cac dang bai tap ham so y ax2 a khac 0 phuong trinh bac hai mot an

Chương Hàm số y = ax2, a = Phương trình bậc hai ẩn §1 Hàm số đồ thị hàm số y = ax2(a = 0) 1.1 Tóm tắt lý thuyết Hàm số y = ax2 (a = 0) Tập xác định: Hàm số y = ax2 (a = 0) xác định với x ∈ R Tính đồng biến nghịch biến: Nếu a > hàm số đồng biến với x > nghịch biến với x < Nếu a < hàm số nghịch biến với x > đồng biến với x < Miền giá trị: 1.2 Nếu a > y với x Khi y = ⇔ x = Nếu a < y với x Khi max y = ⇔ x = Đồ thị hàm số y = ax2 (a = 0) Đồ thị hàm số y = ax2 (a = 0) đường parabol qua gốc tọa độ nhận Oy làm trục đối xứng Gốc tọa độ O đỉnh parabol Nếu a > đồ thị nằm phía trục hồnh, O điểm thấp đồ thị Nếu a < đồ thị nằm phía trục hồnh, O điểm cao đồ thị 240 Chương Hàm số y = ax2 , a = Phương trình bậc hai ẩn 241 Các dạng toán Dạng 76 Vẽ đồ thị hàm số y = ax2 Để vẽ đồ thị hàm số y = ax2 , ta thực bước sau Bước 1: Lập bảng giá trị (nên lấy giá trị) Bước 2: Đồ thị hàm bậc số có dạng parabol nằm phía trục hồnh a > nằm phía trục hoành a < 0, đồng thời qua điểm thuộc bảng giá trị Bước 3: Vẽ đồ thị ĄĄĄ BÀI TẬP MẪU ĄĄĄ Ơ Ví dụ Vẽ đồ thị hàm số y = x2 Lời giải Bảng giá trị x y = x2 −2 −1 1 Vẽ đồ thị y −2 −1 O x Dạng 77 Tính giá trị hàm số Để tính f (x0 ), ta thay x = x0 vào f (x) ĄĄĄ BÀI TẬP MẪU ĄĄĄ Ơ Ví dụ Cho hàm số y = f (x) = 4x2 Hãy tính f (1), f (−1), f (2), f (−2), f (0) Lời giải Ta có f (1) = · (1)2 = Tài liệu Toán của: Hàm số đồ thị hàm số y = ax2 (a = 0) 242 f (−1) = · (−1)2 = f (2) = · (2)2 = 16 f (−2) = · (−2)2 = 16 f (0) = · (0)2 = Ơ Ví dụ Cho hàm số y = f (x) = − x2 có đồ thị (C) Trong điểm A(2; −2), B(1; 0), C(−1; − ), điểm thuộc đồ thị (C), điểm khơng thuộc? Vì sao? Lời giải Điểm A thuộc đồ thị (C) f (xA ) = − · (2)2 = −2 = yA 1 Điểm B khơng thuộc đồ thị (C) f (xB ) = − · (1)2 = − = yB 2 1 Điểm C thuộc đồ thị (C) f (xC ) = − · (−1) = − = yC 2 ! 19 Điểm M (x0 ; y0 ) thuộc đồ thị hàm số (C) : y = f (x) tọa độ điểm M thỏa mãn y0 = f (x0 ) Ơ Ví dụ Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số (C) : y = 5x2 biết Điểm có hồnh độ −2 Điểm có tung độ Lời giải x = −2 ⇒ y = · (−2)2 = 20 Vậy tọa độ điểm (−2; 5) y = ⇒ 5x2 = ⇔ x2 = ⇔ x = ±1 Vậy có hai điểm thỏa u cầu tốn (1; 5) (−1; 5) Ơ Ví dụ Tìm m để điểm M (m; 2m) sau thuộc đồ thị hàm số y = f (x) = −2x2 Lời giải Điểm M thuộc đồ thị hàm số y = f (x) = −2x2 ñ m=0 −2m = 2m ⇔ m = Vậy với m = m = điểm M thuộc đồ thị hàm số y = f (x) = −2x2 Dạng 78 Xác định hàm số bậc hai thỏa mãn tính chất cho trước Hàm số y = f (x) có đồ thị (P ) Điểm M (x0 ; y0 ) ∈ (P ) ⇔ y0 = f (x0 ) ĄĄĄ BÀI TẬP MẪU ĄĄĄ Giáo viên: Chương Hàm số y = ax2 , a = Phương trình bậc hai ẩn 243 Ơ Ví dụ Xác định hàm số bậc hai y = ax2 Biết đồ thị qua điểm A(10; 30) Lời giải Điểm A(10; 30) thuộc đồ thị hàm số y = ax2 ⇔ 30 = a · 102 ⇔ a = 10 Vậy hàm số cần tìm y = x 10 Dạng 79 Tính biến thiên hàm số y = ax2 Dựa vào tính chất hàm số y = ax2 (a = 0) Nếu a > hàm số nghịch biến x < đồng biến x > Nếu a < hàm số nghịch biến x > đồng biến x < ĄĄĄ BÀI TẬP MẪU ĄĄĄ Ơ Ví dụ Cho hàm số y = (2m + 1)x2 (m = − ) Tìm m để Hàm số đồng biến với x > Hàm số đồng biến với x < Lời giải Hàm số cho đồng biến với x > 2m + > ⇔ m − 2 Hàm số cho đồng biến với x < 2m + < ⇔ m − Ơ Ví dụ Cho hàm số y = − x2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số x Lời giải Ta có a = − < nên hàm số nghịch biến khoảng f (0) f (x) Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ y = − f (3) ⇔ x y Do − x = giá trị lớn max y = x = Tài liệu Toán của: Hàm số đồ thị hàm số y = ax2 (a = 0) 244 Dạng 80 Tương giao parabol đường thẳng Để tìm tọa độ giao điểm (P ) (d), ta tiến hành làm bước sau: Bước 1: Tìm phương trình hồnh độ giao điểm ax2 = mx + n (4.1) Bước 2: Tìm số giao điểm Nếu (4.1) vơ nghiệm (d) khơng cắt (P ) Nếu (4.1) có nghiệm phân biệt (d) cắt (P ) điểm phân biệt Nếu (4.1) có nghiệm kép nghiệm (d) tiếp xúc (P ) điểm Bước 3: Nếu phương trình (4.1) có nghiệm xi suy tung độ giao điểm yi = ax2i yi = mxi + n Bước 4: Kết luận ĄĄĄ BÀI TẬP MẪU ĄĄĄ Ơ Ví dụ Cho parabol (P ) : y = x2 đường thẳng (d) : y = −x + Tìm tọa độ giao điểm A, B (xA > xB ) (d) (P ) Tính diện tích tam giác OAB Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P ) ñ x=1 x = −x + ⇔ x + x − = ⇔ x = −2 2 Với x = ⇒ y = Với x = −2 ⇒ y = Vậy (d) cắt (P ) hai điểm phân biệt có tọa độ A(1; 1) B(−2; 4) Gọi C, D hình chiếu B, A xuống Ox Ta có y B (4 + 1) · 15 (BC + AD)CD SBCDA = = = , 2 BC · CO SBCO = = 4, AD · DO SADO = = 2 C −2 Suy A SABO = SBCDA − SBCO − SADO = Vậy diện tích tam giác ABO (đvdt) Giáo viên: D −1 O x Chương Hàm số y = ax2 , a = Phương trình bậc hai ẩn Luyện tập Bài Cho hàm số y = ax2 có đồ thị hàm số (P ) Xác định a biết (P ) qua điểm A(1; −2) Vẽ đồ thị (P ) Tìm điểm thuộc (P ) có hồnh độ Tìm điểm thuộc (P ) có tung độ −4 Lời giải (P ) qua điểm A(1; −2) −2 = a · 12 ⇔ a = −2 Bảng giá trị −2 −1 −8 −2 x y = −2x2 −2 −8 Vẽ đồ thị −2 −1 O y x −2 −8 Bài Cho y = (2m − 3)x2 với 2m − = Tìm m để hàm số đồng biến x > Tìm m để hàm số nghịch biến x > Tài liệu Toán của: 245 Hàm số đồ thị hàm số y = ax2 (a = 0) 246 Lời giải Hàm số cho đồng biến với x > 2m − > ⇔ m Hàm số cho nghịch biến với x > 2m − < ⇔ m Bài Cho hàm số y = 2x2 Hãy tìm Giá trị lớn hàm số đoạn [−4; −2] Giá trị lớn nhỏ hàm số đoạn [1; 3] Lời giải Ta có a = > nên hàm số nghịch biến khoảng −4 f (−4) f (x) f (−2) ⇔ 32 −2 Do x y Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ y = x = −2 giá trị lớn max y = 32 x = −4 Ta có a = > nên hàm số đồng biến khoảng f (1) f (x) f (3) ⇔ x Do y 18 Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ y = x = giá trị lớn max y = 18 x = Bài Cho parabol (P ) : y = x2 đường thẳng (d) : y = x + Vẽ (P ) (d) hệ trục tọa độ Tìm tọa độ giao điểm (P ) (d) Lời giải Vẽ đường thẳng (d) Cho x = −2 ⇒ y = Cho x = ⇒ y = Vẽ parabol (P ): Bảng giá trị x y= x −2 −1 2 1 2 Vẽ đồ thị Giáo viên: Chương Hàm số y = ax2 , a = Phương trình bậc hai ẩn 247 y 0.5 −2 −1 4x 2 Phương trình hồnh độ giao điểm ñ x = −2 x2 = x + ⇔ x2 − 2x − = ⇔ x = Với x = −2 ⇒ y = Với x = ⇒ y = Vậy (d) (P ) có hai điểm chung có tọa độ (−2; 2) (4; 8) Các toán nâng cao Bài Cho hàm số y = x2 − 2x + Tìm giá trị lớn hàm số đoạn [1; 5] Lời giải ® X =x−1 Ta có y = x2 − 2x + = (x − 1)2 + ⇔ y − = (x − 1)2 Đặt ⇒ Y = X Y =y−2 ñ ñ x=1 X=0 Lại có ⇒ x=5 X=4 Mà hàm số Y = X đồng biến với X > Do Y 16 ⇔ y 14 Vậy hàm số cho đạt giá trị lớn max y = 14 x = đạt giá trị lớn y = x = Bài Cho hàm số y = 2x2 − 8x + Tìm giá trị lớn hàm số đoạn [0; 5] Lời giải ® X =x−2 2 Ta có y = 2x − 8x + = 2(x − 2) + ⇔ y − = 2(x − 2) Đặt ⇒ Y = 2X Y =y−1 ñ ñ x=0 X = −2 Lại có ⇒ x=5 X=3 Tài liệu Toán của: Hàm số đồ thị hàm số y = ax2 (a = 0) 248 Mà hàm số Y = 2X đồng biến với · 02 X Do · 32 ⇔ Y Mặt khác hàm số Y = 2X nghịch biến với −2 · (−2)2 Y X · 02 ⇔ Y 18 (4.2) Do Y (4.3) Từ (4.2) (4.3) suy Y 18 ⇔ y 19 Vậy hàm số cho đạt giá trị lớn max y = 19 x = đạt giá trị lớn y = x = Bài Trên parabol (P ) : y = x2 , ta lấy hai điểm A(−1; 1) B(3; 9) Xác định điểm C cung nhỏ AB (P ) cho diện tích tam giác ABC lớn Lời giải Giả sử C(c; c2 ) thuộc (P ) với −1 < c < Gọi A , B , C hình chiếu A, B C xuống trục Ox Ta có y B (1 + c2 ) · (1 + c) (AA + CC )A C = , 2 (1 + 9) · (AA + BB )A B = = 20, = 2 (CC + BB )C B (9 + c2 ) · (3 − c) = = 2 SAA C C = SAA B B SCC B B Suy SABC = SAA B B − SCC B B − SAA C C = − 2c2 + 4c = − 2(c − 1)2 C Vậy tam giác ABC lớn C(1; 1) A A −1 O Giáo viên: C B x Chương Hàm số y = ax2 , a = Phương trình bậc hai ẩn 249 §2 Phương trình bậc hai ẩn cơng thức nghiệm 1.1 Tóm tắt lí thuyết Định nghĩa Phương trình bậc hai ẩn phương trình có dạng ax2 + bx + c = 0, (1) x ẩn; a, b, c số cho trước gọi hệ số a = Nhận xét Phương trình (1) tương đương với phương trình đÅ ã b b2 − 4ac a x+ = − 2a 4a2 1.2 (2) Giải phương trình bậc hai Để tìm nghiệm phương trình (1) ta dựa vào biệt số ∆ = b2 − 4ac Nếu ∆ < phương trình (1) vơ nghiệm Nếu ∆ = phương trình (1) có nghiệm kép x1 = x2 = − b · 2a Nếu ∆ > phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt √ √ −b − ∆ −b + ∆ x1 = ; x2 = · 2a 2a Đặc biệt: Nếu b = 2b ta có ∆ = (b )2 − ac Khi Nếu ∆ < phương trình (1) vơ nghiệm b Nếu ∆ = phương trình (1) có nghiệm kép x1 = x2 = − · a Nếu ∆ > phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt √ √ −b + ∆ −b − ∆ x1 = ; x2 = · a a Nhận xét Nếu ac < ∆ > 0, phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt Hơn nữa, hai nghiệm trái dấu Tài liệu Toán của: Chương Hàm số y = ax2 , a = Phương trình bậc hai ẩn C − < m < m = 333 D m < Lời giải Ta có x4 − (3m + 2)x2 + 3m + = ⇔ x2 = x2 = 3m + ® Phương trình cho có bốn nghiệm phân biệt nhỏ khi: < 3m + < 3m + = 1 Do − < m < m = Chọn đáp án C Bài 30 Để giải phương trình |x + 1| = x − 3, bạn Huy làm theo bước sau: Bước Điều kiện xác định phương trình x ∈ R Bước |x + 1| = x − ⇔ |x + 1|2 = (x − 3)2 Bước ⇔ x2 + 2x + = x2 − 6x + ⇔ 8x − = Bước ⇔ x = Vậy phương trình có nghiệm x = Trong bước giải bạn Huy làm sai từ bước nào? A Bước B Bước C Bước Lời giải D Bước Ở bước sau bình phương hai vế phương trình nhận phương trình hệ phương trình đầu nên không dùng dấu tương đương Chọn đáp án B √ √ Bài 31 Biết phương trình 2x − = x − có nghiệm x = a + b c với a, b, c số nguyên Tính giá trị S = a + b + c A S = B S = C S = D S = Lời giải ĐKXĐ: 2x − ≥ ⇔ x ≥ Với điều kiện trên, ta có √ ñ √ x = − √ 2x − = x − ⇒ 2x − = (x − 5)2 ⇔ x2 − 12x + 34 = ⇔ x = + √ Do có √ x = + thỏa mãn phương trình nên phương trình cho có nghiệm x = + Suy a = 6; b = 1; c = nên S = Chọn đáp án A √ Bài 32 Cho phương trình x2 − 8x + m = x − Tìm tất giá trị tham số m để phương trình cho vơ nghiệm A ≤ m < B m < C m > D ≤ m < 10 Lời giải  ® x ≥ x−1≥0 Phương trình cho tương đương với ⇔ x = m − x2 − 8x + m = (x − 1)2 m−1 < ⇔ m < Phương trình cho vô nghiệm Chọn đáp án B Tài liệu Toán của: Ơn tập chương 334 1.5 Giải tốn cách lập phương trình Bài 33 Năm tuổi mẹ gấp lần tuổi Phương Phương tính 13 năm tuổi mẹ gấp lần tuổi Phương Hỏi năm Phương tuổi? A 13 tuổi B 14 tuổi C 15 tuổi D 16 tuổi Lời giải Giả sử năm Phương x tuổi (x > 0), mẹ Phương 3x tuổi Theo 13 năm tuổi mẹ Phương gấp lần tuổi Phương nên ta có phương trình 3x + 13 = (x + 13) · ⇔ x = 13 Vậy năm Phương 13 tuổi Chọn đáp án A Bài 34 Chu vi mảnh vườn hình chữ nhật 30 m Biết chiều dài chiều rộng m Tính diện tích hình chữ nhật A 100 m2 B 70 m2 C 50 m2 D 55 m2 Lời giải Gọi chiều rộng mảnh vườn x (m, x > 0), chiều dài mảnh vườn x + (m) Theo chu vi mảnh vườn 30 m nên [x + (x + 5)] · = 30 ⇔ x = Vậy chiều rộng mảnh vườn m, chiều dài mảnh vườn 10 m Do diện tích mảnh vườn 50 m2 Chọn đáp án C Bài 35 Một người xe máy từ A đến B với vận tốc 25 km/h Lúc về, người với vận tốc 30 km/h nên thời gian thời gian 20 phút Tính quãng đường AB A 40 km B 70 km C 50 km D 60 km Lời giải Gọi thời gian từ A đến B x (giờ, x > 0), thời gian x − Theo ta có phương trình Å ã 25x = 30 x − ⇔ x = Vậy thời gian từ A đến B Khi quãng đường AB dài 25 · = 50 km Chọn đáp án C Bài 36 Một ca nơ xi dịng từ A đến B hết 80 phút ngược dòng hết Biết vận tốc dịng nước km/h Tính vận tốc riêng ca nô A 16 km/h B 18 km/h C 20 km/h D 15 km/h Lời giải Gọi vận tốc riêng ca nô x (km/h, x > 0) Vận tốc ca nô xi dịng x + (km/h) Đổi 80 phút = Giáo viên: Chương Hàm số y = ax2 , a = Phương trình bậc hai ẩn 335 Vận tốc ca nơ ngược dòng x − (km/h) Theo ta có phương trình (x + 3) = 2(x − 3) ⇔ x = 15 Vậy vận tốc riêng ca nô 15 km/h Chọn đáp án D Bài 37 Một hình chữ nhật có chu vi 278 m, giảm chiều dài 21 m tăng chiều rộng 10 m diện tích tăng 715 m2 Chiều dài hình chữ nhật A 132 m B 124 m C 228 m D 114 m Lời giải Gọi chiều dài hình chữ nhật x (m, x > 0), chiều rộng hình chữ nhật 139 − x (m) Theo ta có phương trình (x − 21)(139 − x + 10) = x(139 − x) + 715 ⇔ x = 124 Vậy chiều dài hình chữ nhật 124 m chiều dài, diện tích hình chữ nhật 5400 cm2 , diện tích hình chữ nhật 5400 cm2 Chu vi hình chữ nhật A 300 cm B 250 cm C 350 cm D 400 cm Lời giải Bài 38 Một hình chữ nhật có chiều rộng Gọi chiều dài hình chữ nhật x (cm, x > 0) Khi đó, chiều rộng hình chữ nhật x (cm) Theo đầu ta có phương trình x · x = 5400 ⇔ x2 = 8100 Giải ta x = 90 (vì x > 0) Vậy chiều dài hình chữ nhật 90 cm, chiều rộng hình chữ nhật 60 cm Do chu vi hình chữ nhật 300 cm Chọn đáp án A Bài 39 Một ruộng hình chữ nhật có diện tích 100 m2 Tính độ dài chiều dài ruộng Biết tăng chiều rộng ruộng lên m giảm chiều dài m diện tích ruộng tăng thêm m2 A 25 m B 15 m C m D 20 m Lời giải Gọi chiều dài x(m, x > 0), chiều rộng 100 (m) x Theo ta có phương trình Å ã 100 (x − 5) + = 100 + ⇔ 2x2 − 15x − 500 = x Giải phương trình ta x = 20 (thỏa mãn) x = −12, (loại) Vậy chiều dài mảnh đất hình chữ nhật 20 m Chọn đáp án D Tài liệu Toán của: Ôn tập chương 336 Bài 40 Một công nhân dự định làm 36 sản phẩm thời gian định Sau làm nửa số lượng giao, người dừng lại nghỉ 30 phút Vì vậy, làm thêm sản phẩm với nửa số sản phẩm lại hồn thành cơng việc chậm dự kiến 12 phút Tính suất dự kiến A 13 sản phẩm/giờ B 12 sản phẩm/giờ C 10 sản phẩm/giờ D 11 sản phẩm/giờ Lời giải Gọi suất dự kiến x (sản phẩm/giờ, x ∈ N) Theo ta có phương trình 18 18 36 + + = + x x+2 x Giải phương trình ta x1 = −12 (loại); x2 = 10 (thỏa mãn) Vậy suất dự kiến 10 sản phẩm/giờ Chọn đáp án C 2.1 Toán tự luận Giải phương trình bậc hai phương trình đưa bậc hai Bài 41 Giải phương trình 4x2 + Điều kiện: x = Đặt t = 2x + 1 − 2x + = x2 x Lời giải , với t x 0, suy t2 = 4x2 + + x2 Phương trình cho trở thành ñ t=3 (nhận) t2 − t − = ⇔ (t − 3)(t + 2) = ⇔ t = −2 (loại) Với t = 3, suy   x =1 x = ±1 4x2 + + = ⇔ 4x4 − 5x2 + = ⇔  ⇔  x x = x=± ß ™ 1 Vậy phương trình cho có nghiệm x ∈ −1; − ; ; 2 √ Bài 42 Giải phương trình 5x2 + 10x + = − x2 − 2x Lời giải Điều kiện: 5x2 + 10x + ≥ Đặt t = √ 5x2 + 10x + (t ≥ 0) t2 − Khi ta có t2 = 5x2 + 10x + ⇔ x2 + 2x = Phương trình cho trở thành đ t=4 (nhận) t2 − t=7− ⇔ t + 5t − 36 = ⇔ t = −9 (loại) Giáo viên: (thoả mãn) Chương Hàm số y = ax2 , a = Phương trình bậc hai ẩn 337 Với t = 4, ta có đ x=1 5x + 10x + = 16 ⇔ x + 2x − = ⇔ x = −3 2 (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm x ∈ {1; 3} √ √ √ Bài 43 Giải phương trình x + x + + x2 + 5x + 2x = 25 Lời giải √ √ Điều kiện: x ≥ Đặt t = x√+ x + (t ≥ 0) √ Khi ta có t2 = 2x + + x2 + 5x ⇔ 2x + x2 + 5x = t2 − Phương trình cho trở thành đ t=5 (nhận) t + t − 30 = ⇔ (t − 5)(t + 6) = ⇔ t = −6 (loại) Với t = 5, ta có √ √ 2x + + x2 + 5x = 25 ⇔ ® x2 + 5x = 10 − x 10 − x ≥ ⇔ (x2 + 5x) = (10 − x)2 ® x ≤ 10 ⇔ x2 + 5x = 100 − 20x + x2 ® x ≤ 10 ⇔ ⇔ x = (thỏa mãn) x=4 Vậy phương trình có nghiệm x = 2.2 Phương trình bậc hai có chứa tham số Định lí Vi-et Bài 44 Cho phương trình x2 − 2(m + 1)x + m2 + = (1), với x ẩn số Giải phương trình (1) m = 2 Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 x2 thỏa mãn đẳng thức: 2x1 x2 − 5(x1 + x2 ) + = Lời giải Với m = 2, phương trình (1) trở thành: x2 − 6x + = ⇔ (x − 3)2 = ⇔ x − = ⇔ x = Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ∆ = (m + 1)2 − (m2 + 5) > ⇔ m2 + 2m + − m2 − > ⇔ 2m − > ⇔ m > ® S = x1 + x2 = 2(m + 1) = 2m + Khi đó: P = x1 x2 = m2 + Ta có 2x1 x2 − 5(x1 + x2 ) + = ⇔ 2(m2 + 5) − 5(2m + 2) + = Tài liệu Toán của: Ôn tập chương 338 ⇔ 2m − 10m + = ⇔ ñ m = (loại) m = (thỏa) Vậy m = Bài 45 Cho phương trình bậc hai ẩn x: x2 + (4m + 1)x + 2m − = (m tham số) a Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 với tham số m b Tìm m để hai nghiệm x1 ; x2 phương trình cho thỏa mãn điều kiện |x1 − x2 | = 17 Lời giải a Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 với tham số m Ta có: ∆ = (4m + 1)2 − 4(2m − 8) = 16m2 + 33 > 0, ∀m ∈ R Do đó, phương trình cho ln ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 b Tìm m để hai nghiệm x1 ; x2 phương trình cho thỏa mãn điều kiện |x1 − x2 | = 17 Do phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 , nên theo định lý Vi-ét ta có: x1 + x2 = −4m − x1 x2 = 2m − (1) x = 17 Từ giả thiết |x1 − x2 | = 17 ⇔ x21 + x22 − 2x1 x2 = 172 ⇔ (x1 + x2 )2 − 4x ñ1 m=4 Thay (1) vào ta được: (−4m − 1)2 − 4(2m − 8) = 172 ⇔ m2 = 16 ⇔ m = −4 Vậy m = ±4 Bài 46 Cho phương trình x2 − (2m + 1) x + m2 + m = Tìm m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn ≤ x1 < x2 ≤ Lời giải Ta có ∆ = (2m + 1)2 − (m2 + m) = > 0, ∀m ∈ R Suy phương trình có hai nghiệm x1 < x2 là: 2m + + 2m + − = m, x2 = = m + x1 = 2 Từ giả thiết toán suy ≤ m < m + ≤ ⇔ ≤ m ≤ Vậy ≤ m ≤ thỏa mãn u cầu tốn Bài 47 Cho phương trình x2 + (1 − 4m)x + 4m2 − 2m = 0, với m tham số Tìm giá trị m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 (x1 < x2 ) cho |x1 | − |x2 | = Lời giải Ta có: ∆ = (1 − 4m)2 − 4(4m2 − 2m) = − 8m + 16m2 − 16m2 + 8m = > Do phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x1 = 2m − 1; x2 = 2m (x1 < x2 ) Giáo viên: Chương Hàm số y = ax2 , a = Phương trình bậc hai ẩn 339 Theo giả thiết |x1 | − |x2 | = ⇔ |x1 | = |x2 | hay:  ñ ñ m=− 4m = −1 2m − = 6m  ⇔ ⇔ |2m − 1| = |2m| ⇔ 8m = 2m − = −6m m= ß ™ −1 Vậy m ∈ , giá trị cần tìm Bài 48 Tìm giá trị tham số m để phương trình x2 − (m + 4)x + 3(m + 1) = có hai nghiệm độ dài hai cạnh tam giác vuông, biết độ dài cạnh lại Lời giải Ta có ∆ = (m − 2)2 ≥ 0, ∀m Do phương trình cho có hai nghiệm x = 3, x = m + Ta xét hai trường hợp sau TH1 m + độ dài hai cạnh góc vng Khi ® (m + 1)2 + = 25 ⇔ m = 0 ⇔ 2m − > ⇔ m > d tiếp xúc với (P ) ⇔ phương trình (1) có nghiệm kép ⇔ ∆ = ⇔ 2m − = ⇔ m = Tài liệu Toán của: Ôn tập chương 340 d (P ) khơng có điểm chung ⇔ phương trình (1) vô nghiệm ⇔ ∆ < ⇔ 2m − < ⇔ m < Bài 50 Cho Parabol (P ) : y = − x2 Viết phương trình đường thẳng d tiếp xúc với (P ) điểm có hồnh độ −2 Lời giải Giả sử đường thằng cần lập d : y = ax + b Thay x = −2 vào (P ) ta y = − (−2)2 = −2, suy tiếp điểm M (−2; −2) Vì M ∈ d nên −2 = a · (−2) + b ⇔ b = 2a − Phương trình hồnh độ giao điềm (P ) d − x2 = ax + b ⇔ x2 + 2ax + 2b = (1) (2) ∆ = a2 − 2b Vì d tiếp xúc với (P ) nên phương trình (1) có nghiệm kép ⇔ ∆ = ⇔ a2 − 2b = Thay (1) vào (3) ta (3) a2 − 2(2a − 2) = ⇔ a2 − 4a + = ⇔ (a − 2)2 = ⇔ a = Thay a = vào (1) b = Vậy d : y = 2x + Bài 51 Cho Parabol (P ) : y = x2 đường thẳng d : y = mx − m + 2 Chứng minh với giá trị m d (P ) cắt hai điểm phân biệt Giả sử A(x1 ; y1 ) B(x2 ; y2 ) giao điểm d (P ) Chứng minh √ y1 + y2 ≥ (2 − 1)(x1 + x2 ) Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm (P ) d x2 = mx − m + ⇔ x2 − 2mx + 2m − = (1) Ta có ∆ = m2 − (2m − 4) = m2 − 2m + = (m − 1)2 + > ∀m Suy phương trình (1) ln có nghiệm phân biệt ∀m Vậy d (P ) cắt hai điểm phân biệt với giá trị m b Theo định lý Vi-ét x1 + x2 = − = 2m a Ta có y1 = mx1 − m + 2, y2 = mx2 − m + Suy Giáo viên: Chương Hàm số y = ax2 , a = Phương trình bậc hai ẩn 341 y1 + y2 = (mx1 − m + 2) + (mx2 − m + 2) = m(x1 + x2 ) − 2m + = 2m +√ √ − 2m √ = [(√ 2m) − 2m√+ 4] + (2 − 1) · 2m = (√2m − 2)2 + (2√2 − 1) · 2m = ( 2m − 2)2 + (2 − 1) · (x1 + x2 ) √ Vậy y1 + y2 ≥ (2 − 1)(x1 + x2 ) 2.4 Giải tốn cách lập phương trình Bài 52 Một ca nơ xi dịng từ bến sơng A đến bến sơng B cách 24 km; lúc đó, bè trôi từ A đến B với vận tốc dòng nước km/h Khi đến B ca nô quay lại gặp bè địa điểm C cách A km Tính vận tốc thực ca nô Lời giải Gọi vận tốc thực ca nô x (km/h, x > 4) Vận tốc ca nơ lúc xi dịng x + (km/h) Vận tốc ca nơ lúc ngược dịng x − (km/h) Theo đề bài, thời gian ca nô thời gian bè trôi đến chỗ gặp nên ta có phương trình 16 24 + = ⇔ x2 − 20x = x+4 x−4 Giải ta có x1 = 20 (thỏa mãn), x2 = (không thỏa mãn) Vậy vận tốc thực ca nô 20 km/h Bài 53 Một đội xe cần phải chun chở 150 hàng Hơm làm việc có xe làm nhiệm vụ khác nên xe lại phải chở thêm Hỏi đội xe ban đầu có chiếc? (Biết rằng, xe chở số hàng nhau) Lời giải Gọi số xe ban đầu x (chiếc; x ∈ N, x > 5) 150 Lúc đầu, xe dự định chở (tấn hàng) x Theo đề bài, xe phải chở thêm hàng, ta có phương trình 150 150 − = ⇔ 5x2 − 25x − 750 = x−5 x Giải ta có x1 = −10 (loại), x2 = 15 (thỏa mãn) Vậy lúc đầu có 15 xe Bài 54 Số học sinh trường sau năm tăng từ 500 lên 720 học sinh Vậy trung bình hàng năm, số học sinh trường tăng lên phần trăm? Lời giải Gọi x số phần trăm số học sinh tăng trung bình hàng năm (x > 0) x Số học sinh tăng năm đầu 500 · (học sinh) 100 Tài liệu Toán của: Ôn tập chương 342 x x2 = 5x + (học sinh) 100 20 Theo bài, sau hai năm số học sinh tăng 720 − 500 = 220 (học sinh), ta có phương trình Số học sinh tăng năm thứ hai (500 + 5x) · 5x + 5x + x2 = 220 ⇔ x2 + 200x − 4400 = 20 Giải ta có x1 = −220 (loại), x2 = 20 (thỏa mãn) Vậy hàng năm, trung bình số học sinh tăng lên 20% 2.5 Toán nâng cao √ Bài 55 Cho a > phương trình x2 − ax + = có nghiệm x1 , x2 ; phương trình √ x2 − a + 1x+1 = có nghiệm x3 , x4 Tính giá trị biểu thức (x1 −x3 )(x2 −x3 )(x1 +x4 )(x2 +x4 ) Lời giải Từ giả thiết ta có  √ √ ®  x + x = a + x23 = a + 1x3 x1 x2 = √  + x24 = a + 1x4  x3 x4 = Ta thấy (x1 − x3 )(x2 − x3 )(x1 + x4 )(x2 + x4 ) = [x1 x2√ − x3 (x1 + x2 ) +√x23 ][x1 x2 + x4 (x1 + x2 ) + x24 ] = (1√− ax3 + x23 )(1 +√ ax4 + x24 ) √ √ = (√a + 1x3 − ax )( a + 1x4 + ax4 ) √ √3 √ = ( a + − a)( a + + a)x3 x4 = a + − a = Bài 56 Giả sử phương trình ax2 + bx + c = 0, (a = 0) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn ax1 + bx2 + c = Tính giá trị biểu thức M = a2 c + ac2 + b3 − 3abc Lời giải  b  x + x = − a Áp dụng định lý Viet ta có c  x x = − a b c Nên ax1 + bx2 + c = ⇒ x1 + x2 + = ⇒ x1 − x2 (x1 + x2 ) + x1 x2 = ⇒ x1 = x22 a a đ Å ã3 c b b c c + M = a2 c + ac2 + b3 − 3abc = a3 + −3 a a a ä aa Ä 2 = a x1 x2 + x1 x2 − (x1 + x2 ) + (x1 + x2 ) x1 x2 = a (x1 x2 + x31 − x31 − x32 ) = a.0 = Bài 57 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P ) : y = mx2 (m > 0) đường thẳng (d) : y = 2x − m2 Tìm m để (d) cắt (P ) hai điểm phân biệt A B Khi chứng minh A B nằm phía với trục tung Giáo viên: Chương Hàm số y = ax2 , a = Phương trình bậc hai ẩn 343 Với m tìm câu a) Gọi xA , xB theo thứ tự hoành độ điểm A B Tìm m để + đạt giá trị nhỏ biểu thức K = xA + xB 4xA xB + Lời giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P ), ta mx2 − 2x + m2 = Để d cắt (P ) hai điểm phân biệt ∆ = − m3 > ⇒ m < Kết hợp điều kiện m > ⇒ < m < d cắt P hai điểm phân biệt Áp dụng hệ thức vi-ét x1 · x2 = m > Vậy (d) cắt (P ) hai điểm phân biệt nằm phía với trục tung 1 1 = (4m + 1) + − ≥ 4m + 4m + 4 Dấu = xảy ta m = Ta có K = m + Tài liệu Toán của: Đề kiểm tra 45 phút 344 §7 Đề kiểm tra 45 phút Đề kiểm tra - Bài Giải phương trình sau: a) x2 − 3x + = b) 2x2 − 3x − = (3 điểm) Lời giải a = 1, b = −3, c = nên a + b + c = Vậy phương trình có hai nghiệm S = {1, 2} ∆ = (−3)2 − 4.2.(−2) = 25 > √ √ + 25 − 25 Vậy phương trình có hai nghiệm x = = x = =− 2.2 2.2 Bài Giải phương trình sau: a) x4 − 2x2 − = b) x + √ x − = (2 điểm) Lời giải ñ t=4 Đặt t = x2 , t ≥ Phương trình trở thành t2 − 2t − = ⇔ t = −2(loại) Với t = ⇔ x = ⇔ x = ±2 Vậy phương trình có hai nghiệm S = {−2, 2} ñ t=2 √ Đặt t = x, t ≥ Phương trình trở thành t2 + t − = ⇔ t = −3(loại) √ Với t = ⇔ x = ⇔ x = Vậy phương trình có hai nghiệm S = {4} Bài Cho phương trình 7x2 + 2(m − 1)x − m2 = (1) Tìm m để phương trình (1) ln có nghiệm Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình (1) Tìm m thỏa mãn hệ thức x1 x2 = −7 (2 điểm) Lời giải Giáo viên: Chương Hàm số y = ax2 , a = Phương trình bậc hai ẩn 345 Ta có ∆ = (1 − m)2 + 7m2 Ta có (1 − m)2 ≥ 7m2 ≥ nên ∆ ≥ 0, ∀ m ∈ R Vậy phương trình (1) ln có nghiệm Theo hệ thức Vi-et, ta có x1 x2 = − m2 đ m=7 m2 Khi đó, x1 x2 = −7 ⇔ − = −7 ⇔ m2 = 49 ⇔ m = −7 Vậy m = −7 m = giá trị cần tìm Bài Tính chiều dài chiều rộng ruộng hình chữ nhật Biết chiều dài chiều rộng 10 m diện tích 1200 m2 (2 điểm) Lời giải Gọi chiều rộng ruộng hình chữ nhật x (x > 0, m) Chiều dài chiều rộng 10m nên chiều dài x + 10 (m) Diện tích ruộng hình chữ nhật 1200m2 nên ta có phương trình: x(x + 10) = 1200 ⇔x2 + 10x − 1200 = ñ x = 30 ⇔ x = −40(loại) Vậy chiều dài ruộng hình chữ nhật 40 m chiều rộng ruộng hình chữ nhật 30 m Bài Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình x2 + x − = Lập phương trình bậc hai nhận 3x1 3x2 làm nghiệm (1 điểm) Lời giải Đặt S = 3x1 + 3x2 = 3(x1 + x2 ), P = 3x1 3x2 = 9x1 x2 ® x1 + x2 = −1 Vì x1 , x2 nghiệm phương trình x2 + x − = nên ta có hệ thức Vi-et: x1 x2 = −1 ® S = 3(x1 + x2 ) = −3 Như vậy, P = 9x1 x2 = −9 Do đó: 3x1 , 3x2 hai nghiệm phương trình x2 − Sx + P = ⇔ x2 + 3x − = Đề kiểm tra - nâng cao Bài Tìm m để phương trình x2 −3x+2 = tương đương với phương trình 2x2 +mx+4 = (2 điểm) Lời giải Tài liệu Toán của: Đề kiểm tra 45 phút 346 ñ x=1 x = 2 Vậy phương trình x − 3x + = tương đương phương trình 2x2 + mx + = phương trình 2x2 + mx + = có tập ® nghiệm S = {1; 2} 2+m+4=0 ⇔ m = −6 Với x = x = nghiệm + 2m + = Thử lại, với m = −6 thỏa mãn Vậy m = −6 giá trị cần tìm Ta có x2 − 3x + = ⇔ Bài Cho phương trình 2x2 + 2(m − 1)x − 3m2 = (1) Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình (1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x21 + x22 (2 điểm) Lời giải Å ã 2 Xét ∆ = (m − 1) + 6m = 7m − 2m + = m − + Vậy ∆ > 0, ∀ m ∈ R 7 Do (1) ln có hai nghiệm phân biệt  x + x = − m 2 Theo hệ thức Vi-et, ta có x1 · x2 = − 3m Å ã 2 2 2 A = x1 + x2 = (x1 + x2 ) − 2x1 x2 = (1 − m) + 3m = 4m − 2m + = 2m − + 3 Do đó: A ≥ A = ⇔ m = 4 Vậy giá trị nhỏ A = m = Bài Một ca nơ theo dịng sơng từ A đến B, ngược dòng từ B A hết Tìm vận tốc riêng ca nơ (vận tốc ca nơ dịng nước đứng n), biết vận tốc dòng nước km/h khoảng cách từ A đến B 48 km (2 điểm) Lời giải Gọi vận tốc riêng ca nô x (km/h), (x > 4) Vận tốc ca nô từ A đến B x + (km/h) Vận tốc ca nô từ B A x − (km/h) 48 Thời gian ca nô từ A đến B (h) x+4 48 Thời gian ca nô từ B đến A (h) x−4 Tổng thời gian hết 5h nên ta có phương trình: 48 48 + =5 x+4 x−4 ⇔5x2 − 96x − 80 = Giáo viên: Chương Hàm số y = ax2 , a = Phương trình bậc hai ẩn 347  x = 20 ⇔ (loại) x=− Vậy vận tốc riêng ca nô 20 km/h ® x + y2 + x + y = Bài Giải hệ phương trình xy(x + 1)(y + 1) = 12 (2 điểm) Lời giải ⇔ ® x2 + y + x + y = xy(x + 1)(y + 1) = 12 ® (x2 + x) + (y + y) = (x2 + x)(y + y) = 12 ® a+b=8 ab = 12 Khi đó, a, b nghiệm phương trình x − 8x + 12 = Giải phương trình ta hai nghiệm Do vai trò a, b đối xứng nên ta xét hai trường hợp: đ x=2   ®   x = −3 a = x2 + x = ñ TH1: ⇔  b = y2 + y = y =    y = −2 đ x=1   ®   x = −2 a = x2 + x = ñ TH2: ⇔  b = y2 + y = y =    y = −3 Đặt a = x2 + x, b = y + y, hệ trở thành Vậy hệ cho có cặp nghiệm (x; y) S = {(2, 1); (−3, 1); (2, −2); (−3, −2), (1, 2); (1, −3); (−2, 2); (−2, − Bài Cho phương trình ax2 + bx + c = (2) cho b > a > Chứng minh rằng: Nếu 2b + c < phương trình (2) vơ nghiệm a−b (2 điểm) Lời giải 2 Phương trình (2) vơ √ nghiệm√⇔ ∆ = b − 4ac < ⇔ 4ac > b Do đó: 4a + c ≥ 4ac > b2 = 2|b| ≥ 2b a+b+c 2b + c 2b + c 3(b − a) ⇔ a−b a−b a−b Tài liệu Toán của: ... bậc hai y = ax2 Biết đồ thị qua điểm A( 10; 30) Lời giải Điểm A( 10; 30) thuộc đồ thị hàm số y = ax2 ⇔ 30 = a · 102 ⇔ a = 10 V? ?y hàm số cần tìm y = x 10 Dạng 79 Tính biến thiên hàm số y = ax2. .. + 3) = 10 ⇔ 4m2 − 6m + 10 = 10 ⇔ V? ?y với m = m = 2m(2m − 3)  m =0  =0? ?? m= th? ?a y? ?u cầu toán Dạng 85 Tìm hai số biết tổng tích chúng Cho hai số x, y biết x + y = S; x · y = P x, y hai nghiệm... + bn−1 xác định theo lược đồ sau α a0 b = a0 a1 b = b · α + a1 ······ bn−1 an? ??1 = bn−2 · α + an? ??1 an r = bn−1 · α + an Quy tắc nhớ: “Nhân ngang cộng chéo” ! 20 Trong lược đồ trên, dòng đầu phải