cac dang bai tap trac nghiem vdc duong tiem can cua do thi ham so

BÀI TIỆM CẬN A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM Đường thẳng y  y0 gọi đường tiệm cận ngang (gọi tắt tiệm cận ngang) đồ thị hàm số y  f  x  lim f  x   y0 lim  y0 x  x  Đường thẳng x  x0 gọi đường tiệm cận đứng (gọi tắt tiệm cận đứng) đồ thị hàm số y  f  x  điều kiện sau thỏa mãn: lim f  x   ; lim f  x    ; x  x0 x  x0 lim f  x   ; lim f  x    x  x0 x  x0 B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng Xác định đường tiệm cận dựa vào định nghĩa Phương pháp giải Tiệm cận ngang Đường thẳng y  y0 đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y  f  x  lim f  x   y0 x  lim f  x   y0 x  Tiệm cận đứng Đường thẳng x  x0 đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y  f  x  điều kiện sau thỏa mãn: lim f  x   ; lim f  x    ; lim f  x   ; lim f  x    x  x0 x  x0 x  x0 x  x0 Bài tập Bài tập 1: Các đường tiệm cận đồ thị hàm số y  2x  tạo với hai trục tọa độ hình chữ nhật có x 1 diện tích A (đvdt) B (đvdt) C (đvdt) D (đvdt) Hướng dẫn giải Chọn A Tập xác định D   \ 1 Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x  tiệm cận ngang y  Khi hình chữ nhật tạo hai đường tiệm cận hai trục tọa độ có kích thước nên có diện tích S  1.2  (đvdt) Bài tập 2: Biết đường tiệm cận đường cong  C  : y  x   x2  trục tung cắt tạo x5 thành đa giác  H  Mệnh đề đúng? A  H  hình chữ nhật có diện tích B  H  hình vng có diện tích C  H  hình vng có diện tích 25 D  H  hình chữ nhật có diện tích 10 Hướng dẫn giải Chọn D   Tập xác định ;     2;   \ 5 6x   x2    y  tiệm cận ngang  C  x  x5 Ta có lim y  lim x  6x   x2    y  tiệm cận ngang  C  x  x5 lim y  lim x  lim y  ; lim    x  tiệm cận đứng  C  x 5  x 5 Vậy đồ thị có ba đường tiệm cận y  5; y  7; x  với trục tung tạo thành hình chữ nhật có kích thước  nên có diện tích 10 Dạng 2: Tiệm cận đồ thị hàm số y  ax  b cx  d Phương pháp giải Để tồn đường tiệm cận đồ thị hàm số y  Khi phương trình đường tiệm cận ax  b c  ad  bc  cx  d + Tiệm cận đứng x   + Tiệm cận ngang y  d c a c Bài tập Bài tập 1: Giá trị tham số thực m để đồ thị hàm số y   2m  1 x  xm có đường tiệm cận ngang y  A m  B m  C m  D m  Hướng dẫn giải Chọn C Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận  m  2m  1    2m  m    m   Phương trình đường tiệm cận ngang y  2m  nên có 2m    m  Bài tập 2: Tập hợp giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  A  B  \ 0 C  \ 1 x 1 có tiệm cận đứng mx  D  \ 0; 1 Hướng dẫn giải Chọn D m  m  Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận   1  m  m  Bài tập Tập hợp giá trị tham số m để đồ thị hàm số y  A   1 B 0;   3 1  C   3 x3 khơng có tiệm cận đứng mx  D 0 Hướng dẫn giải Chọn B Điều kiện để đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng m  m    1  3m    m    ax  b Biết đồ thị hàm số cho qua điềm A  0;  1 có đường tiệm x 1 cận ngang y  Giá trị a  b Bài tập 4: Cho hàm số y  A B C Hướng dẫn giải Chọn B D Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận a  b  Do đồ thị hàm số qua điểm A  0;  1 nên b  1 Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y  a  a  (thỏa mãn điều kiện) Vậy a  b  Bài tập 5: Biết đồ thị hàm số y   a  3 x  a  2019 x   b  3 nhận trục hoành làm tiệm cận ngang trục tung làm tiệm cận đứng Khi giá trị a  b A B -3 C D Hướng dẫn giải Chọn D Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận   a  3 b  3   a  2019   Phương trình đường tiệm cận x  b  b   b  3 (thỏa mãn điều kiện)     y  a  a   a  Vậy a  b  Bài tập 6: Giá trị thực tham số m để đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y  x 1 qua điểm 2x  m A 1;  A m  B m  2 C m  4 D m  Hướng dẫn giải Chọn B Điều kiện để đồ thị hàm số có đường tiệm cận m    m  Đường tiệm cận đứng x   m m     m  2 (thỏa mãn) 2 mx  với tham số m  Giao điểm hai đường tiệm cận đồ thị hàm x  2m số thuộc đường thẳng đây? Bài tập 7: Cho hàm số y  A x  y  B x  y  C x  y  D y  x Hướng dẫn giải Chọn C Điều kiện để đồ thị hàm số có đường tiệm cận 2m    m   Phương trình đường tiệm cận x  2m; y  m nên tọa độ giao điểm hai đường tiệm cận I  2m; m  thuộc đường thẳng x  y Bài tập 8: Tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  phải trục tung 4x  có tiệm cận đứng nằm bên xm A m  m  B m  C m  m  D m  Hướng dẫn giải Chọn A Điêu kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận 4m    m  Phương trình đường tiệm cận đứng x  m Để tiệm cận đứng nằm bên phải trục tung m  m   Vậy điều kiện cần tìm   m  Dạng 3: Tiệm cận đồ thị hàm số phân thức hữu tỷ Phương pháp giải - Tiệm cận đồ thị hàm số y  - Đồ thị hàm số y  A với A số thực khác f  x  đa thức bậc n  f  x A có tiệm cận ngang y  f  x - Đường thẳng x  x0 tiệm cận đứng đồ thị hàm số y  A x0 nghiệm f  x f  x  hay f  x0   - Tiệm cận đồ thị hàm số y  - Điều kiện để đồ thị hàm số y  f  x g  x f  x g  x với f  x  , g  x  đa thức bậc khác có tiệm cận ngang bậc f  x   bậc g  x  - Điều kiện để đường thẳng x  x0 tiệm cận đứng đồ thị hàm số y  f  x g  x x0 nghiệm g  x  không nghiệm f  x  x0 nghiệm bội n g  x  , đồng thời nghiệm bội m f  x  m  n Bài tập Bài tập 1: Tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  A m  B m  C m  Hướng dẫn giải mx  x  có tiệm cận đứng 2x  D m  8 Chọn D  1 Tập xác định D   \   Đặt g  x   mx  x   2 Để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x   khơng nghiệm g  x  m  1  g         m  8  2 Bài tập 2: Biết đồ thị hàm số y  x 1 (m, n tham số) nhận đường thẳng x  tiệm cận x  2mx  n  đứng, giá trị m  n A B 10 C -4 D -7 Hướng dẫn giải Chọn C Điều kiện: x  2mx  n   Đặt g  x   x  2mx  n  Do x  nghiệm f  x   x  nên đồ thị hàm số cho nhận đường thẳng x  tiệm cận đứng x  phải nghiệm kép phương trình  g 1  2m  n    n  2m  m    g  x    n  5  m  2m      m  n   Vậy m  n  4 Bài tập 3: Biết đồ thị hàm số y   2m  n  x  mx  x  mx  n  nhận trục hoành trục tung làm hai tiệm cận Giá trị m  n A B C D -6 Hướng dẫn giải Chọn B Điều kiện x  mx  n   Phương trình đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y  2m  n  2m  n  (1) Đặt f  x   (2m  n) x  mx  g  x   x  mx  n  Nhận thấy f    với m, n nên đồ thị nhận trục tung x  tiệm cận đứng g     n    n  Kết hợp với (1) suy m  Vậy m  n  Bài tập 4: Cho hàm số y   C  có tiệm cận ngang A ax  x  có đồ thị  C  (a, b số thực dương ab  ) Biết x  bx  y  c có tiệm cận đứng Giá trị tổng T  3a  b  24c B C D 11 Hướng dẫn giải Chọn D Điều kiện x  bx   Phương trình tiệm cận ngang đồ thị hàm số y  a a  c 4 Đồ thị  C  có tiệm cận đứng nên ta có trường hợp sau: Trường hợp 1: Phương trình x  bx   có nghiệm kép x  x0 không nghiệm ax  bx    b  144   b  12 Vì b  nên b  12  a  1 c 12 x  x 1 (thỏa mãn) Thử lại ta có hàm số y  x  12 x  1 Vậy T   12  24  11 12 Trường hợp 2: x  bx   có hai nghiệm phân biệt hai nghiệm thỏa mãn ax  x   Điều khơng xảy ab  Chú ý: a; b > nên mẫu số (nếu có) hai nghiệm âm, tử số hai nghiệm trái dấu Dạng Tiệm cận đồ thị hàm số vô tỷ Cho hàm số vô tỷ y  f  x  - Tìm tập xác định D hàm số - Để tồn tiệm cận ngang đồ thị hàm số y  f  x  tập xác định D hàm số phải chứa hai kí hiệu -∞ +∞ tồn hai giới hạn lim y lim y hữu x  hạn Bài tập Bài tập 1: Biết đồ thị hàm số y  x  ax  bx  có tiệm cận ngang y  1 Giá trị 2a  b3 A 56 B -56 C -72 Hướng dẫn giải Chọn B Điều kiện ax  bx   Để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang a  Khi đó, ta có   lim y  lim x  ax  bx    x  x  D 72 x    lim y  lim x  ax  bx   lim x  x  a     b    a   1  x   a   x  bx  ax  bx   x  1 a  b  Vậy 2a  b  56  Chú ý: Để lim y  1 bậc tử phải bậc mẫu nên phải có a   Khi lim y  x  x  Bài tập 2: Có giá trị tham số m để đồ thị hàm số y  b  a2 mx  x  x  có đường 2x  tiệm cận ngang y  ? A B Vô số C D Hướng dẫn giải Chọn D 1  Tập xác định D   \   2 Ta có lim y  x  m 1 m 1 ; lim y  x  2 m 1  2 Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y      m 1   m  m   Dạng 5: Biết đồ thị, bảng biến thiên hàm số y  f  x  , xác định tiệm cận đồ thị hàm số y A với A số thực khác 0, g  x  xác định theo f  x  g  x Phương pháp giải - Xác định tiệm cận đứng: + Số tiệm cận đồ thị hàm số y  A số nghiệm phương trình g  x   g  x + Dựa vào đồ thị, bảng biến thiên hàm số y  f  x  để xác định số nghiệm phương trình g  x   để suy số đường tiệm cận đứng - Xác định tiệm cận ngang: dựa vào nhánh vô tận đồ thị, bảng biến thiên hàm số để xác định Bài tập Bài tập Cho hàm số y  f  x  liên tục  có bảng biến thiên hình vẽ Tổng số đường tiệm cận hàm số y  A B f  x 1 C D Hướng dẫn giải Chọn D Số đường tiệm cận đứng đồ thị số nghiệm phương trình f  x     f  x   1 Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có hai nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số y  có f  x 1 hai đường tiệm cận đứng Ta có lim x  1 1 1   ; lim   nên đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận f  x    x  f  x   1  ngang y  1 y  Vậy đồ thị hàm số y  có bốn đường tiệm cận f  x 1 Bài tập Cho hàm số y  f  x  xác định, liên tục  có bảng biến thiên hình vẽ bên Tổng số tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số y  A B f  x  x  3 C Hướng dẫn giải Chọn A Đặt t  x3  x , ta có x   t   x   t   D Mặt khác ta có t   x   0, x   nên với t   phương trình x3  x  t có nghiệm x Số đường tiệm cận đứng đồ thị số nghiệm phương trình f  t     f  t   3 Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có nghiệm nên đồ thị hàm số y  f  x  x  3 có tiệm cận đứng Ta có lim x  y 1 1  lim  ; lim  lim  nên đồ thị hàm số x  f x  x  t  f  t   f  x  x   t  f  t     có tiệm cận ngang y  f  x  x  3 Vậy đồ thị có hai đường tiệm cận Bài tập Cho hàm số bậc ba f  x   ax3  bx  cx  d  a, b, c, d    có đồ thị hình vẽ Đồ thị hàm số g  x   có đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang? f   x2   A B C D Hướng dẫn giải Chọn C Đặt t   x , ta có x   t   Khi lim g  x   lim x  t   nên y  tiệm cận ngang đồ thị hàm số g  x  f t     x  2 x    Mặt khác f   x     f   x      x  4  x  2  Đồ thị hàm số g  x  có ba đường tiệm cận đứng Vậy đồ thị hàm số g  x  có bốn đường tiệm cận x 1 Trường hợp Với m  , ta có y  nên đồ thị khơng có đường tiệm cận Do m  khơng phải giá trị cần tìm Trường hợp Với m  Phương trình mx  3mx   có   9m  8m  0, m  nên Nếu   hàm số mx  3mx    x   x1 ; x2  (với x1 , x2 hai nghiệm phương có tập xác định trình mx  3mx   ) nên đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang, D có tối đa hai tiệm cận đứng Do m  khơng phải giá trị cần tìm Trường hợp Với m  Xét phương trình mx  3mx   - Nếu   9m  8m    m  Hàm số xác định  Khi mx  3mx   0, x   nên đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng mà có hai tiệm cận ngang y   1 1 lim  lim  x  x  m m m - Nếu   9m  8m   m  Khi đó, hàm số trở thành y  3 x  2 x  24 x  18  3 x  2 2x  nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng hai tiệm cận ngang - Nếu   9m  8m   m  Hàm số xác định khoảng  ; x1   x2 ;   Khi đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang y   m Để đồ thị hàm số cho có bốn đường tiệm cận đồ thị hàm số phải có hai đường tiệm cận đứng Vì x  nghiệm tử f  x   x  nên để đồ thị có hai tiệm cận đứng x 1 khơng phải nghiệm phương trình Nếu x  nghiệm phương trình g  x   , phương trình g  x   có hai nghiệm phân biệt nên phương trình g  x   có nghiệm x  a 1 g  x   m  x  1  x  a  mx  3mx    m  3m    m  Khi hàm số có dạng  m  Vậy giá trị m cần tìm   m  y x 1 m  x  1  x  a  nên có tiệm cận đứng x  a Bài tập Có giá trị nguyên tham số m để đồ thị hàm số y  1 x 1 x  1  m  x  2m có hai tiệm cận đứng? A B C D Hướng dẫn giải Chọn B  x  1 Điều kiện   x  1  m  x  2m  Đặt f  x   x  1  m  x  2m Để đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng phương trình f  x   có hai nghiệm phân biệt x1 , x2  1 Trường hợp f  x  có nghiệm x  1  f  1   m  2 Khi hàm số có dạng y  1 x 1 x  3x  có tập xác định D   4;   nên có tiệm cận đứng    Trường hợp f  x  có hai nghiệm phân biệt x1 , x2  1   x1  1 x2  1   x  x  2  m    1  m   8m    m       2m   m      2  m   1  m  2  m  2  m  Do m   nên m  1; m  Dạng 9: Biện luận số đường tiệm cận đồ thị hàm ẩn Bài tập Cho hàm số y  f  x  liên tục  y  f   x  có bảng biến thiên sau Đồ thị hàm số g  x   2020 có nhiều đường tiệm cận đứng? f  x  m A B C D Hướng dẫn giải Chọn C Điều kiện f  x   m Để đồ thị hàm số g  x   2020 có đường tiệm cận đứng phương trình f  x   m phải có nghiệm f  x  m x  a Từ bảng biến thiên hàm số y  f   x  suy phương trình f   x   có hai nghiệm  x  b với 1  a   b Từ ta có bảng biến thiên hàm số y  f  x  sau Suy phương trình y  f  x  có nhiều ba nghiệm phân biệt Vậy đồ thị hàm số g  x   2020 có nhiều ba đường tiệm cận đứng f  x  m Bài tập Cho hàm số g  x   2020 với h  x   mx  nx  px  qx  m, n, p, q  , m   , h  x  m  m h    Hàm số y  h   x  có đồ thị hình vẽ bên Có giá trị nguyên tham số m để đồ thị hàm số g  x  có hai tiệm cận đứng? A B 11 C 71 D 2019 Hướng dẫn giải Chọn B Từ đồ thị suy h  x   m  x  1 x   x  3  m  x3  13x  x  15  m0 nên 13   h  x   m  x  x3  x  15 x  h      Đồ thị g  x  có hai đường tiệm cận đứng  phương trình h  x   m  m có hai nghiệm phân biệt  x4  13 x  x  15 x  m  có hai nghiệm phân biệt Đặt f  x   x  13 x  x  15 x Ta có bảng biến thiên f  x  sau  32   35  ;1  m   ;0  Vì m  nên m        Vậy có 11 số nguyên m Bài tập Cho hàm số y  f  x  hàm số bậc Đồ thị hàm số y  f   x  hình vẽ f  1  20 Đồ thị hàm số g  x   f  x   20 f  x  m (m tham số thực) có bốn tiệm cận B f  3  m  f  1 A m  f  3 C m  f  1 D f  3  m  f  1 Hướng dẫn giải Chọn B Điều kiện f  x   m Từ đồ thị hàm số f   x  , ta có bảng biến thiên hàm số f  x  - Nếu m  20 đồ thị hàm số khơng có đủ bốn tiệm cận - Nếu m  20 lim x  f  x   20 f  x  m   Đường thẳng y  tiệm cận ngang đồ thị hàm số Ta có phương trình f  x   20 có nghiệm x  a  f  1  20 Suy đồ thị hàm số g  x  có bốn tiệm cận phương trình f  x   m có ba nghiệm phân biệt khác a  f  3  m  f  1 Bài tập Cho hàm số f  x  liên tục  lim f  x   ; lim f  x    Có giá trị x  x  nguyên tham số m thuộc  2020; 2020 để đồ thị hàm số g  x   x  3x  x f  x  f  x  m ngang nằm bên đường thẳng y  1 A B C Hướng dẫn giải Chọn C D có tiệm cận  x  3; x   Điều kiện 0  f  x     f  x   f  x   m  Do lim f  x    nên x   f  x   f  x    x  f  x   f  x  khơng có nghĩa x đủ lớn Do không tồn lim g  x  x  Xét lim g  x  x  Vì lim f  x   nên lim f  x   f  x   lim  f  x   f  x    ; x  x  lim x  Từ lim g  x   x    x  x  x  x  lim x        1 x    3 với m  1 2m  Khi đồ thị hàm số g  x  có tiệm cận ngang đường thẳng y  3 2m  Để tiệm cận ngang tìm nằm đường thẳng y  1 3  1  1  m  2m  2 Vì m   nên m  Dạng 10: Bài toán liên quan đến đường tiệm cận đồ thị hàm số y  ax  b cx  d Phương pháp giải Đồ thị hàm số y  ax  b có đường tiệm cận ad  bc  0, c  cx  d Khi đó, phương trình đường tiệm cận đứng x   Phương trình đường tiệm cận ngang y  d c a c  d a - Tọa độ giao điểm hai đường tiệm cận điểm I   ;  tâm đối xứng đồ thị  c c - Hai đường tiệm cận đồ thị hàm số với hai trục tọa độ tạo thành hình chữ nhật có kích thước  d a nên có chu vi c c ad a d C     diện tích S  c  c  c Bài tập mẫu Bài tập Giá trị tham số m để đồ thị hàm số y   mx  có đường tiệm cận đứng qua điểm 2x  m  A 1; A m  2 C m  B m  D m  1 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có ad  bc  m   0, m nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng đường thẳng x     Để tiệm cận đứng qua điểm A 1;  m m  1  m  Bài tập Các đường tiệm cận đồ thị hàm số y  2x  tạo với hai trục tọa độ hình chữ nhật có x 1 diện tích A (đvdt) B (đvdt) C (đvdt) D (đvdt) Hướng dẫn giải Chọn D Phương trình đường tiệm cận x  1; y  Do hai đường tiệm cận hai trục tọa độ tạo thành hình chữ nhật diện tích 1.2 = (đvdt) Bài tập Tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  2mx  m có đường tiệm cận đứng, x 1 tiệm cận ngang đồ thị hàm số hai trục tọa độ tạo thành hình chữ nhật có diện tích A m  2 B m  C m   D m  4 Hướng dẫn giải Chọn D Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận 2m  m   m  Khi phương trình hai đường tiệm cận x  y  2m Theo công thức tính diện tích hình chữ nhật tạo hai tiệm cận hai trục tọa độ, ta có S  2m Theo giả thiết 2m   m  4 Bài tập Cho đồ thị hai hàm số f  x   2x  ax  1 g  x   với a  Tất giá trị thực x 1 x2 dương tham số a để tiệm cận hai đồ thị hàm số tạo thành hình chữ nhật có diện tích A a  B a  C a  D a  Hướng dẫn giải Chọn A Đồ thị hàm số f  x   2x  có hai đường tiệm cận x  1 y  x 1 Điều kiện để đồ thị hàm số g  x   ax  1 có tiệm cận 2a    a  x2 Với điều kiện đồ thị hàm số g  x  có hai đường tiệm cận x  2 y  a Hình chữ nhật tạo thành từ bốn đường tiệm cận hai đồ thị có hai kích thước a  a  Theo giả thiết, ta có a      a  2 Vì a  nên a  Bài tập Cho hàm số y  x 1 có đồ thị  C  Hai đường tiệm cận  C  cắt I Đường thẳng x 1 d : y  x  b (b tham số thực) cắt đồ thị  C  hai điểm phân biệt A, B Biết b  diện tích tam giác AIB 15 Giá trị b A -1 B -3 C -2 D -4 Hướng dẫn giải Chọn D Ta có tọa độ điểm I 1;1 Phương trình hồnh độ giao điểm  C  d  x  x 1  2x  b   x 1  f  x   x   b  3 x  b   * Đường thẳng d cắt đồ thị  C  hai điểm phân biệt f  x   có hai nghiệm phân biệt   b  2b  17   b   khác    f 1  2  Gọi x1 , x2 hai nghiệm (*) Khi A  x1 ; x1  b  , B  x2 ; x2  b    Ta có IA   x1  1; x1  b  1 ; IB   x2  1; x2  b  1 Chú ý: Diện tích tam giác IAB S   x1  1 x2  b  1   x2  1 x1  b  1 - Với tam giác ABC có   AB   a; b  ; AC   c; d   1 b  2b  17 b  x  x  b     2 b  b  2b  17 Theo giả thiết thì S ABC  ad  bc - Nếu phương trình bậc 15  hai ax  bx  c  có 2   b  1  b  1  16   225   b  1     hai nghiệm phân biệt b  b  4  x1 , x2 x1  x2  Do b  nên b  4  a Bài tập Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn  C1   C2  có phương trình  x  1   y     x  1  y  Biết đồ thị hàm số y  2 ax  b qua tâm  C1  , qua xc tâm  C2  có đường tiệm cận tiếp xúc với  C1   C2  Tổng a  b  c A B C D -1 Hướng dẫn giải Chọn C Đường trịn  C1  có tâm I1 1;  ; R1   C2  có tâm I  1;0  ; R2  Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận ac  b  Gọi  C  đồ thị hàm số y  ax  b xc Khi ta có đường tiệm cận  C  x  c y  a a  b c  1  c    Ta có I1 , I   C     a  b  a  b   a  c   c   c   c0 Đường thẳng x  c tiếp xúc với  C1   C2  nên   c    a  b 1 Khi tiệm cận ngang  C  y  tiếp xúc với  C1  ,  C2  thỏa mãn toán Vậy a  b  1; c   a  b  c  Dạng 11: Bài toán khoảng cách từ điểm đồ thị hàm số y  ax  b đến đường tiệm cận cx  d Phương pháp giải Giả sử đồ thị hàm số y  cận 1 : x   ax  b 2x  có đường tiệm Bài tập: Xét hàm số y  có hai đường cx  d x 1 tiệm cận x  y  Khi tích d a  : y  c c khoảng cách từ điểm M đồ thị đến  ax  b  Gọi M  x0 ;  điểm đồ thị  cx0  d  Khi d1  d  M ; 1   x0  d2  d  M ; 2   cx  d d  c c hai đường tiệm cận d  2   1 ax0  b a ad  bc   cx0  d c c  cx0  d  Vậy ta ln có d1 d  ad  bc  K số c2 không đổi Khi d1  d  d1 d  K nên  d1  d   K d1  d  cx0  d ad  bc    cx0  d   ad  bc c c  cx0  d  Bài tập Bài tập Gọi M giao điểm đồ thị y  2x  với trục hoành Khi tích khoảng cách từ điểm 2x  M đến hai đường tiệm cận đồ thị hàm số cho A B C D Hướng dẫn giải Chọn B Gọi d1 , d khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số cho Áp dụng công thức, ta có d1 d  Bài tập Cho hàm số y  62  2x   C  Gọi M điểm  C  , d tổng khoảng cách từ M đến x2 hai đường tiệm cận đồ thị Giá trị nhỏ d A 10 B C Hướng dẫn giải Chọn C D Gọi d1 , d khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số cho Áp dụng cơng thức, ta có d1 d  4   1 Khi d  d1  d  d1 d  Vậy d  Bài tập Cho hàm số y   3x có đồ thị  C  Điểm M có hồnh độ dương, nằm  C  cho 3 x khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng gấp hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang  C  Khoảng cách từ M đến tâm đối xứng  C  A B C D Hướng dẫn giải Chọn C  3x   Giả sử M  x0 ;    C   x0  0; x0  3 x0    Đồ thị  C  có tiệm cận đứng 1 : x  , tiệm cận ngang  : y  tâm đối xứng I  3;3 Khi d1  d  M ; 1   x0  d  d  M ;    Theo giả thiết d1  2d  x0   x0   x0  16   x0  (do x0  ) x0   x0  1 Vậy M  7;5   IM  Bài tập Cho hàm số y  H  4x  có đồ thị  H  Gọi M  x0 ; y0  với x0  điểm thuộc đồ thị x 1 thỏa mãn tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận  H  Giá trị biểu thức S   x0  y0  A B C Hướng dẫn giải Chọn C Đồ thị  H  có tiệm cận đứng 1 : x  1 tiệm cận ngang  : y   4x   Gọi M  x0 ;    H  , x0  1, x0  x0    Khi d1  d  M ; 1   x0  d  d  M ;     d1 d  x0  D Ta có d1  d  d1 d  nên  d1  d   d1  d  x0    x0   x0   x0  4 Do x0  nên M  4;   S  Dạng 12: Bài toán liên quan tiếp tuyến tiệm cận đồ thị hàm số y  ax  b cx  d Phương pháp giải Ta có dạng câu hỏi thường gặp sau ax  b có đồ thị  C  có cx  d Câu 1: Tính diện tích tam giác IAB d a ad  bc 1 đường tiệm cận 1 : x   ,  : y  S IAB  IA.IB   K c c 2 c2  d a Câu 2: Tìm điểm M   C  viết phương trình I  ;   c c tiếp tuyến  C  biết tiếp tuyến tạo với hai trục  ax0  b  Gọi M  x0 ;  điểm đồ thị tọa độ tam giác vng có  cx0  d  a) Cạnh huyền nhỏ Khi tiếp tuyến  C  M Giả sử đồ thị hàm số y  d:y ad  bc  cx0  d  ax  b  x  x0   cx0  d AB  IA2  IB  IA.IB  K Dấu xảy IA  IB b) Chu vi nhỏ Gọi A  d    d 2bc  ad  acx0  A   ; c  cx0  d   c   ad  bc    IA  c  cx0  d   Ta có IA  IB  AB  IA.IB  IA.IB  K  K Dấu xảy IA  IB B  d 2 c) Bán kính đường trịn ngoại tiếp nhỏ  cx0  d  d a   B  x0  ;   IB  c c c  Ta có R  Do IA.IB  ad  bc c Do IAB vuông I nên S IAB   K số không đổi AB  K Dấu xảy IA  IB d) Bán kính đường trịn nội tiếp lớn Ta có r  S K  p IA  IB  AB ad  bc 1 IA.IB   K số không Vậy r lớn IA  IB  AB nhỏ 2 c2 đổi K  2K Dấu xảy IA  IB  x  xB  xM nên M ln Ngồi ra, ta có  A e) Khoảng cách từ I đến tiếp tuyến lớn  y A  y B  yM trung điểm AB Gọi H hình chiếu I lên d, ta có 1 2      IH  IA.IB K IH IA IB K Dấu xảy IA  IB Nhận xét: Các câu hỏi đẳng thức xảy IA  IB nên IAB vuông cân I Gọi  góc tiếp tuyến d tiệm cận ngang     d ;     d ; Ox   45 nên hệ số góc tiếp tuyến k   tan 45  1 Vậy toán câu ta quy tốn viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y ax  b biết hệ số góc k  k  1 cx  d Bài tập Bài tập Cho hàm số y  2x  có đồ thị  C  Tiếp tuyến  C  điểm có hồnh độ thuộc x 1  C  cắt đường tiệm cận  C  tạo thành tam giác có diện tích B  A C  2 D Hướng dẫn giải Chọn D Áp dụng cơng thức, ta có S  Bài tập Cho hàm số y  2  1 x 1 2x    C  Gọi I giao điểm hai tiệm cận đồ thị hàm số  C  Khoảng cách từ I đến tiếp tuyến đồ thị  C  đạt giá trị lớn A B C D Hướng dẫn giải Chọn A 3 1 Tọa độ giao điểm hai đường tiệm cận I  ;  2 2 Gọi A, B giao điểm tiếp tuyến d M   C  với hai đường tiệm cận Khi ta có IA.IB  ad  bc c2  3   1 2      IH  IA.IB IH IA IB Gọi H hình chiếu I d, ta có Vậy IH max  Bài tập Cho hàm số y  2x  có đồ thị  C  Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận  C  x2 Biết tiếp tuyến   C  M cắt đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang A B cho đường trịn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ Khi đó, diện tích lớn tam giác tạo  hai trục tọa độ thuộc khoảng đây? A  28; 29  B  29;30  C  27; 28  D  26; 27  Hướng dẫn giải Chọn C Ta có y   3  x  2  Theo lý thuyết để diện tích đường trịn ngoại tiếp tam giác IAB nhỏ AB nhỏ Khi hệ số góc tiếp tuyến  phải k  1 Do y   0, x nên k  1 Xét phương trình y   k  3  x  2 x    1    x     - Với x    y    Tiếp tuyến 1 : y   x      y  x            42 Khi 1 cắt Ox, Oy hai điểm M  3;0 , N 0;  SOMN   - Với x    y    tiếp tuyến 1 : y   x      y  x       Khi 1 cắt Ox, Oy hai điểm P  3;0 , N 0;  SOPQ  Bài tập Cho hàm số y  42 2  27,85 x 1 , gọi d tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ m  x2 Biết đường thẳng d cắt tiệm cận đứng đồ thị hàm số điểm A  x1 ; y1  cắt tiệm cận ngang đồ thị hàm số điểm B  x2 ; y2  Gọi S tập hợp số m cho x2  y1  5 Tổng bình phương phần tử S A B C D 10 Hướng dẫn giải Chọn D Điều kiện m    m  Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng  : x  2 tiệm cận ngang   : y  Ta có y    x  2  y  m  2  Phương trình đường thẳng d y  m3 y  m    m m m3 x  m  2   m m m6  A  d    A  2;  ; B  d     B  2m  2;1 m   Do x2  y1  5  2m   Vậy S   3  12  10 m  m6  5  2m  4m     m  m  3 ... x 1 (m, n tham số) nhận đường thẳng x  tiệm cận x  2mx  n  đứng, giá trị m  n A B 10 C -4 D -7 Hướng dẫn giải Chọn C Điều kiện: x  2mx  n   Đặt g  x   x  2mx  n  Do x  nghiệm... thị, bảng biến thi? ?n hàm số y  f  x  để xác định số nghiệm phương trình g  x   để suy số đường tiệm cận đứng - Xác định tiệm cận ngang: dựa vào nhánh vô tận đồ thị, bảng biến thi? ?n hàm số... biến thi? ?n hình vẽ Tổng số đường tiệm cận hàm số y  A B f  x 1 C D Hướng dẫn giải Chọn D Số đường tiệm cận đứng đồ thị số nghiệm phương trình f  x     f  x   1 Từ bảng biến thi? ?n