Giáo án hình học 11 phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng

BÀI GIẢNG PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG BÀI 1: PHÉP BIẾN HÌNH – PHÉP TỊNH TIẾN Mục tiêu  Kiến thức + Nắm định nghĩa phép biến hình, số thuật ngữ kí hiệu liên quan + Nắm định nghĩa phép tịnh tiến + Biết vẽ ảnh xác định ảnh hình qua phép tịnh tiến + Nắm tính chất phép tịnh tiến  Kĩ + Biết vận dụng định nghĩa tính chất phép biến hình phép tịnh tiến để xác định ảnh điểm, đường thẳng,… cho trước + Biết vận dụng phép tịnh tiến để giải số tốn quỹ tích Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Phép biến hình Định nghĩa Quy tắc đặt tương ứng điểm M mặt phẳng với điểm xác định M’ mặt phẳng gọi phép biến hình mặt phẳng Kí hiệu Ví dụ Hình chiếu điểm A lên đường Phép biến hình F viết F ( M ) = M ' hay M ' = F ( M ) thẳng d điểm H Khi ta có phép biến hình biến điểm A thành H Khi M’ gọi ảnh M qua phép biến hình F Nếu ℘ hình mặt phẳng ta kí hiệu ℘'= F (℘) tập hợp điểm ảnh M thuộc ℘ Khi ta nói F biến hình ℘ thành hình ℘' hay ℘' từ ảnh hình ℘ qua phép biến hình F Phép biến hình biến điểm M mặt phẳng thành gọi phép đồng F ( A ) = H gọi phép chiếu vng góc lên đường thẳng d Phép tịnh tiến Định nghĩa  Trong mặt phẳng cho vectơ u Phép biến hình biến   điểm M thành điểm M’ cho MM ' = u gọi  phép tịnh tiến theo vectơ u , kí hiệu Tu   Nhận xét Như Tu ( M ) = M ' ⇔ MM ' = u Tính chất   a) Nếu Tu ( M ) M '; Tu ( N ) N ' M ' N ' = MN = = Từ suy M ' N ' = MN • phép đồng • điểm cuối vectơ biết hướng Đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với • Đoạn thẳng thành đoạn thẳng • Tam giác thành tam giác • Góc thành góc • Đường trịn thành đường trịn bán kính Biểu thức tọa độ Phép tịnh tiến xác định có vectơ tịnh tiến, tức biết điểm đầu, b) Phép tịnh tiến biến: • Phép tịnh tiến theo vectơ-khơng độ dài vectơ • Phép tịnh tiến bảo tồn khoảng cách hai điểm Chú ý Nếu qn cơng thức ta cần cho Trang   Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M ( x; y ) vectơ MM ' = u , từ suy tọa độ tương ứng  u ( a; b ) Gọi điểm M ' ( x '; y ' ) ảnh điểm M ( x; y ) qua  phép tịnh tiến theo vectơ u  x '= x + a Khi   y '= y + b HỆ THỐNG HÓA KIẾN THỨC: PHÉP TỊNH TIẾN Định nghĩa   Tu ( M ) = M ' ⇔ MM ' = u Biểu thức tọa độ u M ( x; y )  → M ' ( x '; y ' ) T  x '= x + a   y '= y + b Tính chất '; Tu ( N ) N ' = Tu ( M ) M = MN    ⇒ M 'N ' = ⇒ M 'N ' = MN  Phép tịnh tiến biến: • Đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với • Đoạn thẳng thành đoạn thẳng • Tam giác thành tam giác • Góc thành góc • Đường trịn thành đường trịn bán kính II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Phép biến hình Ví dụ mẫu Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, chứng tỏ quy tắc đặt tương ứng điểm M ( x; y ) với điểm M ' ( y; − x ) phép biến hình Hướng dẫn giải Với điểm M ( x; y ) , theo quy tắc ln tồn điểm M’ cho F= ( M ) M ' ( y; − x ) Như vậy, với điểm M ln tồn ảnh M’ (1) Giả sử qua quy tắc trên, điểm M ( x; y ) có hai ảnh M ' ( x '; y ' ) M '' ( x ''; y '' ) Trang  x '' = y x ' = y Ta có    y '' = − x y ' = −x Suy x ' =x ''; y ' =y '' ⇒ M ' ≡ M '' (2) Từ (1) (2), suy ra: quy tắc phép biến hình x ' = −x Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét phép biến hình sau: F ( M ( x; y ) ) = M ' ( x '; y ' ) với   y '= y + a) Xác định ảnh điểm M (1;2 ) qua phép biến hình F b) Xác định phương trình đường thẳng ∆ ' ảnh đường thẳng ∆ : x − y + = qua phép biến hình F c) Xác định phương trình đường trịn ( C ' ) ảnh đường tròn ( C ) qua phép biến hình F: ( C ) : x + y2 − x − y + =0 Hướng dẫn giải  x ' =− x =−1 a) M ' ( x '; y ' )= F ( M ) ⇔  ⇒ M ' ( −1;3 ) y ' = y + = + = b) M ( x; y ) ∈ ∆ thì= F ( M ) M ' ( x ' y ') ∈ ∆ ' −x −x ' x ' = x = Suy  ⇔ y +1 y = y '− y ' = Lúc M ( − x '; y '− 1) ∈ ∆ nên ( − x ' ) − ( y '− 1) + = ⇔ − x '− y '+ = ⇔ x '+ y '− = Vậy ∆ ' : x '+ y '− = ảnh đường thẳng ∆ qua phép biến hình F c) Gọi M ( x; y ) ∈ ( C ) ⇒ F= ( M ) M ' ( x '; y ' ) ∈ ( C ' ) −x −x ' x ' = x = Suy  ⇔ y +1 y = y '− y ' = Mà M ∈ ( C ) nên ( − x ' ) − ( y '− 1) + ( x ' ) − ( y '− 1) + = ⇔ ( x ' ) + ( y ' ) + x '− y '+ = 2 2 Vậy ( C ' ) : x + y + x − y + = ảnh đường tròn ( C ) Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Quy tắc phép biến hình? A Điểm O cho trước đặt tương ứng với O, cịn M khác O M ứng với M’ cho    OM − OM ' = B Điểm O cho trước ứng với điểm O, cịn M khác O M ứng với M’ cho tam giác OMM’ tam giác vuông cân đỉnh O C Điểm O cho trước ứng với điểm O, cịn M khác O M ứng với M’ cho tam giác MM’ tam giác D Điểm O cho trước đặt tương ứng với O, cịn M khác O M ứng với M’ cho OM ' = 2OM Trang Câu 2: Cho phép biến hình F đặt tương ứng điểm M ( x M ; yM ) , điểm M ' ( x '; y ' ) theo công thức x ' xM − = Ảnh điểm A (1;2 ) qua phép biến hình F là: F: y ' yM + = A A ' (1;4 ) B A ' ( 2;0 ) C A ' (1; −2 ) D A ' ( 0;4 ) Câu 3: Cho phép biến hình F đặt tương ứng điểm M ( x M ; yM ) với điểm M ' ( x '; y ' ) theo công thức  x ' = xM Tính độ dài đoạn thẳng PQ với P, Q tương ứng ảnh điểm A (1; −2 ) B ( −1;2 ) qua  y ' yM + = phép biến hình F B PQ = A PQ = C PQ = D PQ = Câu 4: Cho phép biến hình F đặt tương ứng điểm M ( x M ; yM ) với điểm M ' ( x '; y ' ) theo công thức x ' xM + = x y2 Viết phương trình elip ( E ' ) ảnh elip ( E ) : + = qua phép biến hình F F: y ' yM − = A ( E ' ) ( x − 1) : C ( E ' ) ( x − 1) : ( y + 1) + = y2 + = B ( E ' ) ( x − 1) : D ( E ' ) ( x − 1) : ( y − 1) + + = y2 = Dạng 2: Biểu thức tọa độ phép tịnh tiến Phương pháp giải  Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M ( x; y ) vectơ Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho v = ( −2;3 )  u ( a; b ) Gọi điểm M ' ( x '; y ' ) ảnh điểm Hãy tìm ảnh điểm A (1; −1) , B ( 4;3) qua phép   tịnh tiến theo vectơ v M ( x; y ) qua phép tịnh tiến theo vectơ u  x '= x + a Khi đó:   y '= y + b Hướng dẫn giải  x '= x − Biểu thức tọa độ phép tịnh tiến Tv   y '= y + Ta có điểm A (1; −1)  x ' = + ( −2 ) A ' ( x= '; y ' ) Tv ( A ) ⇒   y ' =−1 +  x ' = −1 ⇔ ⇒ A ' ( −1;2 ) y ' = Tương tự ta có ảnh B điểm B ' ( 2;6 ) Ví dụ mẫu Trang  Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho = v (1; −3) đường thẳng d có phương trình x − y + = Viết phương trình đường thẳng d’ ảnh d qua phép tịnh tiến Tv Hướng dẫn giải Cách 1: Sử dụng biểu thức tọa độ phép tịnh tiến Lấy điểm M ( x; y ) tùy ý thuộc d, ta có: x − y + = (* ) x +1 x = x '− x ' = Gọi M ' ( x '; y ' ) = Tv ( M ) ⇒  ⇔ y − y = y '+ y ' = Thay vào (*) ta phương trình: ( x '− 1) − ( y '+ 3) + = ⇔ x '− y '− = 0 Vậy ảnh d đường thẳng d ' : x − y − = Cách 2: Sử dụng tính chất phép tịnh tiến Do d ' = Tv ( d ) nên d’ song song trùng với d, phương trình đường thẳng d’ có dạng x − 3y + c = (** ) Lấy điểm M ( −1;1) ∈ d Khi M ' = Tv ( M ) = ( −1 + 1;1 − 3) = ( 0; −2 ) Do M ' ∈ d ' nên 2.0 − ( −2 ) + c =0 ⇔ c =−6 Vậy ảnh d đường thẳng d ' : x − y − = Cách 3: Để viết phương trình d’ ta lấy hai điểm phân biệt M, N thuộc d, tìm tọa độ ảnh M’, N’ tương ứng chúng qua Tv Khi d’ qua hai điểm M’ N’ Tìm ảnh Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho đường trịn ( C ) có phương trình x + y + x − y − =  ( C ) qua phép tịnh tiến theo vectơ = v ( 2; −3 ) Hướng dẫn giải Cách 1: Sử dụng biểu thức tọa độ Lấy điểm M ( x; y ) tùy ý thuộc đường trịn ( C ) , ta có: x + y + x − y − = (* ) x+2 x '− x ' = x = Gọi M ' ( x '; y ' ) = Tv ( M ) ⇒  ⇔ y −3 y '+ y ' = y = Thay vào phương trình (*), ta được: ( x '− ) + ( y '+ 3) + ( x '− ) − ( y '+ 3) − = 2 ⇔ x '2 + y '2 − x '+ y '− = Vậy ảnh ( C ) đường tròn ( C ' ) : x + y − x + y − = Cách 2: Sử dụng tính chất phép tịnh tiến Dễ thấy ( C ) có tâm I ( −1;2 ) bán kính R = Gọi C ' = Tv ( ( C ) ) I ' ( x '; y ' ) ; R ' tâm bán kính ( C ' ) Trang  x =−1 + =1 Ta có   y =2 − =−1 Suy I ' (1; −1) R=' R= Vậy phương trình đường trịn ( C ' ) ( x − 1) + ( y + 1) = 2 Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x + y − = Tìm phép tịnh tiến theo vectơ  v có giá song song với Oy biến d thành d’ qua điểm A (1;1) Hướng dẫn giải   nên v v có giá song song với Oy= ( 0; k )( k ≠ ) Lấy M ( x; y ) ∈ d ⇒ x + y − = (* ) =  x ' x= x x ' Gọi M ' ( x '; y ' ) = ⇔ Tv ( M ) ⇒  y+k y '− k y ' = y = hay Tv (= Thay vào (*), ta có x '+ y '− k − = −9 d ) d ' : 3x + y − k = Mà d’ qua A (1;1) nên k = −5  Vậy = v ( 0; −5) Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d : x − y + = Tìm d ' : x − y − =  tọa độ v có phương vng góc với d để Tv ( d ) = d ' Hướng dẫn giải  Đặt v = ( a; b ) , lấy điểm M ( 0;1) ∈ d Giả sử M ' ( x '; y ' ) = Tv ( M ) x ' = a thay vào d’ ta phương trình a − 3b = Ta có   y '= + b  Vectơ pháp tuyến đường thẳng d = n ( 2; −3)  Suy vectơ phương d u = ( 3;2 )    Do v ⊥ u nên v.u =0 ⇒ 3a + b =0 16  a=  2 a − 3b =  13 Ta có hệ phương trình  ⇔ 3a + b = b = − 24  13   16 24  Vậy = v  ;−   13 13  Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A ( 3; −3) Ảnh điểm A qua phép tịnh tiến theo vectơ  v = ( −1;3) là: Trang A A ' ( 2; −6 ) B A ' ( 2;0 ) C A ' ( 4;0 ) A N ' ( 0;3) B N ' ( −3;7 ) C N ' ( 3;7 ) D A ' ( −2;0 )  Câu 2: Cho ba điểm M ( 2;3) ; N ( −4;1) ; P ( 6;5) Ảnh N qua phép tịnh tiến theo vectơ MP là: D N ' ( 3;0 ) Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm M ( −10;1) M ' ( 3;8 ) Phép tịnh tiến theo   vectơ v biến điểm M thành điểm M’, tọa độ vectơ v là: A ( −13;7 ) B (13; −7 ) C (13;7 ) A M ' N ' = B M ' N ' = C M ' N ' = D ( −13; −7 )  Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M ( 0;2 ) , N ( −2;1) vectơ v (1;2 ) Phép tịnh tiến theo  vectơ v biến M, N thành hai điểm M’, N’ tương ứng Tính độ dài M’N’ D M ' N ' = Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ∆ABC biết A ( 2;4 ) , B ( 5;1) , C ( −1; −2 ) Phép tịnh tiến theo  vectơ BC biến ∆ABC thành ∆A ' B ' C ' tương ứng điểm Trọng tâm G’ ∆A ' B ' C ' là: B G ' ( 4;2 ) A G ' ( −4; −2 ) C G ' ( 4; −2 ) D G ' ( −4;4 ) Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm phương trình đường thẳng ∆ ' ảnh đường thẳng  qua phép tịnh tiến theo vectơ v (1; −1) ∆ : x + 2y −1 = A ∆ ' : x + y = B ∆ ' : x + y − = C ∆ ' : x + y + = D ∆ ' : x + y + = Câu 7: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng song song d d’ có phương trình 3x − y = x − y + = Phép tịnh tiến theo vectơ sau biến đường thẳng d thành d’?     B v =( −1; −2 ) C v =( −1; −1) D = A = v (1; −1) v (1; −2 ) ( C ') Câu 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phương trình đường trịn  qua Tv với v = (1;2 ) là: ( C ) : x + y2 − x + y − = A ( x + ) + y =6 B ( x − ) + y = Câu 9: Trong mặt phẳng tọa ảnh đường tròn C x + y − x − = D x + y − x + = 0  Oxy, cho đường thẳng v = ( −2;1) độ  d : x − 3= y + 0; d1 : x − 3= y − Biết vectơ w = ( a; b ) có phương vng góc với đường thẳng d để d1 ảnh d qua phép tịnh tiến Tw Khi a + b bằng: A 13 B 16 13 C −8 13 D 13 Câu 10: Cho hình vng ABCD A ( −1;1) , C ( 3;5) Phương trình ảnh đường trịn nội tiếp   hình vng ABCD qua phép tịnh tiến theo vectơ v = AC là: A ( x − 3) + ( y − 5) = B ( x + 1) + ( y − 1) = 16 C ( x − ) + ( y − 1) = D ( x − 3) + ( y − 5) = 16 2 2 2 2 HẾT -Trang ĐÁP ÁN Dạng 1: Phép biến hình 1–A 2–D 3–B 4–A Câu 1:      Ta có OM − OM ' = ⇔ MM ' = ⇔ M ' ≡ M Quy tắc đặt phép đồng Do chọn A Các quy tắc cịn lại khơng phép biến hình + Đáp án B, C khơng nói góc vng góc lượng giác nên ln tồn hai ảnh M + Yếu tố thẳng hàng hay không thẳng hàng đủ để thấy rõ ảnh M không Câu 2:  x ' = xM − = − = Theo công thức, ta có:  ⇒ A ' ( 0;4 )  y ' = yM + = + = Câu 3:   x ' = xM Theo cơng thức  , ta có: P (1; −1) , Q ( −1;3) ⇒ PQ = ( −2;4 ) ⇒ PQ = y ' yM + = Câu 4: Gọi M ( x M ; yM ) ∈ ( E ) : x M2 yM2 + = (1) xM +  xM = x '− x ' = Với = F ( M ) M ' ( x '; y ' ) ∈ ( E ' ) , theo công thức  ⇔ yM − y '+ y ' =  yM = Thay vào (1) ta có ( x '− 1) Phương trình ( E ' ) ( y '+ 1) + ( x '− 1) = ( y '+ 1) + = Dạng 2: Biểu thức tọa độ phép tịnh tiến 1–B 2–A 3–C 4–A 5–A 6–A 7–C 8–B 9–C 10 - A Câu 1:   x A + xv x = −1 = A'  x= ⇒  A' ⇒ A ' ( 2;0 ) Ta có Tv ( A ) = A ' ( x A ; y A ) ⇔ AA ' = v⇔  yA ' =yA + yv  yA ' =−3 + =0 Câu 2:  Ta có MP = ( 4;2 )  Gọi N ' ( x '; y ' ) ảnh N ( −4;1) qua phép tịnh tiến theo vectơ MP  x '= x + a Áp dụng biểu thức tọa độ phép tịnh tiến  , ta có:  y '= y + b  x ' =−4 +  x =0 ⇔  1+ y ' = y = Vậy N ' ( 0;3) Câu 3: Trang  Ta có MM ' = (13;7 )    Tv ( M ) = M ' ⇔ MM ' = v ⇔ v = (13;7 ) Câu 4:  T ( M ) = M ' Ta có  v ⇒ MN = M ' N ' =  Tv ( N ) = N ' ( −2 − ) + (1 − ) 2 = Câu 5:  Ta có tọa độ trọng tâm ∆ABC G ( 2;1) ; BC =( −6; −3)    x G + x   x=  x G ' =2 − =−4 G' BC  ( G )= G ' ( x ; y ) ⇔ GG = T BC ⇔ ⇒ ⇒ G ' ( −4; −2 ) '   G' G' BC   yG ' =yG + y  yG ' =1 − =−2 BC Câu 6: Cách 1: Chọn A (1;0 ) ∈ ∆ ⇒ Tv = ( A ) A ' ( 2; −1) ∈ ∆ ' Chọn B ( −1;1) ∈ ∆ ⇒ = Tv ( B ) B ' ( 0;0 ) ∈ ∆ ' Đường thẳng ∆ ' đường thẳng A’B’  Đường thẳng ∆ ' qua A ' ( 2;1) có vec tơ pháp tuyến n = (1;2 ) có phương trình ∆ ' :1 ( x − ) + ( y + 1) = ⇔ x + y = Cách 2: Vì Tv ( ∆ ) =∆ ' nên ∆ ', ∆ hai đường thẳng phương Do ∆ ' có dạng x + y + m = Chọn A (1;0 ) ∈ ∆ ⇒ Tv = m ( A ) A ' ( 2; −1) ∈ ∆ ' ⇒= Vậy phương trình đường thẳng ∆ ' : x + y = Cách 3: Sử dụng quỹ tích Lấy M ( x M ; yM ) ∈ ∆ ⇔ x M + yM − = (1) xM +  xM = x '− x ' = Ta có= Tv ( M ) M ' ( x '; y ' ) ∈ ∆ ' ⇔  ⇔ yM − y '+ y ' =  yM = Thay vào (1) ta ( x '− 1) + ( y '− 1) − = ⇔ x '+ y ' = Vậy ∆ ' : x + y = Nhận xét: Sử dụng cách có tính tư cao hơn, nhanh áp dụng cho nhiều loại hình khác Câu 7:  Gọi v = ( a; b ) vectơ tịnh tiến biến d thành d’ Khi M ( x; y ) ∈ d biến thành điểm M ' ( x '; y ' ) ∈ d ' x + a x = x '− a x ' = Áp dụng công thức  ⇒ y + b y = y '− b y ' = Thay vào phương trình d ta có ( x '− a ) − ( y '− b ) =0 ⇔ x '− y '− 3a + b =0 Trang 10 ... từ ảnh hình ℘ qua phép biến hình F Phép biến hình biến điểm M mặt phẳng thành gọi phép đồng F ( A ) = H gọi phép chiếu vng góc lên đường thẳng d Phép tịnh tiến Định nghĩa  Trong mặt phẳng cho... TRỌNG TÂM Phép biến hình Định nghĩa Quy tắc đặt tương ứng điểm M mặt phẳng với điểm xác định M’ mặt phẳng gọi phép biến hình mặt phẳng Kí hiệu Ví dụ Hình chiếu điểm A lên đường Phép biến hình F... Khi ta có phép biến hình biến điểm A thành H Khi M’ gọi ảnh M qua phép biến hình F Nếu ℘ hình mặt phẳng ta kí hiệu ℘''= F (℘) tập hợp điểm ảnh M thuộc ℘ Khi ta nói F biến hình ℘ thành hình ℘'' hay