(SKKN HAY NHẤT) rèn luyện tư duy cho học sinh lớp 11 trường THPT nông cống 3 thông qua bài toán về góc trong hình học không gian

1 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Hình học khơng gian chiếm vai trị quan trọng chương trình Tốn THPT Nội dung phần hình học khơng gian trình bày chương trình hình học 11 Qua nhiều lần thay đổi cách thức thi song hình học không gian nội dung xuất đề thi Tốt nghiệp THPT, ĐH-CĐ thi TN THPT Quốc gia Qua nhiều năm giảng dạy Tốn lớp 11 phần hình học khơng gian tơi phát có nhiều học sinh lúng túng việc lựa chọn cách giải nào, phương pháp nào, khơng có kĩ trình bày bài, hay sai lầm “ngộ nhận” việc giải dẫn đến kết sai Nguyên nhân em chưa nắm vững lý thuyết, chưa phân tích kỹ đề vội vàng đưa lời giải Bài tốn “góc” hình học khơng gian nội dung trọng tâm Học tốn “góc” giúp học sinh phát triển tư logic, phát triển trí tuệ tính sáng tạo, rèn luyện kĩ tính tốn, ứng dụng thực tế Từ kinh nghiệm giảng dạy tốn góc sách giáo khoa hình học 11 toán đề thi tuyển sinh THPT quốc gia tìm hiểu cách giải số tập “góc” rút phương pháp phù hợp để giải tốn “góc” hình học khơng gian Thực tế giảng dạy cho thấy, học sinh cần có tài liệu trình bày có hệ thống tốn “góc” hình học khơng gian để học tập tốt Vì tơi chọn đề tài: “Rèn luyện tư cho học sinh lớp 11 trường THPT Nơng Cống thơng qua tốn góc hình học khơng gian” với mong muốn trang bị cho học sinh tảng kiến thức nâng cao từ đưa số kỹ giúp học sinh giải toán nhanh hơn, chặt chẽ kiến thức học góp phần nâng cao chất lượng dạy học, tạo tự tin cho học sinh kỳ thi Tài liệu giúp cho giáo viên bồi dưỡng chuyên môn nâng cao khả thân Do trình bày tốn, tơi theo trình tự: Ý tưởng – Lời giải – Kinh nghiệm, với mong muốn có nhìn sâu sắc cách tư kinh nghiệm giải toán 1.2 Mục đích nghiên cứu - Tạo cho học sinh say mê, hứng thú môn học; - Giúp học sinh nâng cao tư duy, kĩ tính tốn, hạn chế sai lầm làm Từ cung cấp, bổ sung vào hành trang kiến thức bước vào kì thi THPT Quốc gia; - Giúp cho thân đồng nghiệp có thêm tư liệu để ơn tập cho học sinh 1.3 Đối tượng nghiên cứu Sáng kiến nghiên cứu tốn “góc” thuộc phần hình học khơng gian chương trình hình học lớp 11 áp dụng học sinh lớp 11A6, 11A7 năm học 2019 – 2020 lớp 11B2, 11B9 năm học 2020- LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 2021 Trong phạm vi sáng kiến, tơi đưa số ví dụ điển hình cho số tốn “góc” để phân tích, hướng tiếp cận giải tốn 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu Toán lớp 11; - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết; - Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nội dung 2.1 Cơ sở lí luận 2.1.1 Các định nghĩa *Góc hai đường thẳng khơng gian: Góc hai đường thẳng khơng gian góc hai đường thẳng qua điểm song song với *Góc đường thẳng mặt phẳng Cho đường thẳng mặt phẳng Trường hợp đường thẳng đường thẳng vng góc với mặt phẳng mặt phẳng Trường hợp đường thẳng hình chiếu ta nói góc khơng vng góc với mặt phẳng gọi góc đường thẳng góc mặt phẳng *Góc hai mặt phẳng Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng 2.1.2 Các định lí Định lí 1: Định lí 2: Định lí 3: Định lí 4: Định lí 5: 2.2 Thực trạng vấn đề Trong kỳ thi tốt nghiệp, ĐH- CĐ thi TN THPT Quốc gia chuyển từ hình thức tự luận sang trắc nghiệm tốn góc phần hình học khơng gian thường hay xuất hiện, với mục đích nhà giáo dục dành cho học sinh có học lực khá, giỏi Qua nhiều năm giảng dạy Toán lớp 11 phần LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com “góc” khơng gian tơi phát có nhiều học sinh lúng túng việc lựa chọn cách giải nào, phương pháp nào, khơng có kĩ trình vẽ hình, bày bài, hay sai lầm “ngộ nhận” việc giải dẫn đến kết sai Nguyên nhân em chưa nắm vững lý thuyết, chưa phân tích kỹ đề vội vàng đưa lời giải Đặc biệt thi trắc nghiệm có phương án nhiễu học sinh dễ mắc sai lầm Do đó, rèn luyện tư cho học sinh giải số tốn “góc” khơng gian yêu cầu cần thiết 2.3 Giải pháp sử dụng để giải vấn đề - Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ giải tốn thơng qua (hay nhiều) buổi học có hướng dẫn giáo viên - Tổ chức rèn luyện khả định hướng giải tốn học sinh Trong u cầu khả lựa chọn lời giải ngắn gọn sở phân tích tốn “góc” khơng gian - Tổ chức kiểm tra để thu thập thông tin khả nắm vững kiến thức học sinh - Trong tốn “góc” khơng gian yêu cầu học sinh thực phân tích chất đưa hướng khai thác mở rộng cho toán - Cung cấp hệ thống tập mở rộng để học sinh tự rèn luyện * Cụ thể: 2.3.1 GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG 2.3.1.1 TÍNH GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP DỰNG HÌNH a Phương pháp Trong khơng gian chọn gốc cho qua dựng Khi b Các ví dụ Ví dụ Cho tứ diện Gọi có Gọi trung điểm Tính góc tạo hai đường thẳng Giải: trung điểm , suy ra: A Khi có: Xét tam giác ta N I B D M C LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Suy Chú ý: hay Trong ví dụ chưa thể kết luận ln góc nhọn nên ta khơng phép viết ln (các bạn thấy rõ điều qua ví dụ vừa rồi) Ví dụ Cho tứ diện có cạnh đáy Tính góc hai đường thẳng Giải: Dựng góc Gọi trung điểm đường trung bình tam giác Khi ta có Xét tam giác , trung điểm có : Vậy Cách 2: Ta có: Ví dụ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AB = a, Gọi G trọng tâm tam giác SCD Tính góc đường thẳng BG với đường thẳng SA Giải: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Gọi M trung điểm CD, Gọi , suy Suy Vì G, E trọng tâm tam giác SCD ACD nên Kẻ GK song song với SO cắt OM K, suy K hình chiếu G mp Ta có: , , Vì nên , suy Xét tam giác BEG, có , , , suy Ví dụ Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc, góc OCB , góc ABO Điểm M nằm cạnh AB cho AM = BM Tính góc hai đường thẳng CM OA Giải: Gọi H hình chiếu M lên mp Vì nên Suy Đặt Ta có Ta có , Suy LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng , hai đường thẳng BF AC Gọi F trung điểm SC, tính góc Giải: Gọi O giao điểm AC BD Lại có Vậy nên Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, Hai mặt phẳng đến mặt phẳng Hai mặt phẳng vng góc với mặt đáy, khoảng cách từ A Tính góc tạo hai đường thẳng SB AC Giải: cắt theo giao tuyến SA vng góc với mặt phẳng nên Dựng Ta có : Vậy , từ suy Tam giác SAB vng A, đường cao AK nên ta có : Dựng hình bình hành ACBD hình vẽ, đó: Tính nên tam giác SBD LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Vậy Ví dụ Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh , mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Gọi trung điểm cạnh Tính cơsin góc hai đường thẳng Giải: Gọi trung điểm Ta có , trung điểm , với trung điểm ; ; ( Định lí cơsin đỉnh lên ) : Ví dụ Cho hình chóp điểm hai đường chéo vng có đáy hình chữ nhật, , có giao Hình chiếu vng góc trung điểm , Tính cơsin góc Giải: Ta thấy: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Định lí cơsin tam giác Ví dụ Cho hình lăng trụ tam giác mặt đáy đường thẳng Gọi có cạnh bên trung điểm , góc tạo Tính cosin góc tạo Giải: Ta có Trong có: Mặt khác ; (Trung tuyến tam giác đều) Gọi trung điểm Xét tam giác , ta có nên ta có: Khi 2.3.1.2 TÍNH GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH VƠ HƯỚNG a Phương pháp LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Với vectơ phương đường thẳng Khi đó: *Lưu ý: để tính ta cần phân tích theo vectơ sở b Các ví dụ Ví dụ Cho tứ diện có cạnh đáy , trung điểm Tính góc hai đường thẳng Giải: Ta có: Ví dụ Cho hình lăng trụ tam giác mặt đáy đường thẳng Gọi trung điểm có cạnh bên , góc tạo Tính cosin góc tạo Giải: Lăng trụ lăng trụ đứng có đáy tam giác Áp dụng cơng thức: Ta có 10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ví dụ Cho hình chóp có đáy hình vng tâm Góc hợp đáy chiếu vng góc lên đường thẳng Gọi Tính cạnh , hình góc mặt phẳng Giải: Phân tích: Nhận thấy ta làm trực tiếp nhiên cách làm dài ta nghĩ đến cách làm gián tiếp cách Gọi góc đường thẳng mặt phẳng Ta chứng minh Khi Ta có góc Khi tam giác góc vng cân Nhận thấy vng có nên tam giác Khi : Ví dụ Cho hình chóp , có đáy Gọi Tính góc đường thẳng Dễ dàng nhận thấy dựa vào quan hệ song song Ta có: góc góc Ta có : Hình chiếu Do góc giữa trọng tâm tam giác cạnh , và mặt phẳng Giải: ta sử dụng phương pháp gián tiếp mặt phẳng mặt phẳng lên mặt phẳng mặt phẳng góc nhọn hình vng tâm là góc 17 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tam giác vng : Vậy góc mặt phẳng 2.3.2.2 TÍNH GĨC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA a Phương pháp Tính có vtpt thì: b Các ví dụ Ví dụ Cho hình chóp có đáy hình vng tâm cạnh , cạnh bên Gọi trung điểm Tính góc mặt phẳng Giải: Chọn hệ trục toạ độ hình vẽ: Ta có , , , , , , Véctơ pháp tuyến là: Ví dụ Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc Góc đường thẳng AC mp(OBC) , , Gọi M trung điểm cạnh OB.Tính góc đường thẳng OA với mặt phẳng Giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với 18 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Suy ra, Gọi góc OA với (ACM), Suy Ví dụ Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh , tam giác tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Gọi trung điểm Chọn hệ trục tọa độ có gốc trục tung , trục cao , , Tính cơsin góc Giải: , trục hồnh , ; Ta có: vectơ pháp tuyến Vậy Ví dụ Cho hình lăng trụ đứng có Tính góc tạo đường thẳng Giải: 19 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ta tính BH  2a 6; AH  a Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Khi ta có: A(0;0;0); C (6a;0;3a); B(a; 2a 6;0) ( AACC )   Oxz   ( AACC ) : y  Ta có  Lại có : BC   (5a; 2a 6;3a)  a(5; 6;3)  ACC A  có VTPT n  (0;1;0) Ta có :  BC  có VTCP u  (5; 6;3)  n.u 87 sin  BC ;( ACC A)      n.u 29 Khi Đặt    BC ,( ACC A)  ADCT  cot   17 51  cot    tan   sin  12 17 Vậy góc BC  ( ACC A) Ví dụ Cho hình lăng trụ   arctan có mặt đáy tam giác cạnh Hình chiếu vng góc điểm cạnh 51 17 lên mặt phẳng trùng với trung Biết góc cạnh bên mặt đáy hai đường thẳng Tính góc Giải: Chọn hệ trục tọa độ cho: , Mặt phẳng có vtpt VTCP đường thẳng là: Khi đó: Vậy 2.3.3 GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG 2.3.3.1 TÍNH GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP DỰNG HÌNH a Phương pháp.Gọi góc hai mặt phẳng 20 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com *Cách 1: Dùng định nghĩa góc hai mặt phẳng *Cách 2: Dùng cách xác định góc hai mặt phẳng dựng trực tiếp góc *Cách 3: Dùng cơng thức diện tích Đa giác nằm mặt phẳng Đa giác có diện tích hình chiếu đa giác lên mặt phẳng có diện tích góc Khi ta có: Cách 4: Quy góc đường thẳng mặt phẳng Ta có với Khi góc tạo hai mặt phẳng góc tạo b Các ví dụ và Ví dụ Cho hình chóp có đáy hình thoi cạnh , , , phẳng trung điểm Tính góc tạo hai mặt Giải: Cách 1: Dựng trực tiếp góc Gọi trung điểm Ta có tam giác cạnh nên Ta có: 21 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Suy góc hai mặt phẳng góc nhọn góc hợp Cách 2: Ta sử dụng công thức Nhận thấy tam giác hình chiếu tam giác lên mặt phẳng Tam giác Tam giác cạnh nên có Khi với góc tạo hai mặt phẳng Lại có: Ví dụ Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc Góc đường thẳng AC mp(OBC) , , Gọi M trung điểm cạnh OB Tính góc hai mặt phẳng (AMC) (ABC) Giải: Ta sử dụng phương pháp quy góc đường với mặt Ta có Góc AC mp(OBC) Suy Suy Suy 22 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Kẻ OI vng góc với AC I suy BI vng góc với AC Tam giác OIB vng O có Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy Tính góc hai mặt phẳng Giải: Cách : Dựng trực tiếp góc Ta chứng minh Kẻ Ta có Từ Vậy Tam giác SBC vuông B, đường cao BH nên ta có Áp dụng định lí sin vào tam giác BHD ta có Vậy Cách 2: Tính góc hai mặt phẳng định nghĩa Gọi hình chiếu lên Ta chứng minh Khi góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng Tam giác vng cân có 23 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nên trung điểm Do tam giác nên góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng Ví dụ Cho hình chóp Gọi góc có cạnh bên và vng góc với đáy, hình chiếu vng góc Tính cơsin góc hai mặt phẳng Giải: Phân tích: Để tính góc hai mặt phẳng lên ta nhận thấy có ta tìm dựng đường thẳng vng góc với mặt phẳng Sau áp dụng định nghĩa để tính góc hai đường thẳng Gọi đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác Ta chứng minh Lại có Khi góc hai mặt phẳng hai đường thẳng Ta có góc góc nhọn Lại có Vậy cosin góc hai mặt phẳng Ví dụ Cho hình lăng trụ cạnh hai mặt phẳng có mặt đáy tam giác cạnh Hình chiếu vng góc điểm lên mặt phẳng trùng với trung Biết góc cạnh bên mặt đáy Tính góc 24 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Giải: Gọi điểm đối xứng với qua điểm ta có: Kẻ ; Ta có: Khi đó: Xét tam giác vng Xét tam giác vng có: ta có: Vậy 2.3.3.2 TÍNH GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA a Phương pháp Góc hai mặt phẳng : có vecto pháp tuyến ; có vtpt , đó: b Các ví dụ Ví dụ Cho tứ diện đường thẳng mp có đơi vng góc Góc , , điểm cạnh Tính góc hai mặt phẳng Giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với Gọi trung bằng: 25 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Suy ra, , Gọi góc (ABC) với (ACM), Suy Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy Tính góc hai mặt phẳng Giải: Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Khi Suy Mặt phẳng có VTPT : Mặt phẳng có VTPT : Vậy Ví dụ Cho hình lăng trụ có mặt đáy tam giác cạnh Hình chiếu vng góc điểm cạnh hai mặt phẳng lên mặt phẳng trùng với trung Biết góc cạnh bên mặt đáy Tính góc là: Giải: 26 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chọn hệ trục tọa độ cho: Mặt phẳng Mặt phẳng , có vtpt có vtpt: Vậy Ví dụ Cho hình lăng trụ cạnh bên mặt phẳng có đáy tam giác cạnh , Tính giá trị với góc hai mặt phẳng Giải: Chọn hệ trục toạ độ hình vẽ: Véctơ pháp tuyến Véctơ pháp tuyến là: là: 27 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ta có: 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Đối với thân, sáng kiến kinh nghiệm hội để tơi tiếp tục hồn thiện nữa, làm sở cho trình đổi phương pháp giảng dạy nhằm đem lại hiệu cao cho học sinh Thông qua việc áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy học sinh hứng thú học tập mơn tốn, em bước đầu biết gắn học lý thuyết với thực tế, em chủ động, linh hoạt, sáng tạo không bị động, em cởi bỏ tâm lý e ngại, lười hoạt động Từ nâng cao chất lượng giáo dục nhà trường Đây tiền đề để phụ huynh học sinh quyền địa phương yên tâm gửi gắm em vào nhà trường Trong năm học 2019 – 2020 phân công dạy lớp 11A6, 11A7, 11A8, áp dụng sáng kiến vào giảng dạy lớp 11A6, 11A7, năm học 2020 – 2021 ttooi phân công dạy lớp 11B2, 11B9 áp dụng vào giảng dạy nhận thấy đa số học sinh u thích dạng tốn này, tích cực tìm tịi lời giải giải tốn Khi tơi thực tiết dạy đa số học sinh hiểu khơng cịn lúng túng việc chọn cách giải cho toán Kết kiểm tra cuối chương, cuối kỳ nâng cao Cụ thể sau: Lớp áp dụng: Lớp Kết kiểm tra Cuối chương: 90% điểm TB 11A7 Cuối kỳ 2: 81% HS làm BT phần “góc” không gian Cuối chương: 86% điểm TB 11A6 Cuối kỳ 2: 79% HS làm BT phần “góc” không gian Cuối chương: 91% điểm TB 11B2 Cuối kỳ 2: 83% HS làm BT phần “góc” không gian Cuối chương: 86% điểm TB 11B9 Cuối kỳ 2: 79% HS làm BT phần “góc” không gian Lớp 11A8 dạy không áp dụng: Lớp Kết kiểm tra Cuối chương: 52% điểm TB 11A8 Cuối kỳ 1: 36% HS làm BT phần “góc” không gian Căn kết nêu trên, bước đầu mong muốn góp phần nâng cao tỉ lệ môn kết học tập, rèn luyện học sinh Ðiều 28 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com khẳng định sáng kiến tơi có hiệu việc dạy học Trong năm học sau tiếp tục áp dụng cho số lớp khối 11, đồng thời tìm tịi, thu thập thêm ví dụ, dạng tốn khác bổ sung để sáng kiến ngày hoàn thiện 29 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Kết luận – Kiến nghị 3.1 Kết luận Hình học khơng gian nội dung khó nên học sinh dễ buông xuôi, không chịu đầu tư, học hỏi Qua trình giảng dạy, tơi nắm bắt số dạng toán nội dung mà học sinh thường hay mắc thực làm tập Từ phân tích khắc sâu cho học sinh q trình giảng dạy, giúp em nhanh chóng tìm phương án giải tập giao Với kết đối chiếu cho thấy kinh nghiệm nêu bước đầu có hiệu Do đó, tơi tổng hợp, trình bày lại với mong muốn đẩy mạnh phong trào thi đua học tập sơi nổi, góp phần nâng cao kết học tập môn kết học tập, rèn luyện học sinh Trong năm học tơi tiếp tục tìm tịi, thu thập thêm ví dụ, dạng toán khác bổ sung để sáng kiến ngày hồn thiện Thơng qua sáng kiến kinh nghiệm tơi mong muốn đóng góp phần cơng sức nhỏ bé việc hướng dẫn học sinh ứng dụng khai thác tốt tốn “góc” khơng gian Đồng thời hình thành khả tư duy, sáng tạo, kỹ giải nhanh tốn trắc nghiệm, từ tạo hứng thú cho em học toán Tuy nhiên kinh nghiệm giảng dạy chưa nhiều, trình độ thân cịn hạn chế nên tơi mong đóng góp bổ sung Hội đồng khoa học cấp bạn đồng nghiệp 3.2 Kiến nghị - Đối với nhà trường : Cần đầu tư nhiều trang thiết bị dạy học ; Tích cự tổ chức buổi thảo luận, hội thảo chuyên môn - Đối với Sở giáo dục : Chúng mong muốn tham dự nhiều buổi tập huấn chuyên môn, buổi hội thảo khoa học để trao đổi kinh nghiệm ; Ngoài sáng kiến kinh nghiệm có chất lượng đề nghị Sở phổ biến rộng rãi trường để chúng tơi áp dụng q trình dạy học XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 12 tháng năm 2021 Tôi xin cam đoan SKKN mình, khơng chép nội dung người khác Mạc Lương Thao 30 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Châu Văn Điệp nhóm tác giả, Cơng phá tốn 2, Nxb ĐHQG Hà Nội [2] Đồn Quỳnh, Hướng dẫn ơn tập kỳ thi THPT Quốc Gia năm học 2017-2018, Nxb Giáo dục Việt Nam [3] Kiselev, Hình học khơng gian, Nxb Quốc gia Hà Nội [4] Lê Hồnh Phị, 10 trọng điểm bồi dưỡng HSG, Nxb ĐHQG Hà Nội [5] Nguyễn Bá Tuấn, Tuyển tập đề thi phương pháp giải nhanh toán trắc nghiệm, ĐHQG Hà Nội [6] Nguyễn Duy Hiếu, Giải tốn hình học 11, Nxb ĐH sư phạm [7] Trần Phương, Bài giảng trọng tâm ôn luyện môn toán tập 2, Nxb ĐH Quốc Gia Hà Nội 31 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... phương án nhiễu học sinh dễ mắc sai lầm Do đó, rèn luyện tư cho học sinh giải số toán ? ?góc? ?? khơng gian u cầu cần thiết 2 .3 Giải pháp sử dụng để giải vấn đề - Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ... sang trắc nghiệm tốn góc phần hình học khơng gian thường hay xuất hiện, với mục đích nhà giáo dục dành cho học sinh có học lực khá, giỏi Qua nhiều năm giảng dạy Toán lớp 11 phần LUAN VAN CHAT... thông tin khả nắm vững kiến thức học sinh - Trong tốn ? ?góc? ?? khơng gian u cầu học sinh thực phân tích chất đưa hướng khai thác mở rộng cho toán - Cung cấp hệ thống tập mở rộng để học sinh tự rèn