Từ điểm M di động trên đường thẳng d vuông góc với OA tại A vẽ các tiếp tuyến MP, MP’ với đường tròn.. b Khi M di động trên đường thẳng d thì tâm I của đường tròn nội tiếp MPP’ di chuyể[r]
(1)HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III Chương 1: VÉC TƠ § Các định nghĩa: * Véc tơ là đoạn thẳng có hướng * Ký hiệu AB là véc tơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B * Giá véc tơ AB là đường thẳng qua A và B * Độ dài đoạn thẳng AB gọi là độ lớn (độ dài) véc tơ AB * Chiều từ gốc A đến B gọi là hướng véc tơ AB * Véc tơ không là véc tơ có điểm đầu và điểm cuối trùng Ký hiệu: * Hai véc tơ cùng phương là hai véc tơ có giá song song trùng AB // CD ; + Tính chất: // a a ; AB CD + AB // CD AB CD + AB // CD AB CD a // b c // b a // c a b a c ; + Tính chất: a a ; c b AB CD AB EF EF CD Cho điểm O cố định và véc tơ a không đổi ! điểm M cho OM a AB CD ; + T.chất: AB CD CD AB; AB CD AB CD § Tổng hai véc tơ: Định nghĩa: Tổng hai véc tơ a và b là véc tơ xác định sau: Từ điểm A xác định các điểm B và C cho AB a , BC b Khi đó véc tơ AC gọi là tổng hai véc tơ a và b Ký hiệu: AC a b AC AB BC Tính chất: a a a a b b a (a b) c a (b c) Quy tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: AB BC AC Quy tắc hình bình hành: Tứ giác ABCD là hình bình hành thì: AB AD AC M là trung điểm đoạn thẳng AB MA MB G là trọng tâm ABC GA GB GC 1 Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ Lop10.com (2) HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III § Hiệu hai véc tơ: Véc tơ đối véc tơ: * Nếu a b thì ta nói a là véc tơ đối b , b là véc tơ đối a * Ký hiệu véc tơ đối véc tơ a là - a Từ đó suy ra: Véc tơ đối véc tơ a là véc tơ ngược hướng với véc tơ a và có cùng độ dài với véc tơ a * Véc tơ đối véc tơ là véc tơ Hiệu hai véc tơ: * a - b = a + (- b ) * Cho trước véc tơ MN thì điểm O ta luôn có: MN ON - OM § Phép nhân số với véc tơ: Định nghĩa: * Tích véc tơ a với số thực k là véc tơ, ký hiệu là k a và xác định sau: 1) Về hướng: Nếu k thì k a a Nếu k thì k a a 2) Về độ lớn: k a = k. a * Nhận xét: a = a (-1) a = - a Các tính chất phép nhân véc tơ với số: Với hai véc tơ a , b và số thực k, l, ta có: 1) k(l a ) = (kl) a 2) (k + l) a = k a + l a ; (k – l) a = k a - l a 3) k( a + b ) = k a + k b ; k( a - b ) = k a - k b 4) k a = và k = o a = a = a = a 3) Quan hệ giữ hai véc tơ cùng phương: Định lý: Cho hai véc tơ a và b , a thì a và b cùng phương và tồn số thực k cho b = k a 2 Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ Lop10.com (3) HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III Điều kiện cần và đủ để ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng là có số k cho AB k AC 4) Phân tích véc tơ theo hai véc tơ không cùng phương: Định lý: Cho hai véc tơ a và b không cùng phương Với véc tơ u , tồn cặp số thực (m, n) cho: u = m a + n b Điểm I là trung điểm đoạn thẳng AB và với điểm O bất kỳ, ta có: OI OA OB Điểm G là trọng tâm ABC và với điểm O bất kỳ, ta có: OG OA OB OC § Tọa độ véc tơ và điểm: 1) Đối với hệ trục tọa độ O; i, j hay Oxy u a; b u b j M x; y OM x; y OM xi y j 2) Nếu A = (x; y), B = (x’; y’) thì AB x' x; y ' y 3) Nếu u ( x; y ) và v ( x'; y ' ) thì: u v x x'; y y ' k u kx; ky B BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Cho ABC Gọi A’ đối xứng với A qua B; B’ đối xứng với B qua C và C’ đối xứng với C qua A CMR: ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm Cho điểm A, B, C, D Gọi I, J là trung điểm AB và CD a) CMR: AC BD AD BC IJ b) Gọi G là trung điểm IJ, CMR: GA GB GC GD c) Gọi P, Q là trung điểm AC và BD ; M, N là trung điểm AD, BC CMR: ba đường thẳng IJ, PQ và MN có chung trung điểm Cho ABC trọng tâm G Gọi D, E là các điểm xác định AC a) Tính DE và DG theo AB và AC AD AB, AE b) CMR: ba điểm D, G, E thẳng hàng 3 Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ Lop10.com (4) HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III Cho ABC a) Xác định các điểm D, E thỏa mãn các đẳng thức: DA DB 0; EA EC b) Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn hệ thức: 4MA MB MA 2MC 5 Cho ABC Gọi D là điểm xác định AD AC , M là trung điểm BD a) Tính AM theo AB và AC b) AM cắt BC I Tính IB AM và IC AI Gọi K là trung điểm DE và M là điểm xác định BM x BC Cho ABC Gọi D và E là các điểm xác định AD AB; AE AC a) Tính AK, AM theo AB, AC và x b) Tìm x cho A, K, M thẳng hàng Cho hình thang ABCD và O là giao điểm hai đường chéo AC và BD Qua O kẻ đường thẳng song song với đáy hình thang, đường thẳng này cắt các cạnh bên AD và BC M và N CMR: MN b AB a DC ab Trong đó a AB ; b CD Cho tam giác ABC và trung tuyến CC1, đường thẳng nối A với trung điểm M CC1 cắt cạnh BC P Chứng minh rằng: CP : PB : Đối với hệ trục Oxy cho ba điểm A = (a1;a2), B = (b1;b2), C = (c1;c2) a) Tính toạ độ trung điểm I đoạn thẳng AC b) Xác định toạ độ điểm D cho ABCD là hình bình hành 10 Cho tứ giác ABCD, trên các cạnh AB và CD lấy các điểm M,N Gọi P, Q là giao điểm các đường thẳng nối trung điểm các cạnh đối diện hai tứ giác AMND và MBCN Chứng minh PQ không phụ thuộc vào việc chọn các điểm M, N 11 Gọi M và N là các điểm chia đoạn thẳng AB = a theo tỷ số m và n ( m và n lớn 1) a) Tính theo a, m, n các đoạn thẳng MA, NA, NB và MN b) Gọi O là trung điểm đoạn thẳng MN, tính: OM OB 12 Gọi AM là phân giác tam giác ABC với AC = b, AB = c CMR: b MB c MC 4 Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ Lop10.com (5) HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III 13 Cho tam giác ABC, Tìm tập hợp điểm M thoả mãn: a ) MA MB MC MA MB MA MC b) 14 Cho ABC Gọi O, G, H là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm tam giác, A’ là điểm đối xứng với A qua O, D là trung điểm BC a) Xét quan hệ các véc tơ: BH và A' C ; BA' và HC b) CMR: 2.OD AH c) CMR: OA OB OC OH 3.OG Từ đó suy O, G, H thẳng hàng Tìm tỷ số mà điểm G chia đoạn thẳng OH d) CMR: HA HB HC 2.HO 3.HG 15 Cho hình bình hành ABCD Trên BC lấy điểm H; trên BD lấy điểm K cho BH BC ; BK BD CMR: A, K, H thẳng hàng 16 Cho ABC Gọi A’, B’, C’ là các điểm xác định AA' AB; BB' BC ; CC ' CA CMR: a) ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm b) MA MB MC MA' MB' MC ' với M là điểm 17 Cho ABC và M là điểm bất kỳ: a) CMR: véc tơ: 3.MA 5.MB 2.MC là không đổi, không phụ thuộc vào vị trí điểm M b) Tìm điểm I cho: 3.IA 2.IB IC c) CMR: đường thẳng MN xác định MN 3.MA 2.MB MC qua điểm cố định d) Tìm tập hợp điểm M cho: 3.MA 2.MB MC MB MC e) CMR: với điểm A, B, C, M thỏa mãn hệ thức sau đây thì A, B, C thẳng hàng MA 2.MB 3.MC 18 Cho điểm A, B, C, D, E, F CMR: AD BE CF AE BF CD 19 Cho tứ giác ABCD có M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm AD, BC, DB, AC CMR: AB DC b) PQ AB DC a ) MN 5 Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ Lop10.com (6) HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III 20 Cho tứ giác ABCD có trọng tâm G Gọi A1, B1, C1, D1 là trọng tâm BCD, CDA, DAB, ABC CMR: a) G là trọng tâm tứ giác A1B1C1D1 b) A, G, A1 thẳng hàng và tính: GA GA1 21 Cho ABC có AB = 3, AC = 4, I AD là phân giác tam giác cho: AD 10 , M là trung điểm AC AI a) Tính BD theo DC; AI theo ID b) Tính AD, AI theo AB và AC c) Tính BI , BM theo AB và AC Từ đó suy B, I, M thẳng hàng 22 Cho ABC và điểm M tùy ý a) CMR: u ( M ) 3.MA 5.MB 2.MC không phụ thuộc vị trí điểm M b) Xác định điểm I cho: 3.IA 2.IB IC c) Đường thẳng FQ thay đổi thỏa mãn: PQ 3.PA 2.PB PC CMR: PQ luôn qua điểm cố định d) Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn các điều kiện sau: 10 : 3.MA 2.MB MC MA MB 20 : MA MB MC MB MC 30 : 2.MA MB MC k MB MC ; k R 23 Cho tứ giác ABCD và đường thẳng Tìm trên điểm M cho: a) MA MB 3.MC có giá trị nhỏ b) MA MB MC MD có giá trị nhỏ c) MA MB MC 3.MD có giá trị nhỏ 24 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(-1; 1), B(2; 4), C(1; 3) a) CMR: A, B, C thẳng hàng b) Xác định tọa độ điểm E cho ABE nhận M(1; 2) là trọng tâm và tính SABE Xác định tọa độ điểm D cho điểm A, B, C, D lập thành hàng điểm điều hòa 25 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(1; 0), B(0; 3), C(-3; -5) 6 Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ Lop10.com (7) HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III a) CMR A, B, C không thẳng hàng Xác định tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD là hình bình hành b) Xác định tọa độ điểm I cho: 2.IA 3.IB 2.IC c) Tìm tập hợp điểm M cho: 2.MA 3.MB 2.MC MA MB 26 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(-1; 4), B(-4; 0), C(2; -2) a) CMR: ABC b) Tìm tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD là hình bình hành c) Tìm tọa độ tâm I và bán kính R đường tròn ngoại tiếp ABC d) Tính chu vi và tọa độ trọng tâm G ABC e) Tính độ dài trung tuyến BI ABC f) Đường thẳng AC cắt Ox, Oy M, N Các điểm M, N chia đoạn thẳng AB theo tỷ số nào? g) Phân giác góc ABC cắt AB E Tìm tọa độ điểm E h) Tìm điểm P Ox cho (PA + PC) nhỏ nhất? 27 Cho O là tâm và M là điểm tùy ý thuộc miền tam giác ABC Qua M kẻ đường thẳng song song với BC, cắt AB, AC C1, B1; kẻ đường thẳng song song với AC, cắt AB, BC C2, A2; kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AC, BC B2, A1 Gọi D, E, F là hình chiếu M trên các cạnh BC, CA, AB CMR: a) Các tam giác: MA1A2, MB1B2, MC1C2 b) MA1 MA2 MB1 MB2 MC1 MC MD ME MF c) MD ME MF MO 28 Gọi O, G, H là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm ABC có các cạnh a, b, c CMR: a) OA OB OC OH b) H, G, O thẳng hàng và HO = 3.GO c) a.IA b.IB c.IC I là tâmđường tròn nội tiếp ABC d) a.GA b.GB c.GC ABC 29 Cho a không cùng phương với b a) CMR: u a b không cùng phương với v a b b) Tìm x cho: u a (2 x 1)b cùng phương với v x a b c) Tìm x cho: u 3.a x.b cùng phương với v (1 x).a b 7 Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ Lop10.com (8) HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III 30 Cho ABC vuông A, M là điểmm thay đổi tam giác và D, E, F là hình chiếu M trên BC, CA, AB Tìm tập hợp điểm M cho: MD ME MF MA 31 Cho ABC Lấy điểm A1 thuộc đoạn BC thỏa mãn A1 B 3 A1C ; C1 thuộc đoạn AC cho AA1 BB1 CC1 Tính tỷ số: B1C CA và B1 A C1 B 32 Cho ABC vuông C, H là hình chiếu C trên AB Lấy các điểm M AB, N AC cho BM = BC, CN = CH CMR: MN AC 33.Cho hình bình hành ABCD Gọi I, J, K là các điểm xác định bởi: AI AB, AJ AC , AK AD ( 0) CMR: điều kiện cần và đủ để I, J, K thẳng hàng là: 34 Sử dụng phương pháp tọa độ, chứng minh bất đẳng thức Bunhiacốpski biến dạng: Cho hai số thực (a1, a2, a3, , an) và (b1, b2, b3, , bn) CMR: a a a n 2 b1 b b n 2 a 12 b12 a 22 b 22 a 2n b 2n Dấu xảy và có số thực t thỏa = t.bi i 1, n 35 Chứng minh định ;lý Mênêlauýt: Cho ABC và cá điểm A’, B’, C’ thuộc BC, CA, AB Chứng minh điều kiện cần và đủ để A’, B’, C’ thẳng hàng là: A' B B ' C C ' A A' C B ' A C ' B 36 Chứng minh định lý Xêva: Cho ABC và cá điểm A’, B’, C’ thuộc BC, CA, AB Chứng minh điều kiện cần và đủ để các đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy hay song song là: A' B B ' C C ' A 1 A' C B ' A C ' B 8 Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ Lop10.com (9) HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III Chương II: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ VÀ ỨNG DỤNG: A LÝ THUYẾT: §1 Giá trị lượng giá góc Tỷ số lượng giác góc bất kỳ: (00 1800) M(x; y) là điểm thuộc nửa đường tròn đơn vị, là góc Ox và OM thì: sin y ; cos x ; tan y x ( x hay 900 ) ; cot Các công thức cần nhớ: sin cos a ) tan d ) tan (cos 0) ; b) cot cos cos sin (cos 0) ; x y ( y hay 00 ) (sin 0); c) sin cos sin e) cot (sin 0) * Hai góc phụ nhau: và 900 - sin = cos(900- ); cos = sin(900- ); tan = cot(900- ); cot = tan(900- ) * Hai góc bù nhau: và 1800 - sin = sin(1800- ); cos = - cos(1800- ); tan = - tan(1800- ); cot = - cot(1800- ) Giá trị lượng giác số góc đặc biệt: Góc 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 sin 2 3 2 2 cos 2 2 tan 3 cot 3 3 2 -1 -1 3 -1 §2 Tích vô hướng hai véc tơ: Góc hai véc tơ: * Định nghĩa: Cho hai véc tơ a và b Từ điểm O ta dựng các véc tơ 9 Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ Lop10.com (10) HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III OA a, OB b Khi đó số đo góc AOB gọi là số đo góc hai véc tơ a và b * Ký hiệu: a, b (từ 00 * Chú ý: + Nếu a b là véc tơ thì góc hai véc tơ a và b là tùy ý đến 1800) + Nếu a, b = 900 thì a b + a, b = 00 a b ; a, b = 1800 a b Tích vô hướng hai véc tơ: * Định nghĩa: a.b a b cos(a; b) * Công thức hình chiếu: a.b a.b' với b' là hình chiếu véc tơ b trên đường thẳng chứa véc tơ a * Các tính chất tích vô hướng và các đẳng thức: 10 30 50 a.b b.a; 20 a.b a b k a .b a.k b k a.b; a.a a a a.b c a.b a.c; a b a 2a.b b ; 2 2 70 a b a b a 2 b Phương tích điểm đường tròn: * Định nghĩa: PM/(O) = MA.MB MO R d R * Chú ý: + M (O) PM/(O) + M nằm đường tròn (O) PM/(O) < + M nằm ngoài đường tròn (O) PM/(O) > + M nằm ngoài đường tròn (O) và MT là tiếp tuyến (T là tiếp điểm) thì PM/(O) = MT MT 4.Biểu thức tọa độ tích vô hướng và ứng dụng: Trong hệ tọa độ O; i; j cho hai véc tơ a ( x; y ); b ( x' ; y ' ) Khi đó: 10 a.b xx' yy ' ; 30 a x2 y2 ; 20 40 a.b cos a,b xx' yy ' xx' yy ' x y x '2 y '2 a, b 0 §3 Hệ thức lượng tam giác: Định lý côsin: Trong ABC với BC = a, CA = b, AB =c, ta có: a2 = b2 + c2 - 2bccosA 10 Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ Lop10.com (11) HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III b2 = c2 + a2 - 2cacosB c2 = a2 + b2 - 2abcosC Từ định lý côsin suy các công thức tính côsin các góc ABC: b2 c2 a2 c2 a2 b2 a2 b2 c2 cos A ; cos B ; cos C ; 2bc 2ca 2ab Định lý sin: Với ABC nội tiếp đường tròn (O; R), ta có: a b c 2R sin A sin B sin C Công thức trung tuyến và ứng dụng: a2 b2 c2 2 2 2 b c 2m ; c a 2mb ; a b 2mc 2 2 2 2 2 b c a c a b b a c2 2 ma ; mb ; mc 4 20 30 2 a I là trung điểm đoạn thẳng AB =a tập hợp điểm M thỏa mãn hệ thức MA2+ MB2 =k2, đó k là số không đổi cho trước MI Từ đó: + Nếu 2k2 > a2 thì {M} là đường tròn tâm I bán kính R k a2 2k a + Nếu 2k2 = a2 thì {M} O + Nếu 2k2 < AB2 thì {M}= Ø Các công thức tính diện tích ABC: 1 aha bhb chc 2 1 ab sin C bc sin A ca sin B 2 abc 4R p ( p a )( p b)( p c) (a b c)r pr 10 S ABC 20 S ABC 30 S ABC 40 S ABC 50 S ABC B BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Chứng minh các đẳng thức: a) cos2( cos4 + sin2.cos2 + sin2 + tg2) = b) - (sin6 + cos6) = 3sin2 cos2 a) Rút gọn biểu thức: A cos x 1 cos x sin x sin x 11 Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ Lop10.com (12) HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III b) Tính giá trị A biết cos x Tìm giá trị lớn hàm số: y a sin x c cos x a cos x c sin x (Các giá trị a và c thỏa mãn để biểu thức có nghĩa) Chứng minh các biểu thức sau: sin cos cos a) ; sin cos 1 sin sin tg 2 c) tg 6 cos cot g 2 sin cos cos b) tg 4 2 cos sin sin sin b) cos sin cot g CMR các biểu thức sau đây không phụ thuộc vào x A = 3(sin4x + cos4x) – 2(sin6x + cos6x) B = cos6x + 2sin4x.cos2x + 3sin2x.cos4x + sin4x C = (tgx + cotgx)2 - (cotgx - tgx)2 D= cot gx ; tgx cot gx E = sin x cos x cos x sin x Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(-2; 2), B(6; 4), C(4; 2) a) CMR: ABC Tính cosB, tính SABC ? b) Tìm điểm M Ox cho MAB vuông c) Tìm tọa độ trực tâm H ABC d) Tìm điểm E cho tứ giác ABCE là hình thang vuông E và A a 2b cos C CMR: a) ABC là nếu: a b c a abc sin A 2 b) ABC là cân nếu: sin B cos C Cho ABC: a) a 3; b 2 ; c Tính góc A, B, C và R, ha, ma b) A = 600; b = 6; c = 12 Tính góc B, C và a, R, r c) B = 1050; C = 300; BH AC H; BH = Tính góc A và a, b, c, SABC Cho đường tròn (C) tâm O và đường thẳng d Đường thẳng qua O và vuông góc với d H cắt đường tròn A, B Đường thẳng d1 qua H cắt đường tròn (C) M, N Các đường thẳng AM, AN cắt đường thẳng d M’, N’ CMR: a) AB AH AM AM ' AN AN ' ; HM '.HN ' HA.HB b) Đường tròn ngoại tiếp AM’N’ qua điểm cố định khác điểm A d1 di động 10 Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó Qua A, C vẽ đường tròn (O) Từ B hạ đường thẳng vuông góc với OA cắt đường tròn M, M’ 12 Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ Lop10.com (13) HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III a) Tìm tập hợp trung điểm I MM’khi đường tròn (O) thay đổi (vẫn qua A, C) b) Gọi K là điểm đối xứng A qua O CMR: AI AK AB AC và tìm tập hợp các điểm M, M’ 11 Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó Qua A, B vẽ đường tròn (O) Từ C vẽ hai tiếp tuyến CM, CM’ với (O) a) Tìm tập hợp M, M’ (O) thay đổi qua A, B b) Gọi H là trung điểm MM’ CMR: CM CH CO và đường thẳng MM’ qua điểm cố định nằm trên đường thẳng AB c) Tìm tập hợp điểm H 12 Cho đường tròn (O; R) và dây CD có trung điểm H Trên tia đối tia DC lấy điểm S, qua S kẻ tiếp tuyến SA, SB với đường tròn Đường thẳng AB cắt SO, OH E, F a) CMR: OE.OS R b) CMR: OH OF OE.OS c) Khi S di động trên tia đối tia DC, CMR: đường thẳng AB luôn qua điểm cố định 13 Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài đường tròn Từ điểm M di động trên đường thẳng d vuông góc với OA A vẽ các tiếp tuyến MP, MP’ với đường tròn Dây PP’ cắt OM M’ và cắt OA B a) CMR: OA.OB = OM.OM’ = R2 b) Khi M di động trên đường thẳng d thì tâm I đường tròn nội tiếp MPP’ di chuyển trên đường nào? 14 Tìm giá trị lớn và nhỏ hàm số: y = sin4x - sin2x + cos2x 15 Cho ABC Tìm {M} AB AM AB AC 16 Cho ABC có góc A nhọn miền ngoài ABC vẽ các tam giác vuông cân đỉnh A là ABD và ACE Gọi I là trung điểm BC CMR: AI DE 17 Cho ABC nội tiếp (O), trung tuyến CC’ cắt (O) điểm thứ hai D CMR: CA2 + CB2 = 2CC’.CD 18 Cho ABC nội tiếp (O) Một đường tròn (O’) thay đổi, qua A và trung điểm M BC cắt BC điểm thứ hai E, và cắt (O) điểm thứ hai F Gọi F1 là giao điểm AF và BC CMR: a) F1M F1 E F1 B F1C b) MB MC ME MF1 19 Cho ABC CMR: a) 1 1 ; r rb rc b) 1 1 ; r hb hc c) 1 1 hb hc 13 Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ Lop10.com (14) HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III a2 b2 c2 20 CMR: cot gA cot gB cot gC 4S (ĐH Dược Hà nội - 1998) 21 Cho hình thang cân ABCD , đáy lớn AB, góc nhọn đáy 600 Biết AB a; AD b; a b Hãy biểu diễn véc tơ BC theo a và b Tìm quan hệ a và b để AC BD (ĐH Giao thông vận tải-1998) 22 Gọi AD là đường phân giác góc A ABC Hãy biểu diễn AD qua AB và AC (Học viện kỹ thuật mật mã - 1999) 23 Cho ABC trọng tâm G Ký hiệu các góc GAB, GBC, GCA là , , CMR: cot cot cot 3(a b c ) 4S (ĐH Ngoại thương - 2000) 24 CMR: Nếu ABC thoả mãn điều kiện a b c 24 27 S thì tam giác đó là tam giác (Cao đẳng Sư phạm Hà nội - 2001) 25 Cho ABC, CMR: 1 1 1 2 p a p b p c a b c (Học viện Ngân hàng - 2001) 26 Cho hình thang cân ABCD có các đáy AD, BC BAD 300 Biết AB a, AD b Hãy biểu diễn các véc tơ BC , CD, AC , BD theo các véc tơ a, b (ĐH Luật Hà nội - 1998) 27 Cho điểm A, B, C, D CMR: a) AB CD AB2 + BD2 = AD2 + BC2 b) AB CD và AD BC thì AC BD (ĐH Luật Hà nội - 2000) 28 CMR: ABC là tam giác nó thỏa mãn các điều kiện sau: 2a b 1 cos C sin C 4a b a (b c a ) b c a (ĐH Y khoa Thái bình - 2000) 29 Cho ABC, đường thẳng qua trọng tâm G và tâm I đường tròn nội tiếp vuông góc với phân giác góc C Gọi a, b, c là ba cạnh tam giác ABC CMR: a b c 2ab ab (ĐH Cảnh sát nhân dân - 2000) 30 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ABC có: A(-1; 2); B(2; 0); C(-3; 1) a) Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC b) Tìm điểm M trên đường thẳng BC cho S ABM S ABC (ĐH Sư phạm kỹ thuật TP Hồ Chí Minh - 2001) 14 Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ Lop10.com (15) HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III 31 Cho bốn véc tơ OA OB OC OD OA, OB, OC , OD có độ dài và a) CMR: góc hai véc tơ góc hai véc tơ còn lại b) Tứ giác ABCD là hình gì? Tại sao? 32 Cho ABC vuông A, đường cao AH, AB = 3a, AC = 4a, điểm I thuộc cạnh AB cho IA = 2IB, CI cắt AH E Tính CE 33 Cho ABC vuông A a) Giả sử hai trung tuyến AM = 2, BN = Tính các cạnh BC, CA, AB b) Kéo dài BC đoạn CD = AB, giả sử AB = và góc CAD 300 Tính BC 34 Cho góc vuông xOy, A Ox, OA = a > Đường tròn () bán kính R tiếp xúc với Ox A và cắt Oy B và C CMR: AB AC R ; 1 2; 2 AB AC a AB AC Ra 35 Tính góc A ABC trường hợp sau: a) b(b2 – a2) = c(a2 – c2) b) bc.cosA + ca.cosB + ab.cosC = a2 36 Cho ABC a) Biết AD là đường cao, AC = 2, AB = 3, BC = Chứng minh ABC có góc tù và tính CD b) Biết A = 600, BC , AC – AB = Tính AB, AC 37 Cho ABC CMR: a ) cos A p( p a) ; bc sin A ( p b)( p c) bc b) a = b.cosC + c.cosB A B C ca cos ab cos p 2 A B C d ) (b c) cos (c a ) cos (a b) cos p 2 c) bc cos 38 Cho hai đường tròn (O1; R1), (O2; R2) cắt A và B (O1, O2 hai phía đường thẳng AB) Đường thẳng (d) tiếp xúc với (O1) C và (O2) D (C và A hai phía đường thẳng O1O2) a) Đặt A O1 C , AO2 D Tính AC theo R1 và , AD theo R2 và b) Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ACD CMR: R R1 R2 39 Đường tròn nội tiếp ABC tiếp xúc với cạnh BC D Biết BC = 9, cosC = 2/3, AD = DC Đặt AD = x Tính AC, AB theo x Từ đó suy AB, AC 15 Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ Lop10.com (16) HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III 40 Cho tứ giác lồi ABCD Gọi I, K là trung điểm AC, BD CMR: a) AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2 + 4IK2 b) Suy điều kiện cần và đủ tứ giác ABCD là hình bình hành 41 cho ABC vuông B có AB = 2BC = 2a, l là độ dài cho trước a) Tìm {M} thỏa mãn: MA2 + MB2 + 2MC2 = l2 b) Tìm điểm N trên đường tròn đường kính AB thỏa NB2 – NC2 = l2 42 Cho ABC CMR: a ) b mb2 c mc2 (b c )(2a b c ) b mc thì cotB + cotC = 2cotA c mb b m c) Nếu c và A = 600 thì ABC c mb b) Nếu 43 Cho ABC CMR: B C a ) a r cot cot ; 2 A B C c) r R sin sin sin ; 2 r e) cos A cos B cos C R B C b) a tan tan 2 A B C d ) R sin cos cos 2 44 Cho ABC CMR: a, b, c là ba nghiệm phương trình: x3 – 2px2 + (4rR + p2 + r2)x – 4rRp = thì suy ra: ab + bc + + ca = 4rR + p2 + r2; abc = 4rRp 45 Cho ABC AB AC BC a) CMR: cot A 4S b) AM là trung tuyến và góc AMB CMR: cot = cotB – cotC 46 Cho ABC CMR: a) S c) S b sin 2C c sin B ; b) S r.ra rb rc 2(a b c ) (a b c ) 47 Cho ABC, gọi la là phân giác góc A CMR: la 2bc A bcp( p a ) cos ; bc bc b) la 13 (ab 2c a ) 48 Cho ABC a) Gọi M là trung điểm BC Một đường thẳng không qua A cắt các đoạn AB, AC, AM B’, C’, M’ CMR: AB AC AM 2 AB' AC ' AM ' 16 Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ Lop10.com (17) HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III b) Hai điểm P, Q Lần lượt di động trên tia AB, AC cho 1 (l là độ dài cho trước) CMR: đường thẳng PQ luôn qua AP AQ l điểm cố định 49 Cho ABC a) I là điểm nằm ABC và AI cắt BC A’, BI cắt CA B’, CI cắt AB C’ CMR: S B ' A C ' A IA Từ đó suy ra: IBC S ABC B ' A C ' A B ' C C ' B IA' B' C C ' B b) Trên các cạnh BC, CA, AB lấy các điểm A1, B1, C1 cho AB = AC1, BC = 3BA1, CA = 4CB1 BB1 cắt CC1 M, CC1 cắt AA1 N, AA1 cắt BB1 diện tích P Tính diện tích các tam giác A1B1C1 và MNP theo diện tích S tam giác ABC 50 Cho ABC vuông A, nội tiếp đường tròn (O; R), AB = R a) Gọi G là trọng tâm ABC Tính PG/(O) b) Kéo dài BG cắt (O) D Tính GD 51 Cho đường tròn (O; R) và điêm A cố định ngoài (O) và OA = 2R BC là đường kính di động (O) Gọi (I) là đường tròn ngọai tiếp AC Đường thẳng AO cắt (I) D A a) Tính OD, từ đó suy D là điểm cố định b) Kéo dài AO cắt (O) K Tính độ dài tuyếp tuyến KT kẻ từ K tới đường tròn (I) Tiếp điểm T di động trên đường nào BC quay xung quanh O 52 Cho ABC có góc B tù, đường cao AH Gọi E, F là hình chiếu H trên AB, AC a) CMR: tứ giác BCFE nội tiếp b) EF cắt BC I, IA cắt đường tròn đường kính AH G CMR: A, B, C, G cùng thuộc đường tròn 53 Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R, trung trự c OA cắt OA I và nửa đường tròn C Một đường thẳng qua A cắt IC và đường tròn M và N a) CMR: AC là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp CMN b) Xác định vị trí M để đường tròn (ACM) tiếp xúc với AB 54 Cho ABC Gọi và CN là trung tuyến ABC Gọi (O) và (O’) là các đường tròn đường kính BM, CN a) CMR: A có cùng phương tích (O) và (O’) b) Gọi P, Q là giao điểm (O) và (O’) CMR: A, P, Q thẳng hàng 55 Cho điểm A, B, C, D thẳng hàng theo thứ tự đó (O) và (O’) là các đường tròn di động qua A, B và C, D và (O) (O’) ={M, N} 17 Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ Lop10.com (18) HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III a) CMR: đường thẳng MN luôn qua điểm cố định Nếu (O) và (O’) tiếp xúc T thì kết trên thay đổi nào? b) Cho trước (O), hãy dựng đường tròn (O’) tiếp xúc với (O) 56 Cho đường tròn (O; R) và điểm A ngoài (O) Qua A vẽ cát tuyến ABC với (O) và BC = 2AB = R Gọi I là trung điểm BC Đường tròn đường kính AI cắt (O) P và Q Tính khoảng cách từ A đến PQ 57 Cho ABC biết a = 17,4m; B = 44030’; C = 640 Tính A, b, c 58 Cho ABC có a = 49,4cm; b = 26,4cm; C = 47020’ Tính c, A, B 59 Cho ABC có a = 24cm; b = 13cm; c = 15cm Tính A, B, C 60 Người ta muốn biết chiều cao h = CD cái tháp với chân C và đỉnh D Từ hai điểm A, B với AB = 24m cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, người ta còn đo dược góc ACD 630, góc CBD 480 Tính chiều cao h tháp 61 Để tính khoảng cách từ điểm A trên bờ sông đến gốc cây C trên cù lao sông, người ta chọn điểm B cùng trên bờ sông với A cho từ A có thể nhìn thấy điểm C với góc CAB 450, góc CBA ằng 700 và AB = 40m Tính khoảng cách AC 62 Cho ABC có ba đường cao AD, BE, CF cắt H CMR: AD AH BE.H CF CH C CA2 AB 63 (Công thức Ơle cho tam giác) Cho ABC Gọi (O; R) và (I; r) là hai đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp ABC CMR: IO2 = R2 – 2Rr 64 (Công thức Ơle cho tứ giác) Cho tứ giác ABCD có K, L là trung điểm AC, BD CMR: KL2 AB BC CD DA2 AC BD 65 AC có các goác A, B, C thỏa mãn hệ thức sin2B + sin2C = 2sin2A Chứng minh A 600 (ĐH Sư phạm Hà nội 2001) 66 CMR: ABC ta có: 1 1 1 sin A sin B sin C 27 Khi nào đẳng thức xảy ra? (ĐH Sư phạm TP HCM) 67 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh ABC thỏa mãn hệ thức: c4 = a4 + b4 CMR: ABC có ba góc nhọn và 2sin2C = tanAtanB (ĐH Thủy lợi 2001) 18 Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ Lop10.com (19) HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III Chương III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG: A.LÝ THUYẾT: §1 Phương trình tổng quát đường thẳng: Véc tơ pháp tuyến đường thẳng: * Định nghĩa: Véc tơ n gọi là véc tơ pháp tuyến đường thẳng giá n vuông góc với * Chú ý: + n là véc tơ pháp tuyến k n là véc tơ pháp tuyến + Đường thẳng hoàn toàn xác định biết điểm mà nó qua và biết véc tơ pháp tuyến Phương trình tổng quát củamột đường thẳng: * Đường thẳng qua điểm M0(x0; y0) và có véc tơ pháp tuyến n (a; b) có phương trình tổng quát là: a(x – x0) + b(y – y0) = hay ax + by + c = với c = - (x0 + y0) và a2 + b2 * Các dang đặc biệt: + Đường thẳng by + c = song song trùng với trục Ox + Đường thẳng ax + c + song song trùng với trục Oy + Đường thẳng ax + by =0 qua gốc tọa dộ + Đường thẳng x y qua hai điểm A(a; 0) và B(0; b) (a, b 0) a b (phương trình đường thẳng theo đoạn chắn) + Khi phương trình tổng quát đưa dạng: y = kx + m với k là hệ số góc, k = tan, = (Ox, Mt) 3.V ị trí tương đối hai đường thẳng: Xét hai đường thẳng có phương trình tổng quát: (1): a1x + b1y = và (2): a2x + b2y = a) (1) cắt (2) a1 b1 a2 a1 a2 b b) (1) // (2) b2 c c2 b2 b1 b2 c1 c2 a1 a2 19 Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ Lop10.com (20) HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III c) (1) (2) a1 b1 a2 b2 b1 c1 b2 c2 c1 a1 c2 a2 §2 Phương trình tham số đường thẳng: Véc tơ phương đường thẳng: * Định nghĩa: Véc tơ u gọi là véc tơ phương đường thẳng giá u song song trùng với * Chú ý: + u là véc tơ phương k u là véc tơ phương + Đường thẳng hoàn toàn xác định biết điểm mà nó qua và biết véc tơ phương + Đường thẳng có véc tơ pháp tuyến n (a; b) thì có véc tơ phương là u (b; a) Phương trình tham số đường thẳng: * Đường thẳng qua điểm M0(x0; y0) và có véc tơ phương x x0 at u (a; b) có phương trình tham số (a b 0) y y0 bt Phương trình chính tắc đường thẳng: * Đường thẳng qua điểm M0(x0; y0) và có véc tơ phương u (a; b) có phương trình chính tắc x x0 y y0 a b (a 0, b 0) * Nếu a = (hoặc b = 0) thì đường thẳng không có phương trình chính tắc, đó nó có phương trình tổng quát x – x0 = (hoặc y – y0 = 0) §3 Khoảng cách và góc: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: * Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0) đến đường thẳng (): ax + by + c = tính theo công thức: d ( M , ) ax0 by0 c a2 b2 * Hai điểm M1(x1; y1), M2(x2; y2) (): ax + y + c = thì: + M1, M2 nằm cùng phía (ax1 + by1 + c)( ax2 + by2 + c) > + M1, M2 nằm khác phía (ax1 + by1 + c)( ax2 + by2 + c) < Góc hai đường thẳng: * Định nghĩa: Hai đường thẳng a và b cắt tạo thành bốn góc Số đo nhỏ các góc đó gọi là số đo góc hai đường thẳng a và b * Ký hiệu góc hai đường thẳng a và b.là (a, b) 20 Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ Lop10.com (21)