BÀI GIẢNG NHỊ THỨC NIU-TƠN Mục tiêu Kiến thức + Biết công thức khai triển nhị thức Niu-tơn + Biết tính chất số hạng Kĩ + Thành thạo khai triển nhị thức Niu-tơn, tìm số hạng, hệ số chứa x khai triển + Tính tổng dựa vào khai triển nhị thức Niu-tơn Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Cơng thức khai triển nhị thức Niu-tơn Hệ quả: Với số thực a, b n ta có Với a b , ta có n Cn0 Cn1 Cnn a b n n Với a 1; b 1 , ta có: Cnk a n k b k k 0 Cn0 Cn1 1 Cnk 1 Cnn k n 1 C a C a b C a n n n k n nk b C b k n n n n Các dạng khai triển nhị thức Niu-tơn thường gặp Quy ước: a b Tính chất a) Số số hạng khai triển n b) Số hạng tử có số mũ a giảm dần từ n đến 0, số mũ b tăng dần từ đến n Tổng số mũ a b số hạng n x 1 n Cn0 x n Cn1 x n 1 Cnn 1 x Cnn 1 x n Cn0 Cn1 x Cnn 1 x n 1 Cnn x n x 1 n Cn0 Cn1 x 1 Cnn x n n n n 1 1 Cnk Cn0 Cn1 Cnn 1 Cnn n c) Số hạng tổng quát thứ k có dạng: Tk 1 Cnk a n k b k với k 0,1, 2, , n d) Các hệ số cặp số hạng cách số hạng đầu k 0 n 0n 1 1 Cnk 1 Cn0 Cn1 1 Cnn n k n k 0 cuối nhau: Cnk Cnn k e) Cnk đạt giá trị lớn k với n lẻ; k n 1 n 1 hay k 2 n với n chẵn f) Cn0 Cnn , Cnk 1 Cnk Cnk1 Tam giác Pascal Tam giác Pascal thiết lập theo quy luật: - Đỉnh ghi số Tiếp theo hàng thứ ghi hai số - Nếu biết hàng thứ n n 1 hàng thứ n thiết lập cách cộng hai số liên tiếp hàng thứ n viết kết xuống hàng vị trị hai số Sau viết số đầu cuối TOANMATH.com Trang hàng - Các số hàng thứ n tam giác Pascal dãy gồm n 1 số Cn0 , Cn1 , Cn2 , , Cnn 1 , Cnn II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Xác định hệ số, số hạng khai triển nhị thức Niu-tơn Bài tốn 1: Tìm hệ số số hạng chứa x m khai triển ax p bx q n Phương pháp giải Ví dụ: Cho khai triển x 1 Xét khai triển: ax p bx q n 10 n Cnk ax p nk k 0 n k a) Tìm hệ số x khai triển Hướng dẫn giải C a k 0 bx q k n nk k b x np pk qk Số hạng chứa x m ứng với giá trị k thỏa mãn np pk qk m k m np q p 10 10 Ta có x 1 C10k x k C10k x k 10 k k 0 k 0 Số hạng chứa x ứng với k Hệ số cần tìm C105 25 8064 Vậy hệ số số hạng chứa x m Cnk a n k b k với giá trị k m np q p Nếu k khơng ngun k n khai triển khơng chứa x m , hệ số phải tìm Lưu ý: Tìm số hạng khơng chứa x ta tìm b) Tìm hệ số số hạng không chứa x khai giá trị k thỏa np pk qk triển Hướng dẫn giải Số hạng không chứa x ứng với k Hệ số cần tìm C100 20 Ví dụ mẫu Ví dụ Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức Niu-tơn Chú ý: 2 x x 21 x 0 Hướng dẫn giải Ta có số hạng tổng quát TOANMATH.com x m n x m.n ; x m x n x m n ; xm x mn ; n x Trang m k Tk 1 C a k n nk k 21 k 21 b C x k k 2 C21k x 213k x n Số hạng không chứa x ứng với 21 3k k Chú ý: Phân biệt hệ Vậy hệ số cần tìm 2 C 7 21 số số hạng Ví dụ Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển x 1 x n Với P x ax x g k ; số k 0 Hướng dẫn giải hạng chứa x tương ứng Số hạng tổng quát khai triển x C8k x C8k 1 x k 3 k k với Số hạng chứa x k k 3 Ví dụ Tìm số hạng khơng chứa x khai triển x ,x x * Nếu k ; k n hệ số phải tìm ak số Hướng dẫn giải hạng phải tìm ak x k 10 Ta có x 2.x 3.x x * Nếu k k n khai triển không Số hạng tổng quát khai triển 10 k 1 C 2x3 giải k 10 10 g k ; phương trình ta tìm Vậy hệ số cần tìm C83 1 56 k 10 xm x n có số hạng x , hệ số k 10 k 20 5 k k k k 3x 1 210 k 3k x x 1 C10k 210 k 3k x phải tìm Số hạng không chứa x ứng với 20 5k k Vậy số hạng không chứa x khai triển 1 C104 26.34 210.64.81 1088640 Bài tốn 2: Tìm hệ số số hạng khai triển P x ax t bx p cx q n Phương pháp giải n Ta có khai triển: P x ax t bx p cx q Cnk ax t n nk k 0 k bx p cx q Cki bx p k i 0 n k k i bx p cx q k k cx q Cki bk i ci x p k i qi i i 0 n k Suy P x Cnk a n k x t n k Cki b k i c i x p k i qi Cnk Cki a n k b k i c i x t n k p k i qi k 0 i 0 k 0 i 0 Suy số hạng tổng quát khai triển Cnk Cki a n k b k i ci x t n k p k i qi Từ số hạng tổng quát khai triển trên, ta tính hệ số x m Ví dụ mẫu Ví dụ Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển P x x x 1 10 TOANMATH.com Trang Hướng dẫn giải Với q p 10 số hạng tổng quát khai triển P x x x 1 10 Tp C10p C pq x 10 p x p q 1q C10p C pq x p q 20 p Theo đề p q 20 p p q 18 Do q p 10 nên p; q 9;9 ; 10;8 Vậy hệ số x khai triển P x x x 1 C109 C99 C1010 C108 55 10 Ví dụ Tìm hệ số số hạng chứa x3 khai triển 1 x 2015 x 2016 2016 x 2017 2017 x 2018 60 Hướng dẫn giải Ta có 1 x 2015 x 2016 2016 x 2017 2017 x 2018 1 x x 2016 2015 2016 x 2017 x 60 60 60 59 C600 1 x C60 1 x x 2016 2015 2016 x 2017 x C6060 x 2016 2015 2016 x 2017 x Ta thấy có số hạng C600 1 x chứa x3 nên hệ số số hạng chứa x C600 C603 2 8C603 60 Bài tốn 3: Tìm hệ số lớn khai triển nhị thức Niu-tơn Phương pháp giải Ví dụ: Tìm hệ số lớn khai triển đa thức P x x 1 10 Hướng dẫn giải Bước 1: Tính hệ số ak theo k n Giả sử sau khai triển ta đa thức: P x a0 a1 x a2 x an x n 10 Ta có x 1 C10k x k 10 k 0 Ta có hệ số số hạng tổng quát sau khai triển nhị thức x 1 ak C10k 10 Suy ak 1 C10k 1 , k 1; 2;3; ;10 Bước 2: Giả sử ak hệ số lớn hệ Giả sử ak hệ số lớn hệ số ak ak 1 số a0 , a1 , , an Khi ta có ak ak 1 Giải hệ phương trình với ẩn số k ak ak 1 a0 , a1 , , a10 Khi ta có ak ak 1 C10k C10k 1 11 k 1 k k 5 k 2 C10 C10 Từ ta có hệ số lớn khai triển nhị thức a5 C105 252 TOANMATH.com Trang 60 Ví dụ mẫu Ví dụ Tìm hệ số lớn khai triển đa thức P x x 1 a0 x13 a1 x12 a13 13 Hướng dẫn giải Ta có hệ số số hạng tổng quát sau khai triển nhị thức x 1 13 ak C13k 213 k với k 1; 2;3; ;13 Giả sử ak hệ số lớn hệ số a0 , a1 , , a13 C ak ak 1 C Khi ta có k 1 14 k C13k 213 k C13 ak ak 1 13 k k 13 k 1 13 12 k 11 k k k 14 Từ ta có hệ số có giá trị lớn khai triển nhị thức a4 C134 29 366080 Ví dụ Cho khai triển biểu thức Tìm số hạng ngun có giá trị lớn Hướng dẫn giải Số hạng tổng quát khai triển Tk C9k 3 2 9 k k Vì bậc thức hai số nguyên tố nên để Tk số nguyên k k T C 0 k 9 k k T9 C9 k 3 3 3 3 4536 Dễ thấy 4536 nên khai triển số hạng nguyên có giá trị lớn T3 4536 Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Hệ số x khai triển P x x 1 x 1 x 1 A 1715 B 1711 C 1287 12 D 1716 Câu 2: Trong khai triển x , hệ số x với x x A 60 B 80 C 160 D 240 C C157 38.27 D C157 37.28 Câu 3: Hệ số x khai triển x 15 A C157 38.27 B C157 37.28 Câu 4: Hệ số x triển khai thành đa thức x 3 TOANMATH.com Trang B C83 25.33 A C85 25.33 C C83 23.35 D C85 2.36 Câu 5: Trong khai triển biểu thức x y , hệ số số hạng chứa x12 y 20 A 77520 B -125970 C 125970 D -77520 Câu 6: Hệ số x khai triển x 1 x x 1 x A 61204 10 B 3160 C 3320 D 61268 Câu 7: Hệ số số hạng chứa x khai triển P x x x 1 10 A 1695 B 1485 Câu 8: Khai triển 54 A 30 1–A 124 C 405 3–C D 360 Có số hạng hữu tỉ khai triển trên? B 31 2–A C 32 4–B 5–C 6–C D 33 7–A 8–C HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu Xét khai triển x 1 thấy số hạng chứa x có hệ số C61 Tương tự khai triển lại ta có hệ số x C72 , C83 , , C127 Do hệ số cần tìm C61 C72 C127 1715 Câu k Số hạng tổng quát khai triển: Tk 1 C x k 6 k 6 k k k C6 x x Số hạng chứa x ứng với k k Vậy hệ số x3 C62 22 60 Câu Công thức số hạng tổng quát khai triển nhị thức Niu-tơn 2x 15 Tk 1 C15k 315 k 2 x 1 C15k 315 k 2k x k k k Để số hạng chứa x k Vậy hệ số số hạng chứa x C157 38 27 Câu Ta có khai triển x 3 C8k 28 k x8 k 3 k k 0 Số hạng chứa x ứng với k k Hệ số cần tìm C83 283 3 C83 25.33 TOANMATH.com Trang ... khai triển nhị thức Niu- tơn thường gặp Quy ước: a b Tính chất a) Số số hạng khai triển n b) Số hạng tử có số mũ a giảm dần từ n đến 0, số mũ b tăng dần từ đến n Tổng số mũ a b số hạng n... Các số hàng thứ n tam giác Pascal dãy gồm n 1 số Cn0 , Cn1 , Cn2 , , Cnn 1 , Cnn II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Xác định hệ số, số hạng khai triển nhị thức Niu- tơn Bài tốn 1: Tìm hệ số số... số hạng C600 1 x chứa x3 nên hệ số số hạng chứa x C600 C603 2 8C603 60 Bài tốn 3: Tìm hệ số lớn khai triển nhị thức Niu- tơn Phương pháp giải Ví dụ: Tìm hệ số lớn khai triển đa thức