cac dang bai tap ham so bac nhat

Chương Hàm số bậc §1 Khái niệm hàm số Hàm số bậc 1.1 Tóm tắt lý thuyết Nhắc lại khái niệm hàm số Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng x, cho với giá trị x ta xác định giá trị tương ứng y y gọi hàm số biến x x gọi biến số Ơ Ví dụ y hàm số x cho bảng sau x y -1 -1 0 1 2 3 Hàm số cho bảng cơng thức, · · · Ơ Ví dụ y hàm số x cho công thức a) y = 2x b) y = 2x + c) y = x Với hàm số y = 2x y = 2x + biến số x lấy giá trị tùy ý; với hàm số y = , biến số x lấy giá trị khác x ! 17 Nhận xét Khi hàm số cho công thức y = f (x), ta hiểu biến số x lấy giá trị mà f (x) xác định Khi y hàm số x, ta viết y = f (x), y = g(x), · · · Khi x thay đổi mà y ln nhận giá trị khơng đổi hàm số y gọi hàm 105 Khái niệm hàm số Hàm số bậc 106 1.2 Đồ thị hàm số Biểu diễn điểm A(x0 ; y0 ) hệ trục tọa độ Oxy 1) Đánh số trục số y 2) Trên trục hoành chọn điểm có tọa độ x0 , qua vẽ đường thẳng song song với trục Oy y0 3) Trên trục tung chọn điểm có tọa độ y0 , qua vẽ đường thẳng song song với trục Ox 4) Giao điểm hai đường thẳng điểm A(x0 ; y0 ) A(x0 ; y0 ) −3 −2 −1 x0 O1 −1 x −2 −3 Đồ thị hàm số y = f (x) tập hợp tất điểm biểu diễn cặp giá trị tương ứng (x; f (x)) mặt phẳng tọa độ Oxy 1.3 Hàm số đồng biến, nghịch biến Cho hàm số y = f (x) xác định với giá trị x thuộc R Với x1 ; x2 thuộc R, Nếu x1 < x2 mà f (x1 ) < f (x2 ) hàm số y = f (x) đồng biến R Nếu x1 < x2 mà f (x1 ) > f (x2 ) hàm số y = f (x) nghịch biến R 2.1 Hàm số bậc Định nghĩa hàm số bậc Hàm số bậc hàm số cho công thức y = ax + b, a, b số cho trước a khác ! 18 Chú ý Khi b = 0, hàm số có dạng y = ax (đã học lớp 7) 2.2 Vẽ đồ thị hàm số bậc Để vẽ hàm số bậc nhât y = ax + b ta làm sau 1) Chọn hai điểm A B thỏa mãn phương trình hàm số bậc y B 2) Biểu diễn hai điểm A B mặt phẳng tọa độ 3) Nối hai diểm A B, ta đồ thị hàm số cho A O1 −1 −3 −2 −1 −2 −3 Giáo viên: x Chương Hàm số bậc 2.3 107 Giá trị hàm số bậc 1) Cho hàm số bậc y = ax + b, tìm giá trị y0 hàm bậc biết giá trị x = x0 Có phương pháp tính giá trị hàm số bậc • Dựa vào đồ thị hàm số Cách giải Muốn tính giá trị hàm số bậc y = ax + b điểm x0 , ta làm sau ∗ Qua điểm x = x0 trục hoành ta vẽ đường song song với trục tung cắt đồ thị hàm số điểm A ∗ Từ điểm A kẻ đường thẳng song song với trục hoành cắt trục tung điểm y0 , y0 điểm cần tìm • Dựa vào phương trình hàm số Thế giá trị x = x0 vào phương trình hàm số bậc nhất, từ tính giá trị y0 2) Cho hàm số bậc y = ax + b, tìm giá trị x0 hàm bậc biết giá trị y = y0 Làm tương tự 1) 2.4 Tính chất Hàm số bậc y = ax + b xác định với giá trị x thuộc R có tính chất: Đồng biến R, a > Nghịch biến R, a < Hàm số đồng biến y O Hàm số nghịch biến y x O x Các dạng toán Dạng 33 Biểu diễn điểm A(x0 ; y0 ) hệ trục tọa độ Đánh số trục số Trên trục hồnh chọn điểm có tọa độ x0 , qua vẽ đường thẳng song song với trục Oy Trên trục tung chọn điểm có tọa độ y0 , qua vẽ đường thẳng song song với trục Ox Giao điểm hai đường thẳng điểm A(x0 ; y0 ) ĄĄĄ BÀI TẬP MẪU ĄĄĄ Tài liệu Toán của: Khái niệm hàm số Hàm số bậc 108 Ơ Ví dụ Trên hệ trục tọa độ Oxy, biểu diễn tọa độ điểm sau a) A(1, 2) b) B(2, −1) c) C(−1, 0) d) D(0, −2) Lời giải Biểu diễn điểm y A(1, 2) C(−1, 0) −3 −2 −1 O −1 x B(2, −1) D(0, −2) −2 −3 Dạng 34 Nhận dạng hàm số bậc Hàm số bậc hàm số có dạng y = ax + b với a = ĄĄĄ BÀI TẬP MẪU ĄĄĄ Ơ Ví dụ Trong hàm số sau hàm số hàm số bậc nhất? Giải thích? a) y = 2x + d) y = + 2x b) y = − 2x c) y = e) y = 2x2 + Lời giải a) y = 2x + hàm bậc có dạng y = ax + b với a = = 0; b = b) y = − 2x hàm bậc có dạng y = ax + b với a = −2 = 0; b = c) y = khơng hàm bậc khơng có dạng y = ax + b với a = 0; b = d) y = + không hàm bậc khơng có dạng y = ax + b 2x e) y = 2x2 + không hàm bậc khơng có dạng y = ax + b Giáo viên: Chương Hàm số bậc 109 Dạng 35 Vẽ đồ thị hàm số bậc Chọn hai điểm thuộc hàm số bậc Nối hai điểm vừa tìm ĄĄĄ BÀI TẬP MẪU ĄĄĄ Ơ Ví dụ Trên hệ trục tọa độ Oxy, vẽ đồ thị hàm số bậc sau a) y = 3x − b) y = −x − c) y = 2x Lời giải a) y = 3x − x y -3 y3 y = 3x − • Bước Biểu diễn điểm A(0, −3) • Bước Biểu diễn điểm B(1, 0) • Bước Nối hai điểm A B x −3 −2 −1 O −1 −2 −3 b) y = −x − x y -1 -1 y • Bước Biểu diễn điểm A(0, −1) y = −x − 1 • Bước Biểu diễn điểm B(−1, 0) • Bước Nối hai điểm A B −2 −1 O −1 −2 c) y = 2x Tài liệu Toán của: x Khái niệm hàm số Hàm số bậc 110 x y 0 y y = 2x • Bước Biểu diễn điểm A(0, 0) • Bước Biểu diễn điểm B(1, 3) • Bước Nối hai điểm A B −2 −1 O −1 x −2 Dạng 36 Tìm giá trị x y biết giá trị cịn lại Có phương pháp tính giá trị hàm số bậc Dựa vào đồ thị hàm số Dựa vào biểu thức hàm số bậc ĄĄĄ BÀI TẬP MẪU ĄĄĄ Ơ Ví dụ Trên hệ trục tọa độ Oxy, cho hàm số bậc y = 2x + a) Vẽ đồ thị hàm số b) Tính giá trị y hàm số biết x = 1, hai phương pháp? c) Tính giá trị x hàm số biết y = 2, Lời giải a) Vẽ đồ thị hàm số x y -1 -1 y • Bước Biểu diễn điểm A(0, 1) • Bước Biểu diễn điểm B(−1, −1) • Bước Nối hai điểm A B −2 −1 y = 2x + 1 O −1 x −2 b) Tính giá trị y hàm số biết x = 1, hai phương pháp? Phương pháp Với x = vào biểu thức hàm bậc ta có y = · + = Vậy giá trị y = x = Phương pháp Dùng đồ thị hàm số Giáo viên: Chương Hàm số bậc 111 Từ điểm x = trục hoành kẻ đường thẳng song song với trục Oy cắt đồ thị A Từ A kẻ đường thẳng song song với trục Ox cắt đồ thị điểm có y = Vậy giá trị y = x = y y = 2x + −2 −1 O −1 x −2 Vậy giá trị y = x = c) Tính giá trị x hàm số biết y = 2, Thế y = 2, vào biểu thức hàm số ta có 2, = 2x + ⇒ x = 0, 75 Vậy x = 0, 75 y = 2, Dựa vào đồ thị ta có sau y y = 2x + 2.5 −2 −1 O 0.75 −1 x −2 Dạng 37 Hàm số đồng biến nghịch biến Hàm số y = ax + b Đồng biến a > Đồng biến a > ĄĄĄ BÀI TẬP MẪU ĄĄĄ Ơ Ví dụ Trong hàm số bậc sau, hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến? a) y = 2x + b) y = − 2x c) y = −3x d) y = 4x Lời giải Tài liệu Toán của: Khái niệm hàm số Hàm số bậc 112 a) y = 2x + hàm số đồng biến a = > b) y = − 2x hàm số đồng biến a = −2 > c) y = −3x hàm số đồng biến a = −3 > d) y = 4x hàm số đồng biến a = > Luyện tập Bài Trên hệ trục tọa độ Oxy, biểu diễn điểm sau A(3, 2); B(1, −3) Lời giải Biểu diễn điểm y A(1, 2) 1 −3 −2 −1 O −1 x −2 −3 B(1, −3) Bài Trong hàm số sau hàm số hàm số bậc nhất? Giải thích? a) y = x + 3 b) y = − x + c) y = d) y = + 7x e) y = 2x3 + Lời giải 1 a) y = x + hàm bậc có dạng y = ax + b với a = = 0; b = 2 3 b) y = − x + hàm bậc có dạng y = ax + b với a = − = 0; b = 5 c) y = khơng hàm bậc khơng có dạng y = ax + b với a = 0; b = Giáo viên: Chương Hàm số bậc d) y = 113 + khơng hàm bậc khơng có dạng y = ax + b 7x e) y = 2x3 + khơng hàm bậc khơng có dạng y = ax + b Bài Trên hệ trục tọa độ Oxy, vẽ hai hàm số bậc y = x + y = −x Lời giải Bảng giá trị hàm số y = x + x -1 y Bảng giá trị hàm số y = −x x -1 y y y = −x y =x+1 −3 −2 −1 O x −1 −2 −3 Bài Cho hàm số bậc y = (1 − √ 5)x − a) Hàm số đồng biến hay nghịch biến R? Vì sao? √ a) Tính giá trị y x = + √ b) Tính giá trị x y = Lời giải √ a) Hàm số nghịch biến R a = − < √ √ √ a) Khi x = + y = (1 − 5)(1 + 5) − = −5 √ √ √ √ √ √ √ 5+1 ( + 1)2 5+6 5+3 √ = b) Khi y = = (1 − 5)x − ⇔ x = =− =− 1−5 1− Bài Tìm m để hàm số sau hàm số bậc nhất: a) y = mx − x + b) y = (m2 − 1)x − 2014 Lời giải a) y = mx − x + ⇔ y = (m − 1)x + Để hàm số hàm số bậc m − = ⇔ m = Tài liệu Toán của: Khái niệm hàm số Hàm số bậc 114 b) y = (m2 − 1)x − 2014 Để hàm số hàm số bậc m2 − = ⇔ m = ±1 Bài Cho hàm số bậc y = (m − 1)x + Tìm m để đồ thị hàm số qua điểm A(1, 2) Lời giải ® m−1=0 ⇔ Đồ thị hàm số bậc y = (m − 1)x + qua điểm A(1, 2) = (m − 1)1 + ® m=1 ⇒ m = m=0 Bài Cho đường thẳng y = (m + 1)x − 2m, (m = 1) Tìm m để đường thẳng (d) qua điểm A(3; −1) Lời giải Đường thẳng (d) qua điểm A(3; −1) −1 = (m + 1) · − 2m ⇔ m = −4 (nhận) Vậy m = −4 đường thẳng (d) qua điểm A(3; −1) Bài Cho hàm số bậc y = mx + x + m Tìm giá trị m để hàm số a) Đồng biến b) Nghịch biến Lời giải Hàm số bậc y = mx + x + m viết lại y = (m + 1)x + m a) Hàm số bậc đồng biến m + > ⇔ m > −1 b) Hàm số bậc nghịch biến m + < ⇔ m < −1 Các toán nâng cao Bài Cho hàm số y = (a − 1)x + a a) Chứng minh đồ thị hàm số qua điểm A(−1; 1) với giá trị a b) Xác định a để đường thẳng qua gốc toạ độ Lời giải a) Hàm số y = (a − 1)x + a ⇔ y + x − (x + 1)a = 0® ( ) ® y+x=0 x = −1 Phương trình ( ) ln ln ⇔ x+1=0 y = Vậy đồ thị hàm số qua điểm A(−1; 1) với giá trị a b) Xác định a để đường thẳng qua gốc toạ độ Đường thẳng qua gốc tọa độ O(0, 0) = (a − 1) · + a ⇔ a = Vậy a = đường thẳng qua gốc toạ độ Giáo viên: Chương Hàm số bậc 159 Bài 77 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d1 : y = −x − d2 : y = x + Gọi A, B giao điểm (d1 ) (d2 ) với trục Oy C giao điểm (d1 ) với (d2 ) Tính diện tích tam giác ABC Lời giải y Ta có d2 B A = d1 ∩ Oy ⇒ x = ⇒ y = −2 ⇒ A(0; −2) B = d2 ∩ Oy ⇒ x = ⇒ y = ⇒ B(0; 3) C = d1 ∩ d2 ⇒ −x − = x + ⇔ x = −2 ⇒ y = ⇒ C(−2; 0) Lại có CO ⊥ AB OC = 2, AB = OA + OB = + = Do diện tích ABC SABC = C · OC · AB = (đvdt) x O A d1 Bài 78 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đồ thị (d) hàm số y = −x + Tìm tọa độ điểm nằm đường thằng (d) cho khoảng cách từ điểm đến trục Ox hai lần khoảng cách từ điểm đến trục Oy Lời giải Gọi M (a, b) điểm thuộc (d) ta có b = −a +  ñ 2 − a = 2a a = Mặt khác ta có |b| = 2|a| ⇔ |2 − a| = 2|a| ⇔ ⇔ − a = −2a a = −2 Å ã Do có tọa độ M (−2; 4) ; 3 √ √ Bài 79 Cho hàm số y = 2x + + Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến đồ thị hàm số cho Lời giải Gọi A giao điểm đồ thị hàm số Ox √ √ √ 2+ Ta có yA = ⇒ = · xA + + ⇒ xA = − Gọi B giao điểm của√đồ thị hàm Oy √ số √ Ta có xA = ⇒ yA = · + + = +   Ç √ √ å2 √ √ √ 2+ + 2+ Ta có OA = , OB = + AB = + ( + 1)2 = 2 Gọi OH đường cao tam giác OAB ta có √ OA · OB 4+3 OA · OB = AB · AH ⇒ AH = = √ AB 18 + Tài liệu Toán của: Ôn tập chương 160 Bài 80 Cho đường thẳng (d) : y = 3x − Vẽ đồ thị hàm số d Tính chu vi tam giác tạo đường thẳng d trục tọa độ Tính khoảng cách từ gốc O đến đường thẳng d Lời giải y O Tập xác định D = R Bảng giá trị A x −1 x y= 3x −3 4 −3 −2 H −3 B b) Với y = ⇒ x = ⇒ A(4; 0) ⇒ OA = Với x = ⇒ y = −3 ⇒ B(0; −3) ⇒ OB =√3 Vì tam giác OAB vng O nên AB = OA2 + OB = Chu vi tam giác OAB P = + + = 12 (đvđd) · · = (đvdt) Gọi OH đường cao kẻ từ O xuống AB Ta có b) Diện tích tam giác OAB S = OH = 2S 12 = (đvđd) AB Bài 81 Cho đường thẳng d : x − 5y + 13 = 0, d lấy điểm A có hồnh độ −3 điểm B có tung độ Tính diện tích OAB Lời giải y B A C −3 D O x Điểm A có hồnh độ x = −3 ⇒ −3 − 5y + 13 = ⇔ y = ⇒ A(−3; 2) Điểm B có hồnh độ y = ⇒ x − · + 13 = ⇔ x = ⇒ B(2; 3) Gọi C(−3; 0) D(2; 0) hình chiếu A, B lên Ox Khi ta có ACDB hình thang vng C D, CD = OC + OD = + = 5, AC = 2, BD = Do diện tích ACDB SACDB = 1 25 · CD · (AC + BD) = · · = 2 Giáo viên: Chương Hàm số bậc 161 BDO vuông C D nên 1 SACO = · AC · CO = 3; SBDO = · BD · DO = 2 13 25 −3−3= (đvdt) Khi SOAB = SACDB − SACO − SBDO = 2 Bài 82 Cho hàm số bậc y = x + m (m tham số) có đồ thị d cắt Ox, Oy A B Tìm m để AB = Lời giải Lại có ACO Ta có A = d ∩ Ox ⇒ y = ⇒ x = −m ⇒ A(−m; 0) ⇒ OA = |m| B = d ∩ Oy ⇒ x = ⇒ y = m ⇒ B(0; m) ⇒ OB = |m| Lại có OAB vng O nên y B 2 AB = OA + OB ⇔ = |m| + |m| ⇔ m = ±2 x A O Bài 83 Cho ba đường thẳng (d1 ) : y = x, (d2 ) : y = 2x (d3 ) : y = −x + Đường thẳng (d3 ) cắt hai đường cịn lại A B Tính diện tích tam giác OAB Lời giải y d2 d1 B A −1 O D x d3 −1   Å ã x = y=x 3 Tọa độ điểm A nghiệm hệ ⇔ ⇒A ;  2 y = −x + y = ® ® y = 2x x=1 Tọa độ điểm B nghiệm hệ ⇔ ⇒ B(1; 2) y = −x + y=2 Gọi D giao điểm (d3 ) Ox ta có xD = yD = 1 Ta có SOAB = SOBD − SOAD = · · − · · 1,5 = 0,75 2 Bài 84 Tính diện tích tam giác giới hạn đường thẳng d1 : 4x + y + = 0, d2 : 5x − 2y + = 0, d3 : x − 3y + = Lời giải ® Tọa độ giao điểm A d1 d2 nghiệm hệ ® ® ® 4x + y + = 8x + 2y + 12 = x = −1 ⇔ ⇔ ⇒ A(−1; −2) 5x − 2y + = 5x − 2y + = y = −2 Tài liệu Toán của: Ôn tập chương 162 Tọa độ giao điểm B d2 d3 nghiệm hệ ® ® ® ® 5x − 2y + = 5x − 2y + = 13y − 39 = y=3 ⇔ ⇔ ⇔ ⇒ B(1; 3) x − 3y + = x = 3y − x = 3y − x=1 Tọa độ giao điểm C d1 d3 nghiệm hệ ® ® ® ® y=2 13y − 26 = 4x + y + = 4x + y + = ⇒ C(−2; 2) ⇔ ⇔ ⇔ x = −2 x = 3y − x = 3y − x − 3y + = y B C −2 −1 O x −1 A H −2 K Qua A dựng đường thẳng d song song với trục Ox gọi H, K hình chiếu vng góc C, B lên d ⇒ CHKB hình thang vng Ta có CH = 4, BK = 5, HK = 3, HA = 1, KA = Do S CHA = · · = 2; Diện tích tam giác ABC S 2.5 S ABC = BKA = · · = 5; SCHKB = (4 + 5) · 27 = 2 27 13 − (2 + 5) = 2 Tổng hợp Bài 85 Cho hàm số y = (m − 2)x + n (d) Tìm m n để đường thẳng (d) qua điểm A(−1; 2) B(3; −4) cắt trục Ox, Oy điểm có hồnh độ tung độ cắt đường thẳng x − 2y − = song song với đường thẳng 3x + 2y = Lời giải Vì d qua điểm A(−1; 2) B(3; −4) nên ta có hệ phương trình ® ® − (m − 2) + n = −m+n=0 ⇔ ⇔m=n= 3(m − 2) + n = −4 3m + n = Giáo viên: Chương Hàm số bậc 163 Vì d cắt trục Ox, Oy điểm có hồnh độ tung độ nên ta có hệ phương trình ® ® (m − 2) + n = n=2 ⇔ · (m − 2) + n = m = Xét đường thẳng x − 2y − = ⇔ y = x − Để đường thẳng d cắt đường thẳng 2 x − 2y − = m−2= ⇔m= 2 Xét đường thẳng 3x + 2y = ⇔ y = − x + Vì d song song với đường thẳng 3x + 2y = 2 nên     m − = − m = ⇔ 1   n = n = 2 Bài 86 Cho hàm số bậc y = (4m2 − 1)x + − 2m, (m tham số) Vẽ đồ thị hàm số với m = Tìm giá trị nguyên m biết đồ thị hàm số cắt tia Ox, Oy A, B cho SOAB = Lời giải Với m = hàm số trở thành y = −x + Cho x = ⇒ y = ⇒ N (0; 1) y N Cho y = ⇒ x = ⇒ M (1; 0) Đồ thị hàm số đường thẳng qua M N M x O Hàm số hàm số bậc nên 4m2 − = ⇔ m = ± Gọi d đồ thị hàm số, ta có A = d ∩ Ox ⇒ y = ⇒ x = 2m + ⇒ A(2m + 1; 0) ⇒ OA = |2m + 1| B = d ∩ Oy ⇒ x = ⇒ y = − 2m ⇒ B(0; − 2m) ⇒ OB = |1 − 2m| Lại có OAB vuông O nên SOAB y B A x O  m =0 1  = · OA · OB ⇔ = · |2m + 1| · |1 − 2m| ⇔ |4m − 1| = ⇔ 2 m2 = (loại) Vậy m = thỏa mãn yêu cầu đề Tài liệu Toán của: Ôn tập chương 164 Bài 87 Cho đường thẳng (d) : y = (2m − 1)x + m − Tìm tọa độ điểm M mà đồ thị hàm số qua với m Lời giải Gọi M (a, b) điểm cố định mà hàm số qua với m Ta có b = (2m − 1)a + m − với m  ®  a = − 2a + = ⇔ Do (2a + 1)m − (a + + b) = với m ⇔  a+2+b=0 b = − ã Å Vậy điểm M có tọa độ − ; − 2 Bài 88 Tìm tập hợp điểm M mặt phẳng tọa độ Oxy, biết M (m − 1; 2m + 3) với m tham số Lời giải Ta có xM = m − ⇔ m = xM + Do yM = 2m + = 2(xM + 1) + = 2xM + Vậy tập hợp điểm M đường thẳng y = 2x + Bài 89 Cho hàm số bậc y = (m − 1)x + (m tham số), có đồ thị đường thẳng d Tìm m, biết hàm số nghịch biến R d qua điểm M (m, 3) Tìm điểm cố định mà d ln qua với m Lời giải Hàm số nghịch biến R nên m − < ⇔ m < Lại có d qua M (m; 3) nên ñ m = −1 (thỏa mãn) = (m − 1)m + ⇔ m − m − = ⇔ m=2 (loại) Vậy m = −1 thỏa mãn yêu cầu đề Gọi A(x0 ; y0 ) điểm mà đồ thị hàm số qua với m Khi y0 = (m − 1)x0 + 1, ∀m ∈ R ⇔ x0 · m − x0 − y0 + = 0, ∀m ∈ R ® ® x0 = x0 = ⇔ ⇔ − x0 − y0 + = y0 = Vậy điểm cố định mà đồ thị hàm số qua A(0; 1) Bài 90 Cho hàm số bậc y = (k − 1)x + có đồ thị đường thẳng d hai điểm A(0; 2), B(−1; 0) Tìm k để d qua B Khi hàm số đồng biến hay nghịch biến R? Tìm k để d cắt Ox C cho diện tích ∆OAC gấp đơi diện tích ∆OAB Lời giải Giáo viên: Chương Hàm số bậc 165 Ta có d qua B(−1; 0) nên = (k − 1) · (−1) + ⇔ −k + + = ⇔ k = Khi hàm số trở thành y = 2x + Vì a = > nên hàm số đồng biến R Ta có A(0; 2) ∈ Oy, B(−1; 0) ∈ Ox nên OA = 2, OB = SOAB = · OA · OB = Vì hàm số hàm số bậc nên k − = ⇔ k = Ta có Å ã −2 −2 C = d ∩ Ox ⇒ y = ⇒ x = ⇒C ; ⇒ OC = k−1 k−1 k−1 Lại có A ∈ Oy nên OAC vng O Do SOAC = · OA · OC = k−1 Mà SOAC = 2SOAB nên ñ k=0 = ⇔ |k − 1| = ⇔ k−1 k = Vậy k ∈ {0; 2} thỏa mãn yêu cầu đề Bài 91 Cho hàm số y = (m − 1)x + m + (dm ) Tìm m để đồ thị hàm số (dm ) qua điểm A(1; −4) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số dm qua với m Lời giải Vì đồ thị hàm số (dm ) qua điểm A(1; −4) nên ta có (m − 1) + m + = −4 ⇔ 2m = −6 ⇔ m = −3 Gọi (x0 ; y0 ) điểm cố định mà đồ thị hàm số dm qua với m Khi ta có (m − 1)x0 + m + = y0 , ∀m ⇔ m(x0 + 1) + (−x0 − y0 + 3) = 0, ∀m ® x0 + = ⇔ − x0 − y + = ® x0 = −1 ⇔ y0 = Vậy điểm cố định mà đồ thị hàm số dm qua với m (−1; 4) Bài 92 Cho hàm số y = (2m − 1)x + 4m2 − (dm ) Tìm m để (dm ) đồng quy với hai đường thẳng d1 : y = 2x − d2 : y = 3x + Tài liệu Toán của: Ôn tập chương 166 Tìm m để (dm ) cắt trục tọa độ theo tam giác cân Lời giải Tọa độ giao điểm hai đường thẳng d1 : y = 2x − d2 : y = 3x + nghiệm hệ ® ® ® x = −3 y = 2x − y = 2x − ⇒ A(−3; −8) ⇔ ⇔ y = −8 2x − = 3x + y = 3x + Để dm đồng quy với d1 , d2 dm phải qua A(−3; −8),  m=1 −3(2m − 1) + 4m2 − = −8 ⇔ 4m2 − 6m + 10 = ⇔  m= 2 Giả sử (dm ) cắt trục tọa độ A, B ⇒ OAB vuông cân O ⇒ ABO = BAO = 45◦ Do đó, dm song song với đường phân giác y = x y = −x Nếu dm song song với y = x ⇒ 2m − = ⇒ m = Nếu dm song song với y = −x ⇒ 2m − = −1 ⇒ m = Vậy với m = m = dm cắt trục tọa độ theo tam giác cân 2.6 Nâng cao Bài 93 Cho đường thẳng d : y = 2011mx − 5m2 Tìm trục tung điểm mà đường thẳng d không qua với m ∈ R Lời giải Ta có giao điểm đường thẳng d với trục tung điểm A(0; −5m2 ) Vì yA = −5m2 ≤ nên không tồn m để đường thẳng d cắt trục tung điểm có tung độ dương Vậy điểm trục tung có tung độ dương đường thẳng cho khơng qua với m ∈ R Bài 94 Cho hàm số bậc y = ax (a tham số), có đồ thị đường thẳng d điểm A(0; 4), B(3; 1) Tìm a để A, B nằm hai phía d cách d Lời giải y A M K H N B x Giáo viên: Chương Hàm số bậc 167 Gọi AH, BK khoảng song ã với Å cách ã từ A, B đến đường thẳng d Đường thẳng qua A song Å Ox cắt d điểm M ; Đường thẳng qua B song song với Ox cắt d điểm N ;1 a a Ta có AH = BK ⇔ AM = N B ⇔ xM = xB − xN ⇔ = − ⇔ a = a a Bài 95 Cho hàm số bậc y = 2x + m (1) y = x − m + (2) (m tham số), có đồ thị đường thẳng d1 d2 Chứng minh d1 , d2 cắt điểm điểm ln nằm đường thẳng cố định Lời giải Ta có = với m nên d1 ln cắt d2 Hồnh độ giao điểm d1 , d2 nghiệm phương trình 2x + m = x − m + ⇔ x = −2m + ⇒ y = −3m + ⇒ M (−2m + 1; −3m + 1) 3 Ta có 3xM − 2yM = ⇔ yM = xM − ⇒ M ∈ d : y = x − 2 Bài 96 Cho hàm số bậc y = mx − m + (m tham số), có đồ thị đường thẳng d Tìm điểm cố định mà d ln qua Tìm m để khoảng cách từ O đển d lớn Lời giải Gọi A(x0 ; y0 ) điểm mà d qua với m Khi y0 = mx0 − m + 1, ∀m ∈ R ⇔ (x0 − 1) · m − y0 + = 0, ∀m ∈ R ® ® x0 − = x0 = ⇔ ⇔ − y0 + = y0 = Vậy điểm cố định mà d qua A(1; 1) y A O H x Gọi ∆ : y = ax đường thẳng qua gốc tọa độ điểm A(1; 1) ⇒ a = ⇒ ∆ : y = x Kẻ OH ⊥ d ⇒ OH ≤ OA Do OH lớn H ≡ A hay d ⊥ ∆ ⇔ m · = −1 ⇔ m = −1 Bài 97 Cho hàm số y = |x − 1| + |x + 2| (d) Vẽ đồ thị hàm số (d) Tài liệu Toán của: Ôn tập chương 168 Biện luận số nghiệm phương trình |x − 1| + |x + 2| = m Lời giải Ta có bảng xét dấu −∞ x −2 x−1 − x+2 − +∞ − + + + Do     x − + x + x ≥ x ≥  2x + y = −(x − 1) + x + − ≤ x ≤ = − ≤ x ≤     −(x − 1) − (x + 2) x ≤ −2 −2x − x ≤ −2 Ta có bảng giá trị x −3 −2 y 3 Đồ thị hàm số y = |x − 1| + |x + 2|: y −3 −2 −1 O x Số nghiệm phương trình |x − 1| + |x + 2| = m số giao điểm đồ thị hàm số y = |x − 1| + |x + 2| đường thẳng y = m Nếu m < phương trình vơ nghiệm Nếu m = phương trình có vơ số nghiệm x ∈ [−2; 1] Nếu m > phương trình có hai nghiệm phân biệt Bài 98 Cho họ đường thẳng y = (m + 5)x + 2m + 11 (dm ) Giáo viên: Chương Hàm số bậc 169 Tìm điểm cố định dm Tính khoảng cách lớn từ O đến dm Lời giải Gọi (x0 ; y0 ) điểm cố định mà đồ thị hàm số dm qua với m Khi ta có (m + 5)x0 + 2m + 11 = y0 , ∀m ⇔ m(x0 + 2) + (5x0 − y0 + 11) = 0, ∀m ® x0 + = ⇔ 5x0 − y0 + 11 = ® x0 = −2 ⇔ y0 = Vậy điểm cố định mà đồ thị hàm số dm qua với m A(−2; 1) Gọi H hình chiếu vng góc O lên dm Xét tam giác OHA vuông H, ta có » √ OA = 12 + (−2)2 = OH ≤ OA √ Do OH lớn H ≡ A y H A −2 O x Bài 99 Cho đường thẳng d : y = mx + 2m − Xác định m để khoảng cách từ O đến đường thẳng d lớn Lời giải Gọi M (a, b) điểm cố định mà đường thẳng d qua Ta có b = ma + 2m − với m Do ®đó (a + 2)m − b − ®1 = với m a+2=0 a = −2 ⇔ ⇔ −b−1=0 b = −1 Suy M (−2; −1) Gọi OH khoảng cách từ O đến đường thẳng d, ta có OH ≤ OM Khoảng cách từ O đến đường thẳng d lớn H ≡ M hay d ⊥ OM Đường thẳng OM có dạng y = ax qua M (−2; −1) nên thay x = −2; y = −1, ta có −1 = a · (−2) ⇒ a = Suy phương trình đường thẳng OM y = x Ta có d ⊥ OM ⇔ m · = −1 ⇔ m = −2 Vậy m = −2 Tài liệu Toán của: Ôn tập chương 170 Bài 100 Cho điểm M chạy đường thẳng d : y = x − Tìm giá trị nhỏ khoảng cách OM (với O gốc tọa độ) Lời giải Với y = ⇒ x = ⇒ A(4; 0) ⇒ OA = Với x = ⇒ y = −4 ⇒ B(0; −4) ⇒ OB =√4 √ Vì tam giác OAB vng O nên AB = OA2 + OB = Diện tích tam giác OAB S = · · = (đvdt) Gọi OH đường cao kẻ từ O xuống AB Ta có y O A x H √ 2S OH = = 2 (đvđd) AB Vì OH ⊥ HM ⇒ OM ≥ OH Dấu √bằng xảy M ≡ H Vậy giá trị nhỏ OM = 2 Giáo viên: B Chương Hàm số bậc 171 §6 Đề kiểm tra chương Đề số (Dành cho học sinh đại trà) Câu Cho đường thẳng d : y = 2x − 1 Tìm tọa độ điểm A thuộc d, biết A có hồnh độ −1 Tìm tọa độ điểm B thuộc d, biết B có tung độ Lời giải Ta có xA = −1, nên yA = · (−1) − = −3 Vậy A(−1; −3) Ta có yB = 5, nên 2xB − = ⇔ xB = Vậy B(3; 5) A Câu Cho hàm số y = (m − 2)x + 2m − Tìm m để hàm số cho đồng biến Tìm m để đồ thị hàm số cho qua điểm A(2; −8) Vẽ đồ thị hàm số cho tính góc đường thẳng với trục Ox m = Lời giải Hàm số cho đồng biến m − > ⇔ m > 2 Đồ thị hàm số cho qua điểm A(2; −8) −8 = (m − 2)2 + 2m − ⇔ −8 = 4m − ⇔ m = − Với m = ta có y = −x Do a = −1 < nên hàm số nghịch biến Đồ thị hàm số đường thẳng qua hai điểm (0; 0) (−1; 1) AB Ta có tan AOB = = 1, suy AOB = 45◦ OA Do α = 180◦ − 45◦ = 135◦ Tài liệu Toán của: y B −1 A O α x Đề kiểm tra chương 172 Câu Cho hàm số f (x) = (3 − 2a) x + 3a (với a tham số) Tìm a để f (2017) < f (2019) 2018 Lời giải Ta thấy f (x) hàm số có dạng ax + b Ta có f (2017) < f (2019) hàm số đồng biến, hay − 2a > ⇔ − 2a > ⇔ a < 2018 2 Đề số (Dành cho học sinh khá, giỏi) Câu Cho ba đường thẳng d1 : y = 3x − 1, d2 : y = − 3x d3 : y = (2m − 1) x + − m Vẽ đường thẳng d1 Tìm m để d2 ∥ d3 Tìm m để hai đường thẳng d1 d3 cắt điểm nằm trục Oy Lời giải y Đường thẳng d1 qua hai điểm M (0; −1), N (1; 2) O −1 1x Ta có ® d2 ∥ d3 ⇔ 2m − = −3 4−m=5 ® ⇔ m = −1 m = −1 vô nghiệm Vậy không tồn m để d2 ∥ d3 Gọi B giao điểm hai đường thẳng d1 d3 Vì B nằm Oy nên B (0; y), mà B ∈ d1 nên y = −1 ⇒ B (0; −1) Lại có B ∈ d3 nên suy −1 = − m ⇔ m = Vậy m = giá trị cần tìm Câu Cho đường thẳng d : y = (m − 1)x + 2m + 1 Tìm m để y(20173 ) > y(20194 ) Tìm m để đường thẳng d cắt Ox, Oy hai điểm A, B cho tam giác AOB cân Giáo viên: Chương Hàm số bậc 173 Lời giải Ta thấy hàm số cho có dạng y = ax + b Ta có 20173 < 20194 , nên y (20173 ) > y (20194 ) ⇔ Hàm số cho nghịch biến, hay m − < ⇔ m < Vì tam giác AOB vng cân O, nên đường thẳng AB (tức đường thẳng d) vng góc với phân giác góc AOB, tức vng góc với đường thẳng y = x y = −x Từ suy đ đ m=2 m−1=1 ⇔ m = m − = −1 Thử lại, ta thấy hai giá trị thỏa mãn Vậy m = 0, m = giá trị cần tìm −1 3m2 + x + (m m2 + m2 + tham số) Chứng minh với giá trị m d1 , d2 ln cắt điểm M nằm đường tròn cố định Lời giải Câu Cho đường thẳng d1 : y = (m2 + 1)x − m2 + 2, d2 : y = Ta thấy điểm A (1; 3) ∈ d1 B (4; 3) ∈ d2 với giá trị m ã Å −1 = −1 nên d1 ⊥d2 Đồng thời (m + 1) m2 + Do đó, d1 d2 ln cắt M AM B = 900 nên M nằm đường trịn đường kính AB Vậy tốn chứng minh A Tài liệu Toán của: B M ... + Tìm m để (d) (d ) song song với Lời giải Điều thẳng song song ® kiện để hai đường ® m − = −1 m = ±1 ⇔ ⇔ m = −1 m+2=3 m=1 Vậy m = −1 giá trị cần tìm Ơ Ví dụ Tìm giá trị tham số k để đường thẳng... số: y = (m − 1) x + m + với m = −1 (m tham số) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số song song với đường thẳng (d) : y = −2x + Lời giải Đồ ® thị hàm ®số cho song song ® với đường thẳng (d) : y = −2x +... trục hồnh chọn điểm có tọa độ x0 , qua vẽ đường thẳng song song với trục Oy Trên trục tung chọn điểm có tọa độ y0 , qua vẽ đường thẳng song song với trục Ox Giao điểm hai đường thẳng điểm A(x0