Bài tập Giải tích 12 Tích phân và các hàm số cơ bản26581

§5 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ CƠ BẢN TÍCH PHÂN TỰ LUẬN ĐỦ CÁC DẠNG V CÓ B I TẬP TỰ LUYỆN PHÂN THEO B I HỌC TRONG SGK CẦN FILE WORD 200 TRANG – GIÁ 300K Liên hệ tác giả HUỲNH ĐỨC KHÁNH ĐT: 0975120189 https://www.facebook.com/duckhanh0205 A Các dạng tốn………………………………………………… … 00 Dạng Tích phân hàm hữu tỷ………… ……………… …… 00 Dạng Tích phân hàm vơ tỷ………………………… ……… 00 Dạng Tích phân hàm lượng giác….… ……………… …… 00 Dạng Tích phân hàm logarit…….………………… ……… 00 Dạng Tích phân hàm số mũ….……… ……………… …… 00 Dạng Tích phân chứa trị tuyệt đối… …………… ……… 00 Dạng Tích phân chứa nhiều hàm số….……………… …… 00 B Bài tập tương tự………………………………………………… 00 Dạng Tích phân hàm hữu tỷ………… ……………… …… 00 Dạng Tích phân hàm vơ tỷ………………………… ……… 00 Dạng Tích phân hàm lượng giác….… ……………… …… 00 Dạng Tích phân hàm logarit…….………………… ……… 00 Dạng Tích phân hàm số mũ….……… ……………… …… 00 Dạng Tích phân chứa trị tuyệt đối… …………… ……… 00 Dạng Tích phân chứa nhiều hàm số….……………… …… 00 ThuVienDeThi.com A CÁC DẠNG TOÁN DẠNG TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ Tích phân dạng P (x ) ∫ Q ( x ) dx , với P ( x ) Q ( x ) đa thức Trong bậc P ( x ) nhỏ bậc Q ( x ) Ngược lại ta lấy P ( x ) chia cho Q ( x ) Trong chương trình phổ thơng ta xét dạng sau: Bài tốn Mẫu nhị thức bậc Q ( x ) = ax + b, (a ≠ 0) Suy P ( x ) số Khi tích phân cần tính có dạng A ∫ ax + b dx = A.∫ ax + b dx = A a ln ax + b Bài Tính tích phân sau: x −1 a) I = ∫ dx x + a) Ta có I = ∫ x −1 dx = ∫ x +1 b) I = ∫ x + 3x + dx x +1 Lời giải  ( x + 1) − 3  dx =∫ 2 −  dx   x +1 x + = (2 x − ln x + ) = − ln Vậy I = − ln x + 3x + b) Ta có = x +2+ x +1 x +1 2   x + 3x + Do I = ∫ dx = ∫  x + +  dx   x +1 x + 1 0 x2  =  + x + ln x +  = + ln   Vậy I = + ln ThuVienDeThi.com Bài toán Mẫu tam thức bậc hai Q ( x ) = ax + bx + c , (a ≠ 0) Suy P ( x ) số hay bậc ● Trường hợp ax + bx + c = có hai nghiệm phân biệt x1 , x phân tích P (x ) Q (x ) A B + x − x1 x − x = Sau dùng phương pháp hệ số bất định để tìm A B ● Trường hợp ax + bx + c = có nghiệp kép x P (x ) Q (x ) ▪ = P (x ) a (x − x0 ) b 2a Nếu P ( x ) số A ∫ a (x − x ▪ với x = − ) dx = A A  −1  d x  =  a ∫ ( x − x )2 a ( x − x ) Nếu P ( x ) hàm bậc Ax + B ∫ a (x − x ) dx = A ( x − x ) + B + Ax dx a∫ (x − x0 )   1  A d x + B + Ax d x ( ) ∫  a  ∫ x − x ( x − x )   ● Trường hợp ax + bx + c = vơ nghiệm P (x ) P (x ) b ∆ = với m = , n = − > Q ( x ) a (x + m) + n 2a 4a = ▪ Nếu P ( x ) số A ∫ a (x + m) + n2 dx = A ∫ a (x + m) + n2 n tan t a Nếu P ( x ) hàm bậc Đặt x + m = ▪ ∫ A Ab (2ax + b ) + B − Ax + B a dx dx = ∫ a ax + bx + c ax + bx + c = 2ax + b A dx ∫ 2a ax + bx + c ThuVienDeThi.com dx  Ab  +  B −  ∫ dx  2a  a ( x + m )2 + n Bài Tính tích phân sau: a) I = ∫ 2 5x + dx x + x −2 x3 dx x −1 b) I = ∫ Lời giải 5x + 5x + = x + x − ( x −1)( x + 2) 5x + A B = + Ta phân tích ( x −1)( x + 2) x −1 x + a) Ta có = A ( x + ) + B ( x −1) ( x −1)( x + 2) = (A + B) x + 2A − B ( x −1)( x + 2)  A + B =  A = Đồng hai vế ta  ⇔  2 A − B = B = 3 3 dx dx Do I = ∫ + 3∫ = (2 ln x −1 + ln x + ) = ln − ln x −1 x +2 2 Vậy I = ln − ln 2 b) Ta có I = ∫ xdx + ∫ 0 x x dx = + ∫ dx = + A x −1 x −1 A ( x + 1) + B ( x −1) x A B = + = x −1 x − x + ( x −1)( x + 1)  A + B = 1 ⇔ A=B= Đồng hai vế ta   A − B = Ta phân tích 2 1 1 dx + ∫ dx = ln x −1 ∫ x −1 x +1 1 Vậy I = + A = + ln 8 Khi A = + ln x + 2 = Bài Tính tích phân sau: x − x − x − x − 3x −19 3x + x − a) I = ∫ dx b) I = ∫ dx x − 3x − x −1 Lời giải ThuVienDeThi.com ln x − x − x − x − x −19 x −19 = x3 + x + 2 x − 3x − x − 3x − x −19 x −19 A B = = + Phân tích 2 x − 3x − (2 x − 5)( x + 1) x − x + a) Ta có Đồng hai vế ta A = −4 , B = 1 1 dx + 3∫ dx Do I = ∫ ( x + x ) dx − ∫ x − x + 0 x4 x2 = + − ln x − 1 + ln x + = + ln − ln + ln + ln − ln + ln 3x + x − 2 = 3x + + b) Ta có x −1 x −1 3 3x + x − 2 Do I = ∫ dx = ∫ (3 x + 4) dx + ∫ dx x −1 x −1 2 Vậy I = 3 ● A = ∫ (3 x + 4) dx = ( x + x ) = 23 2 x −1 dx = ln x −1 x +1 Vậy I = A + B = 23 + ln ● B=∫ 3 = ln 2 Bài Tính tích phân sau: a) I = ∫ ( x −1) + dx ( x + 1) b) I = ∫ x + 3x − 3x + ( x + 1) Lời giải ( x −1) + ( x + 1) − x + ( x + 1) − ( x + 1) + = = a) Ta có 2 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) Do I = ∫ 2 1 ( x −1) + 1 dx dx dx dx = − + 2 ∫ ∫ ∫ + x + x ( x + 1) ( ) 0   =  x − ln x + −  = − ln  x + 1 Vậy I = − ln ThuVienDeThi.com dx b) Ta có x + 3x − 3x + ( x + 1) ( x + 1) − ( x + 1) + = ( x + 1) Do I = ∫ ( x + 1) dx − ∫ 0 1 dx + ∫ dx x +1 x + ( ) x2   = − ln =  + x − ln x + −   x + 1 Vậy I = − ln 2 Bài Tính tích phân sau: a) I = ∫ x + 2x + 4x + dx x2 +4 b) I = ∫ x + x −1 dx x − 2x + Lời giải x + 2x + x + = x +2+ a) Ta có x +4 x +4 2 Do I = ∫ ( x + ) dx = ∫ dx x +4 0 2 x2  dx  =  + x  + ∫ =6+A   + x 0 Tính A = ∫ dx Đặt x = tan t , suy dx = (1 + tan t ) dt x +4  x = ⇒ t =  Đổi cận:   x = ⇒ t = π  π Suy A = ∫ (1 + tan t ) dt π π dt t π = = 20 =∫ tan t + π Vậy I = + A = + 3 x + x −1 x + 31 b) Ta có = 3x + − x − 2x + x − 2x + 3 x + 31 dx Do I = ∫ (3 x + ) dx − ∫ x − 2x + 1  3x  3 x + 31  = + x  − ∫ dx = 24 − A   − + x x ThuVienDeThi.com Tính A = ∫ dx = (1 + tan t ) dt  dx Đặt x −1 = tan t ⇒   x = + tan t ( x −1) +  x + 31  x = ⇒ t = Đổi cận:   x = ⇒ t = π  π tan t + 32 + tan t ) dt ( tan t + Suy A = ∫ π = ∫ (tan t + 16 ) dt = (− ln cos t + 16t ) Vậy I = 24 − A = 24 − π + ln π = − ln + 4π 2 Bài toán Mẫu đa thức bậc ba Q ( x ) = ax + bx + cx + d , (a ≠ 0) ● Trường hợp ax + bx + cx + d = có ba nghiệm phân biệt x1 , x , x phân tích P (x ) Q (x ) = A B C + + x − x1 x − x x − x ● Trường hợp ax + bx + cx + d = có nghiệm đơn x1 nghiệm kép x phân tích P (x ) Q (x ) = P (x ) a ( x − x1 )( x − x ) = A B C + + x − x1 x − x ( x − x )2 ● Trường hợp ax + bx + cx + d = có nghiệm đơn x phân tích P (x ) Q (x ) = P (x ) ( x − x )(ax + mx + n) = A Bx + C + x − x ax + mx + n Bài Tính tích phân sau: a) I = ∫ x ( x −1) dx b) I = ∫ Lời giải a) Cách Phương pháp hệ số bất định 1 A B C Ta có = = + + x ( x −1) x ( x − 1)( x + 1) x x −1 x + 1 Đồng hau vế ta A = −1, B = , C = 2  1   1+  Do I = ∫ − +  x ( x −1) ( x + 1) dx   ThuVienDeThi.com x +1 dx x ( x − 4)  ln x −1 ln x +   = ln − ln = − ln x + +  2  2  Cách Phương pháp ghép tách (thêm bớt) x − ( x −1) 1 x Ta có = = − 2 x −1 x x ( x −1) x ( x −1) Do I = ∫ Tính A = ∫ xdx − ∫ dx =A − ln x x −1 x = A − ln + ln 2 xdx Đặt t = x −1 , suy dt = xdx ⇒ xdx = dt 2 x −1  x = ⇒ t = Đổi cận:   x = ⇒ t = 8 dt Suy A = ∫ = ln t t 1 ln − ln = ln − ln 2 2 Vậy I = A − ln + ln = ln − ln 2 b) Ta có = x +1 x +1 A B C = = + + x ( x − ) x ( x − )( x + ) x x − x + Đồng hai vế ta A = − , B = , C = − 8   dx Do I = ∫ − + −  x x − x + 8 ( ) ( )    ln x ln x − ln x +  1  = − ln + ln + ln = − + −  8 8  1 Vậy I = − ln + ln + ln 8 Bài Tính tích phân sau: a) I = ∫ −x + x + ( x −1)( x + 2) dx b) I = ∫ Lời giải −x + x + A B C = + + a) Ta có 2 ( x −1)( x + 2) x −1 x + ( x + 2) Đồng hai vế ta A = 1, B = −2, C = ThuVienDeThi.com x + 3x + dx ( x −1)( x + 2) Do I = ∫ 3 dx dx dx − 2∫ + 3∫ x −1 x +2 2 ( x + 2)   = ln x −1 − ln x + − = + ln − ln   x +  20 + ln − ln 20 x + 3x + x + 3x + A B C b) Ta có = = + + ( x −1)( x + 2) ( x −1)( x + 1)( x + 2) x −1 x + x + Vậy I = 3 Đồng hai vế ta A = , B = − , C = 2   3  Do I = ∫  − + dx x − x + x + ( ) ( )     ln x −1 ln x +  −7 ln + ln + ln  =  − + ln x +  = 2   Vậy I = −7 ln + ln + ln Bài Tính tích phân sau: a) I = ∫ 3x +1 dx x − x − 5x + b) I = ∫ x + 2x − dx x − x + 12 x − Lời giải 3x + 3x +1 A B C = = + + a) Ta có x − x − x + ( x + 2)( x − 3)( x −1) x + x − x −1 13 14 Đồng hai vế ta A = , B = , C = − 15 5  13 14  dx Do I = ∫  + −  15 x + x − 3 x −1  13  14 =  ln x + + ln x − − ln x −1  15 4 13 14 = − ln + ln + ln 3 15 13 14 Vậy I = − ln + ln + ln 3 15 x + 2x −5 24 x − 62 x + 43 b) Ta có = + + x x − x + 12 x − x − x + 12 x − ThuVienDeThi.com 5 Do I = ∫ ( x + ) dx = ∫ 3 24 x − 62 x + 43 dx x − x + 12 x − x  24 x − 62 x + 43 dx = 20 + A =  + x  + ∫   x − ( ) 3 Tính A = ∫ 24 x − 62 x + 43 ( x − 2) 3 dt = dx dx Đặt t = x − ⇒   x = t +  x = ⇒ t = Đổi cận:   x = ⇒ t = 3 24 (t + ) − 62 (t + 2) + 43 24 t + 34 t + 15 = Suy A = ∫ dt dt ∫ t3 t3 1  24 34 15   34 15  88 = ∫  + +  dt = 24 ln t − −  = 24 ln +  t  2t  t t  t Vậy I = 20 + A = 24 ln + 148 Bài tốn Mẫu đa thức có bậc lớn Bài Tính tích phân sau: a) I = ∫ dx ( x + x + 2) b) I = ∫ dx x + 4x + Lời giải a) Ta có ( x + x + 2) = ( x + 1) ( x + 2) 2 = A B C D + + + x + ( x + 1) x + ( x + )2 A ( x + 1)( x + ) + B ( x + 2) + C ( x + 1) ( x + ) + D ( x + 1) = 2 ( x + 1) ( x + 2) 2  A + C =  A = −2   A + B + 4C + D = B =1  ⇔  Đồng hai vế ta  8 A + B + 5C + D = C =   4 A + B + 2C + D =  D = 1 1 dx dx dx dx +∫ + 2∫ +∫ Do I = −2 ∫ x + ( x + 1) x + ( x + 2)2 0  1  = −2 ln x + − + ln x + −  = − ln + ln  x +1 x +  ThuVienDeThi.com Vậy I = − ln + ln 3 dx Ax + B Cx + D = = + b) Ta có 2 x + x + ( x + 1)( x + 3) x +1 x +3  A + C =   A = C = B + D =  Đồng hai vế ta  ⇔  3 A + C = B = D =   3B + D = 1 1 1 1 dx dx dx = ∫ − ∫ = A− B Do I = ∫ 2 x + 1)( x + 3) x + x + ( ● Tính A = ∫ dx Đặt x = tan t , suy dx = (1 + tan t ) dt x +1  x = ⇒ t = 4 + tan t π  Suy A = ∫ dt = dt = t Đổi cận:  π π = ∫  x = ⇒ t = + tan t 4 0  dx ● Tính B = ∫ Đặt x = tan t , suy dx = (1 + tan t ) dt x +3 π π  x = ⇒ t = Đổi cận:  π  x = ⇒ t =  π Suy B = ∫ (1 + tan t ) + tan t π dt = ∫ π 1 π dt = t = 3 1 1  Vậy I = A − B = π  −   12  2 Bài 10 Tính tích phân sau: 1− x a) I = ∫ dx x x + ( ) a) Ta có I = ∫ 1− x dx = ∫ x (1 + x ) b) I = ∫ x 2011 (1 + x ) 1007 dx Lời giải (1− x ) x dx x (1 + x ) Đặt t = x , suy dt = x dx ⇒ x dx = dt Đổi cận: ThuVienDeThi.com  x = ⇒ t =   x = ⇒ t = 128 128 128 128 1− t 1 + t − 2t 1  Do I = ∫ dt = ∫ dt = ∫  − dt t (1 + t ) t (1 + t )  t t + 1 128 ln128 − ln129 + ln ln − ln129 = (ln t − ln t + ) = = 7 ln − ln129 Vậy I = 2 x 2011 x 2014 dx = ∫ dx = ∫ dx b) Ta có I = ∫ 1007 1007 1007  3 (1 + x ) x (1 + x ) x 1 +   x  dx Đặt t = + , suy dt = − dx ⇒ = − dt x x x  x = ⇒ t =  Đổi cận:   x = ⇒ t =  dt dt Do I = − ∫ 1007 = ∫ 1007 = − 2 t t 2012t 1006 Vậy I = − 41006 + 2012.21006 2012.51006 ThuVienDeThi.com =− 41006 + 2012.21006 2012.51006 DẠNG TÍCH PHÂN HÀM VƠ TỶ Bài tốn Dạng ∫ R (x, n ) f ( x ), m f ( x ) dx Phương pháp: Đặt t = k f ( x ) với k bội chung nhỏ m n Bài Tính tích phân sau: 64 a) I = ∫ dx x + x 1− x + dx + x +1 −1 b) I = ∫ Lời giải a) Đặt t = x ⇒ t = x , suy 6t dt = dx  x = ⇒ t = Đổi cận:   x = 64 ⇒ t = 6 Khi I = ∫  6t 5dt 6t dt  = = ∫ 6t − +  dt ∫  t +t t +1 t + 1 1 2 = (3t − 6t + ln t + ) = + ln Vậy I = + ln b) Đặt t = x + ⇒ t = x + , suy 6t 5dt = dx  x = −1 ⇒ t = Đổi cận:   x = ⇒ t = 1 Khi I = ∫ 1 1− t −6 t + t 6t dt = ∫ t +1 1+ t  6t  = ∫ −6t + 6t + 6t − 6t − 6t + + −  dt   t t + + 1 1  6t 6t 3t  t  = − + + − 2t − 3t + 6t  + ∫ dt − ∫ dt  t +1 t +1  0 199 + A − B 70 t du ● Tính A = ∫ dt Đặt u = t + , suy du = 2tdt ⇒ = tdt t +1 = t = ⇒ u = 1 du Đổi cận:  Suy A = ∫ = ln u t = ⇒ u = 2 u 2 ThuVienDeThi.com = ln 2 1 dt Đặt t = tan u , suy dt = (1 + tan u ) du t +1 ● Tính B = ∫ t = ⇒ u = 4 (1 + tan u)  Đổi cận:  Suy B = ∫ du = ∫ du = u t = ⇒ u = π tan u + 0  199 199 3π Vậy I = + A − 6B = + ln − 70 70 π Bài toán Dạng thường gặp ∫ R ( f ( x ), π n π = ) f ( x ) f ' ( x )dx Phương pháp: + Đặt t = n f ( x ) + Đổi cận suy tích phân theo biến t Bài Tính tích phân sau: a) I = ∫ x b) I = ∫ x x + 1dx 3 x + 1dx −1 Lời giải a) Đặt t = x + ⇒ t = x + , suy 2tdt = x dx ⇒ tdt = x dx  x = ⇒ t = Đổi cận:   x = ⇒ t = 3 2t 52 = Vậy I = ∫ t dt = 9 3t dt = dx b) Đặt t = x + ⇒ t = x + , suy   x = t −1   x = −1 ⇒ t = Đổi cận:   x = ⇒ t = 1  t t  Vậy I = ∫ (t −1) t 3t dt = 3∫ (t − t ) dt =  −  = −  0 28 1 Bài Tính tích phân sau: a) I = ∫ ( x + 1)( x + x + 2) x + x + 2dx 2 b) I = ∫ x x + 4dx Lời giải ThuVienDeThi.com π a) Đặt t = x + x + ⇒ t = x + x + , suy tdt = ( x + 1) dx  x = ⇒ t = Đổi cận:   x = ⇒ t =  5 t5 Vậy I = ∫ t t.tdt = ∫ t dt = 2 = 25 − tdt = xdx b) Đặt t = x + ⇒ t = x + , suy   x = t −  x = ⇒ t = Đổi cận:   x = ⇒ t =  1 Khi I = ∫ x x + dx = ∫ x 2 x + 4.xdx = ∫ (t − 4) t tdt 2  t t   = ∫ (t − t ) dt =  −   Vậy I = − =− 5 64 + 15 5 64 + 15 Bài Tính tích phân sau: a) I = ∫ 3x + 1 dx x2 b) I = ∫ x 1− x + dx 3+ x Lời giải 2 3x + x 3x + dx = ∫ dx x x 1  2tdt = x dx  tdt = x dx 9  Đặt t = x + ⇒ t = 3x + , suy  t −1 ⇒   x =  t −1   x = 3   x = ⇒ t = Đổi cận:   x = ⇒ t = a) Ta có I = ∫ 3x + dx = ∫ x2 5 2    t −1  t2 Khi I = ∫ = + ln dt = ∫ 1 + dt = t + ln     t −1  t −1  t +  Vậy I = + ln ThuVienDeThi.com 2tdt = −dx −2tdt = dx b) Đặt t = − x ⇒ t = − x , suy  ⇒  x = − t x = − t  x = ⇒ t = Đổi cận:   x = ⇒ t = 0 Khi I = −∫ (1 − t ) t + −t2 1 2tdt = ∫ −4 t + t + t dt −t2   2 t − 48  11 13    = ∫ 4 t + 12 + −  dt  dt = ∫ 4 t + 12 −  − t + t  (2 − t )(2 + t )  1  4t  40 =  + 12t + 11ln − t −13 ln + t  = + ln −13 ln   Vậy I = 40 + ln −13 ln 3 Bài Tính tích phân sau: a) I = ∫ 2 x − 2x 1− x b) I = dx ∫ x x −1 + x + Lời giải a) Ta có I = ∫ x − 2x 1− x dx = ∫ ( x − 2) x 1− x dx 2tdt = −2 xdx −tdt = xdx ⇒  Đặt t = − x ⇒ t = − x , suy   x = − t  x = − t  x = ⇒ t =  Đổi cận:   x = ⇒ t =  2 Khi I = −∫ Vậy I = − (−1− t ) t t3 1 19 tdt = ∫ (t + 1) dt =  + t  = −   24 19 24 2tdt = xdx tdt = xdx b) Đặt t = x + ⇒ t = x + , suy  ⇒   x = t −1 x = t −1  x = ⇒ t = Đổi cận:   x = 2 ⇒ t = ThuVienDeThi.com dx Khi I = ∫     dt +  t −1 t +  t t dt = ∫ dt = ∫ t −2 +t (t −1)(t + 2) 1 = (ln t −1 + ln t + ) = (2 ln − ln 2) 3 Vậy I = (2 ln − ln 2) Bài Tính tích phân sau: a) I = ∫ ( x −1) x − 3x + x b) I = ∫ x − x dx x − x +1 dx Lời giải 1 a) Ta có I = ∫ ( x −1) 2 x − x ( x −1) dx = ∫ ( x − x + 1) x − x ( x −1) dx 0 Đặt t = x − x ⇒ t = x − x 2tdt = (2 − x ) dx −tdt = ( x −1) dx Suy  ⇒   x − x = −t  x − x = −t    x = ⇒ t = Đổi cận:   x = ⇒ t = 2 t5 t3  Khi I = −∫ (−t + 1) t.tdt = ∫ (t − t ) dt =  −  = −   15 0 1 2 b) Ta có I = ∫ x − 3x + x dx = ∫ ( x − x )(2 x −1) dx x − x + 0 2tdt = (2 x −1) dx Đặt t = x − x + ⇒ t = x − x + , suy   x − x = t −1   x = ⇒ t = Đổi cận:   x = ⇒ t =  x − x +1 Khi I = ∫ (t −1) t t3   tdt = ∫ (t −1) dt =  − t    3 1 = Bài Tính tích phân sau: a) I = ∫ 4−x2 dx x b) I = ∫ Lời giải ThuVienDeThi.com dx x x2 +4 2 4−x2 dx = ∫ x 4−x2 xdx x 2tdt = −2 xdx −tdt = xdx Đặt t = − x ⇒ t = − x , suy  ⇒   x = − t  x = − t  x = ⇒ t = Đổi cận:   x = ⇒ t =  a) Ta có I = ∫ Khi I = −∫ 3 t t2 t2 tdt dt = = − ∫ −t2 ∫ t − dt 4−t2 0 3     1 + −  dt dt = −∫ 1 + = −  ∫  t −   t − t +  0 = −(t + ln t − − ln t + ) = − + ln Vậy I = − + ln b) Ta có I = ∫ 2+ 2− 2+ = − + ln + 2− dx x x2 +4 ( = ∫ xdx x2 x2 +4 ) 2 xdx = 2tdt  xdx = tdt ⇒ Đặt t = x + ⇒ t = x + , suy   x = t −  x = t −  x = ⇒ t = Đổi cận:   x = ⇒ t =  4 (t + ) − ( t − ) tdt dt Khi I = ∫ =∫ = ∫ dt − + − 4 2 t t t ( )( ) − t t ( ) 3  1  1 = ∫  −  dt = (ln t − − ln t + ) = ln  t −2 t + 2 4 3 Vậy I = ln Bài Tính tích phân sau: a) I = ∫ 3 x −x dx x4 3 b) I = ∫ Lời giải ThuVienDeThi.com dx x3 2− x3 a) Ta có I = ∫ 3 1  x  −1  x  dx = ∫ x4 x−x dx = ∫ x4 3 −1 x2 dx x3 1 −2dx 3t dx − ⇒ t = − , suy t dt = ⇒ − dt = 2 x x x x   x = ⇒ t = Đổi cận:    x = ⇒ t = Đặt t = 2 3 3t = Khi I = − ∫ t t dt = ∫ t dt = 2 3 b) Ta có I = ∫ Đặt t = dx x3 2− x3 x dx =∫ x 2− x3 x 2−x3 2− x3 −2 t 2 ⇒ t3 = , suy x = ; x dx = dt x x3 t +1 t + ( ) Đổi cận: x = ⇒ t = ; 3 Khi I = ∫ x=3 −2 t (t + 1) 3 dt = ∫ ⇒t = t t2 dt = 3 = −1 43   1   t  t + 1 Nhận xét Bài có phân tích đặc biệt khéo léo sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ Nói chung thuộc dạng khó nên mang tính chất tham khảo thêm Bài toán Dạng dx ∫ ax + b + cx + d Phương pháp: Đặt t = cx + d , đưa dạng P (x ) ∫ Q ( x ) dx Bài Tính tích phân sau: a) I = ∫ x −3 dx x +1 + x + b) I = ∫ ThuVienDeThi.com x +1 dx + x +1 Lời giải 2tdt = dx a) Đặt t = x + ⇒ t = x + , suy   x = t −1  x = ⇒ t = Đổi cận:   x = ⇒ t = 2 2 (t − ) t − 8t Khi I = ∫ dt = ∫ (2t − ) dt + ∫ dt 2tdt = ∫ t t t t t + + + + + 1 1 = (t − 6t + ln t + ) = −3 + ln Vậy I = −3 + ln 2tdt = 2dx tdt = dx   2 b) Đặt t = x + ⇒ t = x + , suy  ⇒   x = t −1  x + = t +   2  x = ⇒ t = Đổi cận:   x = ⇒ t = 3 (t + 1) t   Khi I = ∫ dt = ∫ t − t + −  dt 1+ t  + t   t3 t 13 =  − + 2t − ln + t  = − ln  2 3  Vậy I = 13 − ln Bài 10 Tính tích phân sau: a) I = ∫ x2 dx ( x + 1) + x + + x x + b) I = ∫ dx x +1+ x +1 Lời giải 2tdt = dx a) Đặt t = x + ⇒ t = x + , suy   x = t −1  x = ⇒ t = Đổi cận:   x = ⇒ t = 2 (t −1) (t −1) I =∫ dt 2tdt = ∫ 2t + 2t + (t −1) t 2t + + (t −1) 1 2 2 t3  (t −1) 2   dt = ∫ (t −1) dt =  − t + t  = = 2∫   3 (t + 1) 2 Khi ThuVienDeThi.com ... x = ⇒ t = 128 128 128 128 1− t 1 + t − 2t 1  Do I = ∫ dt = ∫ dt = ∫  − dt t (1 + t ) t (1 + t )  t t + 1 128 ln128 − ln129 + ln ln − ln129 = (ln t − ln t + ) = = 7 ln − ln129 Vậy I... = − ∫ 1007 = ∫ 1007 = − 2 t t 2012t 1006 Vậy I = − 41006 + 2 012. 21006 2 012. 51006 ThuVienDeThi.com =− 41006 + 2 012. 21006 2 012. 51006 DẠNG TÍCH PHÂN HÀM VƠ TỶ Bài toán Dạng ∫ R (x, n ) f ( x ),... ta xét dạng sau: Bài toán Mẫu nhị thức bậc Q ( x ) = ax + b, (a ≠ 0) Suy P ( x ) số Khi tích phân cần tính có dạng A ∫ ax + b dx = A.∫ ax + b dx = A a ln ax + b Bài Tính tích phân sau: x −1 a)