BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

BÀI PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG A LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Phương trình đường thẳng Vectơ phương đường thẳng Chú ý: r r r Cho đường thẳng  Vectơ u  gọi vectơ phương + Nếu u vectơ phương  r đường thẳng  giá song song trùng với  k u  k   vectơ Cho đường thẳng  qua M  x0 ; y0 ; z0  có vectơ phương  r + Nếu đường thẳng  qua hai phương u   a; b; c  uuur điểm A, B AB vectơ Phương trình tham số đường thẳng Phương trình tham số đường thẳng  có dạng  x  x0  at   y  y0  bt , t  ¡  z  z  ct  (1) phương Cho đường thẳng  có phương trình (1) r + u   a; b; c  vectơ phương  + Với điểm M  M  x0  at ; y0  bt ; z0  ct  t giá trị cụ thể tương ứng với điểm M Phương trình tắc Nếu a, b, c  phương trình tắc đường thẳng  có dạng x  x0 y  y0 z  z0   a b c  2 Khoảng cách Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng r Cho đường thẳng  qua M , có vectơ phương u điểm M   Khi để tính khoảng cách từ M đến  ta có cách sau: uuuuur r  MM , u    Cách 1: Sử dụng công thức: d  M , d   r u Cách 2: + Lập phương trình mặt phẳng  P  qua M vng góc với  + Tìm giao điểm H  P  với  + Khi độ dài MH khoảng cách cần tìm Trang 78 Cách 3: + Gọi N  d , suy tọa độ N theo tham số t + Tính MN theo t + Tìm giá trị nhỏ tam thức bậc hai Khoảng cách hai đường thẳng chéo r Cho hai đường thẳng chéo  qua M có vectơ phương u  qua M 0 có vectơ ur phương u  Khi khoảng cách hai đường thẳng   tính theo cách sau: r ur uuuuuur u , u  M M 0   Cách 1: Sử dụng công thức: d  ,    r ur u , u     Cách 2: Tìm đoạn vng góc chung MN Khi độ dài MN khoảng cách cần tìm Cách 3: Lập phương trình mặt phẳng  P  chứa qua  song song với  Khi khoảng cách cần tìm khoảng cách từ điểm  đến  P  Vị trí tương đối Vị trí tương đối hai đường thẳng Trong không gian Oxyz, hai đường thẳng x  x0 y  y0 z  z0   qua M  x0 ; y0 ; z0  có a b c ur vectơ phương u1   a; b; c  , d1 : x  x0 y  y0 z  z0   qua M  x0 ; y0 ; z0  có a b c uu r vectơ phương u2   a; b; c  d2 : Để xét vị trí tương đối d1 d , ta sử dụng phương pháp sau: Phương pháp hình học ur uu r  a1 a2 a3  u1 / / u2     b1 b2 b3 + d1 trùng d    M  d M  d  ur uu r r  u1 , u2     + d1 / / d   ur uuuuuur r  u1 , M 1M   ur uu r  a1 a2 a3  u1 || u2     b1 b2 b3   M  d M  d  Ta dùng phương pháp đại số để xét vị trí tương đối: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng Chú ý trường hợp vô nghiệm ur uu r + Nếu u1 ; u2 phương d1 //d ur uu r + Nếu u1 ; u2 không phương d1 ; d chéo Trang 79 ur uu r r  u1 , u2     + d1 cắt d   ur uu r uuuuuur  u1 , u2  M 1M  ur uu r uuuuuur + d1 chéo d  u1 , u2  M 1M  Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Trong không gian    : Ax  By  Cz  D  Oxyz, có cho mặt phẳng vectơ pháp tuyến  x  x0  at uur  n   A; B; C  đường thẳng d :  y  y0  bt qua  z  z  ct  Phương pháp đại số Xét hệ phương trình  x  x0  at   y  y0  bt   z  z0  ct  Ax  By  Cz  D    1  2  3  4 uu r M  x0 ; y0 ; z0  có vectơ phương ud   a; b; c  Để xét vị trí tương đối d    ta sử dụng phương Thay (1), (2), (3) vào (4), ta A  x0  at   B  y0  bt   C  z0  ct   D   * pháp sau: Phương pháp hình học uu r uur ud  n  Nếu  d      M  x0 ; y0 ; z0      uu r uur ud  n  Nếu  d //    M x ; y ; z        0 uu r uur uu r uur  Nếu ud n phương  ud  k n với k  d     uu r uur uu r uur  Nếu ud n  ; ud n khơng phương d cắt    +) Nếu phương trình (*) vơ nghiệm t d //    +) Nếu phương trình (*) có nghiệm t d cắt    +) Nếu phương trình (*) có vơ số nghiệm t d     Chú ý: Để tìm điểm chung đường thẳng d mặt phẳng    ta giải phương trình (*), sau thay giá trị t vào phương trình tham số d để tìm  x; y; z  Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng mặt cầu  x  x0  at  có phương trình là: d :  y  y0  bt , t  ¡  z  z  ct   S  :  x  a   y  b   z  c  R2 2 Trang 80 Để xét vị trí tương đối d    ta sử dụng phương pháp sau: Phương pháp hình học Phương pháp đại số Bước 1: Tìm khoảng cách từ tâm I  S  đến d thay x, y, z từ phương trình tham số d vào Bước 2: phương trình  S , ta phương + Nếu d  I , d   R d khơng cắt  S  trình bậc hai theo t Biện luận số giao điểm + Nếu d  I , d   R d tiếp xúc  S   d   S  theo số nghiệm phương + Nếu d  I , d   R d cắt  S  trình bậc hai theo t Chú ý: Để tìm điểm chung đường thẳng mặt cầu ta giải phương trình bậc hai theo t , sau thay giá trị t vào phương trình tham số d để tìm  x; y; z  Chú ý: Góc hai đường thẳng góc nhọn Góc Góc hai đường thẳng Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1 , d ur uu r có vectơ pháp tuyến u1 , u2 ur Góc d1 d bù với góc u1 uu r u2 Ta có: cos  d1 , d  ur uu r u1.u2 ur uu r  cos u1 , u2  ur uu r u1 u2   Góc đường thẳng mặt phẳng Chú ý: Góc đường thẳng mặt phẳng Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d có vectơ góc nhọn uu r phương ud mặt phẳng    có vectơ pháp tuyến uur n Góc đường thẳng d mặt phẳng    góc đường thẳng d với hình chiếu d   Ta có: sin  d ,     uu r uur ud n uu r uur  cos ud , n  uu r uur ud n   Trang 81 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HĨA Đi qua có vectơ phương r u   Tham số: Phương Chính tắc: Nếu trình đường thẳng ĐƯỜN G THẲN G Hai đường thẳng ; cắt chéo Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Khoảng cách đường thẳng chéo Khoảng cách Đường thẳng mặt phẳng Vị trí tươn g đối Giữa hai đường thẳng Góc đường thẳng mặt phẳng cắt , không phương Đường thẳng mặt cầu khơng cắt tiếp xúc cắt Góc Trang 82  B CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng Phương pháp r  Đường thẳng d qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  có vectơ phương a   a1 ; a2 ; a3  có phương  x  x0  a1t  trình tham số  y  y0  a2t  t  ¡  z  z  a t  uuur  Đường thẳng d qua hai điểm A, B: Một vectơ phương d AB  Đường thẳng d qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  song song với đường thẳng  cho trước: Vì d // nên vectơ phương  vectơ phương d  Đường thẳng d qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  vng góc với mặt phẳng  P  cho trước: Vì d   P  nên vectơ pháp tuyến  P  vectơ phương d Đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng  P  ,  Q  Cách 1: Tìm điểm vectơ phương  Tìm toạ độ điểm A  d cách giải hệ phương trình mặt phẳng  P  ,  Q  với việc chọn giá trị cho ẩn r uur uur  Tìm vectơ phương d : a   nP , nQ  Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d viết phương trình đường thẳng qua hai điểm  Đường thẳng d qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  vng góc với hai đường thẳng d1 , d : Vì r uur uur d  d1 , d  d nên vectơ phương d là: u  ud1 , ud2  Bài tập Bài tập Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A  2;1; 1 , B  2;3;1 C  0; 1;3 Gọi d đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vng góc với mặt phẳng  ABC  Phương trình đường thẳng d A x  y 1 z    1 B x 1 y z   1 C x y2 z   2 1 D x 1 y z   1 Trang 83 Bài tập Trong không gian Oxyz, cho hai M  1; 2;3 , N  3; 4;5  mặt phẳng  P  : x  y  3z  14  Gọi  đường thẳng thay đổi nằm mặt phẳng  P  , điểm H, K hình chiếu vng góc M , N  Biết MH  NK trung điểm HK ln thuộc đường thẳng d cố định, phương trình đường thẳng d x  t  A  y  13  2t  z  4  t  x  t  B  y  13  2t  z  4  t  x  t  C  y  13  2t  z  4  t  x   D  y  13  2t  z  4  t  2 Bài tập Trong không gian Oxyz Cho điểm E  1;1;1 , mặt cầu  S  : x  y  z  mặt phẳng  P  : x  y  5z   Gọi  đường thẳng qua E , nằm  P  cắt  S  hai điểm A, B cho OAB tam giác Phương trình tham số   x   2t  A  y   t z  1 t   x   4t  B  y   3t z  1 t   x   2t  C  y   t z  1 t  x  1 t  D  y   t  z   2t  Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng phương pháp tham số hóa Phương pháp  Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  , vng góc cắt đường thẳng  uuuuur uur Cách 1: Gọi H hình chiếu vng góc M đường thẳng  Khi H  , M H  u Khi đường thẳng d đường thẳng qua M , H Cách 2: Gọi  P  mặt phẳng qua M vng góc với d  Q  mặt phẳng qua M chứa d Khi d   P    Q   Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  cắt hai đường thẳng d1 , d Cách 1: Gọi M  d1  d , M  d  d Suy M , M , M thẳng hàng Từ tìm M , M suy phương trình đường thẳng d Cách 2: Gọi  P  mặt phẳng qua M chứa d1 ;  Q  mặt phẳng qua M chứa d r uur uur Khi d   P    Q  Do vectơ phương d chọn u   nP , nQ   Đường thẳng d nằm mặt phẳng  P  cắt hai đường thẳng d1 , d : Tìm giao điểm A  d1   P  , B  d   P  Khi d đường thẳng AB Trang 84  Đường thẳng d song song với  cắt hai đường thẳng d1 , d : Viết phương trình mặt phẳng  P song song với  chứa d1 , mặt phẳng  Q song song với  chứa d Khi d   P   Q  Đường thẳng d đường vng góc chung hai đường thẳng d1 , d chéo nhau:  MN  d1 Cách làm: Gọi M  d1 , N  d Từ điều kiện  , ta tìm M , N Viết phương trình  MN  d đường thẳng MN đường vng góc chung d1 , d Bài tập Bài tập Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P  : x  y  z   đường thẳng d : x  y  z 1   Phương trình đường thẳng d  hình chiếu vng góc d 2 mặt phẳng  P  A x y  z 1   B x y  z 1   5 C x y  z 1   5 D x y  z 1   Bài tập Cho đường thẳng d1 : x 1 y 1 z x2 y z3     đường thẳng d : 1 2 Phương trình đường thẳng  qua A  1;0;  , cắt d1 vng góc với d A x 1 y z    2 B x 1 y z    1 1 C x 1 y z    4 D x 1 y z    2 Bài tập Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P  : x  y  z  hai đường thẳng d1 : x 1 y  z x 1 y  z    d :   Đường thẳng vng góc với  P  cắt hai 1 3 1 đường thẳng d1 d có phương trình A x  y 1 z   2 B x5 y z4   C x  y  z 1   2 D x 1 y  z    2 Trang 85 Bài tập Viết phương trình đường thẳng d qua A  1; 2;3 cắt đường thẳng d1 : x y z2   1 song song với mặt phẳng  P  : x  y  z   x  1 t  A  y   t z   t  x  1 t  B  y   t z   x  1 t  C  y   t z   x  1 t  D  y   t z   t  Bài tập Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P  : x  y  z  10  , điểm A  1;3;  đường thẳng d : x  y 1 z 1   Tìm phương trình đường thẳng  cắt  P  d 1 M N cho A trung điểm MN A x  y 1 z    1 B x  y 1 z    1 C x  y 1 z    4 1 D x  y 1 z    4 1 Bài tập Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A  3;3; 3 thuộc mặt phẳng    : x  y  z  15  mặt cầu  S  :  x     y  3   z    100 Đường thẳng  qua A, nằm mặt phẳng    cắt  S  M , N Để độ dài MN lớn phương trình đường thẳng  A x 3 y 3 z 3    x  3  5t  C  y   z  3  8t  B x 3 y 3 z 3   16 11 10 D x 3 y 3 z 3   1 Bài tập Trong không gian Oxyz, cho ABC có A  2;3;3 , phương trình đường trung tuyến kẻ từ B d: x 3 y 3 z 2   , phương trình đường phân giác góc 1 1 x2 y4 z2   Đường thẳng AB có vectơ phương 1 1 r r r A u  2;1; 1 B u  1; 1;0  C u  0;1; 1 C : r D u  1; 2;1 Trang 86 Bài tập Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  : x 1 y  z   hai điểm 1 A  4; 2;  , B  0;0; 2  Gọi d đường thẳng song song cách  khoảng , gần đường thẳng AB Đường thẳng d cắt mặt phẳng  Oxy  điểm đây?  14  B   ;  ;0    A  2;1;0  C  3; 2;0  D  0;0;0  Bài tập Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn đường thẳng 1 : x  y  z 1 x 1 y 1 z   ; 2 :   1 1 1 3 : x y  z 1 x 5 y a z b   ; 4 :   1 1 Biết không tồn đường thẳng không gian mà cắt đồng thời bốn đường thẳng Giá trị biểu thức T  a  2b A 2 B 3 C D Dạng Góc đường thẳng mặt phẳng Phương pháp Cho đường thẳng Ví dụ: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho x  x0 y  y0 z  z0   mặt phẳng x3 y 2 z   a b c đường thẳng  : mặt phẳng 1    : Ax  By  Cz  D     : 3x  y  z   Gọi  góc hai mặt phẳng    Tính góc tạo       :    ta có cơng thức: sin   Aa  Bb  Cc A2  B  C a  b  c Chú ý: A, B , C a, b, c không đồng thời Hướng dẫn giải r  có vectơ phương u   2;1;1 r    có vectơ pháp tuyến n   3; 4;5   r r · Ta có: sin ,     cos n, u     3.2  4.1  5.1 32  42  52 22  12  12   · Suy ,     60 Bài tập Trang 87 Bài tập 1: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng  :  P : x  y  2z   x  y 1 z    mặt phẳng 1 Biết  cắt mặt phẳng  P  A, M thuộc  cho AM  Tính khoảng cách từ M tới mặt phẳng  P  A B C D Dạng 4: Góc hai đường thẳng Phương pháp Cho hai đường thẳng:  1  :  2  : Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz, cho hai đường x  x0 y  y0 z  z0   a b c thẳng x  x0 y  y0 z  z0   a b c Gọi  góc hai đường thẳng  1   2  Ta có: cos   1 : x 1 y  z    ; 2 2 : x  y 1 z    1 4 Tính góc hai đường thẳng aa  bb  cc a  b  c a   b  c  Hướng dẫn giải ur Vectơ phương 1 u1   2;1;  uu r Vectơ phương  u2   1;1; 4  ur uu r u1.u2 ur uu r cos  1 ,    cos u1 , u2  ur uu r u1 u2   2   1.1   4      2   12  22 12  12   4   3.3 Vậy góc hai đường thẳng cho 45 Bài tập Bài tập Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng  P  : x  z.sin   cos   0;  Q  : y  z.cos   sin   0; A 30 B 45  d giao tuyến hai mặt phẳng      0;  Góc  d  trục Oz là:  2 C 60 D 90 Trang 88 Bài tập Trong không gian Oxyz, d đường thẳng qua điểm A  1; 1;  , song song với mặt phẳng  P  : x  y  z   , đồng thời tạo với đường thẳng  : x 1 y 1 z   góc lớn 2 Phương trình đường thẳng d A x 1 y 1 z    4 B x 1 y 1 z    5 C x 1 y 1 z    3 D x 1 y 1 z    Bài tập Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : x  y 1 z    mặt phẳng 4  P  : x  y  z   Đường thẳng  qua E  2;1; 2  , song song với  P  r phương u   m; n;1 , đồng thời tạo với d góc bé Tính T  m  n A T  5 B T  C T  có vectơ D T  4 Dạng 5: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Phương pháp Ví dụ: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x 1 y  z    2 Tính khoảng cách từ M  2;1; 1 tới d Cho đường thẳng    qua điểm Hướng dẫn giải uuuu r r Ta có A  1; 2; 2   d  AM  3; 1;1 , u  1; 2; 2  M  x0 ; y0 ; z0  có vectơ phương r u   a; b; c  Khi khoảng cách từ điểm M Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là: uuuu r r  AM ; u  đến    tính cơng thức:   d  M;d    r uuuuuur r u  M M1 ; u    d  M1,    r u Bài tập Bài tập Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A  1;1; 1 cho trước, nằm mặt phẳng  P  : x  y  z   cách điểm M  0; 2;1 khoảng lớn A x 1 y 1 z 1   3 1 B x 1 y 1 z 1   C x 1 y 1 z 1   1 D x 1 y 1 z 1   1 1 Trang 89 Bài tập Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A  2;1; 2  , B  5;1;1 mặt cầu  S  : x  y  z  y  12 z   Xét đường thẳng d qua A tiếp xúc với  S  cho khoảng cách từ B đến d nhỏ Phương trình đường thẳng d x   A  y   t  z  2  2t  x   B  y   4t  z  2  t   x   2t  C  y   2t  z  2  t  x   t  D  y   4t  z  2  t  Dạng 6: Khoảng cách hai đường thẳng chéo Phương pháp Trong khơng gian Oxyz, cho hai đường Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz, tính khoảng cách thẳng chéo nhau: 1 có vectơ phương hai đường thẳng r u   a; b; c  qua M  x0 ; y0 ; z0  ;  có ur vectơ phương u    a; b; c  qua  x   4t x 1 y  z  d1 :   d :  y  1  2t , t  ¡ 1  z   2t  Hướng dẫn giải M 0  x0 ; y0 ; z0  Đường thẳng d1 qua điểm M  1; 2;0  có ur vectơ phương u1   2; 1;1 Đường thẳng d qua điểm N  1; 1;  có uu r vectơ phương u2   4; 2;  Khi khoảng cách 1  tính ur uu r Do u1 phương với u2 M  d nên r ur uuuuuur d1 //d u, u  M M 0   d  ,   công thức   r ur ur uuuu r u , u   u1 , MN      Suy d  d1 ; d   d  N ; d1   ur ur uu r u Nếu  // ( u u phương 2 M   ) d  1 ,    d  M ,   uuuu r r uuuu r Ta có MN   0;1;  , u , MN    3; 4;  ur uuuu r 2 u1 , MN   3   4   22 174     ur Suy u1 22   1  Vậy d  d1 ; d   174 Bài tập Trang 90 Bài tập Cho phương trình mặt phẳng  P  : x  y  z   , đường thẳng d  : x 1 y z   điểm A  0; 2;1 Viết phương trình đường thẳng d qua A , nằm  P  cho khoảng cách d d  đạt giá trị lớn A x y  z 1   9 B x y  z 1   C x y  z 1   7 D x y  z 1   7 9 Dạng 7: Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Phương pháp r Trong không gian Oxyz, xét đường thẳng    có vectơ phương a   a1 ; a2 ; a3  qua r M  x0 ; y0 ; z0  mặt phẳng    : Ax  By  Cz  D  có vectơ pháp tuyến n   A; B; C  rr    cắt     a.n   Aa1  Ba2  Ca3  rr  a.n   Aa1  Ba2  Ca3      //       Ax0  By0  Cz0  D   M   P  rr  Aa1  Ba2  Ca3  a.n            Ax0  By0  Cz0  D   M   P  r r         a n phương  a1 : a2 : a3  A : B : C Ta biện luận vị trí tương đối dựa vào số nghiệm phương trình đường thẳng    mặt phẳng    Bài tập Bài tập Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x 1 y z    mặt 3 1 phẳng  P  : x  y  z   Mệnh đề đúng? A d cắt không vng góc với  P  B d song song với  P  C d vng góc với  P  D d nằm  P  Trang 91 Bài tập Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng có phương trình d: x  y 1 z 1   mặt phẳng  P  : x  my   m  1 z   với m tham số thực Tìm 1 1 m cho đường thẳng d song song với mặt phẳng  P  A m  B m  1  m  1 C  m  Bài tập Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : D m  x 1 y  z    mặt phẳng    : x  y  z   , mệnh đề đúng? A d //    B d     C d cắt    khơng vng góc với    D d     Bài tập Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng  P  : x  y  z   0,  Q  : x  y  z   hai đường thẳng 1 : x y 1 z  x y  z 1   , 2 :   2 1 Đường thẳng  song song với hai mặt phẳng  P  ,  Q  cắt 1 ,  tương ứng H , K Độ dài đoạn HK A 11 B C D 11 Bài tập Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P  :  m  m   x   m2  1 y   m   z  m  m   chứa đường thẳng  cố định m thay đổi Khoảng cách từ gốc tọa độ đến  là? A B C D Dạng 8: Vị trí tương đối hai đường thẳng Phương pháp Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : x  x0 y  y0 z  z0   qua M  x0 ; y0 ; z0  a b c ur x  x0 y  y0 z  z0   có vectơ phương u1   a; b; c  d : qua M  x0 ; y0 ; z0  có vectơ a b c uu r phương u2   a; b; c  Để xét vị trí tương đối d1 d , ta sử dụng phương pháp sau: Trang 92 +) +) +) +) ur uu r  a1 a2 a3  u1 / / u2   d1 trùng d     b1 b2 b3  M  d M  d  ur uu r r ur uu r  a1 a2 a3  u1 , u2    u1 / / u2     d1 //d   ur uuuuuur   b1 b2 b3 r   M  d  u1 , M 1M   M  d  ur uu r r  u1 , u2     d1 cắt d   ur uu r uuuuuur  u1 , u2  M 1M  ur uu r uuuuuur d1 chéo d  u1 , u2  M 1M  Bài tập Bài tập Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : x 1 y 1 z  x3 y9 z 2     d : m  m  0 Tập hợp giá trị m thỏa mãn d1 //d có số phần tử là: A B C D Bài tập Trong không gian tọa độ Oxyz, xét vị trí tương đối hai đường thẳng 1 : x 1 y 1 z x 3 y 3 z    , 2 :   2 1 2 A 1 song song với  B 1 chéo với  C 1 cắt  D 1 trùng với  Dạng 9: Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu Phương pháp  x  x0  a1t  Cho đường thẳng d :  y  y0  a2t   z  z0  a3t  1  2  3 Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S  : x  y   z    25 đường 2 mặt cầu  S  :  x  a    y  b    z  c   R có tâm I  a; b; c  , bán kính R  x  2  2t  thẳng d có phương trình  y   3t  z  3  2t  Chứng minh d cắt  S  hai điểm phân biệt Hướng dẫn giải Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm I Mặt cầu  S  có tâm I  0;0; 2  bán kính R  mặt cầu  S  đến đường thẳng d Trang 93 uuuu rr  IM a    h  d  I,d   r a Đường thẳng d qua M  2; 2; 3 có vectơ r phương u   2;3;  uuur r  IM , u     Ta có h  d  I , d   r u Bước 2: So sánh d  I , d  với bán kính R mặt cầu: Vì h  R nên d cắt mặt cầu  S hai điểm phân biệt  Nếu d  I , d   R d khơng cắt  S   Nếu d  I , d   R d tiếp xúc  S   Nếu d  I , d   R d cắt  S  hai điểm phân biệt M , N MN vng góc với đường kính (bán kính) mặt cầu  S  Phương pháp đại số Thế (1), (2), (3) vào phương trình  S  Ví dụ 2: Trong khơng gian Oxyz, mặt cầu  S  : x2  y   z  2  17 cắt trục Oz hai rút gọn đưa phương trình bậc hai theo t  * điểm A, B Tìm độ dài đoạn AB Hướng dẫn giải  Nếu phương trình (*) vơ nghiệm d Gọi M giao điểm  S  với trục Oz không cắt  S  Ta có M  Oz nên M  0;0; t   Nếu phương trình (*) có nghiệm Mà M   S  nên 02  02   t    17 d tiếp xúc  S   Nếu phương trình (*) có hai nghiệm t  2  17   t    17  t   17   t  2  17 d cắt  S  hai điểm phân biệt M , N Suy tọa độ giao điểm A 0;0; 2  17 , Chú ý: Để tìm tọa độ M , N ta thay giá trị t vào phương trình đường thẳng d Bài tập     B 0;0; 2  17  AB  17 Bài tập Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A  0;0; 2  đường thẳng  có phương trình x2 y2 z3   Phương trình mặt cầu tâm A , cắt  hai điểm B C cho BC  A  x     y  3   z  1  16 B x  y   z    25 C  x    y  z  25 D x  y   z    16 2 2 2 Trang 94 Bài tập Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S  :  x  1   y  1   z    2 điểm M  1;3; 1 Biết tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ M tới mặt cầu cho thuộc đường trịn  C  có tâm J  a; b; c  Giá trị 2a  b  c A 134 25 B 116 25 C 84 25 D Bài tập Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  x  1   y     z  3  2  S 62 25 có phương trình 14 x4 y4 z4   đường thẳng d có phương trình Gọi 3 2 A  x0 ; y0 ; z0  , x0  điểm nằm đường thẳng d cho từ A kẻ ba tiếp tuyến đến mặt cầu  S  có tiếp điểm B, C , D cho ABCD tứ diện Giá trị biểu thức P  x0  y0  z0 A B 16 C 12 D Bài tập Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm P, Q, R di động ba trục tọa độ Ox, Oy , Oz (không trùng với gốc tọa độ O ) cho  PQR  1 1    Biết mặt phẳng 2 OP OQ OR tiếp xúc với mặt cầu  S  cố định Đường thẳng  d  thay đổi qua 1  M  ; ;0   cắt  S  hai điểm A, B phân biệt Diện tích lớn AOB 2  A 15 B C 17 D Dạng 10: Một số toán cực trị Bài tập 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm M  2; 2;1 , A  1; 2; 3 đường thẳng d : r x 1 y  z   Tìm vectơ phương u đường thẳng  qua M , 2 1 vng góc với đường thẳng d đồng thời cách điểm A khoảng bé r r r A u   2; 2; 1 B u   1;7; 1 C u   1;0;  r D u   3; 4; 4  Trang 95 Bài tập 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu  S có phương trình x  y  z  x  y  z   điểm A  5;3; 2  Một đường thẳng d thay đổi qua A cắt mặt cầu hai điểm phân biệt M , N Tính giá trị nhỏ biểu thức S  AM  AN A S  30 B S  20 C S  34  D S  34  Bài tập 3: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A  9;6;11 , B  5;7;  điểm M di động mặt cầu  S  :  x  1   y     z  3  36 2 Giá trị nhỏ AM  2MB A 105 B 26 C 29 D 102 Trang 96 ... , N Để độ dài MN lớn phương trình đường thẳng  A x ? ?3 y ? ?3 z ? ?3    x  ? ?3  5t  C  y   z  ? ?3  8t  B x ? ?3 y ? ?3 z ? ?3   16 11 10 D x ? ?3 y ? ?3 z ? ?3   1 Bài tập Trong khơng gian... hai đường thẳng Góc đường thẳng mặt phẳng cắt , không phương Đường thẳng mặt cầu khơng cắt tiếp xúc cắt Góc Trang 82  B CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng Phương pháp r  Đường. .. vectơ phương r u   Tham số: Phương Chính tắc: Nếu trình đường thẳng ĐƯỜN G THẲN G Hai đường thẳng ; cắt chéo Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Khoảng cách đường thẳng chéo Khoảng cách Đường thẳng