Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để giải một số bài toán

Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để giải một số bài toánSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để giải một số bài toánSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để giải một số bài toánSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để giải một số bài toánSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để giải một số bài toánSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để giải một số bài toánSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để giải một số bài toánSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để giải một số bài toánSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để giải một số bài toánSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để giải một số bài toánSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để giải một số bài toánSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để giải một số bài toánSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để giải một số bài toánSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để giải một số bài toánSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để giải một số bài toánSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để giải một số bài toánSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để giải một số bài toánSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để giải một số bài toán

PHẦN I MỞ ĐẦU I lý chọn đề tài Trong kỳ thi HSG toán 9, thi tuyển sinh vào lớp 10, vào trường chuyên, lớp chọn ta thường gặp dạng tốn mà học sinh vận dụng „Điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai” để giải cách nhanh chóng, tránh gặp sai sót cách đáng tiếc xẩy Vì lẻ đó, giáo viên giao nhiệm vụ bồi dưỡng giảng dạy mơn Tốn 9, lớp mà em bước vào nhiều kì thi quan trọng – tơi học hỏi tích lũy nhiều điều phân dạng để xây dựng phương pháp giải cho dạng Với lý đây, sáng kiến đưa "Sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai để giải số toán” II Phạm vi nghiên cứu Phạm vi đề tài Môn Đại sổ Đối tượng Học sinh lớp chọn 9D trường THCS Cẩm Nhượng năm học 2015 – 2016 Mục đích: a) Kiến thức: Tìm cực trị biểu thức Giải phương trình nghiệm nguyên Chứng minh bất đẳng thức b) Kỹ năng: Học sinh có kỹ vận dụng điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai để tìm GTNN, GTLN biểu thức, giải phương trình nghiệm nguyên, chứng minh bất đẳng thức PHẦN II NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI A NỘI DUNG I Cơ sở lý luận đề tài: * Phương trình ax  bx  c   a    ax  bx  c  x2  b c x a a 2 b  b   b  c  x  2.x        a  2a   a  a 2 b  b  4ac  x   2a  4a  Người ta ký hiệu:   b  4ac - Nếu   phương trình ax  bx  c   a   có nghiệm phân biệt: x1  b   ; 2a b   2a x2  - Nếu   phương trình ax  bx  c   a   có nghiệm kép: x1  x2   b 2a - Nếu   phương trình ax  bx  c   a   vơ nghiệm * Phương trình ax  bx  c   a   , đặt b=2b’ 2 Thì:   b  4ac   2b '  4ac  4b '  4ac   b '  ac  Ký hiệu:  '  b '2  ac , ta có:   4 ' - Nếu  '  phương trình có nghiệm phân biệt x1  b '  ' ; a x2  b '  ' a - Nếu  '  phương trình có nghiệm kép: x1  x2   b' a - Nếu  '  phương trình vơ nghiệm Vậy: Đối với phương trình ax  bx  c   a   có nghiệm 0 '  II Nội dung phương pháp nghiên cứu Thông qua việc giảng dạy học sinh xin đưa số tập sau: Dạng 1: Tìm cực trị biểu thức I Biểu thức có dạng phân thức : Bài tốn 1: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức sau: 4x  a, A  x 1 2x2  2x  b, B  x  2x  Giải: a) A  4x  x2  Ta có x2+1  với x  R , nên A  4x  x2   A(x2+1)=4x+3  Ax2 + A = 4x+3  Ax2 - 4x +A – = (2) - Nếu A=0 phương trình (2)  - 4x – =  x= 3 A=0  x= 3 (*) - Nếu A  0, phương trình bậc hai ẩn x: Ax2 - 4x +A – = (2) Có nghiệm khi:  '   (-2)2-A(A-3)   4-A2+3A   (4-A)(A+1)   4  A   A    A     A  1    1  A   4  A   A    (VN ) A      A  1 *Max A=4, Thay vào (2) ta có: 4x2 – 4x + =  x  *Min A=1, Thay vào (2) ta có: –x2 - 4x – 4=0  x= - Đối chiếu với (*) ta có: Max A=4  x  Min A= -1  x= - 2x2  2x  b, B  x  2x  Ta có: x2 +2x+5=(x+1)2+4  0, x  R 2x2  2x   B(x2 + 2x + 5) = 2x2 - 2x + Nên B  x  2x   (B-2)x2+2(B+1)x+5B-9 = (3) Nếu B=2 phương trình (3)  6x+1=0  x 1 Nếu B  phương trình bậc hai ẩn x: (B-2)x2+2(B+1)x+5B-9 = có nghiệm khi:  '   (B+1)2-(B-2)(5B-9)   B2+2B+1-5B2+9B+10B-18   -4B2+21B-17   4B2-21B+17   (B-1)(4B-17)   B    B     B  17  17   4 B  17    1 B   B     B    17 (VN )  4 B  17  B    Vậy: Max B= 17 7 x Min B=1  x=2 Bài tốn 2: Tìm a,b để biểu thức M  ax  b ; (4) đạt giá trị nhỏ  , đạt giá 2 x 2 trị lớn Giải: Ta có: x   , với x  R ; Nên (4)  M(x2+2) = ax+b  Mx2-ax+2M-b=0 (*) - a  b  Nếu M=0 (*)  ax+b=0   b a  0, x  a  - Nếu M  phương trình (*) ẩn x có nghiệm     (-a)2- 4M(2M-b)   a2-8M2+4bM  2 Để M đạt giá trị nhỏ  , đạt giá trị lớn 1,  , nghiệm phương trình bậc hai: -8M2+4bM+a2=0 (ẩn M) Vì phương trình: -8M2+4bM+a2=0 (ẩn M) có hệ số a,c trái dấu nên ln có nghiệm, theo hệ thức viet ta có:  a  2 4b   b         b   2 b  8     2  a  a  2   1  a 1  a   8   b  Vậy: Để biểu thức M  ax  b ; (4) đạt giá trị nhỏ  , đạt giá trị lớn x 2  a  2 a   b  b  thì:  Bài tốn 3: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: x  xy  y A với x  ; x2  y2 - Xét y=0  A=1(*) - x xy y  x  x      1 y2 y2 y2  y  y  Xét y  ta có A  x2 y x   y  1 y2 y2   x t2  t 1 Đặt y  t , ta có: A  , ta có: t2+1  t 1 t2  t 1  At2+A=t2+t+1 Nên : A  t 1  (A-1)t2-t+A-1=0 - Nếu A=1 t=0 (**) - Nếu A  1, phương trình bậc hai: (A-1)t2-t+A-1=0 (ẩn t) có nghiệm:  1-4(A-1)(A-1)   4A2-8A+3   (2A-1)(2A-3)     A  (VN )   2 A    A   A         2 A    A       A  2 A    2  A     A  (***) 2 Từ (*),(**) (***) ta có: Max A= MinA=  x=y  x=-y Bài tập tự luyện Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: x2  x  a) A  x  x 1 2x2  x  b) B  x2  c) C  x  xy  y x  xy  y II Biểu thức đa thức hai biến : Bài tốn ( §Ị thi TS lớp 10- Tỉnh Hà tĩnh- năm học 2010 - 2011) Tìm x để y lớn thõa mÃn: x2 + 2y2 + 2xy - 8x - 6y +13 = (1) Giải (1)  x2 + 2(y – 4).x + 2y2 - 6y +13 =  ' =( y – 4)2 - 2y2 + 6y -13  ' =- y2 -2 y +3 Phương trình bậc hai ẩn x, có nghiệm   '   -y2 - 2y +3   y2 + 2y -3   ( y – 1)(y + 3)   y    y   3  y    y   y        y    y    (VN )   y     y  3 Vậy Max(y) =  x = -3 Bài toán 2.( Đề thi TS lớp 10- ĐHQG Hà nội - năm học 04 - 05) Tìm căp số ( x; y) cho y nhá nhÊt tháa m·n: x + 5y2 +2y - 4xy -3 = 0(2) Giải (2)  x2 - 4xy+ 5y2 +2y -3 = Phương trình bậc hai ẩn x, có nghiệm   '   4y2 - 5y2 -2y +3   -y2 -2y +3   ( y – 1)(y + 3)   -3  y  Vậy: ( x; y) = ( 6; -3) Bài tốn 3: (Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10- Hà Tĩnh năm học 2010-2011) Tìm x để y lớn thỏa mãn: x2+2y2+2xy-8x-6y+13=0 (3) Giải: x2+2y2+2xy-8x-6y+13=0  x2+2(y-4)x+2y2-6y+13=0; (Phương trình bậc hai ẩn x), có nghiệm: 2   '   (y-4) -(2y -6y+13)   y2-8y+16-2y2+6y-13   -y2-2y+3   y    y   3  y    y   y      y2+2y-3   (y-1)(y+3)      y    y    (VN )   y     y  3 Nên y có giá trị lớn 1, thay y=1 vào phương trình (5) ta có: x2+2+2x-8x-6+13=0  x2-6x+9=0  (x-3)2=0  x-3=0  x=3 Vậy x=3 y đạt giá trị lớn Bài tốn 4: (Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10- ĐHQG Hà Nội- Năm học 2004-2005): Tìm cặp số (x;y) cho y nhỏ thỏa mãn: x2+5y2+2y-4xy-3=0; (4) Giải: Ta có: x2+5y2+2y-4xy-3=0  x2-4yx +5y2+2y-3=0 (Phương trình bậc hai ẩn x) có nghiệm: 2   '   (-2y) -(5y +2y-3)   4y2-5y2-2y+3   -y2-2y+3   y    y   3  y    y   y      y2+2y-3   (y-1)(y+3)      y    y    (VN )   y     y  3 Nên y có giá trị nhỏ -3, thay y=-3 vào phương trình (4) ta có: x2+5(-3)2+2(-3)-4x(-3)-3=0  x2+12x+36=0  (x+6)2=0  x=-6 Vậy: (x;y)=(-6;-3) Bài tốn 5: Tìm m để phương trình ẩn x sau x4+2x2+2mx+m2+2m+1=0 (5) có nghiệm lớn nhất, nhỏ nhất: Giả sử x0 nghiệm phương trình cho, phương trình ẩn m sau có nghiệm: m2+2(x0+1)m+ x 04 +2 x02 +1=0  '   (x0+1)2 - ( x 04 +2 x02 +1)   (x0+1)2 - ( x02 +1)2   ( x0+1+ x02 +1) ( x0+1- x02 -1)   ( x02 +x0+2) ( x0- x02 )  Vì x02 +x0+2= (x0+ )2+ >0 Nên ( x02 +x0+2) ( x0- x02 )  khi: ( x0- x02 )   x0(1- x0)    x0   1  x0      x0   x0    1  x0  Dấu “=” xảy x0=0; x0=1 thay vào (5) ta có: Khi x0=0 m2+2m+1=0  m= -1 Khi x0=1 : m2+4m+4 =  m= - Vậy: Để phương trình ẩn x: x4+2x2+2mx+m2+2m+1=0 có nghiệm lớn x0=1 m= - 2, có nghiệm nhỏ x0=0 m= -1 Bài tốn 6: Tìm cặp số (x;y) thỏa mãn: x  1y  x   y ; (6) cho x đạt giá trị lớn Giải: - Nếu x=1 y=0 - Nếu x>1, Xem phương trình (6) phương trình bậc ẩn y Phương trình (6)  x  1y  y  x   có nghiệm:  0  1  x 1 x 1   1- 4(x-1)  (vì x>1)  1-4x+4   x Suy x có giá trị lớn Thay x  vào (6) ta có: 5  1y  1  y 4 1  y2   y  2  y  y 1    y  1   y 1 Vậy: Cặp số (x;y) thỏa mãn: 5  x  y  x   y ; Sao cho x đạt giá trị lớn (x;y)=  ;1 4  Bài toán 7: Cho số thực thõa mãn: 9x2+y2=1 Tìm giá trị lớn biểu thức: M= x  y Giải Đặt: A=x-y, Suy ra: y=x-A 9x2+y2=1  9x2+(x-A)2-1=0  10x2-2Ax+A2-1=0 ( phương trình bậc ẩn x) có nghiệm:  '   A2-10(A2-1)   -9A2+10   A2  10  A  10 10 Hay: M= x  y  Hay giá trị lớn M 10 10 Bài tốn 8: (Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10- Năm học 2008-2009- Hà Tĩnh) Cho số x,y thỏa mãn: x2+2y2+2xy+8(x+y)+7=0 ; (8) Tìm Min, Max S=x+y Giải: Từ: S=x+y, Suy : y=S-x, thay vào (8) ta có: x2+2(S-x)2+2x(S-x)+8(x+S-x)+7=0  x2+2(S2-2Sx+x2)+2xS-2x2+8S+7=0  x2+2S2-4Sx+2x2+2xS-2x2+8S+7=0  x2-2Sx +2S2+8S+7=0 ( Phương trình bậc hai ẩn x), có nghiệm 2   '   (-S) -(2S +8S+7)   S2-2S2-8S-7   S2+8S+7   (S+1)(S+7)  S     S  1  7  S      S   S       S     S  1   (VN )   S     S  7 Hay: 7  x  y  1  x  1 Vậy: Max S=-1   y   x  7 Min S=-7   y  Bài tập tự luyện: 1) Tìm Max P = -x2 – y2 + xy + 2x + 2y + 2) T×m P = 2x2 + 4y2 + 4xy + 2x + 4y + 3) Tìm cặp số (x;y) cho y nhá nhÊt tháa m·n: x + 5y2 – 4xy + 2y – = 4) Cho c¸c sè thùc (x;y) tháa m·n: x2 + 2y2 + 2xy + 6x + 8y + = T×m min, Max cđa S = x + y +2010 5) Cho x + y + z =3 T×m Max D = xy + 2yz + 3xz 6) Cho c¸c sè thùc (x;y; z) tháa m·n: x + y +2z = 11 T×m P = 2x2 + 2y2 z2 7) Cho x, y, z số không âm thỏa mÃn: x+y+z = Tìm Max P = ( x+2y+3z)(6x+3y+2z) Dạng 2: Giải phương trình nghiệm nguyờn: Bi toỏn 1: Tìm nghiệm nguyên đa thức: 5x2 + 5y2 + 8xy - 2x + 2y + = (1) Giải (1)  5x2 + 2( 4y – 1)x + 5y2 + 2y + = ( pt bËc Èn x)  ' =16y2 – 8y +1- 25y2 -10y -10 = - 9y2 -18y - = - 9( y + 1)2  (1) có nghiệm   ' =  y =- Từ suy x = Thư l¹i ta cã (x;y) = ( 1;-1) Bài tốn ( Đề TS 10 Chuyên tỉnh Hà tĩnh 07- 08) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2-xy+y2=2x-3y-2 Giải: x2-xy+y2=2x-3y-2  x2-(y+2)x+y2+3y+2=0 (Phương trình bậc hai ẩn x, y tham số) có nghiệm:         y  2   y  y      y2+4y+4-4y2-12y-8   -3y2-8y-4   3y2+8y+4    y  2   y     y  2  2   3 y    (y+2)(3y+2)      2  y   y     y  2   2  3 y    y   Vì y  Z nên: 2  y  1 : - Với y=-2, thay y=-2 vào phương trình x2-xy+y2=2x-3y-2 ta được: x2+2x+4=2x+6-2  x2=0  x=0 ta có: (x;y)=(0;-2) - Với y=-1, thay y=-1 vào phương trình x2-xy+y2=2x-3y-2 ta được: x2+x+1=2x+3-2 12  x2-x=0  x(x-1)=0  x=0 x=1 ta có: (x;y)=(0 ;-1) (x;y)=(1;-1) Vậy: Phương trình có nghiệm nguyên là: (x;y)=(0;-2) (x;y)=(0 ;-1) (x;y)=(1;-1) Bài toán 3: Tìm cặp số (x, y ) nguyên thỏa mÃn: 3x2 + 4y2 + 6x +4 y = (3) Giải (3)  3x2 + 6x + 4y2 +4 y - = Phương trình bậc hai ẩn x, có nghiệm   '   – 3(4y2 + 4y – 5)   -y2 - y +   ( y – 1)(y + 2)   -2  y  Vì y Z, nên y = ( -2; -1; 0; 1) Suy ra: (x; y) = (-1; 2), (-1; 1) Bi :Tỡm cặp số (x, y ) nguyên thỏa m·n: 1) x2 + y2 + xy - 2x - y = 2) x2 + 2y2 - 2xy + 3x - 3y + = 3) x2 + 2y2 + 2xy - 3y - = 4) 2x2 + y2 - 2xy + y = Dạng 3: Chứng minh bất đẳng thức: Bài toán 1: Cho x,y thỏa mãn điều kiện: x2+y2=xy+x-2y; (1) Chứng minh:  3 x 3 Giải: x2+y2=xy+x-2y  y2+(2-x)y+x2-x=0 (*) Xét phương trình (*) phương trình bậc hai ẩn y, ta có: Phương trình (*) có nghiệm    13  (2-x)2-4(x2-x)   4-4x+x2-4x2+4x   -3x2+4   x2   x 4  x2 3    x  (ĐPCM) 3 Bài toán 2: Cho x,y,z thỏa mãn: x2+4y2+z2=4xy+5x-10y+2z-5; (2) Chứng minh rằng:  x  y  Giải: Ta có: x2+4y2+z2=4xy+5x-10y+2z-5  z2 -2z +x2-4xy+ 4y2-5x+10y+5=0 (*) Xem phương trình (*) phương trình bậc hai ẩn z, có nghiệm:  '   1-(x-2y)2+5x-10y-5   (x-2y)2-5(x-2y)+4   (x-2y-1)(x-2y-4)   x  y    x  y     1 x  2y   x  y      x  y   Vậy:  x  y  Bài toán Cho đẳng thức: x2 - x + y2 - y = xy ( 3) Chứng minh rằng: (y - 1)2  , (x - 1)2  Giải ( 3)  x2 – ( y – 1)x + (y2 - y) = (4)  = (y + 1)2 - 4(y2 - y) = - 3y2 + 6y + 14 Để phương trình (4) ẩn x có nghiệm, ta phải có  '  , tức 3y2 - 6y -   3y2 - 6y +   3(y - 1)2   (y - 1)2  Vai trị x y (3) bình đẳng Do ta có (x - 1)2  Bài toán 4: Cho a,b hai số thực thỏa mãn: a2+4b2=1; (4) Chứng minh rằng: a  b  Giải: Đặt a-b=x;  a=b+x, thay vào (4) ta có: (b+x)2+4b2=1  5b2+2xb+x2-1=0 (*) (Phương trình bậc hai ẩn b) có nghiệm  '   x2-5(x2-1)   -4x2+5   x2   x Hay: a  b  Bài toán 5: Cho a,b,c thỏa mãn: a  b  c    ab  bc  ca  Chứng minh rằng:  a, b, c  a  b  c  b  c   a b  c   a   ab  bc  ca  bc   a  b  c  bc   a   a  Giải: Ta có  Khi b,c hai nghiệm phương trình bậc hai ẩn x sau: x2-(4-a)x+5-4a+a2=0, có nghiệm     (a-4)2-4(5-4a+a2)   a2-8a+16-20+16a-4a2   -3a2+8a-4   3a2-8a+4  15  (a-2)(3a-2)   a    3a     a2  a     3a    a2 Tương tự ta có: Vậy: 2 b 2;  c  3  a , b, c  Bài toán 6: ( Đề Thi HSG Toán huyện Cẩm Xuyên năm học 2013- 2014) Tìm giá trị lớn biểu thức P = 2x +  x  x  (5) Giải ĐK: 2   x   (5)  P - 2x =  x  x   P2 – 4Px + 4x2 = -x2 -4x+  4Px + 5x2 – 4(P – 1)x + P2 – 1= Phương trình bậc hai ẩn x, có nghiệm   '   -P – 8P +   25 –(P + 4)2   -9  P  Vậy Max(P) =  x = B ỨNG DỤNG VÀO CƠNG TÁC GIẢNG DẠY I Q trình áp dụng thân: Bản thân nghiên cứu xong sáng kiến này, giảng dạy sáng kiến cho hai đối tượng học sinh Khá, Giỏi, tùy đối tượng mà chọn tập cho phù hợp thấy đa số em tiếp thu nội dung sáng kiến cách dễ dàng, em hứng thú tự lập toán tương tự II Hiệu áp dụng đề tài 16 Khi giảng dạy đề tài cho học sinh lớp chọn 9D năm học 2015 – 2016 cho em làm kiểm tra kết thu sau: LỚP 9D SĨ SỐ 32 GIỎI SL % KHÁ SL % 12 13 % % TB SL % % III Những học kinh nghiệm rút ra: Qua đề sáng kiến nhận thấy muốn dạy cho học sinh hiểu vận dụng vấn đề trước hết người thầy phải hiểu vấn đề cách sâu sắc, người thầy phải ln học hỏi, tìm tịi, đào sâu suy nghĩ tốn, khơng ngừng nâng cao trình độ cho thân IV Những kiến nghị đề xuất Khi giảng dạy sáng kiến cho học sinh, thầy cô cần nghiên cứu kỹ để vận dụng phù hợp với đối tượng học sinh PHẦN III KẾT LUẬN Đề tài “ Sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai để giải số toán” vấn đề khó q trình tìm hiểu tơi thấy đề tài hữu ích khơng cho bồi dưỡng học sinh giỏi mà bồi dưỡng kiến thức cho giáo viên, đặc biệt em học sinh muốn thi tuyển vào lớp chọn, lớp chuyên trung học phổ thông, hy vọng qua đề tài góp phần nhỏ vào kho tàng kiến thức quý thầy cô giáo em học sinh Trên số toán suy nghĩ việc nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn Rất mong bạn đồng nghiệp góp ý xây dựng để thực tế giảng dạy mơn tốn nói chung mơn đại số nói riêng ngày có chất lượng Mặc dù cố gắng với kiến thức cịn hạn chế chắn tơi chưa thể đưa vấn đề cách trọn vẹn được, mong thầy giáo đóng góp ý kiến xây dựng để sáng kiến hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Tháng 09 năm 2016 Người thực 17 18 ... x,y thỏa mãn điều kiện: x2+y2=xy+x-2y; (1) Chứng minh:  3 x 3 Giải: x2+y2=xy+x-2y  y2+(2-x)y+x2-x=0 (*) Xét phương trình (*) phương trình bậc hai ẩn y, ta có: Phương trình (*) có nghiệm  ... M  phương trình (*) ẩn x có nghiệm     (-a)2- 4M(2M-b)   a2-8M2+4bM  2 Để M đạt giá trị nhỏ  , đạt giá trị lớn 1,  , nghiệm phương trình bậc hai: -8M2+4bM+a2=0 (ẩn M) Vì phương trình: ... '' a - Nếu  ''  phương trình có nghiệm kép: x1  x2   b'' a - Nếu  ''  phương trình vơ nghiệm Vậy: Đối với phương trình ax  bx  c   a   có nghiệm 0 ''  II Nội dung phương pháp nghiên