BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

BÀI PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG A LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Phương trình đường thẳng Vectơ phương đường thẳng Chú ý: r r r Cho đường thẳng  Vectơ u  gọi vectơ phương + Nếu u vectơ phương  r đường thẳng  giá song song trùng với  k u  k   vectơ Cho đường thẳng  qua M  x0 ; y0 ; z0  có vectơ phương  r + Nếu đường thẳng  qua hai phương u   a; b; c  uuur điểm A, B AB vectơ Phương trình tham số đường thẳng Phương trình tham số đường thẳng  có dạng  x  x0  at   y  y0  bt , t  ¡  z  z  ct  (1) phương Cho đường thẳng  có phương trình (1) r + u   a; b; c  vectơ phương  + Với điểm M  M  x0  at ; y0  bt ; z0  ct  t giá trị cụ thể tương ứng với điểm M Phương trình tắc Nếu a, b, c  phương trình tắc đường thẳng  có dạng x  x0 y  y0 z  z0   a b c  2 Khoảng cách Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng r Cho đường thẳng  qua M , có vectơ phương u điểm M   Khi để tính khoảng cách từ M đến  ta có cách sau: uuuuur r  MM , u    Cách 1: Sử dụng công thức: d  M , d   r u Cách 2: + Lập phương trình mặt phẳng  P  qua M vng góc với  + Tìm giao điểm H  P  với  + Khi độ dài MH khoảng cách cần tìm Trang Cách 3: + Gọi N  d , suy tọa độ N theo tham số t + Tính MN theo t + Tìm giá trị nhỏ tam thức bậc hai Khoảng cách hai đường thẳng chéo r Cho hai đường thẳng chéo  qua M có vectơ phương u  qua M 0 có vectơ ur phương u  Khi khoảng cách hai đường thẳng   tính theo cách sau: r ur uuuuuur u , u  M M 0   Cách 1: Sử dụng công thức: d  ,    r ur u , u     Cách 2: Tìm đoạn vng góc chung MN Khi độ dài MN khoảng cách cần tìm Cách 3: Lập phương trình mặt phẳng  P  chứa qua  song song với  Khi khoảng cách cần tìm khoảng cách từ điểm  đến  P  Vị trí tương đối Vị trí tương đối hai đường thẳng Trong không gian Oxyz, hai đường thẳng x  x0 y  y0 z  z0   qua M  x0 ; y0 ; z0  có a b c ur vectơ phương u1   a; b; c  , d1 : x  x0 y  y0 z  z0   qua M  x0 ; y0 ; z0  có a b c uu r vectơ phương u2   a; b; c  d2 : Để xét vị trí tương đối d1 d , ta sử dụng phương pháp sau: Phương pháp hình học ur uu r  a1 a2 a3  u1 / / u2     b1 b2 b3 + d1 trùng d    M  d M  d  ur uu r r  u1 , u2     + d1 / / d   ur uuuuuur r  u1 , M 1M   ur uu r  a1 a2 a3  u1 || u2     b1 b2 b3   M  d M  d  Ta dùng phương pháp đại số để xét vị trí tương đối: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng Chú ý trường hợp vô nghiệm ur uu r + Nếu u1 ; u2 phương d1 //d ur uu r + Nếu u1 ; u2 không phương d1 ; d chéo Trang ur uu r r  u1 , u2     + d1 cắt d   ur uu r uuuuuur  u1 , u2  M 1M  ur uu r uuuuuur + d1 chéo d  u1 , u2  M 1M  Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Trong không gian    : Ax  By  Cz  D  Oxyz, có cho mặt phẳng vectơ pháp tuyến  x  x0  at uur  n   A; B; C  đường thẳng d :  y  y0  bt qua  z  z  ct  Phương pháp đại số Xét hệ phương trình  x  x0  at   y  y0  bt   z  z0  ct  Ax  By  Cz  D    1  2  3  4 uu r M  x0 ; y0 ; z0  có vectơ phương ud   a; b; c  Để xét vị trí tương đối d    ta sử dụng phương Thay (1), (2), (3) vào (4), ta A  x0  at   B  y0  bt   C  z0  ct   D   * pháp sau: Phương pháp hình học uu r uur ud  n  Nếu  d      M  x0 ; y0 ; z0      uu r uur ud  n  Nếu  d //    M x ; y ; z        0 uu r uur uu r uur  Nếu ud n phương  ud  k n với k  d     uu r uur uu r uur  Nếu ud n  ; ud n khơng phương d cắt    +) Nếu phương trình (*) vơ nghiệm t d //    +) Nếu phương trình (*) có nghiệm t d cắt    +) Nếu phương trình (*) có vơ số nghiệm t d     Chú ý: Để tìm điểm chung đường thẳng d mặt phẳng    ta giải phương trình (*), sau thay giá trị t vào phương trình tham số d để tìm  x; y; z  Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng mặt cầu  x  x0  at  có phương trình là: d :  y  y0  bt , t  ¡  z  z  ct   S  :  x  a   y  b   z  c  R2 2 Trang Để xét vị trí tương đối d    ta sử dụng phương pháp sau: Phương pháp hình học Phương pháp đại số Bước 1: Tìm khoảng cách từ tâm I  S  đến d thay x, y, z từ phương trình tham số d vào Bước 2: phương trình  S , ta phương + Nếu d  I , d   R d khơng cắt  S  trình bậc hai theo t Biện luận số giao điểm + Nếu d  I , d   R d tiếp xúc  S   d   S  theo số nghiệm phương + Nếu d  I , d   R d cắt  S  trình bậc hai theo t Chú ý: Để tìm điểm chung đường thẳng mặt cầu ta giải phương trình bậc hai theo t , sau thay giá trị t vào phương trình tham số d để tìm  x; y; z  Chú ý: Góc hai đường thẳng góc nhọn Góc Góc hai đường thẳng Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1 , d ur uu r có vectơ pháp tuyến u1 , u2 ur Góc d1 d bù với góc u1 uu r u2 Ta có: cos  d1 , d  ur uu r u1.u2 ur uu r  cos u1 , u2  ur uu r u1 u2   Góc đường thẳng mặt phẳng Chú ý: Góc đường thẳng mặt phẳng Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d có vectơ góc nhọn uu r phương ud mặt phẳng    có vectơ pháp tuyến uur n Góc đường thẳng d mặt phẳng    góc đường thẳng d với hình chiếu d   Ta có: sin  d ,     uu r uur ud n uu r uur  cos ud , n  uu r uur ud n   Trang SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HĨA Đi qua có vectơ phương r u   Tham số: Phương Chính tắc: Nếu trình đường thẳng ĐƯỜN G THẲN G Hai đường thẳng ; cắt chéo Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Khoảng cách đường thẳng chéo Khoảng cách Đường thẳng mặt phẳng Vị trí tươn g đối Giữa hai đường thẳng Góc đường thẳng mặt phẳng cắt , không phương Đường thẳng mặt cầu khơng cắt tiếp xúc cắt Góc Trang  B CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng Phương pháp r  Đường thẳng d qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  có vectơ phương a   a1 ; a2 ; a3  có phương  x  x0  a1t  trình tham số  y  y0  a2t  t  ¡  z  z  a t  uuur  Đường thẳng d qua hai điểm A, B: Một vectơ phương d AB  Đường thẳng d qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  song song với đường thẳng  cho trước: Vì d // nên vectơ phương  vectơ phương d  Đường thẳng d qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  vng góc với mặt phẳng  P  cho trước: Vì d   P  nên vectơ pháp tuyến  P  vectơ phương d Đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng  P  ,  Q  Cách 1: Tìm điểm vectơ phương  Tìm toạ độ điểm A  d cách giải hệ phương trình mặt phẳng  P  ,  Q  với việc chọn giá trị cho ẩn r uur uur  Tìm vectơ phương d : a   nP , nQ  Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d viết phương trình đường thẳng qua hai điểm  Đường thẳng d qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  vng góc với hai đường thẳng d1 , d : Vì r uur uur d  d1 , d  d nên vectơ phương d là: u  ud1 , ud2  Bài tập Bài tập Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A  2;1; 1 , B  2;3;1 C  0; 1;3 Gọi d đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vng góc với mặt phẳng  ABC  Phương trình đường thẳng d A x  y 1 z    1 B x 1 y z   1 C x y2 z   2 1 D x 1 y z   1 Hướng dẫn giải Chọn B Trang Ta có uuu r AB   4; 2;   AB  16    uuur AC   2; 2;   AC    16  uuur BC   2; 4;   BC   16   Vậy tam giác ABC nên tâm đường tròn ngoại tiếp trọng tâm G  0;1;1 uuu r uuur Ta có  AB, AC    12;12;12   12  1;1;1 uuu r uuur Đường thẳng d qua G  0;1;1 có vectơ phương phương với  AB, AC  , r chọn u   1;1;1 x  t  Phương trình đường thẳng d  y   t z  1 t  Với t  1 , ta có điểm A  1;0;0   d r Vậy đường thẳng d qua A  1;0;0  có vectơ phương u   1;1;1 Bài tập Trong không gian Oxyz, cho hai M  1; 2;3 , N  3; 4;5  mặt phẳng  P  : x  y  3z  14  Gọi  đường thẳng thay đổi nằm mặt phẳng  P  , điểm H, K hình chiếu vng góc M , N  Biết MH  NK trung điểm HK thuộc đường thẳng d cố định, phương trình đường thẳng d x  t  A  y  13  2t  z  4  t  x  t  B  y  13  2t  z  4  t  x  t  C  y  13  2t  z  4  t  x   D  y  13  2t  z  4  t  Hướng dẫn giải Chọn A Gọi I trung điểm HK Do MH  NK nên HMI  KNI  IM  IN Khi I thuộc mặt phẳng  Q  mặt phẳng trung trực đoạn MN r uuuu r Ta có  Q  qua trung điểm MN điểm J  2;3;  nhận n  MN   1;1;1 làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình  Q  : x  y  z   x  y  z   Mà I  A   P  Suy I  d   P    Q  :   x  y  z  14  Tìm  0;13; 4   d vectơ phương d  1; 2;1 x  t  Vậy d :  y  13  2t  z  4  t  Trang 2 Bài tập Trong không gian Oxyz Cho điểm E  1;1;1 , mặt cầu  S  : x  y  z  mặt phẳng  P  : x  y  5z   Gọi  đường thẳng qua E , nằm  P  cắt  S  hai điểm A, B cho OAB tam giác Phương trình tham số   x   2t  A  y   t z  1 t   x   4t  B  y   3t z  1 t   x   2t  C  y   t z  1 t  x  1 t  D  y   t  z   2t  Hướng dẫn giải Chọn C r Gọi u   a; b; c  vectơ phương  với a  b  c  uur Ta có nP   1; 3;5  r uur r uur Vì    P  nên u  nP  u.nP   a  3b  5c   a  3b  5c (1) Mặt cầu  S  có tâm O  0;0;0  bán kính R  Gọi H hình chiếu vng góc O AB Ta có OAB tam giác cạnh R nên OH  R  Suy khoảng cách từ O đến đường thẳng  OH  r uuur u , OE     Khi r u   a  b   b  c    c  a   3 a2  b2  c2  2   a  b  c   a  b  c  (2) Thay (1) vào (2) ta được: 3b  5c  b  c   b  c  a  2c Thay c  1 b  1 a  r Ta vectơ phương  u   2; 1; 1  x   2t  Vậy phương trình đường thẳng   y   t z  1 t  Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng phương pháp tham số hóa Trang 10 Phương pháp  Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  , vng góc cắt đường thẳng  uuuuur uur Cách 1: Gọi H hình chiếu vng góc M đường thẳng  Khi H  , M H  u Khi đường thẳng d đường thẳng qua M , H Cách 2: Gọi  P  mặt phẳng qua M vng góc với d  Q  mặt phẳng qua M chứa d Khi d   P    Q   Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  cắt hai đường thẳng d1 , d Cách 1: Gọi M  d1  d , M  d  d Suy M , M , M thẳng hàng Từ tìm M , M suy phương trình đường thẳng d Cách 2: Gọi  P  mặt phẳng qua M chứa d1 ;  Q  mặt phẳng qua M chứa d r uur uur Khi d   P    Q  Do vectơ phương d chọn u   nP , nQ   Đường thẳng d nằm mặt phẳng  P  cắt hai đường thẳng d1 , d : Tìm giao điểm A  d1   P  , B  d   P  Khi d đường thẳng AB  Đường thẳng d song song với  cắt hai đường thẳng d1 , d : Viết phương trình mặt phẳng  P song song với  chứa d1 , mặt phẳng  Q song song với  chứa d Khi d   P   Q  Đường thẳng d đường vng góc chung hai đường thẳng d1 , d chéo nhau:  MN  d1 Cách làm: Gọi M  d1 , N  d Từ điều kiện  , ta tìm M , N Viết phương trình  MN  d đường thẳng MN đường vng góc chung d1 , d Bài tập Bài tập Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P  : x  y  z   đường thẳng d : x  y  z 1   Phương trình đường thẳng d  hình chiếu vng góc d 2 mặt phẳng  P  A x y  z 1   B x y  z 1   5 C x y  z 1   5 D x y  z 1   Hướng dẫn giảii Trang 11 Chọn B  x   2t  Đường thẳng d có phương trình tham số  y  2  2t  t  ¡   z  1  t  Lấy điểm M  d   P   M   2t ; 2  2t ; 1  t   d Thay đổi tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng  P  ta được:  2t   2t   t   t  Suy M  0; 2;1 Do d   P   M  0; 2;1 Lấy A  4; 2; 1  d Gọi H hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng  P  uuur Đường thẳng AH qua A  4; 2; 1 nhận n P    1;1; 1 làm vectơ phương nên AH có  x   t1  phương trình  y  2  t1  t1  ¡   z  1  t  Suy H   t1 ; 2  t1 ; 1  t1  Thay tọa độ H vào phương trình mặt phẳng  P   10   t1   t1   t1    t1    H  ;  ;    3 3 MH hình chiếu d lên mặt phẳng uuuur  10 14  MH   ;  ;      5;7;  3   P , MH qua M  0; 2;1 nhận vectơ phương nên có phương trình x y  z 1   5 Bài tập Cho đường thẳng d1 : x 1 y 1 z x2 y z3     đường thẳng d : 1 2 Phương trình đường thẳng  qua A  1;0;  , cắt d1 vng góc với d A x 1 y z    2 B x 1 y z    1 1 C x 1 y z    4 D x 1 y z    2 Hướng dẫn giải Chọn C uur Gọi I  d1   , I   t , 1  2t , t   AI   t; 2t  1; t   vectơ phương  r Do u d2   1; 2;  vectơ phương đường thẳng d   d uur r Suy AI u d2   t   2t  1   t     3t    t  Trang 12 x  f f    +  16 16 Dựa vào bảng biến thiên ta có: max f  t   f      · , d bé m   n  Suy  Do T  m  n  4 Dạng 5: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Phương pháp Ví dụ: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x 1 y  z    2 Tính khoảng cách từ M  2;1; 1 tới d Cho đường thẳng    qua điểm Hướng dẫn giải uuuu r r Ta có A  1; 2; 2   d  AM  3; 1;1 , u  1; 2; 2  M  x0 ; y0 ; z0  có vectơ phương r u   a; b; c  Khi khoảng cách từ điểm M Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là: uuuu r r  AM ; u  đến    tính cơng thức:   d  M;d    r uuuuuur r u  M M1 ; u    d  M1,    r u Bài tập Bài tập Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A  1;1; 1 cho trước, nằm mặt phẳng  P  : x  y  z   cách điểm M  0; 2;1 khoảng lớn A x 1 y 1 z 1   3 1 B x 1 y 1 z 1   C x 1 y 1 z 1   1 D x 1 y 1 z 1   1 1 Hướng dẫn giải Trang 22 Chọn C Ta gọi B hình chiếu M lên đường thẳng d MB  MA Suy MBmax  MA nên đường thẳng d qua điểm A vng góc với MA Đồng thời đường thẳng d nằm mặt phẳng  P  nên ta có uu r uuur uuur ud   MA, n P     1;3; 1 Bài tập Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A  2;1; 2  , B  5;1;1 mặt cầu  S  : x  y  z  y  12 z   Xét đường thẳng d qua A tiếp xúc với  S  cho khoảng cách từ B đến d nhỏ Phương trình đường thẳng d x   A  y   t  z  2  2t  x   B  y   4t  z  2  t   x   2t  C  y   2t  z  2  t  x   t  D  y   4t  z  2  t  Hướng dẫn giải Chọn C 2 Mặt cầu  S  : x  y  z  y  12 z   có tâm I  0; 3; 6  bán kính R  IA   R  A   S  , IB  10  R nên B nằm  S  Đường thẳng d qua A tiếp xúc với  S  nên d nằm mặt phẳng  P  tiếp xúc với mặt cầu  S  A uu r Mặt phẳng  P  qua A nhận IA làm vectơ pháp tuyến có phương trình x  y  z  Gọi H hình chiếu B lên  P  tọa độ H  4; 1; 1 Ta có: d  B; d   d  B;  P    BH uu r uuur Vậy khoảng cách từ B đến d nhỏ d qua H Ta có ud  AH   2; 2;1 Trang 23  x   2t  Suy phương trình đường thẳng d là:  y   2t  z  2  t  Dạng 6: Khoảng cách hai đường thẳng chéo Phương pháp Trong không gian Oxyz, cho hai đường Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz, tính khoảng cách thẳng chéo nhau: 1 có vectơ phương hai đường thẳng r u   a; b; c  qua M  x0 ; y0 ; z0  ;  có ur vectơ phương u    a; b; c  qua  x   4t x 1 y  z  d1 :   d :  y  1  2t , t  ¡ 1  z   2t  Hướng dẫn giải M 0  x0 ; y0 ; z0  Đường thẳng d1 qua điểm M  1; 2;0  có ur vectơ phương u1   2; 1;1 Đường thẳng d qua điểm N  1; 1;  có uu r vectơ phương u2   4; 2;  Khi khoảng cách 1  tính ur uu r Do u1 phương với u2 M  d nên r ur uuuuuur d1 //d u, u  M M 0   d  ,   công thức   r ur ur uuuu r u , u   u1 , MN      Suy d  d1 ; d   d  N ; d1   ur ur uu r u Nếu  // ( u u phương 2 M   ) d  1 ,    d  M ,   uuuu r r uuuu r Ta có MN   0;1;  , u , MN    3; 4;  ur uuuu r 2 u1 , MN   3   4   22 174     ur Suy u1 22   1  Vậy d  d1 ; d   174 Bài tập Bài tập Cho phương trình mặt phẳng  P  : x  y  z   , đường thẳng d  : x 1 y z   điểm A  0; 2;1 Viết phương trình đường thẳng d qua A , nằm  P  cho khoảng cách d d  đạt giá trị lớn A x y  z 1   9 B x y  z 1   Trang 24 C x y  z 1   7 D x y  z 1   7 9 Hướng dẫn giải Chọn A Gọi d1 đường thẳng qua A song song với d  x  t  Phương trình d1 là:  y   2t z  1 t  Trên đường thẳng d1 lấy điểm B  1;0;0  Gọi  Q  mặt phẳng chứa d d1 Ta có d  d , d    d  d ,  Q    d  B,  Q   Do d1 cố định d  d , d    d  B,  Q    d  B, d1  uuur uuur Đẳng thức xảy n Q   BH H hình chiếu B lên d1 uuur  5  uuur  2  Ta tìm H  ; ;  nên BH   ; ;   n Q    5; 2;1  3 3  3 3 uu r uuur uuur Ta có ud   n P  ; n Q     1;7; 9  Vậy phương trình đường thẳng d x y  z 1   9 Lưu ý : Vì đường thẳng d qua A nên ta loại đáp án cách thay tọa độ điểm A vào đáp án Dạng 7: Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Phương pháp r Trong không gian Oxyz, xét đường thẳng    có vectơ phương a   a1 ; a2 ; a3  qua r M  x0 ; y0 ; z0  mặt phẳng    : Ax  By  Cz  D  có vectơ pháp tuyến n   A; B; C  rr    cắt     a.n   Aa1  Ba2  Ca3  rr  a.n   Aa1  Ba2  Ca3      //       Ax0  By0  Cz0  D   M   P  Trang 25 rr  Aa1  Ba2  Ca3  a.n            Ax0  By0  Cz0  D   M   P  r r         a n phương  a1 : a2 : a3  A : B : C Ta biện luận vị trí tương đối dựa vào số nghiệm phương trình đường thẳng    mặt phẳng    Bài tập Bài tập Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x 1 y z    mặt 3 1 phẳng  P  : x  y  z   Mệnh đề đúng? A d cắt không vuông góc với  P  B d song song với  P  C d vng góc với  P  D d nằm  P  Hướng dẫn giải Chọn A r Đường thẳng d nhận u   1; 3; 1 làm vectơ phương r Mặt phẳng  P  nhận n   3; 3;  làm vectơ pháp tuyến rr Do u.n  hai vectơ không phương nên đường thẳng d cắt khơng vng góc với  P  Bài tập Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng có phương trình d: x  y 1 z 1   mặt phẳng  P  : x  my   m  1 z   với m tham số thực Tìm 1 1 m cho đường thẳng d song song với mặt phẳng  P  A m  B m  1  m  1 C  m  D m  Hướng dẫn giải Chọn B r Đường thẳng d có vectơ phương u   1;1; 1 mặt phẳng  P  có vectơ pháp tuyến r n   1; m; m2  1 r r rr  m  1 d //  P   u  n  u.n    m  m    m  m     m  Thử lại ta thấy với m  2 d   P  (loại) Vậy m  1 Trang 26 Bài tập Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : x 1 y  z    mặt phẳng    : x  y  z   , mệnh đề đúng? A d //    B d     C d cắt    khơng vng góc với    D d     Hướng dẫn giải Chọn B  x   2t  Ta có d :  y   4t , t  ¡ z   t   x   2t   y   4t Xét hệ phương trình:  z   t  x  y  2z     1  2  3  * Thay (1), (2), (3) vào (*) ta  2t    4t     t    Phương trình có vơ số nghiệm Do đó, đường thẳng d nằm mặt phẳng    Bài tập Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng  P  : x  y  z   0,  Q  : x  y  z   hai đường thẳng 1 : x y 1 z  x y  z 1   , 2 :   2 1 Đường thẳng  song song với hai mặt phẳng  P  ,  Q  cắt 1 ,  tương ứng H , K Độ dài đoạn HK A 11 B C D 11 Hướng dẫn giải Chọn A r uur uur Ta có u   nP , nQ    1; 1; 3  Gọi H  2t ;1  t ; 1  2t  ; K  m;  m;1  2m  uuur  HK   m  2t ;1  m  t ;  2m  2t  uuur r Vì  song song với mặt phẳng  P  ,  Q  nên HK  ku nên m  2t  m  t  2m  2t   1 Trang 27 3 11 Tính m  ; t  Suy HK  7 Bài tập Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P  :  m  m   x   m2  1 y   m   z  m  m   chứa đường thẳng  cố định m thay đổi Khoảng cách từ gốc tọa độ đến  là? A B C D Hướng dẫn giải Chọn C 2 Ta có:  m  m   x   m  1 y   m   z  m  m   0, m  ¡  m  x  y  1  m  x  z  1  x  y  z   0, m  ¡ 2 x  y   2 x  y   y  z   2 x  z     2 x  z   2 x  y   4 x  y  z    t  x     Vậy  P  chứa đường thẳng    cố định:  y  t z  t   uu r     Đường thẳng  qua A   ;0;0  có vectơ phương u    ;1;1     uuu r uu r OA, u     Vậy khoảng cách từ gốc tọa độ đến  là: d  O;    uur u Dạng 8: Vị trí tương đối hai đường thẳng Phương pháp Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : x  x0 y  y0 z  z0   qua M  x0 ; y0 ; z0  a b c ur x  x0 y  y0 z  z0   có vectơ phương u1   a; b; c  d : qua M  x0 ; y0 ; z0  có vectơ a b c uu r phương u2   a; b; c  Để xét vị trí tương đối d1 d , ta sử dụng phương pháp sau: ur uu r  a1 a2 a3  u1 / / u2     b1 b2 b3 +) d1 trùng d    M  d M  d  Trang 28 ur uu r r ur uu r  a1 a2 a3  u1 , u2    u1 / / u2       b1 b2 b3 +) d1 //d   ur uuuuuur r   M  d  u1 , M 1M   M  d  ur uu r r  u1 , u2     +) d1 cắt d   ur uu r uuuuuur  u1 , u2  M 1M  ur uu r uuuuuur +) d1 chéo d  u1 , u2  M 1M  Bài tập Bài tập Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : x 1 y 1 z  x3 y9 z 2     d : m  m  0 Tập hợp giá trị m thỏa mãn d1 //d có số phần tử là: A B C D Hướng dẫn giải Chọn B ur Đường thẳng d1 qua A  1; 1;  có vectơ phương u1   1; 2;1 uu r Đường thẳng d qua B  3; 9; 2  có vectơ phương u2   4;8; m  ur uu r Đường thẳng d1 //d u1 phương với u2 hai đường thẳng d1 d khơng trùng Vì 3  9  2    nên B nằm đường thẳng d1 Do hai đường thẳng ln có điểm chung B nên hai đường thẳng song song Bài tập Trong khơng gian tọa độ Oxyz, xét vị trí tương đối hai đường thẳng 1 : x 1 y 1 z x 3 y 3 z    , 2 :   2 1 2 A 1 song song với  B 1 chéo với  C 1 cắt  D 1 trùng với  Hướng dẫn giải Chọn C ur 2  nên vectơ phương u1   2; 2;3 đường thẳng 1 không phương với 1 2 uu r vectơ phương u2   1; 2;1  Vì Suy 1 chéo với  1 cắt  uuuu r Lấy M  1; 1;0   1 , N  3;3; 2    Ta có MN   2; 4; 2  ur uu r uuuu r Khi u1 , u2  MN  Trang 29 ur uu r uuuu r Suy u1 , u2 , MN đồng phẳng Vậy 1 cắt  Dạng 9: Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu Phương pháp  x  x0  a1t  Cho đường thẳng d :  y  y0  a2t   z  z0  a3t  1  2  3 Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S  : x  y   z    25 đường 2 mặt cầu  S  :  x  a    y  b    z  c   R 2 có tâm I  a; b; c  , bán kính R  x  2  2t  thẳng d có phương trình  y   3t  z  3  2t  Chứng minh d cắt  S  hai điểm phân biệt Hướng dẫn giải Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm I Mặt cầu  S  có tâm I  0;0; 2  bán kính R  mặt cầu  S  đến đường thẳng d uuuu rr  IM a    h  d  I,d   r a Đường thẳng d qua M  2; 2; 3 có vectơ r phương u   2;3;  uuur r  IM , u     Ta có h  d  I , d   r u Bước 2: So sánh d  I , d  với bán kính R mặt cầu: Vì h  R nên d cắt mặt cầu  S hai điểm phân biệt  Nếu d  I , d   R d khơng cắt  S   Nếu d  I , d   R d tiếp xúc  S   Nếu d  I , d   R d cắt  S  hai điểm phân biệt M , N MN vng góc với đường kính (bán kính) mặt cầu  S  Phương pháp đại số Thế (1), (2), (3) vào phương trình  S  Ví dụ 2: Trong khơng gian Oxyz, mặt cầu  S  : x2  y   z  2  17 cắt trục Oz hai rút gọn đưa phương trình bậc hai theo t  * điểm A, B Tìm độ dài đoạn AB Hướng dẫn giải  Nếu phương trình (*) vơ nghiệm d Gọi M giao điểm  S  với trục Oz Trang 30 không cắt  S  Ta có M  Oz nên M  0;0; t   Nếu phương trình (*) có nghiệm Mà M   S  nên 02  02   t    17 d tiếp xúc  S   Nếu phương trình (*) có hai nghiệm t  2  17   t    17  t   17   t  2  17 d cắt  S  hai điểm phân biệt M , N Suy tọa độ giao điểm A 0;0; 2  17 , Chú ý: Để tìm tọa độ M , N ta thay giá trị t vào phương trình đường thẳng d Bài tập     B 0;0; 2  17  AB  17 Bài tập Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A  0;0; 2  đường thẳng  có phương trình x2 y2 z3   Phương trình mặt cầu tâm A , cắt  hai điểm B C cho BC  A  x     y  3   z  1  16 B x  y   z    25 C  x    y  z  25 D x  y   z    16 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B Gọi  S  mặt cầu tâm A  0;0; 2  có bán kính R r Đường thẳng  qua M  2; 2; 3 có vectơ phương u   2;3;  Gọi H trung điểm BC nên AH  BC uuur r  MA.u    Ta có AH  d  A,    r u uuur  MA   2; 2;1 uuur r   MA.u    7; 2;10   AH  Với  r u   2;3;   7    2   10 2 22  32  22  Bán kính mặt cầu  S  là: R  AB  AH  HB  32  42  Vậy phương trình mặt cầu  S  là: x  y   z    25 Bài tập Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S  :  x  1   y  1   z    2 điểm M  1;3; 1 Biết tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ M tới mặt cầu cho ln thuộc đường trịn  C  có tâm J  a; b; c  Giá trị 2a  b  c Trang 31 134 25 A B 116 25 C 84 25 D 62 25 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có mặt cầu  S  có tâm I  1; 1;  bán kính R  Khi IM   R  M nằm ngồi mặt cầu x   Phương trình đường thẳng MI  x  1  4t  z   3t  Tâm J  a; b; c  nằm MI nên J  1; 1  4t;  3t  Xét MHI vng H có MI  5; IH   MH  MI  HI   M  1;3; 1  MJ  Mặt khác   J  1; 1  4t ;  3t  MJ MI  MH  MJ     3t  16   4  4t     2t    4  4t  256 25  t  369  25t  50t  0 25 t   25 41 25  11 23   139 73  ; Suy J  1; ;  J  1;   25 25   25 25   11 23  +) Với J  1; ;  IJ   IM (nhận)  25 25  41  139 73  ;  IM (loại) +) Với J  1;  IJ   25 25  84  11 23  Vậy J  1; ;  nên 2a  b  c  25  25 25  Bài tập Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  x  1   y     z  3  2  S có phương trình 14 x4 y4 z4   đường thẳng d có phương trình Gọi 3 2 A  x0 ; y0 ; z0  , x0  điểm nằm đường thẳng d cho từ A kẻ ba tiếp tuyến đến mặt cầu  S  có tiếp điểm B, C , D cho ABCD tứ diện Giá trị biểu thức P  x0  y0  z0 Trang 32 A B 16 C 12 D Hướng dẫn giải Chọn C I tâm mặt cầu I  1; 2;3 Gọi O giao điểm mặt phẳng  BCD  đoạn AI Vì theo giả thiết AB  AC  AD IB  IC  ID  14 nên AI vng góc với mặt phẳng  BCD  O Khi O tâm đường tròn ngoại tiếp BCD  14  Đặt AI  x  x      Ta có AB  AI  IB  x  14 14 14  14  IB  IO.IA  OI   OB  IB  IO    3x  3x   BD  OB  OD  2OB.OD.cos120  3OB  14 196   BD  3OB  BD  3OB      9x  Do ABCD tứ diện nên AB  BD  x  14 14 196  14 196       x   14  3 3x  9x   14 x  x  56 x  196     x  14   x  14 A  d nên A   3t ;  2t;  t  Suy AI  14    3t  1    2t      t    14 2  A  4; 4;  t   t 1     t  2  A  2;0;  Do x0  nên điểm A có tọa độ A  4; 4;  Suy P  12 Bài tập Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm P, Q, R di động ba trục tọa độ Ox, Oy , Oz (không trùng với gốc tọa độ O ) cho 1 1    Biết mặt phẳng 2 OP OQ OR Trang 33  PQR  tiếp xúc với mặt cầu  S  cố định Đường thẳng  d  thay đổi qua 1  M  ; ;0   cắt  S  hai điểm A, B phân biệt Diện tích lớn AOB 2  A 15 B C 17 D Hướng dẫn giải Chọn D Gọi H hình chiếu vng góc điểm O mặt phẳng  PQR  Dễ thấy 1 1 1       OH  2 2 2 OH OP OQ OR OH Khi  PQR  tiếp xúc với mặt cầu  S  tâm O , bán kính R  2 Ta có OM      R nên điểm M nằm mặt cầu  S  4 Gọi I trung điểm AB , OAB cân O nên S OAB  OI AB Đặt OI  x Vì OI  OM nên  x  AB   x Ta có S OAB  x.2  x  x  x  x  x 2 Xét hàm số f  x   x  x ,  x  Vì f   x   x   x   với x   0;1 nên f  x   f  1  Suy diện tích OAB lớn đạt M trung điểm AB Dạng 10: Một số toán cực trị Bài tập 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm M  2; 2;1 , A  1; 2; 3 đường thẳng d : r x 1 y  z   Tìm vectơ phương u đường thẳng  qua M , 2 1 vuông góc với đường thẳng d đồng thời cách điểm A khoảng bé r r r A u   2; 2; 1 B u   1;7; 1 C u   1;0;  r D u   3; 4; 4  Trang 34 Hướng dẫn giải Chọn C Xét  P  mặt phẳng qua M  P    d  Mặt phẳng  P  qua M  2; 2;1 có vectơ pháp tuyến uur uu r nP  ud   2; 2; 1 nên có phương trình: x  y  z   Gọi H , K hình chiếu A lên  P   Khi AK  AH  const nên AK đạt giá trị nhỏ K  H uu r Đường thẳng AH qua A  1; 2; 3  có vectơ phương ud   2; 2; 1 nên AH có phương  x   2t  trình tham số  y   2t  z  3  t  Vì H  AH nên H   2t ;  2t; 3  t  Lại H   P  nên   2t     2t    3  t     t  2  H  3; 2; 1 uu r uuuur Vậy u  HM   1;0;  Bài tập 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu  S có phương trình x  y  z  x  y  z   điểm A  5;3; 2  Một đường thẳng d thay đổi qua A cắt mặt cầu hai điểm phân biệt M , N Tính giá trị nhỏ biểu thức S  AM  AN A S  30 B S  20 C S  34  D S  34  Hướng dẫn giải Chọn C Mặt cầu  S  có tâm I  2; 1;1 , bán kính R  22   1  12   3  Ta có: AI    5 2   1  3      34  R nên A nằm mặt cầu  S  Ta lại có: S  AM  AN Đặt AM  x, x   34  3; 34  3 2 Mà AM AN  AI  R  34   25  AN  25 AM Trang 35 Do đó: S  f  x   x  Ta có: f   x    Do đó:  34 3; 34 3   100 với x   34  3; 34  3 x 100 x  100   với x   34  3; 34  3 x2 x f  x  f   34   34  Dấu “=” xảy  A, M , N , I thẳng hàng AM  34  3; AN  34  Bài tập 3: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A  9;6;11 , B  5;7;  điểm M di động mặt cầu  S  :  x  1   y     z  3  36 2 Giá trị nhỏ AM  2MB A 105 B 26 C 29 D 102 Hướng dẫn giải Chọn C Mặt cầu  S  :  x  1   y     z  3  36 có tâm I  1; 2;3 bán kính R  2 Ta có IA  12  R Gọi E giao điểm IA mặt cầu  S  suy E trung điểm IA nên E  5; 4;7  Gọi F trung điểm IE suy F  3;3;5  Xét MIF AIM có ·AIM chung Suy MIF #AIM  c.g.c  IF IM   IM IA MA AI    MA  2MF MF MI Do AM  2MB   MF  MB   BF  29 (theo bất đẳng thức tam giác) Dấu “=” xảy M giao điểm FB mặt cầu  S  Trang 36 ... uuur Khi đường thẳng  cần tìm qua A K Ta có AK   1; 4;6  Đường thẳng  có phương trình là: x ? ?3 y ? ?3 z ? ?3   Bài tập Trong khơng gian Oxyz, cho ABC có A  2 ;3; 3 , phương trình đường trung... hai đường thẳng Góc đường thẳng mặt phẳng cắt , không phương Đường thẳng mặt cầu khơng cắt tiếp xúc cắt Góc Trang  B CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng Phương pháp r  Đường. .. x, x   34  3; 34  3? ?? 2 Mà AM AN  AI  R  34   25  AN  25 AM Trang 35 Do đó: S  f  x   x  Ta có: f   x    Do đó:  34 ? ?3; 34 ? ?3? ??   100 với x   34  3; 34  3? ?? x 100