Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải bài tập tính tích phân và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC TRẦN NGỌC QUYẾT THẮNG RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KỸ NĂNG GIẢI BÀI TẬP TÍNH TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HÀ NỘI – 2021 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC TRẦN NGỌC QUYẾT THẮNG RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KỸ NĂNG GIẢI BÀI TẬP TÍNH TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN CHUYÊN NGÀNH: LÍ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MƠN TỐN Mã số: 8.14.02.09.01 Người hướng dẫn khoa học: TS Phạm Quang Hưng HÀ NỘI – 2021 LỜI CẢM ƠN Lời em xin chân thành cảm ơn thầy cô trƣờng Đại học Giáo dục giảng dạy, giúp đỡ, cung cấp tài liệu bổ ích tạo điều kiện thuận lợi cho em học tập nghiên cứu suốt năm học vừa qua, giúp em có đủ kỹ kiến thức để hoàn thành đƣợc đề tài Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy TS Phạm Quang Hƣng tận tình hƣớng dẫn, giải đáp khúc mắc, động viên, giúp đỡ em nhiều q trình nghiên cứu hồn thành đề tài Mặc dù có cố gắng, nhiên đề tài luận văn không tránh khỏi thiếu sót, kính mong nhận đƣợc đóng góp nhiệt tình q thầy bạn để đề tài đƣợc hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 30 tháng 11 năm 2020 Tác giả Trần Ngọc Quyết Thắng i DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT Số thứ tự Viết tắt Viết đầy đủ PPDH Phƣơng pháp dạy học TH Trƣờng hợp THPT Trung học phổ thông GV Giáo viên HS Học sinh ii DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 1.1 Đánh giá độ khó tốn tích phân 14 Bảng 1.2 Đánh giá mức độ linh hoạt, nhạy bén học sinh 14 Bảng 1.3 Đánh giá thời lƣợng dành cho việc rèn luyện kỹ tính tích phân ứng dụng cho học sinh 14 Bảng 1.4 Đánh giá độ khó tốn tích phân ứng dụng 15 Bảng 1.5 Đánh giá mức độ kỹ đạt đƣợc học sinh 15 Bảng 1.6 Đánh giá thời gian dành cho việc rèn luyện kỹ tính tích phân ứng dụng lớp 15 Bảng 2.1 Nguyên hàm số hàm số thƣờng gặp 17 Bảng Một số thông tin học sinh lớp đối chứng – lớp thực nghiệm 66 Bảng 3.2 Điểm kiểm tra lần 68 Bảng 3.3 Các tham số đặc trƣng kiểm tra lần 69 Bảng Điểm kiểm tra lần hai 70 Bảng 3.5 Các tham số đặc trƣng kiểm tra lần hai 70 iii DANH MỤC CÁC HÌNH VÀ BIỂU ĐỒ Hình Hình 2.1 Hình phẳng giới hạn đƣờng cong trục hồnh 20 Hình 2.2 Hình phẳng giới hạn hai đƣờng cong 20 Hình 2.3 Mặt cắt vật thể 20 Hình 2.4 Khối trịn xoay 21 Biểu đồ Biểu đồ 3.1 Điểm hai lớp sau thực nghiệm 69 Biểu đồ 3.2 Đƣờng tích lũy kết kiểm tra lần hai lớp 69 Biểu đồ 3 Điểm hai lớp sau thực nghiệm 71 Biểu đồ 3.4 Đƣờng tích lũy kết kiểm tra lần hai hai lớp 71 iv MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN i DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ii DANH MỤC CÁC BẢNG iii DANH MỤC CÁC HÌNH VÀ BIỂU ĐỒ iv MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Lịch sử nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Khách thể đối tƣợng nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu Vấn đề nghiên cứu Giả thuyết nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu 10 Cấu trúc luận văn CHƢƠNG CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Lý luận dạy học giải tập toán 1.1.1 Mục đích 1.1.2 Vai trò 1.1.3 Ý nghĩa 1.1.4 Chức giải tập toán 1.2 Kỹ kỹ giải toán 1.2.1 Khái niệm kỹ 1.2.2 Kỹinăngigiảiitoán 1.2.3 Vai trị kỹ giải tốn 1.2.4 Phân loại kỹ mơn Tốn 1.2.5 Các mức độ kỹ giải toán 10 v 1.3 Phân tích chƣơng trình nội dung phần ngun hàm - tích phân ứng dụng 11 1.4 Thực trạng việc dạy học Toán, rèn luyện kỹ tính Tích phân ứng dụng số trƣờng trung học phổ thông 12 1.4.1 Thực trạng việc dạy học Toán số trƣờng trung học phổ thông địa bàn huyện Mỹ Đức - Hà Nội 12 1.4.2 Thực trạng việc rèn luyện cho học sinh kỹ tính Tích phân ứng dụng số trƣờng trung học phổ thông địa bàn huyện Mỹ Đức - Hà Nội 13 Kết luận chƣơng 16 CHƢƠNG RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KỸ NĂNG GIẢI BÀI TẬP TÍNH TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 17 2.1 Một số kiến thức nguyên hàm tích phân 17 2.1.1 Nguyên hàm (tích phân bất định) 17 2.1.2 Tích phân 18 2.1.3 Ứng dụng tích phân 19 2.2 Một số biện pháp rèn luyện kỹ giải tập tích phân 21 2.2.1 Biện pháp 1: Rèn luyện kỹ tính tích phân cách sử dụng định nghĩa, tính chất, sử dụng bảng nguyên hàm 21 2.2.4 Biện pháp 4: Rèn luyện kỹ tính tích phân phƣơng pháp đổi biến số với dạng khác 33 2.2.5 Biện pháp 5: Rèn luyện kỹ tính tích phân hàm ẩn 41 2.3 Một số biện pháp rèn luyện kỹ giải tập Ứng dụng tích phân 47 2.3.1 Biện pháp 1: Rèn luyện kỹ ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng 47 2.3.2 Biện pháp Rèn luyện kỹ ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể 57 vi CHƢƠNG THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 65 3.1 Mục đích nhiệm vụ thực nghiệm 65 3.1.1 Mục đích thực nghiệm 65 3.1.2 Nhiệm vụ thực nghiệm 65 3.2 Tổ chức thực nghiệm 65 3.2.2 Hình thức thực nghiệm 66 3.2.3 Nội dung thực nghiệm 66 3.3 Đánh giá kết 67 3.3.1 Đánh giá nội dung thử nghiệm 67 3.3.2 Đánh giá phƣơng pháp dạy học thử nghiệm 67 Tiểu kết chƣơng 72 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 73 Kết luận 73 Khuyến nghị 73 TÀI LIỆU THAM KHẢO 74 PHỤ LỤC vii MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong kinh tế ngày phát triển, bùng nổ tri thức với bùng nổ khoa học, cơng nghệ việc đổi giáo dục đổi phƣơng pháp dạy học điều tất yếu Với môn học nhà trƣờng phổ thơng mơn Tốn có vị trí quan trọng Tốn học cơng cụ đƣợc dùng nhiều mơn học khác Mơn Tốn môn giúp học sinh phát triển nhân lực phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho học sinh óc tƣ trừu tƣợng, tƣ xác tƣ logic, cung cấp cho em kiến thức bản, cần thiết để học tập môn học khác giải số toán thực tế Trong q trình dạy học nhiều năm trƣờng THPT tơi nhận thấy việc rèn luyện kỹ giải toán, mục tiêu giáo dục cho học sinh quan trọng Điều đƣợc nêu cụ thể [12] : "Mục tiêu giáo dục phổ thông đào tạo người Việt Nam phát triển tồn diện, có đạo đức, tri thức, sức khỏe, thẩm mỹ nghề nghiệp, trung thành với lý tưởng độc lập dân tộc chủ nghĩa xã hội; hình thành bồi dưỡng nhân cách, phẩm chất lực công dân, đáp ứng nhu cầu xây dựng bảo vệ Tổ quốc " Cụ thể hóa điều này, mục tiêu dạy học mơn Tốn là: - Trang bị cho học sinh kiến thức - Rèn luyện kỹ giải toán để phát triển tƣ cho học sinh - Rèn luyện kỹ ứng dụng toán học vào thực tiễn sống - Phát triển, nâng cao học sinh có khiếu tốn học Nội dung "Nguyên hàm, tích phân, ứng dụng " đƣợc dạy học học kỳ 2, lớp 12 nội dung thƣờng xuất đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông quốc gia gần Các tập tích phân ứng dụng có nhiều kiến thức khó nhớ, đặc biệt cịn liên quan đến kiến thức lớp 11, cần rèn luyện cho học sinh kỹ giải dạng toán Từ kinh Hoạt động GV HS Nội dung kiến thức cần đạt GV: Tƣơng tự nhƣ ví dụ ta +) Từ hình vẽ ta chia cửa rào sắt thành cần làm ? phần nhƣ sau: HS: Cần tính diện tích cửa GV: Cần chia cửa rào thành phần để tính diện tích? HS: Chia làm hai phần GV: Phần hình ?tính Khi S  S1  S2  S1  5.1,5  S1  7,5  m2  diện tích phần đó? +) Để tính S1 ta vận dụng kiến thức diện HS: Phần hình chữ nhật S2  5.1,5  7,5 m  tích hình phẳng tích phân +) Gắn hệ trục Oxy O trùng với GV: Tƣơng tự nhƣ ví dụ trên, trung điểm AB , OB  Ox, OC  Oy , nêu cách tính diện tích phần 1? +) Theo đề ta có đƣờng cong có dạng HS: Trao đổi, trả lời câu hỏi hình Parabol Giả sử  P  : y  ax2  bx  c GV: Viết phƣơng trình Parabol Khi đó: HS: Trả lời câu hỏi GV: Từ phƣơng trình Parabol, tính diện tích phần 2? HS: Đƣa cơng thức tính     25 a bc 0  A   ;0    P        5   25  B  ;0    P    a  b  c   2  4   1  C  0,    P  c     2  a   25   b    P  : y   x2  25  c   +) Diện tích phần là: 1 10  S2     x   dx  m2   25 2  55 S  m2  Vậy giá tiền cửa sắt là:  2,5 55 x 660.000  6.050.000 (đồng) V dụ Ơng An có mảnh vƣờn elip có độ dài trục lớn 16m độ dài trục bé 10m Ông muốn trồng hoa dải đất rộng 8m nhận trục bé elip làm trục đối xứng (nhƣ hình vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa 100.000 đồng/1m2 Hỏi ông An cần tiền để trồng hoa dải đất đó? (Số tiền đƣợc làm trịn đến hàng nghìn) 8m Hoạt động GV HS GV: Viết phƣơng trình elip? HS: Thảo luận trả lời Nội dung kiến thức cần đạt +) Giả sử elip có phƣơng trình với a  b  x2 y   1, a b2 +)Từ giả thiết ta có: 2a  16  a  2b  10  b  +) Vậy phƣơng trình elip là:  y   64  y  x y  1  64 25  y  64  y  2  E1   E1  GV: Đƣa cơng thức tính diện +) Khi diện tích dải vƣờn đƣợc giới hạn tích dải vƣờn? đƣờng  E  ;  E  ; x  4; x  HS: Trả lời câu hỏi diện tích dải vƣờn là: 4 5 64  x dx   64  x dx 20 4 S  2 +) Tính tích phân phép đổi biến  3 x  8sin t , ta đƣợc S  80    6  +) Khi số tiền là:  3 T  80    100000  7652891,82 6  7.653.000 V dụ Hệ thống mái sân vận động dự định đƣợc xây dựng có dạng hai hình elip nhƣ hình bên dƣới với hình elip lớn bên ngồi có độ dài trục lớn 146 mét, độ dài trục nhỏ 108 mét, hình elip nhỏ bên có độ dài trục lớn 110 mét, độ dài trục nhỏ 72 mét Tính diện tích hệ thống mái sân vận động? Hoạt động GV HS Nội dung kiến thức cần đạt GV: Gọi hình Elip lớn (E1) tìm +) Hình elip lớn (E1)có độ dài trục lớn độ dài trục lớn trục nhỏ (E1) 146m, độ dài trục nhỏ 108m 2a  146 a  73 x2 y2   E :  1     2 b  108 b  54 73 54   HS: Độ dài trục lớn 146m , trục ? nhỏ 108m GV: Gọi hình Elip nhỏ (E2) tìm độ dài trục lớn trục nhỏ (E2) ? x2  y  54  73 +) Hình elip nhỏ (E2) có độ dài trục lớn 110m, độ dài trục nhỏ 72m a  55 2 x y HS: Độ dài trục lớn 110m , trục     E2  :   55 36 b  36 nhỏ 72m x GV: Viết phƣơng trình (E1)  y  36  552 (E2) +) Vậy diện tích hệ thống mái sân HS: Thảo luận nhóm lên bảng vận động là: làm 55  78 x2 x2  S  54  dx  36  dx   GV: Tính diện tích hệ thống mái 2 0  0  73 55   sân vận động ? HS: Trả lời câu hỏi  1962  m  Củng cố, dặn dị: - Ơn tập lại kiến thức học: Cách tính diện tích hình phẳng giới hạn một, hai đƣờng cong Hướng dẫn nhà: Làm tập sau Bài 1: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x 1 trục x2 tọa độ ? A ln  3 B 5ln  C 3ln  D 3ln  Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x3 , y  x5 A S  B S  C S  D S  Bài 3: Một viên gạch hoa hình vng cạnh 40 cm đƣợc thiết kế nhƣ hình bên dƣới Diện tích cánh hoa (phần tơ đậm) y y= x2 20 y = 20x 20 x 20 20 20 A 800 cm2 B 400 cm2 C 250 cm2 D 800 cm2 PHỤ LỤC Bài kiểm tra số Câu Phát biểu sau đúng? A  sin xdx  cos x  C B  sin xdx   sin x  C C  sin xdx  sin x  C D  sin xdx   cos x  C Câu Phát biểu sau đúng? B  cos xdx  sin x 2 D  cos xdx   cos x  C A  cos xdx  cos x  C C  cos xdx  sin x  C Câu Cho hàm số f ( x)  A C  x4 Khi đó: x2 x3   C x  f ( x)dx   x3 f ( x)dx    C x B D  f ( x)dx  x    C x x3 f ( x)dx   5lnx  C  x2   Câu Nguyên hàm F ( x) hàm số f ( x)    hàm số  x  hàm số sau? x3 A F ( x)    x  C x x3 B F ( x)    x  C x x3 x C C F ( x)  x2  x3   x D F ( x)     C  x      Câu Tính nguyên hàm    dx  2x   A ln x   C B C 2ln x   C ln  x  3  C D ln x   C Câu Nguyên hàm F  x  hàm số f  x    e 1  , biết F    là: 2x    B F  x   2ln x   A F  x   2ln x   2 C F  x   ln x   D F  x   ln x   Câu Biết F  x  nguyên hàm hàm số f  x   F    x 1 Tính F  3 ? A F  3  ln  B F  3  ln  C F  3  D F  3  Câu Phát biểu sau đúng? A  sin x cos3 xdx   sin x  C C  sin x cos3 xdx  sin x  C B  sin x cos3 xdx  cos x  C D  sin x cos3 xdx  cos x  C Câu Phát biểu sau đúng? A  x sin xdx  x cos x  sin x  C B  x sin xdx  x cos x  sin x  C C  x sin xdx   x cos x  sin x  C D  x sin xdx   x cos x  sin x  C Câu 10 Phát biểu sau đúng? A  x  sin x  cos x  dx  x  x cos x  sin x   C  B  x  sin x  cos x  dx  x  x cos x  sin x   C  2 C  x  sin x  cos x  dx  x  x cos x  sin x   C  D  x  sin x  cos x  dx  x  x cos x  sin x   C  2 Câu 11 Họ nguyên hàm hàm số f ( x)  A 1 3  2x  Câu 12 Tính  A  C B 3  2x   C C : (3  x)3 3  2x   C D 3  2x  C dx x( x  3) x x3 ln  C B ln C x 3 x C x ln C x3 D x 3 ln C x Câu 13 F  x  nguyên hàm hàm số f  x   3x  Biết 2x  b b F    , F 1  a  ln a , b , c số nguyên dƣơng c c phân số tối giản Khi giá trị biểu thức a  b  c A B C D 12 Câu 14 Hàm số sau không nguyên hàm hàm số f  x  x2  2x  x  1 A F1  x   ? x2  x  x 1 B F2  x   x2  x  C F3  x   x 1 Câu 15 Cho biết x2  x  x 1 x2 D F4  x   x 1 x  13  ( x  1)( x  2) dx  a ln x   b ln x   C Mệnh đề sau đúng? A a  2b  B a  b  C 2a  b  D a  b     sin Câu 16 Tích phân x  sin x  cos xdx A  t  t  dt B 1  t  t  dt Câu 17 Tích phân I    x  1 C  t  t  dt D 0 2  t  t  dt x2  dx  a ln b  c , a , b , c số nguyên Tính giá trị biểu thức a  b  c ? A B Câu 18 Tính A x C D dx , kết là:  4x  x 1 x 3 x 3 ln  C B ln  C C ln x  x   C D ln C x 3 x 1 x 1 Câu 19 Tìm nguyên hàm I   dx  x2 x2  C x2 B I  ln x2  C x2 D I  ln A I  ln C I  ln x2  C x2 x2  C x2 x3  3x  3x  1 Câu 20 Nguyên hàm hàm số f ( x)  biết F 1  x  2x  x2 13  A F  x    x  x 1 C F  x   x2 x x 1 x2 13  B F  x    x  x 1 D F  x   x2 x  C x 1 PHỤ LỤC Bài kiểm tra số Câu Gọi S diện tích miền hình phẳng đƣợc tơ đậm hình vẽ bên Cơng thức tính S y y  f  x 1 1 O A S   f  x  dx   f  x  dx 2 x 1 B S   f  x  dx   f  x  dx C S   f  x  dx D S    f  x  dx 1 1 Câu Diện tích hình phẳng đƣợc giới hạn đồ thị hàm số y  x4  3x2  , trục hoành hai đƣờng thẳng x  , x  A 142 B 143 C 144 Câu Diện tích hình phẳng đƣợc giới hạn đồ thị hàm số y  D 141 x 1 , trục x2 hoành đƣờng thẳng x  A  2ln B  ln C  2ln D  ln Câu Diện tích hình phẳng giới hạn hàm số y  x x  , trục Ox đƣờng thẳng x  a b  ln(1  b ) với a, b, c số nguyên dƣơng c Khi giá trị a  b  c A 11 B 12 Câu Cho parabol  P  có đồ thị nhƣ hình vẽ: C 13 D 14 y O 1 x Tính diện tích hình phẳng giới hạn  P  với trục hoành A B C D Câu Diện tích hình phẳng giới hạn đƣờng y  x  , x  , x  , y  A S  10 B S  C S  13 D S  Câu Tính diện tích S miền hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f  x   ax3  bx  c , đƣờng thẳng x  , x  trục hoành (miền gạch chéo) cho hình dƣới A S  51 B S  52 C S  50 D S  53 Câu Cho hàm số y  x4  3x  m có đồ thị  Cm  , với m tham số thực Giả sử  Cm  cắt trục Ox bốn điểm phân biệt nhƣ hình vẽ Gọi S1 , S , S3 diện tích miền gạch chéo đƣợc cho hình vẽ Giá trị m để S1  S3  S2 A  B C  D Câu Biết diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  3x2  2mx  m2  , trục hoành, trục tung đƣờng thẳng x  đạt giá trị nhỏ Mệnh đề sau đúng? A m   4; 1 B m   3;5 C m   0;3 D m   2;1 Câu 10 Giá trị tham số m để diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  3x2  2mx  m2  , trục hoành, trục tung đƣờng thẳng x  đạt giá trị nhỏ là: A m = B m = C m = -1 D m = - Câu 11 Đặt S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y   x , trục hoành đƣờng thẳng x  2 , x  m ,  2  m   Tìm số giá trị tham số m để S  A 25 B C D Câu 12 Cho hình phẳng  H  giới hạn đồ thị hai hàm số f1  x  f  x  liên tục đoạn  a; b hai đƣờng thẳng x  a , x  b (tham khảo hình vẽ dƣới) Cơng thức tính diện tích hình  H  f1  x  y f2  x  O a c1 b c2 b x b B S    f1  x   f  x   dx A S   f1  x   f  x  dx a a b C S   f1  x   f  x  dx b b a a D S   f  x  dx   f1  x  dx a Câu 13 Tính diện tích hình phẳng tạo thành parabol y  x , đƣờng thẳng y   x  trục hoành đoạn  0;2 (phần gạch sọc hình vẽ) A B C D Câu 14 Hình phẳng (H) đƣợc giới hạn đồ thị hai hàm số y  x2  x  2, y  x  hai đƣờng thẳng x  2; x  Diện tích (H) A 87 B 87 C 87 D 87 Câu 15 Diện tích hình phẳng giới hạn đƣờng cong y  sin x , y  cos x đƣờng thẳng x  , x   ? A B 2 C 2 D Câu 16 Diện tích hình phẳng đƣợc giới hạn parabol y   x đƣờng thẳng y   x là: A B C D Câu 17 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình trịn  C  : x  y  parabol  P  ; y  x2 chia hình trịn thành hai phần Gọi S1 diện tích phần nhỏ, S diện tích phần lớn Tính tỉ số A S1 3   S2 9  B S1 3   S2 9  S1 ? S2 C S1 3   S2 9  D S1 3   S2 9  Câu 18 Một mảnh vƣờn hình trịn tâm O bán kính 6m Ngƣời ta cần trồng dải đất rộng 6m nhận O làm tâm đối xứng, biết kinh phí trồng 70000 đồng / m Hỏi cần tiền để trồng dải đất (số tiền đƣợc làm trịn đến hàng đơn vị) 6m O A 8412322 đồng B 8142232 đồng C 4821232 đồng D 4821322 đồng Câu 19 Một sân chơi cho trẻ em hình chữ nhật có chiều dài 100 chiều rộng 60m ngƣời ta làm đƣờng nằm sân (nhƣ hình vẽ) Biết viền viền đƣờng hai đƣờng elip, Elip đƣờng viền ngồi có trục lớn trục bé lần lƣợt song song với cạnh hình chữ nhật chiều rộng mặt đƣờng 2m Kinh phí cho m làm đƣờng 600.000 đồng Tính tổng số tiền làm đƣờng (Số tiền đƣợc làm trịn đến hàng nghìn) 100m 2m 60m A 293904000 B 283904000 C 293804000 D 283604000 Câu 20 Một ô tô chạy với tốc độ 10  m s  ngƣời lái đạp phanh, từ thời điểm tơ chuyển động chậm dần với v  t   5t  10  m s  , t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, ô tô di chuyển mét ? A 8m B 10 m C 5m D 20m ... để rèn luyện kỹ giải tập tính tích phân ứng dụng 16 CHƯƠNG RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KỸ NĂNG GIẢI BÀI TẬP TÍNH TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 2.1 Một số kiến thức nguyên hàm tích phân 2.1.1 Nguyênihàmi (tích. .. gian: Học kỳ năm học 2019- 2020 - Phạm vi nội dung: Các biện pháp rèn luyện kỹ tính tích phân ứng dụng Vấn đề nghiên cứu Cách để rèn luyện kỹ tính tích phân ứng dụng cho học sinh trung học phổ... tốn tính tích phân ứng dụng, mức độ kỹ đạt đƣợc học sinh học xong phần này, thời lƣợng em dành cho việc rèn luyện kỹ tính tích phân ứng dụng lớp ý kiến, trao đổi học sinh Kết điều tra 250 học sinh