Cho hai tap hñp kh¡c réng X v Y . nh x¤ f tø X v o Y l mët quy tc cho t÷ìng ùng mët ph¦n tû x ∈ X vîi duy nh§t mët ph¦n tû y ∈ Y . Kþ hi»u f : X −→ Y x 7→ y = f(x)Cho hai tap hñp kh¡c réng X v Y . nh x¤ f tø X v o Y l mët quy tc cho t÷ìng ùng mët ph¦n tû x ∈ X vîi duy nh§t mët ph¦n tû y ∈ Y . Kþ hi»u f : X −→ Y x 7→ y = f(x)Cho hai tap hñp kh¡c réng X v Y . nh x¤ f tø X v o Y l mët quy tc cho t÷ìng ùng mët ph¦n tû x ∈ X vîi duy nh§t mët ph¦n tû y ∈ Y . Kþ hi»u f : X −→ Y x 7→ y = f(x)Cho hai tap hñp kh¡c réng X v Y . nh x¤ f tø X v o Y l mët quy tc cho t÷ìng ùng mët ph¦n tû x ∈ X vîi duy nh§t mët ph¦n tû y ∈ Y . Kþ hi»u f : X −→ Y x 7→ y = f(x)Cho hai tap hñp kh¡c réng X v Y . nh x¤ f tø X v o Y l mët quy tc cho t÷ìng ùng mët ph¦n tû x ∈ X vîi duy nh§t mët ph¦n tû y ∈ Y . Kþ hi»u f : X −→ Y x 7→ y = f(x)
C¡c lo¤i ¡nh x¤
Cho ¡nh x¤ f : X −→ Y x 7→ y=f(x) a f ỡn Ănh náux6=x 0 ⇒f(x)6=f(x 0 ). ỡn Ănh cỏn gồi l Ănh xÔ 1-1. b f to n Ănh náu∀y∈Y,∃x∈X :y=f(x). c f song Ănh náuf vứa ỡn Ănh, vứa to n Ănh. ành lþ 1.1
Hàm số f: X → Y, với x 7→ y = f(x), được định nghĩa là: a Hàm f là một ánh xạ đơn khi và chỉ khi f(x) = f(x₀) ⇒ x = x₀ b Hàm f là một ánh xạ toàn khi và chỉ khi f(X) = Y, tức là với mọi y ∈ Y đều có x ∈ X sao cho f(x) = y c Hàm f là một ánh xạ song ánh khi và chỉ khi với mọi y ∈ Y, tồn tại duy nhất x ∈ X sao cho f(x) = y.
Cho hai ¡nh x¤ f : X −→ Y x 7→ y =f(x) g: Y −→ Z y 7→ z=g(y) g◦f : X −→ Z x 7→ z=g(f(x)) gồi l Ănh xÔ hủp cừa f v g. ành nghắa 1.5 (nh xÔ ngữủc)
Cho song ¡nhf :X−→Y. f −1 : Y −→ X y 7→ xvợi f(x) =y gồi l Ănh xÔ ngữủc cừa f.
Vẵ dử
Vẵ dử 1.1.1 Cho Ănh xÔ f : N −→ R n 7→ y=f(n) = 1 n+ 2. a Tẳmf(3). b Tẳmf −1 (1/9). c Tẳmf(A)vợi A={2,17}. d Tẳmf −1 (B) vợi B={1/3,1/11}.
Vẵ dử 1.1.2 ChoXTản sinh viản K20 cừa trữớng HBK (X ch¿ chựa cĂc tản khĂc nhau),
Y MÂ số sinh viản K20 cừa trữớng HBK f : X −→ Y x 7→ y=f(x) = MÂ số sinh viản cừa x.
Kiºm tra f cõ l Ănh xÔ hay khổng Náuf l Ănh xÔ thẳ f cõ l ỡn Ănh, to n Ănh, song Ănh khổng?
Giới thiệu: Mỗi tản sinh viên luôn có một mã số sinh viên duy nhất Trong khi đó, một lớp học có thể chứa nhiều mã số sinh viên khác nhau, nhưng vẫn thuộc cùng một tản sinh viên Một tổn ảng có thể chứa tất cả các mã số sinh viên trong đó, và tản sinh viên tương ứng trong lớp học Tuy nhiên, không thể có một lớp học mà không có tản sinh viên.
Vẵ dử 1.1.3 Cho Ănh xÔ f : [0,+∞) −→ R x 7→ y=f(x) =x 2 Chựng minhf l ỡn Ănh những khổng l to n Ănh.
⇔x=x 0 f khổng l to n Ănh vẳ cõ nhỳng giĂ trà y ∈ R khổng cõ tÔo Ênh x Ch¯ng hÔn y = −1 khổng cõ x∈[0,+∞) º x 2 =−1hay khổng cõ x∈[0,+∞) º f(x) =y.
Vẵ dử 1.1.4 Cho Ănh xÔ f : R −→ [0,+∞) x 7→ y=f(x) =x 2 Chựng minh f l to n Ănh những khổng l ỡn Ănh.
Hàm số f(x) = x² là một hàm số đồng nhất, với hai giá trị khác nhau x = 2 và x = -2 đều cho cùng một giá trị f(2) = f(-2) = 4 Hàm này được định nghĩa trên miền [0, +∞) và luôn tạo ra giá trị không âm trong R Để chứng minh rằng f là một song ánh, ta cần chỉ ra rằng mỗi giá trị y trong miền [0, +∞) có đúng một giá trị x tương ứng, với x = √y hoặc x = -√y.
Gi£i: f l song Ănh vẳ mồi giĂ trà y ∈[0,+∞) (têp án Y) ãu cõ duy nhĐt tÔo Ênh x∈[0,+∞) (têp i
Vẵ dử 1.1.6 Cho 2 Ănh xÔ f : [0,+∞) −→ R x 7→ y=f(x) =x 2 v g: R −→ R x 7→ y=g(x) = 2x+ 3 Tẳm cổng thực cừa g◦f(x).
Vẵ dử 1.1.7 Cho song Ănh f : [0,+∞) −→ [0,∞) x 7→ y=f(x) =x 2
Tẳm Ănh xÔ ngữủc f −1 cừaf.
⇔ x=√ y Vêy ta tẳm ữủc Ănh xÔ ngữủc f −1 : [0,+∞) −→ [0,∞) y 7→ f −1 (y) =√ y
Vẵ dử 1.1.8 Cho Ănh xÔ f : [1,∞) −→ (0,1] x 7→ y=f(x) = 1 x 3 Chựng minh f l mởt song Ănh v tẳmf −1
Do vợi mội y ∈ (0,1], cõ duy nhĐt x ∈[1,+∞) º y = f(x) nản f l song Ănh Tứ kát quÊ tẳm x ð trản, ta cụng rút ra ữủc cổng thựcf −1 (y) = 1
H m sè
Mởt số ành nghắa
Cho X, Y l nhỳng têp hủp khổng rộng, trong õ Y ⊂ R nh xÔ f : X −→ Y ữủc gồi l mởt h m số thỹc.
NáuX trong ành nghắa trản l têp con cừaR,f ữủc gồi l h m số thỹc mởt bián Thổng thữớng têp xĂc ành cừa h m số ữủc kỵ hiằu l D. ành nghắa 2.2 (Têp giĂ trà)
R ={f(x) :x∈D}gồi l têp giĂ trà (miãn giĂ trà) cừa f. ành nghắa 2.3 (H m số hủp)
Cho 2 h m sốf :D f −→ Y v g:Y ⇐⇒Z (têp giĂ trà R f cừa f l têp con cừa têp xĂc ành Dg cõa g) Khi â g◦f : D f −→ Z x 7→ g◦f(x) =g(f(x)) gồi l h m số hủp cừa f v g. ành nghắa 2.4 (H m số ngữủc)
Náu h m sốf : D f −→ Y x 7→ y=f(x) l song Ănh, thẳ Ănh xÔ ngữủc cừaf gồi l h m số ngữủc cừa f , cụng kỵ hiằuf −1
Lữu ỵ: Náu h m sốf l song Ănh, ta cõy =f(x)⇔x=f −1 (y). ành nghắa 2.5 (ỗ thà cừa h m số y=f(x))
Cho h m số f cõ têp xĂc ành D Têp hủp cĂc iºm cõ tồa ở(x;f(x)) trong m°t ph¯ng Oxy gồi l ỗ thà cừa f.
Nhên x²t: Tứ ành nghắa cừa h m số, ỗ thà cừa mởt h m số f l mởt ữớng cong trÊi ngang theo trửc Ox. ành nghắa 2.6 (H m số chđn v h m số l´)
GiÊ sỷ h m số f cõ têp xĂc ành Dl Rho°c(−a, a) hay[−a, a]vợi a >0. a f l h m số chđn náuf(−x) =f(x0vợi mồix∈D. b f l h m số l´ náuf(−x) =−f(x) vợi mồix∈D. ành nghắa 2.7 (H m số ỡn iằu)
H m số f thọa∀x, x 0 ∈D:x > x 0 ⇒f(x)≥f(x 0 ) gồi l h m ỗng bián (tông) H m số f thọa
∀x, x 0 ∈D:x > x 0 ⇒f(x)≤f(x 0 ) gồi l h m nghàch bián (giÊm) H m số ỗng bián hay nghàch bián gồi chng l h m số ỡn iằu.
Lữu ỵ: Náu trong bĐt ¯ng thực thự 2 khổng cõ dĐu=,f gồi l h m tông ch°t ho°c giÊm ch°t. ành lþ 1.2
Náu h m số f : Df −→ Rf tông ch°t ho°c giÊm ch°t thẳ f −1 tỗn tÔi. ỗ thà cừa f v f −1 ối xựng qua ữớng th¯ng y=x.
Bữợc 1 GiÊi phữỡng trẳnh y=f(x),∀y ∈Rf, nghiằm duy nhĐt l x=ϕ(y).
Bữợc 2 ời vai trỏ cừa x v y trong nghiằm ð Bữợc 1: y=ϕ(x).
Nhúng c¡ch cho h m sè
Câ 4 c¡ch cho h m sè: a Mổ tÊ bơng lới.
Mở bồn chứa hình hộp chữ nhật có kích thước 10m x 3m, chiều dài Ảy gấp đôi chiều rộng Biết rằng giá nguyên liệu làm bồn là 200 ng/m², giá nguyên liệu làm Ảy là 250 ng/m² Xác định giá nguyên liệu làm bồn theo kích thước chiều rộng của Ảy.
2x é Ơy h m số cƯn tẳm l h m giĂ nguyản liằu v bián l chiãu rởng cừa Ăy bỗn. b Mổ tÊ bơng biºu thực.
Trong vẵ dử 1.2.2, thay vì mổ tÊ, bÔn cõ thº ữủc cung cĐp biºu thực nhữ sau: giĂ nguyản liằu º l m mởt bỗn chựa hẳnh hởp chỳ nhêt thº tẵch 10 m 3, cõ chiãu d i Ăy gĐp ổi chiãu rởng l.
C(x) = 500x+6000 x (ng n), trong õx l chiãu rởng cừa Ăy tẵnh bơng m²t (m). c Mổ tÊ bơng bÊng số: d nh cho dỳ liằu rới rÔc.
Vẵ dử 1.2.3 Thống kả số ca nhiạm mợi vợi virus sars-covid-2 trản cÊ nữợc Viằt nam trong 10 ng y Ưu thĂng 6 nôm 2021 cho bði bÊng dữợi Ơy
(Nguỗn: https://github.com/CSSEGISandData/COVID-19)
BÊng trản mổ tÊ h m số f = f(x), trong õ x = ng y l mởt trong 10 ng y Ưu thĂng 6 nôm
2021,y = số ca mưc mợi. d Mổ tÊ bơng ỗ thà.
Vẵ dử 1.2.4 ỗ thà dữợi Ơy mổ tÊ tốc ở tông trữðng GDP cừa Viằt nam trong giai oÔn tứ nôm 2010 án nôm 2020. nôm
Hẳnh 1.1: Tốc ở tông trữðng GDP cừa Viằt Nam giai oÔn 2010-2020 (nguỗn: VIETRF) ỗ thà trản l cừa h m sốy =f(x)vợixl cĂc nôm tứ nôm 2010 án 2020,yl tốc ở tông trữðngGDP tữỡng ựng vợi nômx.
H m sè sì c§p cì b£n
H m lụy thứa y = x α
a Têp xĂc ành, têp giĂ trà
Náuα=n∈N:D=R, R= [0,+∞) náu n chđn, R=Rnáu nl´.
Náuα=ml số nguyản Ơm: D=R\{0}, R= (0,+∞) náu n chđn, R=R\{0}náu nl´.
Náuα= p q l số hỳu t thẳ tũy thuởc v o bêc côn. b Tẵnh ỡn iằu: x α ỗng bián náuα >0 v nghàch bián náuα 0. a Têp xĂc ành, têp giĂ trà:D=R,R= (0,+∞). b Tẵnh ỡn iằu: y=a x ỗng bián náu a >1 v nghàch bián náu0< a 0. a Têp xĂc ành, têp giĂ trà:D= (0,+∞),R=R. b Tẵnh ỡn iằu: y= log a x ỗng bián náua >1 v nghàch bián náu0< a 0,f ỗng bián,a 0, xác định hình dạng của P và xác định bậc kẻ của đường tròn đi qua P, Q với góc thỏa mãn theo một hàm số dựa trên biến x và y.
Hẳnh 1.14: ữớng trỏn i qua ¿nh parabol va cưt parabol tÔi 2 iºm ối xựng
GồiR(x) l bĂn kẵnh cừa ữớng trỏn, do P cụng nơm trản ữớng trỏn nản ta cõ liản hằ x 2 + [x 2 −R(x)] 2 =R 2 (x).
Do giÊ thiátx >0, ta tẳm ữủcR(x) = x 2 + 1
Tính đến tháng 11 năm 2019, giá thịt lợn hơi đạt 15.000 đồng/kg, tăng 1.400 đồng/kg so với tháng trước Đặc biệt, giá thịt lợn trong tháng 11/2019 là 14.600 đồng/kg, cho thấy sự tăng trưởng đáng kể so với thời điểm đầu năm 2019 Sự biến động này phản ánh tình hình thị trường thực phẩm và nhu cầu tiêu thụ lợn hơi trong nước.
Do giÊ thiát giĂ gÔo tông ãu 150 ỗng/kg mội thĂng nản h m số cƯn tẳm l h m tuyán tẵnh
GiĂ gÔo Ưu thĂng 1/2019 l P(1) = 13,100ỗng/kg.
Tính đến tháng 11 năm 2019, giá lợn hơi đã tăng 1% so với tháng trước, đạt 14.600 đồng/kg So với cùng kỳ năm 2019, giá lợn hơi hiện tại đã có sự tăng trưởng đáng kể, phản ánh tình hình thị trường và nhu cầu tiêu thụ.
Do giÊ thiát giĂ gÔo tông 1% mội thĂng, náu gồi P(1) l giĂ gÔo ð Ưu thĂng thự 1 thẳ
⇒ P(1)≈13,217. Vêy giĂ gÔo ð Ưu thĂng thự tcừa nôm 2019 l P(t) = 13,217ã(1.01) t−1 , 1≤t≤12 ỗng/kg v giĂ gÔo Ưu nôm 2019 l 13,217dỗng/kg.
H m tuyán tẵnh mổ tÊ nhỳng Ôi lữủng cõ tốc ở bián thiản khổng ời.
H m mụ mổ tÊ nhỳng Ôi lữủng cõ tốc ở bián thiản tẵnh theo t lằ %
Bảng giá nước sinh hoạt tại thành phố Hồ Chí Minh áp dụng từ năm 2021 được quy định cho những hộ gia đình sử dụng nước, bao gồm 5% thuế giá trị gia tăng và 10% phí bảo vệ môi trường cho mỗi mét khối (m³) nước.
Mực sỷ dửng GiĂ thanh toĂn cho 1 m 3 (m 3 /thĂng/hở) (ng n ỗng)
Lêp h m số C(x) mổ tÊ số tiãn mởt hở dƠn n o õ phÊi thanh toĂn trong mởt thĂng khi sỷ dửng x m 3 nữợc.
H m số cƯn tẳm cõ dÔng
ị nghắa h m số
B i têp 1.4.5 Theo thống kả cừa WHO, số ngữới trản thá giợi bà mưc Ăi thĂo ữớng trong giai oÔn tứ nôm 2000 án 2017 ữủc mổ phọng bði h m số
Hàm số P(t) = −0.0961t² + 19.044t + 143.02 mô tả sự biến đổi của một đại lượng theo thời gian t, với t = 0 tương ứng với năm 2000 Để tính giá trị P(8), ta thay t = 8 vào hàm số và xác định ý nghĩa của giá trị này Bên cạnh đó, cần tính số người mức sống khá giả vào năm 2013 bằng cách thay t = 13 vào hàm số để tìm ra kết quả.
Gi£i: a P(8) = 289.2216 ≈ 289.22 Nôm 2008, số ngữới mưc Ăi thĂo ữớng trản to n thá giợi khoÊng 289.22 triằu ngữới. b Số ngữới mưc Ăi thĂo ữớng trản thá giợi v o nôm 2013 l
B i têp 1.4.6 Mực nông lữủng tiảu hao khi bỡi (tẵnh bơng kcal/km) cừa ởng vêt bỡi trản m°t nữợc phử thuởc v o khối lữủng cừa chúng v ữủc ữợc tẵnh bði h m số y=f(x) = 0.01x 0.88
Trong ô x l khối lưỡng cư ởng vét tẵnh bơng gam, tắm lưỡng cư nông lưỡng tiêu hao của các ởng vét sau: một con chuột xô hưỡng nặng 800 g và một con rái cá biển nặng 20 kg.
Gi£i: a f(800) = 3.59 Vêy chuởt xÔ hữỡng cõ mực tiảu hao nông lữủng khi bỡi l 3.59 (kcal/km) b 20kg= 20.000g ⇒f(20.000) = 60.94
Vêy con rĂi cĂ biºn n°ng20 kg cõ mực tiảu hao nông lữủng khi bỡi l 60(kcal/km).
Hẳnh 1.15: ỗ thà vã quĂ trẳnh hĐp thu v o thÊi Nicotin sau khi hẵt khõi thuốc lĂ
ồc ỗ thà
Sau khi ngừng sử dụng thuốc lá, nồng độ nicotine trong máu sẽ giảm nhanh chóng Sau khoảng vài giờ, nồng độ nicotine trong máu giảm một nửa so với lúc ban đầu Nếu ngừng thuốc lá hoàn toàn, nồng độ nicotine sẽ tiếp tục giảm và đạt mức rất thấp.
Sau khi sử dụng thuốc lá, nồng độ nicotine trong máu vào thời điểm t=0 là 0.4 mg, và sau 2 giờ, nồng độ này giảm xuống còn 0.2 mg Điều này cho thấy sau 2 giờ, nồng độ nicotine trong máu giảm một nửa so với lúc ban đầu Nếu không hút thuốc lá trong khoảng thời gian này, nồng độ nicotine sẽ giảm xuống dưới mức có thể phát hiện được sau 0 giờ.
Bước 1.4.8 Quan sát trần mởt giống bức tranh, mởt kỷ sữ nông nghiệp nên thấy rõ, nông suất bức tranh (trần 10 năm tuổi) phụ thuộc vào lượng phân bón hỗn hợp bón cho mỗi cây hàng năm và mối quan hệ giữa chúng để đảm bảo bản dữ liệu.
Hẳnh 1.16: ỗ thà mối quan hằ giỳa lữủng phƠn bõn v nông suĐt mởt cƠy bữði.
1 Náu nôm n o õ khổng bõn phƠn, nông suĐt cƠy bữði l bao nhiảu.
2 Nông suĐt cao nhĐt cừa cƠy bữði tữỡng ựng lữủng phƠn bõn n o?
3 Giao iºm cừa ỗ thà vợi trửc ho nh cõ ỵ nghắa gẳ?
1 Náu nôm õ khổng bõn phƠn thẳ cƠy bữði cho khoÊng 60 quÊ.
2 Nông suĐt cƠy bữði Ôt cao nhĐt khoÊng 97 quÊ náu sỷ khoÊng 36−37 kg phƠn bõn hộn hủp mội nôm.
3 ỗ thà cưt trửc ho nh khi lữủng phƠn bõn 80 kg/nôm, cõ nghắa l lữủng phƠn bõn quĂ nhiãu s³ khổng tốt cho cƠy v l m nông suĐt giÊm cỏn 40 quÊ/nôm.
Têp xĂc ành, têp giĂ trà cừa h m số
Việc tắm tệp xác định và tệp cửa hàng số dựa trên tệp xác định và tệp giá trị của các hàng số sở cấp bên Tuy nhiên, với các hàng số phức tạp, việc tắm tệp giá trị giữa và b i toán khéo sát hàng số mà ta sẽ x²t chữ hướng phẵa sau.
B i têp 1.4.9 Tẳm têp xĂc ành v têp giĂ trà cừa cĂc h m số sau:
1 Dolnx xĂc ành khi x >0nản f x¡c ành ⇔ 1 + cosx >0
⇔ x6= (2k+ 1)π, k∈Z}. Vêy têp xĂc ành cừaf l D=R\{(2k+ 1)π: k∈Z.
Vợix∈D,00 GiÊi phữỡng trẳnhy = 0 ta ữủc cĂc nghiằmx = 0 v x= 400√
3 Vêy quÊ Ôn phĂo tiáp Đt cĂch nỡi °t Ôi bĂc400√
Ùng dửng trong kinh doanh-kinh tá
CĂc h m số thữớng sỷ dửng trong kinh doanh, kinh tá bao gỗm: h m chi phẵC (cost), h m doanh thuR (revenue), h m lủi nhuên P (profit), h m cung S (supply) v h m cƯu D(demand).
1 H m chi phẵ C cõ thº l chi phẵ lữu ởng (C(x) = xìgiĂ tÔo ra 1 sÊn phâm, vợi x l số sÊn phâm) ho°c tờng chi phẵ (C(x) = C0+ chi phẵ lữu ởng, C0 l chi phẵ cố ành nhữ thuả nh x÷ðng, kho b¢i, kh§u hao m¡y mâc, ).
2 H m doanh thuR(x) l doanh thu trảnx sÊn phâm.
3 H m lủi nhuênP(x) =R(x)−C(x) l lủi nhuên trảnx sÊn phâm.
4 H m cƯu biºu diạn sỹ tữỡng quan giỳax sÊn phâm theo nhu cƯu thà trữớng v giĂ giĂ bĂn mội s£n ph©mp=D(x).
5 H m cung thº hiằn mối tữỡng quan giỳaxsÊn phâm m nh cung cĐp sđn s ng cung cĐp v giĂ b¡n méi s£n ph©mp=S(x).
Trong thỹc tá, cĂc Ôi lữủng n y cỏn phử thuởc v o nhiãu yáu tố khĂc.
B i têp 1.5.3 Mởt nh mĂy sÊn xuĐt giĐy cho biát, chi phẵ º sÊn suĐt 1 ream giĐy (500 tớ) A4 loÔi
Mỗi tháng, sản xuất giấy đạt 50 ngàn tấn với giá bán ra khoảng 80 ngàn đồng mỗi tấn Hiện tại, mỗi tháng sản xuất khoảng 4000 ream giấy, tương đương với kế hoạch tổng giá Hồ tiêu thụ trung bình 20 ngàn tấn giấy mỗi tháng, giảm 400 ream so với tháng trước Tầm khoảng 1 triệu tấn giấy được bán ra, với giá bán khoảng 1 ream giấy.
Náu gồix≥80 l giĂ bĂn 1 ream giĐy thẳ số ream giĐy bĂn ra bà giÊm i400ìknáu tông thảmkì20 ng n, vợi k= x−80
20 Vêy số ream giĐy bĂn ra mội thĂng l 4000−400ìx−80
20 Lủi nhuên cho mội ream giĐy bĂn ra l x−50, do õ lủi nhuên mội thĂng cừa nh sÊn xuĐt trản loÔi gi§y n y l :
Để mở cổng ty sản xuất, cần xác định chi phí sản xuất và lợi nhuận từ việc bán ra Hàm lợi nhuận được mô tả bởi g(x) = 1.5 - 0.003x (triệu đồng), trong đó chi phí sản xuất một chiếc ghế là 0.02 triệu đồng và chi phí cố định là 66.5 triệu đồng Cổng ty có khả năng sản xuất và bán ra tối đa 300 ghế.
1 Cổng ty phÊi bĂn ra bao nhiảu ghá º hỏa vốn v giĂ ghá khi õ l bao nhiảu?
2 º lÂi 50 triằu ỗng, cổng ty phÊi sÊn xuĐt bao nhiảu ghá?
1 Tờng chi phẵ º sÊn xuĐtx ghá l : C(x) = 66.5 + 0.02x triằu ỗng.
Tờng doanh thu náu sÊn xuĐt v bĂn x ghá l : R(x) =xãp(x) =x(1.5−0.003x)triằu ỗng. Lủi nhuên trản x ghá bĂn ra l :P(x) =R(x)−C(x) =−0.003x 2 + 1.48x−66.5 triằu ỗng. Cổng ty hỏa vốn cho m°t h ng n y náu lủi nhuên P(x) = 0.
Do cổng ty khổng sÊn xuĐt quĂ 300 ghá nản số ghá cƯn sÊn xuĐt º hỏa vốn l 50.
2 Cổng ty lÂi 50 triằu ỗng tứ viằc sÊn xuĐt n y cõ nghắa P(x) = 50.
⇔ x= 98.31∨x= 395.03 Tữỡng tỹ cƠu trản, giĂ tràx ữủc chồn l 98.31.
Vêy º lÂi 50 triằu ỗng, cổng ty cƯn sÊn xuĐt v bĂn 99 ghá.
Khoa hồc ới sống
Bước 1.5.5: Tôi mở rộng vườn trồng cam, người ta thấy rõ ràng rằng trồng 50 cây cam trên 1000 m² sẽ thu hoạch trung bình là 70kg/cây Nếu cự tông thảm một cây/1000 m² thì sản lượng trung bình khoảng 3kg/cây Giá trị sản xuất số cây vượt trần 50 và khổng qua 10, tắm h m số biểu diện sản lượng trung bình của 1000m² vườn cam theo x.
SÊn lữủng cừa 1000 m 2 vữớn cam=Số cƠy ìnông suĐt mội cƠy.
Náu trỗng 50 cƠy/1000m 2 thẳ trung bẳnh mội cƠy thu ữủc 70kg, náu tông thảmx cƠy, nông suĐt cừa méi c¥y l 70−3x.
Vêy sÊn lữủng trản 1000 m 2 vữớn cam l P(x) = (50 +x)ì(70−3x).
Bảng chuyển đổi nhiệt độ giữa Fahrenheit và Celsius cho thấy nước đóng băng ở 32°F và sôi ở 212°F, trong khi đó ở Celsius, nước đóng băng ở 0°C và sôi ở 100°C Mối liên hệ giữa hai đơn vị nhiệt độ này có thể được mô tả bằng hàm số T = f(t), trong đó t là nhiệt độ theo Celsius Trong các khung nhiệt độ, hàm số f(t) thể hiện sự tương ứng giữa hai loại nhiệt độ này.
Gi£i: a GiÊ sỷ f(t) =at+b, theo giÊ thiátf(0) = 32 v f(100) = 212, ta cõ hằ phữỡng trẳnh sau
a= 1.8 b= 32 Vêy h m sốf(t) = 1.8t+ 32mổ tÊ cĂch tẵnh◦F theo ◦C. b Trản têp xĂc ành D f = [0,100] v têp giĂ trà R f = [32,212],f l h m tông ch°t, do õ tỗn tÔi h m ngữủcf −1 f(t) = 1.8t+ 32 ⇔ T = 9t+ 32
Y tá
Thực quản khỏe mạnh cần duy trì pH khoảng 7.0 Khi xảy ra trào ngược dạ dày, axit dạ dày (có pH từ 1.0 đến 3.0) chảy ngược vào thực quản Nếu pH của thực quản thấp hơn 4.0, tình trạng này có thể gây loét và làm tổn thương niêm mạc của thực quản Do đó, việc giữ pH thực quản ở mức an toàn là rất quan trọng để ngăn ngừa tổn thương do axit trào ngược.
Hẳnh 1.17: ỗ thà mổ tÊ sỹ thay ời pH thỹc quÊn cừa mởt bằnh nhƠn ang ngừ.
Trong khoảng thời gian từ 0 giờ 25 phút đến 1 giờ 55 phút, pH thực phẩm giảm xuống dưới 4.0, dẫn đến sự hình thành axit lactic.
Enzym tiêu hóa đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển và lan rộng khối u bằng cách phân hủy các mô xung quanh Trong các khối u rắn, enzym được sản xuất từ các tế bào ung thư giúp tạo ra môi trường thuận lợi cho sự phát triển của khối u Tốc độ phát triển của khối u theo thời gian có thể được đo lường và phân tích thông qua các chỉ số cụ thể Đặc biệt, tốc độ sản xuất enzym tiêu hóa liên quan mật thiết đến sự xâm lấn của khối u vào các mô lân cận Việc hiểu rõ mối quan hệ này có thể cung cấp những thông tin quý giá cho việc điều trị ung thư hiệu quả hơn.
Theo giÊ thiát, ữớng kẵnh khối u tông amm/nôm, vêy d=at, trong õ tl số nôm tẵnh tứ lúc khối u bưt Ưu hẳnh th nh.
P t lằ thuên vợiS do õ P(S) =kS.
Cổng thực tẵnh diằn tẵch m°t cƯu S theo ữớng kẵnhdl S=πd 2 p dửng cĂch tẵnh cừa h m số hủp ta cõ
= kπ(at) 2 Vêy P(t) =a 2 kπt 2 H m số n y nõi rơng, tốc ở tÔo ra enzym tiảu hõa cừa khối u n y t lằ thuên vợi bẳnh phữỡng số nôm khối u ữủc hẳnh th nh.
D¥n sè
Bước 1.5.9 Mổ hình gia tông đơn số tỷ nhiễm: trong điều kiện mỗi trường không bà hôn chá (không gian và điều kiện sinh sống), kích thước quần thể P (số lượng cá thể của quần thể) được xác định cho bối cảnh mổ hình.
Công thức P(t) = P0 e^(kt) mô tả sự phát triển của một loài vi khuẩn theo thời gian, với P0 là kích thước quần thể tại thời điểm t=0 và k là hằng số liên quan đến tốc độ tăng trưởng Trong trường hợp này, nếu bắt đầu với 1,000 vi khuẩn, sau 2 giờ số lượng vi khuẩn sẽ đạt 3,000 Câu hỏi đặt ra là sau bao lâu thì số lượng vi khuẩn sẽ đạt 100,000?
Gi£i: p dửng mổ hẳnh nảu trản, vợi số lữủng vi khuân ban Ưu l P 0 = 1,000, số lữủng vi khuân sau tgiớ l
Theo giÊ thiát, P(2) = 3000, thay v o cổng thực ta cõ
⇔ t≈8.4 Vêy sau khoÊng 8.4giớ thẳ số vi khuân s³ Ôt 100,000.
B i têp 1.5.10 Mổ hẳnh kẵch thữợc quƯn thº ỡn lo i trong mởt mổi trữớng giợi hÔn ữủc cho bði h m sè:
Trong nghiên cứu này, công thức Ce − k t + 1 được sử dụng để xác định số lượng tồn kho của một sản phẩm trong quận, với k là kích thước quận và t là thời gian từ khi bắt đầu thu thập dữ liệu L là tổng số lượng sản phẩm trong mỗi khu vực, trong khi C đại diện cho sự chênh lệch giữa L và P0, với P0 là số lượng sản phẩm ban đầu Việc phân tích dữ liệu này giúp hiểu rõ hơn về tình hình tồn kho và tối ưu hóa quy trình quản lý hàng hóa trong từng khu vực.
Trong một hồ cá, kích thước tối ưu cho quần thể cá là khoảng 400 con, trong khi số lượng cá tối đa có thể sinh sống trong hồ là 10,000 con Cần lưu ý rằng sau một thời gian, số lượng cá tổng cộng có thể tăng gấp 3 lần Tuy nhiên, sau một khoảng thời gian nhất định, tổng số cá trong hồ có thể giảm xuống dưới 5,000 con.
Theo mổ hẳnh trản, sực chựa cừa hỗ l L= 10,000con, số cĂ trong hỗ ban ƯuP0= 400, số cĂ trong hỗ sau tnôm l
24e − k t + 1. Theo giÊ thiát, khit= 1, số cĂ trong hỗ l 1,200con
⇔ k= ln36 Vêy mổ hẳnh tẳm ữủc l 11
Khi số cĂ Ôt 5,000con thẳ
⇔ t≈2.68 Vêy Sau khoÊng 2 nôm 8 thĂng số cĂ trong hỗ Ôt5,000con.
1 º tÔo Ênh hoÔt hẳnh tiáp cên ngữới chỡi game, ngữới tÔo game  bưt Ưu tứ 1 Ênh hẳnh trỏn cõ bĂn kẵnh
25 pixels (pel) Sau õ bĂn kẵnh ữủc cho tông vợi tốc ở 10 pixels mội giƠy XĂc ành diằn tẵch cừa Ênh sau t gi¥y.
2 CƠu họi tữỡng tỹ b i têp 1 những Ênh xuĐt phĂt l hẳnh vuổng cõ chiãu d i cÔnh 15 pel.
3 Khi khổng khẵ di chuyºn lản cao, nõ nð ra v lÔnh i Náu nhiằt ở trung bẳnh cừa m°t Đt l 20 ◦ C v giÊm 6.5 ◦ C khi ở cao tông lản 1000 m²t HÂy lêp mởt mổ hẳnh phũ hủp thº hiằn nhiằt ở trung bẳnh
T cừa khổng khẵ ( ◦ C) theo ở cao h (km).
4 DƠn số cừa mởt th nh phố A v o nôm 2008 l 50.000. Mội nôm t lằ gia tông dƠn số tỹ nhiản l 4.5% a Lêp mởt h m số mổ tÊ dƠn số tứ nôm 2008 cừa th nh phè n y. b DƠn số v o nôm 2018 l bao nhiảu? c Khi n o thẳ dƠn số Ôt 100.000?
5 Trản to n thá giợi, cổng suĐt sÊn xuĐt nông lữủng giõ, W , l 39.295 megawatt (MW) v o nôm 2003 v l 120, 903 MW v o nôm 2008.
(a) Sỷ dửng cĂc giĂ trà ữủc ữa ra º viát W nhữ l mởt h m tuyán tẵnh cừa t , l số nôm kº tứ nôm 2003.
(b) Tữỡng tỹ cƠu trản, náu W (t) = ke at
(c) Dũng phƯn mãm º v³ ỗ thà cĂc h m tẳm thĐy trong 2 phƯn trản trản cũng mởt hằ trửc.
Sỷ dửng cĂc h m vứa tẳm trong 2 phƯn trản º dỹ oĂn nông lữủng giõ ữủc tÔo ra trong nôm 2010 Nhên x²t vã kát quÊ: ìợc tẵnh n o gƯn vợi giĂ trà thỹc tá hỡn biát Nông lữủng giõ thỹc tá ữủc tÔo ra trong nôm 2010 l 196.653.
6 Mởt bĂc sÿ mua mởt quyºn sĂch vợi giĂ 1.500 USD.
GiÊ sỷ giĂ trà cừa sĂch giÊm ãu °n a USD sau tứng nôm, v án cuối nôm thự 10, giĂ trà cừa sĂch cỏn
230USD HÂy biºu diạn giĂ trà C(t) cừa quyºn sĂch án cuối nôm thự t nhữ mởt h m số theo t
7 Dàch vử giao h ng qua ảm tẵnh phẵ 250 ng n ỗng cho gõi h ng cõ trồng lữủng 2 kg ối vợi mội kg bờ sung, ho°c mởt phƯn cừa chúng, chi phẵ tông thảm l 30 ng n ỗng HÂy lêp biºu thực f(x) biºu thà chi phẵ º gỷi gõi h ng cõ trồng lữủng x kg V³ ỗ thà cừa f vợi x trong khoÊng [0, 6].
8 Mởt nh mĂy sÊn xuĐt nữợc mưm cho biát chi phẵ cố ành mội thĂng l 50 triằu ỗng Chi phẵ bẳnh quƠn º sÊn mội chai nữợc mưm l 30 ng n ỗng Náu gồi x l số chai nữợc mưm m nh mĂy sÊn xuĐt ữủc trong mởt thĂng, tẳm h m số C(x) mổ tÊ chi phẵ sÊn xu§t h ng th¡ng cõa nh m¡y, l§y ìn và cõa C(x) l triằu ỗng.
9 V o tuƯn Ưu thĂng 9, nh vữớn trỗng cam s nh bưt Ưu thu hoÔch GiĂ bĂn lúc n y l 3 triằu ỗng mói t¤ cam (100kg) Sau â, méi tu¦n gi¡ cam gi£m 200 ng n mởt tÔ, ỗng thới số cam trong vữớn cụng tông thảm 30kg Biát ng y Ưu thĂng 9, nh vữớn n y hĂi ữủc 5 tÔ cam Tẳm doanh thu cừa nh vữớn ð tuƯn thự x cừa thĂng 9, 10 v miãn xĂc ành cừa h m doanh thu(gi£ sû th¡ng 9 v 10 câ 9 tu¦n).
10 Mởt cổng ty sÊn xuĐt hởp thiác dỹng thỹc phâm õng hởp Theo ỡn °t h ng, cổng ty phÊi thiát ká mởt hởp hẳnh trử trỏn kẵn cõ bĂn kẵnh Ăy r ≥ 4 (cm) v thº tẵch 750 cm 3 GiĂ thiác l m Ăy hởp l
Giá thịt heo hiện nay là 140.000 đồng/kg, trong khi giá thịt lợn hơi được ghi nhận là 120.000 đồng/kg Tình hình thực tế cho thấy giá nguyên liệu đang có xu hướng ổn định, phù hợp với diễn biến thị trường và chi phí sản xuất.
11 Mởt cổng ty sÊn xuĐt v bĂn cĂc loÔi Ăo thun Chi phẵ cố ành cho viằc sÊn xuĐt v bĂn l 70 triằu ỗng, chi phẵ º sÊn xuĐt mởt Ăo l 50 ng n ỗng.
(a) Náu giĂ bĂn ra mội Ăo l 90 ng n ỗng, hÂy xĂc ành h m doanh thu R(x) v h m lủi nhuên
P (x) náu cổng ty bĂn ra x Ăo thun.
Trong thị trường cạnh tranh, công ty cần xác định giá bán hợp lý để tối đa hóa lợi nhuận Với hàm cầu cho áo thun được biểu diễn bởi x(p) = 8000 - 90p, nếu giá bán áo là 80 nghìn đồng, số lượng áo bán ra sẽ là bao nhiêu và lợi nhuận của công ty trong tình huống này là bao nhiêu? Hơn nữa, cần xác định hàm doanh thu R và hàm lợi nhuận để có cái nhìn tổng quát về hiệu quả kinh doanh.
P theo giĂ bĂn p (ng n ỗng).
Miãn xĂc ành-Miãn giĂ trà
12 Tẳm têp xĂc ành cừa cĂc h m số sau:
13 Trong mởt chữỡng trẳnh tiảm chừng quốc gia, chi phẵ º tiảm cho x% dƠn số l
200 − x Tẳm têp xĂc ành cừa C(x).
14 Tẳm têp giĂ trà cừa cĂc h m số sau:
15 Tứ mởt tĐm giĐy hẳnh chỳ nhêt cõ kẵch thữợc
Kích thước của hộp là 150 x 100 cm, với 4 hình vuông có chiều dài cạnh là x, tạo thành 4 góc vuông Hãy viết hệ số mổ tách của hộp dựa trên x Vui lòng cho biết tệp xác ảnh và tệp giá trị của hệ số này.
16 CƠu họi tữỡng tỹ b i têp 15 những hởp cõ nưp v giĐy cưt nhữ hẳnh v³ bản dữợi. x x x x x x
17 Trong mởt ủt dàch bằnh lan truyãn mÔnh, tÔi th nh phố X số ca mưc mợi ð ng y thự t (tẵnh tứ ng y thống kả Ưu tiản) l h m số S(t) HÂy cho biát ỵ nghắa cừa S(15) = 400
18 Dỹa v o mổ hẳnh trong 1.5.5, náu L = 64, C =
31, k = 0.79, tẵnh P (10) v cho biát ỵ nghắa cừa giĂ trà n y.
19 Mởt vêt cõ nhiằt ở ban Ưu T 0 ( ◦ C) ữủc °t v o mổi trữớng cõ nhiằt ở khổng ời l a ( ◦ C) Sau t phút, nhiằt ở cừa vêt ữủc cho bði cổng thực
T (t) = (T 0 − a)e − k t Náu T 0 = 100, a = 20, k= 0.5, tẳm T (10) v cho biát ỵ nghắa cừa giĂ trà n y Sau bao lƠu thẳ nhiằt ở cừa vêt l 70 ◦ C.
21 Hai h m số f, g xĂc ành trản R v cõ mởt số giĂ trà ữủc cho trong bÊng dữợi Ơy x 1 4 5 9 13 15 16 20 f(x) −1 −7 2 4 −1 1 0 1 g(x) 0 3 −10 −3 −1 3 4 8
22 Cho f(x) = 1 x + 3 v g(x) = x x − 2 Tẳm iãu kiằn cừa x º f ◦ g(x) cõ nghắa v têp xĂc ành cừa h m số n y.
(a) Chựng minh rơng f ◦ g tỗn tÔi.
(c) Tẳm Têp giĂ trà cừa f ◦ g
26 Cho cĂc h m số f v g cõ ỗ thà nhữ hẳnh bản dữợi.
(a) Tẳm miãn xĂc ành v miãn giĂ trà cừa f, g.