1. CHUẨN KĨ NĂNG ĐẠI SỐ ...........................................................................................................................012. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ ...............................................................................................................................08 3. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ.........................................................................................................36 4. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ........................................................................................53 5. CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ......................................................................101 6. BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ......................................................................................................112 7. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ...............................................................123 8. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ................................................................................................................128 9. TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN HÀM SỐ TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC.....................................................136 §ÆNG VIÖT HïNG BÀI GIẢNG TRỌNG TÂM VỀ HÀM SỐChương trình Luyện thi Đại học SAP NĂM HỌC 2013 2014 Bài mở đầu:CHUẨN KĨ NĂNG ĐẠI SỐ 1. KĨ NĂNG XÉT DẤU CỦA BIỂU THỨC Nguyên tắc:+ Phân tích biểu thức cần xét dấu hay bất phương trình về dạng tích, rồi loại bỏ những hạng tử là lũy thừa bậc chẵn. + Sắp xếp các nghiệm của các hạng tử sau khi đã “thanh lọc” các hạng tử chẵn theo thứ tự từ bé đến lớn trong bảng xét dấu. + Tiến hành xét dấu theo quy tắc đan dấu khi biết dấu của một khoảng nào đó. + Việc xét dấu biểu thức chúng ta chỉ được quy đồng mẫu số mà không được nhân chéo. Các ví dụ điển hình:Ví dụ 1: Xét dấu các biểu thức sau a) 2xf x( ) 3.= +3 4c) ( 3)(3 2 ) ( ) .x x f x=3 2 ( ) .x x f x xe) = −1 1 2 ( ) .g) 2f x= + −x x x xVí dụ 2: Giải các bất phương trình sau a) 1 2 3+ >f x g x h x k h x( ) ( ) ( ) = + ⇔ = + .f x kg x g x=3+............................................ d) ( )=1.................................... b) − + − +2 2 2 2 23 2 3 2 10x x x1x−+ − +x m x2 1+x.......................................... =......................................... =Xét phương trình: ( ) ( )Nếu x = xo là một nghiệm của phương trình (1) thì ( ) ( ) ( )( )( ) 3 2 → = + + + ′ ′ ′f xx x− o Nguyên tắc:+ Nếu tổng các hệ số của phương trình bằng 0 thì phương trình có một nghiệm x = 1. + Nếu tổng các hệ số bậc chẵn của x bằng tổng hệ số bậc lẻ của x thì phương trình có một nghiệm x = − 1. + Nếu phương trình không tuân theo hai quy tắc trên thì chúng ta nhẩm nghiệm bắt đầu từ các nghiệm đơn giản như 0; ±1; ±2... + Với các phương trình có chứa tham số, để nhẩm nghiệm của phương trình ta cho phần hệ số của tham số m bằng 0, được nghiệm x ta thay vào phương trình kiểm tra lại. Các ví dụ điển hình:Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử4 3 2 f x x x x x = + − − − 2 4 3 2 1 a) ( )b) ( )3 2 f x x x x = − − − 4 2 7 1c) ( ) ( ) ( )3 2 f x x m x m x m = − + − − + − 1 1 2 14 3 2 f x x x x x = + − − − 2 4 3 2 1a) ( )Xét phương trình ( )Ta nhận thấy phương trình có tổng các hệ số bằng 0 nên có một nghiệm là x = 1. Khi đó ( ) ( ) ( ) ( )x x x x f x x g x x x x x g xDùng lược đồ Hoocner ta được 4 3 2 2 4 3 2 1 3 2 4 3 2 3 2 2 6 3 1 2 4 3 2 1 1 2 6 3 1+ − − −x x x xxb) ( )3 2 f x x x x = − − − 4 2 7 1Xét phương trình ( )Tổng hệ số bậc chẵn là −2 − 1 = −3, tổng hệ số bậc lẻ của phương trình là 4 − 7 = −3 Từ đó ta thấy phương trình có một nghiệm x = −1. x x x f x x g x x x x x g x g xKhi đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Dùng lược đồ Hoocner ta được 3 2 4 2 7 1 2 3 2 2 4 6 1 4 2 7 1 1 4 6 1x x x g x x x f x x x x x x x( ) ( ) ( )( )= = − − → = − − − = + − −c) ( ) ( ) ( )3 2 f x x m x m x m = − + − − + − 1 1 2 1Tổng các hệ số đa thức là 1 1 1 2 1 0 − + − − + − = (m m m ) ( ) nên f(x) = 0 có một nghiệm x = 1. Tiến hành chia đa thức ta được ( ) ( ) ( ) ( )( )Ví dụ 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử4 2 f x x x x = − − + + 3 2 6 = ........................................................................ a) ( )3 2 f x x x x = + − + 4 6 1 = ........................................................................b) ( )3 2 f x x mx x m = + − − = ......................................................................... c) ( ) d) ( ) ( )3 2 f x x x m x m = − + − + 2 1 = ................................................................3 2 f x x x x = + − − 6 8 = ......................................................................... e) ( )4 3 2 f x ax bx cx dx e = + + + + = 0, 1 .3 2 1 ⇔ = − + + + = ′ ′ ′ 0 of x x x ax b x c x d ax b x c x dHướng dẫn giải :4 3 2 f x x x x x = ⇔ + − − − = 0 2 4 3 2 1 04 3 2 2 4 3 2 1 0 1 . 2 4 3 2 1= ⇔ − = + − − − → == + + + → + − − − = − + + +x x x x x x x x x x x4 3 2+ − − −1x−( )( )1−3 2 f x x x x = ⇔ − − − = 0 4 2 7 1 03 2 4 2 7 1 1 . 4 2 7 1 1 .= + ⇔ − − − = + → =3 2− − −+x1− − −1+xf x x m x m x m x x mx m = − + − − + − = − − − + 1 1 2 1 1 2 13 2 23 2 f x x x x = − − + − 2 4 4 = ......................................................................f) ( )4. KĨ NĂNG XỬ LÝ VỚI TAM THỨC BẬC HAI VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Xét phương trình bậc hai: ( ) ( )a) Giải và biện luận phương trình (1): Nếu a = 0 thì (1 0, ) ⇔ + = bx c ( ) + nếu b = 0 và c = 0 thì () nghiệm đúng với mọi x. + nếu b = 0 và c ≠ 0 thì () vô nghiệm. + nếu b ≠ 0 thì ( ) ⇔ = − Nếu a ≠ 0 thì (1) là phương trình bậc hai có biệt thức + nếu ∆ > 0 thì (1) có hai nghiệm phân biệt + nếu ∆ = 0 thì (1) có nghiệm kép . + nếu ∆ = 0 thì (1) vô nghiệm. b) Hệ thức Viét:Khi (1) có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thì ta có hệ thức Viét: Một số các kết quả cần lưu ý: ( ) 2 2 2 21 2 1 2 1 2 x x x x x x S P + = + − = − 2 2 ( ) ( ) 3 3 3 31 2 1 2 1 2 1 2 x x x x x x x x S SP + = + − + = − 3 32 2 4 4 2 2 2 2 2 2 ( ) ( )1 2 1 2 1 2 x x x x x x S P P + = + − = − − 2 2 2 ( ) ( ) 2 2 21 2 1 2 1 2 x x x x x x S P − = + − = − 4 4c) Tính chất nghiệm của phương trình bậc hai:2f x ax bx c = + + = 0, 1cxb∆ = − 2b ac2∆ = − = ′ ′ ′ b ac b bb b b ac− ± ∆ − ± −= =2 2a a4( ); 224.x1;2b−x=2aS x x= + = − = = P x xba1 2c1 2a Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi ∆ > − ⇔ = + = > > x x a0; 01 2b0c0a Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi ∆ > −0 ⇔ = + = 2b acS x xP x x= = > − > 24 0b acS x x1 2P x x= = > 1 24 01 2c1 2ab00 Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ ac < 0. Phương trình có hai nghiệm phân biệt và đều lớn hơn α khi ∆ > − − ⇔ + > ⇔ = + = > ⇔ = + = >0 > − − > − + + > + + > αx ,x a a1 2 Phương trình có hai nghiệm phân biệt và đều nhỏ hơn α khi 4 0 4 0 0∆ > b b x x S x x S x x1 2 1 2 1 2( )( ) ( )α α 0x x1 2 2 − > − > 2 2b ac b ac2α 2α 2αx x x x c bα α 01 2 1 22α α 0.a a4 0 4 0 0∆ > b b x x S x x S x x1 2 1 2 1 2( )( ) ( )α α 0x x1 2 2 − > − > 2 2b ac b ac∆ > − − ⇔ + < ⇔ = + = < ⇔ = + = − + + > + + > x ,x a aα1 22α 2α 2αx x x x c bα α 01 2 1 22α α 0. Phương trình có hai nghiệm phân biệt và đều khác α khi ( ) 2 Phương trình có một nghiệm và nghiệm này lớn hơn α khi ∆ = ∆ = ∆ = ∆ = 0 0 0 − − = = > = = > = = > = = > − x x x x x x a ⇔ ⇔ ⇔ 1 2 1 2 1 2 ∆ > ∆ > ∆ > ∆ > 0 0 0 α α α 0 α α 0 α α 0 < < − − < − + + < + + < x x x x x x x x .1 2 1 2 1 2 1 2 Phương trình có một nghiệm và nghiệm này nhỏ hơn α khi ∆ = ∆ = ∆ = ∆ = 0 0 0 − − = = < = = < = = < = = < − x x x x x x a1 2 1 2 1 2 ⇔ ⇔ ⇔ ∆ > ∆ > ∆ > ∆ > 0 0 0 < < − − < − + + < + + < α α α 0 α α 0 α α 0x x x x x x x x .1 2 1 2 1 2 1 2Ví dụ 1: Cho phương trình ( + + + + = ) ( )a) Giải và biện luận phương trình đã cho. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt. c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt, và cả hai nghiệm đều nhỏ hơn −1. a) Giải và biện luận phương trình. Nếu m + 1 = 0 ⇔ m = −1 thì ( ) 5 Nếu m + 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ −1 thì (1) là phương trình bậc hai có ( )( ) + Nếu 2 1 + Nếu 2∆ > ∆ > ∆ > ⇔ ⇔x x g ≠ ≠ a b c + + ≠1 2a a0 0 0; α α 0 α α 0b b b x xα α α 22 2 2a a a − ( )( ) ( )2 2b b b x xα α α 22 2 2a a a − ( )( ) ( )2 m x mx m 1 4 2 3 0, 12 201 20c ba a01 20c ba aHướng dẫn giải :1 4 5 0 .⇔ − − = ⇔ = − x x42 2 ∆ = − + + = − − ′ 4 1 2 3 2 5 3 m m m m m∆ < ⇔ − − < ⇔ − < < ′ m m m thì (1) vô nghiệm. 0 2 5 3 0 3 ∆ = ⇔ − − = ⇔ ′0 2 5 3 0 1m m2 =m = − m >m < − m3 thì (1) có nghiệm kép 223 thì (1) có 2 nghiệm phân biệt 2′ −b mx= − =a m+ + Nếu 2 ∆ > ⇔ − − > ⇔ ′0 2 5 3 0 1m m
Bi ging trng tõm Hm s Thy ng Vit Hựng Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 MC LC http://trithuctoan.blogspot.com/ 1. CHUN K NNG I S .01 2. CC TR CA HM S .08 3. TIP TUYN CA TH HM S .36 4. S TNG GIAO CA HAI TH HM S 53 5. CC BI TON V KHONG CCH TRONG HM S 101 6. BI TON TèM IM TRấN TH 112 7. BIN LUN S NGHIM PHNG TRèNH BNG TH .123 8. TNH N IU CA HM S 128 9. TNG HP CC BI TON HM S TRONG THI I HC .136 Tham gia khúa LTH v Luyn gii dnh im Toỏn tr lờn k TSH 2014 www.moon.vn 137 Facebook: LyHung95 ĐặNG VIệT HùNG BI GING TRNG TM V HM S Chng trỡnh Luyn thi i hc SAP NM HC 2013 - 2014 Tham gia khúa LTH v Luyn gii dnh im Toỏn tr lờn k TSH 2014 www.moon.vn http://trithuctoan.blogspot.com/ Bi ging trng tõm Hm s Thy ng Vit Hựng Tel: 0985.074.831 Bi ging trng tõm Hm s Thy ng Vit Hựng Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 Bi m u: CHUN K NNG I S Nguyờn tc: http://trithuctoan.blogspot.com/ 1. K NNG XẫT DU CA BIU THC + Phõn tớch biu thc cn xột du hay bt phng trỡnh v dng tớch, ri loi b nhng hng t l ly tha bc chn. + Sp xp cỏc nghim ca cỏc hng t sau ó lc cỏc hng t chn theo th t t n ln bng xột du. + Tin hnh xột du theo quy tc an du bit du ca mt khong no ú. + Vic xột du biu thc chỳng ta ch c quy ng mu s m khụng c nhõn chộo. Cỏc vớ d in hỡnh: Vớ d 1: Xột du cỏc biu thc sau x+2 + 3. 4x ( x + 3)(3 x) c) f ( x) = . x x 3x + e) f ( x) = x. x 1 x g) f ( x) = + . x x +1 x + x a) f ( x ) = . x x 4x 2x + d) f ( x) = . x+2 x2 f) f ( x) = . 3x + x 1 + . h) f ( x) = x2 x+2 x b) f ( x) = Vớ d 2: Gii cỏc bt phng trỡnh sau a) + < . x x+3 x+2 x x x + x + 15 . + x x +1 x2 x4 4x2 + e) 0. x x + 15 c) + . x + 2 x + 2x x x3 + x > 0. d) x x 30 x3 x x + > 0. f) x(2 x) b) 2. K NNG S DNG LC HOOCNER CHIA A THC Nguyờn tc: f ( x) k g ( x) g ( x) + chia a thc bng lc Hoocner ta phi sp xp a thc chia theo ly tha gim dn, s hng no khuyt ta cho h s bng 0. + f(x) chia cho g(x) c h(x) v d l k thỡ ta cú th vit f ( x ) = g ( x ) .h ( x ) + k = h( x) + + Thc hin chia theo quy tc: u ri - nhõn ngang - cng chộo. Cỏc vớ d in hỡnh: Vớ d: Thc hin cỏc phộp chia sau x + x3 x + x = . x+3 x + mx + m c) = . x a) 3x + x x + 10 = . x x2 + ( m ) x2 + d) = 2x + b) 3. K NNG NHM NGHIM CA PHNG TRèNH A THC Tham gia khúa LTH v Luyn gii dnh im Toỏn tr lờn k TSH 2014 www.moon.vn Bi ging trng tõm Hm s Thy ng Vit Hựng Tel: 0985.074.831 Xột phng trỡnh: f ( x ) = ax + bx3 + cx + dx + e = 0, (1) . Facebook: LyHung95 ( ) Nu x = xo l mt nghim ca phng trỡnh (1) thỡ (1) f ( x ) = ( x xo ) ax3 + bx + cx + d = f ( x) x xo = ax + bx + cx + d + Nu tng cỏc h s ca phng trỡnh bng thỡ phng trỡnh cú mt nghim x = 1. + Nu tng cỏc h s bc chn ca x bng tng h s bc l ca x thỡ phng trỡnh cú mt nghim x = 1. http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyờn tc: + Nu phng trỡnh khụng tuõn theo hai quy tc trờn thỡ chỳng ta nhm nghim bt u t cỏc nghim n gin nh 0; 1; + Vi cỏc phng trỡnh cú cha tham s, nhm nghim ca phng trỡnh ta cho phn h s ca tham s m bng 0, c nghim x ta thay vo phng trỡnh kim tra li. Cỏc vớ d in hỡnh: Vớ d 1: Phõn tớch cỏc a thc sau thnh nhõn t a) f ( x ) = x + x3 3x x b) f ( x ) = x x x c) f ( x ) = x3 ( m + 1) x ( m 1) x + 2m a) f ( x ) = x + x3 3x x Hng dn gii : Xột phng trỡnh f ( x ) = x + x3 3x x = Ta nhn thy phng trỡnh cú tng cỏc h s bng nờn cú mt nghim l x = 1. x4 + x3 3x2 x Khi ú f ( x ) = ( x 1) .g ( x ) = x + x3 3x x g ( x) = x Dựng lc Hoocner ta c x + x3 3x x = x3 + x + x + x + x3 x x = ( x 1) x + x + x + x b) f ( x ) = x x x ( ) Xột phng trỡnh f ( x ) = x3 x x = Tng h s bc chn l = 3, tng h s bc l ca phng trỡnh l = T ú ta thy phng trỡnh cú mt nghim x = 1. x3 x x Khi ú f ( x ) = ( x + 1) .g ( x ) x3 x x = ( x + 1) .g ( x ) g ( x) = x +1 Dựng lc Hoocner ta c x3 x x = x x f ( x ) = x3 x x = ( x + 1) x x g ( x) = x +1 c) f ( x ) = x3 ( m + 1) x ( m 1) x + 2m ( ) Tng cỏc h s a thc l ( m + 1) ( m 1) + 2m = nờn f(x) = cú mt nghim x = 1. ( ) Tin hnh chia a thc ta c f ( x ) = x3 ( m + 1) x ( m 1) x + 2m = ( x 1) x mx 2m + Vớ d 2: Phõn tớch cỏc a thc sau thnh nhõn t a) f ( x ) = x x + x + = . b) f ( x ) = x3 + x x + = c) f ( x ) = x3 + mx x m = . d) f ( x ) = x3 x + (1 m ) x + m = . e) f ( x ) = x3 + x x = . Tham gia khúa LTH v Luyn gii dnh im Toỏn tr lờn k TSH 2014 www.moon.vn Bi ging trng tõm Hm s Thy ng Vit Hựng Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 f) f ( x ) = x3 x + x = . 4. K NNG X Lí VI TAM THC BC HAI V PHNG TRèNH BC HAI Xột phng trỡnh bc hai: f ( x ) = ax + bx + c = 0, (1) Nu a = thỡ (1) bx + c = 0, (*) + nu b = v c = thỡ (*) nghim ỳng vi mi x. + nu b = v c thỡ (*) vụ nghim. c + nu b thỡ (*) x = b = b 4ac Nu a thỡ (1) l phng trỡnh bc hai cú bit thc = b ac; ( b = 2b ) + nu > thỡ (1) cú hai nghim phõn bit x1;2 = + nu = thỡ (1) cú nghim kộp x = + nu = thỡ (1) vụ nghim. b . 2a b b b 4ac = . 2a 2a b) H thc Vi-ột: b S = x1 + x2 = a Khi (1) cú hai nghim phõn bit x1 v x2 thỡ ta cú h thc Vi-ột: P = x x = c a Mt s cỏc kt qu cn lu ý: x12 + x22 = ( x1 + x2 ) x1 x2 = S P x13 + x23 = ( x1 + x2 ) 3x1 x2 ( x1 + x2 ) = S 3SP ( x14 + x24 = x12 + x22 ) ( x12 x22 = S P ) 2P2 ( x1 x2 )2 = ( x1 + x2 )2 x1 x2 = S P c) Tớnh cht nghim ca phng trỡnh bc hai: b 4ac > > b S = x1 + x2 = >0 Phng trỡnh cú hai nghim dng phõn bit a x1 ; x2 > c P = x1 x2 = a > b 4ac > > b S = x1 + x2 = Phng trỡnh cú hai nghim trỏi du ac < 0. Tham gia khúa LTH v Luyn gii dnh im Toỏn tr lờn k TSH 2014 www.moon.vn http://trithuctoan.blogspot.com/ a) Gii v bin lun phng trỡnh (1): Bi ging trng tõm Hm s Thy ng Vit Hựng Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 b 4ac > b 4ac > > > b b x x S x x + > = + = > > 2 S = x1 + x2 = x ,x > a a x x >0 )( ) ( b x1 x2 ( x1 + x2 ) + > c a + . a + > Phng trỡnh cú hai nghim phõn bit v u nh hn b 4ac > b 4ac > > > b b x1 + x2 < S = x1 + x2 = < S = x1 + x2 = < a a x1 ,x2 < x x >0 )( ) ( b x1 x2 ( x1 + x2 ) + > c a + . a + > > > > Phng trỡnh cú hai nghim phõn bit v u khỏc x1 ; x2 g ( ) a + b + c Phng trỡnh cú mt nghim v nghim ny ln hn = = = = x1 = x2 = b > x = x = b > x = x = b > x1 = x2 = b > 2 2a 2a 2a 2a > > > > c b 2 + . + < x1 < < x2 ( x1 )( x2 ) < x1 x2 ( x1 + x2 ) + < a a Phng trỡnh cú mt nghim v nghim ny nh hn = = = = x1 = x2 = b < b b x =x = x =x = x1 = x2 = b < < < 2 2a 2a 2a 2a > > > > c b x x ( x + x ) + < ( x1 )( x2 ) < x1 < < x2 + . + < a a Vớ d 1: Cho phng trỡnh ( m + 1) x + 4mx + 2m + = 0, (1) a) Gii v bin lun phng trỡnh ó cho. b) Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim dng phõn bit. c) Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim phõn bit, v c hai nghim u nh hn 1. Hng dn gii : a) Gii v bin lun phng trỡnh. Nu m + = m = thỡ (1) x = x = . Nu m + m thỡ (1) l phng trỡnh bc hai cú = 4m ( m + 1)( 2m + 3) = 2m 5m + Nu < 2m 5m < < m < thỡ (1) vụ nghim. m = b 2m . + Nu = 2m 5m = thỡ (1) cú nghim kộp x = = m = a m +1 m > thỡ (1) cú nghim phõn bit + Nu > 2m 5m > m < x1;2 = 2m 2m 5m + . m +1 Tham gia khúa LTH v Luyn gii dnh im Toỏn tr lờn k TSH 2014 www.moon.vn http://trithuctoan.blogspot.com/ Phng trỡnh cú hai nghim phõn bit v u ln hn Bi ging trng tõm Hm s Thy ng Vit Hựng Tel: 0985.074.831 ( *) c) Hai nghim u nh hn http://trithuctoan.blogspot.com/ m > b) Phng trỡnh (1) cú hai nghim phõn bit > 2m 5m > m < Gi hai nghim phõn bit l x1 ; x2 vi x2 > x1. b 4m x1 + x2 = a = m + Theo nh lớ Vi-ột ta cú x x = c = 2m + a m + 1 < m < 4m > m + x1 + x2 > m > vno . Hai nghim u dng x1 x2 > 2m + > m < m + 2 Facebook: LyHung95 2m + m m + < m < +1 > >0 ( x1 + 1)( x2 + 1) > x1 x2 + ( x1 + x2 ) + > m + m + m +1 m > < m < 4. x1 + x2 < x1 + x2 < 4m < m > m < m + m + i chiu vi iu kin (*) v tn ti hai nghim phõn bit ta c < m < l giỏ tr cn tỡm. ( ) Vớ d 2: Cho phng trỡnh ( x + ) x + mx 2m + = 0, (1) . a) Tỡm m phng trỡnh cú ba nghim phõn bit. b) Tỡm m phng trỡnh cú ba nghim phõn bit, ú cú hai nghim õm. c) Tỡm m phng trỡnh cú ba nghim phõn bit x1; x2; x3 tha x12 + x22 + x32 < 7. Hng dn gii : x = a) Ta cú (1) g ( x) = x + mx 2m + = 0, ( ) Phng trỡnh (1) cú ba nghim phõn bit phng trỡnh (2) cú hai nghim phõn bit v khỏc 2. m > + g > m2 + 8m > m < m (1 2m ) > iu ú xy (*) g (2) 2m 2m + 4m m m > + Vy vi m < thỡ phng trỡnh ó cho cú nghim phõn bit. m b) Do nghim x = < nờn (1) cú nghim ú nghim õm thỡ (2) phi cú hai nghim trỏi du. T ú ta cú P < 2m < m > . Giỏ tr ny tha iu kin (*) nờn l giỏ tr cn tỡm. c) Khụng mt tớnh tng quỏt, gi s x1 = 2. Khi ú x2 ; x3 l hai nghim phõn bit ca (2). x2 + x3 = m Theo nh lớ Vi-ột ta c x2 x3 = 2m Khi ú x12 + x22 + x32 < + ( x2 + x3 ) x2 x3 < m (1 2m ) < m + 4m < < m < 1. Kt hp vi iu kin (*) ta c + < m < l giỏ tr cn tỡm. BI TP LUYN TP: Bi 1: Cho phng trỡnh ( m 1) x 2mx + m + = 0. Tham gia khúa LTH v Luyn gii dnh im Toỏn tr lờn k TSH 2014 www.moon.vn Bi ging trng tõm Hm s Thy ng Vit Hựng Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 Bi 2: Cho hm s y = (x 1)(x2 + mx + m). a) Vi m = 2, tớnh y v gii phng trỡnh y = 0. b) Tỡm m tip tuyn ti im cú honh x = song song vi ng thng d: y = 2x c) Tỡm m phng trỡnh y = cú ba nghim phõn bit x1; x2; x3 tha x12 + x22 + x32 < 4. d) Tim m phng trỡnh y = cú ba nghim phõn bit, ú cú mt nghim ln hn 2. Bi 3: Cho phng trỡnh mx2 2(m + 1)x + m = 0. a) Tỡm m phng trỡnh cú nghim. b) Tỡm m phng trỡnh cú nghim trỏi du. Khi ú hai nghim, nghim no cú giỏ tr tuyt i ln hn? c) Xỏc nh m cỏc nghim x1, x2 ca phng trỡnh tho x1 + 4x2 = 3. d) Tỡm mt h thc gia x1, x2 m khụng ph thuc vo m. http://trithuctoan.blogspot.com/ a) Chng minh rng phng trỡnh luụn cú hai nghim phõn bit vi mi giỏ tr ca m 1. b) Xỏc nh giỏ tr ca m phng trỡnh cú tớch hai nghim bng 5, t ú hóy tớnh tng hai nghim ca phng trỡnh. x x c) Tỡm m phng trỡnh cú nghim x1, x2 tho h thc + + = 0. x2 x1 Bi 4: Cho phng trỡnh x mx + m = , (vi m l tham s). a) Chng t rng phnh trỡnh cú nghim x1, x2 vi mi m. Tớnh nghim kộp (nu cú) ca phng trỡnh v giỏ tr ca m tng ng b) t A = x12 + x22 x1 x2 . Chng minh A = m2 8m + 8. Tỡm m A = 8, Tỡm giỏ tr nh nht ca A v giỏ tr ca m tng ng. c) Tỡm m cho phng trỡnh cú nghim ny bng hai ln nghim kia. d) Tim m phng trỡnh cú hai nghim u ln hn 1. Bi 5: Cho phng trỡnh ( x 1) ( x + 2mx + m 3) = 0. a) Tỡm m phng trỡnh cú ba nghim phõn bit. b) Tỡm m phng trỡnh cú ba nghim phõn bit u dng. c) Tỡm m phng trỡnh cú ba nghim phõn bit x1; x2; x3 tha x12 + x22 + x32 = 15. d) Tỡm m phng trỡnh cú ba nghim phõn bit, ú cú hai nghim õm. Tham gia khúa LTH v Luyn gii dnh im Toỏn tr lờn k TSH 2014 www.moon.vn Bi ging trng tõm Hm s Thy ng Vit Hựng Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 Bi 1: CC TR CA HM S DNG 1. CC TR CA HM A THC BC BA DNG 1. TèM IU KIN V S CC TR CA HM S y = x = Nu a = thỡ y = 3bx + c c 3b Trong trng hp ny hm s cú cc tr. Nu a : + Hm s khụng cú cc tr y khụng i du, tc l phng trỡnh y = vụ nghim hoc cú nghim kộp, tc l 0. + Hm s cú im cc tr y i du hai ln, tc l phng trỡnh y = cú hai nghiờm phõn bit. T ú ta cú iu kin hm s cú hai cc tr l > 0. Vy, vi hm bc ba thỡ hm s ch cú hai cc tr hoc khụng cú cc tr. Vớ d 1: Bin lun s cc tr ca hm s y = x + (1 m ) x mx tựy theo giỏ tr ca tham s m. Hng dn gii: Ta cú y = x + (1 m ) x + m. http://trithuctoan.blogspot.com/ Xột hm s bc ba : y = ax + bx + cx + d y = 3ax + 3bx + c Hm s khụng cú cc tr y khụng i du trờn xỏc nh (hay hm s luụn ng bin hoc nghch bin trờn xỏc nh), iu ú xy y = vụ nghim hoc cú nghim kộp. 3+ . m T ú ta cú iu kin (1 m ) m m 3m + 2 Hm s cú hai cc tr y i du trờn xỏc nh, iu ú xy y = cú hai nghim phõn bit. 3+ m > > m 3m + > m < Kt lun : 3+ m - Hm s khụng cú cc tr 2 3+ 5 - Hm s cú hai cc tr m ; m . 2 Vớ d 2: Bin lun s cc tr ca hm s y = mx + ( m ) x + 2mx + m tựy theo giỏ tr ca tham s m. Hng dn gii: Ta cú y = 3mx + ( m ) x + 2m. TH1 : m = 0. Khi ú y = x; y = x = , trng hp ny hm s cú mt cc tr. TH2 : m 0. m + m 2 + m m m Hm s khụng cú cc tr 4 + m m m m Tham gia khúa LTH v Luyn gii dnh im Toỏn tr lờn k TSH 2014 www.moon.vn Facebook: LyHung95 Hm s cú hai cc tr y = cú hai nghim phõn bit + m m 5m + 4m < m Kt lun : + - Hm s khụng cú cc tr m ;m . 5 - Hm s cú mt cc tr m = 0. + 0, (*) + Tỡm iu kin ca tham s cc tr cú tớnh cht K no ú chng hn. + i chiu giỏ tr tỡm c vi iu kin (*) c kt lun cui cựng. Ta xột mt s dng tớnh cht in hỡnh. Tớnh cht 1: Hm s t cc i, cc tiu ti im x = xo Cỏch (s dng bng bin thiờn) : http://trithuctoan.blogspot.com/ Bi ging trng tõm Hm s Thy ng Vit Hựng Tel: 0985.074.831 + Hm s t cc tr ti x = xo y ( xo ) = m. + Vi m tỡm c, thay vo hm s ri kho sỏt, t bng bin thiờn ta cú kt lun v hm s t cc i, hay cc tiu ti im xo hay khụng. Cỏch (s dng iu kin cn, iu kin ; hay y) : y ( xo ) = + Hm s t cc i ti x = xo m. y ( xo ) < y ( xo ) = + Hm s t cc tiu ti x = xo m. y ( xo ) > y ( xo ) = Chỳ ý: Hm s t cc tr ti x = xo y ( xo ) Vớ d mu: Cho hm s y = x ( m + 2) x mx + 1. a) Tỡm m hm s cú cc i, cc tiu. b) Tỡm m hm s t cc i ti ti x = 0. Tham gia khúa LTH v Luyn gii dnh im Toỏn tr lờn k TSH 2014 www.moon.vn Bi ging trng tõm Hm s Thy ng Vit Hựng Tel: 0985.074.831 { AH = CK HB = AK b = + c b = Hay: . c=3 2+ = c2 b Vy B(1;1), C (3;3) { C B H A x . x +1 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s. 2) Tỡm trờn hai nhỏnh ca th (C) hai im A v B cho AB ngn nht. Tp xỏc nh D = R \ { 1} . Tim cn ng x = . Baứi 16. Cho hm s y = Gi s A a;1 + , B + b;1 (vi a > 0, b > ) l im thuc nhỏnh ca (C) a b 1 16 16 64 AB = (a + b) + 16 + = (a + b)2 + 4ab + = 4ab + 32 2 2 ab a b a b a b a = b a = b a=b=44 AB nh nht AB = 16 = a = ab ab Khi ú: A ( 4;1 + 64 ) , B ( + 4;1 64 ) . Cõu hi tng t: 4x . S: A ( 3;4 ) , B ( + 3;4 + ) a) y = x K http://trithuctoan.blogspot.com/ v: BHA = CKA = 90 ABH = CAK Facebook: LyHung95 x + . x 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s. 2) Tỡm trờn th (C), cỏc im A, B cho di on AB bng v ng thng AB vuụng gúc vi ng thng d : y = x . Baứi 17. Cho hm s y = PT ng thng AB cú dng: y = x + m . PT honh giao im ca (C) v AB: x + = x + m g( x ) = x (m + 3) x + 2m + = (1) ( x 2) x > cú im A, B thỡ (1) phi cú nghim phõn bit khỏc g g(2) (m + 3) 4(2m + 1) > m . (m + 3).2 + 2m + x + xB = m + Ta cú: A . Mt khỏc y A = x A + m; yB = xB + m x A .x B = m + m = Do ú: AB = ( xB x A )2 + ( yB y A )2 = 16 m 2m = . m = x = + y = + Vi m = , thay vo (1) ta c: x x + = x = y = A(3 + 2; 2), B(3 2; 2) hoc A(3 2; 2), B(3 + 2; 2) x = + y = + Vi m = , thay vo (1) ta c: x x = x = y = + A(1 + 2; 2); B(1 2; + 2) hoc A(1 2; + 2); B(1 + 2; 2) Tham gia khúa LTH v Luyn gii dnh im Toỏn tr lờn k TSH 2014 www.moon.vn 121 Bi ging trng tõm Hm s Thy ng Vit Hựng Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 x + x + 14 cú th (C). 6x + Tỡm tt cỏc cỏc im trờn (C) cú to nguyờn. Baứi 18. Cho hm s y = 53 . 6x + x Z im M ( x; y ) (C ) cú to nguyờn 53 y = x + + x + Z x Z x Z x Z 53 53 x + + x + = x + = 53 Z Z 6x + 6x + x + + 53 53 53 x + + x + + 6x + 6x + 6x + x = y = 14 . Vy cú hai im tho YCBT: (0;14), (9; 4) . x = y = Baứi 19. Cho hm s y = x 3x + cú th (C). x Tỡm nhng cp im trờn th (C) i xng qua im I ;1 . Gi M ( x1; y1), N ( x2 ; y2 ) (C ) i xng qua im I ;1 . x + x2 = x = x1 N (1 x1;2 y1 ) . Khi ú ta cú: y1 + y2 = y2 = y1 x 3x1 + y1 = x1 = 2; y1 = x1 Vỡ M ( x1; y1), N ( x2 ; y2 ) (C ) nờn ta cú: x = 3; y = . x x + 1 y = 1 x1 Vy trờn (C) cú ỳng mt cp im tho YCBT: M (2; 4), N (3;6) . x2 + x + cú th (C). x +1 Tỡm nhng cp im trờn th (C) i xng qua ng thng d :16 x + 17 y + 33 = . Baứi 20. Cho hm s y = 21 13 S: A 5; , B 3; . BI TP LUYN TP : Bi 1. Cho hm s y = x3 x + m Tỡm m th hm s cú hai im phõn bit i xng vi qua gc to . Bi 2. Cho hm s y = x3 + x + Tỡm im trờn th hm s cho chỳng i xng qua I(1; 3). /s: (0; 2) v ( 2; 4) Bi 3. Cho hm s y = x3 x Tỡm im trờn th hm s cho chỳng i xng qua I(1; 1). /s: (0; 1) v (2; 3) x3 11 Bi 4. Cho hm s y = + x + 3x 3 Tham gia khúa LTH v Luyn gii dnh im Toỏn tr lờn k TSH 2014 www.moon.vn http://trithuctoan.blogspot.com/ Ta cú: y = x + + 122 Facebook: LyHung95 Tỡm trờn th (C) hai im phõn bit M, N i xng qua trc tung 16 16 /s: M 3; , N 3; . 2x Bi 5. Cho hm s ( C ) : y = . x +1 Tỡm trờn (C) hai im i xng qua ng thng MN bit M(3; 0) v N(1; 1). /s: A(0; 4), B(2; 0). x+2 Bi 6. Cho hm s ( C ) : y = . 2x Tỡm nhng im trờn th (C) cỏch u hai im A(2; 0) v B(0; 2). 5 1+ 1+ /s: , , ; . 2 Tham gia khúa LTH v Luyn gii dnh im Toỏn tr lờn k TSH 2014 www.moon.vn http://trithuctoan.blogspot.com/ Bi ging trng tõm Hm s Thy ng Vit Hựng Tel: 0985.074.831 123 Bi ging trng tõm Hm s Thy ng Vit Hựng Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 Bi 6: BIN LUN S NGHIM PHNG TRèNH Bi 1. Cho hm s y = x3 mx2 + 3x + m a) Tỡm m hm s cú cc tr. b) Kho sỏt v v th (C) ca hm s m = 3. c) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) bit tip tuyn vuụng gúc ng thng y = 3x 15. d) Dựng (C) bin lun phng trỡnh: x3 3x2 + 3x + m = 0, tựy theo giỏ tr ca m. Bi 2. Kho sỏt v v th (C) ca hm s y = (x + 1)2(2 x) a) Dựng th (C) bin lun theo m s nghim phng trỡnh: x3 3x + m = 0. b) Tỡm k phng trỡnh: x3 3x +1 2k = cú nghim phõn bit. Bi 3. Cho hm s y = x3 + 3x + a) Kho sỏt hm s ó cho, gi th l (C). b) Tỡm m phng trỡnh : x3 3x + 2m = cú ba nghim phõn bit. Bi 4. Cho hm s y = x4 + 2x2 a) Kho sỏt hm s. b) Tỡm m phng trỡnh x4 2x2 + m = cú nghim phõn bit Bi 5. Cho hm s y = x4 + 2x2 + a) Kho sỏt hm s. b) Chng minh rng vi mi m < 2, phng trỡnh : x4 + 2x2 + m = cú nghim. 2x Bi 6. Cho hm s y = x+2 a) Kho sỏt v v th hm s. 2sin x b) Tỡm m phng trỡnh sau cú ỳng nghim x [0; ] : =m sin x + Bi 7. Cho hm s y = + 2x2 x4 a) Kho sỏt hm s ó cho. b) Bin lun theo m s nghim ca phng trỡnh x4 2x2 = m4 2m2 II. PHNG TRèNH Cể CHA TR TUYT I x +1 x a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s. b) T th (C) ó v, hóy suy th cỏc hm s sau: x +1 x +1 y= y= x x Bi 2. Cho hm s y = x 6x 9x a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s. b) T th (C) ó v, hóy suy th cỏc hm s sau: (C1 ) : y = x + x + x + Bi 1. Cho hm s y = y= x +1 x (C ) : y = x x x (C3 ) : y = x x2 x Bi 3. Cho hm s y = x3 6x2 + 9x a) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s. b) T th ca hm s ó cho hay suy th hm s y = x3 x + x c) Bin lun s nghim ca phng trỡnh x3 x + x + m = Bi 4. Cho hm s y = 2x 2 x Tham gia khúa LTH v Luyn gii dnh im Toỏn tr lờn k TSH 2014 www.moon.vn y= x +1 x http://trithuctoan.blogspot.com/ I. PHNG TRèNH KHễNG CHA TR TUYT I 124 Bi ging trng tõm Hm s Thy ng Vit Hựng Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 2x . x b) Chng minh rng vi mi k 0, ng thng y = kx luụn ct th (C) ti hai im phõn bit. Bi 5. Cho hm s y = x x + 2 a) Kho sỏt v v th (C) ca hm s. b) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) bit tip tuyn vuụng gúc vi d : y = x + . 4 c) Bin lun theo m s nghim phng trỡnh: x x + m = Bi 6. ( thi TSH B 2009) Cho hm s y = 2x4 4x2 a) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s ó cho. b) Vi cỏc giỏ tr no ca m, phng trỡnh x x = m cú ỳng nghim thc phõn bit. Bi 7. Cho hm s y = x4 6x2 + a) Kho sỏt hm s ó cho. b) Tỡm m phng trỡnh sau cú nghim phõn bit x4 6x2 m = c) Tỡm k phng trỡnh cú nghim phõn bit x x + = k Bi 8. Cho hm s y = x3 3x2 a) Kho sỏt v v th ca hm s ó cho. b) Bin lun theo m s nghim phng trỡnh x3 3x = m Bi 9. ( thi TSH A 2006) Cho hm s y = 2x3 9x2 + 12x a) Kho sỏt v v th ca hm s ó cho. b) Bin lun theo m s nghim ca phng trỡnh 2x3 9x2 + 12x m = c) Tỡm m phng trỡnh sau cú nghim phõn bit x x + 12 x = m Bi 10. Cho hm s y = x3 3x2 a) Kho sỏt v v th (C) ca hm s. b) Tỡm m phng trỡnh sau cú nghim phõn bit x3 + x log m = Bi 11. Cho hm s y = x3 + mx2 + 7x + a) Kho sỏt v v th ca hm s ó cho vi m = 5, gi th l (C). b) Da vo th hm s (C) bin lun s nghim ca phng trỡnh x3 + 5x2 + 7x m = c) Da vo th hm s (C) bin lun s nghim ca phng trỡnh x + x + x m = MT S V D GII MU: Baứi 21. Cho hm s y = x + x + . 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s. 2) Tỡm m phng trỡnh x x = m3 3m2 cú ba nghim phõn bit. PT x x = m3 3m2 x + x + = m3 + 3m2 + . t k = m3 + 3m + S nghim ca PT bng s giao im ca th (C) vi ng thng d: y = k Da vo th (C) ta cú PT cú nghim phõn bit < k < m (1;3) \ { 0;2} Baứi 22. Cho hm s y = x x + . 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s. 2) Bin lun theo m s nghim ca phng trỡnh : x x = Ta cú x x = m . x http://trithuctoan.blogspot.com/ a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s, t ú suy th hm s y = m ( x x ) x = m, x 1. Do ú s nghim ca phng trỡnh bng s x giao im ca y = ( x x ) x , (C ') v ng thng y = m, x 1. f ( x ) x > Vi y = ( x x ) x = nờn ( C ' ) bao gm: f ( x ) x < Tham gia khúa LTH v Luyn gii dnh im Toỏn tr lờn k TSH 2014 www.moon.vn 125 Bi ging trng tõm Hm s Thy ng Vit Hựng Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 + Gi nguyờn th (C) bờn phi ng thng x = 1. + Ly i xng th (C) bờn trỏi ng thng x = qua Ox. Da vo th ta cú: m < m = 2 < m < vụ nghim nghim kộp nghim phõn bit Baứi 23. Cho hm s y = x x + cú th (C). 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s. 2) Tỡm m phng trỡnh x x + = log12 m cú nghim. Da vo th ta cú PT cú nghim log12 m = m = 12 = 144 12 . Baứi 24. Cho hm s: y = x x + . 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s. 2) Bin lun theo m s nghim ca phng trỡnh: x x + + log2 m = (m > 0) x x + + log2 m = x x + = log2 m (*) + S nghim ca (*) l s giao im ca th y = x x + v y = log2 m + T th suy ra: 1 m =1 m >1 0 + y ' 0, x R a < + y ' 0, x R 2. Tỡm iu kin hm s y = f ( x ) = ax + bx + cx + d n iu trờn khong (a ; b ) . Ta cú: y = f ( x ) = 3ax + 2bx + c . a) Hm s f ng bin trờn (a ; b ) y 0, x (a ; b ) v y = ch xy ti mt s hu hn im thuc (a ; b ) . Trng hp 1: Nu bt phng trỡnh f ( x ) h(m) g( x ) (*) thỡ f ng bin trờn (a ; b ) h(m) max g( x ) (a ; b ) Nu bt phng trỡnh f ( x ) h(m) g( x ) (**) thỡ f ng bin trờn (a ; b ) h(m) g( x ) (a ; b ) Tham gia khúa LTH v Luyn gii dnh im Toỏn tr lờn k TSH 2014 www.moon.vn 128 Bi ging trng tõm Hm s Thy ng Vit Hựng Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 Trng hp 2: Nu bt phng trỡnh f ( x ) khụng a c v dng (*) thỡ t t = x a . Khi ú ta cú: y = g(t ) = 3at + 2(3a + b)t + 3a + 2b + c . a > > a > Hm s f ng bin trờn khong (a; +) g(t ) 0, t > S < P http://trithuctoan.blogspot.com/ a > > a > Hm s f ng bin trờn khong (; a) g(t ) 0, t < S > P b) Hm s f nghch bin trờn (a ; b ) y 0, x (a ; b ) v y = ch xy ti mt s hu hn im thuc (a ; b ) . Trng hp 1: Nu bt phng trỡnh f ( x ) h(m) g( x ) (*) thỡ f nghch bin trờn (a ; b ) h(m) max g( x ) (a ; b ) Nu bt phng trỡnh f ( x ) h(m) g( x ) (**) thỡ f nghch bin trờn (a ; b ) h(m) g( x ) (a ; b ) Trng hp 2: Nu bt phng trỡnh f ( x ) khụng a c v dng (*) thỡ t t = x a . Khi ú ta cú: y = g(t ) = 3at + 2(3a + b)t + 3a + 2b + c . a < > a < Hm s f nghch bin trờn khong (; a) g(t ) 0, t < S > P a < > a < Hm s f nghch bin trờn khong (a; +) g(t ) 0, t > S < P 3. Tỡm iu kin hm s y = f ( x ) = ax + bx + cx + d n iu trờn khong cú di bng k cho trc. a f n iu trờn khong ( x1; x2 ) y = cú nghim phõn bit x1 , x2 (1) > Bin i x1 x2 = d thnh ( x1 + x2 )2 x1 x2 = d (2) S dng nh lớ Viet a (2) thnh phng trỡnh theo m. Gii phng trỡnh, so vi iu kin (1) chn nghim. 4. Tỡm iu kin hm s y = a) ng bin trờn (; ) . ax + bx + c (2), (a, d 0) dx + e b) ng bin trờn ( ; + ) . c) ng bin trờn ( ; ) . e adx + 2aex + be dc f ( x) Tp xỏc nh: D = R \ , y ' = = 2 d ( dx + e ) ( dx + e ) Tham gia khúa LTH v Luyn gii dnh im Toỏn tr lờn k TSH 2014 www.moon.vn 129 Bi ging trng tõm Hm s Thy ng Vit Hựng Tel: 0985.074.831 Trng hp Nu bpt: f ( x ) khụng a c v dng (i) thỡ ta t: t = x . Khi ú bpt: f ( x ) tr thnh: g(t ) , vi: a) (2) ng bin trờn khong (; ) e d g( x ) h(m), x < g(t ) = adt + 2a(d + e)t + ad + 2ae + be dc a) (2) ng bin trờn khong (; ) e d g(t ) 0, t < (ii) e d h(m) g( x ) ( ; ] b) (2) ng bin trờn khong ( ; +) a > > a > (ii) S > P b) (2) ng bin trờn khong ( ; +) e d g( x ) h(m), x > e d g(t ) 0, t > (iii) e d h(m) g( x ) [ ; + ) a > > a > (iii) S < P c) (2) ng bin trờn khong ( ; ) e d ( ; ) g( x ) h(m), x ( ; ) e ( ; ) d h(m) g( x ) [ ; ] 5. Tỡm iu kin hm s y = a) Nghch bin trờn (; ) . ax + bx + c (2), (a, d 0) dx + e b) Nghch bin trờn ( ; +) . c) Nghch bin trờn ( ; ) . e adx + 2aex + be dc f ( x) Tp xỏc nh: D = R \ , y ' = = 2 d ( dx + e ) ( dx + e ) Tham gia khúa LTH v Luyn gii dnh im Toỏn tr lờn k TSH 2014 www.moon.vn http://trithuctoan.blogspot.com/ Trng hp Nu: f ( x ) g( x ) h(m) (i) Facebook: LyHung95 130 Bi ging trng tõm Hm s Thy ng Vit Hựng Tel: 0985.074.831 a) (2) nghch bin trờn khong (; ) e d g( x ) h(m), x < e d h(m) g( x ) ( ; ] b) (2) nghch bin trờn khong ( ; +) Trng hp Nu bpt: f ( x ) khụng a c v dng (i) thỡ ta t: t = x . Khi ú bpt: f ( x ) tr thnh: g(t ) , vi: g(t ) = adt + 2a(d + e)t + ad + 2ae + be dc a) (2) ng bin trờn khong (; ) e d g(t ) 0, t < (ii) a < > a < (ii) S > P b) (2) ng bin trờn khong ( ; +) e d g( x ) h(m), x > e d g(t ) 0, t > (iii) e d h(m) g( x ) [ ; + ) a < > a < (iii) S < P c) (2) ng bin khong ( ; ) e d ( ; ) g( x ) h(m), x ( ; ) e ( ; ) d h(m) g( x ) [ ; ] Cho hm s y = (m 1) x + mx + (3m 2) x (1) 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s (1) m = . 2) Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s m hm s (1) ng bin trờn xỏc nh ca nú. Baứi 1. Tp xỏc nh: D = R. y = (m 1) x + 2mx + 3m . (1) ng bin trờn R y 0, x m Baứi 2. Cho hm s y = x + x mx (1) 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) m = . 2) Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s m hm s (1) ng bin trờn khong (;0) . http://trithuctoan.blogspot.com/ Trng hp Nu f ( x ) g( x ) h(m) (i) Facebook: LyHung95 Tp xỏc nh: D = R. y = x + x m . y cú = 3(m + 3) . + Nu m thỡ y 0, x hm s ng bin trờn R m tho YCBT. + Nu m > thỡ > PT y = cú nghim phõn bit x1 , x2 ( x1 < x2 ) . Khi ú hm s ng bin trờn cỏc khong (; x1 ),( x2 ; +) . > m > Do ú hm s ng bin trờn khong (;0) x1 < x2 P m (VN) S > > Vy: m . Tham gia khúa LTH v Luyn gii dnh im Toỏn tr lờn k TSH 2014 www.moon.vn 131 Bi ging trng tõm Hm s Thy ng Vit Hựng Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 Baứi 3. Cho hm s y = x 3(2m + 1) x + 6m(m + 1) x + cú th (Cm). 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s m = 0. 2) Tỡm m hm s ng bin trờn khong (2; +) x = m . Hm s ng bin trờn cỏc khong (; m), (m + 1; +) y' = x = m +1 Do ú: hm s ng bin trờn (2; + ) m + m Baứi 4. Cho hm s y = x + (1 2m) x + (2 m) x + m + . 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s m = 1. 2) Tỡm m hm ng bin trờn khong K = (0; + ) . Hm ng bin trờn (0; +) y = x + 2(1 2m) x + (2 m) vi x (0; +) f ( x) = 3x + x + m vi x (0; +) 4x + 6(2 x + x 1) = x + x = x = 1; x = Ta cú: f ( x ) = 2 (4 x + 1) Lp BBT ca hm f ( x ) trờn (0; +) , t ú ta i n kt lun: f m m . Cõu hi tng t: a) y = (m + 1) x (2m 1) x + 3(2m 1) x + (m 1) , K = (; 1) . S: m 11 b) y = (m + 1) x (2m 1) x + 3(2m 1) x + (m 1) , K = (1; +) . S: m 1 c) y = (m + 1) x (2m 1) x + 3(2m 1) x + (m 1) , K = (1;1) . S: m Baứi 5. Cho hm s y = (m 1) x + (m 1) x x + (1) (m 1) . 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s m = 0. 2) Tỡm m hm nghch bin trờn khong K = (;2) . Tp xỏc nh: D = R; y = (m2 1) x + 2(m 1) x . t t = x ta c: y = g(t ) = (m 1)t + (4m + 2m 6)t + 4m + 4m 10 Hm s (1) nghch bin khong (;2) g(t ) 0, t < m < a < TH1: 3m 2m Vy: Vi m2 < a < > 3m 2m > 4m2 + 4m 10 TH2: S > 2m P >0 m + m < thỡ hm s (1) nghch bin khong (;2) . Cho hm s y = (m 1) x + (m 1) x x + (1) (m 1) . 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s m = 0. 2) Tỡm m hm nghch bin trờn khong K = (2; +) . Baứi 6. Tp xỏc nh: D = R; y = (m2 1) x + 2(m 1) x . t t = x ta c: y = g(t ) = (m 1)t + (4m + 2m 6)t + 4m + 4m 10 Hm s (1) nghch bin khong (2; +) g(t ) 0, t > Tham gia khúa LTH v Luyn gii dnh im Toỏn tr lờn k TSH 2014 www.moon.vn http://trithuctoan.blogspot.com/ Tp xỏc nh: D = R. y ' = x 6(2m + 1) x + 6m(m + 1) cú = (2m + 1)2 4(m + m) = > 132 Bi ging trng tõm Hm s Thy ng Vit Hựng Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 Baứi 7. Cho hm s y = x + x + mx + m (1), (m l tham s). 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) m = 3. 2) Tỡm m hm s (1) nghch bin trờn on cú di bng 1. Ta cú y ' = x + x + m cú = 3m . + Nu m thỡ y 0, x R hm s ng bin trờn R m khụng tho món. http://trithuctoan.blogspot.com/ m2 < a < > 3m 2m > m < a < TH1: TH2: 4m2 + 4m 10 3m 2m S < 2m P hoc y 0, x (m; 0) m < . Vy hm s ng bin khong ( x1; x2 ) vi x2 x1 = ( x ; x ) = (0; m) m = v x2 x1 = m = . m = ( x1; x2 ) = (m;0) Baứi 9. Cho hm s y = x 2mx 3m + (1), (m l tham s). 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) m = 1. 2) Tỡm m hm s (1) ng bin trờn khong (1; 2). Ta cú y ' = x 4mx = x( x m) + m , y 0, x (0; +) m tho món. + m > , y = cú nghim phõn bit: m , 0, Hm s (1) ng bin trờn (1; 2) m. m < m . Vy m ( ;1 . Cõu hi tng t: a) Vi y = x 2(m 1) x + m ; y ng bin trờn khong (1;3) . S: m . mx + (1) x+m 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) m = . 2) Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s m hm s (1) nghch bin trờn khong (;1) . Baứi 10. Cho hm s y = Tp xỏc nh: D = R \ {m}. y = m2 ( x + m)2 . Hm s nghch bin trờn tng khong xỏc nh y < < m < hm s (1) nghch bin trờn khong (;1) thỡ ta phi cú m m (1) (2) Tham gia khúa LTH v Luyn gii dnh im Toỏn tr lờn k TSH 2014 www.moon.vn 133 Bi ging trng tõm Hm s Thy ng Vit Hựng Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 Kt hp (1) v (2) ta c: < m . x 3x + m (2). x Tỡm m hm s (2) ng bin trờn khong (; 1) . Baứi 11. Cho hm s y = 2x2 4x + m ( x 1) = f (x) ( x 1)2 . Ta cú: f ( x ) m x x + . t g( x ) = x x + g '( x ) = x Hm s (2) ng bin trờn (; 1) y ' 0, x (; 1) m g( x ) ( ;1] Da vo BBT ca hm s g( x ), x (; 1] ta suy m . Vy m thỡ hm s (2) ng bin trờn (; 1) x 3x + m (2). x Tỡm m hm s (2) ng bin trờn khong (2; +) . Baứi 12. Cho hm s y = Tp xỏc nh: D = R \ {1} . y ' = 2x2 4x + m ( x 1)2 = f (x) ( x 1)2 . Ta cú: f ( x ) m x x + . t g( x ) = x x + g '( x ) = x Hm s (2) ng bin trờn (2; +) y ' 0, x (2; +) m g( x ) [2; + ) Da vo BBT ca hm s g( x ), x (; 1] ta suy m . Vy m thỡ hm s (2) ng bin trờn (2; +) . x 3x + m (2). x Tỡm m hm s (2) ng bin trờn khong (1;2) . Baứi 13. Cho hm s y = Tp xỏc nh: D = R \ {1} . y ' = 2x2 4x + m ( x 1) = f (x) ( x 1)2 . Ta cú: f ( x ) m x x + . t g( x ) = x x + g '( x ) = x Hm s (2) ng bin trờn (1;2) y ' 0, x (1;2) m g( x ) [1;2] Da vo BBT ca hm s g( x ), x (; 1] ta suy m . Vy m thỡ hm s (2) ng bin trờn (1;2) . x 2mx + 3m2 (2). 2m x Tỡm m hm s (2) nghch bin trờn khong (;1) . Baứi 14. Cho hm s y = Tp xỏc nh: D = R \ { 2m} . y ' = x + 4mx m 2 ( x 2m) = f (x) ( x 2m)2 . t t = x . Khi ú bpt: f ( x ) tr thnh: g(t ) = t 2(1 2m )t m + 4m m > Hm s (2) nghch bin trờn (;1) y ' 0, x (;1) g(t ) 0, t < (i) m = ' = m ' > m = (i) > S m > m + m2 4m + P Tham gia khúa LTH v Luyn gii dnh im Toỏn tr lờn k TSH 2014 www.moon.vn http://trithuctoan.blogspot.com/ Tp xỏc nh: D = R \ {1} . y ' = 134 Bi ging trng tõm Hm s Thy ng Vit Hựng Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 Vy: Vi m + thỡ hm s (2) nghch bin trờn (;1) . x 2mx + 3m2 (2). 2m x Tỡm m hm s (2) nghch bin trờn khong (1; +) . Baứi 15. Cho hm s y = x + 4mx m 2 ( x 2m) = f (x) ( x 2m)2 . t t = x . Khi ú bpt: f ( x ) tr thnh: g(t ) = t 2(1 2m)t m2 + 4m m < Hm s (2) nghch bin trờn (1; +) y ' 0, x (1; +) g(t ) 0, t > (ii) m = ' = m ' > m (ii) 4m < S < m2 4m + P Vy: Vi m thỡ hm s (2) nghch bin trờn (1; +) Tham gia khúa LTH v Luyn gii dnh im Toỏn tr lờn k TSH 2014 www.moon.vn http://trithuctoan.blogspot.com/ Tp xỏc nh: D = R \ { 2m} . y ' = 135 Bi ging trng tõm Hm s Thy ng Vit Hựng Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 TRCH THI TUYN SINH I HC TRONG MT S NM GN Y Bi 1: Cho hm s y = x3 x + (1) Vit phng trỡnh tip tuyn ca th hm s (1), bit rng tip tuyn ú i qua im M (1; 9) . Tỡm cỏc giỏ tr ca tip tuyn ca th hm s (1) ti im cú honh x = i qua im A(1; 2). Bi 4: Cho hm s y = x x + (1) Tỡm cỏc giỏ tr thc ca tham s m ng thng y = mx tip xỳc vi th hm s (1). Bi 5: Cho hm s y = x3 x 3m(m + 2) x (1) , m l tham s thc Tỡm cỏc giỏ tr ca m hm s (1) cú hai cc tr cựng du. 3x + (1). Bi 6: Cho hm s y = x +1 Tớnh din tớch ca tam giỏc to bi cỏc trc ta v tip tuyn vi th hm s (1) ti im M (2;5) . http://trithuctoan.blogspot.com/ Bi 2: Cho hm s y = x3 x + Chng minh rng mi ng thng i qua im I(1; 2) vi h s gúc k (k > 3) u ct th hm s (1) ti ba im phõn bit I, A, B ng thi I l trung im ca on thng AB. Bi 3: Cho hm s y = x3 + 3mx + (m + 1) x + (1), m l tham s thc. x+2 (1) 2x + Vit phng trỡnh tip tuyn ca th hm s (1) bit tip tuyn ú ct trc honh ,trc tung ln lt ti hai im phõn bit A, B v tam giỏc OAB cõn ti gc ta O. Bi 8: Cho hm s y = x x (1). Bi 7: Cho hm s y = Vi cỏc giỏ tr no ca m, phng trỡnh x x = m cú ỳng nghim thc phõn bit. Bi 9: Cho hm s y = x (3m + 2) x + 3m cú th l (Cm), m l tham s. Tỡm m ng thng y = ct th (Cm) ti im phõn bit u cú honh nh hn 2x + Bi 10: Cho hm s y = . x +1 Tỡm m ng thng y = 2x + m ct th (C) ti hai im phõn bit A, B cho tam giỏc OAB cú din tớch bng Bi 11: Cho hm s y = x x + Lp phng trỡnh tip tuyn ca th, bit tip tuyn ú vuụng gúc ng thng y = x 1. Bi 12: Cho hm s y = x x + (1 m) x + m Tỡm m th ct Ox ti im phõn bit x1 , x2 , x3 tha iu kin x12 + x22 + x32 < 4. Bi 13: Cho hm s y = x3 + 3x2 1, (C) Vit phng trỡnh tip tuyn ca th (C) ti im cú honh x = 1. Bi 14: Cho hm s y = x3 (2m 1) x + (2 m) x + Xỏc nh m hm s cú hai cc tr cú honh dng. x + . Bi 15: Cho hm s y = 2x Chng minh rng vi mi m ng thng y = x + m luụn ct thỡ (C) ti im phõn bit A v B. Gi k1 v k2 ln lt l h s gúc ca cỏc tip tuyn vi (C) ti A v B. Tỡm m tng k1 + k2 t giỏ tr ln nht. Bi 16: Cho hm s y = x 2(m + 1) x + m (1), m l tham s. Tỡm m th hm s (1) cú ba im cc tr A, B, C cho OA = BC, O l gc ta , A l cc tr thuc trc tung, B v C l hai im cc tr cũn li. 2x + Bi 17: Cho hm s y = x +1 Tỡm k ng thng y = kx + 2k +1 ct th (C) ti hai im phõn bit A, B cho khong cỏch t A v B n trc honh bng nhau. Tham gia khúa LTH v Luyn gii dnh im Toỏn tr lờn k TSH 2014 www.moon.vn 136 [...]... ≤ 0 b) Hàm số có ba cực trị khi m > 0 ( ) Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 TH2 : m ≠ −1, (1) ⇔ x 2 = Facebook: LyHung95 3m m +1 3m ≤ 0 ⇔ −1 < m ≤ 0 m +1 m > 0 3m + Hàm số có ba cực trị khi >0⇔ m +1 m < −1 Kết luận : Hàm số có một cực trị khi −1 ≤ m ≤ 0 m > 0 Hàm số có ba cực trị khi m < −1 BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Biện luận theo m số cực trị của các hàm số sau.. .Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 c) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 Hướng dẫn giải : Ta có y′ = x − 2(m + 2) x − m ⇒ y′′ = 2 x − 2 ( m + 2 ) 2 4 thì hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 2 5 BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Cho hàm số y = − x3 + (2m − 1) x 2 + 2mx − 3 a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu b) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu... www.moon.vn 15 Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 1 3 ( 3m − 1 ) x x − + (3m − 2) x + m − 1 3 2 2 Ví dụ 2: Cho hàm số y = Tìm giá trị của m để a) hàm số có cực đại, cực tiểu b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ lớn hơn 2 3 3 c) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ x1 ; x2 thỏa mãn x1 + x2 > 28 Ví dụ 4: Cho hàm số y =... 19 Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua đường thẳng d : y = 1 5 x− 2 2 Đ/s : m = 0 Đ/s : m = ± 2 2 Bài 5: Cho hàm số y = x3 − 3(m + 1) x 2 + 9 x + m − 2 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua đường thẳng d : y = 1 x 2 Đ/s : m = 1 Bài 6: Cho hàm số. .. 1 = 0 Bài 15: Cho hàm số y = x3 − 3(m + 1) x 2 + 9 x + m − 2 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua đường thẳng d : y = 1 x 2 Đ/s : m = 1 Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua đường thẳng d : x − 2 y − 5 = 0 Đ/s : m = 0 Bài 17: Cho hàm số y = x3... m = ± 6 2 1 x1 x2 = − 4 BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: Cho hàm số y = x3 + (m + 2) x 2 − (m − 1) x + 2 a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu b) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại tại x = 3 2 c) Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 thỏa mãn x12 + x2 < 10 d) Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ đều nhỏ hơn −1 Bài 2: Cho hàm số y = 2 x3 − 3 ( m + 3) x 2 + 6 (... tìm BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: Cho hàm số y = x3 − 3(m + 1) x 2 + 9 x + m − 2 1 Tìm m để hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng ( d ) : y = x 2 Đ/s: m = 1 Bài 2: Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 − mx + 2 Tìm m để hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu và đường thẳng qua các điểm đó tạo với đường thẳng ( d ) : x + 4 y − 5 = 0 một góc 450 1 Đ/s: m = − 2 Bài 3: Cho hàm số y... x2 > 17 2 2 d) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ x1 ; x2 thỏa mãn 2 x1 + x2 = 12 ( 3m + 1) x 1 Bài 2: Cho hàm số y = x3 − − (2m 2 + m) x − 2 3 2 Tìm giá trị của m để a) hàm số có cực đại, cực tiểu b) hàm số đạt cực đại tại điểm x = 3 2 2 c) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ x1 ; x2 thỏa mãn x1 − x2 = 40 d) hàm số đạt cực đại, cực tiểu đồng thời các điểm cực đại,... ĐIỀU KIỆN VỀ SỐ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Hàm số có một cực trị khi y′ chỉ đổi dấu một lần, tức là − b ≤0 2a Hàm số có một cực trị khi y′ chỉ đổi dấu ba lần, tức là y′ = 0 có ba nghiệm phân biệt ⇔ − b >0 2a Ví dụ 1: Cho hàm số y = x 4 − 2mx 2 + 3m − 1 Tìm m để a) hàm số có 1 cực trị b) hàm số có 3 cực trị Hướng dẫn giải : x = 0 Ta có y = 4 x3 − 4mx = 4 x x 2 − m ⇒ y′ = 0 ⇔ 2 x = m a) Hàm số có một cực... http://trithuctoan.blogspot.com/ 2 13 Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 ∆′ = 4m 2 − m − 5 > 0 5 7 x1 < x2 < 1 ⇔ g (1) = −5m + 7 > 0 ⇔ < m < 4 5 S = 2m − 1 < 1 2 3 1 Bài 5: Cho hàm số y = x3 + mx 2 + (m + 6) x − 1 3 Tìm giá trị của m để a) hàm số có cực trị b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 thỏa mãn 1 1 x1 + x1 + = 3 x1 x2 c) hàm số đạt cực đại tại . CHUẨN KĨ NĂNG ĐẠI SỐ 01 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 08 3. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 36 4. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ 53 5. CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ 101 6. BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM. BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: Cho hàm số 3 2 ( 2) ( 1) 2.= + + − − +y x m x m x a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu. b) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại tại x = 3. c) Tìm m để hàm số. tr ị c ầ n tìm. BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: Cho ph ươ ng trình ( ) 2 1 2 1 0.− − + + =m x mx m http://trithuctoan.blogspot.com/ Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831