Đang tải... (xem toàn văn)
Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng các kiến thức về phương trình đường thẳng để giải các bài toán liên quan đến tam giác, tứ giác trong hình phẳngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng các kiến thức về phương trình đường thẳng để giải các bài toán liên quan đến tam giác, tứ giác trong hình phẳngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng các kiến thức về phương trình đường thẳng để giải các bài toán liên quan đến tam giác, tứ giác trong hình phẳngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng các kiến thức về phương trình đường thẳng để giải các bài toán liên quan đến tam giác, tứ giác trong hình phẳngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng các kiến thức về phương trình đường thẳng để giải các bài toán liên quan đến tam giác, tứ giác trong hình phẳngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng các kiến thức về phương trình đường thẳng để giải các bài toán liên quan đến tam giác, tứ giác trong hình phẳngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng các kiến thức về phương trình đường thẳng để giải các bài toán liên quan đến tam giác, tứ giác trong hình phẳngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng các kiến thức về phương trình đường thẳng để giải các bài toán liên quan đến tam giác, tứ giác trong hình phẳngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng các kiến thức về phương trình đường thẳng để giải các bài toán liên quan đến tam giác, tứ giác trong hình phẳngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng các kiến thức về phương trình đường thẳng để giải các bài toán liên quan đến tam giác, tứ giác trong hình phẳngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng các kiến thức về phương trình đường thẳng để giải các bài toán liên quan đến tam giác, tứ giác trong hình phẳngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng các kiến thức về phương trình đường thẳng để giải các bài toán liên quan đến tam giác, tứ giác trong hình phẳngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng các kiến thức về phương trình đường thẳng để giải các bài toán liên quan đến tam giác, tứ giác trong hình phẳngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng các kiến thức về phương trình đường thẳng để giải các bài toán liên quan đến tam giác, tứ giác trong hình phẳngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng các kiến thức về phương trình đường thẳng để giải các bài toán liên quan đến tam giác, tứ giác trong hình phẳngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng các kiến thức về phương trình đường thẳng để giải các bài toán liên quan đến tam giác, tứ giác trong hình phẳngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng các kiến thức về phương trình đường thẳng để giải các bài toán liên quan đến tam giác, tứ giác trong hình phẳngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng các kiến thức về phương trình đường thẳng để giải các bài toán liên quan đến tam giác, tứ giác trong hình phẳng
1 Lý chọn đề tài 2 Giả thuyết khoa học Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng, phạm vi nghiên cứu .2 Phương pháp nghiên cứu Ý nghĩa đề tài .3 Cấu trúc đề tài NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Kiến thức phương trình đường thẳng Bài tập phương trình đường thẳng CHUYÊN ĐỀ XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC 57 Giải tam giác biết tính chất đường tam giác 57 Một số tốn giải tam giác biết tính chất tam giác: 77 CHUYÊN ĐỀ 3: XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ CỦA TỨ GIÁC 84 BÀI TỐN: HÌNH BÌNH HÀNH 85 BÀI TỐN: HÌNH THANG 96 BÀI TỐN: HÌNH THOI 111 BÀI TOÁN: HÌNH CHỮ NHẬT 118 BÀI TỐN: HÌNH VUÔNG .130 KẾT LUẬN .147 PHỤ LỤC 148 PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Tốn học có vai trị quan trọng q trình hình thành phát triển tư học sinh Trong toán học phổ thơng, tốn hình học phẳng chiếm vị trí đặc biệt quan trọng, xuất hầu hết kỳ thi, đặc biệt kỳ thi học sinh giỏi tốn cấp, kì thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng… thường xuất dạng tốn khó đề Đề tốn hình học phẳng phát biểu ngắn gọn học sinh lại gặp nhiều khó khăn tìm lời giải Trước vấn đề chúng tơi nhận thấy cần tìm thuật giải, hướng cụ thể để giải vấn đề tốn Hình học phẳng nội dung hay Tốn phổ thơng, nội dung quan trọng nhằm rèn luyện trí tuệ cho học sinh Tuy vậy, tài liệu tham khảo đầy đủ dạng tập cịn ít, chủ yếu nằm rải rác nhiều tài liệu khác chưa hệ thống thành phương pháp giải Việc sử dụng phương pháp cho toán cụ thể phụ thuộc vào nội dung toán kinh nghiệm người giải Chúng tơi nhận thấy cần phải có hệ thống sở lý thuyết, phương pháp, tập xuyên suốt phần hình học phẳng giúp em dễ dàng chủ động rèn luyện kĩ cho thân Có vừa tích cực hóa việc học người học, vừa rèn luyện tính linh hoạt nhìn nhận vấn đề theo nhiều phương diện khác nhau, nhằm nâng cao khả tư duy, phát triển trí tuệ đồng thời bồi dưỡng niềm đam mê toán học cho em học sinh Từ lý trên, sáng kiến kinh nghiệm chọn với đề tài : “Sử dụng kiến thức phương trình đường thẳng để giải tốn liên quan đến tam giác, tứ giác hình phẳng” Giả thuyết khoa học Nếu xây dựng hệ thống tập cách hợp lý, lồng ghép vào câu hỏi, tình gợi vấn đề trình giảng dạy để học sinh chủ động tiến hành hoạt động tư giúp em nắm bắt cách giải dạng tốn đồng thời góp phần bồi dưỡng lực giải toán cho học sinh THPT Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Mục đích nghiên cứu tổng hợp hệ thống dạng tập hình học phẳng, tạo nguồn tài liệu đầy đủ dễ hiểu cho học sinh rèn luyện kĩ giải toán Nhiệm vụ nghiên cứu: - Tổng hợp phân dạng tập hình học phẳng - Chỉ phương pháp, hướng cho dạng tập Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Các tốn hình học phẳng trường trung học phổ thơng kì thi học sinh giỏi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng Phạm vi nghiên cứu: Một số lớp tốn thường gặp hình học phẳng đề thi học sinh giỏi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý luận Tìm hiểu, nghiên cứu vấn đề liên quan đến đề tài định hướng cho việc nghiên cứu, phân tích tổng hợp, định hướng phương pháp giải cho toán Ý nghĩa đề tài Tạo nguồn tài liệu đầy đủ chi tiết cho học sinh, giáo viên tham khảo, trình dạy học Nhằm rèn luyện kĩ giải toán, nâng cao chất lượng dạy học nhà trường THPT nói chung tốn hình học phẳng nói riêng Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu kết luận, phần nội dung sáng kiến gồm chuyên đề: Chuyên đề Phương trình đường thẳng Chuyên đề Xác định yếu tố tam giác Chuyên đề Xác định yếu tố tứ giác Trong phần, có sở lý thuyết, phân dạng tập, phương pháp giải cho dạng, ví dụ tập tự luyện NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Giáo viên thực hiện: Đỗ Thị Lan Kiến thức phương trình đường thẳng 1.1 Vectơ phương đường thẳng r Vectơ ur ≠ gọi vectơ phương đường thẳng ∆ giá song song trùng với ∆ Nhận xét: r r – Nếu u vectơ phương ∆ ku (k ≠ 0) vectơ phương ∆ – Một đường thẳng hoàn toàn xác định biết điểm vectơ phương 1.2 Vectơ pháp tuyến đường thẳng r Vectơ nr ≠ gọi vectơ pháp tuyến đường thẳng ∆ giá vng góc với ∆ r r Nhận xét: – Nếu n vectơ pháp tuyến ∆ kn (k ≠ 0) vectơ pháp tuyến ∆ – Một đường thẳng hoàn toàn xác định biết điểm vectơ pháp tuyến r r r r – Nếu u vectơ phương n vectơ pháp tuyến ∆ u ⊥ n 1.3 Phương trình tham số đường thẳng r Cho đường thẳng ∆ qua M ( x0 ; y0 ) có vectơ phương u = (u1; u2 ) x = x + tu Phương trình tham số ∆ : y = y0 + tu1 (1) ( t tham số) x = x + tu Nhận xét: – M(x; y) ∈ ∆ ⇔ ∃ t ∈ R: y = y0 + tu1 – Gọi k hệ số góc ∆ thì: + k = tanα, +k= u2 , u1 · , α ≠ 900 với α = xAv với u1 ≠ 1.4 Phương trình tắc đường thẳng r Cho đường thẳng ∆ qua M ( x0 ; y0 ) có vectơ phương u = (u1; u2 ) Phương trình tắc ∆: x − x0 y − y0 = u1 u2 (2) (u1 ≠ 0, u2 ≠ 0) Chú ý: Trong trường hợp u1 = u2 = đường thẳng khơng có phương trình tắc 1.5 Phương trình tham số đường thẳng PT ax + by + c = với a + b ≠ gọi phương trình tổng quát đường thẳng Nhận xét: – Nếu ∆ có phương trình ax + by + c = ∆ có vectơ pháp tuyến r r r n = (a; b) vectơ phương u = (−b; a ) u = (b; −a ) r – Nếu ∆ qua M ( x0 ; y0 ) có vectơ pháp tuyến n = (a; b) phương trình ∆ là: a ( x − x0 ) + b( y − y0 ) = Các trường hợp đặc biệt: Các hệ số Phương trình đường thẳng ∆ Tính chất đường thẳng ∆ c=0 ax + by = ∆ qua gốc toạ độ O a=0 by + c = ∆ // Ox ∆ ≡ Ox b=0 ax + c = ∆ // Oy ∆ ≡ Oy • ∆ qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b ≠ 0): Phương trình ∆: x y + = a b (phương trình đường thẳng theo đoạn chắn) • ∆ qua điểm M ( x0 ; y0 ) có hệ số góc k: Phương trình ∆: y − y0 = k ( x − x0 ) (phương trình đường thẳng theo hệ số góc) 1.6 Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho hai đường thẳng ∆1: a1 x + b1 y + c1 = ∆2: a2 x + b2 y + c2 = Toạ độ giao điểm ∆1 ∆2 nghiệm hệ phương trình: a1 x + b1 y + c1 = a x + b y + c = 2 (1) • ∆1 cắt ∆2 ⇔ hệ (1) có nghiệm ⇔ a1 b1 ≠ a2 b2 • ∆1 // ∆2 ⇔ hệ (1) vơ nghiệm ⇔ a1 b1 c1 = ≠ (nếu a2 , b2 , c2 ≠ ) a2 b2 c2 • ∆1 ≡ ∆2 ⇔ hệ (1) có vơ số nghiệm ⇔ a1 b1 c1 = = (nếu a2 , b2 , c2 ≠ ) a2 b2 c2 (nếu a2 , b2 , c2 ≠ ) 1.7 Góc hai đường thẳng r Cho hai đường thẳng ∆1: a1 x + b1 y + c1 = (có VTPT n1 = ( a1; b1 ) ) r ∆ : a2 x + b2 y + c2 = (có VTPT n2 = (a2 ; b2 ) ) ( ∆1 , ∆ ) ( ) ( ) n1 ; n2 n1 ; n2 ≤ 90 = 180 − n1 ; n2 n1 ; n2 > 90 ( ( ) ) cos( ∆ ; ∆ ) = cos n1 ; n = ( n1 n2 n1 n1 ) = a1b1 + a b2 a12 + b12 a 22 + b22 Chú ý: • ∆1 ⊥ ∆2 ⇔ a1a2 + b1b2 = • Cho ∆1: y = k1x + m1 , ∆2: y = k2 x + m2 thì: + ∆1 // ∆2 ⇔ k1 = k2 + ∆1 ⊥ ∆2 ⇔ k1 k2 = –1 1.8 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng • Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho đường thẳng ∆: ax + by + c = điểm M ( x0 ; y0 ) d ( M , ∆) = ax0 + by0 + c a + b2 • Vị trí tương đối hai điểm đường thẳng Cho đường thẳng ∆: ax + by + c = hai điểm M ( xM ; yM ), N ( xN ; y N ) ∉ ∆ – M, N nằm phía ∆ ⇔ (axM + byM + c)(axN + by N + c) > – M, N nằm khác phía ∆ ⇔ (axM + byM + c)(axN + by N + c) < • Phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng Cho hai đường thẳng ∆1: a1 x + b1 y + c1 = ∆2: a2 x + b2 y + c2 = cắt Phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng ∆1 ∆2 là: a1 x + b1 y + c1 a12 + b12 =± a2 x + b2 y + c2 a22 + b22 Bài tập phương trình đường thẳng 2.1 Các tập phương trình đường thẳng 2.1.1 Lập phương trình đường thẳng • Để lập phương trình tham số phương trình tắc đường thẳng ∆ ta cần xác r định điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ ∆ vectơ phương u = (u1; u2 ) ∆ x = x + tu PTTS ∆: y = y0 + tu1 ; PTCT ∆: x − x0 y − y0 = u1 u2 (u1 ≠ 0, u2 ≠ 0) • Để lập phương trình tổng qt đường thẳng ∆ ta cần xác định điểm r M ( x0 ; y0 ) ∈ ∆ vectơ pháp tuyến n = (a; b) ∆ PTTQ ∆: a ( x − x0 ) + b( y − y0 ) = • Một số toán thường gặp: + ∆ qua hai điểm A( x A ; y A ) , B( xB ; yB ) (với x A ≠ xB , y A ≠ yB ): PT ∆: x − xA y − yA = xB − x A y B − y A + ∆ qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b ≠ 0): PT ∆: x y + = a b + ∆ qua điểm M ( x0 ; y0 ) có hệ số góc k: PT ∆: y − y0 = k ( x − x0 ) Chú ý: Ta chuyển đổi phương trình tham số, tắc, tổng qt đường thẳng • Để tìm điểm M′ đối xứng với điểm M qua đường thẳng d, ta thực sau: Cách 1: – Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M vng góc với d – Xác định I = d ∩ ∆ (I hình chiếu M d) – Xác định M′ cho I trung điểm MM′ Cách 2: Gọi I trung điểm MM′ Khi đó: uuuuur MM ′ ⊥ ur d (sử dụng toạ độ) M′ đối xứng M qua d ⇔ I ∈ d • Để viết phương trình đường thẳng d′ đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng ∆, ta thực sau: – Nếu d // ∆: + Lấy A ∈ d Xác định A′ đối xứng với A qua ∆ + Viết phương trình đường thẳng d′ qua A′ song song với d – Nếu d ∩ ∆ = I: + Lấy A ∈ d (A ≠ I) Xác định A′ đối xứng với A qua ∆ + Viết phương trình đường thẳng d′ qua A′ I • Để viết phương trình đường thẳng d′ đối xứng với đường thẳng d qua điểm I, ∆, ta thực sau: – Lấy A ∈ d Xác định A′ đối xứng với A qua I – Viết phương trình đường thẳng d′ qua A′ song song với d Ví dụ 1.1 Lập PTTS, PTTQ đường thẳng qua điểm M (1; −2) có vec r tơ phương u = (2; −1) Giải r +) Vì đường thẳng ∆ qua M (1 ;-2) có vec tơ phương u = (2; −1) nên phương trình tham số đường thẳng : { x = + 2t y = −2 − t r +) Vì đường thẳng ∆ có vec tơ phương u = (2; −1) nên ∆ có vec tơ pháp tuyến r n = (1; 2) Vậy phương trình tổng quát ∆ : 1( x − 1) + ( y + ) = ⇔ x + y + = Ví dụ 1.2 Lập PTTS, PTTQ đường thẳng qua M (1; 2) có vectơ pháp r tuyến n = (2; −3) Giải r +) Vì đường thẳng ∆ qua M (1 ;2) có vtpt n = (2; −3) nên phương trình tổng quát đường thẳng : 2(x – 1) – 3(y – 2) = 2x – 3y + = r +) Vì đường thẳng ∆ có vectơ pháp tuyến n = (2; −3) nên ∆ có vec tơ phương r u = (3; 2) Vậy phương trình tham số ∆ là: { x = + 3t y = + 2t Ví dụ 1.3 Lập PTTS, PTTQ đường thẳng qua hai điểm A(1; 2) B(3; 4) Giải uuur +) Vì ∆ qua hai điểm A(1 ; 2) B(3 ; 4) nên ∆ có vec tơ phương AB = (2; 2) Phương trình tham số ∆ là: { x = + 2t y = + 2t uuur +) Vì đường thẳng ∆ có vec tơ phương AB = (2; 2) nên ∆ có vec tơ pháp tuyến r n = (−2; 2) Vậy phương trình tổng quát ∆ − ( x − 1) + ( y − ) = : ⇔ −2 x + y − = ⇔ −x + y −1 = Ví dụ 1.4 Lập PTTS, PTTQ đường thẳng qua M (−1; 2) có hệ số góc k = Giải +) Đi qua M (−1; 2) có hệ số góc k = r ∆ có hệ số góc k = nên ∆ có vec tơ phương là: u∆ = (1;3) r ∆ qua M(-1 ; 2) có vec tơ phương u∆ = (1;3) nên có phương trình là: { x = −1 + t y = + 3t r +) Vì đường thẳng ∆ có vec tơ phương u∆ = (1;3) nên ∆ có vec tơ pháp tuyến r n = (−3;1) Vậy phương trình tổng quát ∆ : − ( x + 1) + 1( y − ) = ⇔ −3 x + y − = Ví dụ 1.5 Lập PTTS, PTTQ đường thẳng qua A(3; 2) song song với đường thẳng d : x − y − = Giải r +) Đường thẳng d : 2x – y – = có vec tơ pháp tuyến nd = (2; −1) r Đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d nên ∆ nhận nd = (2; −1) làm vec tơ pháp r tuyến Vì ∆ qua A(3; 2) có vec tơ pháp tuyến n∆ = (2; −1) nên ∆ có phương trình là: 2(x – 3) – (y – 2) = 2x – y – = r +) Vì đường thẳng ∆ có vectơ pháp tuyến n = (2; −1) nên ∆ có vec tơ phương r u = (1; 2) Vậy phương trình tham số ∆ : { x = 3+t y = + 2t Ví dụ 1.6 Lập PTTS, PTTQ đường thẳng qua B (4; −3) vng góc với x = + 2t (t ∈ ¡ ) y = −t đường thẳng d : Giải r +) Đường thẳng d có vec tơ phương ud = (2; −1) Vì ∆ vng góc với d nên ∆ r nhận vectơ phương d làm vec tơ pháp tuyến n∆ = (2; −1) Đường thẳng ∆ r qua B(4 ;-3) có vec tơ pháp tuyến n∆ = (2; −1) nên ∆ có phương trình tổng qt là: 10 Ta có IA = IB = ID = Nên điểm B,D nằm đường trịn tâm I bán kính R = Tọa độ điểm B,D nghiệm hệ phương trình: Vậy tọa độ bốn điểm cần tìm là: A(1;1), B(0;0), C(1;-1), D(2;0) A(1;1), B(2;0), C(1;-1), D(0;0) Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD có tâm I(1;-1) Gọi M điểm cạnh CD thỏa mãn MC = 2MD Tìm tọa độ đỉnh hình vng ABCD biết đường thẳng AM có phương trình là: Hướng dẫn giải - đáp số Ta có: cos = Đường thẳng AC qua I(1;-1) có phương trình dạng: AC: Ta có: TH1:a = ⇒ AC : x − = Tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình: x−1= ⇒ A ( 1;1) x − y + = Vì I trung điểm AC ⇒ C ( 1;1) 135 Đường thẳng BD ⊥ AC ⇒ BD : y + = t = −1 ⇒ Gọi D ( t ; − 1) ∈ BD ⇒ ID = IA = ⇔ ( t − 1) = ⇔ t = D ( − 1; − 1) D ( 3; − 1) Do I,D khác phía với đường thẳng AM nên nhận D ( 3; − 1) Vì I trung điểm BD nên B ( − 1; − 1) TH2: Thực tương tự Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có đỉnh A thuộc đường thẳng d: x − y − = Đường thẳng BC qua điểm M ( 4;0 ) , đường thẳng CD qua N ( 0;2 ) thỏa mãn tam giác AMN cân A Tìm tọa độ đỉnh hình vng ABCD Hướng dẫn giải - đáp số Phương trình đường trung trực đoạn thẳng MN là: ( x − 4) + y = x2 + ( y − 2) ⇔ 2x − y − = Do tam giác AMN cân A nên A nằm đường trung trực MN Vậy tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình: 2x − y − = ⇒ A ( − 1; − ) x − y − = Đường thẳng BC qua điểm M ( 4;0 ) có phương trình: ( ) 2 BC: a ( x − ) + by = 0, a + b > Đường thẳng CD ⊥ BC qua N ( 0; ) nên có phương trình: CD: bx − a ( y − ) = Vì ABCD hình vng nên d ( A; BC ) = d ( A; CD ) ⇔ − 5a − 5b a + b2 = a = 3b ⇔ a + b2 b = − 3a 7a − b 136 TH1: Nếu a = 3b, chọn a = 3, b = ⇒ AB: x + y − 12 = Đường thẳng CD: x − y + = Đường thẳng AB ⊥ BC ⇒ AB : x − y − 14 = Tọa độ điểm B nghiệm hệ phương trình: 3x + y − 12 = ⇒ B ( 5; − 3) x − y − 14 = Tọa độ điểm C nghiệm hệ phương trình: x + y − 12 = ⇒ C ( 3;3) x − 3y + = Đường thẳng AD / / BC ⇒ AD : 3x + y + = Tọa độ điểm D nghiệm cử hệ phương trình: 3x + y + = ⇒ D ( − 3;1) x − 3y + = TH2: Thực tương tự Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có đỉnh B,D thuộc trục hồnh điểm A thuộc đường thẳng d1 : x − y = , điểm C thuộc đường thẳng d : x + y − = Tìm tọa độ đỉnh hình vng ABCD Hướng dẫn giải - đáp số Vì B, D ∈ Ox, AC ⊥ BD ⇒ AC : x − c = Tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình: x − c = ⇒ A ( c; c ) x − y = Tọa độ điểm C nghiệm hệ phương trình: x − c = ⇒ C ( c;1 − 2c ) 2 x + y − = 1− c Tọa độ tâm I hình vng trung điểmcủa AC nên I c; ÷ 137 Mặt khác I ∈ BD ⇒ 1− c = ⇔ c = ⇒ A ( 1;1) , I ( 1;0 ) , C ( 1; −1) b = B ( 0;0 ) , D ( 2;0 ) ⇒ b = B ( 2;0 ) , D ( 0;0 ) Gọi B ( b;0 ) ∈ Ox ta có IA = IB = ⇔ b − = ⇔ Vậy tọa độ bốn điểm cần tìm A ( 1;1) , B ( 0; ) , C ( 1; −1) , D ( 2;0 ) A ( 1;1) , B ( 2;0 ) , C ( ; −1) , D ( 0;0 ) Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có tâm I(1;-1) Gọi M điểm nằm cạnh CD cho MC = 2MD, phương trình đường thẳng Tìm tọa độ đỉnh hình vng ABCD Hướng dẫn giải – đáp số ( ) ( · · cos MAD + sin MAD · · = cos 450 − MAD = Ta có: cos MAC 1 AD MD = + + ÷= AM AM 2 2 1 1+ 1+ 9 ) ÷ ÷= ÷ ÷ Đường thẳng AC qua I có phương trình: AC : a ( x − 1) + b ( y + 1) = 0, ( a + b > ) uuur uuuu r nAC nAM ⇔ Ta có uuur uuuur = nAC nAM 2a − b 22 + ( −1) a + b 2 = b = o ⇔ ( 2a − b ) = ( a + bb ) ⇔ 4a = −3b TH1: Nếu b=0 ⇒ AC : y + = Tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình: x +1 = ⇒ A ( −3; −1) 2 x − y + = Vì I trung điểm AC ⇒ C ( 5; −1) 138 Đường thẳng BD ⊥ AC ⇒ BD : x − = Ta có IB = ID = IA = Suy tọa độ điểm B,D nghiệm hệ phương trình: x − = B ( 1;3) , D ( 1; −5 ) x = 1, y = ⇔ ⇒ 2 x = 1, y = −5 B ( 1; −5 ) , D ( 1;3 ) ( x − 1) + ( y + 1) = 16 Kiểm tra thấy B,D phía với AM nên loại trường hợp TH2: Nếu 4a = -3b, chọn a = 3,b = -4 ⇒ AC : 3x − y − = Tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình: 3x − y − = ⇒ A ( −7; −7 ) 2 x − y + = Vì I trung điểm AC ⇒ C ( 9;5 ) Ta có BD ⊥ AC ⇒ BD : x + y − = Ta có IB = ID = IA = 10 Suy tọa độ điểm B,D nghiệm hệ phương trình: x = −5, y = B ( −5;7 ) , D ( 7; −9 ) x + y − = ⇔ ⇒ 2 x = 7, y = −9 B ( 7; −9 ) ; D ( −5;7 ) ( x − 1) + ( y + 1) = 100 Kiểm tra thấy B,D khác phía với AM nên thỏa mãn điều kiện Vậy tọa độ bốn điểm cần tìm A ( −7; −7 ) , C ( 9;5 ) , B ( −5;7 ) , D ( 7; −9 ) A ( −7; −7 ) , B ( 7; −9 ) , C ( 9;5 ) , D ( −5;7 ) Nhận xét: Với tốn hình giải tích phẳng ta giải đa giác theo tốn ngược nên cần kiểm tra lại dễ đưa đến kết sai bỏ qua bước kiểm tra nghiệm Bài 10 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có diện tích băng tâm I ( 3; −1) , đỉnh B ( 4;0 ) Gọi K điểm nằm CD cho góc đường thẳng BK CD α xác định bới cosα = Tìm tọa độ đỉnh A,B,D biết K có tung độ dương Hướng dẫn giải - đáp số Vì I trung điểm BD ⇒ D ( 2; −2 ) Đường thẳng BD : x − y − = 139 Đặt độ dài cạnh hình vng a > Ta có S ABCD = a = ⇔ a = · · Vì BCD = 900 nênBKC = α · Ta có cos BKC = KC KC + BC 2 ⇔ KC = 2a = Vậy K điểm đói xứng C qua D điểm đối xứng D qua C TH1: Nếu K điểm đối xứng D qua C Tam giác BDK vuông cân B ⇒ BK : x + y − = ⇒ K ( t ; − t ) t = K ( 6; −2 ) ⇒ t = K ( 2; ) Ta có DK = BD = ⇔ ( t − ) + ( − t ) = 16 ⇔ 2 Vì K có tung độ dương nên K ( −2; ) Vì C trung điểm DK ⇒ C ( 2; ) Vì I trung điểm AC ⇒ A ( 4; −2 ) TH2: Nếu K điểm đối xứng C qua D Khi ABDK hình bình hành uuur uuur AB = KD Giải hệ điều kiện uuur uuur suy tọa độ điểm A, K ⇒ C AK = BK Bài 11 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có đỉnh A ( −1;1) Gọi M điểm · cạnh BC thỏa mãn MC = 2MB N điểm cạnh CD cho MAN = 450 Tìm tọa độ đỉnh B,C,D biết phương trình đường thẳng MN x + y − 24 = Hướng dẫn giải - đáp số Trước hết ta tìm vị trí điểm N cạnh CD: ( ) ( · · · · = sin 900 − MAN − MAB = cos 450 + MAB Ta có: sin DAN = ( ) ) 1 AB BM · · cos MAB − sin MAB = − − ÷= ÷= 2 AM AM 10 10 140 Suy DN = ⇔ AD = DN ⇒ CD = DN N trung điểm canh CD AN Bài toán quy dạng toán quen thuộc ta tính diện tích tam giác AMN theo hai cách để tìm độ dài cạnh hình vng ABCD Đặt độ dài cạnh hình vng ABCD a > 5a −7 + − 24 5a = + 12 Ta có S AMN = MN d ( A; MN ) = Mặt khác S AMN = S ABCD − S ADN − S ABM − SCMN = a − a a a 5a − − = 6 12 AC = a = 5a 5a a 10 = ⇔ a = ⇒ AM = = Do 12 2a MC = = 2 Vì M ∈ MN ⇒ M ( t ; 24 − 7t ) ⇒ AM = ⇔ ( t + 1) + ( 23 − 7t 2 ) M ( 3;3) t = = 30 ⇔ ⇒ 17 t = 17 M ; 5 ÷ TH1: Nếu M ( 3;3) tọa độ điểm C thỏa mãn hệ phương trình: C ( 5;1) x = 5, y = ( x + 1) + ( y − 1) = 36 ⇔ 13 29 ⇒ 13 29 2 x= ,y= M ; ( x − 3) + ( y − ) = 5 ÷ 5 Đối chiếu với điều kiện A,C nằm khác phía với đường thẳng MN ⇒ C ( 5;1) uuu r uuuu r xB − = ( − ) x = ⇔ B ⇒ B ( 2; ) Ta có CB = CM ⇔ yB = y − = ( − 1) B Tọa độ trung điểm I AC I ( 2;1) Vì I trung điểm BD ⇒ D ( 2; −2 ) TH2: Thực tương tự Bài 12 141 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có đỉnh D ( −1; ) Gọi M trung điểm BC N điểm nằm cạnh AC cho AN = , phương trình đường thẳng AC MN là: x − y + = Tìm tọa độ đỉnh cịn lại hình vng ABCD biết M có hồnh độ dương Hướng dẫn giải - đáp số Đặt độ dài cạnh hình vng a > Gọi I tâm hình vng a · Ta có MIN = 1350 , IM = , IN = AC a = Suy MN = IN + IM − 2IN IM cos1350 = DN = ID + IN = a2 a2 a a 5a + +2 = 4 2 a a 5a 5a + = , DM = DC + CM = 8 Suy tam giác MN + DN = DM ,vậy tam giác DMN vuông N Suy tọa độ điểm N hình chiếu D MN Dễ tìm N ( 0;1) Gọi M ( t; t + 1) ∈ MN t = −1 M ( −1;0 ) ⇒ t = M ( 1; ) Ta có DM = DN = ⇔ ( t + 1) + ( t − 1) = ⇔ 2 Vì M có hồnh độ dương nên M ( 1; ) · = Ta có cos DMC CM = DM Đường thẳng DM : y − = Đường thẳng BC qua M ( 1; ) có phương trình: BC : a ( x − 1) + b ( y − ) = 0, ( a + b > ) Ta có b a + b2 = a = 2b ⇔ a = −2b TH1: Nếu a = 2b, chọn a = 2, b = ⇒ BC : x + y − = 142 Đường thẳng CD ⊥ BC ⇒ CD : x − y + = Tọa độ điểm C nghiệm hệ phương trình: 2 x + y − = 14 ⇒ C ; ÷ 5 x − y + = uuur uuur −1 Vì M trung điểm BC ⇒ B ; ÷ Vì BC = AD ⇒ A ; ÷ 5 5 5 TH2: Nếu a = -2b thực tương tự Nhận xét: Để chứng minh DN ⊥ MN ta dùng véc tơ khơng nhân tính chất vng góc em vận dụng phương pháp tính diện tích tam giác DMN theo hai cách ta giải toán Bài 13 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có điểm M ( 1; ) trung điểm cạnh BC Phương trình đường trung tuyến kẻ từ A tam giác ADM là: x − y + = Tìm tọa độ đỉnh B biết A có hồnh độ dương Hướng dẫn giải - đáp số Đặt độ dài cạnh hình vng a > Theo giả thiết ta có BM = CM = a a ⇒ AM = DM = 2 Gọi E trung điểm DM Trong tam giác ADM ta có: AE = AD + AM DM 13a a 13 − = ⇒ AE = 16 Ta có S ADM = S ABCD − S ABM − SCDM = a − a2 a2 a2 − = 4 Mặt khác S ADM = 2S AEM = AE.d ( M ; AE ) = Vậy ta có a 13 5.1 − + a = 52 + ( −1) a a2 a 10 = ⇔ a = ⇒ AM = = 2 2 Vì A ∈ AE ⇒ A ( a;5a + 1) 143 1 7 a= A ; ÷ 2 ⇒ Ta có phương trình: ( a − 1) + ( 5a − 1) = ⇔ a = −1 A −1 ; 21 ÷ 26 26 26 1 7 Vì A có hồnh độ dương nên A ; ÷ 2 2 Gọi B ( x; y ) Ta có AB = 2, MB = Vậy tọa độ điểm B nghiệm hệ phương trình: 2 3 5 x = , y = B ; ÷ ( x − 1) + ( y − 1) = 2 ⇔ ⇒ 2 x = , y = 21 B ; 21 x − + y − = ÷ ÷ ÷ 10 10 2 2 10 10 Vậy điểm cần tìm B ; ÷hoặc B ; ÷ 2 10 10 21 Nhận xét: Ngồi ta viết phương trình đường thẳng AB qua A tạo với AM góc cosα = Tính tọa độ điểm B theo hệ thức AB = Để tìm điểm A ta viết phương trình đường thẳng AM qua A tạo với AE góc xác · = định bởi: cos EAM AE + AM − ME AM AE Bài 14 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có đỉnh D ( 3; −3) Gọi M trung điểm cạnh AD, đường thẳng CM có phương trình là: x − y − = Tìm tọa độ đỉnh A,B,C Hướng dẫn giải- đáp số · = Ta có cos DCM DM = CM 2 Đường thẳng CD : a ( x − 3) + b ( y + 3) = 0, ( a + b > ) uuur uuur nCD nCM ⇔ Ta có uuur uuur = nCD nCM a −b a + b 12 + ( −1) = 144 a = 3b ⇔ ( a − b ) = ( a + b2 ) ⇔ b = 3a TH1: Nếu a = 3b, chọn a = 3, b = ⇒ CD : x + y − = Tọa độ điểm C nghiệm hệ phương trình: 3 x + y − = ⇒ C ( 2;0 ) x − y − = Đường thẳng BC ⊥ CD ⇒ BC : x − y − = ⇒ B ( 3t + 2; t ) t = −1 B ( −1; −1) ⇒ t = B ( 5;1) 2 Ta có BC = CD ⇔ 9t + t = 10 ⇔ Mặt khác B,D nằm khác phía so với CM nên nhận nghiệm B ( −1; −1) uuur uuu r Vì CD = BA ⇒ A ( 0; −4 ) TH2: Nếu b = 3a thực tương tự Bài 15 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có đỉnh A ( 0;0 ) Gọi M trung điểm cạnh BC Gỉa sử M ( 10;5 ) , tìm tọa đọ đỉnh hình vng ABCD Hướng dẫn giải-đáp số Gọi B ( x; y ) suy B nằm đương trịn đường kính AM có phương trình: 125 ( C ) : ( x − ) + y − ÷ = 2 Mặt khác AM = AB + BM = AB ⇔ 125 = ( x + y ) ⇔ x + y = 100 Tọa độ điểm B nghiệm hệ phương trình: 125 B ( 6;8 ) x = 6, y = ( x − ) + y − ÷ = ⇒ 2 ⇔ x = 10, y = B ( 10; ) 2 x + y = 100 TH1: Nếu B ( 6;8 ) M trung điểm BC ⇒ C ( 14; ) uuur uuur Vì AD = BC ⇒ D ( 8; −6 ) 145 TH2: Nếu B ( 10;0 ) tương tự ta có C ( 10;10 ) , D ( 0;5 ) Vậy tọa độ điểm cần tìm B ( 6;8) , C ( 14; ) , D ( 8; −6 ) B ( 10;0 ) , C ( 10;10 ) , D ( 0;5 ) Bài 16 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,cho hình vng ABCD có tâm gốc tọa độ cạnh AB,AD qua điểm M ( −1;2 ) N ( 3; −1) Tìm tọa độ đỉnh hình vng ABCD Hướng dẫn giải-đáp số 2 Đường thẳng AB : a ( x + 1) + b ( y − ) = ( a + b > ) Vì AD ⊥ AB ⇒ AD : b ( x − 3) − a ( y + 1) = Vì O tâm hình vng nên d ( O; AB ) = d ( O; AD ) ⇔ a − 2b a + b2 = b = ⇔ a − 2b = −3b − a ⇔ a + b2 a = −b −3b − a TH1: Nếu b=0 ⇒ AB : x + = 0; AD : y + = Tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình: x +1 = x = −1 ⇔ ⇒ A ( −1; −1) y +1 = y = −1 Vì O trung điểm AC ⇒ C ( 1;1) Tọa độ điểm Blà hình chiếu vng góc C AB ⇒ B ( −1;1) Tọa độ điểm D hình chiếu vng góc C AD ⇒ D ( 1; −1) TH2:Nếu 2a=-b thực tương tự 146 KẾT LUẬN Sáng kiến có kết sau Sáng kiến trình bày số phương pháp giải tập hình học phẳng đề thi thi học sinh giỏi Đại học, Cao đẳng Kết thực nghiệm cho thấy tính khả thi hiệu sáng kiến Việc tự giải hệ thống tập, giúp em hiểu rõ chất, phương pháp giải dạng tốn này, từ em tự xây dựng tốn tương tự, tốn Chính điều kích thích say mê, tìm tịi khám phá, nâng cao lực tự học học sinh Nội dung sáng kiến nội dung quan trọng chương trình giảng dạy Hi vọng tài liệu tham khảo bổ ích cho em học sinh, bạn đồng nghiệp 147 PHỤ LỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO SGK – SBT Hình Học 10 (Cơ nâng cao) – NXB Giáo Dục Phương pháp giải tốn Hình học giải tích mặt phẳng – Lê Hồng Đức – Lê Hữu Trí – NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội Hình học giải tích – Phan Huy Khải – NXB Giáo Dục Các đề thi thử Đại học, cao đẳng năm học 2013 – 2014 Các đề thi thử kì thi THPT Quốc Gia năm học 2014 – 2015 Bình Minh, ngày 20 tháng năm 2015 Xác nhận lãnh đạo đơn vị Người thực 148 Đinh Hồng Chinh Đỗ Thị Lan Nguyễn Thị Lan Hương 149 ... y + c2 a22 + b22 Bài tập phương trình đường thẳng 2.1 Các tập phương trình đường thẳng 2.1.1 Lập phương trình đường thẳng • Để lập phương trình tham số phương trình tắc đường thẳng ∆ ta cần xác... kiến thức phương trình đường thẳng để giải toán liên quan đến tam giác, tứ giác hình phẳng? ?? Giả thuyết khoa học Nếu xây dựng hệ thống tập cách hợp lý, lồng ghép vào câu hỏi, tình gợi vấn đề trình. .. phương trình đường thẳng xuất nhiều đề thi đại học Để giải tập khó phương trình đường thẳng ta cần nắm kiến thức tập phương trình đường thẳng Vì làm tập học sinh cần vận dụng linh hoạt kiến thức
