tuyển tập các bài tập hàm số - đồ thị

bài 1/ tính a/ lim 4 2 4sin.sin2sin x xxx b/ lim xx x sin. 2cos1 2 c/ lim x x 2sin cos1 2 d/ lim 3 sin x xtgx e/ lim gx x cot 2sin 2 f/ lim 2 7 cos1 x x g/ lim xx xx sin sin + (x ) h/ lim xx xx 2cos2sin1 2cos2sin1 + bài 2/ tìm a để hàm số : y= (a 2 - 1)x 3 /3 + (a+1)x 2 +3x+5 luôn luôn đồng biến bài 3/ tìm m để hàm số luôn đồng biến: y = 2mx- 2cos 2 x msinx.cosx + (cos 2 2x)/4 bài 4: cho f(x) = 11 22 ++++ xxxx cmr: f(x) là hàm số chẵn và khi x 0 thì f(x) đồng biến bài 5: tìm a để : y= -x 3 /3 + (a-1)x 2 + (a+3) x 4 đồng biến trong khoảng (0;3 ) bài 6: cmr với mọi a khác 0 hàm số : y = x(x-a) 2 không thể luôn đồng biến bài 7: cho y = 2 123 2 + +++ x aaxax với akhác 0 . tìm a để hàm số nghịch biến trong (-3, 2) U ( -2, -1 ) và đồng biến trong các khoảng còn lại bài 8: tìm m để y = - ( m 2 +5m )x 3 + 6mx 2 +6x 6 đơn điệu trên R , khi đó hàm đồng biến hay nghịch biến bài 9: tìm m để hàm số y = x 3 +3x 2 +mx +m nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 1 bài 10: cho y = x 3 - 3( a-1)x 2 +3a(a 2) x +1 . tìm a để hàm số đồng biến khi 1 | x | 2 bai 11: tìm a,b để parabol y = -x 2 +ax+b đi qua cực đại của đồ thị y = (x 2 - 2x + 2)/ (x 1) và tiếp xúc với tiệm cận xiên của đồ thị bài 12: xác định a,b,c để đồ thị y = x 3 + ax 2 + bx + c có tâm đối xứng là điểm (0,1 ) và đạt cực trị tại x= 1 bài 13: xác định điểm cố định của đồ thị: y = 2 4)6(2 2 + ++ mx xmx tìm điểm mà đờng cong : y = ( x 2 +mx +1)/ (x-1) đi qua với mọi m bài 14/ tìm điểm cố định của đồ thị: y = - x 3 +( m - |m| )x 2 + 4x 4(m - |m | ) bài 15: cho hàm số : y = x 3 (m+1)x 2 ( 2m 2 -3m +2)x +2m ( 2m 1 ) a/ tìm điềm cố định của hàm số b/ tìm m để đồ thị tiếp xúc với đờng thẳng y = - 49x + 98 bài 16/ cho y = -(m 2 +5m ) x 3 +6mx 2 +6x 6 tìm các điểm cố định của đồ thị . tiếp tuyến tại đó có cố định hay không bài 17/ tìm những điểm cố định của họ các đờng cong: y = mx 3 3mx 2 +2(m-1)x +2 . cmr: những điểm cố định đó thẳng hàng. từ đó suy ra họ đờng cong có chung một tâm đối xứng bài 18/ tìm để hai họ đờng cong y = x 3 +mx 2 2(m+1)x +m+3tg và y = mx 2 +2- m luôn đi qua một điểm cố định bài 19: tìm những điểm trên mặt phẳng toạ độ mà đồ thị hàm số y = ax aaxa + )42()2( 2 không thể đi qua với mọi a bài 20/ trên mặt phẳng toạ độ tìm những điểm mà đồ thị y = 4x 3 + (m+3)x 2 +mx không đi qua bài 21/ trên đờng thảng x=1 hãy chỉ ra tất cả những điểm mà không có đờng nào của đồ thị y = mx mmxm + ++ 2 )13( đi qua bài 22/ tồn tại hay không những điểm trên đồ thị y = x 3 +x/2 +1/3 những điểm có hoành độ và tung độ là những số nguyên bài 23/ tìm những điểm trên đò thị y = (x 2 4x )/(4x +2) có toạ độ là những số nguyên bài 24/ cmr. các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số y = x 2 /(x+1) là các điểm có các toạ độ đều nguyên, và không còn điểm nào khác nữa bài 25/ tìm trên đồ thị y = (x 2 +x 1)/ (x-1) những điểm cách đều hai trục toạ độ bài 26/ tìm trên mặt phẳng toạ độ sao cho có đúng hai đờng cong của họ: y= ( -x 2 + mx - m 2 )/(x- m) đi qua bài 27/tìm m sao cho trên đồ thị y = ( x 2 +x 1)/(x-1) có hai điểm A,B sao cho thoả mãn hệ: x A +y A = m x B +y B = m 1 bài 28/ cmr: trên parabol: y = x 2 +15 có hai điểm không thuộc đồ thị hàm số y = 2x 3 3(m+3)x 2 +18x+7 với mọi giá trị của m bài 29/ tìm các đờng tiệm cận của đồ thị y = x. 1 1 + x x bài 30/ cmr: với mọi m khác 0 , tiệm cận xiên đồ thị hàm số y = [ (m+1)x 2 m 2 ]/ (x-m) luôn tiếp xúc với một parabol cố định, bài 31/ tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số: y = x+ 1 2 ++ xx bài 32/ tìm m để đồ thị hàm số y= 2x 3 3(m+2)x 2 +6(m+1)x 3m+6 cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt bài 33/ tìm m để đồ thị hàm số y = x 3 -3(m+1)x 2 +2(m 2 +4m+1)x 4m(m+1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dơng bài 34/ tìm m để đồ thị y = x 3 +3x 2 +mx +1 cắt đờng thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0,1), D, E tìm m để tiếp tuyến của đồ thị tại D,E vuông góc với nhau bài 35/ tìm m để đờng thẳng y = m cắt đồ thị y = (x 2 + mx 1)/ (x-1) tại hai điểm A,B sao cho OA vuông góc với OB bài 36/ tìm k để đờng thẳng d đi qua điểm A (0,2 ) có hệ số góc là k cắt đồ thị y = ( 2x 2 + x) / (x-2) tại hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị bài 37/ tìm m để đồ thị của hàm số : y = - x 4 +2(m+1)x 2 2m 3 cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng bài 38/ tìm m để đồ thị hàm số : y = x 3 +(1-m)x 2 m 2 cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dơng bài 39/ tìm m để đờng thẳng ;y = mx 1 cắt đồ thị y = (x 2 x 1 )/ (x+1) tại hai điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh bài 40/tìm m để y = x 3 /3 mx 2 x +m +2/3 cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x 1 , x 2 , x 3 thoả mãn điều kiện x 1 2 +x 2 2 + x 3 2 > 15 bài 41/ tìm a để đồ thị hàm số y = ( x 2 x +1 ) / (x-1 ) tiếp xúc với parabol y = x 2 +a bài 42/ tìm k để mọi đờng thẳng y = kx+b không thể tiếp xúc với đồ thị hàm số y= x.(x-3) 2 bài 43/ cmr: đồ thị các hàm số sau luôn tiếp xúc với một đờng thẳng cố định a/ y = (2x 2 +mx 1)/( 3- 3mx ) b/ y = [2x 2 +(1-m)x+1+m]/(x-m) c/ y= [ (m+1)x+m]/(x+m) bài 44/ tìm những điểm trên trục ox kẻ đợc đúng một tiếp tuyến tới đồ thị hàm số y= x 3 +ax + b bài 45/tìm các điểm M trên đồ thị hàm số y= x 3 +ax 2 +bx+c sao cho qua M kẻ đợc duy nhất một tiếp tuyến tới đồ thị hàm số đó bài 46/ cho y= x 3 -3x 2 +2 ( c ) a/ qua điểm A(1,0) kẻ đợc mấy tiếp tuyến tới đồ thị c . viết phơng trình các tiếp tuyến ấy b/ cmr. không có tiếp tuyến nào khác của đồ thị c song song với tiếp tuyến nói trên bài 47/ tìm trên trục hoành điểm kẻ đợc 3 tiếp tuyến tới đồ thị hàm số y = - x 3 +3x+2 bài 48/ cho điểm A(x 0 , y 0 ) thuộc đồ thị y = x 3 -3x +1 (c) tiếp tuyến của (c) tại A cắt (c) tại B khác A tìm hoành độ điểm B theo x 0 bài 49/ tìm trên đồ thị y = 2x 3 + 3x 2 1 điểm mà tại đó hệ số góc của tiếp tuyến đạt giá trị nhỏ nhất bài 50/ tìm các điểm trên trục hoành mà từ đó vẽ đợc 3 tiếp tuyến của đồ thị y= x 3 +3x 2 trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau bài 51/ tìm m để dồ thị hàm số y= x 4 -2mx 2 +m 3 - m 2 tiếp xúc với ox tại hai điềm phân biệt bài 52/ cmr. đồ thị y = -x 4 +2mx 2 2m+1 luôn đi qua hai điểm A và B cố định , tim m để các tiếp tuyến tại A,B vuông góc với nhau bài 53/ cho y = ( x 2 +x+1) / x a/ viết phơng trình tiếp tuyến tại M ( a; (a 2 +a+1)/a ) tiếp tuyến đó cắt hai đờng tiệm cận tại A,B . cmr. M là trung điểm của AB b/ tính diện tích tam giác IAB với I là giao hai đờng tiệm cận . có kết luận gì về tích IA.IB bài 54/ tiêp tuyến với y = x+1/x cắt trục OX tại x = cắt trục OY tại y = . viết phơng trình tiếp tuyến ấy . biết . = 8 bài 55/ cmr. qua A(1;-1) kẻ đợc 2 tiếp tuyến với y = x+ 1/(x+1) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau bài 56/ tìm các điểm thuộc trục hoành từ dố chỉ vẽ đợc một tiếp tuyến duy nhất tới đồ thị hàm số y= (x 2 + x -1)/(x-1) bài 57/tìm điểm A trên trục tung để từ đó có thể kẻ đợc ít nhất một tiếp tuyến tới đồ thị y=x+2+1/(x+1) 2 bài 58/cmr. mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= (x 2 -2x +4)/(x-2) đều không đi qua giao điểm của hai đờng tiệm cận bài 59/ tìm M trên đồ thị y = (x 2 +x-2)/(x-2) sao cho tiếp tuyến tại M cắt các trục toạ độ tại A,B tạo thành tam giác vuông cân OAB với O là gốc toạ độ bài 60/tìm x 0 để với mọi m khác 0 tiếp tuyếntại x 0 của đồ thị y=[mx 2 +(m-1)x+m 2 +m]/(x-m) song song với một đờng thẳng cố định , tìm hệ số góc của đờng thẳng cố định ấy bài 61/ tìm só tiếp tuyến có thể có với đồ thị y = (x 2 +x+1)/(x+1) đi qua mỗi điểm thuộc đồ thị bài 62/ tìm trên đồ thị y= x+1 + 1/(x-1) điểm M có hoành độ > 1 sao cho tiếp tại điểm đó tạo với hai đờng tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất bài 63/ tìm các cặp điểm trên đồ thị y=x-1/(x+1) để các tiếp tuyến tại đó song song với nhau bài 64/ tìm tren đờng thẳng y=4 những điểm M mà từ mỗi điềm kẻ đợc tới đồ thị y = x 2 /(x-1) hai tiếp tuyến tạo với nhau góc 45 0 bài 65/ cmr. tiếp tuyến tại M tuỳ ý thuộc đồ thị y = (x 2 +3x+3)/(x+2) luôn tạo với các đờng tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi bài 66/ cmr. trên đồ thị y= (3x+2)/(x-1) không tồn tại điểm nào mà tại đó tiếp tuyến với đồ thị đi qua giao điểm của hai đờng tiệm cận bài 67/ tìm trên y = (3x+2)/(x+2) những điểm mà tiếp tuyến tại đó có hệ số góc bằng 4 bài 68/ tìm những điểm trên trục tung mà từ đó kẻ đợc 1 tiếp tuyến tới đồ thị y=(x+1)/(x-1) bài 69/ cho y=(x+1)/(x-1) a/ cmr. mọi tiếp tuyến của đồ thị C trên đều lập với hai đờng tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi b/ tìm các điểm thuộc đồ thị sao cho tiếp tuyến tại mỗi điểm đó lập với hai đờng tiệm cận một tam giác có chu vi bé nhất bài 70/ tìm a để từ điểm A(0,a) kể đợc hai tiếp tuyến đến y= (x+2)/(x-1) sao cho hai tiếp tuyến nằm về hai phía đói với trục OX bài 71/ tìm m để đồ thị y = [mx 2 +(m 2 +1)x +4m 3 +m]/(x+m) có một điểm cực trị thuộc góc phần t thứ II và điềm còn lại thuộc góc phần t thứ IV bài 72/ tìm m để hàm số y= (mx 2 +x+m)/(x+m) không có cực trị bài 73/ tìm m để đồ thị hàm số y = [x 2 +(m-1)x m+4]/(x-1) có cứcđại và cức tiểu, cmr. khoảng cách giữa hai điểm này không phụ thuộc m bài 74/ tìm m để hàm số y = [mx 2 +(2-m)x 2m-1]/(x-m) có cực trị , cmr. khi đó trên đồ thị luôn có hai điểm mà tiếp tuyến tới đồ thị tại hai điểm đó vuông góc với nhau bài 75/ cho y= ( x 2 -2x +m+2)/(x+m-1) tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu, viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm cực đại , cực tiểu bài 76/ với giá trị dơng nào của m thì hàm số y = (x 2 +m 2 x +2m 2 -5m+3)/x có hoành độ điểm cức tiểu nằm trong khoảng 0 < x < 2m bài 77/ cho đồ thị hàm số y= ( x 2 +mx m+8)/(x-1) (C) a/ viết phơng trình parabol đi qua điểm cực đại , cực tiểu của (C) và tiếp xúc với đờng thẳng 2x-y- 10=0 b/ tìm m để hai điểm cực trị của C ở về hai phía với đờng thẳng 9x-7y-1 = 0 bài 78/ cmr. hàm số y = (x 2 +mx+2m-3)/(x+2) luôn có cực trị với mọi m . tìm m để các điểm cực trị của đồ thị đối xứng nhau qua đờng thẳng x+2y+8=0 bài 79/ cho hàm số y = x 3 +2(m-1)x 2 +(m 2 -4m+1)x 2(m 2 +1) tìm m để y đạt cực đại , cực tiểu tại x 1 x 2 sao cho 1/x 1 + 1/x 2 = 1/ 2 bài 80/ biết hàm số y = ax 3 +bx 2 +cx+d có cực đại và cực tiểu tại x 1 x 2 cmr. 2 )3( )(' )(" 2 1 )(' )( < xf xf xf xf bài 81/ tìm m để hàm số y = x 3 +mx 2 +7x+3 có cực đại , cực tiểu . lập phơng trình đờng thẳng đi qua các điểm cực đại và cực tiểu 3 bài 82/ cho y = 1/3 ax 3 (a-1)x 2 +3(a-2)x +1/3 , tìm a để hàm số có cực đại , cực tiểu đồng thời hoành độ các điểm cực đại x 1 cực tiểu x 2 thoả mãn x 1 +2x 2 = 1 bài 83/ tìm a để y = 2x 3 +ã 2 -12x 13 có cực đại và cực tiểu và các điểm này cách đều trục tung bài84./ tìm m để đồ thị y = 2x 3 -3(2m+1)x 2 +6m(m+1)x +1 có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đờng thẳng y = x+2 bài 85/ cmr. hàm số y = x 3 /3 mx 2 x +m+1 luôn có cực đại A cực tiểu B , tìm m để AB nhỏ nhất bài 86/ tìm m để hàm số y = 2x 3 +3(m-3)x 2 +11 3m có hai cực trị . tìm m để các điểm cực trị và điểm B(0,1)thẳng hàng bài 87/ tìm m để y = x 4 + (m+3)x 3 +2(m+1)x 2 có cực đại . cmr. khi đó hoành độ cực đại không dơng bài 88/ tìm m để đồ thị hàm số y = -x 4 +2(m+2)x 2 2m 3 chỉ có cực đại , không có cực tiểu bài 89/ tìm m để hàm số y = x 4 2mx 2 +2m +m 4 có cực đại , cực tiểu đồng thời các điểm đó là các đỉnh của một tam giác đều bài 90/ tính khoảng cách từ gốc toạ độ đến tiệm cận xiên của đồ thị y = (x 2 cos + 2xsin +1)/ ( x-2) bài 91/ tìm trên đồ thị y = (x 2 -3)/(x-2) điểm M có tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất bài 92/ tìm M thuộc đồ thị y = (x-2)/(x+2) sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ là nhỏ nhất bài 93/ tìm M trên đồ thị y = (2x+1)/ (x-3) sao cho tổng các khoảng cách từ M đến hai đờng tiệm cận là nhỏ nhất bài 94/ tìm điểm M trên đồ thị y = ( x+2)/ (x-3) sao cho khoảng cách từ đó đến hai đờng tiệm cận là bằng nhau bài 95/tìm M thuộc đồ thị y = (x 2 +2x+2)/ (x+1) sao cho khoảng cách từ M đến trục hoành bằng hai lần khoảng cách từ M đến trục tung bài 96/tìm điểm M trên đồ thị y =(x 2 -x+1)/(x-1) sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai đờng tiệm cận là nhỏ nhất bài 97/ cmr. tích các khoảng cáchtừ điềm M tuỳ ý thuộc đồ thị y = (x 2 +3x-1)/(x-2) tới hai đờng tiệm cận luôn là một hằng số bài 98/ tìm điểm M trên đồ thị y =(x 2 +4x +5) /(x+2) có khoảng cách đến đờng thẳng y+3x+6=0 là nhỏ nhất bài 99/ tìm điểm M trên đồ thị y = (x 2 +2x-2)/ (x-1) sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm của hai đờng tiện cận là nhỏ nhất bài 100/ tìm m để y = (x 2 +2mx +2)/(x+1) có cực đại .cực tiểu và khoảng cách từ hai điểm đó đến đờng thẳng x+y+2 = 0 là bằng nhau bài 101/ tìm hai điểm E,F thuộc hai nhánh của đồ thị y =(x 2 +x-1) /(x-1) sao cho đoạn EF ngắn nhất bài 102/ cmr. đờng thẳng (d) qua điểm I(0,k) có hệ số góc là -1 luôn cắt đồ thị y = (2x+1)/(x+2) tại hai điểm phân biệt E,F tìm k để EF nhỏ nhất bài 103/ cho đờng cong y = 2x 4 3x 2 +2x +1 và đờng thẳng y = 2x-1 a/ cmr. hai đờng trên không cắt nhau b/ tìm A trên đờng cong có khoảng cách đến đờng thẳng là nhỏ nhất bài 104/ tìm tâm đối xứng của y=(x 2 -5x +100/(3-x) bài 105/ tìm m để đồ thị y = [2x 2 +(m-4)x 2m +1]/(x-2) nhận điểm A(2.1) là tâm đối xứng bài 106/ tìm m để đồ thị hàm số y = x 3 /3+x 2 +2mx+m 2 -1 có ít nhất một cặp điểm đối xứng nhau qua gốc toạ độ bài 107/ tìm các cặp điểm trên đồ thị y = (x 2 +x+2)/(x-1) và đối xứng nhau qua điểm I(0,5/2) BàI 108/ chứng tỏ đồ thị hàm số y = x 3 +2x 2 - 4x-3 cắt trục hoành tại điểm A(-3,0) . tìm điểm B đối xứng với điểm A qua tqqm đối xứng của đồ thị bài 109/ tìm m để đồ thị hàm số y =[x 2 +(m-1)x-m]/(x+1) cắt trục hoành tại hai điểm M 1 ,M 2 , cmr. hai điểm này không đối xứng nhau qua gốc toạ độ bài 110/ cmr. đồ thị y = (x-2)/(x+2) nhận đờng thẳng y= x+3 làm trục đối xứng bài 111/ a/ tìm hàm số có đồ thị đối xứng với y = -x 3 +3x 2 - 4x+2 qua đờng thẳng x=2 b/ tìm đờng cong đói xứng với đồ thị y= (x 2 +x+2)/(x-2) qua đờng thẳng y=2 c/ tìm hàm số có đồ thị đối xứng với đờng cong y=(3x+1)/(x-3) qua đừơng thẳng x+y-3=0 bài 112/ tìm m để đờng thẳng y=-x+m cắt đồ thị y = (x 2 -2x+2)/(x-1) tại hai điểm A,B đói xứng nhau qua đờng thẳng y= x+3 bài 113/ tìm ha điểm AB nằm trên đồ thị y= x 2 /(x-1) đối xứng nhau qua đờng thẳng y=x-1 bài 114/ tìm m để đồ thị y = [x 2 +(m-2)x+m+1]/(x+1) có hai điểm phân biệt AB sao cho 5x A y A +3 = 0 , 5x B y B +3 =0 tìm m để A đối xứng với B qua đờng thẳng x+5y+9 =0 4 bµi 115/ t×m m ®Ó ®êng th¼ng y=-x+m c¾t ®å thÞ y =(2x 2 -x+1)/(x-1) t¹i ai ®iÓm A,B t×m qu· tÝch trung ®iÓm I cña ®o¹n th¼ng AB bµi 116/ t×m m ®Ó ®å thÞ y = (x 2 -x-2)/(x-m) cã d¹ng kh«ng b×nh thêng bµi 117/ t×m quü tÝch ®iÓm cùc ®¹i cña ®å thÞ y =(x 2 +mx-2m-4)/(x+2) khi m thay ®æi 5 . có hệ số góc là k cắt đồ thị y = ( 2x 2 + x) / (x-2) tại hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị bài 37/ tìm m để đồ thị của hàm số : y = - x 4 +2(m+1)x. tiếp xúc với đồ thị hàm số y= x.(x-3) 2 bài 43/ cmr: đồ thị các hàm số sau luôn tiếp xúc với một đờng thẳng cố định a/ y = (2x 2 +mx 1)/( 3- 3mx ) b/ y