SKKN Sử dụng các kiến thức về phương trình đường thẳng để giải các bài toán liên quan đến tam giác, tứ giác trong hình phẳngSKKN Sử dụng các kiến thức về phương trình đường thẳng để giải các bài toán liên quan đến tam giác, tứ giác trong hình phẳngSKKN Sử dụng các kiến thức về phương trình đường thẳng để giải các bài toán liên quan đến tam giác, tứ giác trong hình phẳngSKKN Sử dụng các kiến thức về phương trình đường thẳng để giải các bài toán liên quan đến tam giác, tứ giác trong hình phẳngSKKN Sử dụng các kiến thức về phương trình đường thẳng để giải các bài toán liên quan đến tam giác, tứ giác trong hình phẳngSKKN Sử dụng các kiến thức về phương trình đường thẳng để giải các bài toán liên quan đến tam giác, tứ giác trong hình phẳngSKKN Sử dụng các kiến thức về phương trình đường thẳng để giải các bài toán liên quan đến tam giác, tứ giác trong hình phẳngSKKN Sử dụng các kiến thức về phương trình đường thẳng để giải các bài toán liên quan đến tam giác, tứ giác trong hình phẳngSKKN Sử dụng các kiến thức về phương trình đường thẳng để giải các bài toán liên quan đến tam giác, tứ giác trong hình phẳngSKKN Sử dụng các kiến thức về phương trình đường thẳng để giải các bài toán liên quan đến tam giác, tứ giác trong hình phẳngSKKN Sử dụng các kiến thức về phương trình đường thẳng để giải các bài toán liên quan đến tam giác, tứ giác trong hình phẳngSKKN Sử dụng các kiến thức về phương trình đường thẳng để giải các bài toán liên quan đến tam giác, tứ giác trong hình phẳng
Giả thuyết khoa học
Nếu xây dựng được hệ thống bài tập một cách hợp lý, lồng ghép vào đó những câu hỏi, tình huống gợi vấn đề trong quá trình giảng dạy để học sinh chủ động tiến hành các hoạt động tư duy sẽ giúp các em nắm bắt được cách giải dạng toán này đồng thời góp phần bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh THPT.
Phương pháp nghiên cứu
Tìm hiểu, nghiên cứu những vấn đề liên quan đến đề tài định hướng cho việc nghiên cứu, phân tích và tổng hợp, định hướng phương pháp giải cho các bài toán.
Ý nghĩa của đề tài
Tạo nguồn tài liệu khá đầy đủ và chi tiết cho học sinh, cũng như giáo viên tham khảo, trong quá trình dạy và học Nhằm rèn luyện kĩ năng giải quyết các bài toán, nâng cao chất lượng dạy và học trong nhà trường THPT nói chung và bài toán hình học phẳng nói riêng.
Cấu trúc của đề tài
Ngoài phần mở đầu và kết luận, ở phần nội dung sáng kiến gồm 3 chuyên đề: Chuyên đề 1 Phương trình đường thẳng
Chuyên đề 2 Xác định các yếu tố trong tam giác
Chuyên đề 3 Xác định các yếu tố của tứ giác
Trong mỗi phần, đều có cơ sở lý thuyết, phân dạng bài tập, phương pháp giải cho từng dạng, ví dụ và bài tập tự luyện.
CHUYÊN ĐỀ 1 VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Giáo viên thực hiện: Đỗ Thị Lan
Kiến thức cơ bản về phương trình đường thẳng
1.1 Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Vectơ r≠0r u được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu giá của nó song song hoặc trùng với ∆.
– Nếu u r là một vectơ chỉ phương của ∆ thì ku r (k ≠ 0) cũng là một vectơ chỉ phương của ∆.
– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương.
1.2 Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
Vectơ r≠0r n được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu giá của nó vuông góc với ∆.
Nhận xét: – Nếu n r là một vectơ pháp tuyến của ∆ thì kn r (k ≠ 0) cũng là một vectơ pháp tuyến của ∆.
– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ pháp tuyến.
– Nếu u r là một vectơ chỉ phương và n r là một vectơ pháp tuyến của ∆ thì r⊥ r u n.
1.3 Phương trình tham số của đường thẳng
Cho đường thẳng ∆ đi qua M x y 0( ;0 0) và có vectơ chỉ phương ur=( ; )u u 1 2
Phương trình tham số của 0 1
– Gọi k là hệ số góc của ∆ thì:
1.4 Phương trình chính tắc của đường thẳng
Cho đường thẳng ∆ đi qua M x y 0( ;0 0) và có vectơ chỉ phương ur=( ; )u u 1 2
Phương trình chính tắc của ∆: 0 0
Chú ý: Trong trường hợp u1 = 0 hoặc u2 = 0 thì đường thẳng không có phương trình chính tắc.
1.5 Phương trình tham số của đường thẳng
PT ax by c + + = 0 với a 2 +b 2 ≠0 được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.
Nhận xét: – Nếu ∆ có phương trình ax by c + + = 0 thì ∆ có vectơ pháp tuyến là
( ; ) r n a b và vectơ chỉ phương u r = − ( ; ) b a hoặc u r = ( ; b a − ).
– Nếu ∆ đi qua M x y 0( ;0 0) và có vectơ pháp tuyến r=( ; ) n a b thì phương trình của ∆ là:
Các trường hợp đặc biệt:
Các hệ số Phương trình đường thẳng ∆ Tính chất đường thẳng ∆ c = 0 ax by+ =0 ∆ đi qua gốc toạ độ O a = 0 by c+ =0 ∆ // Ox hoặc ∆ ≡ Ox b = 0 ax c + = 0 ∆ // Oy hoặc ∆ ≡ Oy
• ∆ đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b ≠ 0): Phương trình của ∆: x+ =y 1 a b
(phương trình đường thẳng theo đoạn chắn)
• ∆ đi qua điểm M x y 0( ;0 0) và có hệ số góc k: Phương trình của ∆: y y− 0=k x x( − 0)
(phương trình đường thẳng theo hệ số góc)
1.6 Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆ 1 : a x b y c 1 + 1 + =1 0 và ∆ 2 : a x b y c 2 + 2 + =2 0.
Toạ độ giao điểm của ∆1 và ∆2 là nghiệm của hệ phương trình:
• ∆ 1 cắt ∆ 2 ⇔ hệ (1) có một nghiệm ⇔ 1 1
• ∆ 1 ≡ ∆ 2 ⇔ hệ (1) có vô số nghiệm ⇔ 1 1 1
1.7 Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆1: a x b y c 1 + 1 + =1 0 (có VTPT r1=( ; )1 1 n a b ) và
1.8 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
• Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho đường thẳng ∆: ax by c + + = 0 và điểm M x y 0 ( ; 0 0 ).
• Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng
Cho đường thẳng ∆: ax by c + + = 0 và hai điểm M x ( M ; y M ), N x ( N ; y N )∉ ∆.
– M, N nằm cùng phía đối với ∆ ⇔( ax M + by M + c ax )( N + by N + > c ) 0.
– M, N nằm khác phía đối với ∆ ⇔( ax M + by M + c ax )( N + by N + < c ) 0.
• Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆ 1 : a x b y c 1 + 1 + =1 0 và ∆ 2 : a x b y c 2 + 2 + =2 0cắt nhau.
Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng ∆1 và ∆2 là:
Bài tập về phương trình đường thẳng
2.1 Các bài tập cơ bản về phương trình đường thẳng
2.1.1 Lập phương trình đường thẳng
• Để lập phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ ta cần xác định một điểm M x y 0( ;0 0)∈ ∆ và một vectơ chỉ phương r=( ; )1 2 u u u của ∆.
• Để lập phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ ta cần xác định một điểm
M x y ∈∆ và một vectơ pháp tuyến n r = ( ; ) a b của ∆.
PTTQ của ∆: a x x( − 0)+b y y( − 0) 0• Một số bài toán thường gặp:
+ ∆ đi qua hai điểm A x y ( ; A A ) , ( ; B x y B B )(với x A ≠ x B , y A ≠ y B ):
+ ∆ đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b ≠ 0): PT của ∆: x+ =y 1 a b + ∆ đi qua điểm M x y 0( ;0 0) và có hệ số góc k: PT của ∆: y y− 0 =k x x( − 0)
Chú ý: Ta có thể chuyển đổi giữa các phương trình tham số, chính tắc, tổng quát của một đường thẳng.
• Để tìm điểm M′ đối xứng với điểm M qua đường thẳng d, ta có thể thực hiện như sau:
Cách 1: – Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M và vuông góc với d.
– Xác định I = d ∩ ∆ (I là hình chiếu của M trên d).
– Xác định M′ sao cho I là trung điểm của MM′.
Cách 2: Gọi I là trung điểm của MM′ Khi đó:
• Để viết phương trình đường thẳng d′ đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng
∆, ta có thể thực hiện như sau:
+ Lấy A ∈ d Xác định A′ đối xứng với A qua ∆.
+ Viết phương trình đường thẳng d′ qua A′ và song song với d.
+ Lấy A ∈ d (A ≠ I) Xác định A′ đối xứng với A qua ∆.
+ Viết phương trình đường thẳng d′ qua A′ và I.
• Để viết phương trình đường thẳng d′ đối xứng với đường thẳng d qua điểm I, ∆, ta có thể thực hiện như sau:
– Lấy A ∈ d Xác định A′ đối xứng với A qua I.
– Viết phương trình đường thẳng d′ qua A′ và song song với d.
Ví dụ 1.1 Lập PTTS, PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M (1; 2) − và có một vec tơ chỉ phương r =(2; 1)− u
+) Vì đường thẳng ∆ đi qua M (1 ;-2) và có vec tơ chỉ phương là r=(2; 1)− u nên phương trình tham số của đường thẳng là :
+) Vì đường thẳng ∆ có vec tơ chỉ phương là r =(2; 1)− u nên ∆ có vec tơ pháp tuyến là (1; 2) r n Vậy phương trình tổng quát của∆ là : 1 ( x − + 1 ) ( 2 y + = ⇔ + 2 ) 0 x 2 y + = 3 0
Ví dụ 1.2 Lập PTTS, PTTQ của các đường thẳng đi qua M (1; 2) và có một vectơ pháp tuyến là r =(2; 3)− n
+) Vì đường thẳng ∆ đi qua M (1 ;2) và có vtpt là r=(2; 3)− n nên phương trình tổng quát của đường thẳng là :
+) Vì đường thẳng ∆ có vectơ pháp tuyến là r=(2; 3)− n nên ∆ có vec tơ chỉ phương là (3; 2) r u Vậy phương trình tham số của∆ là: { x y = + = + 1 3 2 2 t t
Ví dụ 1.3 Lập PTTS, PTTQ của các đường thẳng đi qua hai điểm A (1; 2) và B (3; 4) Giải
+) Vì ∆ đi qua hai điểm A(1 ; 2) và B(3 ; 4) nên ∆ có vec tơ chỉ phương uuur=(2; 2)
Phương trình tham số của ∆ là: { x y = + = + 1 2 2 2 t t
+) Vì đường thẳng ∆ có vec tơ chỉ phương là uuur=(2; 2)
AB nên ∆ có vec tơ pháp tuyến là r= −( 2; 2) n Vậy phương trình tổng quát của∆ là
Ví dụ 1.4 Lập PTTS, PTTQ của các đường thẳng đi qua M ( 1;2) − và có hệ số góc
+) Đi qua M ( 1;2) − và có hệ số góc k =3.
∆ có hệ số góc k = 3 nên ∆ có vec tơ chỉ phương là: u r ∆ = (1;3).
∆ đi qua M(-1 ; 2) và có vec tơ chỉ phương là u r ∆ = (1;3) nên có phương trình là:
+) Vì đường thẳng ∆ có vec tơ chỉ phương là u r ∆ = (1;3)nên ∆ có vec tơ pháp tuyến là ( 3;1) r = − n Vậy phương trình tổng quát của∆ là
Ví dụ 1.5 Lập PTTS, PTTQ của các đường thẳng đi qua A (3; 2) và song song với đường thẳng d : 2 x y − − = 1 0.
+) Đường thẳng d : 2x – y – 1 = 0 có vec tơ pháp tuyến là n r d = (2; 1) − Đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d nên ∆ nhận n r d = (2; 1) − làm vec tơ pháp tuyến Vì ∆ đi qua A(3; 2) và có vec tơ pháp tuyến là n r ∆ = (2; 1) − nên ∆ có phương trình là:
+) Vì đường thẳng ∆ có vectơ pháp tuyến là r=(2; 1)− n nên ∆ có vec tơ chỉ phương là (1; 2) r u Vậy phương trình tham số của∆ là
Ví dụ 1.6 Lập PTTS, PTTQ của các đường thẳng đi qua B (4; 3) − và vuông góc với đường thẳng : x = += −1 2 t ( ∈¡ ) d t y t
+) Đường thẳng d có vec tơ chỉ phương là u r d = (2; 1) − Vì ∆ vuông góc với d nên ∆ nhận vectơ chỉ phương của d làm vec tơ pháp tuyến r ∆ =(2; 1)− n Đường thẳng ∆ đi qua B(4 ;-3) và có vec tơ pháp tuyến n r ∆ = (2; 1) − nên ∆ có phương trình tổng quát là:
+) Vì đường thẳng ∆ có vectơ pháp tuyến là r=(2; 1)− n nên ∆ có vec tơ chỉ phương là (1; 2) r u
Vậy phương trình tham số của∆ là: { x y = + = − + 4 3 2 t t
Ví dụ 1.7 Cho tam giác ABC, với A(1; 4); B(3; - 1); C(6; 2) a) Viết phương trình tổng quát của cạnh AB b) Hãy viết phương trình tổng quát của đường cao AH, và trung tuyến AM của tam giác ABC.
Vì đường thẳng ∆ có vec tơ chỉ phương là uuur=(2; 5)−
AB nên ∆ có vectơ pháp tuyến là (5; 2) r n Vậy phương trình tổng quát của∆ là
− + − ⇔ + − x y x y b) + Ta có: AH ⊥ BC nên AH nhận vec tơ uuur BC= (3; 3) là vectơ pháp tuyến của AH. ẠH đi qua A(1 ; 4) và nhận uuur BC= (3; 3) làm vectơ pháp tuyến Phương trình tổng quát của (AH) là:
+ Gọi M là trung điểm của BC, ta có:
AM là vec tơ chỉ phương của đường thẳng AM. Đường thẳng AM đi qua A(1 ; 4) và vtcp 7 ; 7
AM nên AM có phương trình:
Ví dụ 1.8 Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M (2;1) lên đường thẳng d:
2x y+ − =3 0và điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng d đó.
+) Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M và vuông góc với d Nên∆ có vec tơ pháp tuyến là
Vậy PT đường thẳng ∆ có dạng : − + x 2 y = 0
Gọi H(x;y) là hình chiếu vuông góc của điểm M (2;1) lên đường thẳng d Suy ra
Vậy tọa độ của H là nghiệm của hệ
+) Vì điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng d nên H là trung điểm của MM’
Ví dụ 1.9 Lập phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d :
+) Tọa độ giao điểm I của đường thẳng d và đường thẳng ∆ là nghiệm của hệ
Gọi ∆'là đường thẳng đi qua A và vuông góc với ∆ Nên∆' có vec tơ pháp tuyến là
Vậy PT đường thẳng ∆' có dạng : 4 x + 3 y − = 3 0
Gọi H(x;y) là hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng ∆ Suy ra H= ∆ ∩ ∆'
Vậy tọa độ của H là nghiệm của hệ
Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua đường thẳng ∆ nên H là trung điểm của AA’.
+ ) Đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng ∆ đi qua I và A’ nên có vec tơ pháp tuyến là: n r ( 2; 11 − )
Suy ra d’ có phương trình là:
Vậy đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng ∆ là
Ví dụ 1.10 Lập phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d:
Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua I Suy ra I là trung điểm của AA’
+) Vì d’ đối xứng với đường thẳng d qua điểm I(2;1) nên d’ đi qua A’ và d ' P d
Suy ra d’ có vec tơ pháp tuyến là n r ( 2; 1 − )
Vậy d’ có phương trình là: 2 x y − − = 7 0
Ví dụ 1.11 Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trung điểm của các cạnh có tọa độ là M(2;1), (5;3), (3; 4)N P −
Giả sử M, N, P là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC
Ta có: BC//MN nên đường thẳng BC đi qua P (3; 4) − nhận VTCP là: uuuur=(3; 2)
MN suy ra pt cạnh BC: 3 4 2 3 18 0
Tương tự ta có: AB // NP nên đường thẳng AB đi qua M nhận VTCP là: uuurNP suy ra pt cạnh AB x :7 − 2 y − = 12 0
AC đi qua N nhận VTCP là: MPuuur suy ra pt cạnh AC x y :5 + − 28 0 =
Bài 1 Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và có
Bài 2 Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và có
Bài 3 Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và có hệ số góc k: a) M(–3; 1), k = –2 b) M(–3; 4), k = 3 c) M(5; 2), k = 1 d) M(–3; –5), k = –1 e) M(2; –4), k = 0 f) M ≡ O(0; 0), k = 4
Bài 4 Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua hai điểm A, B: a) A(–2; 4), B(1; 0) b) A(5; 3), B(–2; –7) c) A(3; 5), B(3; 8) d) A(–2; 3), B(1; 3) e) A(4; 0), B(3; 0) f) A(0; 3), B(0; –2) g) A(3; 0), B(0; 5) h) A(0; 4), B(–3; 0) i) A(–2; 0), B(0; –6)
Bài 5 Viết PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và song song với đường thẳng d: a) M(2; 3), d: 4 x − 10 y + = 1 0 b) M(–1; 2), d ≡ Ox c) M(4; 3), d ≡ Oy d) M(2; –3), d: { x y = − = + 1 2 3 4 t t e) M(0; 3), d: 1 4
Bài 6 Viết PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d: a) M(2; 3), d: 4 x − 10 y + = 1 0 b) M(–1; 2), d ≡ Ox c) M(4; 3), d ≡ Oy d) M(2; –3), d: { x y = − = + 1 2 3 4 t t e) M(0; 3), d: 1 4
Bài 7 Cho tam giác ABC Viết phương trình các cạnh, các đường trung tuyến, các đường cao của tam giác với: a) A(2; 0), B(2; –3), C(0; –1) b) A(1; 4), B(3; –1), C(6; 2) c) A(–1; –1), B(1; 9), C(9; 1) d) A(4; –1), B(–3; 2), C(1; 6)
Bài 8 Tìm hình chiếu của điểm M lên đường thẳng d và điểm M′ đối xứng với M qua đường thẳng d với: a) M(– 5; 13), d : 2 x − 3 y − = 3 0 b) M(3; – 1), d : 2 x + 5 y − 30 0 = c) M(4; 1), d x : − 2 y + = 4 0
Bài 9 Lập phương trình đường thẳng d′ đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng ∆, với: a) d : 2 x − 3 y + = ∆ 1 0, : 2 x − 3 y − = 1 0 b) d x : − 2 y + = ∆ 4 0, : 2 x y + − = 2 0 c) d x y : + − = ∆ − 1 0, : x 3 y + = 3 0
Bài 10 Lập phương trình đường thẳng d′ đối xứng với đường thẳng d qua điểm
2.1.2 Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆1: a x b y c 1 + 1 + =1 0 và ∆2: a x b y c 2 + 2 + =2 0.
Toạ độ giao điểm của ∆ 1 và ∆ 2 là nghiệm của hệ phương trình:
• ∆ 1 cắt ∆ 2 ⇔ hệ (1) có một nghiệm ⇔ 1 1
• ∆ 1 ≡ ∆ 2 ⇔ hệ (1) có vô số nghiệm ⇔ 1 1 1
= a b c a b c (nếu a b c 2, ,2 2 ≠0) Để chứng minh ba đường thẳng đồng qui, ta có thể thực hiện như sau:
– Tìm giao điểm của hai trong ba đường thẳng.
– Chứng tỏ đường thẳng thứ ba đi qua giao điểm đó.
Ví dụ 2.1 Xét vị trí tương đối các cặp đường thẳng sau và tìm toạ độ giao điểm trong trường hợp cắt nhau: a) ∆1:x y+ − =2 0; ∆2: 2x y+ − =3 0. b) ∆ 1 : 2 x + 4 y − = 10 0 ∆ 2 : { x y = − = + 1 4 2 2 t t c) ∆ 1 : 8 x + 10 y − = 12 0 ∆ 2 : { x y = − − = − 6 4 6 5 t t
Giải a) ∆1:x y+ − =2 0; ∆2: 2x y+ − =3 0 số giao điểm của ∆1 và ∆2 chính là số nghiệm của hệ phương trình:
Giải hệ này chúng ta có một cặp nghiệm (x , y) = (1 ; 1).
Vậy hai đường thẳng này cắt nhau tại điểm A(1 ; 1). b) ∆ 1 : 2 x + 4 y − = 10 0 ∆ 2 : { x y = − = + 1 4 2 2 t t
Từ phương trình đường thẳng ∆2 ta có x = (1 – 4t) và y = (2 + 2t) thay vào ∆1 ta được
2(1 – 4t) + 4(2 + 2t) = 0 ⇔ 10 – 8t + 8t = 0 10 = 0 (vô lí) hai đường thẳng này không có điểm chung.
Vậy hai đường thẳng ∆1 và ∆2 song song với nhau. c) ∆ 1 : 8 x + 10 y − = 12 0 ∆ 2 : { x y = − + = − 6 4 6 5 t t Đường thẳng ∆2 có vtcp là u r = (5; 4) − nên ∆2có vtpt là n r = (4;5).∆2 đi qua điểm có tọa độ (-6 ; 6) nên ∆2 có pt tổng quát là : 4(x + 6) + 5(y – 6) = 0 4x + 5y – 6 = 0
Số giao điểm của ∆1 và ∆2 chính là số nghiệm của hệ phương trình:
Hệ này có vố số nghiệm nên ∆1 và ∆2 trùng nhau.
Ví dụ 2.2 Cho hai đường thẳng d mx : − 5 y + = 1 0 à : 2 v ∆ x y + − = 3 0Tìm m để hai đường thẳng: a) cắt nhau b) song song c) trùng nhau
Giải a) Để hai đường thẳng d và ∆ cắt nhau thì
Vậy với m ≠ -10 thì hai đường thẳng d và ∆ cắt nhau b) Để hai đường thẳng d và ∆ song song thì
Vậy với m = -10 thì hai đường thẳng d và ∆ song song c) Để hai đường thẳng d và ∆ trùng nhau thì
Vậy không có giá trị nào của m để hai đường thẳng d và ∆ trùng nhau
Ví dụ 2.3 Cho hai đường thẳng ( ) d x + 3 y − = 7 0 à v ( ) ∆ 4 x − 5 y + = 6 0.Viết phương trình đường thẳng d1 đi qua A(3;-2) và đồng qui với hai đường thẳng trên.
Tọa độ giao điểm của d và ∆ là nghiệm của hệ
Vì đường thẳng d1 đồng qui với hai đường thẳng d và ∆ nên đường thẳng d1 đi qua A(3;-2) và B(1; 2) Vậy d1 nhận làm uuur AB ( − 2;0 )vec tơ chỉ phương Vậy d1 có phương trình là
Bài 1 Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau, nếu chúng cắt nhau thì tìm toạ độ giao điểm của chúng: a) 2 x + 3 y + = 1 0, 4 x + 5 y − = 6 0 b) 4 x y − + = 2 0, − + 8 x 2 y + = 1 0 c) { x y = + = − + 5 3 2 t t , { x y = + = − + 4 2 7 3 t t d) { x y = − = − + 1 2 2 t t , { x y = + = − − 2 3 4 6 t t e) { x y = + = − 5 1 t , x y + − = 5 0 f) x = 2, x + 2 y − = 4 0
Bài 2 Cho hai đường thẳng d và ∆ Tìm m để hai đường thẳng: a) cắt nhau b) song song c) trùng nhau a) d : 2 mx + ( m − 1) y − = ∆ 2 0, : ( m + 2) x + (2 m + 1) y − ( m + = 2) 0 b) d m : ( − 2) x + ( m − 6) y m + − = 1 0, ∆ : ( m − 4) x + (2 m − 3) y m + − = 5 0 c) d m : ( + 3) x + 2 y + = 6 0, ∆ : mx y + + − = 2 m 0
Bài 3.Tìm m để ba đường thẳng sau đồng qui: a) y = 2 x − 1, 3 x + 5 y = 8, ( m + 8) x − 2 my = 3 m b) y = 2 x m − , y = − + x 2 , m mx − ( m − 1) y = 2 m − 1 c) 5 x + 11 y = 8, 10 x − 7 y = 74, 4 mx + (2 m − 1) y m + + 2 d) 3 x − 4 y + = 15 0, 5 x + 2 y − = 1 0, mx − (2 m − 1) y + 9 m − = 13 0
Bài 4.Viết phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2 và: a) d 1: 3x−2y+ 0, d 2: 4x+3y− =7 0, d qua A(2;1) b) d 1: 3x−5y+ =2 0, d 2: 5x−2y+ =4 0, d song song d 3: 2x y− + =4 0 c) d 1: 3x−2y+ =5 0,d 2: 2x+4y− =7 0, d vuông góc d 3: 4x−3y+ =5 0
Bài 5.Tìm điểm mà các đường thẳng sau luôn đi qua với mọi m: a) ( m − 2) x y − + = 3 0 b) mx y − + (2 m + = 1) 0 c) mx y − − 2 m − = 1 0 d) ( m + 2) x y − + = 1 0
Bài 6.Cho tam giác ABC với A(0; –1), B(2; –3), C(2; 0). a) Viết phương trình các đường trung tuyến, phương trình các đường cao, phương trình các đường trung trực của tam giác. b) Chứng minh các đường trung tuyến đồng qui, các đường cao đồng qui, các đường trung trực đồng qui.
2.1.3 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
+ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho đường thẳng ∆: ax by c + + = 0 và điểm M x y 0( ;0 0).
+ Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng
Cho đường thẳng ∆: ax by c + + = 0 và hai điểm M x ( M ; y M ), N x ( N ; y N )∉ ∆.
– M, N nằm cùng phía đối với ∆ ⇔( ax M + by M + c ax )( N + by N + > c ) 0.
– M, N nằm khác phía đối với ∆ ⇔( ax M + by M + c ax )( N + by N + < c ) 0.
+ Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆1: a x b y c 1 + 1 + =1 0 và ∆2: a x b y c 2 + 2 + =2 0cắt nhau.
Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng ∆1 và ∆2 là:
Chú ý: Để lập phương trình đường phân giác trong hoặc ngoài của góc A trong tam giác ABC ta có thể thực hiện như sau:
– Tìm toạ độ chân đường phân giác trong hoặc ngoài (dựa vào tính chất đường phân giác của góc trong tam giác).
Cho ∆ABC với đường phân giác trong AD và phân giác ngoài AE (D, E ∈ BC) ta có:
AC – Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm.
– Viết phương trình các đường phân giác d1, d2 của các góc tạo bởi hai đường thẳng
– Kiểm tra vị trí của hai điểm B, C đối với d1 (hoặc d2)
+ Nếu B, C nằm khác phía đối với d1 thì d1 là đường phân giác trong.
+ Nếu B, C nằm cùng phía đối với d1 thì d1 là đường phân giác ngoài.
Ví dụ 3.1 Tính khoảng cách từ điểm đến dường thẳng được cho tương ứng như sau: a) A(3 ; 5) và ∆: 4x + 3y + 1 = 0 b) B(1 ; 2) và ∆': 3x – 4y + 1 = 0
Ví dụ 3.2 Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng được cho tương ứng như sau: a) A(4 ; -2) và đường thẳng d: { x y = − = + 1 2 2 2 t t b) B(-7 ; 3) và đường thẳng d’: { x y = − = 1 3 t t
Giải a) A(4 ; -2) và đường thẳng d: { x y = − = + 1 2 2 2 t t Đường thẳng d đi qua điểm có tọa độ (1 ; 2) và có vtcp là u r d = − ( 2; 2) vì vậy vtpt của d là n r d = (2; 2)
Phương trình tổng quát của đường thẳng d là: 2(x – 1) +2(y – 2) = 0 2x +2y - 6 = 0
= = = d A d + b) B(-7 ; 3) và đường thẳng d’: { x y = − = 1 3 t t Đường thẳng d đi qua điểm có tọa độ (1 ; 0) và có vtcp là u r d = − ( 1;3) vì vậy vtpt của d là n r d = (3;1)
Phương trình tổng quát của đường thẳng d là: -1(x – 1) +3(y – 0) = 0 -x + 3y +1 = 0
Ví dụ 3.3 Cho đường thẳng ∆: 4 x − 3 y + = 1 0 Tính bán kính đường tròn tâm I(1; 5) và tiếp xúc với ∆.
Giải Đường tròn tâm I(1; 5) và tiếp xúc với ∆ có bán kính là
Ví dụ 3.4 Cho tam giác ABC có A (3;5) và B ( 2; 3 − ), C ( − 1;1 ). a) Tính độ dài đường cao AH của tam giác ABC (H∈BC) b) Tính diện tích tam giác ABC
Giải a) Đường thẳng BC nhận BC uuur ( − 3; 4 ) làm vec tơ chỉ phương Nên đường thẳng BC có vec tơ pháp tuyến là n r ( ) 4;3 Vậy đường thẳng BC có dạng
4 x− +2 3 y+ = ⇔3 0 4x+3y+ =1 0 Độ dài đường cao AH của tam giác ABC là khoảng cách từ A đến đường thẳng BC Vậy có
= = AH d A BC + b) BC = uuur BC = 5.
Vậy diện tích tam giác ABC là 1 1 28 5 14
Ví dụ 3.5 Lập phương trình các đường phân giác của các góc giữa hai đường thẳng
Phương trình các đường phân giác của các góc giữa hai đường thẳng trên là
Vậy phương trình các đường phân giác của các góc giữa hai đường thẳng trên là
Ví dụ 3.6 Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng
∆ x− y+ = và cách điểm A(2;3) một khoảng bằng k = 2
Bài làm Đường thẳng ∆ : 3 x − 4 y + = 12 0 có vec tơ pháp tuyến là n r ( 3; 4 − ) Đường thẳng d song song với đường thẳng ∆ : 3 x − 4 y + = 12 0nên đường thẳng d có vec tơ pháp tuyến là n r ( 3; 4 − ) Nên đường thẳng d có dạng : 3 x − 4 y c + = 0
Vì đường thẳng d cách điểm A(2;3) một khoảng bằng k = 2 nên có
+) Với c = 16 đường thẳng d có dạng 3 x − 4 y + = 16 0
+) Với c = 16 đường thẳng d có dạng 3 x − 4 y − = 4 0
Vậy có 2 đường thẳng thỏa mãn điều kiện đề bài là : 3 x − 4 y + = 16 0 và 3 x − 4 y − = 4 0
Ví dụ 3.7 Cho hai điểm P(2;5) , Q(5;1) Lập phương trình đường thẳng qua P sao cho khoảng cách từ Q đến đường thẳng đó bằng 3 :
Giải : Gọi d có phương trình : Ax +By + C = 0 (A 2 +B 2 > 0) d qua P(2;5) nên : 2A +5B + C = 0 theo đề bài : d(Q;d) = 3 nên : 5 + + 2 2 = 3
A B ⇔(5A+B+C) 2 =9(A 2 +B 2 ) mà C = -2A -5B nên ( 3A -4B) 2 = 9(A 2 +B 2 ) ⇔-24AB +7B 2 = 0 ⇔B(-24A +7B)=0 Với B = 0 , A tùy ý ta chọn A = 1 khi đó C = -2 ta có phương trình đường thẳng d :x – 2 =0
Với -24A +7B = 0 ta chọn B = 24 thì A = 7 và C = -134 ta có phương trình đường thẳng d : 7x +24y – 134 = 0
Bài 1 Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d, với: a) M(4; 5), : 3− d x−4y+ =8 0 b) M (3;5), : d x y + + = 1 0 c) M (4; 5), : − d { x y = = + 2 2 3 t t d) M (3;5), : d x 2 − 2 = y 3 + 1
Bài 2 a) Cho đường thẳng ∆: 2 x y − + = 3 0 Tính bán kính đường tròn tâm I(–5; 3) và tiếp xúc với ∆. b) Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình 2 cạnh là:
2x−3y+ =5 0, 3x+2y− =7 0 và đỉnh A(2; –3) Tính diện tích hình chữ nhật đó. c) Tính diện tích hình vuông có 4 đỉnh nằm trên 2 đường thẳng song song:
Bài 3 Cho tam giác ABC Tính diện tích tam giác ABC, với: a) A(–1; –1), B(2; –4), C(4; 3) b) A(–2; 14), B(4; –2), C(5; –4)
Bài 4 Viết phương trình đường thẳng d song song và cách đường thẳng ∆ một khoảng k, với: a) ∆: 2x y− + =3 0, k= 5 b) ∆ : { x y = = + 3 2 4 t t , k = 3 c) ∆ : y − = 3 0, k = 5 d) ∆ − = : x 2 0, k = 4
Bài 5 Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng ∆ và cách điểm A một khoảng bằng k, với: a) ∆: 3 x−4 y+ 0, (2;3),A k=2 b) ∆ +: x 4 y− =2 0, ( 2;3),A − k =3 c) ∆: y− =3 0, (3; 5),A − k=5 d) ∆ − =: x 2 0, (3;1),A k=4
Bài 6 Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cách B một khoảng bằng d, với: a) A(–1; 2), B(3; 5), d = 3 b) A(–1; 3), B(4; 2), d = 5 c) A(5; 1), B(2; –3), d = 5 d) A(3; 0), B(0; 4), d = 4.
Bài 7 Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và cách đều hai điểm P, Q, với: a) M(2; 5), P(–1; 2), Q(5; 4) b) M(1; 2), P(2; 3), Q(4; –5) c) M(10; 2), P(3; 0), Q(–5; 4) d) M(2; 3), P(3; –1), Q(3; 5)
Bài 8 Viết phương trình đường thẳng d cách điểm A một khoảng bằng h và cách điểm
Bài 9 Cho hai điểm A(2; 2), B(5; 1) Tìm điểm C trên đường thẳng ∆: x − 2 y + = 8 0 sao cho diện tích tam giác ABC bằng 17 (đvdt).
Bài 10 Tìm tập hợp điểm. a) Tìm tập hợp các điểm cách đường thẳng ∆: − + 2 x 5 y − = 1 0 một khoảng bằng 3. b) Tìm tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng
: 5 +3 − = ∆3 0, : 5 +3 + =7 0 d x y x y c) Tìm tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng d : 4 x − 3 y + = ∆ 2 0, : y − = 3 0. d) Tìm tập hợp các điểm có tỉ số các khoảng cách đến hai đường thẳng sau bằng 5
Bài 11 Viết phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng: a) 3 x − 4 y + = 12 0, 12 x + 5 y − 20 0 = b) 3 x − 4 y − = 9 0, 8 x − 6 y + = 1 0 c) x + 3 y − = 6 0, 3 x y + + = 2 0 d) x + 2 y − = 11 0, 3 x − 6 y − = 5 0
Bài 12 Cho tam giác ABC Tìm tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC, với: a) A(–3; –5), B(4; –6), C(3; 1) b) A(1; 2), B(5; 2), C(1; –3) c) AB : 2 x − 3 y + 21 0, = BC : 2 x + 3 y + = 9 0, CA x : 3 − 2 y − = 6 0 d) AB : 4 x + 3 y + = 12 0, BC : 3 x − 4 y − 24 0, = CA x : 3 + 4 y − = 6 0
Bài 13 Cho đường thẳng ∆: x y − + = 2 0 và các điểm O(0; 0), A(2; 0), B(–2; 2). a) Chứng minh đường thẳng ∆ cắt đoạn thẳng AB. b) Chứng minh rằng hai điểm O, A nằm cùng về một phía đối với đường thẳng ∆. c) Tìm điểm O′ đối xứng với O qua ∆. d) Trên ∆, tìm điểm M sao cho độ dài đường gấp khúc OMA ngắn nhất.
2.1.4 Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆1: a x b y c 1 + 1 + =1 0 (có VTPT r1=( ; )1 1 n a b ) và ∆2: a x b y c 2 + 2 + =2 0 (có VTPT r2 =( ; )2 2 n a b ).
• Cho ∆ABC Để tính góc A trong ∆ABC, ta có thể sử dụng công thức:
= = uuur uuur uuur uuur uuur uuurAB AC
Xác định góc giữa hai đường thẳng a) ∆1: 4x−2y+ =6 0; ∆2:x−3y+ =1 0 b) ∆ 1 : 2 x + 4 y − = 10 0 ∆ 2 : { x y = − = + 1 4 2 2 t t c) d1: x – 2y + 5 = 0 d2: 3x – y = 0.
⇒ ∆ ∆ Cos b) ∆ 1 : 2 x + 4 y − = 10 0 ∆ 2 : { x y = − = + 1 4 2 2 t t Đường thẳng ∆2 có vtcp là r∆ 2 = −( 4; 2) u vì vậy vtpt của ∆2 là r∆ 2 =(2; 4) n Đường thẳng ∆1có vtpt là r∆ 1 =(2; 4) n
Chứng minh rằng hai đường thẳng sau vuông góc với nhau: a) ∆ 1 : 2 x − 2 y − = 10 0 ∆ 2 : { x y = − = + 1 2 2 2 t t b) ∆1:y=3x+5 ∆2: 2y+6x− =4 0
Giải a) ∆ 1 : 2 x − 2 y − = 10 0 ∆ 2 : { x y = − = + 1 2 2 2 t t Đường thẳng ∆2 có vtcp là r∆ 2 = −( 2; 2) u vì vậy vtpt của ∆2 là r∆ 2 =(2; 2) n Đường thẳng ∆1có vtpt là r∆ 1 =(2; 2)− n
Vậy hai đường thẳng trên vuông góc với nhau. b) ∆1:y=3x+5 ∆2: 2y+6x− =4 0 Đường thẳng ∆2: 2y +6x – 4 = 0 y = -3x + 2.
∆ 2 có hệ số góc k2 = -3 Đường thẳng ∆1 có hệ số góc k1 = 3 k1.k2 = 3.(-3)= 0 ∆ 1 và ∆ 2 vuông góc với nhau
Ví dụ 4.3 : Viết phương trình đường thẳng qua A( 2 ; 1 ) và tạo với đường thẳng 2x +
Gọi d có phương trình: Ax +By + C =0 (A 2 +B 2 > 0) d qua A(1;2) nên :A +2B + C = 0 Do d tạo với ∆:2x+3y +4 = 0 góc 45 0 nên cos45 0 = 2 2 3 2 2 2 2 2 3 2
Chọn B = 1 Khi đó ta có : 5A 2 – 24A – 5 = 0 ⇔A = 5 , A = -1/5
Bài 1 Tính góc giữa hai đường thẳng: a) x − 2 y − = 1 0, x + 3 y − = 11 0 b) 2 x y − + = 5 0, 3 x y + − = 6 0 c) 3 x − 7 y + 26 0, 2 = x + 5 y − = 13 0 d) 3 x + 4 y − = 5 0, 4 x − 3 y + = 11 0
Bài 2 Tính số đo của các góc trong tam giác ABC, với: a) A(–3; –5), B(4; –6), C(3; 1) b) A(1; 2), B(5; 2), C(1; –3) c) AB : 2 x − 3 y + 21 0, = BC : 2 x + 3 y + = 9 0, CA x : 3 − 2 y − = 6 0 d) AB : 4 x + 3 y + = 12 0, BC : 3 x − 4 y − 24 0, = CA x : 3 + 4 y − = 6 0
Bài 3 Cho hai đường thẳng d và ∆ Tìm m để góc giữa hai đường thẳng đó bằng α, với: a) d: 2mx+(m−3)y+4m− = ∆1 0, : (m−1)x+(m+2)y m+ − = α =2 0, 45 0 d
Bài 4 Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và tạo với đường thẳng ∆ một góc α, với: a) A(6; 2), : 3∆ x+2y− = α =6 0, 45 0 b) A( 2;0), :− ∆ +x 3y− = α =3 0, 45 0 c) A(2;5), :∆ +x 3y+ = α =6 0, 60 0 d) A(1;3), :∆ − = α =x y 0, 30 0
Bài 5 Cho hình vuông ABCD có tâm I(4; –1) và phương trình một cạnh là
3x y− + =5 0 a) Viết phương trình hai đường chéo của hình vuông. b) Tìm toạ độ 4 đỉnh của hình vuông.
2.2 Các bài tập nâng cao về phương trình đường thẳng
Dạng bài tập về viết phương trình đường thẳng xuất hiện nhiều trong các đề thi đại học Để giải được các bài tập khó về phương trình đường thẳng ta cần nắm chắc các kiến thức và các bài tập cơ bản về phương trình đường thẳng Vì khi làm các bài tập này học sinh cần vận dụng linh hoạt các kiến thức về phương trình đường thẳng Sau đây tôi xin mạnh dạn đưa ra 3 dạng viết phương trình đường thẳng mà chúng ta bắt gặp nhiều nhất trong các đề thi đại học và cao đẳng
Loại I: Viết phương trình đường thẳng khi biết 1 điểm thuộc đường thẳng và tọa độ véc tơ pháp tuyến, chỉ phương
- Nắm được cách viết phương trình đường thẳng khi biết vec tơ chỉ phương và vec tơ pháp tuyến
- Nắm được cách viết phương trình đường thẳng song song hoặc vuông góc với một đường thẳng cho trước
- Trong bài toán nếu xuất hiện trung điểm hoặc trọng tâm cần nhớ tính chất và công thức tính trung điểm, trọng tâm của tam giác
M là trung điểm của AB có 2
G là trọng tâm tam giác ABC thì
- Nắm chắc các điểm đặc biệt trong tam giác, tính chất các đường trung trực, đường trung tuyến, đường cao và đường phân giác trong của tam giác
+) Nếu trong tam giác cho đường trung tuyến thì cần liên hệ các tính chất sau
Sử dụng công thức trung điểm, công thức tính trọng tâm Vì thế cần tham số hóa tọa độ điểm cần tìm và áp dụng công thức trung điểm, trọng tâm để làm.
Giao điểm của hai đường trung tuyến là trọng tâm của tam giác
+) Nếu giả thiết cho 1 đường cao Giả sử cho tam giác ABC có AH là đường cao có
AA ' BC AA '.BC 0 và n u , u n
Nếu giả thiết cho 2 đường cao thì 2 đường cao cắt nhau tại điểm H thì H gọi là trực tâm của tam giác Để tìm tọa độ H có
AH.BC 0 và BH.AC 0 uuur uuur uuur uuur
+) Nếu trong tam giác cho đường phân giác trong AD thì cần liên hệ tới tính chất lấy
M ∈ AC , M' đối xứng với M qua đường phân giác AD thì M'∈AB.
+) Đường trung trực của một cạnh đi qua trung điểm và vuông góc với cạnh ấy Nên sử dụng công thức trung điểm và quan hệ vuông góc để viết phương trình đường thẳng
Câu 1 Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A (1;3) và hai trung tuyến có phương trình là x − 2 y + = 1 0, y − = 1 0.
+ Do A (1;3) không thuộc vào hai đt d x 1: −2y+ =1 0,d 2: y− =1 0 nên giả sử hai trung tuyến là BP x − 2 y + = 1 0 và CN y − = 1 0 Với N, P là hai trung điểm của AB và AC.
N b b Vì N CN ∈ nên ta có:
+ Từ đó ta có được phương trình cạnh BC: x − 4 y − = 1 0, cạnh AB: x y − + = 2 0, cạnh AC: x + 2 y − = 7 0
Câu 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có B ( 12;1) − , đường phân giác trong gócA có phương trình: x + 2 y − = 5 0 Trọng tâm tam giác ABC là 1 2 ;
G Viết phương trình đường thẳng BC
Gọi H là hình chiếu của B trên d : { x y t = − ⇒ = 5 2 t H ( 5 2 ; − t t )
Gọi M là điểm đối xứng của B qua d
Vì MA, MCuuuur uuur cùng phương⇒ = − ⇒ a 2 C ( ) 4;3 Vậy BC x : − 8 y + 20 0 =
Câu 3 Cho tam giác ABC có C (5; 2) − , trung tuyến AM và đường cao AH có phương trình lần lượt là 7 x y + − = 10 0, 7 x − 3 y + = 2 0 Viết phương trình chứa cạnh AB và tính diện tích tam giác ABC.
+ Tọa độ của đỉnh A là giao của hai đường trung tuyến AM và đường cao AH là nghiệm của hệ: { 7 7 x y x + − = − 3 y + = 10 0 2 0 ⇔ { x y = = 1 3 ⇒ A (1;3)
+ Phương trình cạnh BC đi qua C vuông góc với AH có pt:
+ Tọa độ trung điểm M của cạnh BC là nghiệm hệ { 3 7 x x y + + − = 7 y − = 10 0 1 0 ⇔ { x y = = − 3 / 2 1/ 2
+ Diện tích tam giác ABC là: 1 2 ( , ) 1 23 2 13 23 2
Câu 4 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho cho hai đường thẳng
1: 2 − + =5 0 d x y d 2: 3x+6 – 7 0y = Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P(2; –1) sao cho đường thẳng đó cắt hai đường thẳng d1 và d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng d1, d2.
Ta có: uuruur 1 2 =2.3 1.6 0− a a nên d 1⊥d 2 và d1 cắt d2 tại một điểm I khác P Gọi d là đường thẳng đi qua P( 2; –1) có phương trình:
: ( − +2) ( + = ⇔1) 0 + −2 + =0 d A x B y Ax By A B d cắt d1, d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh I ⇔ khi d tạo với d1 ( hoặc d2) một góc 45 0
* Nếu A = 3B ta có đường thẳng d : 3 x y + − = 5 0
* Nếu B = –3A ta có đường thẳng d x : − 3 y − = 5 0
Vậy có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán d : 3 x y + − = 5 0;
Câu 5 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho cho hai đường thẳng
1: 2 − + =5 0 d x y d 2: 3x+6 – 7 0y = Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P(2; –1) sao cho đường thẳng đó cắt hai đường thẳng d1 và d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng d1, d2.
Ta có: uuruur 1 2 =2.3 1.6 0− a a nên d 1⊥d 2 và d1 cắt d2 tại một điểm I khác P Gọi d là đường thẳng đi qua P( 2; –1) có phương trình:
: ( − +2) ( + = ⇔1) 0 + −2 + =0 d A x B y Ax By A B d cắt d1, d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh I ⇔ khi d tạo với d1 ( hoặc d2) một góc 45 0
* Nếu A = 3B ta có đường thẳng d : 3 x y + − = 5 0
* Nếu B = –3A ta có đường thẳng d x : − 3 y − = 5 0
Vậy có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán d : 3 x y + − = 5 0; d x : − 3 y − = 5 0.
Câu 6 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d x y 1: + + =1 0,
2: 2 – –1 0 d x y Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M(1;–1) cắt (d1) và (d2) tương ứng tại A và B sao cho 2uuur uuur r+ =0
Từ điều kiện 2uuur uuur r+ =0
MA MB tìm được A(1; –2), B(1;1) suy ra (d): x – 1 = 0
Một số bài toán giải tam giác khi biết các tính chất của tam giác
2.1 Giải tam giác cân: Định nghĩa: Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng.
Một số tính chất đơn giản:
+ Tam giác ABC cân ở đỉnh A thì AB = AC;
+ Gọi M là trung điểm của BC thì AM vừa là trung tuyến, vừa là đường cao, đường phân giác trong góc A.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A, cạnh BC: x y + − = 4 0, cạnh AB:
2x+3y− 0 Viết phương trình đường cao kẻ từ đỉnh B của tam giác.
Tọa độ đỉnh B là nghiệm của hệ 2 x y x + − =+3 y 4 0− =10 0 ⇔ x y ==2 2 ⇒ B (2;2)
Gọi nr =( ; )a b là vecto pháp tuyến của cạnh AC ( , 2 2 0
Do tam giác ABC cân ở A nên
Đường cao BH kẻ từ đỉnh B nhận nr=(3; 2) làm vecto chỉ phương nên phương trình đường cao BH là:
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC cân tại A có phương trình hai cạnh AB, AC lần lượt là:
2 2 0 x+ y− = và 2 x y + + = 1 0, điểm M (1; 2) thuộc đoạn BC Tìm tọa độ điểm D sao cho DB DCuuur uuur. có giá trị nhỏ nhất.
+) Gọi VTPT của AB, AC, BC lần lượt là: nur1 =(1; 2),nuur2 =(2;1),nuur3 =( ; )a b
Phương trình cạnh BC có dạng: a x ( − +1) b y ( − =2) 0, a 2 + b 2 >0
+) Tam giác ABC cân tại A nên
- Với a = − b , chọn 1 1 : 1 0 (0;1), ( 2 1 ; ) b= − ⇒ = ⇒a BC x y− + = ⇒B C −3 3 , không thỏa mãn
- Với a b = , chọn b= ⇒ = ⇒1 a 1 BC x y : + − = ⇒3 0 B(4; 1), ( 4;7)− C − , thỏa mãn M thuộc đoạn BC.
+) Gọi trung điểm của BC là I (0;3)
DB DC= DI IB DI IC+ + =DI − ≥ − uuur uuur uuur uur uuur uur
Dấu “=” xảy ra khi ⇔ ≡ D I Vậy D(0;3).
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC cân tại A Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, biết BC và BG lần lượt có phương trình là x − 2 y − = 4 0 và 7 x − 4 y − = 8 0 Biết đường thẳng
CG đi qua điểm E ( 4;1) − Tìm tọa độ điểm A.
+) Tọa độ đỉnh B là nghiệm của hệ 2 4 0 0 (0; 2)
Kẻ EF song song với BC ( F BG ∈ ) Vì tam giác ABC cân tại A nên đường cao AH (
H ∈ BC ) là trung trực của EF Phương trình của đường thẳng EF:
+) Tọa độ điểm F là nghiệm của hệ 7 x x −−2 4 y y − =− =6 0 8 0 ⇔ x y ==4 5 ⇒ F (4;5)
Tọa độ trung điểm I của EF là I (0;3) Phương trình đường trung trực của EF là:
Tọa độ G là nghiệm của hệ
Tọa độ H là nghiệm của hệ 2 4 0 2 (2; 1)
+) Do G là trọng tâm tam giác ABC nên
2.2 Giải tam giác đều: Định nghĩa: Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau.
Một số tính chất đơn giản:
+ Tam giác ABC đều thì AB = AC = BC;
+ Các đường trong tam giác đều ABC đều đồng quy tại một điểm O gọi là tâm của tam giác.
+ Tam giác ABC đều cạnh a có diện tích
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC đều có đỉnh A (3; 4), đỉnh B nằm trên trục hoành có hoành độ dương và diện tích tam giác ABC bằng 25 3
4 Tìm tọa độ các đỉnh B, C của tam giác.
ABC s V = AB = ⇒AB Vì B∈Ox⇒B(b;0) (b>0) ⇒AB 2 = −(b 3) 2 + −(0 4) 2 %⇔ −(b 3) 2 = ⇔ = ∨ =9 b 0 b 6
+) Gọi I là trung điểm cạnh AB I 9 2 ; 2 ÷
, phương trình đường cao CI nhận uuurAB=(3; 4)− làm VTPT là: 3.( 9 ) 4.( 2) 0 3 4 11 0
2.3 Giải tam giác vuông: Định nghĩa: Tam giác vuông là tam giác có một góc.
Một số tính chất đơn giản:
+ Tam giác ABC vuông tại A thì ; ;
+ Gọi M là trung điểm của BC thì 1
+ AH là đường cao của tam giác thì
+ Nếu tam giác ABC vuông cân tại A thì
Ví dụ 1 (Trích đề khối B2003) Cho tam giác ABC có AB = AC, BAC 0
M − là trung điểm cạnh BC và G (2 / 3;0) là trọng tâm tam giác ABC Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.
Do G là trọng tâm tam giác ABC nên uuurAG=2GMuuuur
Tam giác ABC vuông cân tại A nên BC⊥ AM MC MB MA, = = = 1 2 +3 2 = 10
Phương trình cạnh BC đi qua M có VTPT uuuurAM = −(1; 3) là 1.(x− −1) 3(y+ = ⇔ −1) 0 x 3y− =4 0
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A Biết cạnh huyền nằm trên đường thẳng
N 2 thuộc đường thẳng AC, điểm M (2; 3) − thuộc đường thẳng AB Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết điểm A có hoành độ âm.
+) Phương trình đường thằng AB: a x( − +2) b y( + =3) 0(a 2 +b 2 >0) (do AB đi qua M(2;-3))
1) Cho tam giỏc ABC cú AB = AC, BAC ã 0 Biết M (1; 1) − là trung điểm cạnh
BC và G (2 / 3;0) là trọng tâm tam giác ABC Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C Đ/s:
2) Cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A ( 1; 4) − và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng ∆ − − = : x y 4 0 Xác định tọa độ các điểm B, C biêt diện tích tam giác ABC bằng
3) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A (6;6), đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB, AC có phương trình x y + − = 4 0 Tìm tọa độ các đỉnh B và C biết điểm nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho Đ/s: B(0; 4), ( 4;0)− C − hoặc B( 6; 2), (2; 6)− C −
4) Cho tam giác ABC cân tại A có trọng tâm 4 1 ;
, phương trình cạnh BC là
2 4 0 x− y− = và phương trình đường thẳng BG là 7 x − 4 y − = 8 0 Tìm tọa độ các đỉnh
5) Cho tam giác ABC cân tại B, có AB 3x y− −2 3 0= Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I (0; 2) Điểm B thuộc Ox Tìm tọa độ đỉnh C Đ/s:
6) Cho tam giác ABC cân tại A có AB: x + 2 y − = 2 0, AC: 2 x y + + = 1 0, điểm (1; 2)
M thuộc đoạn thẳng BC Tìm tọa độ điểm D sao cho DB DCuuur uuur. nhỏ nhất Đ/s: (0;3)
7) Cho tam giác ABC cân tại A, đỉnh B thuộc d x : − 4 y − = 2 0, cạnh AC song song với d Đường cao kẻ từ đỉnh A có phương trình x y + + = 3 0, điểm M (1;1) nằm trên AB. Tìm tọa độ các cạnh của tam giác ABC Đs: A(0; 3), (2 / 3; 1/ 3), ( 8 / 3; 11/ 3)− B − C − −
8) Cho tam giác ABC cân tại A Gọi D là trung điểm của AB Biết rằng 11 5 ;
lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, trọng tâm tam giác ADC Các điểm M (3; 1), − N ( 3;0) − lần lượt thuộc các đường thẳng DC, AB Tìm tọa độ các điểm A, B, C biết A có tung độ dương Đ/s: A(7;5), ( 1;1), (3; 3)B − C −
9) Cho tam giác ABC cân tại A, có trực tâm H ( 3; 2) − Gọi D, E là chân đường cao kẻ từ B, C Biết rằng điểm A thuộc đường thẳng d x : − 3 y − = 3 0, điểm F ( 2;3) − thuộc đường thẳng DE và HD = 2 Tìm tọa độ điểm A Đ/s: A (3;0)
10) Cho tam giác ABC cân tại A Gọi N là trung điểm của AB Gọi E và F lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh B, C của tam giác ABC Tìm tọa độ của đỉnh A biết rằng E (7;1), F 11 13 5 5 ; ÷
và phương trình đường thẳng CN là 2 x y + − = 13 0 Đ/s: A (7;9)
11) Cho tam giác ABC cân tại B, với A(1; 1), (3;5)− C Điểm B nằm trên đường thẳng d :2 x y − = 0 Viết phương trình đường thẳng AB, BC Đ/s:
AB x y− − = BC x− y+ 12) Cho hai đường thẳng d 1:2x y− + =1 0 và d x 2: +2y− =7 0 Lập phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và tạo với d d 1, 2 một tam giác cân có đáy thuộc đường thẳng đó và tính diện tích tam giác sinh ra Đ/s: 3 8 0, 18 x− y+ = S= 5 hoặc
13) Cho tam giác ABC cân tại A Biết AB : 2 x y + − = 1 0, BC x : + 4 y + = 3 0 Viết phương trình đường cao kẻ từ đỉnh B của tam giác ABC Đ/s: 31 x + 22 y − = 9 0.
14) Cho hai đường thẳng d 1: 3x y− − 3 0,= d 2: 3x y+ − 3 2 0− = cắt nhau tại
A Lập phương trình đường thẳng d cắt d1, d2 lần lượt tại B, C sao cho tam giác ABC đều có diện tích bằng 3 3.
15) Xét tam giác vuông tại A, phương trình đường thẳng BC là 3x y− − 3 0= , các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2 Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC Đ/s: 1 2
16) Cho tam giác ABC có các đỉnh A( 1;0), (4;0), (0; )− B C m với m ≠0 Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC theo m Tìm m để tam giác GAB vuông tại G Đ/s:
17) Cho điểm A (2; 2) và các đường thẳng d x y 1: + − =2 0, d x y 2: + − =8 0 Tìm tọa độ các điểm B và C lần lượt thuộc d 1 và d 2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A Đ/s: B( 1;3), (3;5)− C hoặc B(3; 1), (5;3)− C
18) Cho tam giác ABC vuông ở A Biết A( 1; 4), (1; 4)− B − , đường thẳng BC đi qua điểm 7 ;2
19) Cho điểm A (2;1) Trên trục Ox lấy điểm B có hoành độ không âm, trên trục
Oy lấy điểm C có tung độ không âm sao cho tam giác ABC vuông tại A Tìm các điểm
B, C sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất Đ/s: B(0;0), (0;5)C
20) Cho các điểm A(0;1), (2; 1)B − và các đường thẳng
1:( 1) ( 2) 2 0 d m− x+ m− y+ − =m , d 2:(2−m x) +(m−1)y+3m− =5 0 Chứng minh d1, d2 luôn cắt nhau Gọi P là giao điểm của d1, d2 Tìm m sao cho PA+PB lớn nhất Đ/s: chú ý (PA PB+ ) 2 ≤2(PA 2 +PB 2 ) 2= AB 2 Do đó max ( PA PB + )=4 khi P là trung điểm của cung AB Khi đó P (2;1) hay P (0; 1) − ⇒ = ∨ = m 1 m 2.
21) Cho tam giác ABC vuông tại A, các đỉnh A, B thuộc trục hoành và diện tích tam giác ABC bằng 6 Đường thẳng BC có phương trình là: 4 x − 3 y − = 4 0 Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC Đ/s: 1 2
22) Cho A (1; 2) − và đường thẳng d x : − 2 y + = 3 0 Tìm trên d hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại C và AC = 3BC Đ/s: 3 6 ; , 13 16 ; 1 4 ;
CHUYÊN ĐỀ 3: XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ CỦA TỨ GIÁC
Giáo viên thực hiện: Đinh Hồng Chinh
BÀI TOÁN: HÌNH BÌNH HÀNH
Hình bình hành là hình có các cặp cạnh đối song song với nhau.
- Các cặp cạnh đối song song với nhau và bằng nhau.
- Các góc đối bằng nhau
- Các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, giao điểm đó được gọi là tâm của hình bình hành.
- Các công thức tính diện tích
ABD BCD ABC ACD 2 ABCD
S =S =S =S = S =d A BD BD d B AC AC 1.3 Kiến thức cần vận dụng khi giải quyết các bài toán
- Quy tắc về toạ độ trung điểm.
- Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và song song với một đường thẳng cho trước.
- Áp dụng thuần thục các công thức tính diện tích tam giác, tứ giác.
- Nắm chắc các điểm đặc biệt trong tam giác, các đường trung trực, đường trung tuyến, đường cao và đường phân giác trong của tam giác.
Bài 1 (Đề thi đại học khối B năm 2014)
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình bình hành ABCD Điểm M ( − 3;0 ) là trung điểm của cạnh AB, điểm H ( 0; 1 − ) là hình chiếu vuông góc của B trên AD và điểm 4 ;3
là trọng tâm của tam giác BCD Tìm toạ độ các điểm B và D.
Gọi E, F lần lượt là giao điểm của HM và HG với BC Suy ra HMuuuur uuur uuur=ME HG; =2GFuuur
Do đó E ( − 6;1 ; ) ( ) F 2;5 Đường thẳng BC đi qua E và nhận EFuur làm vectơ chỉ phương, nên BC x : − 2 y + = 8 0. Đường thẳng BH đi qua H và nhận EFuur làm vectơ pháp tuyến, nên BH : 2 x y + + = 1 0.
Toạ độ điểm B thoả mãn hệ phương trình 2 8 0
Do M là trung điểm của AB nên A ( − − 4; 3 )
Gọi I là giao điểm của AC và BD, suy ra GAuuur=4GIuur.
Do I là trung điểm của BD, nên D ( ) 2;0
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có điểm A ( ) 1;0 và điểm B ( ) 2;0 Giao điểm I của 2 đường chéo thuộc đường thẳng d y x : = Viết phương trình các cạnh của hình bình hành, biết diện tích hình bình hành bằng 4 và điểm C có hoành độ dương.
Giả sử toạ độ tâm I a a ( ) ; ∈ d , do điểm C đối xứng với A qua I và điểm D đối xứng với
B qua I Suy ra C a ( 2 − 1; 2 , a D a ) ( 2 − 2; 2 a ) Phương trình đường thẳng AB y : = 0, ta có
( , ) , 1. d I AB = a AB Suy ra S ABCD = 4 S IAB = 2 d I AB AB ( ; ) = 2 a
Vậy C ( ) ( ) 3; 4 , D 2; 4 là hai điểm cần tìm.
Vậy phương trình các cạnh hình bình hành:
AB y= BC x y− − = CD y= AD x y− − Bài 3
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có tâm I ( ) 2; 2 và phương trình hai cạnh cùng suất phát từ một đỉnh là 2 x y − = 0; 4 x − 3 y = 0 Viết phương trình các cạnh còn lại của hình bình hành.
Giả sử hai cạnh dó là AB : 2 x y − = 0; AD : 4 x − 3 y = 0
Toạ độ đỉnh A AB= ∩ADlà nghiệm của hệ phương trình
Vì I ( ) 2; 2 là trung điểm của AC nên C ( ) 4; 4 Phương trình cạnh BC.
Vì AB BC / / nên BC đi qua C ( ) 4; 4 và nhận vectơ n r = ( 4; 3 − ) làm vectơ pháp tuyến nên ta có phương trình BC : 4 x − 3 y − = 4 0.
Vì CD / / AB và đi qua C ( ) 4; 4 ⇒ CD : 2 x y − − = 4 0.
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 3, hai đỉnh
A − C − Trọng tâm tam giác ABC nằm trên đường thẳng 3 x y − − = 8 0 Viết phương trình các cạnh của hình bình hành.
Gọi I là tâm hình bình hành 5 ; 5
Gọi B x y ( ; ), G là trọng tâm tam giác ABC 5 ; 5
Ta có phương trình AC x y : − − = 5 0.
Ta có AC = 2, S ABC = 1 2 AC d B AC ( ; ) = 2 x 2 + 1
Với B ( − − 2; 10 ) và I là trung điểm BD ⇒ D ( ) 7;5
Ta có phương trình các cạnh hình bình hành:
AB x− y− = BC x y− + = CD x− y− = AD x− y− TH2:
Ta có phương trình các cạnh hình bình hành:
AB x y+ − = BC x+ y− = CD x y+ − = AD x+ y+ Bài 5
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có tâm I ( − 1;3 ) và trọng tâm tam giác ABD là 1 5 ;
Viết phương trình các cạnh của hình bình hành ABCD, biết các cạnh AB, AD là hai tiếp tuyến kẻ từ A đến đường tròn ( ) C x : 2 + y 2 − 6 x − 6 y + = 8 0
Ta có I là trung điểm của BD, G là trọng tâm tam giác ABD ⇒ A ( 3; 1 − ) Vì I là trung điểm AC ⇒ C ( − 5;7 )
Giả sử K ( ) 3;3 , R = 10 lần lượt là tâm và bán kính của (C).
Vì AB, AD đi qua A nên phương trình có dạng: ∆ : ax by + − 3 a b + = 0.
Các cạnh AB, AD là tiếp tuyến của (C) d K ( , ) R 2 4 b 2 10 a 5 3 b a b
* Với 3 : 3 5 3 3 5 0 a= 5b⇒ ∆ x+ y− + * Với 3 : 3 5 3 3 5 0 a= − 5b⇒ ∆ − x+ y+ + TH1: AB: 3x+ 5y−3 3+ 5 0= ;AD:− 3x+ 5y+3 3+ 5 0Vì CD/ /AB⇒CD: 3x+ 5y+5 3 7 5 0− / / : 3 5 5 3 7 5 0
BC AD⇒BC − x+ y− − TH2: AB:− 3x+ 5y+3 3+ 5 0= ;AD: 3x+ 5y−3 3+ 5 0Thực hiện tương tự ta có phương trình các cạnh:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có D(-6;-6) Đường trung trực của đoạn thẳng DC có phương trình d: 2x+3y+17=0 và đường phân giác của góc BAC có phương trình d’: 5x+y-3=0 Xác định toạ độ các đỉnh còn lại của hình bình hành.
Gọi I là trung điểm của CD, do I thuộc d nên: I(t;−2t−17
3 ) Khi đó: , đường thẳng d có VTCP
Vì do đó I(-4;-3) suy ra C(-2;0)
Gọi C’ đối xứng với C qua d’ Ta có phương trình CC’: x-5y+2=0
Gọi J là trung điểm của CC’ Toạ độ điểm J là nghiệm của hệ: x− 5y+ 2 = 0
2) nên C’(3;1) Đường thẳng AB qua C’ nhận làm VTCP có phương trình: 3x-2y-7=0
Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ: 3x− 2 y− 7 = 0
Do ABCD là hình bình hành nên suy ra: B(5;4).