42 SKKN toán 9 kỹ thuật sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai vào giải nhanh một số dạng toán

A ĐẶT VẤN ĐỀ I CƠ SỞ LÝ LUẬN Trong giai đoạn phát triễn khoa học kĩ thuật công nghệ nay, trình độ nhận thức người bước phát triễn rõ rệt Nhằm đáp ứng nhu cầu học tập người dân nguồn lực phù hợp với nguyện vọng hiếu học nhân dân Vì dạy học người giáo viên cần phát triển học sinh lực trí tuệ, phát huy tính tích cực sáng tạo, biết nhìn nhận vấn đề nhiều góc độ khác Khai thác phát triển cũ , cũ để đến kiến thức Để thực điều khơng phải hai mà người giáo viên phải đặt học sinh vào tình có vấn đề để tạo cho em thách thức trước vấn đề vai trị người giáo viên quan trọng Là giáo viên trẻ giao nhiệm vụ giảng dạy toán bồi dưỡng học sinh giỏi việc mà khiến lúc trăn trở, với cộng tác đồng nghiệp có kinh nghiệm giảng dạy lâu năm có bề dày thành tích chúng tơi mạnh dạn đưa đề tài “ Kỹ thuật sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai vào giải nhanh số dạng toán” hi vọng giúp ích học sinh giải nhanh số dạng toán kì thi học sinh giỏi giải tốn qua mạng II CƠ SỞ THỰC TIỄN - Trong chương trình toán THCS xuất nhiều dạng toán liên quan đến tam thức bậc hai đặc biệt chương trình tốn biết hướng dẫn học sinh giải nhiều cách khác thành công lớn giáo viên Tuy nhiên đơn giản hố tốn giúp cho học sinh phát triển tư sáng tạo phát huy tính tích cực học sinh tơi đưa số dạng tốn để từ phân tích giúp em có cách nhìn tồn diện sử dụng điều kiện có nghiệm PTBH qua giải nhanh số toán đề thi chọn HSG - Tìm nghiệm nguyên nhỏ nhất, lớn phương trình - Giải phương trình, hệ phương trình nhiều ẩn - Giải phương trình nghiệm nguyên - Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức - Giải phương trình vơ tỷ - Chứng minh bất đẳng thức Chúng ta biết dạng toán có nhiều cách giải Tuy nhiên chọn cách giải hợp lí vấn đề ln hướng tới cho người dạy học toán Trong q trình giảng dạy chúng tơi tìm ứng dụng biệt thức “ ” Nó chiếm vị trí quan trọng giải tập dạng Vận dụng biệt thức “ ” khéo léo tìm lời giải gọn gàng nhanh chóng đồng thời tạo cho em niềm vui, niềm tin học tập chúng tơi mạnh dạn đưa đề tài “Kỹ thuật sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai vào giải nhanh số dạng toán” Rất mong bạn đọc tham khảo, góp ý - Trong chương trình tốn THCS nhiều tập liên quan đến dạng Đặc biệt kì thi học sinh giỏi thi vào trường chuyên hay thi giải toán qua mạng… Do để học sinh giải nhanh dạng tốn ngồi cách giải khác nói cách giải cách giải nhanh Nhưng đề tài tơi đưa số dạng điển hình III MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Xuất phát từ sở lí luận sở thực tiễn tơi đưa đề tài với mục đích học sinh người đọc thấy việc sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai vào giải số dạng toán cách tiện lợi tốn có nhều cách giải khác nhiên biết cách sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai vào việc giải tốn trở nên đơn giản hơn, qua hình thành cho học sinh cách nhìn tốn nhiều hướng khác để từ giúp học sinh phát triển tư có định hướng tốt giải toán IV ĐỐI TƢỢNG NGHIÊN CỨU VÀ PHẠM VI ÁP DỤNG Xuất phát từ số tốn gốc mà tơi đưa đề tài từ phát triển tốn để đưa dạng tốn phù hợp tổng qt hố để giúp học sinh có cách xâu chuỗi vấn đề nhìn tốn với cách giải nhanh chóng đề tài áp dụng cho đối tượng học sinh giỏi B NỘI DUNG Ta biết rằng: Phương trình ax2 + bx + c = ( a ≠ 0) có nghiệm ( ' b’2 – ac ≥ ) Bắt đầu từ tốn đơn giản Bài tốn 1: Cho phương trình x 2 xy 2y 2y (1) (với y tham số) Tìm y để phương trình ln có nghiệm Giải: Phương trình cho phương trình bậc hai ẩn x có nghiệm / y y y y (2 y 2 2y 2y (y y 2y 3) 0 3) Nhận xét 1: Từ kết tốn ta có giá trị nhỏ , lớn y để phương trình có nghiệm -3; Nếu ta coi y ẩn phương trình (1) tốn diễn đạt theo cách khác sau Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn y thỗ mãn (1) Từ ta có dạng tốn sau DẠNG TÌM NGHIỆM LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA PHƢƠNG TRÌNH Bài 1.1 Trong cặp số (x,y) thoả mãn phương trình x 2 xy 2y 2y (*) Tìm cặp số (x,y) mà y có giá trị lớn , nhỏ Giải : Giả sử ( x ; y ) cặp số thoả mãn phương trình cho, tacó: x0 2 x0 y0 y0 2 y0 (*) Phương trình (*) có nghiệm / y0 (2 y0 ' y0 ' y0 y0 0 Giá trị lớn y0 1, giá trị nhỏ y0 -3 thì 0 3) 1 3) y0 ( y0 y0 y0 y0 y0 Với Với y0 y0 x0 1 y0 x0 Vậy hai cặp số cần tìm (-1: 1) (3;-3) Lưu ý Bài tốn phát biểu cách khác sau Bài 1.2 Cho số thực x,y thoả mãn Chứng minh y x 2 xy 2y 2y Tương tự toán bạn giải tập sau a) Cho x, y thoả mãn x y xy x 2y Chứng minh x 3 HD: Ta xem tốn phương trình bậc hai ẩn y dùng điều kiện có nghiệm ta sẻ giải cách dễ dàng b) Cho x ,y thoả mãn y x x y Chứng minh x 125 64 HD: Đưa phương trình phương trình bậc hai ẩn y dùng điều kiện có nghiệm ta giải dễ dàng x c) Cho số thực thoả mãn x Chứng minh x HD: x x y 2 z xyz yz z y xyz yz yz x y z x x Từ ta lập phương trình bậc hai ẩn t : t2 – (x3- x)t + x2 = dùng điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai ta giải toán cách dễ dàng Để thấy việc sử dụng điều kiện có nghiệm cho ta giải vấn đề cách nhanh chóng tiếp tục xét dạng tốn sau DẠNG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH, HỆ PHƢƠNG TRÌNH NHIỀU ẨN Bài Tìm cặp giá trị x, y thoả mãn x 2 xy 2y 2y Giải: Giả sử ( x ; y ) cặp số thoả mãn phương trình cho, tacó: x0 2 x0 y0 y0 2 y0 (2) Phương trình (2) có nghiệm / y0 (2 y0 ( y0 1) 2 y0 1) y0 Với y0 = -1 x0 = -y = Vậy cặp giá trị cần tìm (1;-1) Lƣu ý : Ta giải phương trình cách khác sau: x 2 xy (x 2y y) 2y 2 y y x y y x x y y 1 Tuy nhiên có toán mà hệ số trước ẩn lớn mà đưa dạng khó, việc sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai gúp ta giải nhanh chẳng hạn toán sau Bài 2.1 Tìm cặp giá trị (x;y) thoả mãn hệ thức 10 x 5y 2 xy 38 xy 6y (4) 41 Giải giả sử (x0 ; y0) cặp giá trị thoả mãn (4) ,ta có x0 / y0 y0 y0 2 19 10 y0 49 y0 x0 y0 6y 49( y0 41 41 1) có nghiệm 0 nên phương trình có nghiệm y0 – = y0 = Với y0 = x0 =2 Vậy cặp số (x,y ) cần tìm (2;1) Để giải tốn thơng thường học sinh phân tích vế trái thành nhân tử đưa tổng bình phương cịn vế phải 0, hay phương pháp loại trừ… Các phương pháp học sinh biến đổi thường gặp nhiều khó khăn dẫn đến tốn bế tắc phức tạp Nhưng biết vận dụng biệt thức “ ” vào tốn trở nên đơn giản dễ dàng Chúng ta tiếp tục xét tốn sau Bài 2.2 Tìm cặp số ( x; y ) thoả mãn phương trình 5y2 – 6xy + 2x2 + 2x – 2y + = (1) Thơng thường tốn học sinh thường biến đổi dạng ( x – y +1 )2 + ( x – 2y )2 = Tuy nhiên để biến đổi địi hỏi học sinh phải có kĩ biến đổi tốt phải nhiều thời gian Để khắc phục tình trạng ta dùng biệt thức “ ” coi phương trình phương trình ẩn y ta sau 5y2 – 2(3x+1)y +2x2 + 2x +1 = (2) (1) ’ = (3x+1)2 – 5(2x2 + 2x +1) = - (x+2)2 (2) có nghiệm x+2=0 x = -2 Thay x = -2 vào (1) ta y = -1 Vậy cặp số thoả mãn phương trình ( -2;-1 ) Tương tự toán ta tiếp tục xét toán sau phát biểu dạng khác sau Bài 2.3 Giải phương trình x2 + 2y2 – 2xy + 2y - 4x +5 = (1) Tương tự toán ta xem phương trình bậc hai với ẩn x (1) x2 – 2(y +2)x + 2y2 + 2y + = ’ = (y+2)2 – ( 2y2+2y+5) = - (y-1)2 tương tự ta giải x y Đối với phương trình có hai ẩn ta xem ẩn tham số dùng điều kiện có nghiệm PTBH để giải hệ phương trình lúc ta giải vấn đề nào? Ta xét toán sau: Bài 2.4 Giải hệ phương trình sau x y 2 xy y xy 4x 2 x 2x y y 56 (1 ) 0(2) Đối với hệ phương trình có cách giải khác ví dụ ta cộng hai phương trình kết hợp với phương trình (1) ta sẻ hệ phương trình sau 5x x 2 5y 4xy x 4y 3y x 58 2y Nhân phương trình thứ hai hệ với lấy phương trình thứ hệ trừ cho phương trình thứ hai hệ ta phương trình hệ là: 15y2 -20xy + 6x – y + 48 = Đến sẻ gặp nhiều khó khăn q trình giải khơng giải tiếp Ngoài phương pháp giải thử nghĩ xem có phương pháp khác không? Sau xin mạnh dạn đưa cách dùng den ta để giải cho thấy hiệu Ta xem (1) phương trình bậc ẩn x tính x1 2y x2 2y Tương tự ta xem phương trình (2) ẩn x tính Để (x;y) nghiệm hệ x3 x2 x4 x1 x4 x2 x3 giải ta có nghiệm hệ (2,8 ; 2,4) : ( -3,2; -0,6 ) (3,4 ; 1,2) : ( -2,6; -1,8 ) 225 x4 x1 y x3 y Xuất phát từ toán ta có tốn khó tí Bài 2.5 giải hệ phương trình sau x 2y x 2xy y 2y x (Trích đề thi HSG tỉnh nghệ an bảng A năm 2013- 2014 ) Đối với hệ phương trình có nhiều cách giải khác nhiên để ý nhận xét giải cách nhanh nhờ kỹ thuật sử dụng đen ta Từ phương trình thứ hệ ta đặt 2y x t ; t ≥ ta chuyển phương trình thứ hệ phương trình bậc hai t 2t = – t2 giải phương trình cho ta hai giá trị t t = t = - kết hợp điều kiện t cho ta t = Với t = thay vào ta rút x = – 2y thay vào phương trình thứ hai hệ biến đổi ta phương trình bậc hai y 7y2 – 6y – = Giải phương trình ta y = y = Từ ta tính x = -1 x = Tương tự tốn xét tốn khó Bài 2.6 Tìm nghiệm nguyên hệ phương trình sau x x 4y 2y x xy xy 2y 4y 2x HD: Cách giải hồn tồn tương tự tốn giải ta nghiệm nguyên hệ phương trình ( 1; 0) ( 0; ) Tiếp tục khai triễn biệt thức “ ” ta thấy thú vị Trở lại toán 1) Cho phương trình x 2 xy 2y 2y (1) (với y tham số) Tìm y để phương trình ln có nghiệm Giải : Phương trình cho phương trình bậc hai ẩn x có nghiệm / y y y 2 (2 y 2y (y 2y 3) 3) 0 y 2y y 10 Do X2 + X + ≠ nên (1) aX (a aX 1) X 2 a X (a 1) X X a 0(2) Trường hợp 1: Nếu a = (2) có nghiệm X = Trường hợp : Nếu a ≠ để (2) có nghiệm, điều kiện cần đủ tức (a +1)2 – 4.(a -1)2 ≥ (3 a 1) ( a a 3) 3(a 1) Với a = a = X = - Gộp hai trường hợp ta có A = x = ; max A = X = -1 Phương pháp giải toán hai tốn phương pháp tìm miền giá trị hàm số Đoạn tập giá trị hàm số ;3 y= X X 2 X X Qua tốn giáo viên nhấn mạnh khắc sâu phương pháp giải Muốn sử dụng biệt thức “ ” ta phải chuyển toán liên quan đến dạng tam thức bậc hai Ta tiếp tục xét tốn sau Bài 4.8 Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức x A= x GV yêu cầu học sinh giải tương tự toán Kết Min A = x = -1 18 Max A = x = DẠNG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ Một phương pháp chủ yếu để giải phương trình vơ tỷ hữu tỷ hóa phương trình vơ tỷ phương pháp khác bình phương hai vế, đặt ẩn phụ, nhân liên hợp, đánh giá hai vế … vv mục đích chuyển phương trình vơ tỷ phương trình hệ phương trình dạng đơn giản để giải cách nhanh chóng tiết kiệm thời gian Tuy nhiên có lúc phương pháp có khó khăn khơng đơn giản lúc ta nghĩ đặt ẩn phụ để chuyển phương trình vơ tỷ phương trình bậc hai từ sử dụng đen ta để giải ta giải vấn đề cách nhanh chóng tiết kiệm thời gian nhiều Chẳng hạn ta xét toán sau Bài 5.1 Giải phương trình sau x 3x (x 3) x (1) Đây khơng phải tốn dể, bạn sử dụng phương pháp bình phương hai vế bạn gặp nhiều khó khăn lúc bạn đưa phương trình phương trình bậc mà phương trình chưa nhẩm nghiệm lại làm cho tốn phức tạp hơn, cịn bạn đặt ẩn phụ để đưa hệ phương trình lại phức tạp Tuy nhiên biết chuyển toán thành toán khác sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai lại tốn đơn giản Các bạn thử nhìn vào hai vế phương trình ta thấy vế phải có x vế trái có x2 + nên đặt x = t ta suy x2 + đưa phương trình phương trình bậc hai ẩn t va x tham số Sau xin mạnh dạn nêu cách giải nhanh mà sử dụng đen ta Đặt x ( x – 3)2 t; t phương trình (1) t2 – t.(x+3) +3x = │x-3│ Phương trình có nghiệm phân biệt 19 t = x t = Với t = x x x =x x t= x x x ( phương trình vơ nghiệm) Các bạn thấy phương pháp hay nhanh nhiên phải biết nhận xét hai vế chuyển phương trình phương trình bậc hai mục đích để dùng đen ta giải nhanh xét tốn sau khó nhiều Bài 5.2 Giải phương trình sau x x 2(x (*) x 1) Đối với tốn bạn nghĩ sao? Theo thân tơi tốn khó nhiên biết cách đặt ẩn chuyển dùng đen ta lại tốn đơn giản Sau tơi xin trình bày cách giải mà dùng đen ta để giải Đặt t x ;t≥0 t x x x x Thay vào (*) ta x x 2(x x t (1) x 1) t (2) Từ (1) (2) ta có t2.x - 2(x+1).t +4 = 2 (x+1) – 4x = (x – 1) Ta có t1 t2 Với t x thay vào ta giải nghiệm phương trình x = x Với t = thay vào giải nghiệm phương trình x = x = Vậy phương trình có nghiệm x = x = 20 Tương tự ta xét ví dụ Bài 5.3 Giải phương trình sau x x Đối với tốn giải theo phương pháp khác nhau, sau tơi xin trình bày hai phương pháp để thấy phương pháp hay Phương pháp Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình đối xứng x Đk xđ x Đặt x 5 a (* ); a x phương trình sau a 2 a a x x kết hợp với phương trình ban đầu ta có hệ hệ phương trình đối xứng, giải hệ phương trình ta a = x a = -x-1 Với a = x thay vào (*) ta đưa phương trình sau x2- x – = Giải phương trình ta tìm x = 21 x = 21 ( loại) Với a = -x-1 thay vào (*) ta phương trình x2 + x - = giải ta x 17 x 17 (loại) Vậy phương trình có nghiệm x 21 x 17 Nhận xét: Đối với phương pháp giải gặp số khó khăn + đặt ẩn phụ phải lưu ý điều kiện ẩn + sau giải a theo x phải thay vào giải lại lần lại ý điều kiện để loại nghiệm không vơ tình lấy nghiệm ngoại lai 21 Sau tơi xin trình bày cách thứ hai Các bạn để ý thấy hai vế phương trình có bạn xem ẩn xem x tham số chuyển toán dùng kĩ thuật sử dụng đen ta để giải Và xin mạnh dạn đưa phương pháp giải bạn thấy phương pháp khác biệt xem ẩn nhiên với cách giải cho ta kết bạn (Sau ta gọi phương pháp số biến thiên) x Điều kiện x2 ≥ 5 x (5) x (x 5) x x x ta xem ẩn chuyển vế đặt nhân tử chung ta có phương trình sau ( (2 x 1) ) (2 x 1) 4( x 2x x) 4x (2 x 4x 2 1) 4x x 4 x 4x 4x 4x (2 x 1) Từ ta đưa giải hai phương trình sau 2x 2x 5 2x 2x x x 2 x x x x 2 x x giải hai phương trình kết hợp với điều kiện cho ta nghiệm phương trình x 21 x 17 Đối với phương pháp bạn linh hoạt đơn giản lại khơng nhầm nghiệm nhiên khơng phải nhìn phương pháp để thành thạo tơi xin đưa số tập sau Trên số ví dụ kĩ thuật sử dụng đen ta để giải tốn phương trình vô tỷ sau xin đưa số tập dạng toán để em học sinh luyện thêm 22 Bài tập Giải phƣơng trình sau a )x b) c)x d) x x x x x x 2 4x 2014 x 2014 x x Ngồi dạng tốn tơi mạnh dạn đưa dạng chứng minh bất đẳng thức DẠNG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Đối với dạng tốn bất đẳng thức thực tế có nhiều phương pháp chứng minh nhiên xin đưa kỹ thuật sử dụng điều kiện có nghiệm để chứng minh hi vọng bạn đọc em học sinh vận dụng phương pháp để từ chứng minh số toán bất đẳng thức đơn giản Bài 6.1 chứng minh rằng: 7x2 + 37x +121 > x Đối với tốn ta thấy đơn giản ngya học sinh lớp làm cách tách nhóm để đưa đẳng thức sau : Đặt A = 7x2 + 37x +121 = ( x2 + 37 x 14 Vậy A > 1369 196 ) 2180 = (x + 196 37 ) 14 + 210 >0 x 196 x Tương tự xét toán sau với hai biến x; y Bài 6.2 chứng minh rằng: x2 +2y2 -2xy +2x -10y -17 Đối với tốn bạn nghĩ Ở lớp chắn bạn nghĩ đến phân tích cách tách, nhóm đưa tổng bình phương cộng với số đánh giá Tuy nhiên ngồi cách bạn thử nghỉ cách khác xem, theo với kinh nghiệm thân đúc rút trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi xin mạnh dạn đưa cách giải mạnh dạn sử dụng đen ta trường hợp Đặt B = x2 +2y2 -2xy +2x -10y +17 B = x2 -2x(y -1) +2y2 -10y +17 Ta xem phương trình bậc hai ẩn x y tham số tính đen ta 23 = (y – 1)2 – ( 2y2 – 10y + 17) = - ( y – )2 Ta có Ta thấy “ = ” xẩy y a = > nên B bất đẳng thức chứng minh dấu y = x = Trên toán hai biến x; y cịn ba biến sao? Chúng ta tiếp tục xét toán sau Bài 6.3 Chứng minh với x, y, z ta có: 19x2 + 54y2 + 16z2 + 36 xy – 16xz – 24 yz (1) Nếu chưa làm toán thứ hai tốn khó học sinh biến đổi để đưa dạng tổng bình phương cộng với số khó khăn khơng phải ẩn, hai ẩn mà ba ẩn nên việc biến đổi khơng dễ tí Tuy nhiên biết áp dụng đen ta tương tự tốn hai lại toán đơn giản Viết lại toán sau 19x2 + 4x(9y-4z) + 54y2 + 16z2 -24yz Và ta xem vế trái bất đẳng thức tam thức bậc hai ẩn x ta có ’ = -702y2 + 168yz – 240z2 Lại có từ (y) = (84z)2 – 702.240z2 z y,z Suy điều phải chứng minh 'y 'y Dấu “ = ” xẩy 0 64z 2(4 z 9y) y 702 x 19 y z Tiếp tục xét việc sử dụng đen ta vào giải toán chứng minh bất đẳng thức để ta thấy hay tiếp tục xét thêm dạng toán sau Bài 6.4 cho ba số a,b,c ba cạnh tam giác Ba số x; y; z thỏa mãn ax + by + cz = Chứng minh xy + yz + xz < dạng toán chứng minh bất đẳng thức nhiên biết cách vận dụng đen ta vào tốn trở nên khơng q khó 24 Từ ax + by + cz = c > nên ax+ by z bất đẳng thức cần chứng minh c tương đương với: xy - ax+ by ( x+y ) (1) c ax2 + xy( a + b - c ) + by2 Do c > nên (1) Xét tam thức f(x)= ax2 + xy( a + b – c ) + by2 có a > y (a b c) 4aby = y2( a2 + b2 + c2 – 2ab – 2bc – 2ac) Mà với a,b,c ba cạnh tam giác ta ln có a + b2 + c2 – 2ab – 2bc – 2ac < Do f(x) x x y (a b y với x c) x dấu “ = ” xẩy y z ax+ by+ cz= o 2a Tương tự xét tiếp toán sau Bài 6.5 cho a3 > 36 abc = Chứng minh a + a2 + b2 > ab + bc + ac (1) Từ a3 > 36 a > Từ abc =1 bc a Khi (1) (b c) a (b c) a a a 12 a 4a = 36 a 0 Xét tam thức bậc hai: f(x) = x2 – ax Có a a ( a3 3a a a a a        a n 25 a (1) Do a > nên an > an-1 (2) a a a      n (1) an (x) a an = x2 – (3) – an a a < an < x2 a b hay = B n a a n 4a b c an c c a a b (1) ) a = b ;y= a c x y x (x y x x )( y c x y (1) x y b c x y y 1) x – y y hay A A 2B B A 1 A 2A A 2 B( 7A ) (A – 2)2 Tương tự toán xét toán sau Bài 6.8 Cho a, b, c, > thỏa mãn a + b + c + ab + bc + ac = abc Chứng minh: a b c Với kỹ thuật sử dụng đen ta bạn giải tốn khơng giải Sau dạy chuyên đề cho học sinh, học sinh đả giải sau 26 Từ a b Đặt c x; a ab bc y; b ac 1 1 1 bc ac ab c b a 6abc ( x, y, z > ) z x y z xy yz zx c Mà ta có : ( x+ y+ z )2 ≤ ( x2 + y2 + z2 ) x y z x y z Mà xy + yz + zx ≤ x2 + y2 + z2 x y z x y z Đến việc giải tốn đơn giản bạn nhỉ? Đặt t = t2 + x t y z dấu “ = ” xẩy ; t > chuyển BĐT tam thức bậc hai dạng (t )( t a b c a b c ) A x a ab bc ac b y c z 6abc Như với việc sử dụng đen ta vào giải toán ta thấy thú vị nghiên cứu sâu lại thấy hay bạn Chẳng hạn tiếp tục xét tốn sau Ngồi tốn liên quan đến bất đẳng thức cịn có tốn liên quan đến tìm giá trị nhỏ , lớn biểu thức Ví dụ ta xét toán sau Bài toán 6.9 Cho x >0 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x x x Đối với toán để ý mối quan hệ x x gọi giá trị x lớn biểu thức x x =a a x x x (*) x Với a ≥ x > (*) tương đương với (a x ) x 2ax 2 a x (**) x Vì a ≠ nên (**) phương trình bậc hai, điều kiện a 4 a a( a 64 ) Mà a > nên a3 ≥ 64 có nghiệm a 27 +q2 –a2 – b2 – c2 – d2 > (1) ( p2 + a2 – b2)(q2 – c2 – d2) ≥ (pq – ac – bd )2 0;2 a ab b bc c +b2+c2 ≤ (*) ca -4 ≤ a+b+c ≤ 4 Cho a, b ≠ Chứng minh a b a b a Hướng dẫn: Đối với rút a theo b c sau thay vào (*) xem phương trình bậc hai ẩn b c chuyển vế sau sử dụng đen ta giải Bài từ phương trình thứ bạn đưa dạng ( a+b + c)2 -2 ( ab+bc +ca) =2 Từ thay tích ab + bc + ca = vào giải bình thường xong Bài xem bất đẳng thức cần chứng minh tam thức bậc hai ẩn b, đạt giá trị nhỏ b = thay vào sử dụng cosi đưa điều phải chứng minh 2a 28 C KẾT LUẬN Qua việc tìm hiểu dạng tốn cần vận dụng linh hoạt, sáng tạo kết toán để chuyển toán sang toán khác vấn đề khó khơng học sinh mà vấn đề khó giáo viên Tuy nhiên vận dụng tốt việc chuyển tốn dựa vào kết tốn thành tốn khác khơng phải khó Nếu làm điều giúp em hiểu sâu sắc kiến thức học, góp phần phát triển tư sáng tạo tiếp thu tốt kiến thức dựa kiến thức cũ, phát huy khả tư học sinh Các tốn, dạng tốn mà tơi đưa đề tài cịn có cách giải khác nhiên vấn đề mà đưa muốn em học sinh hướng tới sử dụng điều kiện có nghệm phương trình bậc hai vào để giải giải toán cách nhanh đơn giản hơn, ngồi qua tập khơng rèn kĩ giải tốn cho học sinh mà cịn rèn cho học sinh cách nhìn nhận xét tốn để từ có hướng giải tốn cách tối ưu Trên kinh nghiệm tơi tích luỹ q trình giảng dạy giải tốn Có thiếu sót mong góp ý q thầy Tơi xin chân thành cảm ơn Kết đạt đƣợc Trong hai năm học vừa qua vận dụng đề tài vào việc bồi dưỡng học sinh giỏi gặt hái số thàng cơng bước đầu là: có 25 em đạt học sinh giỏi huyện giải nhất, giải nhì, 12 giải giải khuyến khích Có em đạt giải kì thi giải tốn qua mạng cấp huyện, có em đạt học sinh giỏi cấp tỉnh giải em giải ba giải khuyến khích Kiến nghị đề xuất: Để đề tài áp dụng rộng rãi, q trình dạy học Tơi tha thiết kính mong thầy bạn đọc góp ý để đề tài ngày hoàn thiện 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa toán Sách nâng cao phát triển toán tập 1,2 Sách nâng cao phát triển toán tập 1,2 30 MỤC LỤC A Đặt vấn đề…………………………………………………………… I Cơ sở lý luận………………………………………………………… II Cơ sở thực tiễn……………………………………………………… III Mục đích nghiên cứu ………………………………………………….2 IV Đối tượng nghiên cứu phạm vi áp dụng………………………… B Nội dụng ……………………………………………………………… Dạng Tìm nghiệm lớn nhất, nhỏ phương trình…………………3 Dạng Giải phương trình hệ phương trình nhiều ẩn……………………5 Dạng Giải phương trình nghiệm nguyên…………………………………9 Dạng Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức…………………… 11 Dạng Giải phương trình vơ tỷ………………………………………… 16 Dạng chứng minh bất đẳng thức ……………………………………… 19 C Kết luận ……………………………………………………………… 23 31 XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC NHÀ TRƢỜNG 32 ... việc sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai vào giải số dạng tốn cách tiện lợi tốn có nhều cách giải khác nhiên biết cách sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai vào việc giải. .. lập phương trình bậc hai ẩn t : t2 – (x3- x)t + x2 = dùng điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai ta giải tốn cách dễ dàng Để thấy việc sử dụng điều kiện có nghiệm cho ta giải vấn đề cách nhanh. .. trình bày sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai để giải toán Giải Gọi a giá trị biểu thức p Biểu thức P nhận giá trị a phương trình 5x2 - 4x + = a có nghiệm 5x2 – 4x +1 – a = có nghiệm