BÀI GIẢNG PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG BÀI 1: PHÉP BIẾN HÌNH – PHÉP TỊNH TIẾN Mục tiêu Kiến thức + Nắm định nghĩa phép biến hình, số thuật ngữ kí hiệu liên quan + Nắm định nghĩa phép tịnh tiến + Biết vẽ ảnh xác định ảnh hình qua phép tịnh tiến + Nắm tính chất phép tịnh tiến Kĩ + Biết vận dụng định nghĩa tính chất phép biến hình phép tịnh tiến để xác định ảnh điểm, đường thẳng,… cho trước + Biết vận dụng phép tịnh tiến để giải số tốn quỹ tích Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Phép biến hình Định nghĩa Quy tắc đặt tương ứng điểm M mặt phẳng với điểm xác định M’ mặt phẳng gọi phép biến hình mặt phẳng Kí hiệu Ví dụ Hình chiếu điểm A lên đường Phép biến hình F viết F ( M ) = M ' hay M ' = F ( M ) thẳng d điểm H Khi ta có phép biến hình biến điểm A thành H Khi M’ gọi ảnh M qua phép biến hình F Nếu ℘ hình mặt phẳng ta kí hiệu ℘'= F (℘) tập hợp điểm ảnh M thuộc ℘ Khi ta nói F biến hình ℘ thành hình ℘' hay ℘' từ ảnh hình ℘ qua phép biến hình F Phép biến hình biến điểm M mặt phẳng thành gọi phép đồng F ( A ) = H gọi phép chiếu vng góc lên đường thẳng d Phép tịnh tiến Định nghĩa Trong mặt phẳng cho vectơ u Phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ cho MM ' = u gọi phép tịnh tiến theo vectơ u , kí hiệu Tu Nhận xét Như Tu ( M ) = M ' ⇔ MM ' = u Tính chất a) Nếu Tu ( M ) M '; Tu ( N ) N ' M ' N ' = MN = = Từ suy M ' N ' = MN • phép đồng • điểm cuối vectơ biết hướng Đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với • Đoạn thẳng thành đoạn thẳng • Tam giác thành tam giác • Góc thành góc • Đường trịn thành đường trịn bán kính Biểu thức tọa độ Phép tịnh tiến xác định có vectơ tịnh tiến, tức biết điểm đầu, b) Phép tịnh tiến biến: • Phép tịnh tiến theo vectơ-khơng độ dài vectơ • Phép tịnh tiến bảo tồn khoảng cách hai điểm Chú ý Nếu qn cơng thức ta cần cho Trang Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M ( x; y ) vectơ MM ' = u , từ suy tọa độ tương ứng u ( a; b ) Gọi điểm M ' ( x '; y ' ) ảnh điểm M ( x; y ) qua phép tịnh tiến theo vectơ u x '= x + a Khi y '= y + b HỆ THỐNG HÓA KIẾN THỨC: PHÉP TỊNH TIẾN Định nghĩa Tu ( M ) = M ' ⇔ MM ' = u Biểu thức tọa độ u M ( x; y ) → M ' ( x '; y ' ) T x '= x + a y '= y + b Tính chất '; Tu ( N ) N ' = Tu ( M ) M = MN ⇒ M 'N ' = ⇒ M 'N ' = MN Phép tịnh tiến biến: • Đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với • Đoạn thẳng thành đoạn thẳng • Tam giác thành tam giác • Góc thành góc • Đường trịn thành đường trịn bán kính II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Phép biến hình Ví dụ mẫu Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, chứng tỏ quy tắc đặt tương ứng điểm M ( x; y ) với điểm M ' ( y; − x ) phép biến hình Hướng dẫn giải Với điểm M ( x; y ) , theo quy tắc ln tồn điểm M’ cho F= ( M ) M ' ( y; − x ) Như vậy, với điểm M ln tồn ảnh M’ (1) Giả sử qua quy tắc trên, điểm M ( x; y ) có hai ảnh M ' ( x '; y ' ) M '' ( x ''; y '' ) Trang x '' = y x ' = y Ta có y '' = − x y ' = −x Suy x ' =x ''; y ' =y '' ⇒ M ' ≡ M '' (2) Từ (1) (2), suy ra: quy tắc phép biến hình x ' = −x Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét phép biến hình sau: F ( M ( x; y ) ) = M ' ( x '; y ' ) với y '= y + a) Xác định ảnh điểm M (1;2 ) qua phép biến hình F b) Xác định phương trình đường thẳng ∆ ' ảnh đường thẳng ∆ : x − y + = qua phép biến hình F c) Xác định phương trình đường trịn ( C ' ) ảnh đường tròn ( C ) qua phép biến hình F: ( C ) : x + y2 − x − y + =0 Hướng dẫn giải x ' =− x =−1 a) M ' ( x '; y ' )= F ( M ) ⇔ ⇒ M ' ( −1;3 ) y ' = y + = + = b) M ( x; y ) ∈ ∆ thì= F ( M ) M ' ( x ' y ') ∈ ∆ ' −x −x ' x ' = x = Suy ⇔ y +1 y = y '− y ' = Lúc M ( − x '; y '− 1) ∈ ∆ nên ( − x ' ) − ( y '− 1) + = ⇔ − x '− y '+ = ⇔ x '+ y '− = Vậy ∆ ' : x '+ y '− = ảnh đường thẳng ∆ qua phép biến hình F c) Gọi M ( x; y ) ∈ ( C ) ⇒ F= ( M ) M ' ( x '; y ' ) ∈ ( C ' ) −x −x ' x ' = x = Suy ⇔ y +1 y = y '− y ' = Mà M ∈ ( C ) nên ( − x ' ) − ( y '− 1) + ( x ' ) − ( y '− 1) + = ⇔ ( x ' ) + ( y ' ) + x '− y '+ = 2 2 Vậy ( C ' ) : x + y + x − y + = ảnh đường tròn ( C ) Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Quy tắc phép biến hình? A Điểm O cho trước đặt tương ứng với O, cịn M khác O M ứng với M’ cho OM − OM ' = B Điểm O cho trước ứng với điểm O, cịn M khác O M ứng với M’ cho tam giác OMM’ tam giác vuông cân đỉnh O C Điểm O cho trước ứng với điểm O, cịn M khác O M ứng với M’ cho tam giác MM’ tam giác D Điểm O cho trước đặt tương ứng với O, cịn M khác O M ứng với M’ cho OM ' = 2OM Trang Câu 2: Cho phép biến hình F đặt tương ứng điểm M ( x M ; yM ) , điểm M ' ( x '; y ' ) theo công thức x ' xM − = Ảnh điểm A (1;2 ) qua phép biến hình F là: F: y ' yM + = A A ' (1;4 ) B A ' ( 2;0 ) C A ' (1; −2 ) D A ' ( 0;4 ) Câu 3: Cho phép biến hình F đặt tương ứng điểm M ( x M ; yM ) với điểm M ' ( x '; y ' ) theo công thức x ' = xM Tính độ dài đoạn thẳng PQ với P, Q tương ứng ảnh điểm A (1; −2 ) B ( −1;2 ) qua y ' yM + = phép biến hình F B PQ = A PQ = C PQ = D PQ = Câu 4: Cho phép biến hình F đặt tương ứng điểm M ( x M ; yM ) với điểm M ' ( x '; y ' ) theo công thức x ' xM + = x y2 Viết phương trình elip ( E ' ) ảnh elip ( E ) : + = qua phép biến hình F F: y ' yM − = A ( E ' ) ( x − 1) : C ( E ' ) ( x − 1) : ( y + 1) + = y2 + = B ( E ' ) ( x − 1) : D ( E ' ) ( x − 1) : ( y − 1) + + = y2 = Dạng 2: Biểu thức tọa độ phép tịnh tiến Phương pháp giải Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M ( x; y ) vectơ Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho v = ( −2;3 ) u ( a; b ) Gọi điểm M ' ( x '; y ' ) ảnh điểm Hãy tìm ảnh điểm A (1; −1) , B ( 4;3) qua phép tịnh tiến theo vectơ v M ( x; y ) qua phép tịnh tiến theo vectơ u x '= x + a Khi đó: y '= y + b Hướng dẫn giải x '= x − Biểu thức tọa độ phép tịnh tiến Tv y '= y + Ta có điểm A (1; −1) x ' = + ( −2 ) A ' ( x= '; y ' ) Tv ( A ) ⇒ y ' =−1 + x ' = −1 ⇔ ⇒ A ' ( −1;2 ) y ' = Tương tự ta có ảnh B điểm B ' ( 2;6 ) Ví dụ mẫu Trang Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho = v (1; −3) đường thẳng d có phương trình x − y + = Viết phương trình đường thẳng d’ ảnh d qua phép tịnh tiến Tv Hướng dẫn giải Cách 1: Sử dụng biểu thức tọa độ phép tịnh tiến Lấy điểm M ( x; y ) tùy ý thuộc d, ta có: x − y + = (* ) x +1 x = x '− x ' = Gọi M ' ( x '; y ' ) = Tv ( M ) ⇒ ⇔ y − y = y '+ y ' = Thay vào (*) ta phương trình: ( x '− 1) − ( y '+ 3) + = ⇔ x '− y '− = 0 Vậy ảnh d đường thẳng d ' : x − y − = Cách 2: Sử dụng tính chất phép tịnh tiến Do d ' = Tv ( d ) nên d’ song song trùng với d, phương trình đường thẳng d’ có dạng x − 3y + c = (** ) Lấy điểm M ( −1;1) ∈ d Khi M ' = Tv ( M ) = ( −1 + 1;1 − 3) = ( 0; −2 ) Do M ' ∈ d ' nên 2.0 − ( −2 ) + c =0 ⇔ c =−6 Vậy ảnh d đường thẳng d ' : x − y − = Cách 3: Để viết phương trình d’ ta lấy hai điểm phân biệt M, N thuộc d, tìm tọa độ ảnh M’, N’ tương ứng chúng qua Tv Khi d’ qua hai điểm M’ N’ Tìm ảnh Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho đường trịn ( C ) có phương trình x + y + x − y − = ( C ) qua phép tịnh tiến theo vectơ = v ( 2; −3 ) Hướng dẫn giải Cách 1: Sử dụng biểu thức tọa độ Lấy điểm M ( x; y ) tùy ý thuộc đường trịn ( C ) , ta có: x + y + x − y − = (* ) x+2 x '− x ' = x = Gọi M ' ( x '; y ' ) = Tv ( M ) ⇒ ⇔ y −3 y '+ y ' = y = Thay vào phương trình (*), ta được: ( x '− ) + ( y '+ 3) + ( x '− ) − ( y '+ 3) − = 2 ⇔ x '2 + y '2 − x '+ y '− = Vậy ảnh ( C ) đường tròn ( C ' ) : x + y − x + y − = Cách 2: Sử dụng tính chất phép tịnh tiến Dễ thấy ( C ) có tâm I ( −1;2 ) bán kính R = Gọi C ' = Tv ( ( C ) ) I ' ( x '; y ' ) ; R ' tâm bán kính ( C ' ) Trang x =−1 + =1 Ta có y =2 − =−1 Suy I ' (1; −1) R=' R= Vậy phương trình đường trịn ( C ' ) ( x − 1) + ( y + 1) = 2 Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x + y − = Tìm phép tịnh tiến theo vectơ v có giá song song với Oy biến d thành d’ qua điểm A (1;1) Hướng dẫn giải nên v v có giá song song với Oy= ( 0; k )( k ≠ ) Lấy M ( x; y ) ∈ d ⇒ x + y − = (* ) = x ' x= x x ' Gọi M ' ( x '; y ' ) = ⇔ Tv ( M ) ⇒ y+k y '− k y ' = y = hay Tv (= Thay vào (*), ta có x '+ y '− k − = −9 d ) d ' : 3x + y − k = Mà d’ qua A (1;1) nên k = −5 Vậy = v ( 0; −5) Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d : x − y + = Tìm d ' : x − y − = tọa độ v có phương vng góc với d để Tv ( d ) = d ' Hướng dẫn giải Đặt v = ( a; b ) , lấy điểm M ( 0;1) ∈ d Giả sử M ' ( x '; y ' ) = Tv ( M ) x ' = a thay vào d’ ta phương trình a − 3b = Ta có y '= + b Vectơ pháp tuyến đường thẳng d = n ( 2; −3) Suy vectơ phương d u = ( 3;2 ) Do v ⊥ u nên v.u =0 ⇒ 3a + b =0 16 a= 2 a − 3b = 13 Ta có hệ phương trình ⇔ 3a + b = b = − 24 13 16 24 Vậy = v ;− 13 13 Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A ( 3; −3) Ảnh điểm A qua phép tịnh tiến theo vectơ v = ( −1;3) là: Trang A A ' ( 2; −6 ) B A ' ( 2;0 ) C A ' ( 4;0 ) A N ' ( 0;3) B N ' ( −3;7 ) C N ' ( 3;7 ) D A ' ( −2;0 ) Câu 2: Cho ba điểm M ( 2;3) ; N ( −4;1) ; P ( 6;5) Ảnh N qua phép tịnh tiến theo vectơ MP là: D N ' ( 3;0 ) Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm M ( −10;1) M ' ( 3;8 ) Phép tịnh tiến theo vectơ v biến điểm M thành điểm M’, tọa độ vectơ v là: A ( −13;7 ) B (13; −7 ) C (13;7 ) A M ' N ' = B M ' N ' = C M ' N ' = D ( −13; −7 ) Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M ( 0;2 ) , N ( −2;1) vectơ v (1;2 ) Phép tịnh tiến theo vectơ v biến M, N thành hai điểm M’, N’ tương ứng Tính độ dài M’N’ D M ' N ' = Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ∆ABC biết A ( 2;4 ) , B ( 5;1) , C ( −1; −2 ) Phép tịnh tiến theo vectơ BC biến ∆ABC thành ∆A ' B ' C ' tương ứng điểm Trọng tâm G’ ∆A ' B ' C ' là: B G ' ( 4;2 ) A G ' ( −4; −2 ) C G ' ( 4; −2 ) D G ' ( −4;4 ) Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm phương trình đường thẳng ∆ ' ảnh đường thẳng qua phép tịnh tiến theo vectơ v (1; −1) ∆ : x + 2y −1 = A ∆ ' : x + y = B ∆ ' : x + y − = C ∆ ' : x + y + = D ∆ ' : x + y + = Câu 7: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng song song d d’ có phương trình 3x − y = x − y + = Phép tịnh tiến theo vectơ sau biến đường thẳng d thành d’? B v =( −1; −2 ) C v =( −1; −1) D = A = v (1; −1) v (1; −2 ) ( C ') Câu 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phương trình đường trịn qua Tv với v = (1;2 ) là: ( C ) : x + y2 − x + y − = A ( x + ) + y =6 B ( x − ) + y = Câu 9: Trong mặt phẳng tọa ảnh đường tròn C x + y − x − = D x + y − x + = 0 Oxy, cho đường thẳng v = ( −2;1) độ d : x − 3= y + 0; d1 : x − 3= y − Biết vectơ w = ( a; b ) có phương vng góc với đường thẳng d để d1 ảnh d qua phép tịnh tiến Tw Khi a + b bằng: A 13 B 16 13 C −8 13 D 13 Câu 10: Cho hình vng ABCD A ( −1;1) , C ( 3;5) Phương trình ảnh đường trịn nội tiếp hình vng ABCD qua phép tịnh tiến theo vectơ v = AC là: A ( x − 3) + ( y − 5) = B ( x + 1) + ( y − 1) = 16 C ( x − ) + ( y − 1) = D ( x − 3) + ( y − 5) = 16 2 2 2 2 HẾT -Trang ĐÁP ÁN Dạng 1: Phép biến hình 1–A 2–D 3–B 4–A Câu 1: Ta có OM − OM ' = ⇔ MM ' = ⇔ M ' ≡ M Quy tắc đặt phép đồng Do chọn A Các quy tắc cịn lại khơng phép biến hình + Đáp án B, C khơng nói góc vng góc lượng giác nên ln tồn hai ảnh M + Yếu tố thẳng hàng hay không thẳng hàng đủ để thấy rõ ảnh M không Câu 2: x ' = xM − = − = Theo công thức, ta có: ⇒ A ' ( 0;4 ) y ' = yM + = + = Câu 3: x ' = xM Theo cơng thức , ta có: P (1; −1) , Q ( −1;3) ⇒ PQ = ( −2;4 ) ⇒ PQ = y ' yM + = Câu 4: Gọi M ( x M ; yM ) ∈ ( E ) : x M2 yM2 + = (1) xM + xM = x '− x ' = Với = F ( M ) M ' ( x '; y ' ) ∈ ( E ' ) , theo công thức ⇔ yM − y '+ y ' = yM = Thay vào (1) ta có ( x '− 1) Phương trình ( E ' ) ( y '+ 1) + ( x '− 1) = ( y '+ 1) + = Dạng 2: Biểu thức tọa độ phép tịnh tiến 1–B 2–A 3–C 4–A 5–A 6–A 7–C 8–B 9–C 10 - A Câu 1: x A + xv x = −1 = A' x= ⇒ A' ⇒ A ' ( 2;0 ) Ta có Tv ( A ) = A ' ( x A ; y A ) ⇔ AA ' = v⇔ yA ' =yA + yv yA ' =−3 + =0 Câu 2: Ta có MP = ( 4;2 ) Gọi N ' ( x '; y ' ) ảnh N ( −4;1) qua phép tịnh tiến theo vectơ MP x '= x + a Áp dụng biểu thức tọa độ phép tịnh tiến , ta có: y '= y + b x ' =−4 + x =0 ⇔ 1+ y ' = y = Vậy N ' ( 0;3) Câu 3: Trang Ta có MM ' = (13;7 ) Tv ( M ) = M ' ⇔ MM ' = v ⇔ v = (13;7 ) Câu 4: T ( M ) = M ' Ta có v ⇒ MN = M ' N ' = Tv ( N ) = N ' ( −2 − ) + (1 − ) 2 = Câu 5: Ta có tọa độ trọng tâm ∆ABC G ( 2;1) ; BC =( −6; −3) x G + x x= x G ' =2 − =−4 G' BC ( G )= G ' ( x ; y ) ⇔ GG = T BC ⇔ ⇒ ⇒ G ' ( −4; −2 ) ' G' G' BC yG ' =yG + y yG ' =1 − =−2 BC Câu 6: Cách 1: Chọn A (1;0 ) ∈ ∆ ⇒ Tv = ( A ) A ' ( 2; −1) ∈ ∆ ' Chọn B ( −1;1) ∈ ∆ ⇒ = Tv ( B ) B ' ( 0;0 ) ∈ ∆ ' Đường thẳng ∆ ' đường thẳng A’B’ Đường thẳng ∆ ' qua A ' ( 2;1) có vec tơ pháp tuyến n = (1;2 ) có phương trình ∆ ' :1 ( x − ) + ( y + 1) = ⇔ x + y = Cách 2: Vì Tv ( ∆ ) =∆ ' nên ∆ ', ∆ hai đường thẳng phương Do ∆ ' có dạng x + y + m = Chọn A (1;0 ) ∈ ∆ ⇒ Tv = m ( A ) A ' ( 2; −1) ∈ ∆ ' ⇒= Vậy phương trình đường thẳng ∆ ' : x + y = Cách 3: Sử dụng quỹ tích Lấy M ( x M ; yM ) ∈ ∆ ⇔ x M + yM − = (1) xM + xM = x '− x ' = Ta có= Tv ( M ) M ' ( x '; y ' ) ∈ ∆ ' ⇔ ⇔ yM − y '+ y ' = yM = Thay vào (1) ta ( x '− 1) + ( y '− 1) − = ⇔ x '+ y ' = Vậy ∆ ' : x + y = Nhận xét: Sử dụng cách có tính tư cao hơn, nhanh áp dụng cho nhiều loại hình khác Câu 7: Gọi v = ( a; b ) vectơ tịnh tiến biến d thành d’ Khi M ( x; y ) ∈ d biến thành điểm M ' ( x '; y ' ) ∈ d ' x + a x = x '− a x ' = Áp dụng công thức ⇒ y + b y = y '− b y ' = Thay vào phương trình d ta có ( x '− a ) − ( y '− b ) =0 ⇔ x '− y '− 3a + b =0 Trang 10 ... từ ảnh hình ℘ qua phép biến hình F Phép biến hình biến điểm M mặt phẳng thành gọi phép đồng F ( A ) = H gọi phép chiếu vng góc lên đường thẳng d Phép tịnh tiến Định nghĩa Trong mặt phẳng cho... TRỌNG TÂM Phép biến hình Định nghĩa Quy tắc đặt tương ứng điểm M mặt phẳng với điểm xác định M’ mặt phẳng gọi phép biến hình mặt phẳng Kí hiệu Ví dụ Hình chiếu điểm A lên đường Phép biến hình F... Khi ta có phép biến hình biến điểm A thành H Khi M’ gọi ảnh M qua phép biến hình F Nếu ℘ hình mặt phẳng ta kí hiệu ℘''= F (℘) tập hợp điểm ảnh M thuộc ℘ Khi ta nói F biến hình ℘ thành hình ℘'' hay