Ứng dụng phương trình đường thẳng trong giải toán hình học tam giác, tứ giác

Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau, nếu chúng cắt nhau thì tìm toạ.

Góc giữa hai đường thẳng

Các bài tập nâng cao về phương trình đường thẳng

Cho điểm M(4 ;3). Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M sao cho nó tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 3

Viết phương trình đường thẳng đi qua M và cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho tam giác OAB là tam giác vuông cân.

Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M(4;1) và cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại A và B theo các trường hợp sau

Đường trung tuyến của tam giác

* Một số nhận xét: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM ta phải nghĩ đến các tính chất sau và sử dụng công thức trung điểm, công thức tính trọng tâm. + Đường trung tuyến AM chia tam giác thành hai phần có diện tích bằng nhau. Và viết phương trình các cạnh AB, AC, BC khi đã biết tọa độ ba đỉnh của tam giác.

Cho tam giác ABC, biết toạ độ một đỉnh và phương trình hai đường trung tuyến.

Đường trung cao của tam giác – trực tâm

+ Mặt khác M là trung điểm của BC nên. Phương trình cạnh AB:. Sau đó ta làm tượng tự cách trên. +) Nếu giả thiết cho 2 đường cao thì 2 đường cao cắt nhau tại điểm H thì H gọi là trực tâm của tam giác. + Vậy khi cho đường cao ta sẽ sử dụng tính chất vuông góc để viết phương trình đường thẳng các cạnh và sử dụng các đường thẳng đã biết để tìm tọa độ điểm. Cho tam giác ABC, biết toạ độ một đỉnh và phương trình hai đường cao.

+ Tọa độ của đỉnh A là giao của hai đường trung tuyến AM và đường cao AH là.

Đường phân giác trong của tam giác – tâm đường tròn nội tiếp

Đường trung trực – Tâm đường tròn ngoại tiếp Định nghĩa: Đường trung trực của

+ Đường thẳng a là đường trung trực cạnh BC thì B, C đối xứng với nhau qua đt a + O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì OA OB OC= = , A' là trung điểm cạnh BC⇒OA'⊥BC. Viết phương trình cạnh BC biết diện tích tam giác ABC gấp 4 lần diện tích tam giác IBC. OMuuuur=2uuurAH + Gọi H’ là giao điểm của AH với đường tròn O thì H’ đối xứng với H qua đt BC.

(Việc chứng minh các hệ thức trên dành cho bạn đọc). Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết rằng đường thẳng BC có phương trình là. Vì tam giác IBC cân nên K là trung điểm BC. Kẻ đường kính AA ', ta chứng minh được BHCA’ là hình bình hành ⇒M là trung điểm của HA’. là vecto pháp tuyến của BC nên. Xác định tọa độ đỉnh C, biết C có hoành độ dương. Biết đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đi qua hai điểm. Tính diện tích tam giác ABC. +) Giả sử đường thẳng AH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại H'≠A.

Đường trung bình của tam giác

Tìm tọa độ trực tâm và tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác OAB. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB tương ứng tại các điểm D, E, F.

Một số bài toán giải tam giác khi biết các tính chất của tam giác

Vì tam giác ABC cân tại A nên đường cao AH ( H∈BC) là trung trực của EF. Phương trình của đường thẳng EF:. Phương trình đường trung trực của EF là:. Tọa độ G là nghiệm của hệ. +) Do G là trọng tâm tam giác ABC nên. Giải tam giác đều:. Định nghĩa: Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau. Một số tính chất đơn giản:. + Các đường trong tam giác đều ABC đều đồng quy tại một điểm O gọi là tâm của tam giác. + Tam giác ABC đều cạnh a có diện tích. Tìm tọa độ các đỉnh B, C của tam giác. Giải tam giác vuông:. Định nghĩa: Tam giác vuông là tam giác có một góc. Một số tính chất đơn giản:. Do G là trọng tâm tam giác ABC nên uuurAG=2GMuuuur. Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết điểm A có hoành độ âm. Xác định tọa độ các điểm B, C biêt diện tích tam giác ABC bằng 18. Tìm tọa độ các đỉnh B và C biết điểm nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho. Tìm tọa độ đỉnh C. M thuộc đoạn thẳng BC. Tìm tọa độ điểm D sao cho DB DCuuur uuur. Tìm tọa độ các cạnh của tam giác ABC. Gọi D là trung điểm của AB.  lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, trọng tâm tam giác ADC. Tìm tọa độ các điểm A, B, C biết A có tung độ dương. Tìm tọa độ điểm A. Gọi N là trung điểm của AB. Gọi E và F lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh B, C của tam giác ABC. Tìm tọa độ của đỉnh A biết. Viết phương trình đường thẳng AB, BC. Lập phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và tạo với d d1, 2 một tam giác cân có đáy thuộc đường thẳng đó và tính diện tích tam giác sinh ra. Viết phương trình đường cao kẻ từ đỉnh B của tam giác ABC. Lập phương trình đường thẳng d cắt d1, d2 lần lượt tại B, C sao cho tam giác ABC đều có diện tích bằng 3 3. Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC theo m. Tìm tọa độ các điểm B và C lần lượt thuộc d1 và d2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A. Tìm tọa độ đỉnh C. Trên trục Ox lấy điểm B có hoành độ không âm, trên trục Oy lấy điểm C có tung độ không âm sao cho tam giác ABC vuông tại A. Tìm các điểm B, C sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất. luôn cắt nhau. Tìm m sao cho PA+PB lớn nhất. 21) Cho tam giác ABC vuông tại A, các đỉnh A, B thuộc trục hoành và diện tích tam giác ABC bằng 6.

Nội dung phương pháp Định nghĩa

Bài tập mẫu

Đề thi đại học khối B năm 2014)

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có điểm A( )1;0 và. Viết phương trình các cạnh của hình bình hành, biết diện tích hình bình hành bằng 4 và điểm C có hoành độ dương. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 3, hai đỉnh.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4, biết điểm. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có ABD là tam giácvuông tại D. Trong mặt phẳng toạđộ Oxy, cho hình bình hành ABCD có đỉnhB( )1;5 gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BC.

Nhận xét : Thực chất bài toán quy về giải tam giác ABC khi biết toạ độ đỉnh B, đường cao AH và phân giác trong góc C.

Nội dung phương pháp Các dạng hình thang

Bài tập mẫu Bài 1

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, Cho hình thang cân ABCD với hai đáy AD, BC. Đường thẳng AD đi qua M và nhận MBuuuur' làm vectơ chỉ phương nên có phương trình 3 1 0. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thang ABCD vuông tại A và D có đáy lớn là CD, đường thẳng AD có phương trình 3x y− =0, đường thẳng BD có phương trình.

Tìm toạ độ đỉnh B, biết B có hoành độ dương và diện tích hình thang bằng 24. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thang cân ABCD có đáy lớn CD, biết điểm. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD, biết điểm.

Trong mặt phẳng tạo độ Oxy, cho hình thang cân ABCD,(AB//CD,CD>AB) có diện tích bằng45. Phương trình đường thẳng chứa cạnh CD là:x−3y− =3 0.Hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại điểm I( )2;3 .Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC biết C có hoành độ dương. Chú ý với điều kiện B,D nằm khác phía với đường thẳng d ta chỉ nhân hai điểm.

Lý thuyết cần ghi nhớ

Bài tập mẫu Bài 1

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I(3; 3), độ dài đường chéo. Phân tích lời giải: Để ý tính chất đường chéo là phân giác trong của góc tạo bởi hai cạnh bên nên ta vận dụng tính chất điểm đối xứng qua đường thẳng. Đề bài yêu cầu tìm điểm C do vậy nếu tìm được A ta sẽ tìm được C dựa vào điều kiện AC =2 2.

Viết phương trình cạnh AB của hình thoi ABCD biết điểm B có hoành độ dương.