BÀI TP GIAI TÍCH 1 CHNG 1 DÃY S THC Dãy số Giới hạn dãy số Định lí kẹp BÀI TẬP GIẢI TÍCH 1 CHƯƠNG 1 DÃY SỐ THỰC TS NGUYỄN ĐÌNH DƯƠNG BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG ĐTZalo 0913 066 940 Em.
Dãy số Giới hạn dãy số Định lí kẹp BÀI TẬP GIẢI TÍCH CHƯƠNG DÃY SỐ THỰC TS NGUYỄN ĐÌNH DƯƠNG BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG - KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG ĐT/Zalo: 0913.066.940 - Email: duongnda@hcmut.edu.vn Ngày tháng 10 năm 2020 TS Nguyễn Đình Dương BT-GT1 Dãy số Giới hạn dãy số Định lí kẹp Bài 1 Cho dãy số (un ) viết dạng khai triển , , , , , Tìm số hạng tổng quát un dãy số (n ∈ N∗ ) n+1 n2 n2 n A un = B un = C un = D un = n+2 n +1 n+1 n+1 TS Nguyễn Đình Dương BT-GT1 Dãy số Giới hạn dãy số Định lí kẹp Bài 1 Cho dãy số (un ) viết dạng khai triển , , , , , Tìm số hạng tổng quát un dãy số (n ∈ N∗ ) n+1 n2 n2 n A un = B un = C un = D un = n+2 n +1 n+1 n+1 Lời giải TS Nguyễn Đình Dương BT-GT1 Dãy số Giới hạn dãy số Định lí kẹp Bài 1 Cho dãy số (un ) viết dạng khai triển , , , , , Tìm số hạng tổng quát un dãy số (n ∈ N∗ ) n+1 n2 n2 n A un = B un = C un = D un = n+2 n +1 n+1 n+1 Lời giải n Do n ∈ N∗ nên suy un = D n+1 TS Nguyễn Đình Dương BT-GT1 Dãy số Giới hạn dãy số Định lí kẹp Bài Cho Sn = ? A Sn = 1 + +···+ với n ∈ N∗ Mệnh đề sau 1·3 3·5 (2n − 1)(2n + 1) n+1 n B Sn = n 2n + TS Nguyễn Đình Dương C Sn = BT-GT1 n+2 2n + D Sn = n−1 2n − Dãy số Giới hạn dãy số Định lí kẹp Ta có: 1 n+2−n = · = n(n + 2) n(n + 2) Lời giải n+2 n − n(n + 2) n(n + 2) = 1 − n n+2 Do Sn = = = = = 1 + +···+ 1·3 3·5 (2n − 1)(2n + 1) 1 1 1 − + − +···+ − 3 2n − 2n + 1 1 − 2n + 1 2n · 2n + n 2n + TS Nguyễn Đình Dương BT-GT1 Dãy số Giới hạn dãy số Định lí kẹp Vậy Sn = n 2n + TS Nguyễn Đình Dương BT-GT1 Dãy số Giới hạn dãy số Định lí kẹp B TS Nguyễn Đình Dương BT-GT1 Dãy số Giới hạn dãy số Định lí kẹp Bài Cho dãysố A 16 u1 = Tìm số hạng thứ dãy số un+1 = un + n B 12 C 15 TS Nguyễn Đình Dương BT-GT1 D 14 Dãy số Giới hạn dãy số Định lí kẹp Bài Cho dãysố A 16 u1 = Tìm số hạng thứ dãy số un+1 = un + n B 12 C 15 Lời giải TS Nguyễn Đình Dương BT-GT1 D 14 Dãy số Giới hạn dãy số Định lí kẹp Bài 13 Chứng minh rằng: n a) lim n = 0; √ d) lim n n = 1; 2n = 0; n! √ e) lim n a = với a > b) lim c) lim an = 0; nn Lời giải Gợi ý: a) Ta có 2n = (1 + 1)n = C0n + C1n + C2n + · · · + Cnn > 2n 2 2 = · · · · · < · , ∀n ≥ n! n n an c) Với n > 2a ta có < n < n n b) Ta có < TS Nguyễn Đình Dương BT-GT1 n n(n − 1) ⇒0< n < 2 n−1 Dãy số Giới hạn dãy số Định lí kẹp Tốc độ tiến +∞ lnα n √ n n β ( β > 0) an (a > 1) n! nn n(n − 1) 2 αn =⇒ < α2n < n−1 √ Theo nguyên lý kẹp =⇒ lim αn = =⇒ lim n n = d) Đặt αn = n − ⇒ n = (1 + αn )n > e) • Nếu a = =⇒ ok √ √ √ • Nếu a > 1, ta có ≤ n a ≤ n n với ∀n > a =⇒ lim n a = √ • Nếu a < 1, đặt a = > =⇒ lim n a = a TS Nguyễn Đình Dương BT-GT1 Dãy số Giới hạn dãy số Định lí kẹp Bài 14 , x1 = Chứng minh {xn } khơng có giới hạn hữu hạn xn xn + , x1 > Chứng minh {xn } có giới hạn tính lim xn xn a) Cho dãy xn+1 = xn + b) Cho dãy xn+1 = TS Nguyễn Đình Dương BT-GT1 Dãy số Giới hạn dãy số Định lí kẹp Bài 14 , x1 = Chứng minh {xn } khơng có giới hạn hữu hạn xn xn + , x1 > Chứng minh {xn } có giới hạn tính lim xn xn a) Cho dãy xn+1 = xn + b) Cho dãy xn+1 = Lời giải TS Nguyễn Đình Dương BT-GT1 Dãy số Giới hạn dãy số Định lí kẹp Bài 14 , x1 = Chứng minh {xn } khơng có giới hạn hữu hạn xn xn + , x1 > Chứng minh {xn } có giới hạn tính lim xn xn a) Cho dãy xn+1 = xn + b) Cho dãy xn+1 = Lời giải TS Nguyễn Đình Dương BT-GT1 Dãy số Giới hạn dãy số Định lí kẹp Bài 14 , x1 = Chứng minh {xn } khơng có giới hạn hữu hạn xn xn + , x1 > Chứng minh {xn } có giới hạn tính lim xn xn a) Cho dãy xn+1 = xn + b) Cho dãy xn+1 = Lời giải Bằng quy nạp ta chứng minh xn > 0, ∀n ≥ 1, từ suy xn+1 > xn , ∀n ≥ TS Nguyễn Đình Dương BT-GT1 Dãy số Giới hạn dãy số Định lí kẹp Bài 14 , x1 = Chứng minh {xn } khơng có giới hạn hữu hạn xn xn + , x1 > Chứng minh {xn } có giới hạn tính lim xn xn a) Cho dãy xn+1 = xn + b) Cho dãy xn+1 = Lời giải a) Bằng quy nạp ta chứng minh xn > 0, ∀n ≥ 1, từ suy xn+1 > xn , ∀n ≥ 1 Giả sử lim xn = a ∈ R Khi a > a = a + ⇒ = (vơ lý) a a TS Nguyễn Đình Dương BT-GT1 Dãy số Giới hạn dãy số Định lí kẹp b) Bằng quy nạp ta chứng minh xn > 0, ∀n ≥ Nhờ BĐT Cauchy ta có xn ≥ 1, tức {xn } bị chặn ⇒ xn+1 ≤ xn ⇒ {xn } giảm Lại có xn ≥ xn Vì dãy giảm bị chặn nên tồn lim xn 1 Giả sử lim xn = a ∈ R Khi a ≥ a = a+ ⇒ a = a TS Nguyễn Đình Dương BT-GT1 Dãy số Giới hạn dãy số Định lí kẹp Bài 15 Tính giới hạn sau: a) lim n n+1 n ; b) lim 2n3 − 4n+1 ; 3n − 22n−1 + 5n7 n nπ e) xn = sin ; 2 2n ; d) lim [cos(ln n) − cos (ln(n + 1))]; c) lim g) lim 2n + 2n 1 n + +···+ n ; 32 TS Nguyễn Đình Dương f) lim 1 n + +···+ n ; 2 h) lim 1 + +···+ 1.2.3 2.3.4 n(n + 1)(n + 2) BT-GT1 Dãy số Giới hạn dãy số Định lí kẹp Lời giải Gợi ý: a) Sử dụng giới hạn lim + n n = e (ĐS: ) e b) ĐS: e c) Chia tử mẫu cho 4n (ĐS: 8) n ln ln n(n + 1) d) Sử dụng công thức cos(ln n) − cos (ln(n + 1)) = −2 sin sin n+1 , 2 n ln n+1 0 ≤ |cos(ln n) − cos (ln(n + 1))| ≤ sin (ĐS: 0) suy n ln n + lim sin =0 e) ĐS: phân kì TS Nguyễn Đình Dương BT-GT1 Dãy số Giới hạn dãy số Định lí kẹp f) Tính Sn − Sn ⇒ lim Sn = 2; g) Tính Sn − Sn ⇒ lim Sn = h) Ta có 1 = k(k + 1)(k + 2) 1 − k(k + 1) (k + 1)(k + 2) TS Nguyễn Đình Dương BT-GT1 (ĐS: ) Dãy số Giới hạn dãy số Định lí kẹp Bài 16 Chứng minh dãy số sau hội tụ tìm giới hạn dãy √ u1 > 0, a > u1 = a) b) √ a un + = un + un+1 = + un , ∀n ≥ un TS Nguyễn Đình Dương BT-GT1 , ∀n ≥ Dãy số Giới hạn dãy số Định lí kẹp Bài 16 Chứng minh dãy số sau hội tụ tìm giới hạn dãy √ u1 > 0, a > u1 = a) b) √ a un + = un + un+1 = + un , ∀n ≥ un Lời giải TS Nguyễn Đình Dương BT-GT1 , ∀n ≥ Dãy số Giới hạn dãy số Định lí kẹp Bài 16 Chứng minh dãy số sau hội tụ tìm giới hạn dãy √ u1 > 0, a > u1 = a) b) √ a un + = un + un+1 = + un , ∀n ≥ un Lời giải TS Nguyễn Đình Dương BT-GT1 , ∀n ≥ Dãy số Giới hạn dãy số Định lí kẹp Bài 16 Chứng minh dãy số sau hội tụ tìm giới hạn dãy √ u1 > 0, a > u1 = a) b) √ a un + = un + un+1 = + un , ∀n ≥ un Lời giải a) ĐS: lim un = 2; b) ĐS: lim un = TS Nguyễn Đình Dương BT-GT1 √ a , ∀n ≥ ... Tìm số hạng thứ dãy số un+1 = un + n B 12 C 15 TS Nguyễn Đình Dương BT-GT1 D 14 Dãy số Giới hạn dãy số Định lí kẹp Bài Cho dãysố A 16 u1 = Tìm số hạng thứ dãy số un+1 = un + n B 12 C 15 Lời giải. .. Dãy số Giới hạn dãy số Định lí kẹp Bài Cho dãysố A 16 u1 = Tìm số hạng thứ dãy số un+1 = un + n B 12 C 15 Lời giải D 14 Ta có u2 = u1 + = 5; u3 = u2 + = 7; u4 = u3 + = 10 Do số hạng thứ dãy số. .. Dãy số Giới hạn dãy số Định lí kẹp Vậy Sn = n 2n + TS Nguyễn Đình Dương BT-GT1 Dãy số Giới hạn dãy số Định lí kẹp B TS Nguyễn Đình Dương BT-GT1 Dãy số Giới hạn dãy số Định lí kẹp Bài Cho dãysố