IP SI MI IQ IR Hay 1=⋅⋅ IS IR IQ PI IN IM (đpcm) Bài 7(trang 173) gọi AD là phân giác trong dựng từ A của tam giác ABC, còn DF, DE lần lượt là phân giác của các góc ADB và ADC. Chứng minh rằng: AF.BD.CE=BF.DC.AE Bài làm DE là phân giác ∧ ADC nên: DCAEADCE AD AE DC EC =⇒= (1) DF là phân giác ∧ ADB nên: ADBFBDAF BD BF AD AF =⇒= (2) Nhân vế với vế của (1),(2) ta được: CE.AD.AF.BD=AE.DC.BF.AD ⇒ AF.BD.CE=BF.DC. AE (đpcm) Bài 8(trang173) biết các cạnh của tam giác ABC là AC=b; BC=a; AB=c. a)CMR nếu ∧∧ = BA 2 thì bcba += 22 b) đảo lại nếu bcba += 22 thì ∧∧ = BA 2 bài làm a)kẻ tia phân giác AM của ∧ BAC ∧∧∧ ==⇒ BMACBAM Theo tính chất đường phân giác: ACAB BC AC MC AB MB + == B A C D E F Ta có:MA=MB(BMA cân tại M) ACAB BC AB MA ACAB BC AB MB + =⇔ + =⇒ (1) Xét MAC và ABC ta có: ∧ C chung ∧∧ = BMAC Vậy MAC ~ ABC(g.g) BC AC MB MA =⇒ (2) Từ (1)và(2) suy ra: ACAB BC BC AC + = ACABACBC . 22 +=⇔ ⇔ bcba += 22 (đpcm) b) Trên tia đối của tia AC lấy điểm N sao cho :AN=AB theo gt ta có: bcba += 22 ACABACBC . 22 +=⇔ ⇔ ).( 2 ABACACBC += BC ABAC AC BC + =⇔ Mà AB=AN BC ABAC AC BC + = NB NC = ∧ C chung ⇒ ∧∧ = NABC Mà ∧∧∧∧ =⇒= ABCANA 22 (đpcm) Bài 9(trang173) O là điểm thuộc miền trong của tam giác ABC. gọi D, E, F theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của O lên các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng: .EA 222222 FBDCAFCEBD ++=++ Bài làm Xét DOB có: 222222 ODOBBDODBDOB −=⇒+= (1) OCE có: 222 OEOCCE −= (2) FOA có: 222 OFOAFA −= (3) (1)+(2)+(3) ta được: B A C M B A C N BNC ~ ABC (c.g.c) ⇒ B A C O F E D 222222222 OFOAOEOCODOBFACEBD −+−+−=++ 222222 OEOAODOCOFOB −+−+−= 222 EADCFB ++= (đpcm) Bài 11(trang174) chứng minh rằng tổng các bình phương các đường chéo của 1 hình thang thì bằng tổng bình phương của cạnh bên cộng với 2 lần tích 2 cạnh đáy. Bài làm hạ đường cao AQ và BH ta có: 222222 222 222 HCBHAQDQBCAD HCBHBC AQDQAD +++=+⇒ += += 222222 222 222 QCAQBHDHACBD QCAQAC BHDHBD +++=+⇒ += += Yêu cầu bài toán là: DCABBCADBDAC .2 2222 ++=+ (*) VT(*)= DCABHCBHDQAQ .2 2222 ++++ (1) VP(*)= 2222 )()( HCQHAQBHQHDQ +++++ DCHQHCAQBHDQ HCQHDQHQHCAQBHDQ HCQHHCQHAQBHQHDQQHDQ .2 ).(2 .2.2 2222 2222 222222 ++++= ++++++= +++++++= vì HQ=AB(gt) DCABHCBHAQDQ .2 2222 ++++⇒ Vậy VT=VP (đpcm) Bài 15(trang 174) Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: a) ) 111 ).(() 111 ).(( cba cba hhh hhh cba cba ++++=++++ b) nếu rhhh cba 9=++ thì tam giác đã cho là tam giác đều. Bài làm a) ta có:S  ABC = cba hchbha . 2 1 . 2 1 . 2 1 == D A B C Q H cba h S c h S b h S a 2 ; 2 ; 2 ===⇒ ) 222 )( 222 () 111 ).(( S h S h S h h S h S h S cba cba cba cba ++++=++++⇒ ⇔ ))( 111 () 111 ).(( cba cba hhh hhhcba cba ++++=++++ (đpcm) b) S  ABC = cba hchbha . 2 1 . 2 1 . 2 1 == r cba pr ⋅ ++ == 2 r a cba h a ⋅ ++ =⇒ ; r b cba h b ⋅ ++ = ; r c cba h c ⋅ ++ =       ++++++=++++=++⇒ )()()(3.)).( 111 .( c a a c b c c b a b b a rcba cba rhhh cba Áp dụng BĐT côsi ta có: 22 =≥+ ba ab a b b a ; 22 =≥+ cb bc b c c b ; 22 =≥+ ca ac a c c a ( ) rrhhh cba 92223 =+++≥++⇒ dấu ”=” xảy ra khi a=b=c ⇔ ABC đều (đpcm) bài 18(trang174) Cho tam giác ABC, kí hiệu cba RRR ,, là bán kính đường tròn bàng tiếp. chứng minh rằng: a) rhhh cba 1111 =++ b) rRRR cba 1111 =++ bài làm a) S a h haS a a 2 1 . 2 1 =⇒= Tương tự: S b h b 2 1 = và S c h c 2 1 = vậy rrp p S cba S c S b S a hhh cba 1 .2 2 2222 111 == ++ =++=++ (đpcm) b)gọi K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A ⇒ S  ABC = S  ABK = S  ACK - S  BCK )( 2 . apr acb r aa −= −+ = S ap rap S r a a − =⇒ − =⇒ 1 Tương tự: S bp r b − = 1 ; S cp r c − = 1 vậy rpr p S p S cbap S cp S bp S ap rrr cba 1 . )(3111 === ++− = − + − + − =++ (đpcm) bài 20(trang 174) Cho 2 đường tròn cắt nhau tại các điểm A và D; AB và CD theo thứ tự là các tiếp tuyến với đường tròn thứ nhất và đường tròn thứ hai.(B và C là điểm nằm trên đường tròn).chứng minh rằng: 2 2 AB CD BD AC = bài làm: vì CD là tuyếp tuyến của (O 2 ) nên có: cungADADC 2 1 = ∧ cungADABD 2 1 = ∧ (góc nội tiếp) ∧∧ =⇒ ABDADC (1) chứng minh tương tự ta có: ∧∧ = ACDBAD (2) từ (1) và (2) suy ra ABD ~ CDA (g.g) BD AD AD AC AB CD ==⇒ BD AC BD AD AD AC AB CD =⋅=⇒ 2 2 (đpcm) Bài 21(trang 175) Từ điểm P nằm trên cung BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vẽ PK,PL và PM lân lượt vuông góc với các đường thẳng BC, AC và AB tại K, L, M. Chứng minh rằng: PM AB PL AC PK BC += D A O1 O2 B C Bài làm Lấy E thuộc đường tròn ngoại tiếp ABC sao cho: cung BE= cung AC ∧∧ =⇒ APCBPE gọi N=PE ∩ BC ta có ∧∧ = CAPNBP và ∧∧ = APCBPN vậy BNP ~ ACP (g.g) AC BN PL PK =⇒ Ta có: PL là đường cao ACP; PK là đường cao BNP Mà BNP ~ ACP PK BN PL AC =⇒ (1) Cung BE=Cung AC suy ra cung AB= cungEC ∧∧ = PNBACP ( )( 2 1 cungBPcungAB += ) Xét CPN và APB ta có: ) 2 1 ( )180( 0 cungBPPABNCP ACPCNPABP == −== ∧∧ ∧∧∧ ⇒ CPN ~ APB Ta có:PK, PM là các đường cao tương ứng của 2 tam giác trên nên: PK NC PM AB AB NC PM PK =⇒= (2) N O B A C P K L M E (1)+(2) PK BC PK CN PK BN PM AB PL AC =+=+ ( đpcm) Bài 22(trang 175)cho đường tròn (0) đường kính AB vẽ 1 đường tròn tâm A có bán kính tuy ý cắt đường tròn (0) tại C và D, qua B vẽ 1 đường thẳng cắt đường tròn (A) tại M (điểm M nằm trong đường tròn(0)) và cắt đường tròn (0) tại N. chứng minh rằng: MN 2 =CN.ND Bài làm Gỉa sử 2 đường thẳng BM và DN lần lượt cắt đường tròn (A) tại các điểm L và C 1 Ta đi chứng minh đường DN đối xứng với đường thẳng CN qua đường thẳng BN và NA vuông góc với nhau. Ta cần chứng minh: ∧∧ = BNDCNB Thật vậy: đường AB là trục đối xứng của 2 đường tròn nên cung CB = cung BD. Do đó ∧∧ = BNDCNB (chắn 2 cung bằng nhau) mặt khác: C 1 M=CL ∧∧ =⇒ CMNMDC 1 xét MCN và DMN ta có: ∧∧ = CMNMDC 1 ∧∧ = CNBBND vậy MCN ~ DMN(g.g) DNCNMN DN MN MN CN . 2 =⇒=⇒ (đpcm) Bài 23(trang 175) Cho đường tròn (0) đường kính AB=2R. Hai dây AD và BC cắt nhau tại 1 điểm E nằm trong (0). D N M O B A C L C1 [...]... dụng định lý pitago ta có: AB 2 = OB 2 + OA 2 (1) A Tương tự với ODC vuông tại O O C D ta có: DC 2 = OD 2 + OC 2 (2) Từ (1),(2) ta có: AB 2 + DC 2 = OA 2 + OB 2 + OC 2 + OD 2 (*) BCO vuông tại O nên theo pitago có: OB 2 + OC 2 = BC 2 (3) Tương tự với AOD vuông có: OA 2 + OD 2 = AD 2 (4) Thay (3) và (4) vào (*) ta được: AB 2 + DC 2 = AD 2 + BC 2 ( đpcm) Bài 29(trang 175) Cho 1 đường tròn tâm O bán... Bài làm: ∧ kẻ đường kính CM CDM = 90 0 (góc nt chắn nủa đường tròn) mà AB vuông góc với CD (gt) C ∧ ∧ ⇒ DM//AB ⇒ ABD = BDM (so le trong) ⇒ cung AD = cung BM ⇒ AD=BM ⇒ AD2=BM2 (1) O APD vuông tại P nên theo pitago có: AP + PD = AD 2 2 P A 2 B Tương tự CPB vuông tại P nên: PC + PB = CB 2 2 D M 2 ⇒ PA 2 + PB 2 + PC 2 + PD 2 = AD 2 + CB 2 (với CM2=4R2) Mặt khác:CBM vuông tại B nên: CB 2 = CM 2 − BM 2 =... EF AB = ⇒ AB 2 = EF CD (đpcm) AB CD ∧ ∧ Bài 31(trang175) Cho ABCD là hình thang vuông ( A = D = 1V ) Chứng minh rằng: AC ⊥ BD suy ra BC 2 = AB 2 + DC 2 − AD 2 Bài làm: O=DB ∩ AC OBC vuông tại O nên theo pitago có: BC 2 = CO 2 + OB 2 (1) Tương tự với AOB và DOC ta có: OB 2 = AB 2 − AO 2 (2) ∧ ∧ CNB = BND CO 2 = DC 2 − OD 2 (3) Thay (2),(3) vào (1) được: BC 2 = AB 2 − AO 2 + DC 2 − OD 2 (4) ADO vuông . miền trong của tam giác ABC, người ta kẻ AI cắt BC ở D. qua I kẻ các đường thẳng MN, PQ, RS, theo thứ tự song song với BC, AB, AC(M, S ∈ AB; Q, R ∈ BC và N, P ∈ AC). chứng minh rằng: a) DC DB IN IM = b). đảo lại nếu bcba += 22 thì ∧∧ = BA 2 bài làm a)kẻ tia phân giác AM của ∧ BAC ∧∧∧ ==⇒ BMACBAM Theo tính chất đường phân giác: ACAB BC AC MC AB MB + == B A C D E F Ta có:MA=MB(BMA cân tại M) ACAB BC AB MA ACAB BC AB MB + =⇔ + =⇒ (1) Xét. ra: ACAB BC BC AC + = ACABACBC . 22 +=⇔ ⇔ bcba += 22 (đpcm) b) Trên tia đối của tia AC lấy điểm N sao cho :AN=AB theo gt ta có: bcba += 22 ACABACBC . 22 +=⇔ ⇔ ).( 2 ABACACBC += BC ABAC AC BC + =⇔ Mà AB=AN BC ABAC AC BC