Đặt vấn đề Dạy học giải toán có tầm quan đặc biệt từ lâu đà trở thành trung tâm phương pháp truyền thụ kiến thức cho học sinh Đối với học sinh việc giải toán xem hình thức chủ yếu việc học toán Việc giải toán hình thức tốt để củng cố, đào sâu hệ thống hoá kiến thức rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo, hình thức tốt để dẫn dắt học sinh đến kiến thức Và phương pháp tốt để giáo viên kiểm tra học sinh học sinh tự kiểm tra lực, mức độ tiếp thu, vận dụng kiến thức Việc giải toán có tác dụng gây hứng thú học tập cho học sinh, khả tư nâng cao kiến thức nhiều mặt Qua thực tế giảng dạy thấy rằng: giải toán phương trình quy phương trình bậc hai em thường mắc phải sai lầm: đặt ẩn phụ, chuyển dạng phương trình Từ đó, đưa Một số phương pháp sử dụng phương trình bậc hai để giải số tập dạng khác Nhằm giúp em có định hướng phần gây hứng thú cho học sinh gặp dạng toán Trong chương trình phổ thông thường gặp toán đưa dạng phương trình bậc hai như: - Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối - Phương trình vô tỷ - Hệ phương trình - Phương trình hữu tỷ - Phương trình bậc ba - Phương trình bậc bốn Trong sáng kiến đưa số ví dụ có tính chất minh hoạ nhằm thấy hiệu quả, vai trò phương trình bậc giải toán DeThiMau.vn Quá trình thực I- Sử dụng phương trình bậc hai giải Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối: Cách 1: Sử dụng phép biến đổi tương đương, bao gåm: A B A B A B A B AB Víi A B A B Hc A A B A B C¸ch 2: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 1: Giải phương trình: x x x x (1) Giải Phương trình (1) tương đương với x 2x x 2x 2 x 1 2 x x x x x 1 x x 1, x Vậy phương trình có ba nghiệm phân biệt: x = x = Ví dụ : Giải phương trình x 3x x Lưu ý: Học sinh gặp khó khăn khử dấu giá trị tuyệt đối Giải Ta khử dấu giá trị tut ®èi: + NÕu x2- 3x + = x - x2- 3x + 0(*) Lóc ®ã: x2 - 3x + = x - x2- 4x + = (x-2)2= x = tho¶ m·n (*) + NÕu -x2+ 3x - = x-2 x2 - 3x + 0(**) Lóc ®ã: -x2+ 3x - = x - x2 - 2x = x (x- 2) = x1= 0, x2 = không thoả mÃn (**) Vậy phương trình có nghiệm nhÊt x = DeThiMau.vn VÝ dô 3: Giải phương trình: x4- 4x2 + x = -8(1) Gi¶i (1) x4- 4x2 + + + x = ( x4- 4x2+ 4) + x + = (x2-2)2 + x + = 0(2) Đặt t = x Lóc ®ã (2) t2 + 5t + = Phương trình có d¹ng: a - b + c = - + = t1 = -1 (Lo¹i) t2 = c 4 4 (Lo¹i) a VËy phương trình vô nghiệm Ví dụ 4: Giải phương trình: (x-1)2 + x + = Giải Đặt t = x , điều kiện t Khi phương trình biến đổi vỊ d¹ng: t 1 t2 + 4t + = ta cã t = -1 (lo¹i ) cßn t = (Tháa m·n) t x x Khi ®ã x = x 3 x 2 VËy ph¬ng trình có nghiệm x = x = -2 Một số toán áp dụng: Giải phương tr×nh: a> x 3x x b> x x x c> x x x d> x x x 3x DeThiMau.vn II- sử dụng Phương trình bậc hai giải phương trình vô tỷ - Phương pháp thường dùng biến phương trình đà cho thành phương trình tương đương cách luỹ thừa hai vế để giảm bớt thức f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) ( g ( x)) - Phương pháp đặt ẩn phụ Học sinh hay mắc phải việc lấy điều kiện để hạn chế nghiệm không thích hợp Ví dụ 1: Giải phương trình: x x 2x Gi¶i x §iỊu kiƯn: 1 x 4 x 1 x Phương trình viết lại dạng: x x x (1 x)(1 x) x x 2 x x x x (TM) (1 x)(1 x) (2 x 1) 2 x x x ( L) Vậy phương trình có nghiệm x = Ví dụ : Giải phương trình: x 3x x Giải Điều kiện để phương trình có nghĩa là: x 3 x Hay lµ x x Với điều kiện phương trình đà cho tương đương với phương trình: x 3x x ( x )2=( x x )2 x + = ( x 1)(3 x 2) (x + 2)2 = (2 ( x 1)(3 x 2) )2 DeThiMau.vn (x + 2)2 = 4(x- 1)( 3x - 2) 11x2 - 24x + = ' 144 - 44 = 100 x1= (TM§K) x2 = (Loại) 11 Vậy phương trình đà cho có nghiệm là: x = Ví dụ 3: Giải phương tr×nh: ( x 2) x (*) Giải: Đặt t = x điều kiện t x (*) t2- 5t + = Vì t1 + t2 = t1.t2 = t1 = 2, t2 = Khi t = x = x -2 = x = (NhËn) Khi t = x = x - = x = 11(NhËn) VËy nghiƯm ph¬ng trình là: x = 6, x = 11 Ví dụ 4: Giải phương trình: 1 x x2 Giải Điều kiện: x 0, - x (1) Đặt x y (2) th× - x2 = y2 Khi ®ã ta cã: x2 + y2 = 1 x y Đặt S = x + y, P = xy, điều kiện trở thành S2 - 2P = S = 2P Dễ dàng tìm P = 1, S = vµ P = - , S = -1 Víi P = 1, S = th× x, y lµ nghiƯm cđa X2 - 2X + = Ta X = 1, x = 1, y = tháa m·n (1) vµ (2) Víi P = - , S = -1 x, y nghiệm 2X2 + 2X -1 = Ta X = 3 1 Do y > nªn x = ,y= 2 DeThiMau.vn VËy nghiƯm cđa phương trình là: x = 1; x = Một số tập áp dụng: Giải phương tr×nh: a> 2x - x2 + x 12 x =0 b> (7 x 3) (3 x) 3 = c> x x 2 x x III- sử dụng phương trình bậc hai giải Hệ phương trình Để giải hệ phương trình ta phải dùng phương pháp sau thay vào giải phương trình bậc hai Cách khác đặt ẩn phụ Ví dụ 1: Cho hệ phương trình: x y 6(1) 2 x y a (2) Với giá trị a thì: a> Hệ có nghiệm b> Hệ có hai nghiệm phân biệt Giải Từ (1) ta có x = - y Thay giá trị x vào phương trình (2) ta có: 2y2- 12y + 36 - a = 0(*) Víi sè nghiƯm cđa hƯ phương trình đà cho tương ứng với số nghiệm phương trình (*) Vậy: a>Hệ đà cho có nghiệm nhÊt (*) cã nghiÖm nhÊt Hay ' 36 2(36 a) 2a 36 = a =18 b' Nghiệm phương trình (*) lµ: y1= y2= 3 a y x VËy nghiƯm cđa hƯ ph¬ng trình là: b> Hệ đà cho có hai nghiệm ph©n biƯt (*) cã hai nghiƯm ph©n biƯt Hay ' 36 2(36 a) 2a 36 > a > 18 VËy: a = 18 th× hƯ cã nghiƯm nhÊt Khi a > 18 hệ có hai nghiệm phân biệt DeThiMau.vn x y 27(1) Gi¶i hƯ (I) 3 VÝ dô 2: x y 4(2) Giải Lập phương hai vế phương trình (2) ta cã: ( x y )3= 43 x + y + 3 xy ( x y ) = 64 x + y + 3 27 = 64 x + y = 28 x y 28(3) x y 27(4) Ta cã hÖ (II) Tõ (3) ta cã y = 28 - x thay vµo (4) ta x( 28 - x ) = 27 x2- 28x + 27 = Cã d¹ng a + b + c = - 28 + 27 = x1=1; x2 = 27 x1 x 27 vµ y1 27 y2 VËy nghiƯm cđa hƯ phương trình là: Ví dụ 3: x xy 54 Giải hệ phương trình: xy y 115 Giải Đặt y= tx thay vào hệ phương trình ta có: x (1 3t ) 54(1) x (t 4t ) 115(2) Tõ (1) ta có x2 = 54 thay vào phương trình (2) ta 3t 216t2 - 291t - 115 = = (-291)2 - 4.216.(- 115) = 184041 > 429 t1= 23 ; t2 = 72 VËy nghiƯm cđa hệ phương trình là: * t1= x ; y1 x 3 y 5 x3 36 x 36 23 * t2= 23 23 ; 72 y y DeThiMau.vn VÝ dô 4: x y Giải hệ phương trình: 4 x y 82 Giải Để ý x4 + y4 = [(x + y )2 - 2xy]2 - 2x2y2 S Đặt S = x + y, P = xy ta cã hÖ: 2 ( S P) P 82 Giải hệ ta tìm S = 2, P = -3 Hc S = 2, P =11 NÕu S = 2, P = -3 x y lµ nghiƯm cđa: X2 - 2X - = Ta cã: ' > x x 1 hc y y Ta NÕu S = 2, P = 11 ®ã x, y lµ nghiƯm cđa: X2 - 2X + 11 = Ta cã: ' 11 10 < v« nghiƯm x x 1 hc y 1 y Vậy phương trình có nghiệm là: Một số tập áp dụng: x y Giải hệ phương trình: a> 2 y x 5( x y ) xy 19 3 xy x y 35 b> IV- sö dụng phương trình bậc hai giải Phương trinh hữu tỷ Trong cách giải phần học sinh hay nhầm xét lấy điều kiện khó khăn việc tìm mẫu thức chung Khi giải cần phải tập cho học sinh thói quen việc lấy điều kiện xét điều kiện Muốn giải phương trình ta cần thực hiện: *Đặt điều kiện để mẫu số khác không *Quy đồng mẫu số, trục mẫu rút gọn Đặt ẩn phụ giải phương trình (giải phương trình bậc hai) Ví dụ 1: Giải phương trình: x 2x 2 2x x DeThiMau.vn Giải ĐK: x - vµ x x 2x 2 2x x (x + 4)2 + ( 2x - )2 = 2( 2x - )( x + 4) x2 - 14x + 49 = ' = 49 - 49 = x1 = x2 = (TMĐK) Vậy nghiệm phương trình là: x = Giải phương trình: Ví dụ 2: 1 x( x 2) ( x 1) 12 Giải ĐK: x 0; x -1; x -2 V× (x + 1)2 = x2 + 2x + nên ta đặt x( x + 2) = y phương trình trở thành 1 Với điều kiện y y + khác Khử mẫu số y y 12 ta cã: 12(y + - y) = y( y + 1) y2 + y - 12 = 0(*) = + 4.12 = 49 Phương trình (*) có nghiệm: y1= 3; y2= -4 +/ y = x2 + 2x = x2 + 2x - = (1) Phương trình (1) có nghiệm: x1= 1; x2= -3 +/ y = -4 x2 + 2x = -4 x2 + 2x + = < nên phương trình vô nghiệm Vậy phương trình ®· cho cã hai nghiÖm: x1= 1; x2 = -3 x2 5x Giải phương tr×nh: (*) 4 x x 4 VÝ dô 3: Lu ý HS: Khi giải cần y đổi dấu để đưa x2- Giải Điều kiện: x vµ x -2 x2 5x ( x 6) (5 x) (*) = x2 x 4 4 x (x2 + 6)2 - ( 5x )2 = DeThiMau.vn (x2 + 5x + 6)( x2- 5x + 6) = x x 0(1) x x 0(2) Gi¶i (1) ta cã: x1= -2 (Loại) x2= -3 (Nhận) Giải (2) ta cã: x3= (NhËn) x4= (Loại) Vậy phương trình có nghiệm là: x1= -3; x2= x2 1 x 5 Gi¶i phương trình: x x Ví dụ 4: Giải Cách 1> Điều kiện: x x2 x 5 x x 1 2( x 1) x x( x 1) x( x 1) x( x 1) 2(x2+1)2+2x2= -5x(x2+1) 2x4+4x2+2+2x2+5x3+5x = 2x2(x2+2x+1)+x(x2+2x+1)+2(x2+2x+1) = ( x2+2x+1)(2x2+x+2) = x 2x 2 x x Phương trình: x2+ 2x + (x+1)2 = Phương trình có nghiệm x = -1(TMĐK) Phương trình: 2x2+x + = cã = 1- 16 = -15 < nªn phương trình vô nghiệm Vậy phương trình đà cho có nghiệm x = -1 Cách 2: Ta đặt x2 1 x y th× råi giải y sau giải x để tìm nghiệm x x y */ Dạng phương trình chứa ẩn mẫu phương trình có chứa tham số Ví dụ: Giải phương trình: x x2 (*) m( x 1) x m( x 1)( x 2) Lu ý HS gi¶i phương trình cân phải lấy nghiệm tham số m DeThiMau.vn 10 Giải m Điều kiện: x x Phương trình (*) x( x 2) 2m( x 1) m2 m( x 1)( x 2) m( x 1)( x 2) x2 + 2x - 2mx - 2m = - m2 x2 + 2( - m)x + m2 - 2m -3 = (1) NghiƯm cđa phong tr×nh (*) nghiệm phưong trình (1) thoả mÃn điều kiện Phương trình (1) có nghiệm là: x1= m + 1; x2= m - §Ĩ (*) cã nghiệm ta phải loại giá trị m để x -1; x -2 vµ m Ta thÊy víi x1= m + 1= -2 m = -3 ®ã x2 = -6 x1= m + = -1 m = -2 ®ã x2 = -5 x2= m - = -2 m = ®ã x1 = x2= m - = -1 m = ®ã x1 = VËy víi m = -3 th× x = -6 nghiệm m = -2 x = -5 nghiệm m = x = nghiệm m = x = nghiệm m = phương trình vô nghiệm Với m 0; m -3; m -2; m 2; m phương trình đà cho có nghiệm lµ: x1= m + 1; x2= m - Mét số tập áp dụng: Giải phương trình: a> x2 + 4x 5 ( x 2) b> x 2x 1 0 x 2x c> 9( x x 7( x 1) 0 x 1 x2 x V- sử dụng Phương trình bậc hai giải phương trình bậc ba 1> Phương trình có d¹ng: ax3 + bx2 + cx + d = có hai tính chất sau để áp dụng: 1- Nếu a + b + c + d = th× phương trình có nghiệm x = DeThiMau.vn 11 2- NÕu a - b + c - d = phương trình có nghiệm x = -1 3- Nếu a,b,c,d nguyên phương trình có nghiệm hữu tỷ p p, q theo thứ tự q íc cđa d vµ a - NÕu ac2 = bd2 (a,d 0) phương trình có nghiệm x= c b Đoán nhận nghiệm ta phân tích thừa số Ví dụ 1: Giải phương trình: x3- 3x2 + 4x - = (**) Gi¶i Ta thÊy a + b + c + d = - + - = phương trình có nghiệm x = Ph¬ng trinh (**) ( x- 1)( x2 - 2x + ) = x x 2x Víi x-1 = x = Víi x2 - 2x +2 = ta cã ' Phương trình vô nghiệm Vậy phương trình (**) có nghiệm x = Ví dụ 2: Giải phương trình: 2x3 + 4x2 +3x + = (1) Giải Ta thấy có dạng: a - b + c - d = - + - = Nên phương trình có nghiệm là: x= -1 Lúc (1) ( x + ) ( 2x2 + 2x + ) = x 2 x 2 x * Víi x + = x = - * Víi 2x2 + 2x + = ta cã ' 1 Phương trình vô nghiệm Vậy phương trình (1) có nghiệm là: x = -1 Ví dụ 3: Giải phương trình: x3 + x2 -x - 2 = DeThiMau.vn 12 Gi¶i NhËn xÐt r»ng: ac3 = 1(- )3 = -2 = bd3 Do ®ã phương trình có nghiệm x = c = b Biến đổi phương trình dạng: ( x - ) [ x2 + ( +1)x + 2] = x x 2 x ( 1) x Vậy phương trình đà cho có nghiệm là: x= 2> Phương trình dạng chứa tham số Có thể coi tham số ẩn để thực việc phân tích đa thức Ví dụ: Xác định m để phương trình: m2x3 - 3mx2 + (m2 + 2)x - m = (1) Cã ba nghiÖm phân biệt Giải Viết lại phương trình dạng: (x3 + x)m2 - (3x2 + 1)m + 2x = Coi m lµ Èn vµ x lµ tham sè ta phương trình bậc hai theo m Giải ta được: m = 2x m = x x Do phương trình chuyển d¹ng: mx (mx - 1) ( mx2 - 2x + m ) = f ( x) mx x m Phương trình có ba nghiệm phân biệt Phương trình f(x) = có hai nghiệm phân biệt khác m a m m ' 1 m m 1 1 f( ) m m m Vậy với m (1,1) \ phương trình có ba nghiệm phân biệt Một số toán áp dụng: 1> Giải phương trình: a> 4x3 - 9x2 + 6x - = b> 2x3 + x2 - 5x + = c> 2x3 + x + = d> 2x3 - 9x + = DeThiMau.vn 13 2> Cho phương trình: mx3 + (3m - 4) x2 + ( 3m - 7)x + m - = a> Giải phương trình với m = b> Xác định m để phương trình có nghiệm phân biệt không dương VI- sử dụng Phương trình bậc hai giải phương trình bậc bốn 1> Phương trình dạng trùng phương Để giải phương trình: ax4 + bx2 + c = (1) ta thùc hiÖn bước sau Bước 1: Đặt x2 = t với ®iỊu kiƯn t Bíc 2: Khi ®ã ph¬ng trình biến đổi dạng: at2 + bt + c = (2) Bước 3: Giải (2) để tìm nghiệm t, từ suy nghiệm x cho phương trình Ví dụ : Giải phương trình: x4 - 3x2 - = (*) Giải Đặt t = x2, điều kiện t Khi phương trình (*) biến đổi dạng: t 1( L) t2 - t - = t Víi t = x2 = x1 = , x2 = -2 Vậy phương trình cã nghiƯm lµ: x1 = , x2 = -2 2> Phương trình dạng (x + a)( x + b)( x + c)( x + d) = m Víi a + b = c + d hc a + c = b + d hc a + d = b + c Ta thùc hiƯn c¸c bíc: Bíc 1: ViÕt lại phương trình dạng: [x2 + (a+b)x + ab] [x2 + ( c + d )x +cd ] = m (1) Bước 2: Đặt t = x2 + (a + b)x + ab x2 + ( c + d) + cd = t - ab + cd Khi phương trình (1) có dạng: t(t - ab + cd) = m t2 - ( ab - cd)t - m = Ví dụ : Giải phương trình: ( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4) = 3(*) DeThiMau.vn 14 Giải Phương trình (*) ( x + 1)( x + 4)( x + 2)( x + 3) = ( x2 + 5x + 4)( x2 + 5x + 6) = Đặt ( x2 + 5x + 4) = t ta t (t + 2) = t2 + 2t - = ' = + = > ' t1= 1 1 ; t2= 3 1 a> Víi t = ta cã: x2 + 5x + = x2 + 5x + = = 25 - 12 = 13 > 13 13 ; x2 = 2 NghiƯm cđa ph¬ng trinh lµ: x1= b> Víi t = -3 ta cã x2 + 5x + = -3 x2 + 5x + = = 25 - 28 = -3 < Phương trình vô nghiệm Vậy phương trình (*) cã nghiƯm lµ: x1= 13 13 ; x2 = 2 3> Phương trình có dạng ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = (*) Cách giải: Chia hai vế phương trình cho x2 ta có b x (*) ax2 + bx + c + a (x2 + Đặt x + a x2 1 ) + b ( x + ) + c = (1) x x 1 = y víi y ; y2= x2 + + x2 + = y2 - x x x VËy (1) a (y2-2) + by + c = Giải phương trình bậc hai ẩn y xét thêm điều kiện để tìm x Nếu a = phương trình trở thành bx3 + cx2 + bx = x x(bx2 + cx+ b) = bx cx b 0(1) Giải phương trình (1) tìm nghiệm x Ví dụ: Giải phương trình: x4 + 5x3 -12x2 +5x +1 = (1) DeThiMau.vn 15 Gi¶i Chó ý x= nghiệm phương trình chia hai vế phương trình cho x2 ta phương trình (1) (x2 + Đặt x + 1 ) +5 (x + ) -12 = x x 1 = t ta cã ®iỊu kiƯn t (x2 + ) = t2 - x x Khi phương trình (1) có d¹ng: t2 + 5t -14 = = 25 + 96 = 121 > = 11 Phương trình cho ta hai nghiệm: t1 = 2; t2 = -7 (TM§K) a> Víi t = ta cã x + = hay x2 - 2x + = x ' x1,2=1 b> Víi t = -7 ta cã x + = -7 hay x2 +7x + = x = 49 - = 45 > x1 = =3 73 73 ; x2 = 2 VËy phương trình (1) có nghiệm là: x1,2= 1; x1 = 73 73 ; x2 = 2 4> Phương trình có dạng ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = (**) B»ng c¸ch sư dơng Èn phơ bËc hai, ta thùc hiƯn theo bước: Bước 1: Biến đổi phương trình dạng: A(x2 + b1x + c1)2 + B(x2 + b1x + c1) + C =0 Bước 2: Đặt t = x2 + b1x + c1, phương trình chuyển vỊ d¹ng: At2 + Bt + C = VÝ dụ: Giải phương trình: x4 - 8x3 +7x2 +36x -36 = (1) Giải Viết lại phương trình dạng: ( x2 - 4x)2 - (x2 - 4x) + 36 = Đặt t = x2 - 4x Khi phương trình có dạng: t2 - 9t + 36 = t 12 t 3 x 2 x Víi t = 12 ta x2 - x = 12 x2 - 4x -12 =0 Víi t = - ta được: DeThiMau.vn 16 x x - 4x = -3 x2 - 4x + = x VËy ph¬ng trình có bốn nghiệm phân biệt: x= 1, x = -2, x= 6, x=3 5> Phương trình có dạng ( x + a)4 + ( x + b )4 = c Để giải phương trình ta thực bíc sau: ab xa t ab Bíc 1: Đặt t = x + suy x b t a b Khi phương trình có dạng 2t4 + 12( ab 2 ab ) t + ( ) =c 2 Bước 2: Đặt u = t2 điều kiện u phương trình có d¹ng 2u2 + 12( ab ab ) u + ( ) = c (1) 2 Bíc 3: Giải (1) nhận nghiệm u, từ suy nghiệm t tìm x Ví dụ: Cho phương tr×nh: ( x + 1)4 + ( x + 3)4 = 2m (1) a> Giải phương trình với m = b> Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Giải Đặt t = x + x t 1 = x + 2, suy x t Khi phương trình (1) chuyển d¹ng: ( t -1 ) + ( t + 1)4 = 2m 2t4 + 12t2 + = 2m t4 + 6t2 + - m = (2) Đặt u = t2, điều kiện u Khi phương trình (2) chuyển dạng: f(u)= u2 + 6u +1 - m = a> Víi m = ta cã u u2 + 6u = Do u nên u = - (loại) u DeThiMau.vn 17 Khi u = t2 = x + = x = -2 Vậy với m = phương trình có nghiệm x = -2 b> Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, điều kiện (3) phải có hai nghiệm trái dÊu P < - m < m > VËy víi m > phương trình có hai nghiệm phân biệt Một số tập áp dụng: Giải phương trình: a> 4x4 - 5x2 + = b>( x - )( x + )( x + 3)(x + 5) = c> x4 + 3x3 - 35 x - 3x + = d> ( x2 - 2x + 3)2 - ( x2 - 2x ) - = e> ( x + )4 + ( x + )4 = KÕt qu¶ thực Sau thực đề tài đà đem lại cho học sinh hứng thú học tâp Quá trình giảng dạy nhận thấy học sinh say mê giải hỏi bài, chỗ chưa hiểu học sinh phấn khởi tìm lời giải cho toán với cách giải khác Trong lần đà tìm tòi tham khảo số tài liệu để bổ sung thêm phương pháp sử dụng phương trình bậc hai để giải phương trình bậc cao DeThiMau.vn 18 Kết luận Dạy học giải tập trường trung học sở không nhằm củng cố, khắc sâu kiến thức đà học cho học sinh mà giúp em có phát triển khả tư sáng tạo, biết vận dụng kiến thức vào thực tế sống Qua học giải phương trình bậc hai toán giải phương trình quy phương trình bậc hai đà đem lại cho học sinh giáo viên hứng thú, phát huy hết khả giải tập Trên số kinh nghiệm nhỏ tôi, sáng kiến kinh nghiệm mà đà viết sửa lại sau nghiên cứu thêm với cố vân ban giám khảo, chắn thiếu sót nhiều nên mong góp ý người đọc để tích luỹ thêm kinh nghiệm cho thân việc giảng dạy DeThiMau.vn 19 ... Giải phương trình với m = b> Xác định m để phương trình có nghiệm phân biệt không dương VI- sử dụng Phương trình bậc hai giải phương trình bậc bốn 1> Phương trình dạng trùng phương Để giải phương. .. 1 x2 x V- sử dụng Phương trình bậc hai giải phương trình bậc ba 1> Phương trình có d¹ng: ax3 + bx2 + cx + d = có hai tính chất sau để áp dụng: 1- Nếu a + b + c + d = th× phương trình có nghiệm... vận dụng kiến thức vào thực tế sống Qua học giải phương trình bậc hai toán giải phương trình quy phương trình bậc hai đà đem lại cho học sinh giáo viên hứng thú, phát huy hết khả giải tập Trên số