cac dang bai tap hinh tru hinh non hinh cau

Chương Hình trụ - Hình nón - Hình cầu §1 Hình trụ Diện tích xung quanh thể tích hình trụ Tóm tắt lí thuyết Hình trụ Khi quay hình chữ nhật ABCD vịng quay cạnh CD cố định, ta hình trụ (h.73) Khi đó: - Hai đáy hai hình trịn (C) (D) nằm hai mặt phẳng song song - Đường thẳng CD trục hình trụ - AB đường sinh Đường sinh vng góc với hai mặt phẳng đáy Độ dài đường sinh chiều cao hình trụ D A C E F B Hình 73 Diện tích xung quanh hình trụ Sxq = 2πRh Stp = 2πRh + 2πR2 Thể tích hình trụ V = Sh = πR2 h (R bán kính đáy, h chiều cao, S diện tích đáy) Các ví dụ Ơ Ví dụ Một hình trụ có bán kính đường trịn đáy cm, chiều cao cm Hãy tính: Diện tích xung quanh hình trụ Diện tích tồn phần hình trụ Thể tích hình trụ Lời giải 620 Chương Hình trụ - Hình nón - Hình cầu Diện tích xung quanh hình trụ Sxq = 2πRh = · π · · = 24π ≈ 24 · 3, 14 = 75, 36 (cm2 ) 621 O A Diện tích tốn phần hình trụ Stp = 2πRh + 2πR2 = · π · · + · π · 22 = 24π + 8π = 32π ≈ 32 · 3, 14 = 100, 48 (cm2 ) O A Thể tích hình trụ là: V = πR2 h = π · 22 · = 24π ≈ 24 · 3.14 = 75, 36 (cm3 ) Ơ Ví dụ Một hình trụ có diện tích xung quanh 20π cm2 diện tích tồn phần 28π cm2 Tính thể tích hình trụ Lời giải Stp − Sxq 28π − 20π Ta có Sđ = = = 4π (cm2 ) 2 Mà Sđ = πR2 ⇔ πR2 = 4π ⇔ R = (cm) 20π 10 Ta có Sxq = 2πRh ⇒ h = = = (cm) 2πR Thể tích hình trụ V = πR2 h = π · 22 · = 20π ≈ 62, (cm3 ) O A O A Ơ Ví dụ Một hình trụ có chiều cao cm Biết diện tích tồn phần gấp đơi diện tích xung quanh Tính thể tích hình trụ Lời giải Vì diện tích tồn phần hai lần diện tích xung quanh nên 2πRh + 2πR2 = 4πRh ⇔ 2πR2 = 2πRh ⇔ R = h Vậy bán kính đáy cm Thể tích hình trụ V = πR2 h = π · 52 · = 125π (cm3 ) O A O A Ơ Ví dụ Một thùng phuy hình trụ có số đo diện tích xung quanh (tính mét vng) số đo thể tích (tính mét khối) Tính bán kính đáy hình trụ Lời giải Tài liệu Toán của: Hình trụ Diện tích xung quanh thể tích hình trụ 622 Gọi bán kính đáy chiều cao hình trụ R h Ta có Sxq = 2πRh (m2 ); V = πR2 h (m3 ) Theo đề hai số đo nên ta có 2πRh = πR2 h suy R = (m) O A O A Ơ Ví dụ Một lọ hình trụ “đặt khít” hộp giấy hình hộp chữ nhật Biết thể tích lọ hình trụ 270 cm3 , tính thể tích hộp giấy Lời giải Gọi bán kính chiều cao hình trụ R h Khi hình hộp chữ nhật có cạnh đáy 2R chiều cao h Gọi V1 V2 thể tích hình trụ hình hộp V1 πR2 h 270 π Ta có = Do = V2 4R h V2 270 · Suy V2 = ≈ 344 (cm3 ) π Vậy thể tích hình hộp 344 (cm3 ) Ơ Ví dụ Cho hình chữ nhật ABCD với AB = 2a, BC = a Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB vịng hình trụ tích V1 quay hình chữ V1 nhật ABCD quanh cạnh BC vịng hình trụ tích V2 Tính tỉ số V2 Lời giải Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB vịng hình trụ có chiều cao h = AB = 2a, bán kính đáy R = BC = a nên tích D C a V1 = πR2 h = πa2 · 2a = 2πa3 (đvtt) Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh BC vịng hình trụ có chiều cao h = BC = a, bán kính đáy R = CD = 2a nên tích 2a A V2 = πR h = π(2a)2 · a = 4πa3 (đvtt) Vậy V1 2πa3 = = V2 4πa Ơ Ví dụ Một hộp sữa hình trụ có chiều cao đường kính cm Biết diện tích vỏ hộp ( kể nắp) 292, 5πcm2 Tính thể tích hộp sữa Lời giải Giáo viên: B Chương Hình trụ - Hình nón - Hình cầu 623 Gọi R bán kính đáy hộp sữa, h chiều cao Ta có h = 2R + Vì diện tích toàn phần hộp sữa 292, 5πcm2 nên ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 2πR(h + R) = 292, 5π 2πR(h + R) = 292, 5π 2πR(2R + + R) = 292, 5π R(R + 1) = 48, 75 R2 + R − 48, 75 = O A O A Giải R1 = 6, (chọn); R2 = −7, (loại) Vậy bán kính đáy hộp sữa 6, cm Chiều cao hộp sữa 16 cm Thể tích hộp sữa V = πR2 h = π · (6, 5)2 · 16 = 676π (cm3 ) Luyện tập Bài Một hình trụ có bán kính đường trịn đáy cm, chiều cao cm Hãy tính Diện tích xung quanh hình trụ Thể tích hình trụ Lời giải O Diện tích xung quanh hình trụ · π · · = 108π (cm2 ) A Thể tích hình trụ π · 62 · = 324π (cm3 ) O A Bài Một hình chữ nhật có chiều dài chiều rộng cm, cm Quay hình chữ nhật vịng quanh chiều dài hay chiều rộng thể tích lớn Lời giải Khi quay quanh chiều dài R = 5, h = (cm) V1 = π · 52 · = 200π (cm3 ) Khi quay quanh chiều rộng R = 8, h = (cm) V2 = π · 82 · = 320π (cm3 ) Vì V2 > V1 nên quay quanh chiều rộng thể tích lớn quay quanh chiều dài D C A B Bài Người ta cắt hình trụ mặt phẳng chứa trục Biết thiết diện hình vng có diện tích 36 cm2 Tính diện tích xung quanh thể tích hình trụ Tài liệu Tốn của: 624 Hình trụ Diện tích xung quanh thể tích hình trụ Lời giải √ Độ dài cạnh thiết diện a = 35 = (cm) Vậy chiều cao hình trụ h = (cm), đường kính đáy hình trụ Ta có 2R = R = (cm) O C B Diện tích xung quanh hình trụ Sxq = 2πRh = · π · · ≈ 113, (cm2 ) Thể tích hình trụ V = πR2 h = π · 32 · ≈ 169, 56 (cm3 ) D O A Bài Một hình trụ có chu vi đáy 24π cm diện tích tồn phần 768πcm2 Tính thể tích hình trụ Lời giải Ta có C = 2πR, suy 24π C = = 12 (cm) Vì dện tích tồn phần hình trụ 768π cm2 R= 2π 2π nên 2πR(h + R) = 768π, hay 2π · 12(h + 12) = 768π ⇒ h + 12 = 32 ⇒ h = 20 (cm) Vậy thể tích hình trụ V = πR2 h = π · 122 · 20 = 2880π (cm3 ) O A O A Bài Tỉ số diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ Biết bán kính đáy cm, tính chiều cao hình trụ Lời giải Gọi bán kính đáy chiều cao hình trụ R h ta có Sxq = 2πRh = 2π · 6h = 12πh Sxq Stp = 2πR(h + R) = 2π · 6(h + 6) Theo đề ta có = Sxq 12πh Suy = Giải ta h = (cm) 12π(h + 6) O A h O A Bài Một hình trụ tích 300 cm3 diện tích xung quanh 120 cm2 Tính diện tích tồn phần hình trụ Lời giải Gọi bán kính đáy chiểu cao hình trụ R h Ta có V = πR2 h = 300 (cm3 ) Sxq = 2πRh = 120 (cm2 ) πR2 h 300 Do = ⇒ R = (cm) 2πRh 120 Stp = 2πRh + 2πR = 120 + 157 = 277 (cm2 ) O A O A Bài Một hình trụ có diện tích xung quanh 24π cm2 diện tích tồn phần 42π cm2 Tính thể tích hình trụ Giáo viên: Chương Hình trụ - Hình nón - Hình cầu 625 Lời giải Gọi bán kính đáy chiều cao hình trụ R h Ta có Stp − Sxq 42π − 24π = = 9π (cm2 ) Sđ = 2 Sđ = 9π ⇔ πR2 = 9π ⇔ R = (cm) Sxq Ta có Sxq = 2πRh ⇒ h = = (cm) 2πR Do thể tích hình trụ V = πR2 h = π · 32 · = 36π (cm3 ) O A O A Bài Một hình trụ có bán kính đáy chiều cao, thiết diện qua trục có diện tích 72 cm2 Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần thể tích hình trụ Lời giải Gọi bán kính đáy R, chiều cao h Theo đề ta có R = h 2Rh = 72 ⇔ R2 = 36 ⇔ R1 = (thỏa mãn), R2 = −6 (loại) Do R = h = cm C O B Diện tích xung quanh 2πRh = 2π · Rh = 2π · · = 72π (cm2 ) D Diện tích toàn phần 2πRh + 2πR2 = 2π · · + 2π · 62 = 144π (cm2 ) O A Thể tích hình trụ πR2 h = π · 62 · = 216π (cm3 ) Bài Một hình trụ có chiều cao 18 cm diện tích tồn phần 176 cm2 Chứng minh diện tích xung quanh hình trụ lần diện tích đáy Lời giải Gọi bán kính đáy chiều cao hình trụ R h Vì diện tích tồn phần 176π cm2 nên ta có O A O A 2πR(h + R) = 176π ⇔ 2πR(18 + R) = 176π ⇔ R2 + 18R − 88 = Giải R1 = (chọn); R2 = −22 (loại) Vậy diện tích đáy hình trụ Sđ = πR2 = 16π (cm2 ) Diện tích xung quanh hinh tru Sxq 144π = = (lần) Sxq = 2πRh = 2π · · 18 = 144π (cm2 ) Do Sđ 16π Bài 10 Cho hình chữ nhật ABCD có AB > BC Biết diện tích hình chữ nhật 48 cm2 , chu vi 28 cm Cho hình chữ nhật quay quanh cạnh AB vòng ta đuợc hình trụ Tính dện tích xung quanh, diện tích tồn phần thể tích hình trụ Lời giải Tài liệu Toán của: Hình trụ Diện tích xung quanh thể tích hình trụ 626 ® AB + BC = 14 AB · BC = 48 Suy AB, BC nghiệm phương trình: x2 − 14x + 48 = Giải phương trình ta đươc x1 = 6, x2 = Do AB > BC nên AB = 8; BC = Từ đề ta có B C A D Diện tích xung quanh hình trụ Sxq = · π · BC · AB = 2π · · = 96π (cm2 ) Diện tích tồn phần hình trụ Stp = Sxq +2Sđ = 96π+2πR2 = 96π+2π·62 = 168π (cm2 ) Thể tích hình trụ V = π · BC · AB = π · 62 · = 288π (cm3 ) Giáo viên: Chương Hình trụ - Hình nón - Hình cầu 627 §2 Hình nón - Hình nón cụt - Diện tích xung quanh thể tích hình nón, hình nón cụt Tóm tắt lí thuyết Mơ tả hình nón S +) Đáy hình nón hình trịn (O); +) SA đường sinh; h +) S đỉnh, SO đường cao l r A O B Diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón Sxq = πrl Stp = πrl + πr2 (r, l bán kính đáy độ dài đường sinh hình nón) Thể tích hình nón V = πr2 h (h chiều cao) Hình nón cụt Khi cắt hình nón mặt phẳng song song với đáy phần mặt phẳng bị giới hạn hình nón hình trịn Phần hình trịn nằm mặt phẳng nói đáy hình nón cụt A A O B O Diện tích xung quanh, diện tích tồn phần hình nón cụt Sxq = π(R + r)l Stp = π(R + r)l + πR2 + πr2 R, r bán kính hai đáy, l độ dài đường sinh hình nón cụt) Thể tích hình nón cụt: V = π h(R2 + r2 + Rr) (h đường cao hình nón cụt) Tài liệu Tốn của: B Hình nón - Hình nón cụt - Diện tích xung quanh thể tích hình nón, hình nón cụt 628 ! 35 Hình khai triển mặt xung quanh hình nón hình quạt 36 Một hình nón xác định biết yếu tố: bán kính đáy, chiều cao, đường sinh ! Các ví dụ Ơ Ví dụ Một hình nón có bán kính đáy r, diện tích xung quanh gấp đơi diện tích đáy Tính theo r Diện tích xung quanh hình nón; Thể tích hình nón Lời giải S Diện tích xung quanh gấp đơi diện tích đáy nên πrl = 2πr2 suy l = 2r Vậy πrl = πr · 2r = 2πr2 Diện tích xung quanh 2πr2 Xét tam giác SOA vng O, ta có h2 = l2 − r2 = (2r)2 − r2 = √ 3r nên h = r √ √ πr3 Thể tích hình nón V = πr h = πr · r = 3 h l r A O B Ơ Ví dụ Một hình nón có bán kính đáy r, đường sinh l Khai triển mặt xung quanh hình nón ta hình quạt Tính số đo cung hình quạt theo r l Lời giải Khi cắtmặt xung quanh hình nón theo đường sinh trải phẳng thành hình quạt Khi bán kính hình quạt trịn SBC độ dài đường sinh ˜ chu vi đáy Độ dài BC ˜ SB = l độ dài BC hình quạt chu vi đáy hình nón 2πr Độ dài đường tròn (S; SA) 2πl 2π · l2 · n 2π · l2 · n Ta có Squạt = = l · 2π · r ⇒ = l · 2π · r 360 360 l·n ⇒ = r Do đó, số đo cung AB hình quạt 360 n◦ = 360◦ · S C l A 2πr r = 360◦ · 2πl l Giáo viên: O r B Chương Hình trụ - Hình nón - Hình cầu 629 Ơ Ví dụ Một hình nón cụt có bán kính đáy a 2a, chiều cao a Tính diện tích xung quanh hình nón cụt; Tính thể tích hình nón cụt Lời giải Trong mặt phẳng OABO , kẻ AH ⊥ O B Ta có O H = OA = a nên √ a Tam giác AHB vuông cân nên √ HB = AB = HB = a √ √ Ta có Sxq = π(r1 + r2 )l = π(a + 2a) · a = 3πa2 a O A Tính thể tích hình nón cụt: V = πa[a2 + (2a)2 + a · 2a] = πa3 3 H O 2a B Ơ Ví dụ Một hình nón có bán kính đáy 20 cm, số đo thể tích (tính cm2 ) bốn lần số đo diện tích xung quanh (tính cm2 ) Tính chiều cao hình nón Lời giải Gọi h chiều cao hình nón Thể tích hình nón S 400 V = π · 202 · h = πh 3 √ Đường sinh SA h2 + 202 Diện tích xung √ quanh hình nón Sxq = π · 20 h2 + 400 Do V = 4Sxq nên h √ 400 πh = · 20π h2 + 400 √ ⇔ 5h = h2 + 400 ⇔ 25h2 = 9(h2 + 400) ⇔ h2 = 225 ⇔ h = 15 A 20 O B Vậy chiều cao hình nón 15 cm Ơ Ví dụ Cho tam giác ABC vng A, BC = 10 cm, đường cao AH = cm Quay tam giác ABC vịng quanh cạnh BC Tính thể tích hình tạo thành Lời giải Tài liệu Tốn của: Ôn tập chương IV 640 §4 Ôn tập chương IV Các ví dụ Ơ Ví dụ Cho hình trịn (I, cm) nội tiếp hình vng ABCD Tính thể tích diện tích hình cầu tạo thành quay hình trịn (I, cm) quanh đường kính Tính thể tích diện tích tồn phần hình trụ tạo thành quay hình vng ABCD quanh OO , với O, O trung điểm BC AD Lời giải C O B I D O A Hình cầu tạo thành quay hình trịn (I, cm) quanh đường kính có tâm 4π I bán kính R = cm Do đó, thể tích khối cần V = πR3 = cm3 diện 3 tích mặt cầu S = 4πR2 = 4π cm2 Hình trụ tạo thành quay hình vng ABCD quanh OO có hai đáy hai hình trịn (O, OB) (O , O A) Vì hình vng ABCD ngoại tiếp đường trịn (I, cm) nên AB = BC = cm Do OB = cm Suy ra, thể tích hình trụ V = π · OB · AB = 2π cm3 Diện tích tồn phần hình trụ Stp = 2π · OB · AB + 2π · OB = 6π cm2 Ô Ví dụ Cho ABC cạnh a, đường cao AH, nội tiếp đường trịn tâm O Tính thể tích hình nón hình cầu tạo thành quay quanh trục AH, biết a = cm ABC đường trịn (O) Tính tỉ số diện tích xung quanh hình nón diện tích mặt cầu tạo thành quay Giáo viên: Chương Hình trụ - Hình nón - Hình cầu 641 ABC đường tròn (O) quanh trục AH Lời giải A O B C H Hình nón tạo thành quay ABC quanh trục AH tạo thành hình nón có đáy hình trịn tâm O bán kính HB, chiều cao AH Hình cầu tạo thành quay hình tròn tâm O ngoại tiếp ABC quanh trục AH hình cầu tâm O bán kính OA √ √ a BC a = cm, HB = = = cm Do Lại có a = cm, AH = AB sin 60◦ = 2 ABC nên√O tâm đường tròn ngoại tiếp đồng thời trọng tâm ABC, suy 2 OA = AH = cm 3 Khi thể tích hình nón √ π Vnón = · AH · π · HB = cm3 3 Thể tích hình cầu Vcầu √ 32π = π · OA3 = cm3 27 Đường sinh hình nón AB = a Diện tích xung quanh hình nón S1 = π · HB · AB = a2 π Diện tích mặt cầu S2 = 4π · OA2 = 4a2 π Do tỉ số diện tích xung quanh hình nón diện tích mặt cầu S1 a2 π 4a2 π = : = S2 2 Tài liệu Toán của: Ôn tập chương IV 642 Ơ Ví dụ Cho tam giác ABC vng A, đường cao AH Biết AB = √ “ = 60◦ cm, B Tính AC, BC AH Tính thể tích khối tạo thành quay ABC quanh trục AC Tính thể tích khối tạo thành quay ABC quanh trục BC Lời giải Ta có ABC vng nên AC = AB · tan B = √ C · tan 60◦ = cm Theo định lí Pi-ta-go lại có √ √ BC = AB + AC = cm Mặt khác H AHB vuông H nên A AH = AB · sin B = cm B Khi quay ABC quanh trục AC tạo thành khối nón đỉnh C đáy hình trịn tâm A bán kính AB Thể tích khối nón Vnón = C · AC · π · AB = 3π cm3 A B Khi quay ABC quanh trục BC tạo thành hai khối nón đỉnh B đỉnh C chung đáy hình trịn tâm H, bán kính HA (hình vẽ) √ √ 3 Lại có AC = CH · BC ⇒ CH = cm ⇒ BH = cm 2 Khi thể tích khối nón đỉnh C, đáy hình trịn (H, HA) √ 9π V1 = · CH · π · AH = cm3 Thể tích khối nón đỉnh B, đáy hình trịn (H, HA) √ 3π V2 = · BH · π · AH = cm3 √ 3π Vậy thể tích khối cần tính V = V1 + V2 = cm3 Giáo viên: C A H B Chương Hình trụ - Hình nón - Hình cầu 643 Ơ Ví dụ Cho hình trụ (T ) có hai đáy hình trịn (O; R) (O , R) hình nón (N ) có đỉnh O , đáy hình trịn (O, R) Từ miếng xốp hình trụ (T ), người ta gọt bỏ để tạo thành khối xốp hình nón (N ) Tính thể tích phần bị gọt bỏ Biết R = cm OO = cm Nếu tăng gấp đơi bán kính R thể tích hình trụ (T ) hình nón (N ) thay đổi nào? Lời giải O O Thể tích khối xốp hình trụ Vtrụ = OO · π · R2 = 36π cm3 Thể tích khối xốp hình nón Vnón = · OO · π · R2 = 12π cm3 Vậy thể tích phần xốp bị gọt bỏ V = Vtrụ − Vnón = 24π cm3 Thể tích hình trụ với bán kính R V1 = OO · π · R2 Thể tích hình trụ với bán kính R = 2R V1 = OO · π · (2R)2 = · OO · π · R2 V1 = Khi ta có V1 Vậy tăng gấp đơi bán kính R thể tích hình trụ tăng lên lần Thể tích hình nón với bán kính R V2 = · OO · π · R2 Thể tích ình nón với bán kính R = 2R V2 = · OO · π · (2R)2 = · OO · π · R2 3 V2 = Khi ta có V2 Vậy tăng gấp đơi bán kính R thể tích hình nón tăng lên lần Ơ Ví dụ Cho phễu chứa nước hình nón ngược Miệng phễu đường trịn đường kính dm Khoảng cách từ đáy phễu đến điểm miệng phễu dm Tính lượng nước để đổ đầy phễu (giả thiết thành phễu có độ dày khơng đáng kể) Người ta đổ đầy nước vào phễu rút cho chiều cao lượng nước lại nửa lượng nước ban đầu Tính thể tích lượng nước lại phễu Lời giải Tài liệu Toán của: Ôn tập chương IV 644 Gọi O tâm đường tròn đáy phễu A điểm đường trịn ấy, SA = dm, OA = dm SO ⊥ OA Suy ra, chiều cao phễu √ SO = SA2 − OA2 = dm O A Thể tích phễu V = · SO · π · OA2 = 12π dm3 S Lượng nước đổ đầy phễu thể tích phễu, tức 12π dm3 Gọi I trung điểm SO, K trung điểm SA phần nước cịn lại phễu khối nón đỉnh S đáy hình trịn tâm I bán kính IK Ta có IK đường trung bình SOA nên IK = O A I OA = dm 2 K Do thể tích phần nước lại phễu V = 3π · SI · π · IK = dm S Luyện tập Bài Cho hình chữ nhật ABCD có AB = cm AD = cm Gọi M, N trung điểm AB CD Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh trục M N khối gì? Tính thể tích khối Khi quay N AB quanh trục M N khối gì? Tính diện tích xung quanh khối Lời giải Giáo viên: Chương Hình trụ - Hình nón - Hình cầu Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh trục M N khối trụ có AB đáy hình trịn tâm M bán kính M A = = hình trịn tâm 2 N bán kính N D tích V = AD · π · M A2 = 645 D N C A M B π cm3 N AB quanh trục M N khối√nón đỉnh N đáy 17 hình trịn (M, AM ), độ dài đường sinh AN = có diện tích xung quanh √ π 17 cm2 S = π · AM · AN = Khi quay Bài Cho hình trịn (O, R) có diện tích 4π Quay hình trịn quanh đường kính ta hình cầu tâm O bán kính R Tính thể tích hình cầu Nếu diện tích hình trịn giảm nửa diện tích mặt cầu thay đổi nào? Lời giải Diện tích hình trịn B π · R2 = 4π ⇔ R = Do thể tích hình cầu 32π V = · π · R3 = 3 O A Diện tích mặt cầu S = 4π · R2 = 16π Nếu diện tích hình trịn giảm nửa trịn bán kính R √ π · R = 2π ⇔ R = Khi diện tích mặt cầu S = 4π · R = 8π Suy S = Vậy diện tích mặt cầu giảm nửa S Bài Cho khối xốp hình nón có đường kính đáy 18 cm độ dài từ đỉnh đến điểm đường tròn đáy 15 cm Tài liệu Toán của: Ôn tập chương IV 646 Tính chiều cao thể tích hình nón Cắt chỏm khối xốp cho phần cịn lại hình nón cụt có chiều cao nửa chiều cao hình nón ban đầu Tính thể tích phần bị cắt bỏ Tiếp tục cắt khối nón cụt để tạo thành hình trụ có đáy đáy nhỏ hình nón cụt Tính thể tích hình trụ tạo thành Lời giải S I B O A Giả sử hình nón có đỉnh điểm S đáy đường tròn tâm O, A điểm đường 18 trịn đáy Khi bán kính đáy hình nón OA = = cm chiều cao hình nón √ √ SO = SA2 − OA2 = 152 − 92 = 12 cm Thể tích hình nón V = · SO · π · OA2 = 324 cm3 Gọi I trung điểm SO, B trung điểm SA Phần bị cắt bỏ khối nón có đỉnh S đáy hình trịn (I, IB) OA IB đường trung bình SOA nên IB = = Thể tích khối nón bị cắt 2 81π · SI · π · IB = cm3 3 Khối trụ có đáy hình trịn (I, IB) chiều cao IO nên tích V = IO · π · IB = 243π cm3 Bài Một hộp hình trụ chứa vừa khít ten-nít Biết diện tích tồn phần hộp 597cm2 Tính đường kính thể tích ten-nít Lời giải Giáo viên: Chương Hình trụ - Hình nón - Hình cầu 647 Gọi R bán kính ten-nít bán kính đáy hộp R, chiều cao trụ 8R Ta có Sdttp = · Sđáy + Sxq = 2πR2 + 2πR · 8R = 18πR2 Ta lại có diện tích xung quanh đề cho 597cm2 ⇒ R ≈ 3, 25cm 4 Vậy V = πR ≈ π · (3, 25)3 ≈ 144cm3 3 Bài Cho hình vẽ bên Tính tổng thể tích khối tạo thành quay A B hình bên quanh trục BD F C E D Lời giải Tam giác ABC quay quanh trục BD tạo thành hình nón với bán kính đáy cạnh AB đường cao BC Thể tích hình nón π · AB · BC √ = π · AB · AC − BC √ = π · 32 · 52 − 32 V1 = = 12π (đvtt) Hình chữ nhật CDEF quay quanh trục BD tạo thành hình trụ với bán kính đáy cạnh DE đường cao CD Thể tích hình trụ V2 = π · DE · CD = π · 52 · = 75π (đvtt) Thể tính khối tạo thành quay hình quanh trục BD V = V1 + V2 = 87π (đvtt) Bài Một hình nón có đỉnh tâm hình cầu có đáy hình trịn tạo mặt phẳng cắt hình cầu Biết diện tích đáy hình nón 144πcm2 diện tích xung quanh 180πcm2 Tính thể tích phần khơng gian bên hình cầu bên ngồi hình nón Lời giải Tài liệu Tốn của: Ôn tập chương IV 648 Tính bán kính đáy hình nón π · IM · 144π ⇔ r = IM = 12cm Tính đường sinh hình nón O Sxq = 180π ⇔ π · r · l = 180π ⇔ l = OM = 15cm Chiều cao hình nón √ √ h = OI = OM − IM = l2 − r2 = 9cm N I M Tính hiệu thể tích hình cầu hình nón V = Vcầu − Vnón = π · OM − π · IM · h = 4068πcm3 3 Bài Tam giác ABC có độ dài cạnh a, ngoại tiếp đường trịn Cho hình quay vịng xung quanh đường cao AH tam giác đó, ta hình nón ngoại tiếp hình cầu Tính thể tích phần hình nón nằm ngồi hình cầu Lời giải Gọi I tâm tam giác ABC Bán kính hình cầu bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC, nghĩa IH √ a 3a ⇒ AH = Ta có AH = CA2 − CH = 4√ √ 1 a a Vậy R = IH = · AH = · = 3 √ a3 Do thể tích hình cầu Vc = πR = (đvtt) 54 Thể tích hình nón √ √ a a a3 · (đvtt) Vn = π · AH · HB = π · = 3 2 A I B H C √ √ √ a3 a3 23a3 Vậy phần thể tích hình nón nằm ngồi hình cầu V = − = (đvtt) 54 216 Bài Một hình nón cụt có bán kính đáy lớn cm bán kính đáy bé cm, chiều cao cm Tính diện tích xung quanh hình nón cụt Tính thể tích hình nón sinh hình nón cụt Lời giải Giáo viên: Chương Hình trụ - Hình nón - Hình cầu 649 Kẻ CH ⊥ AB (tại H) Khi CH = OO = (cm) Mặt khác, HA √ = OA − OH = OA − O C = (cm) Vậy l = CA = CH + HA2 = (cm) Diện tích xung quanh hình nón cụt O C D Sxq = π(r1 + r2 )l = 75π A H B O Gọi giao điểm OO CA S SO SO = CO AO Gọi SO = x (cm) (x > 0) từ đẳng thức ta có Theo hệ định lý Ta-lét, ta có x+4 x = Giải phương trình ta có nghiệm x = (nhận) Vậy chiều cao hình nón sinh hình nón cụt h = SO = SO + OO = 12 (cm) 1 Thể tích cần tìm V = πr2 h = π · 92 · 12 = 324π (đvtt) 3 Bài Cho hình chữ nhật ABCD (AB > AD) có chu vi diện tích cm cm2 Tính thể tích diện tích hình trụ sinh quay hình chữ nhật quanh cạnh AB Hình trụ chứa vừa khít khối cầu bán kính R Tính R phần thể tích hình trụ khối cầu Lời giải Ta có ® ® ® 2(AB + AD) = AB + AD = AB = (cm) ⇔ ⇒ AB · AD = AB · AD = AD = (cm) A D B C Thể tích hình trụ V = AB · πAD2 = 2π (cm3 ) Diện tích hình trụ S = AB · 2πAD + · πAD2 = 4π + 2π = 6π (cm2 ) Ta có bán kính khối cầu R= Thể tích khối cầu AB = (cm) 4π V1 = πR3 = (cm3 ) 3 Tài liệu Toán của: Ôn tập chương IV 650 Phần thể tích khối trụ khối cầu V − V1 = 14 π (cm3 ) Bài 10 Cho ba điểm A, O, B thẳng hàng theo thứ tự OA = a, OB = b Vẽ hai tia Ax, By vuông góc với AB Qua O vẽ hai tia vng góc với O cắt Ax, By C, D Cho COA = 30◦ Tính tỉ số thể tích hình tam giác AOC BOD tạo thành quay hình quanh trục AB Giả sử BDC = 60◦ Tính thể tích hình nón cụt tạo thành quay hình vẽ quanh trục AB Lời giải Quay AOC quanh trục AB ta hình nón có D + Chiều cao h = OA = a √ a + Bán kính đáy r = AC = OA · tan 30◦ = Khi thể tích hình nón πa3 V1 = πr2 h = Quay C BOD quanh trục AB ta hình nón có A + Chiều cao h = OB = b ◦ ◦ 60 30 O √ + Bán kính đáy r = BD = OB · tan 60◦ = b Khi thể tích hình nón V2 = πr2 h = πb3 Vậy thể tích cần tìm V1 a3 = V2 9b Quay hình vẽ quanh trục AB ta hình nón cụt có √ + Bán kính đáy lớn R = BD = b √ a + Bán kính đáy nhỏ r = AC = + Chiều cao h = AB = OA + OB = a + b Suy thể tích hình nón cụt cần tìm Å ã 1 2 2 V = πh R + r + rR = π(a + b) 3b + a + ab 3 Giáo viên: B Chương Hình trụ - Hình nón - Hình cầu 651 “ = 90◦ , BC = cm, CD = cm, B “ = 60◦ Bài 11 Cho hình thang vng ABCD có A = D Khi quay hình thang vng ABCD quanh trục AD tạo thành hình nón cụt Tính thể tích hình nón cụt Cắt hình nón cụt mặt phẳng qua trục AD mặt cắt tạo thành hình gì? Tính diện tích hình Lời giải L D C K H ◦ 60 A B I Ta có r = CD = (cm), R√= AB, h = AD √ h = AD = sin 60◦ · BC = · = (cm) ◦ R = AB = DC + cos 60 · BC = + · = (cm) √ √ 1 38π (cm3 ) Vậy V = πh (r2 + R2 + rR) = · π · · (22 + 32 + · 3) = 3 Cắt hình nón cụt mặt phẳng qua trục AD mặt cắt tạo thành hình thang cân có độ dài đáy 2r 2R chiều cao h Diện tích hình thang S= √ √ h(2r + 2R) = h(r + R) = · (2 + 3) = 10 (cm2 ) Bài 12 Cho tam giác ABC vuông A Gọi V1 , V2 , V3 theo thứ tự thể tích hình sinh quay tam giác ABC vòng xung quanh cạnh BC, AB, AC Chứng minh 1 = + 2 V1 V2 V3 Lời giải Gọi H chân đường cao xuất phát từ A Khi quay ∆ABC quanh cạnh BC, ta thu hai hình nón có bán kính đáy chung HA, chiều cao HB HC Thể tích hình sinh tổng thể tích hai hình nón 1 Vậy V1 = π(CH · AH + BH · AH ) = πBC · AH 3 B H A Tài liệu Toán của: C Ôn tập chương IV 652 Khi quay ∆ABC quanh cạnh AB, ta thu hình nón có bán kính đáy AC, chiều cao AB Vậy V2 = πAB · AC B A Khi quay ∆ABC quanh cạnh AC, ta thu hình nón có bán B kính đáy AB, chiều cao AC Vậy V2 = πAC · AB Do Å ã 1 1 + = · · + V22 V32 π AB · AC AB AC 1 A = · · 2 π AB · AC AH 1 AB + AC · · · = 2 2 π ÅAB · AC AH AB + AC ã 1 1 = · + · · π2 AB AC AH BC 1 1 1 · · · = 2· · · = = 2 2 2 π AH AH BC π AH AH BC V1 C C Bài 13 Cho nửa đường trịn (O; R), đường kính AB Trên AB lấy điểm H cho HA = Tính HA, HB theo R HB Qua H kẻ đường thẳng vng góc với AB cắt nửa đường trịn (O; R) M ; tiếp tuyến M với nửa đường tròn cắt tiếp tuyến A, B tai A , B Chứng minh tam giác A OB vuông AA · BB = R2 Đặt AA = x; BB = y Tính x, y theo R Cho nửa hình trịn (O; R) quay vịng quanh cạnh AB hình tích V1 ; cho hình thang vng ABB A quay quanh AB ta hình tích V2 Tính tỉ V1 số V2 Lời giải Giáo viên: Chương Hình trụ - Hình nón - Hình cầu HA Ta có = HB HB HA + HB AB HA = = = = R ⇒ 5 2   HA = R ⇒  HB = R 653 B M A A H O R B b) Hai tam giác OAA B BO có “ = 90◦ A=B AOA = BB O (cặp góc có cạnh tương ứng vng góc) Suy OAA B BO Do AA O = B OB Mà AA O + A OA = 90◦ Suy B OB + A OA = 90◦ Vậy A OB = 90◦ hay tam giác A OB tam giác vuông OA AA = ⇔ AA · BB = OA · OB = R2 Mặt khác, OAA B BO nên BO BB Cách khác: Gọi N giao điểm AM OA ¯ Ta có M AB = sđAM 1 ¯ Mà B OB = BOM = sđAM 2 Suy M AB = B OB Tam giác vng AON có N AO + N OA = 90◦ hay M AB + A OA = 90◦ Do B OB + A OA = Ä90◦ ä Suy A OB = 180◦ − B OB + A OA = 90◦ Vậy tam giác A OB tam giác vuông Mặt khác, áp dụng hệ thức lượng tam giác vng OA B , ta có OM = A M · B M ® AA = A M Mà theo tính chất tiếp tuyến BB = B M Suy AA · BB = OM = R2 B M A N A H O R c) Ta có OH = OA − AH = R − R =  5 √ Å ã2 √ R ⇒ M H = OM − OH = R2 − = R 5 Ç √ å2 Å ã2 √ √ 10 ⇒ AM = M H + AH = R + R = R 5 Tài liệu Toán của: R B Ôn tập chương IV 654 AM ⇒ AN = = ⇒ ON = OA2 √ 10 R − AN = Ç √ å2 √ 10 15 R2 − R = 5 Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông √ OAA , ta có 2 R 15 OA = √15 = R OA2 = ON.OA ⇒ OA = ON R Ç√ å2 √ √ 15 2 ⇒ AA = x = OA − OA = R −R = R 3 Mặt khác, ta chứng minh √ R2 R2 AA · BB = R ⇒ BB = y = R = √6 = AA R √ √ 6 Vậy x = R y = R d) Nửa hình trịn (O; R) quay vịng quanh cạnh AB hình cầu bán kính R tích V1 = πR3 Hình thang vng ABB A quay quanh AB hình nón cụt với hai bán kính đáy AA , BB chiều cao AB tích π · AB · (AA + BB + AA · BB ) Ç √ å2 Ç √ å2 6 π · 2R · R + R + R2 = 3 V2 = = Vậy 19 πR 12 V1 = V2 19 Giáo viên: ... phễu thể tích phễu, tức 12π dm3 Gọi I trung điểm SO, K trung điểm SA phần nước cịn lại phễu khối nón đỉnh S đáy hình trịn tâm I bán kính IK Ta có IK đường trung bình SOA nên IK = O A I OA = dm... tích hình nón V = · SO · π · OA2 = 324 cm3 Gọi I trung điểm SO, B trung điểm SA Phần bị cắt bỏ khối nón có đỉnh S đáy hình trịn (I, IB) OA IB đường trung bình SOA nên IB = = Thể tích khối nón bị... (chọn); R2 = −22 (loại) Vậy diện tích đáy hình trụ Sđ = πR2 = 16π (cm2 ) Diện tích xung quanh hinh tru Sxq 144π = = (lần) Sxq = 2πRh = 2π · · 18 = 144π (cm2 ) Do Sđ 16π Bài 10 Cho hình chữ nhật