Phương trình quy về phương trình bậc hai

DẠY GIẢI BÀI TẬP “PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI SKKN: Mơc lơc Trang PhÇn I : phÇn mở đầu I Đặt vấn đề II.Nhiệm vụ ph-ơng pháp nghiên cứu Phần II: Nội dung đề tài Ch-ơng I :Lý luận chung Ch-ơng II: ph-ơng trình quy ph-ơng trình bậc hai I Ph-ơng trình bậc hai có ẩn số II Ph-ơng trình quy ph-ơng trình bậc hai Ph-ơng trình chứa ẩn mẫu Ph-ơng trình đ-a dạng tích Ph-ơng trình bậc bốn 3.1 Ph-ơng trình trùng ph-ơng 3.2 Ph-ơng pháp đặt ẩn phụ 3.3 Ph-ơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 3.4 Ph-ơng trình chứa ẩn d-ới dấu 3.5 Ph-ơng trình hồi quy 10 13 16 18 20 21 22 22 3.6 Ph-ơng trình dạng af2(x)+bf(x)+c=0 24 3.7 Ph-ơng trình dạng (x+a)4+(x+b)4=0 26 3.8 Ph-ơng trình dạng (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = m 29 Vài ph-ơng trình bậc cao khác 32 Một số đề nghị 35 Phần III: Thực nghiệm Tiết 36 Tiết 39 PhÇn IV : KÕt luËn 44 PhÇn V: Tài liệu tham khảo 45 Ng-ời thực hiện: Đặng Thị Hång Quyªn DẠY GIẢI BÀI TẬP “PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI SKKN: PHẦN I: PHẦN MỞ ĐẦU ****************************************** I - ĐẶT vÊn ®Ị - Trong thời kì nƣớc tiến nhanh đƣờng cơng nghiệp hoá , đại hoá đất nƣớc Song song với phát triển mạnh mẽ lĩnh vực kinh tế, xã hội, công nghệ thông tin,… Sự nghiệp giáo dục đƣợc đổi phát triển không ngừng, đổi phƣơng pháp dạy học (PPDH) Là vấn đề đƣợc đề cập, nghiên cứu bàn luận sôi Đặc biệt mơn tốn mơn khoa học trừu tƣợng song có ý nghĩa vơ quan trọng việc đổi PPDH nói chung dạy tốn nhà trƣờng THCS nói riêng đƣợc định hƣớng pháp chế hố luật giáo dục là: “Phƣơng pháp dạy học phát huy tính tích cực tự giác chủ động sáng tạo học sinh, phù hợp với đặc điểm lớp, bồi dƣỡng phƣơng pháp tự học, rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh,…” Giúp học sinh hƣớng tới học tập chủ động sáng tạo chống lại thói quen học tập thụ động vốn có đa số học sinh nhà trƣờng THCS - Trong trình giảng dạy việc đánh giá chất lƣợng, lực tƣ duy,hay khả tiếp thu kiến thức học sinh mơn tốn chủ yếu thơng qua giải tập Thông qua việc giải tập nhằm củng cố hồn thiện kh¾c sâu nâng cao ( mức độ cho phép ) nội dung kiến thức học, rèn luyện kĩ năng, thuật giải , nguyên t¾c giải tốn Đối với học sinh lớp ngồi việc truyền cho học sinh kiến thức, kĩ tốn học theo u cầu nội dung chƣơng trình giáo khoa đại trà cần đầu tƣ bồi dƣỡng cho phận học sinh khá, giỏi việc cần thiết phải đƣợc tiến hành thƣờng xuyên nhà trƣờng thcs Nhằm tạo điều kiện học sinh phát huy đƣợc lực trí thơng minh sáng tạo, giúp nâng cao chất lƣợng mũi nhọn, bồi dƣơng đội ngũ học sinh giỏi cấp, phát triển nhân tài cho t nc Ng-ời thực hiện: Đặng Thị Hồng Quyên SKKN: DẠY GIẢI BÀI TẬP “PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI - Một chuyên đề kiến thức quan trọng học sinh lớp cần nắm vững giải tập “Giải phƣơng trình” nhƣng nội dung chƣơng trình sách giáo khoa lớp môn đại số quan tâm hƣớng dẫn kĩ học sinh cách giải phƣơng trình bậc hai,những phƣơng trình quy phƣơng trình bậc hai để giải cịn dạng, tập cịn dễ yêu cầu nội dung chƣơng trình khung Bộ giáo dục đề Chƣa đáp ứng đƣợc yêu cầu học tập nâng cao tri thức kĩ nhƣng em học sinh có lực học tập khá, giỏi Vì cần quan tâm đến việc hƣớng dẫn, bồi dƣỡng cho học sinh lớp cách giải phƣơng trình quy phƣơng trình bậc hai Những phƣơng trình quy phƣơng trình bậc hai khơng mới, nhƣng với nhiều thầy cô, em học sinh Bởi phƣơng tr×nh quy phƣơng trình bậc hai vấn đề dạy giải tập có đặc thù riêng Lí thuyết dạy phƣơng trình bậc hai nhƣng dạy giải phƣơng trình dạng khác đƣa phƣơng trình trung gian phƣơng trình bậc hai thƣờng gặp chƣơng trình lớp tốn hay khó đặc biệt thƣờng gặp việc thi chọn HSG, thi vào trƣờng chuyên - Về hệ thống tập phƣơng trình quy phƣơng trình bậc hai SGK SBT có nhiều đề cập tới song chƣa nhiều, chƣa đa dạng, chƣa có hƣớng dẫn cụ thể nên chƣa thực thuận lợi cho ngƣời dạy ngƣời học tiếp thu nghiên cứu - Với xác nhận đắn mục tiêu, nội dung chƣơng trình dạy học mơn Đ¹i số Kết hợp với tham khảo ý kiến đồng nghiệp, kinh nghiệm đồng chí có trình độ chun mơn vững vàng nhiều năm làm công tác giảng dạy, kết đánh giá, nhƣ kinh nghiệm thân sau số năm tham gia giảng dạy mơn Tốn cịng nhƣ ôn luyện cho học sinh giỏi, mạnh dạn sâu nghiên cứu lựa chọn số dạng tập giải phƣơng trình cách giải phƣơng trình quy phƣơng trình bậc hai Hệ thống tập làm tài liệu tham khảo cho giáo viên giảng dạy học sinh học để chuẩn bị cho kì thi chọn HSG, tuyển sinh vào lớp 10, giúp ngƣời thày đổi PPDH, giúp em học sinh lớp tự tin thêm u mơn tốn học tốn ngày có kết qu hn Ng-ời thực hiện: Đặng Thị Hồng Quyên DẠY GIẢI BÀI TẬP “PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI SKKN: II NHIỆM VỤ VÀ PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU NHIỆM VỤ: Với mục đích hƣớng dẫn học sinh cách giải phƣơng trình quy phƣơng trình bậc hai nên xuyên suốt trình nghiên cứu nhiệm vụ đƣợc đề nhƣ sau: - Trên sở tập SGK, nghiên cứu tham khảo thêm tài liệu, sách bồi dƣỡng để tìm tịi bổ xung thêm số dạng tập để xếp thành hệ thống tập cho phần dạy phƣơng trình quy phƣơng trình bậc hai sử dụng bồi dƣỡng cho học sinh lớp THCS - Nghiên cứu xác định nội dung kiến thức cần thiết để giảng dạy - Dựa vào yêu cầu, lựa chọn hệ thống tập phục vụ cho việc giảng dạy nói chung - Nghiên cứu tìm phƣơng pháp giải bản, dễ hiểu khoa học, xác mẫu mực cho học sinh noi theo - Rèn luyện cho học sinh nề nếp học tập có tính khoa học, rèn luyện thao tác tƣ duy, phƣơng pháp học tập chủ động, tích cực sáng tạo Cũng thơng qua giáo dục cho học sinh giá trị đạo đức , tƣ tƣởng lối sống phù hợp với mục tiêu, giúp trau dồi cho em kiến thức phổ thông gắn với sống cộng đồng thực tiễn địa phƣơng có kĩ vận dụng kiến thức học vào thực tiễn sống giải số vấn đề thƣờng gặp sống thân, gia đình cộng đồng Đồng thời giúp em tự tin giải tốn kì thi cử ĐỐI TƢỢNG NGHIÊN CỨU : - Học sinh lớp trƣờng THCS Gia T-êng – Nho Quan – Ninh Bình - Giúp học sinh có cách giải phƣơng trình bậc cao số phƣơng trình dạng khác PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Trong trình nghiên cứu để tìm phƣơng pháp giảng dạy Gii phng trỡnh Ng-ời thực hiện: Đặng Thị Hồng Quyên SKKN: DẠY GIẢI BÀI TẬP “PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI quy phƣơng trình bậc hai”có hiệu sử dụng phƣơng pháp sau: - Tham khảo thu nhập tài liệu - Thông qua tổ chức hoạt động học tập học sinh “Cách tốt để hiểu làm” _ (Kant) Tự lực khám phá điều chƣa biết làm phát huy tính tích cực chủ động học sinh - Phân tích tổng kết kinh nghiệm - Kiểm tra kết quả: Dự giờ, kiểm tra kết học sinh, nghiên cứu hồ sơ giảng dạy, điều tra trực tiếp thông qua học, theo dõi trình học tập tiếp thu kiến thức học sinh, từ điều chỉnh sử dụng linh hoạt phƣơng pháp dạy học - Trƣng cầu, tham khảo ý kiến đồng nghiệp giáo viên trực tiếp giảng dạy chƣơng trình lớp để trau dồi thêm kiến thức, phƣơng pháp PHẠM VI NGHIÊN CỨU: - Giới hạn vấn đề giải phƣơng trình , phƣơng trình bậc cao ( số dạng thƣờng gặp lớp 9) chƣơng trình THCS Ng-êi thùc hiện: Đặng Thị Hồng Quyên DY GII BI TP “PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI SKKN: PHẦN II - NỘI DUNG ĐỀ TÀI *************************************************** LÍ LUẬN CHUNG Chƣơng I A- CÁC CĂN CỨ LỰA CHỌN HỆ THỐNG BÀI TẬP Mục đích, ý nghĩa việc dạy giải tập toán - Bài tập toán giúp cho học sinh củng cố khắc sâu kiến thức cách có hệ thống ( Về tốn học nói chung nhƣ phần phƣơng trình bậc hai phƣơng trình quy phƣơng trình bậc hai chƣơng trình đại số 9…) theo hƣớng tinh giản vững - Bài tập quy “phƣơng trình bậc hai” nhằm rèn luyện cho học sinh kĩ thực hành giải toán Rèn luyện cho học sinh lực hoạt động trí tuệ để có sở tiếp thu dễ dàng môn học khác trƣờng THCS, mở rộng khả áp dụng kiến thức vào thực tế - Bài tập phƣơng trình quy phƣơng trình bậc hai cịn góp phần rèn luyện cho học sinh đức tính cẩn thận sáng tạo…của ngƣời nghiên cứu khoa học Các yêu cầu việc lựa chọn hệ thống tập 2.1 Hệ thống tập đƣa phải đầy đủ, hợp lí, phải làm cho học sinh nắm vững chất kiến thức học, rèn luyện cho học sinh khả độc lập suy nghĩ, sáng tạo khả suy luận Hệ thống tập đầy đủ hệ thống đầy đủ nội dung mà phải đầy đủ loại hình là: + Bài tập chứng minh + Bài tập tính tốn + Bài tập rút gọn + Bài tập phân tích + Bài tập giải phƣơng trình, khảo sát hàm số Ng-êi thùc hiện: Đặng Thị Hồng Quyên SKKN: DY GII BI TẬP “PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI - Các tập đƣa đơn giản lẫn phức tạp Có t tốn học có mang nội dung thực tế 2.2 Hệ thống tập phải đảm bảo tính mục đích việc dạy học - Hệ thống tập chọn phải củng cố khắc sâu kiến thức – kiến thức sở để giải nh÷ng vấn đề có liên quan Có nắm vững kiến thức có hƣớng để vận dụng vào thực tế giải tập - Hệ thống tập phải đảm bảo trang bị kiến thức cho học sinh cách có hệ thống, xác Góp phần rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo cho học sinh - Hệ thống tập chọn phải có tác dụng giáo dục tƣ tƣởng cho học sinh thấy rõ vai trị tốn học với thực tiễn, làm cho học sinh yêu thích mơn tốn có hứng thú học tập mơn toán 2.3 Hệ thống tập phải đảm bảo yêu cầu vừa sức, phù hợp với đối tƣợng học sinh Phải làm cho học sinh thấy cần có khả giải tập Nếu tập q khó gây tâm lí lo ngại cho học sinh Vì tập thích hợp chia thành loại tập: Loại 1: tập có tính chất củng cố lí thuyết Loại địi hỏi tƣ phức tạp, nên với học sinh trung bình, yếu Loại 2: Bài tập có vận dụng bƣớc đầu hình thức tƣ nhƣ áp dụng lí thuyết có tính chất khơng đơn giản Loại thƣờng với học sinh trung bình, Khá Loại 3: Loại tập có tính phức tạp hơn, địi hỏi thao tác tƣ khéo léo, mềm dẻo hơn, sử dụng lí thuyết phức tạp thƣờng kông trực diện Loại thƣờng đối tƣợng học sinh khá, giỏi, học sinh lớp chọn, lớp chuyên 2.4 Hệ thống tập phải đảm bảo yêu cầu cân đối: Cân đối thời gian với hoàn cảnh , quy định chƣơng trình , nhƣng cho học sinh phải nỗ lực hoàn thành đƣợc Đồng thời nên giao cho học sinh tập có gắn với thực tiễn ( Ví dụ nhƣ tốn dân số…) Ng-ời thực hiện: Đặng Thị Hồng Quyên DY GII BÀI TẬP “PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI SKKN: 2.5 Phải phát huy đƣợc lực tƣ học sinh Đƣa tÊt loại tập mà học sinh phải tìm tịi hƣớng giải Các lựa chọn hệ thống tập: 3.1 Căn vào mục đích dạy học: Dạy gì? với tập phƣơng trình bậc hai giúp học sinh giải tốt phƣơng trình bậc hai, biết cách đƣa phƣơng trình bậc cao dạng khác phƣơng trình bậc hai trung gian Bồi dƣỡng cho học sinh kỹ thói quen giải toán thực tế Giúp cho học sinh phát huy , phát triển tƣ khía cạnh tính tốn biến đổi, có thao tác tƣ mềm dẻo 3.2 Dựa vào tình hình dạy học trƣờng THCS: - Dựa vào tình hình dạy học trƣờng THCS lực lên rõ: số học sinh học chuyên, chăm chiếm tỉ lệ không lớn, đặc biệt số học sinh giỏi khơng nhiều Hơn nơi có điều kiện tự học học thêm có chất lƣợng học tập cao - Căn vào thực tế dạy học phần phổ thông sở chƣa nhiều đội ngũ giáo viên chƣa đƣợc chuẩn bị chu đáo vì kiến thức đƣa từ THPT xuống THCS năm gần - Về hệ thống tập SGK, SBT chƣa đáp ứng đƣợc nhu cầu học tập, giảng dạy giáo viên học sinh Khi soạn giảng phần đòi hỏi giáo viên phải tự tìm tịi tài liệu, biên soạn lấy tập nội dung giảng dạy chƣa thống chung đƣợc - Sách giáo khoa chƣơng trình hành đƣa cho học sinh số loại phƣơng trình quy phƣơng trình bậc hai, song dừng lại việc nhận dạng, biết giải phƣơng trình diện học sinh đại trà Ng-ời thực hiện: Đặng Thị Hồng Quyên SKKN: DY GIẢI BÀI TẬP “PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI - Căn vào tình dạy học: Bài tập tiết học phải đảm bảo phù hợp với đặc điểm tiết học Chẳng hạn học song lí thuyết ta đƣa cho học sinh tập áp dụng đơn, giản trực tiếp phƣơng trình quy phƣơng trình bậc hai, phƣơng trình chứa ẩn mẫu,phƣơng trình trùng phƣơng, phƣơng trình vơ tỷ - Ngồi hệ thống tập nhà , tập ôn tập yêu cầu kiến thức phải nhiều khối lƣợng nhƣ yêu cầu cao tƣ B MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ KĨ NĂNG CẦN THIẾT KHI HỌC GIẢI PHƢƠNG TRÌNH - Các quy tắc tính tốn biểu thức đại số - Các đẳng thức đáng nhớ - Phép phân tích đa thức thành nhân tử - Giá trị tuyệt đối số, biểu thức đại số - Điều kiện để biểu thức có nghĩa - Phép biến đổi ( hay đặt ẩn phụ) phép biến đổi đại số gii phng trỡnh Ng-ời thực hiện: Đặng Thị Hång Quyªn DẠY GIẢI BÀI TẬP “PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI SKKN: CHƢƠNG II PHƢƠNG TRÌNH QUI VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI I PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI CÓ MỘT ẨN SỐ 1.1 Định nghĩa: - Phƣơng trình bậc hai ẩn số phƣơng trình có dạng ax2 + bx + c = 0, x ẩn số; a,b,c số, a - Nghiệm phƣơng trình bậc hai giá trị ẩn số mà thay vào vế trái phƣơng trình ta đƣợc giá trị vế trái khơng 1.2 Giải biện luận phƣơng trình bậc hai: a Khi nghiên cứu nghiệm Phƣơng trình bậc hai ax2 + bx + c=0 (với a 0) Ta cần quan tâm đến biệt số = b2 – 4ac phƣơng trình.Vì giá trị định đến số nghiệm phƣơng trình bậc hai Ta thấy có kả xẩy > 0: phƣơng trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt: x1,2 = = 0: phƣơng trình bậc hai có nghiệm kép x1 = x2 = b 2a b 2a < 0: phƣơng trình bậc hai vơ nghiệm: *) Đặc biệt b chẵn (b= 2b’, b Z) ta nghiên cứu nghiệm số phƣơng trình bậc hai qua biệt số thu gọn ’ Do b= 2b’ nên = ’ ’ dấu suy số nghiệm phƣơng trình bậc hai xét theo ’ giống nhƣ xét theo tức là: ’ > 0: phƣơng trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt: x1,2 = ’= 0: phƣơng trình bậc hai có nghiệm kép x1 = x2 = b' a b ' a ’ < 0: phƣơng trình bậc hai vơ nghiệm: Ng-êi thùc hiƯn: Đặng Thị Hồng Quyên 10 DY GII BI TP PHNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI SKKN: NhËn xÐt : -2+7=1+4 x VËy (a) x x 5x 4 x x 5x x 14 19 19 (*) đặt : x2+5x -14 =t * t t t 18 19 18 t 19 V× : 1+18-19 =0 nên ph-ơng trình có hai nghiệm : t1=1 ; t2= -19 Vậy ph-ơng trình (a) có nghiệm đơn : x1 x2 x3 x4 85 85 5 5 *) nhận xét với loại ph-ơng trình có dạng : - Nếu khai triẻn thành dạng ph-ơng trình bậc ẩn khó giải cấp hai ch-a häc - B»ng nhËn xÐt ta nhãm hỵp lý sau ®ã ®ỉi hƯ sè , khai triĨn biÕn ®ỉi nhóm ta đa đợc ph-ơng trình bậc hai trung gian Nếu phơng trình bậc hai trung gian vô nghiệm ph-ơng trình đầu vô nghiệm - Khi giải ph-ơng trình bậc hai trung gian ẩn t tìm đ-ợc t , ta trả biến giải ph-ơng trình bậc hai ẩn x nghiệm ph-ơng trình nghiệm ph-ơng trình đầu Ng-ời thực hiện: Đặng Thị Hồng Quyên 31 DY GII BÀI TẬP “PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI SKKN: - Ngồi phƣơng trình trình bậc cao có dạng đặc biệt nêu mà giải đƣa giải phƣơng trình bậc hai trung gian Ta nghiên cứu thêm số phƣơng trình bậc cao khác Vài phƣơng trình bậc cao khác a, Ví dụ * Ví dụ 1: Giải phƣơng trình sau: x4 +4x3 +3x2 +2x – = Giải: Nhận xét: Với phƣơng trình khơng thuộc dạng phƣơng trình nêu trên, việc nhẩm nghiệm khó Ở ta đƣa phƣơng trình dạng phƣơng trình tích Ta có: VT = x4 +4x3 + 3x2 +2x -1 = = (x4 +4x3 + 4x2) - (x2 - 2x + 1) = (x2 + 2x) 2- (x -1)2 = (x2 + x +1) (x2 + 3x - 1) Vậy phƣơng trình cho tƣơng đƣơng với: (x2 + x +1) (x2 + 3x - 1) = (2) Khi (2) tƣơng đƣơng với tập gồm hai phƣơng trình sau : x x x 3x (3 ) (4 ) - Giải phƣơng trình ( 3): phƣơng trình vơ nghiệm - Phƣơng trình (4) tƣơng đƣơng với: x2 +3x – = Phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 13 x2 13 Vậy phƣơng trình cho có hai nghiệm phân biệt sau: x1 13 x2 13 *Ví d 2: Ng-ời thực hiện: Đặng Thị Hồng Quyên 32 DẠY GIẢI BÀI TẬP “PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI SKKN: Giải phƣơng trình sau: x + 2x -5x +10x +4x + = (1) Giải: Nhận xét: Đây phƣơng trình bậc 5, khơng có cách giải tổng qt.Vì vậy, ta biến đổi đƣa phƣơng trình dạng tích Bằng phƣơng pháp nhẩm nghiệm ta thấy phƣơng trình có nghiệm x = - Phƣơng trình (1) trở thành: (x+1)( x4 +x3- 6x2 – 4x +8) = Ta lại thấy đa thức f(x) = x4 +x3- 6x2 – 4x +8 có nghiệm x = Ta có: (x+1)( x4 +x3- 6x2 – 4x +8) = (x+1)(x-1)(x3 +2x2 – 4x -8) = (x+1)(x-1)[(x3+2x2) – 4(x+2)] = (x+1)(x-1)[x2( x+2) – 4(x+2)] = (x+1)(x-1)( x+2) (x2– 4) = (x+1)(x-1)( x+2) ( x-2) ( x+2) = Vậy phƣơng trình (1) tƣơng đƣơng với: x x x x x x x x 2 Vậy nghiệm hai phƣơng trình cho là: x1= -1; x1= 1; x1= -2; x1= -2 * Ví dụ 3: Giải phƣơng trình: x5 – 1= (1) Giải: Áp dụng đẳng thức: an +bn = ( a – b)( an-1+ an-2b + +bn-1) Ta có phƣơng trình (1) (x - 1)( x4 +x3 +x2 +1) = Ng-êi thùc hiện: Đặng Thị Hồng Quyên 33 DY GII BI TP “PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI SKKN: x x + Nếu x – = x x x x=1 + Nếu ( x4 +x3 +x2 +1) = Do x = khơng phải nghiệm phƣơng trình này, nên ta chia hai vế phƣơng trình cho x2 ta đƣợc phƣơng trình tƣơng đƣơng sau: x2 + x + + 1 + x x =0 (2) Nhận thấy phƣơng trình “ Hồi quy” Đặt t = x + (*) x (2) ( x + )2 + ( x + ) – = 1 x x t1 t2 + t – = t2 + Nếu t1= (*) 5 x+ = x 2x2 + ( 1+ Ta có: = (1+ 5 )x + = (***) )2 – 4.2.2 < Suy phƣơng trình (***) vơ nghiệm Vậy phƣơng trình cho có nghiệm x = b, Nhận xét: Với phƣơng trình bậc cao khơng thuộc dạng đặc biệt nêu cách giải thích hợp học sinh THCS tìm cách đƣa biến đổi chúng dạng tích vế trái vế phải Nhƣ vậy, phƣơng trình thƣờng đƣợc đƣa tập phƣơng trình bậc bậc hai Số nghiệm phƣơng trình đầu phụ thhuộc vào số nghiệm phƣơng trình tng ng Ng-ời thực hiện: Đặng Thị Hồng Quyên 34 DẠY GIẢI BÀI TẬP “PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BC HAI SKKN: Một số tập đề nghị Bài 1: Giải phƣơng trình chứa ẩn sổ mẫu sau: 2x a, x b, 2x x 1 x c, x 3x x x x 2x x x 1 x 2x Bài 2: Giải phƣơng trình bậc cao sau: a, x4 – 6x2 + = b, x3 + 7x2 – 56x + 48 = c, 2x3 + 5x2 + 6x + = d, (x – 4,5)4 +( x-5,5)4 =1 e, (x + 4)(x + 5)(x + 7)(x + 8) = g, x4 – 3x3 + 9x2 – 27 x + 81 = f, 30x4 –17 x3 – 289 x2 +17 x + 30 = h, x4 +4x3 – 10 x2 - 28x – 15 = i, ( x2 + x + 1)2 – 3x2 – 3x – = Ng-ời thực hiện: Đặng Thị Hồng Quyên 35 SKKN: DẠY GIẢI BÀI TẬP “PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI PhÇn III: thùc nghiƯm ********************************* TiÕt Ngày soạn :25-05- 2008 Ngày dạy :02- 06 - 2008 Ph-ơng trình quy ph-ơng trình bậc hai I Mục tiêu: - HS biết cách giải số dạng ph-ơng trình quy đ-ợc ph-ơng trình bậc hai nh-: ph-ơng trình trùng ph-ơng, ph-ơng trình có chứa ẩn mẫu thức, vài dạng ph-ơng trình bậc cao đ-a ph-ơng trình tích giải đ-ợc nhờ ẩn phụ - HS ghi nhớ giải ph-ơng trình chứa ẩn mẫu thức tr-ớc hết phải tìm điều kiện ẩn phải kiểm tra đối chiếu điều kiện để chọn nghiệm thoả mÃn điều kiện - HS đ-ợc rèn luyện kĩ phân tích đa thức thành nhân tử để giải ph-ơng trình tích II Chuẩn bị GV HS : * GV: Bảng phụ giấy (đèn chiếu) ghi câu hỏi, tập Bút viết bảng * HS: Ôn tập cách giải ph-ơng trình chứa ẩn mẫu thức ph-ơng trình tích ;cách giải ph-ơng trình bậc hai - Bảng phụ nhóm, bút viết bảng III Tiến trình dạy ổn định tổ chức(1 phút) Kiểm tra cũ: (4 phút) Nêu cách tính nghiệm ph-ơng trình bậc hai Nội dung Hoạt động thày trò Nội dung Hoạt động Ph-ơng trình trùng ph-ơng ĐVĐ: Ta đà biết cách giải ph-ơng trình bậc hai Trong thực tế, có ph-ơng trình bậc hai, nh-ng giải đ-ợc cách quy ph-ơng trình bậc hai I Ph-ơng trình trùng ph-ơng có dạng(10 phút) Ng-ời thực hiện: Đặng Thị Hồng Quyên 36 SKKN: DẠY GIẢI BÀI TẬP “PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRèNH BC HAI ? Làm để giải đ-ợc ph-ơng trình trùng ph-ơng H: Ta đặt ẩn phụ, đặt x2 = t ta đ-a đ-ợc ph-ơng trình trùng ph-ơng dạng ph-ơng trình bậc hai giải ? học sinh lên bảng giải Cả lớp làm vào GV : nhận xét ;sửa sai Hoạt động Ph-ơng trình chứa ẩn mẫu thức ax4 + bx2 + c = (a VÝ dô: 2x4 + 3x2 + = 5x4 - 16 = 0) a) 4x4 + x2 - = ®Ỉt x2 = t 4t2 + t - = cã a + b + c = + - = t1 = (TM) ; t2 = -5/4 (lo¹i) t1 = x2 = x1,2 = b) 3x4 + 4x2 + = Đặt x2 = t 3t2 + 4t + =0 cã a - b + c = - + = t1 = -1 (lo¹i) ; t2 = -1/3 (loại) Ph-ơng trình vô nghiệm II Ph-ơng trình chứa ẩn mẫu.(15 phút) GV cho ph-ơng trình : ? Với ph-ơng trình chứa ẩn mẫu thức, ta cần thêm b-ớc so với ph-ơng trình không chứa ẩn mẫu ? H: Ta cần thêm b-ớc; - Tìm điều kiện xác định ph-ơng trình - Sau tìm đ-ợc giá trị ẩn, ta cần loại giá trị không thoả mÃn điều kiện xác định, giá trị thoả mÃn điều kiện xác định nghiệm ph-ơng trình đà cho ? Tìm điều kiện x ? GV :h-ớng dÉn häc sinh lµm HS : Nghe vµ ghi bµi Bài 35 b, tr 56 SGK HS :lên bảng làm HS : lớp làm vào GV : nhận xét ; cho điểm Chú ý : Khi giảI ph-ơng trình chứa ẩn mẫu x 3x x x x x - 3x + = x + x2 - 4x + = cã a + b +c = - + = x1 = (TMĐK); x2 = c/a = (loại) Vậy nghiệm ph-ơng trình x=1 b) x x x §K: x ; x (x + 2) (2 -x) + 3(x - 5)(2 -x) = 6(x -5 ) Ng-ời thực hiện: Đặng Thị Hồng Quyªn 37 SKKN: DẠY GIẢI BÀI TẬP “PHƢƠNG TRÌNH QUY V PHNG TRèNH BC HAI cần đặt điều kiện xác định Khi giải xong cần đối chiếu với ĐKXĐ -x2-3x2+21x - 30 = 6x - 30 4x2 - 15x - = = (-15)2 + 4.4.4 = 225 + 64 = 289 = 17 x1 = 15 x2 = 15 17 (TM§K) 17 (TM§K) Hoạt động III Ph-ơng trinh tích.(10 phút) Ph-ơng trình tích ? Một tích ? VD: (x + 1)(x2 + 2x - 3) = H: TÝch b»ng tÝch cã mét nhân tử x + = x2+2x - = b»ng * x + 1= G: h-íng dÉn HS gi¶i x1 = -1 H: nghe vµ ghi bµi * x2 + 2x - = cã a + b + c = x2 = ; x3= - Ph-ơng trình có nghiƯm sè HS : tù lµm vµo vë Bµi 36 (a) tr 56 SGK HS1 : Lên bảng giải (3x2 - 5x + 1)(x2- 4) = GV: nhËn xÐt cho điểm 3x2 - 5x + = x2 - 4=0 *3x2 - 5x + = = (-5)2 - 4.3.1 = 13 = 13 x1,2 = 13 *x -4=0 (x - 2) (x + 2) = x3 = ; x4 = -2 Vậy ph-ơng trình có nghiệm x1,2 = 13 ; x3,4 = 4.Cđng cè.(3 phót) ? Cho biết cách giải ph-ơng trình trùng ph-ơng H: Để giải ph-ơng trình trùng ph-ơng ta đặt ẩn phụ x = t 0; ta đ-a đ-ợc ph-ơng trình dạng bậc hai ? Khi giải ph-ơng trình có chứa ẩn mẫu cần l-u ý b-ớc nào? Ng-ời thực hiện: Đặng Thị Hồng Quyên 38 DY GII BÀI TẬP “PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI SKKN: ? Ta giải số ph-ơng trình bậc cao cách nào? 5.H-ớng dẫn nhà.(2 phút) -xem lại ph-ơng trình đà học - làm tập Giải ph-ơng trình sau: 2x 7x 2008 x Ngày soạn :25/5/2008 7x -10x 1004 +9=0 Tiết Ngày dạy :2/6/2008 Ph-ơng trình quy ph-ơng trình bậc hai I Mục tiêu: - Rèn luyện cho HS kĩ giải số dạng ph-ơng trình quy đ-ợc ph-ơng trình bậc hai: ph-ơng trình hồi quy , ph-ơng trình dạng tam thức, ph-ơng trình dạng (x+a)4+(x+b)4= 0, số dạng ph-ơng trình bậc cao - Rèn cho học sinh kỹ giải ph-ơng trình quy phơng trình bậc hai đơn giản :ph-ơng trình bậc ba , ph-ơng trình bậc bốn II Chuẩn bị GV HS : * GV: Bảng phụ giấy (đèn chiếu) ghi tập, vài giải mẫu, bút viết bảng * HS: Bảng phụ nhóm, bút viết bảng, máy tính bỏ túi III Tiến trình dạy ổn định tổ chức (1phút) Kiểm tra cũ: (4phút) Giải ph-ơng trình trùng ph-ơng x4 - 5x2 + = Đặt x2 = t t2 - 5t + = Cã a + b + c = - + = t1 = t1 = x2 = ; t2 = x1,2 = c =4 a Ng-ời thực hiện: Đặng Thị Hồng Quyên 39 SKKN: DẠY GIẢI BÀI TẬP “PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI t2 = x2 = x3,4 = Sau ®ã cho HS nhËn xÐt, GV nhËn xÐt, cho điểm 3.Nội dung Hoạt động thày trò Hoạt động Nội dung I Ph-ơng trình dạng (x+a)4 +(x+b)4=0 (14 phót) Víi x lµ Èn ; a,b,c hệ số HS : Nêu cách giải ph-ơng trình GV: Nếu khai triển hai vế ta đến ph-ơng trình bậc đầy đủ (việc giải ph-ơng Cách giải trình em làm khó khăn) Do phải đổi biến t a x b a x a a b bt x b a t b ph-ơng trình đà cho trë thµnh : 2t a 12 b t 2 a b c Phơng trình trùng ph-ơng ẩn t ta đà biết cách giải GV: Ra đề ,chia lớp thành nhóm, nhóm làm ví dụ 2HS: lên bảng làm HS khác : làm theo nhóm ví dụ : giải ph-ơng trình x đặt x t x (a) x a t 2t t t 4 12 t 6t t 2 t t 2 t VËy x + = 2 0 t 0 x=-4 Ph-ơng trình (a)có nghiệm x = - ví dụ : Giải ph-ơng trình x x 4 82 (b) GV : Cho c¸c nhóm nhận xét ,sửa sai Ng-ời thực hiện: Đặng Thị Hång Quyªn 40 SKKN: DẠY GIẢI BÀI TẬP “PHƢƠNG TRÌNH QUY V PHNG TRèNH BC HAI đặt t x x b : t 2t 2t GV nhận xét, sửa bài, cho điểm t 4 300 t 300 t 150 t t 2 82 1250 82 1168 584 c Giải ph-ơng trình (c) đặt t2=v c v ' 5625 th× ' 75 v1 150 v 584 584 5041 5045 71 71 c * 75 v2 71 GV (chó ý): Đặt ẩn phụ v1 v2 không thoả mÃn v > ph-ơng trình (c) vô nghiệm ph-ơng trình (b) vô nghiệm II Ph-ơng trình đối xứng(12 phút) (Các hệ số đa thức vế trái có tính đối xứng qua hạng tử đứng giữa) Ví dụ GV : h-ớng dẫn HS - Nhận dạng ph-ơng trình thuộc x 3x 4x 3x dạng đối xứng Vì : x=0 - Cách giải ph-ơng trình dạng đối không nghiệm nên ta chia hai xứng vÕ cho x2 + Chia hai vÕ cho x2(nÕu x=0 không nghiệm ph-ơng trình) 1 (x ) x + Nhóm hạng tử thích hợp (cã phÇn hƯ sè (a) x x gièng nhau) 2 Ng-ời thực hiện: Đặng Thị Hồng Quyªn 41 DẠY GIẢI BÀI TẬP “PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHNG TRèNH BC HAI SKKN: +Đặt ẩn phụ giải ph-ơng trình bậc hai Đặt tìm đợc + Tìm nghiệm ph-ơng trình đầu kết luận t HS: Giải bµi x t x a t 3t t1 2 3t 0 x x x x Ph-ơng trình v« nghiƯm t2 x x 2x x ph-ơng trình có nghiệm kép x=-1 Vậy ph-ơng trình đà cho có nghiệm kép x=-1 HS nhận xét, GV chữa GV :cho điểm III Gii phng trình bng cách t ẩn ph (10 phút) B i tập: Bà i 40, tr57 SGK T9 a 2 3( x + x ) - ( x + x ) - = GV:? Em có nhận xét ph-ơng trình b ( x HS: Gièng phÇn biÕn : Giải x2+x ( ý a) x2- 4x (ý b) a ( x 2 GV : Vậy em hÃy nêu cách giải ph-ơng trình t này? HS: đặt ẩn phụ cho ph-ơng trình x + 2) + x - x - = 2 + x) - 2(x + x) - = ta cã (x + x) = t t1 3t - t - = t2 ý a đặt : x +x=t ý b đặt : x2-4x+2=t Với t1=1, ta cã : (x + x) = hay x1 = x + x- 1= - 1+ Với t2= ta có HS : nhóm giải ph-ơng trình HS đại diện lên bảng làm GV : Nhận xÐt ,cho ®iĨm x + x + = ; x2 = x - 1- + x = - hay Phương tr×nh n y vô nghim Ng-ời thực hiện: Đặng Thị Hång Quyªn 42 SKKN: DẠY GIẢI BÀI TẬP “PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI Vậy phương tr×nh đ· cho cã hai nghiệm b ( x 2 - x + 2) + x - x - = Đặt x - x + = t ta cã phương tr×nh t + t - = giải ta t1 = 2; t2 = -3 2 Với t1 = ta cã 2 x - 4x + = x x x - 4x = *GV : Ngoài ph-ơng trình nhiều dạng ph-ơng trình khác giải cách qui ph-ơng trình bậc hai :phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối , phơng trình chứa ẩn dới dấu cănChúng ta cần tự học tập , tự đọc sách tìm hiểu thêm để mở rộng kiến thức hận xét ,söa sai Với t2= -3 ta cã x - x + = - hay x - x + = phương trình n y vô nghim 2 Vy phng trình đ· cho cã nghiệm x1 = 0; x2 =4 4.Củng cố (2 phút) * Nêu dạng ph-ơng trình bậc cao mà em biết, trình bày cách giải ? 5.H-ớng dẫn nhà (2 phút) Giải phơng trình sau: (x+3) -(x+1)3=56 x4-2x3+5x2-2x+1=0 (x+3)4+(x+5)4=16 (x2+3x)2-(2x2+6x)+1=0 Ng-êi thùc hiÖn: Đặng Thị Hồng Quyên 43 SKKN: DY GII BI TP “PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI PhÇn IV- KÕt luËn *************************************** Dạy học phƣơng pháp giải tập có ý nghĩa quan trọng, địi hỏi ngƣời giáo viên phải có say mê với nghề nghiệp đạt đƣợc kết tốt.Giáo viên phải có phƣơng pháp, kiểm tra, đôn đốc học sinh Giúp học sinh phát huy tính sáng tạo để đƣa cách giải tập hay Vấn đề dạy học phƣơng pháp tìm tịi lời giải tập thực có tác dụng cho dạng, tập Giúp học sinh làm quen với phƣơng pháp suy nghĩ, phƣơng pháp làm việc tìm tịi lời giải Đồng thời với tìm tịi học sinh, ngƣời giáo viên phải hƣớng học sinh tiến hành theo trình tự chặt chẽ cách giải tập để giải đƣợc Qua trình học theo hệ đào tạo Từ xa cho giáo viên mơn Tốn THCS thân nhận thấy tiếp thu đƣợc thêm nhiều kiến thức đồng thời thêm phƣơng pháp nghiên cứu khoa học Trong đề tài nêu đƣợc số cách giải phƣơng trình bậc cao đƣa phƣơng trình quen thuộc phƣơng trình biết cách giải Tài liệu dùng cho giáo viên Toán học sinh giỏi mơn Tốn tham khảo cách giải trình bày phƣơng trình Nội dung đề tài cịn hạn chế, mong giúp đỡ nhƣ góp ý thầy – cô giáo cho để tơi hồn thành tốt đề tài Do lực kinh nghiệm thân hạn chế nên nội dung đề tài chƣa đáp ứng đầy đủ việc dạy học Tôi mong s giỳp ca thy giỏo , cô giáo Xác nhận tr-ờng THCS Nam Định, ngày tháng năm 2008 Ng-ời thực đặng thị hồng quyên Ng-ời thực hiện: Đặng Thị Hồng Quyên 44 SKKN: DY GIẢI BÀI TẬP “PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI PHầN V : Tài liệu tham khảo ************************************ S¸ch gi¸o khoa đại số lớp 9- NXBGD Sách tập đại số lớp 9- NXBGD Sách giáo viên đại số lớp _ NXBGD Một số vấn đề phát triển đại số lớp NXBGD Chuyên đề bồi d-ỡng học sinh giỏi toán THCS _ Đại số Một số ®Ị thi häc sinh giái cÊp thÞ , cÊp tØnh Sách bồi d-ỡng học sinh giỏi đại số NXBGD Một số tạp chí toán học khác Một số vấn đề đổi ph-ơng pháp dạy học tr-ờng THCS Ng-ời thực hiện: Đặng Thị Hồng Quyên 45 ... Hồng Quy? ?n DẠY GIẢI BÀI TẬP “PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI SKKN: CHƢƠNG II PHƢƠNG TRÌNH QUI VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI I PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI CĨ MỘT ẨN SỐ 1.1 Định nghĩa: - Phƣơng trình bậc. .. Phƣơng trình bậc hai có hai nghim trỏi du khi: Ng-ời thực hiện: Đặng Thị Hång Quy? ?n 11 DẠY GIẢI BÀI TẬP “PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI SKKN: c hay ac< a Phƣơng trình bậc hai có hai nghiệm... lầm = phƣơng trình bậc hai có nghiệm II PHƢƠNG TRÌNH QUI VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI : Ta thƣờng gặp số dạng phƣơng trình quy phƣơng trình bậc hai trƣờng phổ thơng sau đây: 1 .Phương trình chứa ẩn