Cho hai tap hñp kh¡c réng X v Y . nh x¤ f tø X v o Y l mët quy tc cho t÷ìng ùng mët ph¦n tû x ∈ X vîi duy nh§t mët ph¦n tû y ∈ Y . Kþ hi»u f : X −→ Y x 7→ y = f(x)Cho hai tap hñp kh¡c réng X v Y . nh x¤ f tø X v o Y l mët quy tc cho t÷ìng ùng mët ph¦n tû x ∈ X vîi duy nh§t mët ph¦n tû y ∈ Y . Kþ hi»u f : X −→ Y x 7→ y = f(x)Cho hai tap hñp kh¡c réng X v Y . nh x¤ f tø X v o Y l mët quy tc cho t÷ìng ùng mët ph¦n tû x ∈ X vîi duy nh§t mët ph¦n tû y ∈ Y . Kþ hi»u f : X −→ Y x 7→ y = f(x)Cho hai tap hñp kh¡c réng X v Y . nh x¤ f tø X v o Y l mët quy tc cho t÷ìng ùng mët ph¦n tû x ∈ X vîi duy nh§t mët ph¦n tû y ∈ Y . Kþ hi»u f : X −→ Y x 7→ y = f(x)Cho hai tap hñp kh¡c réng X v Y . nh x¤ f tø X v o Y l mët quy tc cho t÷ìng ùng mët ph¦n tû x ∈ X vîi duy nh§t mët ph¦n tû y ∈ Y . Kþ hi»u f : X −→ Y x 7→ y = f(x)
Möc löc Möc löc Ch÷ìng NH X-HM SÈ 1.1 nh xÔ 1.1.1 Mët sè ành ngh¾a 1.1.2 CĂc loÔi Ănh xÔ 1.1.3 V½ dư 1.2.1 Mët sè ành ngh¾a 1.2.2 Nhúng c¡ch cho h m sè 1.3.1 H m lôy thøa y = xα 1.3.2 H m mô y = ax 1.3.3 H m logarit y = loga x 1.3.4 H m l÷đng gi¡c 10 1.3.5 H m l÷đng gi¡c ng÷đc 11 1.3.6 Hm tuyán tẵnh 13 1.3.7 H m hyperbolic 15 1.4.1 Th nh lªp h m sè 16 1.4.2 ị nghắa hm số 18 1.4.3 ồc ỗ th 18 1.4.4 Tªp x¡c ành, tªp gi¡ trà cõa h m sè 20 1.4.5 H m sè hñp 21 1.4.6 H m ng÷đc 22 1.5.1 Kÿ thuªt 23 1.5.2 Ùng dưng kinh doanh-kinh t¸ 24 1.5.3 Khoa håc íi sèng 25 1.5.4 Y t¸ 26 1.5.5 D¥n sè 27 1.2 H m sè 1.3 H m sè c§p cì b£n 1.4 CĂc dÔng bi têp 16 1.5 Mởt số dÔng toĂn ựng dửng thỹc tá 23 Ch÷ìng1 NH X-HM SÈ 1.1 1.1 nh xÔ 1.2 H m sè 1.3 H m sè c§p cì b£n 1.4 CĂc dÔng bi têp 16 1.5 Mởt số dÔng toĂn ựng dửng thỹc tá 23 nh xÔ 1.1.1 Mởt số nh nghắa nh nghắa 1.1 (nh xÔ) Cho hai têp hủp khĂc rộng X v Y x X vợi nhĐt mët ph¦n hi»u f : X −→ Y x 7→ y = f (x) phƯn tỷ Kỵ f tứ X y Y nh xÔ tỷ vo Y nh nghắa 1.2 Cho Ănh xÔ f: X x têp xĂc ành cõa f Y y = f (x) a X: b y = f (x): c x: d A ⊂ X, f (A) = {f (x) : x ∈ A}: e f −1 (y) = {x ∈ X : y = f (x)}: Ênh cừa tÔo Ênh cừa y x qua qua f f tªp £nh cõa A qua f têp hủp cĂc tÔo Ênh cừa y l mởt quy tưc cho tữỡng ựng mởt 1.1 nh xÔ f B ⊂ Y, f −1 (B) = {x ∈ X : f (x) ∈ B}: nghàch £nh cõa B qua f 1.1.2 CĂc loÔi Ănh xÔ nh nghắa 1.3 a f f: X x Cho Ănh xÔ ìn ¡nh n¸u Y y = f (x) x 6= x0 ⇒ f (x) 6= f (x0 ) ìn ¡nh cỏn gồi l Ănh xÔ 1-1 b f ton Ănh n¸u ∀y ∈ Y, ∃x ∈ X : y = f (x) c f song ¡nh n¸u f vøa ìn Ănh, vứa ton Ănh nh lỵ 1.1 Cho Ănh xÔ f: X x −→ 7→ Y y = f (x) f (x) = f (x0 ) ⇒ x = x0 a f ìn ¡nh v ch¿ b f to n ¡nh v ch¿ c f song ¡nh v ch¿ f (X) = Y (måi yY Ãu cõ xX vợi mồi y Y, tỗn tÔi nhĐt x X nh nghắa 1.4 Cho hai Ănh xÔ f: X x gf : X x Y y = f (x) −→ 7→ g: Y y Z z = g (f (x)) −→ 7→ Z z = g(y) gồi l Ănh xÔ hủp cừa f v g nh nghắa 1.5 (nh xÔ ngữủc) Cho song ¡nh f : X −→ Y f −1 : Y y gồi l Ănh xÔ X x vợi f (x) = y ngữủc cừa f 1.1.3 Vẵ dử Vẵ dử 1.1.1 tữỡng ựng) Cho Ănh xÔ f: N n R y = f (n) = n+2 cho f (x) = y NH X-HM SÈ a T¼m f (3) b T¼m f −1 (1/9) c T¼m f (A) d Tẳm f (B) vợi A = {2, 17} vợi B = {1/3, 1/11} Gi£i: 1 = 3+2 −1 f (1/9) = n ∈ N : f (n) = 1 = ⇔n+2=9 n+2 ⇔ n = −1 Vªy f (1/9) = {7} 1 , f (A) = 19 f (3) = f −1 (B) = {n ∈ N : f (n) ∈ B} f −1 (B) = {1, 9} V½ dử Cho X = Tản sinh viản K20 cừa trữớng HBK (X ch¿ chùa Y = M¢ sè sinh viản K20 cừa trữớng HBK f : X Y x 7→ y = f (x) = M¢ sè sinh viản cừa x Kim tra f cõ l Ănh xÔ hay khổng Náu f l Ănh xÔ thẳ f cõ l ìn ¡nh, to n 1.1.2 c¡c t¶n kh¡c nhau), ¡nh, song ¡nh khæng? Gi£i: f f l mët ¡nh xÔ vẳ mội Tản sinh viản luổn luổn cõ M số sinh viản nhĐt khổng l ỡn Ănh vẳ cõ trữớng hủp cõ nhiÃu M số sinh viản khĂc cõ Tản sinh viản f f l ton Ănh vẳ tĐt cÊ cĂc M số sinh viản khổng l song Ănh vẳ Vẵ dử 1.1.3 f f Ãu cõ Tản sinh viản tữỡng ựng X khổng l ỡn Ănh Cho Ănh xÔ f : [0, +∞) x Chùng minh Y −→ 7→ R y = f (x) = x2 l ìn ¡nh nh÷ng khỉng l to n ¡nh Gi£i: f l ìn ¡nh v¼ f (x) = f (x0 ) v x, x0 ≥ ⇔ = x02 v x, x0 ≥ ⇔ x = x0 f khỉng l to n ¡nh v¼ cõ nhỳng giĂ tr y R khổng cõ tÔo £nh x x ∈ [0, +∞) º x2 = −1 hay khæng câ x ∈ [0, +∞) º f (x) = y Náu x2 Vẵ dử 1.1.4 Cho Ănh xÔ Chng hÔn y = khổng cõ 1.1 nh xÔ f: R x f Chựng minh [0, +∞) y = f (x) = x2 l to n ¡nh nh÷ng khỉng l ìn ¡nh Gi£i: f khỉng l ìn ¡nh v¼ câ gi¡ trà x v x0 kh¡c nh÷ng câ cịng £nh y f (2) = f (−2) = f l to n ¡nh v¼ måi gi¡ trà y ∈ [0, +∞) luæn luæn câ tÔo Ênh x R Cử th y = f (x) = x2 ⇔ x = y hay x = − y V½ dư 1.1.5 f −→ 7→ l mët song ¡nh f l song ¡nh v¼ mồi giĂ tr y [0, +) (têp án Y ) ·u câ X ) Cö thº √ y ∈ [0, +∞) Vỵi måi y ∈ [0, +∞): y = f (x) = x ⇔ x = 1.1.6 −→ Tẳm cổng thực cừa GiÊi: Vẵ dử = = = R y = f (x) = x2 g ◦ f (x) v g(f (x)) (f (x)) + 2x2 + 1.1.7 Cho song ¡nh −→ [0, ∞) 7→ y = f (x) = x2 −1 cõa f ngữủc f f : [0, +) x Tẳm Ănh xÔ GiÊi: y = f (x) y = x2 , x ∈ [0, +∞) √ x= y ⇔ ⇔ Vªy ta tẳm ữủc Ănh xÔ ngữủc f : [0, +∞) y V½ dư 1.1.8 f : [1, ∞) −→ 7→ 7→ f (0, 1] y = f (x) = x3 l mët song ¡nh v t¼m Gi£i: Vỵi méi [0, ∞) √ f −1 (y) = y Cho Ănh xÔ x Chựng minh nhĐt tÔo Ênh x [0, +) Cho Ănh xÔ f : [0, +∞) x g ◦ f (x) nh÷ng [0, +∞) y = f (x) = x2 Gi£i: V½ dư 6= Cho Ănh xÔ f : [0, +) x Chùng minh Cö thº y ∈ (0, 1], f −1 g: R x −→ 7→ R y = g(x) = 2x + (tªp i NH X-HM SÈ , x3 ⇔ x= √ ∈ [1, ∞) y Do vỵi méi y ∈ (0, 1], câ nh§t x ∈ [1, +∞) º y = f (x) −1 (y) = tr¶n, ta cơng rút ữủc cổng thực f y Vêy: f : (0, 1] −→ [1, +∞) y 7→ f −1 (y) = √ y y = f (x) 1.2 ⇔ y= n¶n f l song ¡nh Tứ kát quÊ tẳm x Hm số 1.2.1 Mởt sè ành ngh¾a ành ngh¾a 2.1 (H m sè thüc) Cho X, Y l nhúng tªp hđp khỉng réng, â Y R nh xÔ f: X Y ữủc gåi l mët h m sè thüc N¸u X ành nghắa trản l têp cừa têp xĂc nh cừa hm số ữủc kỵ hiằu l R, f ữủc gồi l hm số thỹc mởt bián Thổng thữớng D nh nghắa 2.2 (Têp giĂ tr) f : D Y x 7→ y = f (x) R = {f (x) : x ∈ D} gåi l tªp gi¡ trà Cho h m sè (mi·n gi¡ trà) cõa f ành ngh¾a 2.3 (H m sè hñp) f : Df −→ Y v g : Y ⇐⇒ Z Dg g ) Khi â g ◦ f : Df −→ Z x 7→ g ◦ f (x) = g(f (x)) gåi l h m sè hñp cõa f v g Cho h m sè ành cõa ( tªp gi¡ trà Rf cõa f l têp cừa têp xĂc nh nghắa 2.4 (Hm số ngữủc) Náu hm số f: x Df l song Ănh, thẳ Ănh xÔ Lữu ỵ: Náu hm số f Y y = f (x) ng÷đc cõa f gåi l song ¡nh, ta câ l h m sè ng÷đc cõa f y = f (x) ⇔ x = f −1 (y) , cụng kỵ hiằu f 1.2 Hm số nh nghắa 2.5 ( ỗ th cừa hm số y = f (x)) Cho h m sè f câ tªp xĂc nh gồi l ỗ th cừa Nhên xt: trửc D Tªp hđp c¡c iºm câ tåa ë (x; f (x)) m°t ph¯ng Oxy f Tø ành ngh¾a cõa hm số, ỗ th cừa mởt hm số f l mởt ữớng cong trÊi ngang theo Ox nh nghắa 2.6 (H m sè ch®n v h m sè l´) Gi£ sû h m sè f câ tªp x¡c ành a f l h m số chđn náu b f l hm số l náu D l R f (−x) = f (x0 f (−x) = −f (x) ho°c (−a, a) vỵi måi vỵi måi hay [−a, a] vỵi a > x ∈ D x ∈ D ành ngh¾a 2.7 (H m sè ìn i»u) f thäa ∀x, x0 ∈ D : x > x0 ⇒ f (x) ≥ f (x0 ) gåi l h m ỗng bián (tông) Hm số f thọa x, x0 D : x > x0 ⇒ f (x) ≤ f (x0 ) gåi l h m nghàch bi¸n (gi£m) H m sè ỗng bián hay nghch Hm số bián gồi chng l hm số ỡn iằu Lữu ỵ: nh lỵ 1.2 Náu b§t ¯ng thùc thù khỉng câ d§u Náu hm số f: f v ỗ th cừa Df −→ f −1 Rf =, f gåi l h m t«ng ch°t ho°c gi£m ch°t t«ng ch°t ho°c gi£m ch°t thẳ ối xựng qua ữớng thng f tỗn tÔi y = x CĂch tẳm f 1(x) Bữợc GiÊi phữỡng trẳnh Bữợc ời vai trỏ cừa Bữợc x y = f (x), ∀y ∈ Rf , v f −1 (x) = ϕ(x) 1.2.2 Nhúng c¡ch cho h m sè Câ c¡ch cho h m sè: a Mæ t£ bơng lới y nghiằm nhĐt l nghiằm Bữợc 1: y = (x) x = (y) NH X-HM Sẩ Vẵ dử 1.2.1 Mởt bỗn chựa hẳnh hởp chỳ nhêt khổng nưp cõ th tẵch 10 m3 , chiÃu di Ăy gĐp ổi chiÃu rởng Biát rơng giĂ nguyản liằu lm thnh bỗn l 200 ngn/m , giĂ nguyản liằu lm Ăy bỗn x l 250 ng n/m X¡c ành gi¡ nguy¶n li»u º l m bỗn theo kẵch thữợc chiÃu rởng cừa Ăy 2x é Ơy hm số cƯn tẳm l hm giĂ nguyản liằu v bián l chiÃu rởng cừa Ăy bỗn b Mổ tÊ bơng biu thực Vẵ dử 1.2.2 Trong vẵ dử 1.2.1, thay vẳ mổ tÊ, bÔn cõ th ữủc cung cĐp biu thực nhữ sau: giĂ nguyản liằu lm mởt bỗn chựa hẳnh hởp chỳ nhêt th tẵch 10 m , câ chi·u d i ¡y g§p ỉi chi·u rëng l : C(x) = 500x + â x 6000 x (ngn) , l chiÃu rởng cừa Ăy tẵnh bơng m²t (m) c Mỉ t£ b¬ng b£ng sè: d nh cho dỳ liằu rới rÔc Vẵ dử 1.2.3 Thống kả số ca nhiạm mợi vợi virus sars-covid-2 trản cÊ nữợc Viằt nam 10 ngy Ưu thĂng nôm 2021 cho bi bÊng dữợi Ơy Ngy Số ca mưc mợi 10 193 245 193 301 216 211 236 195 413 200 (Nguỗn: https://github.com/CSSEGISandData/COVID-19) f = f (x), B£ng tr¶n mỉ t£ h m sè 2021, y= â x= ng y l mët 10 ngy Ưu thĂng nôm số ca mưc mợi d Mổ tÊ bơng ỗ th Vẵ dử 1.2.4 ỗ th dữợi Ơy mổ tÊ tốc ở tông trững GDP cừa Viằt nam giai oÔn tứ nôm 2010 án n«m 2020 GDP(%) 4.5 2010 2012 2014 2016 2018 2020 nôm Hẳnh 1.1: Tốc ở tông trững GDP cừa Viằt Nam giai oÔn 2010-2020 (nguỗn: VIETRF) ỗ th trản l cừa hm số GDP tữỡng ựng vợi nôm y = f (x) vợi x l cĂc nôm tứ nôm 2010 án 2020, y x l tốc ở tông trững 1.3 Hm số sỡ cĐp cỡ bÊn 1.3 H m sè c§p cì b£n 1.3.1 H m lơy thøa y = x α a Tªp x¡c ành, tªp gi¡ trà Têng qu¡t: N¸u α = n ∈ N : D = R, R = [0, +∞) Náu Náu = m l số nguyản ¥m: D = R\{0}, R = (0, +∞) p α = l số hỳu t thẳ tũy thuởc vo bêc côn q b Tẵnh ỡn iằu: D = (0, +), R = (0, +) x ỗng bián náu >0 = n, n N y náu n chđn, v nghàch bi¸n n¸u l´ α = n, n ∈ N α>1 ch®n 01 v nghàch bi¸n n¸u < a < n¸u n l´ NH X-HM SÈ 10 y a>1 O x 0 O x H¼nh 1.5: H m sè ax f −1 (x) = loga x f −1 (x) = ax f (x) = ex f (x) = ln x v loga x nh lỵ 1.3 f (x) = ax f (x) = loga x ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ f −1 (x) = ln x f −1 (x) = ex 1.3.4 H m l÷đng gi¡c y = sin x Tªp x¡c ành, tªp gi¡ trà: L h m l´, ỗ th ối xựng qua gốc tồa ở TuƯn hon vợi chu ký Tẵnh ỡn iằu trản D = R, R = [−1, 1] T = 2π [0, ]: ỗng bián trản h i 0, , y = cos x Tªp x¡c ành, tªp gi¡ tr: L hm chđn, ỗ th ối xựng qua trửc TuƯn hon vợi chu ký Tẵnh ỡn i»u tr¶n D = R, R = [−1, 1] Oy T = [0, ]: nghch bián trản [0, ] nghch bián trản h , i NH X-HM SÈ 18 C(x) = 6.869 · x, 68.69 + 8.110 · (x − 10), 149.79 + 9.969 · (x − 20), 249.48 + 18.318 · (x − 30), n¸u x ≤ 10 n¸u 10 < x ≤ 20 n¸u 20 < x ≤ 30 n¸u x > 30 1.4.2 ị nghắa hm số Bi têp 1.4.5 Theo thống kả cừa WHO, số ngữới trản thá giợi b mưc Ăi thĂo ữớng giai oÔn tứ nôm 2000 án 2017 ữủc mổ phọng bi hm số P (t) = −0.0961t2 + 19.044t + 143.02, â a Tẵnh t tẵnh theo nôm v P (8) t=0 ựng vợi nôm 2000, P tẵnh theo triằu ngữới v cho biát ỵ nghắa cừa giĂ tr ny b HÂy cho biát số ngữới mưc Ăi thĂo ữớng vo nôm 2013 l bao nhi¶u? Gi£i: a P (8) = 289.2216 ≈ 289.22 289.22 triằu ngữới Nôm 2008, số ngữới mưc Ăi thĂo ữớng trản ton thá giợi khoÊng b Số ngữới mưc Ăi thĂo ữớng trản thá giợi vo nôm 2013 l P (13) = 374.3511 ≈ 374.35 B i tªp 1.4.6 triằu ngữới Mực nông lữủng tiảu hao bỡi (tẵnh bơng kcal/km) cừa ởng vêt bỡi trản mt nữợc phử thuởc vo khối lữủng cừa chúng v ữủc ữợc tẵnh bði h m sè y = f (x) = 0.01x0.88 Trong õ x l khối lữủng cừa ởng vêt tẵnh bơng gam Tẳm lữủng nông lữủng tiảu hao cừa cĂc ởng vêt sau: a Mởt chuởt xÔ hữỡng nng 800 g b Mët r¡i c¡ biºn n°ng 20 kg Gi£i: a f (800) = 3.59 b 20kg = 20.000g ⇒ f (20.000) = 60.94 Vªy r¡i c¡ biºn nng 20 kg cõ mực Vêy chuởt xÔ hữỡng cõ mực tiảu hao nông lữủng bỡi l tiảu hao nông lữủng bỡi l 60 3.59 (kcal/km) (kcal/km) 1.4 CĂc dÔng bi têp 19 N (mg) 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 t (giớ) Hẳnh 1.15: ỗ th và quĂ trẳnh hĐp thu v o th£i Nicotin sau h½t khâi thuèc lĂ 1.4.3 ồc ỗ th Bi têp 1.4.7 Sau hẵt khõi thuốc lĂ, lữủng nicotin nhanh chõng xƠm nhêp vo mĂu Trong mởt trữớng hủp cử th, quĂ trẳnh o thÊi nicotin diạn nhữ ỗ th dữợi a Sau khoÊng mĐy giớ, lữủng nicotin mĂu giÊm mởt nỷa so vợi lúc ban Ưu? b Náu ỗ th cưt trửc honh tÔi t0 , giĂ tr ny cõ ỵ nghắa gẳ? GiÊi: a Dỹa vo ỗ th, tÔi thới im t = 0, lữủng nicotin mĂu l 0.4 mg, tÔi thới im t=2 lữủng nicotin cỏn 0.2 mg Vêy sau giớ lữủng nicotin mĂu giÊm mởt nỷa so vợi lúc ban Ưu b Náu ỗ th cưt trửc honh tÔi Bi têp 1.4.8 t = t0 , i·u â câ ngh¾a l sau t0 giớ nicotin  ữủc o thÊi hát Quan sĂt trản mởt giống bữi, mởt k sữ nổng nghiằp nhên thĐy rơng, nông suĐt bữi (trản 10 nôm tuời) phử thuởc vo lữủng phƠn bõn hộn hủp bõn cho mội cƠy hng nôm v mối quan hằ ny ữủc cho bi ỗ th dữợi 100 n (quÊ) 90 80 70 60 50 40 10 20 30 40 50 60 70 80 P B (kg) Hẳnh 1.16: ỗ th mối quan hằ giỳa lữủng phƠn bõn v nông suĐt mởt cƠy bữi Náu nôm no õ khổng bõn phƠn, nông suĐt cƠy bữi l bao nhiảu Nông suĐt cao nhĐt cừa cƠy bữi tữỡng ựng lữủng phƠn bõn no? Giao im cừa ỗ th vợi trửc honh cõ ỵ nghắa gẳ? GiÊi: NH X-HM Sẩ 20 Náu nôm õ khổng bõn phƠn thẳ cƠy bữi cho khoÊng 60 quÊ Nông suĐt cƠy bữi Ôt cao nhĐt khoÊng 97 quÊ náu sỷ khoÊng 36 37 kg phƠn bõn hộn hủp mội nôm ỗ th cưt trửc honh lữủng phƠn bõn 80 kg/nôm, cõ nghắa l lữủng phƠn bõn quĂ nhiÃu s khổng tốt cho cƠy v lm nông suĐt giÊm cỏn 40 quÊ/nôm 1.4.4 Tªp x¡c ành, tªp gi¡ trà cõa h m sè Viằc tẳm têp xĂc nh v têp cừa hm số dỹa trản têp xĂc nh v têp giĂ tr cừa cĂc hm số sỡ cĐp cỡ bÊn Tuy nhiản vợi cĂc hm số phực tÔp thẳ viằc tẳm têp giĂ trà ÷a v· b i to¡n kh£o s¡t h m sè m ta s xt chữỡng phẵa sau Bi têp 1.4.9 Tẳm têp xĂc nh v têp giĂ tr cừa cĂc h m sè sau: f (x) = ln(1 + cos x) f (x) = arcsin(1 − 2x) f (x) = arctan x Gi£i: x > n¶n + cos x > cos x 6= −1 x 6= (2k + 1)π, k ∈ Z} Vªy tªp x¡c ành cõa f l D = R\{(2k + 1)π : k ∈ Z Vỵi x ∈ D , < + cos x ≤ 2, ln x l hm ỗng bián < ln(1 + cos x) ≤ ln ⇒ R = (−∞, ln 2] Do f ln x x¡c ành ⇔ ⇔ ⇔ x¡c ành n¶n −1 ≤ x ≤ n¶n f x¡c ành ⇔ −1 ≤ − 2x ≤ ⇔ 0≤x≤1 Vªy tªp x¡c ành cõa f l D = [0, 1] π π Vỵi x ∈ D , − 2x ∈ [−1, 1] ⇒ ≤ f (x) ≤ 2 hπ π i Vªy tªp gi¡ trà cõa f l R = , 2 Do arcsin x x¡c ành arctan x D = R\{0} Do Vỵi x¡c ành vỵi måi x ∈ R n¶n f x¡c ành x 6= 0.Vªy tªp x¡c ành cõa f l 1 π π ∈ R\{0}, â arctan ∈ − , x π x π2 gi¡ tri cõa f l R = − , ∪ 0, 2 x ∈ D, Vªy tªp B i tªp 1.4.10 Mët gia ¼nh dü ành tê chùc ti»c ð mët nh h ng Mùc phöc vö chung cho búa ti»c (m°t bơng, trang trẵ, ) l triằu ỗng Nh h ng nhªn tèi thiºu b n, méi b n 10 ng÷íi Gi¡ cho méi kh¡ch dü ti»c l 250 ng n ỗng Gia ẳnh dỹ tẵnh chi tối a 25 triằu Náu gồi C(x) l chi phẵ cho bỳa tiằc Tẳm tªp x¡c ành D v tªp gi¡ trà R cõa C x l sè kh¡ch míi, Ch¿ biºu thùc C(x) 1.4 CĂc dÔng bi têp 21 GiÊi: Do nh h ng nhªn °t tèi thiºu b n, méi b n 10 ngữới, nản số khĂch tối thiu gia ẳnh s l x = 20 ngữới Do gia ẳnh dỹ chi 25 tri»u m ph½ cè ành cõa nh h ng l tri»u n¶n ti·n °t b n ch¿ cán 20 triằu Mực chi cho mội khĂch l 250 ngn ỗng n¶n sè kh¡ch míi tèi a l D = [20, 80] Sè ti·n chi tèi thiºu l : + 20 0.250 = 10 triằu ỗng Số tiÃn chi tối a míi 80 kh¡ch l 25 tri»u Vªy tªp C(x) = + x ∗ 0.25, x ∈ [10, 25] (triằu ỗng) Vêy têp xĂc nh cừa C x = 20 : 0.25 = 80 ng÷íi l gi¡ trà cừa C l [10, 25] (triằu ỗng) 1.4.5 Hm số hđp B i tªp 1.4.11 Hai h m sè f, g x¡c ành tr¶n x −7 −4 −1 X¡c ành c¡c gi¡ trà sau: R v câ mët sè gi¡ trà ÷đc cho bÊng dữợi Ơy 12 17 23 f (x) 17 12 −4 −1 g(x) 20 13 −7 −1 23 24 12 41 g ◦ f (0), g ◦ f (17), f ◦ g(23), f ◦ g(12) Gi£i: g ◦ f (0) = g (f (0)) = g(−4) = 13 g ◦ f (17) = g (f (17)) = g(0) = −7 f ◦ g(23) = f (g(23)) = f (12) = f ◦ g(12) = f (g(12)) = f (23) = 41 B i tªp 1.4.12 Cho f (x) = x − 3, g(x) = √ x + Tẳm g f (x) tÔi nhỳng im m biu thùc n y câ ngh¾a Gi£i: g ◦ f x¡c ành n¸u Rf ⊂ Dg Dg = [−1, +∞) Rf ⊂ Dg ⇔ Df ⊂ [−1, +∞) ⇔ −1 ≤ x − < +∞ ⇔ ≤ x < +∞ Vỵi ≤ x < +∞, g ◦ f (x) = g(f (x)) = g(x − 3) p = (x − 3) + √ = x−2 B i tªp 1.4.13 khu vüc X câ p Mët nghi¶n cùu cho thĐy mực ở khẵ CO trung bẳnh hng ngy khổng khẵ tÔi nghẳn dƠn l C(p) = 0.5p + Ngữới ta cụng ữợc tẵnh rơng, sau t (%) nôm k tứ thới im hiằn tÔi, dƠn số ð khu vüc n y s³ l p(t) = 10 + 0.1t2 (ngh¼n) NH X-HM SÈ 22 t T¼m mùc CO trung b¼nh h ng ng y sau 6.8 mùc CO trung bẳnh hng ngy s Ôt nôm k tứ thới im hiằn tÔi v cho biát án no thẳ % Gi£i: Mùc CO trung b¼nh h ng ng y theo sau C(t) = C(p(t)) = 0.5 10 + 0.1t2 + = + 0.05t2 (%) Mực CO Ôt 6.8 % C(t) = 6.8 (%) ⇔ + 0.05t2 = 6.8 t = (nôm) Vêy sau nôm kº tü thíi iºm hi»n l 6.8 % t n«m tẵnh tứ thới im hiằn tÔi l tÔi, khu vỹc X cõ mực CO khổng khẵ trung bẳnh hng ngy 1.4.6 Hm ngữủc Bi têp 1.4.14 Hm số f x¡c ành v ìn i»u ch°t tr¶n R, câ mët số giĂ tr ữủc cho bÊng dữợi Ơy x −7 −4 −1 f (x) 17 12 12 17 23 −1 −4 −6 −10 −17 f −1 (1), f (12) XĂc nh GiÊi: Nhưc lÔi y = f (x) ⇔ x = f (y) x = f −1 (−1) ⇔ f (x) = −1 Tữỡng tỹ f (12) = Bi têp 1.4.15 Chựng minh f Cho vẳ ối chiáu vợi bÊng giĂ trà ta câ f (0) = −1 Vªy f −1 (−1) = f (−1) = 12 f : (2, +∞) → (1, +∞) , f (x) = l mët song ¡nh T¼m f −1 (x) x+1 x−2 Gi£i: x+1 =1+ x2 x2 Nhên thĐy rơng f (x) ìn i»u gi£m (2, +∞) Vỵi y ∈ Rf x+1 y = f (x) ⇔ y = x−2 2y + ⇔ x= y−1 2y + −1 (y) = −1 (x) = 2x + Vªy f hay f y−1 x−1 f (x) = B i tªp 1.4.16 f −1 Rf = (1, +∞) H¼nh (a), (b), (c) l ỗ th cừa cĂc hm số Tẳm cĂc cp f, f GiÊi: Vẳ ỗ th cừa v f (x) v f n¶n f l song Ănh v (d), (e), (f) l ỗ th cừa cĂc hm tữỡng ựng f (x) ối xựng vợi qua ÷íng th¯ng t÷ìng ùng l (a)-(f), (b)-(d), (c)-(e) y =x nản ta chồn ữủc cĂc cp 1.5 Mởt số dÔng toĂn ựng dửng thỹc tá 23 y y y x x (a) x (b) y (c) y y x x (d) B i tªp 1.4.17 x (e) (f) Têng chi cho hoÔt ởng nghiản cựu v phĂt trin (NCPT) mởt quốc gia A giai oÔn tứ nôm 2003 án nôm 2020, tẵnh theo t USD, ữủc cho bi h m sè S(t) = 73.77 ln(5 + t) + 67.75, Tẳm S (289) õ t=0 tữỡng ựng nôm 2003 v cho biát ỵ nghắa GiÊi: S (289) = t0 ∈ [0, 17], â S(t0 ) = 289 ⇔ 73.77 ln(5 + t0 ) + 67.75 = 289 ⇔ t0 ≈ 15.07 Gi£ sû Têng chi cho hoÔt ởng NCPT quốc gia A tứ nôm 2003 án nôm 2018 l 1.5 289 t USD Mởt số dÔng toĂn ựng dửng thỹc tá 1.5.1 K thuêt B i tªp 1.5.1 Cỉng ngh» Maglev (Magnetic Levitation) t u iằn l sỷ dửng lỹc tứ cỹc mÔnh nhĐc ton bở toa tu lản trản, cĂch ữớng ray vi centimet Hằ thống nam chƠm ữủc bố trẵ dồc theo ữớng ray s liản tửc ời cỹc Ơm, dữỡng mởt cĂch xen k ây toa tu i và phẵa trữợc Mởt tu iằn sỷ dửng cổng nghằ Maglev thỷ nghiằm trản mởt ữớng ray ỡn mổ tÊ chuyn ëng cõa t u, xem nh÷ ÷íng ray l trưc tåa ở Tứ dỳ liằu thu ữủc, cĂc k sữ  ữợc tẵnh quÂng ữớng i ữủc cừa tu, tẵnh bơng met (m), theo thới gian t, tẵnh bơng giƠy, bi h m sè s = f (t) = 1.2t2 , t 30 Tẳm f (s) GiÊi: Vợi Vêy HÂy cho biát ỵ nghắa v têp xĂc nh cõa h m sè n y t ∈ [0, 30], s = f (t) ⇔ s = 1.2t2 √ ⇔ t = 0.91 s √ f −1 (s) = 0.91 s NH X-HM SÈ 24 f −1 (s) Tªp x¡c ành cõa cõa f −1 l trưc f −1 l tªp gi¡ trà cõa Do â tªp x¡c ành [0, 1080] Bi têp 1.5.2 hằ s met f Vợi t ∈ [0, 30], f (t) = 1.2t2 ∈ [0, 1080] cho biát thới gian tu i ữủc Oxy Mởt Ôi bĂc ữủc t trản mt Đt, nỏng phĂo hữợng lản v ữủc gưn vợi mởt nhữ hẳnh v dữợi ỡn v trản cĂc trửc tẵnh bơng feet (ft) (1 ft = 0.3048 m) Mởt quÊ Ôn phĂo ữủc bưn câ ÷íng i mỉ t£ bði h m sè √ y= 3x − x2 400 T¼m ë cao lợn nhĐt cừa quÊ Ôn phĂo Tẳm v trẵ tiáp Đt cừa quÊ Ôn phĂo GiÊi: Do ữớng i cõ dÔng parabol, nản ở cao lợn nhĐt cừa quÊ Ôn phĂo nơm nh parabol ( y = ax2 + bx + c, Tåa ë ¿nh l ¿nh t tÔi honh ở (x, y) = 200 3, 300 y=0 QuÊ Ôn phĂo tiáp Đt v √ x = 400 v x=− b ) 2a Vêy quÊ Ôn phĂo Ôt ở cao lợn nh§t l 300 ft x > y = ta ÷đc c¡c nghi»m x = √ b¡c 400 ft 211 m GiÊi phữỡng trẳnh Vêy quÊ Ôn phĂo tiáp Đt cĂch nỡi t Ôi 1.5.2 ng dửng kinh doanh-kinh tá CĂc hm số thữớng sỷ dửng kinh doanh, kinh tá bao gỗm: hm chi phẵ thu R (revenue), hm lủi nhuên Hm chi ph½ C P (profit), h m cung S (supply) v h m cƯu C(x) = xì cõ th l chi phẵ lữu ëng ( C(x) = C0 + ph©m) ho°c têng chi phẵ ( D C (cost), hm doanh (demand) giĂ tÔo sÊn phâm, vợi chi phẵ lữu ởng, C0 x l số sÊn l chi phẵ cố nh nhữ thuả nh xững, kho bÂi, khĐu hao mĂy mõc, ) H m doanh thu H m lđi nhuªn R(x) l doanh thu tr¶n P (x) = R(x) − C(x) s£n phâm l lủi nhuên trản Hm cƯu biu diạn sỹ tữỡng quan giỳa sÊn phâm x x x sÊn phâm sÊn phâm theo nhu cƯu th trữớng v giĂ gi¡ b¡n méi p = D(x) H m cung thº hiằn mối tữỡng quan giỳa bĂn mội sÊn phâm x sÊn phâm m nh cung cĐp sđn sng cung cĐp v giĂ p = S(x) Trong thỹc tá, cĂc Ôi lữủng ny cỏn phử thuởc vo nhiÃu yáu tố khĂc Bi têp 1.5.3 Mởt nh mĂy sÊn xuĐt giĐy cho biát, chi phẵ sÊn suĐt ream giĐy (500 tớ) A4 loÔi l 50 ngn ỗng v hồ cõ th bĂn vợi giĂ 80 ngn ỗng (giĂ s) Hiằn tÔi mội thĂng nh sÊn suĐt bĂn ữủc 4000 ream giĐy loÔi v ang cõ ká hoÔch tông giĂ Hồ ữợc tẵnh, náu tông thảm 20 ngn ỗng ream thẳ số ream giĐy bĂn mội th¡ng gi£m 400 ream T¼m h m sè mỉ t£ lđi nhuên cừa nh sÊn xuĐt theo giĂ ream giĐy ữủc bĂn 1.5 Mởt số dÔng toĂn ựng dưng thüc t¸ 25 Gi£i: x ≥ 80 l gi¡ bĂn ream giĐy thẳ số ream giĐy bĂn b giÊm i 400 ì k náu tông thảm k × 20 x − 80 ng n, vỵi k = 20 x 80 Vêy số ream giĐy bĂn méi th¡ng l 4000 − 400 × 20 Lđi nhuên cho mội ream giĐy bĂn l x 50, â lđi nhuªn méi th¡ng cõa nh s£n xuĐt trản loÔi Náu gồi giĐy ny l: x − 80 P (x) = (x − 50) 4000 − 400 × 20 = −20x + 6, 600x 28, 000 ngn Bi têp 1.5.4 ỗng Mởt cổng ty sÊn xuĐt ỗ gộ nởi thĐt sÊn xuĐt v bĂn x chiác ghá ng vợi giĂ p(x) = 1.5 0.003x (triằu ỗng) Chi phẵ sÊn xuĐt chiác ghá l 0.02 triằu/chiác v chi phẵ cố ành l 66.5 tri»u Cỉng ty dü ành s£n xu§t v b¡n khỉng qu¡ 300 gh¸ Cỉng ty phÊi bĂn bao nhiảu ghá hỏa vốn v giĂ ghá õ l bao nhiảu? lÂi 50 triằu ỗng, cổng ty phÊi sÊn xuĐt bao nhiảu ghá? GiÊi: C(x) = 66.5 + 0.02x triằu ỗng Tờng doanh thu náu sÊn xuĐt v bĂn x ghá l: R(x) = x · p(x) = x(1.5 − 0.003x) tri»u ỗng Lủi nhuên trản x ghá bĂn l: P (x) = R(x) − C(x) = −0.003x + 1.48x 66.5 triằu ỗng Cổng ty hỏa vốn cho mt hng ny náu lủi nhuên P (x) = P (x) = ⇔ −0.003x2 + 1.48x − 66.5 = ⇔ x = 50 ∨ x = 443.33 Tờng chi phẵ sÊn xuĐt x ghá l: Do cổng ty khổng sÊn xuĐt quĂ 300 ghá nản số ghá cƯn sÊn xuĐt hỏa vốn l 50 Cổng ty lÂi 50 triằu ỗng tứ viằc sÊn xuĐt n y câ ngh¾a P (x) = 50 P (x) = 50 P (x) = ⇔ −0.003x2 + 1.48x − 116.5 = ⇔ x = 98.31 ∨ x = 395.03 Tữỡng tỹ cƠu trản, giĂ tr x ữủc chồn l 98.31 Vêy lÂi 50 triằu ỗng, cổng ty cƯn sÊn xuĐt v bĂn 99 ghá 1.5.3 Khoa hồc ới sống Bi têp 1.5.5 TÔi mởt vữớn trỗng cam ngữới ta thĐy rơng náu trỗng 50 cƠy cam trản 1000 m nông suĐt thu hoÔch trung bẳnh l 70kg/cƠy Náu cự tông thảm mởt cƠy/1000 trung bẳnh khoÊng 3kg/cƠy GiÊ sỷ sÊn lữủng trung bẳnh cừa GiÊi: SÊn lữủng cừa 1000 m x Náu trỗng 50 cƠy/1000m thẳ thẳ nông suĐt giÊm l số cƠy vữủt trản 50 v khổng quĂ 10, tẳm hm số biu diạn vữớn cam theo x = Số cƠy ì nông 50 + x, ≤ x ≤ 10 v÷ín cam Số cƠy cam vữớn l mội cƠy l 1000m m suĐt mội cƠy thẳ trung bẳnh mội cƠy thu ữủc 70kg, náu tông thảm x cƠy, nông suĐt cừa 70 3x Vêy sÊn lữủng trản 1000 m Bi têp 1.5.6 vữớn cam l P (x) = (50 + x) ì (70 3x) Trản thang o nhiằt ở Fahrenheit, nữợc õng o Celsius , nữợc õng 00 C v sổi 1000 C 320 F v sỉi ð 2120 F Tr¶n thang NH X-HM Sẩ 26 a Tẳm mối liản hằ giỳa loÔi nhiằt ở trản nhữ hm tuyán t½nh theo t l Celsius v T = f (t) l Fahrenheit b Trong c¡c khung nhi»t ë ð tr¶n, tẳm hm ngữủc cừa hm số f (t) GiÊi: f (t) = at + b, f (0) = 32 a = 1.8 a · + b = 32 ⇔ b = 32 a · 100 + b = 212 a Gi£ sû ( Vªy h m sè f (t) = 1.8t + 32 b Trản têp xĂc nh hm ngữủc theo giÊ thiát mổ tÊ cĂch tẵnh Df = [0, 100] v ◦F v tªp gi¡ trà f (100) = 212, theo ta cõ hằ phữỡng trẳnh sau ◦C Rf = [32, 212], f l h m t«ng ch°t, õ tỗn tÔi f f (t) = 1.8t + 32 ⇔ T = 9t + 32 T − 32 1.8 5(T − 32) ⇔ t= 5(T − 32) −1 f (T ) = ⇔ t= Vêy 1.5.4 Y tá Bi têp 1.5.7 Thỹc quÊn khọe mÔnh cõ ở pH khoÊng ra, axit dÔ dy (câ ë pH dao ëng tø cõa thüc qu£n th§p hỡn hỡn 4.0, 1.0 án 3.0) 7.0 Khi tro ngữủc dÔ dy thỹc quÊn xÊy chÊy ngữủc tứ dÔ dy vo thỹc quÊn Khi ở pH giai oÔn ny ữủc gồi l tro ngữủc axit lƠm sng, cõ th gƠy lot v lm tờn thữỡng niảm mÔc cừa thỹc quÊn ỗ th dữợi hin th ở pH thỹc quÊn cho mởt bằnh nhƠn ang ngừ vợi axit tro ngữủc Trong kho£ng thíi gian n o b»nh nh¥n n y câ mët ủt tro ngữủc axit lƠm sng? Hẳnh 1.17: ỗ th mæ t£ sü thay êi pH thüc qu£n cõa mët bằnh nhƠn ang ngừ GiÊi: Dỹa vo ỗ th, kho£ng thíi gian tø gií 25 ¸n giớ 55 phút thẳ pH thỹc quÊn thĐp hỡn 4.0, nản khoÊng thới gian ny xÊy tro ngữủc axit lƠm sng Bi têp 1.5.8 CĂc enzym tiảu hõa ổi ữủc tÔo bi cĂc tá bo ung thữ tiảu hõa cĂc mổ xung quanh khối u, gióp nâ ph¡t triºn v l¥y lan Trong c¡c khèi u rưn, cĂc enzym ch ữủc tÔo bi cĂc tá bo trản bà mt cừa khối u GiÊ sỷ ữớng kẵnh vợi tốc ở a mm/nôm d cừa mởt khối u hẳnh cƯu ang gia tông 1.5 Mởt số dÔng toĂn ựng dửng thỹc tá a (a) Tẳm cổng thực ữớng kẵnh d b GiÊ sỷ tốc ở tÔo enzym ti¶u hâa 27 t cõa khèi u theo thíi gian P t lằ thuên vợi diằn tẵch (nôm)? S cõa b· m°t cõa khèi u T¼m P ◦S ◦d v nảu ỵ nghắa cừa hm số ny GiÊi: Theo giÊ thiát, ữớng kẵnh khối u tông a mm/nôm, vêy d = at, õ t l số nôm tẵnh tứ lúc khối u bưt Ưu hẳnh thnh P S t lằ thuên vợi P (S) = kS mt cƯu S theo õ Cổng thực tẵnh diằn tẵch d ữớng kẵnh l S = d2 p dửng c¡ch t½nh cõa h m sè hđp ta câ P ◦ S ◦ d(t) = P (S (d(t))) = k (S (d(t))) = kπ [d(t)]2 = kπ(at)2 2 Vªy P (t) = a kπt H m sè n y nâi r¬ng, tốc ở tÔo enzym tiảu hõa cừa khối u ny t lằ thuên vợi bẳnh phữỡng số nôm khối u ữủc hẳnh thnh 1.5.5 DƠn số Bi têp 1.5.9 Mổ hẳnh gia tông dƠn số tỹ nhiản: iÃu kiằn mổi trữớng khổng b hÔn chá (khổng gian v iÃu kiằn sinh sống), kẵch thữợc quƯn th P (số lữủng cĂ th cừa quƯn th) ữủc cho bi mổ h¼nh P (t) = P0 ekt , â t l thíi gian v t=0 l thíi iºm bt ¦u khÊo sĂt, l hơng số liản quan án t lằ thay ời kẵch thữợc P0 l kẵch thữợc quƯn th tÔi t = 0, k P p dửng: mởt loÔi vi khuân ữủc nuổi cĐy thẵ nghiằm v ữủc cho phĂt trin tỹ nhiản 1, 000 100, 000? Ban Ưu cõ s Ôt vi khuân, sau giớ số lữủng vi khuân l 3, 000 Họi sau bao lƠu, số lữủng vi khuân GiÊi: p dửng mổ hẳnh nảu trản, vợi số lữủng vi khuân ban Ưu l P0 = 1, 000, số lữủng vi khuân sau t gií l P (t) = 1000ekt P (2) = 3000, thay v o cæng thùc ta câ 3000 = 1000e2k ln ⇔ k = ln t t Vªy P (t) = 1000e hay P (t) = 1000 · t P (t) = 100, 000 ⇔ 1000 · = 100, 000 t ⇔ = 100 ⇔ t ≈ 8.4 Vªy sau khoÊng 8.4 giớ thẳ số vi khuân s Ôt 100, 000 Theo giÊ thiát, Bi têp 1.5.10 Mổ hẳnh kẵch thữợc quƯn th ỡn loi mởt mổi trữớng giợi hÔn ữủc cho bi hm số: P (t) = õ P L Cekt l kẵch thữợc quƯn th (số lữủng cĂ th), t +1 , l thới gian nôm kº tø lóc bt ¦u kh£o s¡t, L gåi l sực chựa mổi trữớng (số lữủng cĂ th lợn nhĐt cõ th tỗn tÔi mổi trữớng), k l hơng số NH X-HM Sẩ 28 C= liản quan án tốc ở tông trững tỹ nhiản cừa quƯn th, L P0 , P0 P0 l kẵch thữợc ban Ưu cừa quƯn th p dửng: Mởt hỗ cĂ thiản nhiản ban ¦u câ 400 Sè c¡ câ thº sinh sèng hỗ tối a l Biát rơng sau mởt nôm số cĂ tông gĐp lƯn Tẳm số lữủng cĂ sau hỗ Ôt 5, 000 t 10, 000 nôm Sau bao lƠu thẳ số cĂ GiÊi: Theo mổ hẳnh trản, sực chựa cừa hỗ l hỗ sau vỵi t C= L = 10, 000 con, sè c¡ hỗ ban Ưu P0 = 400, số cĂ n«m l 10, 000 − 400 = 24, 400 Theo gi£ thi¸t, t = 1, P (t) = 10, 000 , Ce−kt + P (t) = 10, 000 24ekt + ta cõ số cĂ hỗ l 1, 200 10, 000 P (1) = 1, 200 ⇔ 1, 200 = 24e−k + 11 ⇔ e−k = 36 36 ⇔ k = ln 11 Vªy mổ hẳnh tẳm ữủc l P (t) = Khi số cĂ Ôt 5, 000 10, 000 t 11 24 +1 36 th¼ 10, 000 = 5, 000 t 11 24 +1 36 t 11 = ⇔ 36 24 P (t) = 5, 000 ⇔ t 2.68 Vêy Sau khoÊng nôm thĂng số cĂ hỗ Ôt 5, 000 BI TP CHìèNG Thnh lêp hm số tÔo Ênh hoÔt hẳnh tiáp cên ngữới chỡi game, ngữới tÔo game  bưt Ưu tứ Ênh hẳnh trỏn cõ bĂn kẵnh 25 pixels (pel) Sau õ bĂn kẵnh ữủc cho tông vợi tốc ở 10 pixels mội giƠy XĂc nh diằn tẵch cừa Ênh sau t giƠy CƠu họi tữỡng tỹ bi têp Ênh xuĐt phĂt l hẳnh vuổng cõ chiÃu di cÔnh 15 pel Khi khổng khẵ di chuyn lản cao, nõ n v lÔnh i Náu nhiằt ở trung bẳnh cừa mt §t l 20◦ C v gi£m 6.5◦ C ë cao tông lản 1000 mt HÂy lêp mởt mổ hẳnh phị hđp thº hi»n nhi»t ë trung b¼nh T cõa khổng khẵ ( C) theo ở cao h(km) DƠn sè cõa mët th nh A v o n«m 2008 l 50.000 Mội nôm t lằ gia tông dƠn số tỹ nhiản l 4.5% a Lêp mởt hm số mổ tÊ dƠn số tứ nôm 2008 cừa thnh phố ny b DƠn số vo nôm 2018 l bao nhiảu? 1.5 Mởt số dÔng toĂn ựng dửng thỹc tá c Khi no thẳ dƠn số Ôt 100.000? Trản ton thá giợi, cổng suĐt sÊn xuĐt nông lữủng giõ, W , l 39.295 megawatt (MW) v o n«m 2003 v l 120, 903 MW v o n«m 2008 29 10 Mët cỉng ty s£n xuĐt hởp thiác dỹng thỹc phâm õng hởp Theo ỡn t hng, cổng ty phÊi thiát ká mởt hởp hẳnh trư trán k½n câ b¡n k½nh ¡y r ≥ (cm) v th tẵch 750 cm3 GiĂ thiác lm Ăy hởp l 140 ngn ỗng/m2 , giĂ thiác lm th nh hëp l 120 (a) Sû döng c¡c gi¡ trà ữủc ữa viát W nhữ ngn ỗng/m2 Tẳm cổng thực tẵnh giĂ nguyản liằu l mởt hm tuyán tẵnh cừa t, l số nôm k tứ sÊn xuĐt hởp thiác ny theo bĂn kẵnh Ăy r (giĂ nôm 2003 ny chữa tẵnh chi phẵ in trản hởp) (b) Tữỡng tỹ cƠu trản, náu W (t) = keat (c) Dũng phƯn mÃm v ỗ th cĂc hm tẳm thĐy phƯn trản trản mët h» trưc (d) Sû dưng c¡c h m vøa t¼m phƯn trản dỹ oĂn nông lữủng giõ ữủc tÔo 11 Mởt cổng ty sÊn xuĐt v bĂn cĂc loÔi Ăo thun Chi phẵ cố nh cho viằc sÊn xuĐt v bĂn l 70 triằu ỗng, chi phẵ sÊn xuĐt mởt Ăo l 50 ngn ỗng (a) Náu giĂ bĂn mội Ăo l 90 ngn ỗng, hÂy xĂc nh hm doanh thu R(x) v hm lủi nhuên nôm 2010 Nhên xt và kát quÊ: ìợc tẵnh no gƯn vợi giĂ tr thỹc tá hỡn biát: Nông lữủng giõ thỹc tá ữủc tÔo nôm 2010 l 196.653 P (x) náu cổng ty bĂn x ¡o thun (b) Do nhu c¦u cõa tr÷íng, cỉng ty s³ i·u ch¿nh gi¡ b¡n Vâi gi¡ bĂn l p ngn ỗng, số MW lữủng Ăo thun ÷đc b¡n l x(p) = 8000 − Mët b¡c sÿ mua mët quyºn s¡ch vỵi gi¡ 1.500 USD 90p Náu giĂ bĂn l 80 ngn ỗng mởt Ăo, sè Gi£ sû gi¡ trà cõa s¡ch gi£m ·u °n aUSD sau tứng lữủng Ăo bĂn l bao nhiảu v lủi nhuên cừa nôm, v án cuối nôm thự 10, gi¡ trà cõa s¡ch cán cỉng ty tr÷íng hủp ny l bao nhiảu? 230USD HÂy biu diạn giĂ trà C(t) cõa quyºn s¡ch (c) X¡c ành h m doanh thu R v hm lủi nhuên án cuối nôm thự t nh÷ mët h m sè theo t Dàch vư giao hng qua ảm tẵnh phẵ 250 ngn ỗng cho gõi hng cõ trồng lữủng kg ối vợi mội kg bờ sung, hoc mởt phƯn cừa chúng, chi phẵ tông thảm l 30 ngn ỗng HÂy lêp biu thực f (x) biºu chi ph½ º gûi gâi h ng cõ trồng lữủng x kg V ỗ th cừa f vỵi x kho£ng [0, 6] Mët nh m¡y sÊn xuĐt nữợc mưm cho biát chi phẵ cố nh mội thĂng l 50 triằu ỗng Chi phẵ bẳnh quƠn P theo giĂ bĂn p (ngn ỗng) MiÃn xĂc nh-MiÃn giĂ tr 12 Tẳm têp xĂc nh cừa cĂc hm sè sau: (a) f (x) = ln − (c) (d) x l số chai nữợc mưm m nh mĂy sÊn xuĐt ữủc (e) mởt thĂng, tẳm h m sè C(x) mỉ t£ chi ph½ s£n (f) l triằu ỗng Vo tuƯn Ưu thĂng 9, nh vữớn trỗng cam snh bưt Ưu thu hoÔch GiĂ bĂn lúc ny l triằu ỗng mói tÔ cam (100kg) Sau õ, mội tuƯn giĂ cam giÊm 200 ngn mởt tÔ, ỗng thới số cam vữớn cụng tông thảm 30kg Biát ngy Ưu thĂng 9, nh vữớn ny hĂi ữủc tÔ cam Tẳm doanh thu cừa nh vữớn tu¦n thù x cõa th¡ng 9, 10 v mi·n x¡c ành cõa h m doanh thu(gi£ sû th¡ng v 10 câ tu¦n) − ex − e1−x2 1+x f (x) = cos x p f (x) = − 2−x2 √ f (x) = − 2x x f (x) = arcsin x+1 r π − arctan x f (x) = π − arctan x √ f (x) = arccot 3x − √ f (x) = sinh (− x) (b) f (x) = sÊn mội chai nữợc mưm l 30 ngn ỗng Náu gồi xuĐt hng thĂng cừa nh mĂy, lĐy ìn cõa C(x) 2x + (g) (h) (i) (j) f (x) = coth (4x + 3) 13 Trong mởt chữỡng trẳnh tiảm chừng quốc gia, chi phẵ tiảm cho x% dƠn số l C(x) = 150x 200 x Tẳm têp xĂc nh cừa C(x) NH X-HM Sẩ 30 ị nghắa hm số 14 Tẳm têp giĂ tr cừa cĂc hm số sau: (a) f (x) = x−2 x+4 17 Trong mët ñt dàch bằnh lan truyÃn mÔnh, tÔi thnh phố X số ca mưc mợi ngy thự t (tẵnh tứ ngy thống |x| x √ (c) f (x) = − x2 (b) f (x) = kả Ưu tiản) l hm số S(t) HÂy cho biát ỵ nghắa cừa S(15) = 400 √ (d) f (x) = 3x2 − 4x + 3x + 2, n¸u x < (e) f (x) = 2 − x, n¸u x ≥ 1 + cos2 x (g) f (x) = arcsin (f) ln 18 Düa v o mæ hẳnh 1.5.5, náu L = 64, C = 31, k = 0.79, tẵnh P (10) v cho biát ỵ nghắa cừa giĂ tr ny 19 Mởt vêt cõ nhiằt ở ban Ưu T0 ( C) ữủc t vo mổi tr÷íng câ nhi»t ë khỉng êi l a (◦ C) Sau x x+1 t phót, nhi»t ë cõa vªt ÷đc cho bði cỉng thùc T (t) = (T0 − a)e−kt (h) f (x) = arctan(x2 + 1) N¸u T0 = 100, a = 20, k= 0.5, t¼m T (10) v cho bi¸t (i) f (x) = arctan (1 + e ) x (j) f (x) = cosh x+3 ỵ nghắa cừa giĂ tr ny Sau bao lƠu thẳ nhiằt ở cừa vêt l 70 C , x1 15 Tứ mởt tĐm giĐy hẳnh chỳ nhêt cõ kẵch thữợc 150 ì 100 (cm), ngữới ta cưt bọ hẳnh vuổng cõ chiÃu di cÔnh l x gõc gĐp chiác hởp khổng nưp (xem hẳnh) Viát hm số mổ tÊ th tẵch cừa hëp 20 H m sè hñp 21 Hai h m sè f, g x¡c ành tr¶n R v câ mët sè gi¡ tr ữủc cho bÊng dữợi Ơy giĐy theo x HÂy cho biát têp xĂc nh v têp giĂ tr cõa h m sè n y x x x x 13 15 16 20 f (x) −1 −7 −1 1 g(x) −10 −3 −1 x X¡c ành g ◦ f (9), f ◦ g(16) 100 cm 22 Cho f (x) = g(x) = x x x v x+3 x T¼m i·u ki»n cõa x º f ◦ g(x) cõ x2 nghắa v têp xĂc nh cừa hm sè n y x 23 Cho f (x) = 2x + x2 3 − x , n¸u x ≥ 2x − 5, n¸u x < 150 cm v 16 CƠu họi tữỡng tỹ bi têp 15 hởp cõ nưp v giĐy cưt nhữ hẳnh v dữợi x x (a) Tẳm g f (2), f ◦ g(8) (b) T¼m g ◦ f (x), f ◦ g(x) x x 24 Cho 100 cm f (x) = − |x|, −1 ≤ x ≤ g(x) = − |x − 2|, ≤ x ≤ (a) Chùng minh r¬ng f g tỗn tÔi x x (b) Tẳm f g(1) 150 cm (c) Tẳm Têp giĂ tr cừa f g g(x) = 1.5 Mởt số dÔng toĂn ùng dưng thüc t¸ 31 25 Cho f (x) = x3 +x−1 v g(x) = 3x+2 T¼m g ◦f (x), f (g(2x)), g (f (x − 1)) t÷íng Kho£ng c¡ch tứ chƠn tữỡng án chƠn thang 26 Cho cĂc hm số f v g cõ ỗ th nhữ hẳnh dữợi 10 29 Mởt cƠy thang di met (m) chèng v o mët bùc l x (m) Gâc hñp bði thang v t÷íng l θ Khi thang tr÷đt, θ thay ời theo thới gian v ữủc ữợc tẵnh bi cổng thùc: y θ(t) = X¡c ành kho£ng c¡ch x theo thíi gian t y = g(x) x -8 -6 -4 -2 -2 -4 t − 10 π − (rad) 2t + H m ng÷đc y = f (x) -6 30 Cho h m sè f (x) = 2x + ln x Câ tỗn tÔi f hay -8 khổng? GiÊi thẵch Ăp Ăn m bÔn lỹa chồn Náu f tỗn tÔi, hÂy xĂc nh f (2) -10 (a) Tẳm miÃn x¡c ành v mi·n gi¡ trà cõa f, g (b) Chựng minh g f tỗn tÔi 31 Cho hm số f (x) = x+1 V ỗ th cõa f b¬ng 2x + mët ùng dưng Düa trản õ hÂy cho biát miÃn no cừa x thẳ f tỗn tÔi Khi õ hÂy xĂc nh (c) T¼m g ◦ f (−7) f −1 (x) 27 Sè ng÷íi sèng ð vịng ven biºn S s³ £nh hững án số lữủng cĂ voi cừa vũng bin gƯn â N¸u gåi p(n) 32 Chùng minh c¡c h m sè sau câ h m ng÷đc v x¡c ành biºu thùc cõa hm ngữủc l số lữủng cĂ voi ữủc tẵnh theo n, l sè ng÷íi sèng ð ven biºn, k(p) l sè lo i phò du ð vòng biºn â, (a) f (x) = 4x3 + phö thuëc v o sè lữủng cĂ voi Ngữới ta ữợc tẵnh (b) f (x) = ln(2x − 1) p (n) = 100 − n , k (p) = 400 − p Tẳm k p(100, 000) v cho biát þ ngh¾a cõa gi¡ trà n y (c) f (x) = ex + 2ex √ (d) f (x) = x 33 Kẵch thữợc cừa quƯn th loi A (số lữủng cĂ th cừa quƯn th loi A) mổi trữớng giợi hÔn ữủc mổ tÊ bi hm số (bọ qua ỡn v tẵnh) 28 Thuốc khĂng sinh ữủc sỷ dửng iÃu tr vi khuân viảm xoang GiÊ sỷ vợi liÃu x milligam (mg) ữủc dũng bơng ữớng uống, lữủng hĐp thử mg vo mĂu qua dÔ dy l h(x) = 8x/(x + 8) N¸u x mg kh¡ng sinh i v o m¡u s³ ÷đc låc qua gan v lữủng cỏn lÔi sau quĂ trẳnh lồc ny l g(x) = x Ci cịng, n¸u x mg kh¡ng sinh cỏn lÔi qua quĂ trẳnh lồc qua gan thẳ lữủng án xoang bữợm l f (x) = x − 1, n¸u x > 1, 0, trữớng hủp khĂc (a) Tẳm lữủng khĂng sinh án xoang bữợm náu bằnh nhƠn uống x mg khĂng sinh (b) Thay vẳ uống, náu bằnh nhƠn ữủc tiảm x mg khĂng sinh qua tắnh mÔch thẳ lữủng khĂng sinh án xoang bữợm l bao nhiảu? P (t) = 100, 000 100 + 900e−t (a) T¼m mi·n x¡c ành v mi·n giĂ tr cừa P (b) V ỗ th cừa P (b¬ng mët ùng dưng n o â) v düa v o ỗ th ữợc tẵnh no kẵch thữợc quƯn th ny Ôt 900 cĂ th (c) Khi no kẵch thữợc quƯn th Ôt 900 cĂ th, so sĂnh kát quÊ cừa cƠu 33b (d) Tẳm hm ngữủc cừa P v cho biát ỵ nghắa cừa hm ngữủc ny 34 Tuời thå cõa ng÷íi ÷đc c£i thi»n ¡ng kº thá k 20 BÊng dữợi Ơy cho biát tuời thồ trung bẳnh theo nôm sinh mởt quốc gia X NH X-HM SÈ 32 (a) y = f (x + 2) (e) y = f (x) − 66.6 (b) y = f (−x) (f) y = 2f (x) + 1970 67.1 (c) y = f (x − 3) (g) y = f −1 (x) 55.2 1980 70.0 (d) y = f (x) + (h) y = f −1 (x + 3) 1930 57.4 1990 71.8 1940 62.5 2000 73.0 1950 65.6 N«m sinh TTTB N«m sinh TTTB 1900 48.3 1960 1910 51.1 1920 38 Lđi nhuªn bẳnh quƠn hng nôm cừa mởt cỷa hng bĂch hõa giai oÔn 2004 án 2012 ữủc mổt tÊ nhữ ỗ th dữợi Ơy, vợi t = tữỡng ựng nôm 2004 P (t ỗng) Náu bÊng tr¶n mỉ t£ h m sè f (n), sè ti thå trung bẳnh theo nôm sinh n thẳ f cõ tỗn tÔi hay khổng? GiÊi thẵch cho Ăp Ăn cừa bÔn Náu f tỗn tÔi, hÂy xĂc nh f (57.4) v cho biát ỵ nghắa 35 Mởt ắa quay chĐt lọng vợi vên tốc gõc w(t) = 5 t 120 (vỏng/giƠy) Tẳm w1 (1) v cho biát ỵ nghắa cừa giĂ tr ny 36 Camera quan sĂt t cĂch v trẵ cĐt cĂnh cừa mởt (a) HÂy cho biát ỵ nghắa giao im cừa ỗ th vợi trửc tung (b) Tốc ở gia tông lủi nhuên bẳnh quƠn mội nôm giai oÔn 2004 án 2010 cừa cỷa hng chiác tản lỷa 1000 mt (m) Khi ríi b» phâng, t¶n lûa bay l¶n th¯ng ùng v camera s³ xoay theo ë cao so vỵi m°t Đt cừa tản lỷa sau t giƠy (s) l t (nôm) ny l bao nhiảu, cõ Ãu n hay khổng? (c) Tốc ở gia tông lủi nhuên bẳnh quƠn cừa cừa hng giai oÔn 2010 án 2012 so vợi giai h(t) = 7000t − 160t2 (m), ≤ t 10 Tẳm gõc oÔn trữợc nhữ thá no, giÊi thẵch nhên xt nhẳn (rad) theo thới gian t cừa bÔn 39 Mởt m cĐy vi khuân gam tÔi thới im ban Ưu, sau t giớ khối lữủng cừa m cĐy ữủc mổ tÊ bi ỗ th dữợi y (gam) 10 ồc ỗ th 37 Cho hm số f cõ ỗ th nhữ hẳnh v dữợi (2, 2) 10 12 t (gií) y (a) Sau gií, gií, 10 gií, sè gam cõa m´ c¥y vi khuân l bao nhiảu (b) Biát rng số gam vi khuân cừa m cĐy sau t x giớ cho bi cổng thực P (t) = HÂy v ỗ th cõa c¡c h m sè sau: 10 + 9ekx H¢y x¡c ành h¬ng sè k