Vận dụng định lý vi Ét giải một số dạng toán về so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số thực, hai số thực nhằm nâng cao chất lượng ôn thi học sinh giỏi, đại học cho học sinh trường THPT Như[.]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT NHƯ THANH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI VẬN DỤNG ĐỊNH LÝ VI-ÉT GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SO SÁNH NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI MỘT SỐ THỰC, HAI SỐ THỰC NHẰM NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG ÔN THI HỌC SINH GIỎI, ĐẠI HỌC CHO HỌC SINH TRƯỜNG THPT NHƯ THANH II Người thực hiện: Hoàng Khắc Tại Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HĨA NĂM 2019 SangKienKinhNghiem.net MỤC LỤC NỘI DUNG TRANG Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.5 Những điểm SKKN 2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 3 2.3 Vận dụng định lí Vi-ét giải dạng tốn 2.3.1 Dạng 1: So sánh nghiệm phương trình bậc hai 2.3.2 Dạng 2: So sánh nghiệm phương trình bậc hai với số thực 2.3.3 Dạng 3: So sánh nghiệm phương trình bậc hai với hai số thực , 14 với số 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 19 Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận 21 3.2 Kiến nghị 21 Tài liệu tham khảo Danh mục đề tài SKKN tác giả Hội đồng SKKN Ngành GD tỉnh đánh giá xếp loại SangKienKinhNghiem.net MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong chương trình tốn THPT có nhiều tốn chứa tham số mà giải có liên quan tới phương trình ( bất phương trình) bậc 2; biện luận, so sánh nghiệm phương trình bậc với số thực hai số thực Khi gặp dạng tập có nhiều cách xử lí khác kể đến: Sử dụng “ Định lí đảo dấu tam thức bậc hai - Chương trình sách giáo khoa cũ” Sử dụng định lí Vi-ét Sử dụng phương pháp hàm số Rõ ràng sử dụng định lí Vi-ét xuyên suốt từ lớp thi THPTQG Nếu học sinh rèn luyện thành thạo kĩ sử dụng định lí Vi-ét em giải hàng loạt dạng toán mà chất quy định lí Vi-ét nghiệm phương trình bậc hai Phương pháp hàm số phương pháp “ mạnh” đại Nhưng sáng kiến xin bàn tới cách sử dụng định lí Vi-ét cho hiệu ? Theo ý kiến cá nhân thông qua giảng dạy thực tế Bởi đề thi HSG cấp từ lớp 10, đề thi Đại học- Cao đẳng trước đề thi THPTQG thường có mặt trực tiếp tìm điều kiện để nghiệm phương trình bậc hai thỏa mãn yêu cầu gián tiếp len lỏi vào tốn khác, chí Hình học Vì khơng thành thạo kĩ vận dụng định lí Vi-ét học sinh bỏ dở đáng tiếc nhiều toán Các học sinh đội tuyển học sinh giỏi Toán cấp trường THPT Như Thanh II, học sinh 12 chuẩn bị thi THPTQG đối tượng cần mảng kiến thức Vì qua thực tế dạy học tơi thấy, việc sử dụng định lí Vi-ét em cịn “thơ sơ” chưa có suy luận logic tìm chất, khơng có hệ thống nên hay thiếu sót giải tốn Các tài liệu tham khảo viết nhiều xung quanh chủ đề này, để phù hợp với tình hình thực tế đối tượng cụ thể chưa tài liệu tơi thấy phù hợp Chính để nâng cao chất lượng dạy học, tạo hứng thú cho em học Tốn, học Tốn giống chơi trị chơi ta làm chủ ta hiểu rõ quy tắc nên viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “ Vận dụng định lí Vi-ét giải số dạng tốn so sánh nghiệm phương trình bậc SangKienKinhNghiem.net hai với số thực, hai số thực nhằm nâng cao chất lượng ôn thi học sinh giỏi, đại học cho học sinh trường THPT Như Thanh II” 1.2 Mục đích nghiên cứu Tơi viết sáng kiến làm tài liệu học tập cho học sinh từ lớp 10, đặc biệt em học sinh đội tuyển HSG cấp học sinh ơn thi THPT QG Nó làm tài liệu dạy học thầy cô Nhưng mục đích cuối rèn luyện cho học sinh kĩ biết đưa định lí Vi-ét vào áp dụng cách linh hoạt, khéo léo trường hợp cụ thể, học sinh biết suy luận logic để giải trường hợp so sánh nghiệm phương trình bậc hai với số thực, hai số thực Từ làm tảng để áp dụng giải dạng toán 1.3 Đối tượng nghiên cứu Để hồn thành viết tơi nghiên cứu định lí Vi-ét, dạng tốn so sánh nghiệm phương trình bậc hai với số 0, số thực bất kì, hai số thực làm cách để đưa định lí Vi-ét vào áp dụng dạng Đồng thời nghiên cứu số toán liên quan đến hàm số bậc ba, tương giao hàm số bậc ba với bậc nhất, lượng giác Vì đạo hàm đặt ẩn phụ chuyển toán bậc hai 1.4 Phương pháp nghiên cứu Tôi sử dụng phương pháp sau: Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin Phương pháp thống kê, xử lý số liệu 1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm Phân loại rõ ràng, cụ thể đầy đủ trường hợp so sánh nghiệm phương trình bậc hai với số 0, với số thực bất kì, với hai số thực Đã cách đưa định lí Vi-ét vào áp dụng trường hợp cách khéo léo thơng qua tính chất số học số thực Có nhận xét, phân tích ưu điểm, hạn chế cách dùng định lí Viét so với cách khác trường hợp Điều giúp người học hiểu vấn đề sâu sắc SangKienKinhNghiem.net NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Phương trình bậc 2: Định nghĩa: Phương trình bậc hai ẩn x R phương trình có dạng: ax bx c 1 a Cách giải: Tính b 4ac - Nếu phương trình (1) vơ nghiệm - Nếu phương trình (1) có nghiệm kép x1 x2 b 2a - Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 b b , x2 2a 2a 2.1.2 Định lý Vi-ét Nếu phương trình bậc hai ax bx c 1 a có hai nghiệm x1 , x2 S x1 x2 b c , P x1.x2 a a 2.1.3 Tính chất số thực Giả sử x, y hai số thực tùy ý, ta ln có: i) x y xy xy ii) x y x y xy iii) x y x y Ba tính chất số thực suy luận logic thông thường, học sinh dễ dàng thể tiếp nhận hiểu Vì vậy, sử dụng chúng kiến thức sở để suy luận giải vấn đề mà nêu 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.2.1 Thuận lợi: Các học sinh đa số thuộc định lí Vi-ét, tìm điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu, dương âm 2.2.2 Khó khăn: Ngồi thuận lợi kể số khó khăn gặp phải là: Khi so sánh nghiệm với số đa số học sinh mắc sai sót, tìm thiếu điều kiện có thêm dấu “=” biểu thức so sánh SangKienKinhNghiem.net Khi tìm điều kiện để so sánh nghiệm với số thực tùy ý khác không học sinh cách để áp dụng định lí Vi-ét vào Vì quen làm việc so sánh với số 2.3 Vận dụng định lí Vi-ét giải số dạng tốn so sánh nghiệm phương trình bậc hai với số thực, hai số thực 2.3.1 Dạng 1: So sánh nghiệm phương trình bậc hai với số Bài tốn 1.1: Cho phương trình: ax bx c 1, a 0, x ¡ a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn: x1 x2 b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn: x1 x2 c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn: x1 x2 Giải Đây dạng tập đơn giản quen thuộc với học sinh lớp 9, nên ta viết kết là: a) (1) có hai nghiệm thỏa mãn: x1 x2 P b) (1) có hai nghiệm thỏa mãn: x1 x2 P S c) (1) có hai nghiệm thỏa mãn: x1 x2 P S Tình ta thêm dấu “ = ” vào dấu “ < ” “ > ” điều kiện nào? Chẳng hạn: Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn: x1 x2 Thoạt nhìn, ta suy luận (1) có hai nghiệm thỏa mãn: x1 x2 P Thí dụ 1.1: Tìm điều kiện tham số m để phương trình x 2mx m có hai nghiệm thỏa mãn x1 x2 Giải: Phương trình cho có hai nghiệm thỏa mãn x1 x2 P Ta có, P m Do P m 1 m x Thử lại với m , phương trình là: x x x 2 SangKienKinhNghiem.net (Không thỏa mãn yêu cầu đề !) Có nghĩa kết sai suy luận (1) có hai nghiệm thỏa mãn: x1 x2 P không Nhận xét: Điều muốn nói Bài tốn 1.1 ta thêm dấu “ = ” vào dấu “ < ” “ > ” vấn đề rắc rối hơn, khơng biết điều học sinh mắc sai lầm đáng tiếc Từ kinh nghiệm xin liệt kê trường hợp điều kiện trường hợp nhằm làm tư liệu q trình dạy học thầy trị: TH1: Điều kiện để PT(1) có hai nghiệm thỏa mãn: c x1 x2 b x1 x2 PT(1) có hai nghiệm thỏa mãn 0 a x1 x2 P TH2: Điều kiện để PT(1) có hai nghiệm thỏa mãn: c x1 x2 b x1 x2 PT(1) có hai nghiệm thỏa mãn a x1 x2 P TH3: Điều kiện để PT(1) có hai nghiệm thỏa mãn: x1 x2 P TH4: Điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn: x1 x2 P S TH5: Điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn: x1 x2 P S TH6: Điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn: x1 x2 P S SangKienKinhNghiem.net TH7: Điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn: x1 x2 P S TH8: Điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn: x1 x2 P S TH9: Điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn: x1 x2 P S Bài tốn 2.1 Cho phương trình: ax bx c 1, a 0, x R a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn : x b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn: x Giải a) Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn : x x2 x PT(1) có nghiệm thỏa mãn 0 x1 x2 b) Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn : x x2 x PT(1) có nghiệm thỏa mãn x x Từ lại quay trường hợp Bài tốn 1.1 Tóm lại: Khi nghiệm phương trình thỏa mãn u cầu tốn mà có nhiều khả xảy ý tưởng làm “ Chia nhỏ để trị” Như vậy, học sinh thấy rõ ràng, dễ hiểu hơn, tránh thiếu sót đáng tiếc Nhận xét: Trong chương trình ơn thi HSG cấp, thi THPTQG tốn tìm điều kiện nghiệm phương trình bậc hai khơng trực tiếp, kiến thức “len lỏi” nhiều tốn, chí lại vấn đề cần giải Vì vậy, cần tạo tảng kiến thức vững cho học sinh từ lớp 10 để học sinh tiếp cận dạng toán biết “ quy lạ quen” xử lí nhẹ nhàng SangKienKinhNghiem.net 1 Thí dụ 2.1: Cho hàm số y x m 2019 x 4mx 1, m tham số Tìm m để hàm số có điểm cực tiểu khơng âm Giải Ta có y ' x m 2019 x 4m Vì hàm số bậc ba có cực trị phương trình y ' có hai nghiệm phân biệt Mặt khác, hệ số a nên y ' có hai nghiệm x1 x2 x2 điểm cực tiểu hàm số Do đó, để thỏa mãn u cầu tốn ta cần tìm m để phương trình x m 2019 x 4m * có hai nghiệm thỏa mãn: x1 x2 x1 x2 Để phương trình * có hai nghiệm thỏa mãn: x1 x2 , ta có: + Trường hợp 1: * có hai nghiệm 4m x1 x2 m (m 2019) Lúc phương trình * có hai nghiệm x1 2019, x2 + Trường hợp 2: * có hai nghiệm x1 x2 1.(4m) m Vậy để phương trình * có hai nghiệm thỏa mãn: x1 x2 thi giá trị cần tìm m là: m Để phương trình * có hai nghiệm thỏa mãn: x1 x2 , ta phải có: m 2019 16m m 4054m 20192 m P 4m S m 2019 m 2019 m 2027 32368 Kết luận: Giá trị cần tìm m m m 2027 32368 2.3.2 Dạng 2: So sánh nghiệm phương trình bậc hai với số thực Bài toán 1.2: Cho phương trình: ax bx c 1, a 0, x ¡ , ¡ * a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn: x1 x2 b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn: x1 x2 c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn: x1 x2 Giải Cách 1: Đặt ẩn phụ sử dụng định lí Vi-ét SangKienKinhNghiem.net Bằng việc đặt t x , ta chuyển phương trình cho ẩn t , việc so sánh nghiệm x với tương đương với việc so sánh nghiệm t với số Vấn đề lại quay Dạng Cụ thể: Đặt t x x t , thay vào phương trình (1) ta được: at 2a b t a b c 2 Ta có: x t t Do đó: a) Phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn x1 x2 tương đương phương trình (2) có hai nghiệm t1 t2 (quay Dạng 1) b) Phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn x1 x2 tương đương phương trình (2) có hai nghiệm t1 t2 (quay Dạng 1) c) Phương trình (1) có hai nghiệm thỏa x1 x2 tương đương phương trình (2) có hai nghiệm t1 t2 (quay Dạng 1) Cách 2: Dùng định lí Vi-ét trực tiếp nhờ tính chất số thực a) Ta có: x1 x2 x1 x2 ( x1 )( x2 ) x1 x2 x1 x2 Ta thấy xuất biểu thức đối xứng x1 , x2 nên áp dụng định lí Vi-ét Vậy phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn: x1 x2 2 x1 x2 x1 x2 P S b) Ta có: x1 x2 x1 x2 ( x )( x2 ) ( x1 ) ( x2 ) x1 x2 x1 x2 x x Vậy phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn: x1 x2 x1 x2 x1 x2 P S x x 2 S 2 SangKienKinhNghiem.net c) Ta có: x1 x2 x1 x2 ( x )( x2 ) ( x1 ) ( x2 ) x1 x2 x1 x2 x x Vậy phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn: x1 x2 x1 x2 x1 x2 P S x x 2 S 2 Nếu ta thêm dấu “ = ” vào dấu “ < ” “ > ” có trường hợp Bài tốn 1.1 Cách 1: Đặt ẩn phụ sử dụng định lí Vi-ét (t x x t ) Cách 2: Dùng định lí Vi-ét trực tiếp nhờ tính chất số thực x1 x2 x x Ta có : x1 x2 Do PT (1) có nghiệm thỏa mãn: TH1 x1 x2 t1 t2 a b c c x1 x2 a x1 x2 a b c c a ( x1 )( x2 ) SangKienKinhNghiem.net x1 x2 x x Ta có : x1 x2 Do PT (1) có nghiệm thỏa mãn: TH2 x1 x2 t1 t2 a b c c x1 x2 a x1 x2 a b c c a ( x1 )( x2 ) Ta có: x1 x2 x1 x2 ( x1 )( x2 ) TH3 x1 x2 t1 t2 Do PT (1) có nghiệm thỏa mãn: x1 x2 x x x1 x2 x x Ta có: x1 x2 Do PT (1) có nghiệm thỏa mãn: TH4 x1 x2 t1 t2 TH5 x1 x2 t1 t2 a b c c a x1 x2 x x x1 x2 Ta có: x1 x2 x1 x2 Do PT (1) có nghiệm thỏa mãn: 10 SangKienKinhNghiem.net x1 x2 x1 x2 x1 x2 Ta có: x1 x2 x1 x2 Do PT (1) có nghiệm thỏa mãn: TH6 x1 x2 t1 t2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 Ta có: x1 x2 x1 x2 Do PT (1) có nghiệm thỏa mãn: TH7 x1 x2 t1 t2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 Ta có: x1 x2 x1 x2 Do PT (1) có nghiệm thỏa mãn: TH8 x1 x2 t1 t2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 Ta có: x1 x2 x1 x2 Do PT (1) có nghiệm thỏa mãn: TH9 x1 x2 t1 t2 Phương pháp giải trường hợp Dạng x1 x2 x1 x2 x1 x2 Các biểu thức hệ ĐK cuối đối xứng với x1 , x2 nên ta hồn tồn áp dụng định lí Vi-ét vào để giải Bài tốn 2.2: Cho phương trình: ax bx c 1, a 0, x ¡ , ¡ * a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm: x b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm: x 11 SangKienKinhNghiem.net Giải Cách 1: Đặt ẩn phụ sử dụng định lí Vi-ét Cụ thể: Đặt t x x t , thay vào phương trình (1) ta được: at 2a b t a b c 2 Do đó: a) Phương trình (1) có nghiệm x tương đương (2) có nghiệm t (quay Bài toán 2.1) b) Phương trình (1) có nghiệm x tương đương (2) có nghiệm t (quay Bài tốn 2.1) Cách 2: Dùng định lí Vi-ét trực tiếp nhờ tính chất số thực a) Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn : x x2 x PT(1) có nghiệm thỏa mãn x x b) Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn : x1 x2 x PT(1) có nghiệm thỏa mãn x1 x2 Đây lại trường hợp Bài tốn 1.2 Thí dụ 1.2: Cho hàm số: y m m 1x m 1 x x , ( m tham 1 số) Tìm điều kiện m để hàm số đồng biến khoảng ; 2 Giải Ta có: y ' m m 1x m 1 x 1 Ta phải tìm m để y ' m m 1x m 1 x 0, x ; Do 2 1 a m m m 0, m nên ta có hai trường hợp: 2 + Trường hợp 1: ' m 1 m m 1 m + Trường hợp 2: ' Khi yêu cầu y ' có hai nghiệm thỏa mãn: 12 SangKienKinhNghiem.net ' ' 1 1 x1 x2 1 x1 x2 2 2 0 x1 x2 1 1 x1 x2 2 2 m ' m m 1 x1 x2 x1 x2 m 3m m m 1 m m 1 m m x1 x2 2(1 m) m m 3 x Kết hợp hai trường hợp, giá trị m cần tìm là: 3 m Thí dụ 2.2 Cho hàm số: y x mx m m 1x , ( m tham số) Tìm m để hàm số có điểm cực đại nhỏ Giải Ta có: y ' x 2mx m m Vì hàm số bậc ba có cực trị phương trình y ' có hai nghiệm phân biệt Mặt khác, hệ số a nên y ' có hai nghiệm x1 x2 x1 điểm cực đại hàm số Do đó, để thỏa mãn u cầu tốn ta cần tìm m để phương trình x 2mx m m (**) có hai nghiệm thỏa mãn: x1 x2 x1 x2 Để phương trình ** có hai nghiệm thỏa mãn: x1 x2 , ta có: + Trường hợp 1: ** có hai nghiệm m 3m (Vô nghiệm m ) x1 x2 x1 m m ' + Trường hợp 2: ** có hai nghiệm x1 x2 x1 x2 13 SangKienKinhNghiem.net ' ' 1 m 1 m x x x x ( x 1)( x 1) m Vậy để phương trình ** có hai nghiệm thỏa mãn: x1 x2 giá trị cần tìm m là: m Để phương trình ** có hai nghiệm thỏa mãn: x1 x2 , ta phải có: ' ' ' ( x1 1)( x2 1) x1 x2 ( x1 x2 ) x1 x2 ( x1 1) ( x2 1) x1 x2 (vô nghiệm m ) Kết luận: Giá trị cần tìm m m 2.3.3 Dạng 3: So sánh nghiệm phương trình bậc hai với hai số thực , Bài tốn 1.3: Cho phương trình: ax bx c 1, a 0, x ¡ hai số thực a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn: x1 x2 b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn: x1 x2 c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn: x1 x2 d) Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn: x1 x2 Giải a) Phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn: x1 x2 x1 x2 x x Mỗi điều kiện hệ lại so sánh hai nghiệm phương trình (1) với số thực mà giải Dạng1 Dạng Tương tự ta giải câu lại sau: b) Phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn: x1 x2 x1 x2 x x c) Phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn: x1 x2 x1 x2 x x 14 SangKienKinhNghiem.net d) Phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn: x1 x2 x1 x2 x x Nhận xét: Nếu có thêm dấu “ = ” vào dấu “ < ” “ > ” tốn có nhiều trường hợp Tuy nhiên, cách suy luận tương tự Tức ta tách điều kiện thành hệ điều kiện mà điều kiện hệ so sánh nghiệm phương trình (1) với số thực Thí dụ 1.3 Tìm điều kiện tham số m để hàm số y x (m 1) x m x đồng biến khoảng 1;3 Giải Ta có y ' 3 x 2(m 1) x m Yêu cầu toán tương đương với tìm m để 3 x 2(m 1) x m 0, x 1;3 Do hệ số a 3 nên ' ' 3 x 2(m 1) x m 0, x 1;3 x1 1 x2 x1 1 x2 x x Giải ĐK: ' (m 1) 3m 0, m x 1 x2 x 1 x2 Giải ĐK: x1 1 x2 x1 1 x2 x1 x2 3(1) 2(m 1) m m m m 1 x2 3 m m x1 x2 x1 x2 ( x1 1)( x2 1) x x2 x x2 Giải ĐK: x1 x2 x1 x2 x1 x2 3(3) 6(m 1) m m 3 30 m 3 30 x1 m x x 3( x x ) m 30 2 ( x1 3)( x2 3) Kết hợp ba điều kiện ta có: m 3 30 m Nhận xét: Nếu sử dụng cách đặt ẩn phụ ta giải thí dụ ta phải hai lần đặt ẩn phụ lần đặt giúp ta so sánh nghiệm với số thực để so sánh với số thực khác phải đặt ẩn Điều có 15 SangKienKinhNghiem.net thể gây phức tạp làm toán rắc rối thêm Nên việc sử dụng định lí Vi-ét trực tiếp thể rõ ưu cần so sánh nghiệm với hai số thực Tất nhiên toán giải phương pháp hàm số Thí dụ 2.3 Cho hình vng ABCD cạnh Gọi M , N · 450 Chứng minh rằng: điểm di động cạnh AD CD cho MBN SMBN Giải 450 AM x, 0 x 1 Đặt NC y , y tan x Khi đó: tan y Ta có: 1 SBMN x y 1 x 1 y 2 1 xy Dễ thấy 450 , suy : tan tan 450 x y x y xy Khi x, y nghiệm xy phương trình bậc hai ẩn t sau: t 1 xy t xy 3 Vì tồn x, y thỏa mãn x, y hiển nhiên nên phương trình 3 0 t1 t2 ln có hai nghiệm thỏa mãn: t1 t2 t1 t2 Áp dụng TH6 Dạng 1, TH9 Dạng ta có: P 0 t1 t2 PT 3 có hai nghiệm thỏa mãn: S t t 1 t 1 t 1 t1 1 t2 1 16 SangKienKinhNghiem.net 1 xy xy xy 2 xy xy xy P 1 xy S 0 xy t 1 t 1 xy t1t2 t1 t2 xy 1 t1 1 t2 1 t1 t2 1 xy 20 xy 2 xy 2 xy xy 2 xy 1 1 xy Dấu “=” xảy x; y 0;1 1;0 2 1 SBMN 1 xy 2 Dấu “=” xảy x y 2 Thí dụ 3.3 Cho tam giác ABC cạnh Gọi O trọng tâm tam giác, điểm M di động cạnh AB , đoạn MO cắt đoạn AC N Chứng Suy SBMN minh rằng: 3 SAMN Giải AM x, Đặt AN y, Ta có: AO SAMN SAMO SANO 1 x 1 2 1 y 1 2 AH Suy 3 1 AM AO.sin 300 AN AO.sin 300 2 17 SangKienKinhNghiem.net 1 3 x y x y (4) 2 12 Mặt khác SAMN xy sin 600 xy (5) Từ (4) (5) suy ra: 3 x y xy x y 3xy Khi x, y 12 nghiệm phương trình bậc hai ẩn t sau: t xyt xy 6 Vì tồn x, y thỏa mãn x, y hiển nhiên nên phương trình 6 1 t t ln có hai nghiệm thỏa mãn: t1 t2 2 t1 t2 Áp dụng TH6, TH9 Dạng ta có: 1 t1 t2 2 1 1 1 t t PT 6 có hai nghiệm thỏa mãn: 2 t1 t2 2 2 t1 t2 t1 1t2 1 t1 1 t2 1 9 xy 2 xy 1 1 t1 t1t2 t1 t2 xy xy t2 2 4 1 1 1 t1 t2 t1 t2 3 xy 2 2 4 t1 1t2 1 t1t2 t1 t2 xy xy 3 xy t1 1 t2 1 t1 t2 xy Suy SAMN 3 1 1 xy Dấu “=” xảy x; y ;1 1; 4 2 2 18 SangKienKinhNghiem.net ... Vi-ét giải dạng toán 2.3.1 Dạng 1: So sánh nghiệm phương trình bậc hai 2.3.2 Dạng 2: So sánh nghiệm phương trình bậc hai với số thực 2.3.3 Dạng 3: So sánh nghiệm phương trình bậc hai với hai. .. áp dụng định lí Vi-ét vào Vì quen làm việc so sánh với số 2.3 Vận dụng định lí Vi-ét giải số dạng tốn so sánh nghiệm phương trình bậc hai với số thực, hai số thực 2.3.1 Dạng 1: So sánh nghiệm phương. .. tảng để áp dụng giải dạng toán 1.3 Đối tượng nghiên cứu Để hồn thành viết tơi nghiên cứu định lí Vi-ét, dạng tốn so sánh nghiệm phương trình bậc hai với số 0, số thực bất kì, hai số thực làm