(SKKN 2022) rèn luyện tư duy cho học sinh lớp 11 trường THPT nông cống 3 thông qua bài toán về góc trong hình học không gian

1 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Hình học khơng gian chiếm vai trị quan trọng chương trình Tốn THPT Nội dung phần hình học khơng gian trình bày chương trình hình học 11 Qua nhiều lần thay đổi cách thức thi song hình học không gian nội dung xuất đề thi Tốt nghiệp THPT, ĐH-CĐ thi TN THPT Quốc gia Qua nhiều năm giảng dạy Tốn lớp 11 phần hình học khơng gian tơi phát có nhiều học sinh lúng túng việc lựa chọn cách giải nào, phương pháp nào, khơng có kĩ trình bày bài, hay sai lầm “ngộ nhận” việc giải dẫn đến kết sai Nguyên nhân em chưa nắm vững lý thuyết, chưa phân tích kỹ đề vội vàng đưa lời giải Bài tốn “góc” hình học khơng gian nội dung trọng tâm Học tốn “góc” giúp học sinh phát triển tư logic, phát triển trí tuệ tính sáng tạo, rèn luyện kĩ tính tốn, ứng dụng thực tế Từ kinh nghiệm giảng dạy tốn góc sách giáo khoa hình học 11 toán đề thi tuyển sinh THPT quốc gia tìm hiểu cách giải số tập “góc” rút phương pháp phù hợp để giải tốn “góc” hình học khơng gian Thực tế giảng dạy cho thấy, học sinh cần có tài liệu trình bày có hệ thống tốn “góc” hình học khơng gian để học tập tốt Vì tơi chọn đề tài: “Rèn luyện tư cho học sinh lớp 11 trường THPT Nơng Cống thơng qua tốn góc hình học khơng gian” với mong muốn trang bị cho học sinh tảng kiến thức nâng cao từ đưa số kỹ giúp học sinh giải toán nhanh hơn, chặt chẽ kiến thức học góp phần nâng cao chất lượng dạy học, tạo tự tin cho học sinh kỳ thi Tài liệu giúp cho giáo viên bồi dưỡng chuyên môn nâng cao khả thân Do trình bày tốn, tơi theo trình tự: Ý tưởng – Lời giải – Kinh nghiệm, với mong muốn có nhìn sâu sắc cách tư kinh nghiệm giải toán 1.2 Mục đích nghiên cứu - Tạo cho học sinh say mê, hứng thú môn học; - Giúp học sinh nâng cao tư duy, kĩ tính tốn, hạn chế sai lầm làm Từ cung cấp, bổ sung vào hành trang kiến thức bước vào kì thi THPT Quốc gia; - Giúp cho thân đồng nghiệp có thêm tư liệu để ơn tập cho học sinh 1.3 Đối tượng nghiên cứu Sáng kiến nghiên cứu toán “góc” thuộc phần hình học khơng gian chương trình hình học lớp 11 áp dụng học sinh lớp 11B2, 11B9 năm học 2020 – 2021 lớp 11C2, 11C9 năm học 20212022 Trong phạm vi sáng kiến, tơi đưa số ví dụ điển hình cho số tốn “góc” để phân tích, hướng tiếp cận giải toán 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu Toán lớp 11; - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết; - Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm 2 Nội dung 2.1 Cơ sở lí luận 2.1.1 Các định nghĩa *Góc hai đường thẳng khơng gian: Góc hai đường thẳng a′ a b′ b khơng gian góc hai đường thẳng qua điểm song song với *Góc đường thẳng mặt phẳng (α) d Cho đường thẳng mặt phẳng Trường hợp đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (α) d 900 đường thẳng mặt phẳng Trường hợp đường thẳng d a b (α ) ta nói góc (α ) d khơng vng góc với mặt phẳng góc (α ) d′ d hình chiếu gọi góc đường thẳng mặt phẳng (α) *Góc hai mặt phẳng Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng 2.1.2 Các định lí Định lí 1: Định lí 2: Định lí 3: Định lí 4:  d ⊥ a, d ⊥ b   a, b ⊂ ( α ) ⇒ d ⊥ ( α ) a ∩ b  a ⊥ ( β ) ⇒ a ⊥ (α)  β // α ( ) ( )  ( α ) ⊥ ( β )  ( α ) ∩ ( β ) = c ⇒ a ⊥ ( α )  a ⊂ ( β ) , a ⊥ c ( α ) ⊥ ( γ )  ⇒ a ⊥ (γ ) ( β ) ⊥ ( γ )  ( α ) ∩ ( β ) = a ( α ) // ( β ) ⇒ a ⊥ (α)  a ⊥ ( β ) Định lí 5: 2.2 Thực trạng vấn đề Trong kỳ thi tốt nghiệp, ĐH- CĐ thi TN THPT Quốc gia chuyển từ hình thức tự luận sang trắc nghiệm tốn góc phần hình học khơng gian thường hay xuất hiện, với mục đích nhà giáo dục dành cho học sinh có học lực khá, giỏi Qua nhiều năm giảng dạy Tốn lớp 11 phần “góc” khơng gian tơi phát có nhiều học sinh lúng túng việc lựa chọn cách giải nào, phương pháp nào, khơng có kĩ trình vẽ hình, bày bài, hay sai lầm “ngộ nhận” việc giải dẫn đến kết sai Nguyên nhân em chưa nắm vững lý thuyết, chưa phân tích kỹ đề vội vàng đưa lời giải Đặc biệt thi trắc nghiệm có phương án nhiễu học sinh dễ mắc sai lầm Do đó, rèn luyện tư cho học sinh giải số tốn “góc” khơng gian yêu cầu cần thiết 2.3 Giải pháp sử dụng để giải vấn đề - Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ giải tốn thơng qua (hay nhiều) buổi học có hướng dẫn giáo viên - Tổ chức rèn luyện khả định hướng giải tốn học sinh Trong yêu cầu khả lựa chọn lời giải ngắn gọn sở phân tích tốn “góc” không gian - Tổ chức kiểm tra để thu thập thông tin khả nắm vững kiến thức học sinh - Trong tốn “góc” không gian yêu cầu học sinh thực phân tích chất đưa hướng khai thác mở rộng cho toán - Cung cấp hệ thống tập mở rộng để học sinh tự rèn luyện * Cụ thể: 2.3.1 GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG 2.3.1.1 TÍNH GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP DỰNG HÌNH a Phương pháp Trong khơng gian chọn gốc qua O dựng a′//a  b′//b cho ( a, b ) = ( a′, b′ ) Khi b Các ví dụ O Ví dụ Cho tứ diện BC , AD ABCD có AB = CD = 2a Gọi M,N MN = a trung điểm Tính góc tạo hai đường thẳng Giải: AC I Gọi trung điểm , suy ra: AB CD  MI / / AB; NI / / CD   MI = NI = a Khi có: (·AB, CD) = (·MI , NI ) Xét tam giác MIN ta MI + NI − MN 2a − 3a · cos MIN = = =− 2 MI NI 2a · ⇒ MIN = 1200 Suy Chú ý: (·MI , NI ) = 600 hay (·AB, CD) = 600 Trong ví dụ chưa thể kết luận ln · MIN góc nhọn · (·AB, CD ) = (·MI , NI ) = MIN nên ta không phép viết (các bạn thấy rõ điều qua ví dụ vừa rồi) ABCD a M CD Ví dụ Cho tứ diện có cạnh đáy , trung điểm Tính góc hai đường thẳng AC BM Giải: Dựng góc N AD ⇒ MN Gọi trung điểm đường trung ADC ⇒ MN //AC bình tam giác ( AC , BM ) = ( MN , BM ) Khi ta có Xét tam giác BM = BN = · cos BMN = BMN có : a a , MN = AC = 2 2 BM + MN − BN · = ⇒ BMN = 73013′ BM MN · = 73013′ ( AC , BM ) = ( MN , BM ) = BMN Vậy Cách 2: Ta có: uuur uuuu r uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur AC.BM = AC BD + BC = AC BD + AC BC 2 ( ) uuur uuur uuur uuur uuur uuur = AC.BC + AC.CD + AC.BC 2 uuu r uuu r uuu r uuur · = CA.CB − CA.CD = CA.CB.cos ·ACB − CA.CD.cos ACD 2 = a2 a2 a2 − = 4 uuur uuuu r AC.BM uuur uuuu r cos ( AC , BM ) = cos AC , BM = uuur uuuu r = AC BM ( ) a2 a a = ⇒ ( AC , BM ) = 73013′ SA = a Ví dụ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AB = a, Gọi G trọng tâm tam giác SCD Tính góc đường thẳng BG với đường thẳng SA Giải: Gọi M trung điểm CD, Gọi GE //SA E = BD ∩ AM , suy (·BG, SA) = (·BG, GE ) Suy Vì G, E trọng tâm tam giác SCD ACD a GE = SA = 3 nên Kẻ GK song song với SO cắt OM K, suy K hình chiếu G mp AO = Ta có: a 2 SO = , a 10 , a 10 2a GK = SO = BE = ( ABCD ) Vì OK = OM OK = nên a BK = , suy 2a a a 11 GE = BG = 3 BE = Xét tam giác BEG, có · cos BGE = a 34 a 11 ⇒ BG = , 2 , , BG + GE − BE 33 = BG.GE 11 suy Ví dụ Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc, góc OCB 300 600 AC = a , góc ABO Điểm M nằm cạnh AB cho AM = BM Tính góc hai đường thẳng CM OA Giải: Gọi H hình chiếu M lên mp AM = BM   OH = HB Vì nên Suy Đặt ( OBC ) · , CM ) = ( MH · , CM ) = CMH · (OA OB = x Ta có OA = x 3, OC = x OA2 + OC = x = AC = 6a ⇒ x = a Ta có a a 31 MH = OA = HC = OC + OH = 3 , · tan(CMH )= HC 93 = HM Suy Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng ( ABCD ) SA = 2a ϕ góc với mặt phẳng , Gọi F trung điểm SC, tính góc hai đường thẳng BF AC Giải: Gọi O giao điểm AC BD Lại có OF //SA ⇒ OF ⊥ ( ABCD ) ⇒ OF ⊥ AC AC ⊥ BD nên AC ⊥ ( BDF ) ⇒ AC ⊥ BF Vậy (·AC , BF ) = 900 Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, Hai mặt phẳng đến mặt phẳng Hai mặt phẳng ( SAB ) ( SBC ) ( SAB ) ( SAC ) a 2 ϕ tạo hai đường thẳng SB AC Giải: cắt theo giao tuyến SA vng góc với mặt phẳng nên SA ⊥ ( ABCD ) Dựng AK ⊥ SB vng góc với mặt đáy, khoảng cách từ A Tính góc ( SAC ) AB = a ( ABCD ) Ta có : BC ⊥ AB, BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ ( SAC ) ⇒ BC ⊥ AK AK = AK ⊥ ( SBC ) a 2 Vậy , từ suy Tam giác SAB vng A, đường cao AK nên ta có : SA = AK − AB = a − a = a2 ⇒ SA = a Dựng hình bình hành ACBD hình vẽ, đó: AC //BD ⇒ (·AC , SB ) = (·BD, SB ) Tính Vậy SD = a 2, SB = a 2, BD = a · = 600 (·AC , SB ) = SBD Ví dụ Cho hình chóp SB = a mặt phẳng nên tam giác SBD S ABCD ( SAB ) có đáy ABCD hình vng cạnh vng góc với mặt phẳng đáy Gọi 2a SA = a; , M,N AB, BC trung điểm cạnh SM , DN Tính cơsin góc hai đường thẳng Giải: Gọi E Ta có AD F trung điểm , MF / / BE / / ND ⇒ ( SM , DN ) = ( SM , MF ) SM = 2 SB + SA AB − =a ⇒ SM = SA ⇒ SH ⊥ MA ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) , với H trung điểm BE = AB + AE = a ⇒ MF = HF = AE trung điểm a BD = ; a ( ∆SHF a vuông H ) · ∆SMF SF = SM + MF − 2SM MF cos SMF Định lí cơsin ; SH = SA2 − HA2 = SF = SH + HF = a MA 2 : 5a 5a a 5 · · = a2 + − 2.a cos SMF ⇔ cos SMF = 4 5 ⇒ cos ( SM , MF ) = ⇔ S ABCD ABCD O Ví dụ Cho hình chóp có đáy hình chữ nhật, giao AB = a; AD = a AC BD điểm hai đường chéo , có Hình chiếu vng góc đỉnh ( AB, SD ) Ta thấy: S lên ( ABCD ) trung điểm H OD SH = 2a , Tính cơsin góc ( AB, SD ) = ( DC , SD ) Giải: SD = SH + HD = a 17 AC = AB + BC = 2a ⇒ OC = a; OC = CD = OD = a ⇒ CH ⊥ OD ⇒ CH = a SC = SH + HC = a 19 Định lí cơsin tam giác · SDC : SC = SD + CD − 2SD.CD.cos SDC 17 17 · · ⇒ cos SDC = ⇒ cos ( AB, SD ) = cos ( DC , SD ) = cos SDC = 34 34 ABC A′B′C ′ 2a Ví dụ Cho hình lăng trụ tam giác có cạnh bên , góc tạo BC 60 M A′B mặt đáy Gọi trung điểm Tính cosin góc tạo đường thẳng A′C AM Giải: Ta có Trong ( A′B,( ABC ) ) = ( A′B, AB ) = ·ABA′ = 600 ∆ v A′AB Mặt khác AN = tan B = có: 4a A′C = A′A2 + AC = 3 2a =a N trung điểm ( A′C , AM ) = ( A′C , AN ) Xét tam giác ; (Trung tuyến tam giác đều) CN = CC ′2 + C ′N = 4a + Gọi A′A 2a ⇒ AB = AB A′NC a a 13 = 3 B′C , ta có · ′C = cos NA ta có: A′N //AM nên A′N + A′C − CN = A′N A′C 10 uuuu r  a r a au  MC =  − ; a 2;0 ÷ = − 1; −2 2;0 = − y 2   r r u r n = [ x, y ] = 3; − 6; − ( ( ) ) uuu r r OA = 0;0; a = a ( 0;0;1) = a 6.k ( Gọi ) rr n.k sin ϕ = r r = n.k ϕ góc OA với (ACM), Suy S ABCD ABCD a Ví dụ Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh , tam giác SAB tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy ( ABCD ) ( SHD ) SC H AB Gọi trung điểm Tính cơsin góc Giải: H Chọn hệ trục tọa độ có gốc , trục hoành HS HE trục tung , trục cao H ( 0;0;0 ) , , ; vectơ pháp tuyến ⇒ sin ( SC , ( SHD ) ) Vậy uuur uuur   r  HS , HD  =  − a ; − a ;0 ÷ ⇒ n = ( 2;1;0 )    ÷   ( SHD ) uuu rr SC.n uuu r r = cos SC , n = uuu r r = SC n ( ) ) Ví dụ Cho hình lăng trụ đứng ABC A′B′C ′ AB = 5a, AC = 6a, BC = 7a; A′A = 3a ( ACC ′A) uuu r 15 cos SC , ( SHD ) = − = 5 ( ,  a 3 a a S  0;0; ÷ C  ; a;0 ÷ D  − ; a;0 ÷   2    Ta có: HB có Tính góc tạo đường thẳng BC ′ Giải: 22 Ta tính BH = 2a 6; AH = a Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Khi ta có: A(0;0;0); C ′(6a;0;3a); B( a; 2a 6;0) ( A′ACC ′) ≡ ( Oxz ) ⇒ ( A′ACC ′) : y = Ta có uuuur Lại có : BC ′ = (5a; 2a 6;3a) = a(5; 6;3) ( ACC ′A′ ) có VTPT nr = (0;1;0) Ta có : r BC ′ có VTCP u = (5; 6;3) rr n.u 87 sin ( BC ′;( ACC ′A′) ) = r r = n u 29 Khi Đặt α = ( BC ′,( ACC ′A′) ) ADCT + cot α = 17 51 ⇒ cot α = ⇒ tan α = sin α 12 17 Vậy góc BC ′ ( ACC ′A′) α = arctan ABC A′B′C ′ 51 17 Ví dụ Cho hình lăng trụ có mặt đáy tam giác cạnh ( ABC ) AB = 2a A′ Hình chiếu vng góc lên mặt phẳng trùng với trung điểm H cạnh AB hai đường thẳng Biết góc cạnh bên mặt đáy A′C ( ABC ) 600 Tính góc Giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz ( cho: H ( 0;0;0 ) ) ( B ( a;0;0 ) , A ( −a;0;0 ) , C 0; a 3;0 , A′ 0;0; a Mặt phẳng ( ABC ) : z = VTCP đường thẳng r uuuu r u = A′C = a 0; − 3; ( ) có vtpt A′C r k = ( 0;0;1) , ) là: 23 sin ( A′C , ( ABC ) ) rr u.k = r r = u.k Khi đó: Vậy ( A′C , ( ABC ) ) = 450 2.3.3 GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG 2.3.3.1 TÍNH GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP DỰNG HÌNH (α) ( β ) ϕ a Phương pháp.Gọi góc hai mặt phẳng *Cách 1: Dùng định nghĩa góc hai mặt phẳng m ⊥ ( α ) ⇒ ϕ = ( m, n )  n ⊥ β ( )  *Cách 2: Dùng cách xác định góc hai mặt phẳng dựng trực tiếp góc ( α ) ∩ ( β ) = c  ( α ) : a ⊥ c  ( β ) : b ⊥ c ⇒ ϕ = ( a, b ) *Cách 3: Dùng cơng thức diện tích (H) (α) S Đa giác nằm mặt phẳng có diện tích Đa giác ( H ′) hình chiếu đa giác ( H) lên mặt phẳng S ′ = S cos ϕ ⇒ cos ϕ = (α ) ( β ) góc Khi ta có: Cách 4: Quy góc đường thẳng mặt phẳng ∆ ⊥(β) cos ϕ = sin ω Ta có Khi (α) ( β ) ϕ với góc tạo hai mặt phẳng (α) ω ∆ góc tạo b Các ví dụ ϕ (β) có diện tích S′ S S′ 24 Ví dụ Cho hình chóp SA = a có đáy ABCD a ·ABC = 600 hình thoi cạnh , , , SA ⊥ ( ABCD ) M phẳng S ABCD ( SCD ) AD trung điểm ( ABCD ) Tính tan góc tạo hai mặt Giải: Cách 1: Dựng trực tiếp góc CD H Gọi trung điểm Ta có tam giác AH ⊥ CD ACD cạnh CD ⊥ SA ⇒ CD ⊥ SH  CD ⊥ AH Ta có: a nên ( SCD ) ∩ ( ABCD ) = CD  ( SCD ) : SH ⊥ CD  ( ABCD ) : AH ⊥ CD Suy góc hai mặt phẳng góc nhọn · tan SHA = SHA ( SCD ) ( ABCD ) góc hợp AH SA a = =2 AH a S ′ = S cos ϕ ⇒ cos ϕ = Cách 2: Ta sử dụng công thức Nhận thấy tam giác ( ABCD ) SH ACD S′ S hình chiếu tam giác SCD lên mặt phẳng Tam giác Tam giác ACD SCD cạnh S SCD có a S ACD nên a2 = 1 a 15 2 = SH CD = SA + AH CD = 2 25 cos ϕ = Khi ( ABCD ) S∆ACD = S ∆SCD ϕ với góc tạo hai mặt phẳng ( SCD ) + tan ϕ = ⇒ tan ϕ = ⇒ tan ϕ = 2 cos ϕ Lại có: Ví dụ Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc Góc 600 OB = a OC = a đường thẳng AC mp(OBC) , , Gọi M trung điểm cạnh OB Tính góc hai mặt phẳng (AMC) (ABC) Giải: Ta sử dụng phương pháp quy góc đường với mặt Ta có Góc AC mp(OBC) 600 Suy OA = OC.tan 60 = a 5a AM = OA2 + OM = CM = OC + OM = 3a AC = OC + OA2 = 2a S∆ACM Suy a 14 = a VA.OCM = OA.OC.OM = 6 d (O,( ACM )) = Suy 3VO ACM =a = d ( B,( ACM )) S ∆ACM 14 Kẻ OI vng góc với AC I suy BI vng góc với AC d (O, AC ) = OI = OA.OC a = AC OI = Tam giác OIB vng O có ( ) a a 10 , OB = a ⇒ BI = 2 d ( B,( ACM )) sin (·ACM ),( ABC ) = = BI 35 26 Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên ( SBC ) ϕ SA = a SA vng góc với đáy Tính góc hai mặt phẳng ( SDC ) Giải: Cách : Dựng trực tiếp góc Ta chứng minh BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ SB, CD ⊥ ( SAD ) ⇒ CD ⊥ SD BH ⊥ SC ( 1) Kẻ Ta có Từ BD ⊥ ( SAC ) ⇒ SC ⊥ BD ( ) ( 1) , ( ) ⇒ SC ⊥ ( BHD ) ⇒ SC ⊥ DH (·( SBC ) , ( SDC ) ) = (·BH , DH ) Vậy Tam giác SBC vng B, đường cao BH nên ta có BH = SB + BC = 2a ⇒ BH = DH = a Áp dụng định lí sin vào tam giác BHD ta có BH + DH − BD −1 · cos BHD = = BH DH cos (· ( SBC ) , ( SDC ) ) = cos (·BH , DH ) = ⇒ ϕ = (·( SBC ) , ( SDC ) ) = 600 Vậy Cách 2: Tính góc hai mặt phẳng định nghĩa Gọi H,K hình chiếu Ta chứng minh góc hai đường thẳng SAB ⇒ AH = AK = SAD a 2 SB, SC lên AH ⊥ ( SBC ) ; AK ⊥ ( SCD ) Khi góc hai mặt phẳng Tam giác A ( SBC ) AH , AK vuông cân A ( SCD ) có SA = a 27 H,K Nên SB, SD trung điểm Do tam giác AHK ⇒ HK = a BD = 2 nên góc hai mặt phẳng · HAK = 60 AH , AK ( SBC ) ( SCD ) góc hai đường thẳng góc S ABC SA SA = BC = a Ví dụ Cho hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy, · BAC = 60° Gọi H K hình chiếu vng góc ( AHK ) Tính cơsin góc hai mặt phẳng Giải: Phân tích: Để tính góc hai mặt phẳng ( ABC ) ( ABC ) ( AEF ) SA ⊥ ( ABC ) A lên SB, SC ta nhận thấy có ta tìm dựng đường thẳng vng góc với mặt phẳng ( AEF ) Sau áp dụng định nghĩa để tính góc hai đường thẳng Gọi AD ABC đường kính đường trịn ngoại tiếp tam giác Ta chứng minh SA ⊥ ( ABC ) Lại có SD ⊥ ( AEF ) Khi góc hai mặt phẳng SD SA góc nhọn AD = R = Ta có BC sin 600 + tan ·ASD = Lại có 2a = 2a AD tan ·ASD = = = SA a ·ASD ( AEF ) ( ABC ) góc hai đường thẳng ·ASD = 21 ⇒ cos cos ·ASD 28 Vậy cosin góc hai mặt phẳng ( AEF ) ( ABC ) 21 ABC A′B′C ′ Ví dụ Cho hình lăng trụ có mặt đáy tam giác cạnh ( ABC ) AB = 2a A′ Hình chiếu vng góc lên mặt phẳng trùng với trung điểm H cạnh AB ( BCC ′B′ ) hai mặt phẳng Gọi E điểm đối xứng với ⇒ B′E = A′H = a Kẻ Biết góc cạnh bên mặt đáy H Giải: qua điểm ; ta có: A′H //B′E B′E ⊥ ( ABC ) BC ⊥ ( B′EK ) ⇒ BC ⊥ B′K Khi đó: B Tính góc EK ⊥ BC EF ⊥ B′K Ta có: ( ABC ) 600 ( ( BCC′B′ ) , ( ABC ) ) = ( B′K , EK ) = B· ′K E Xét tam giác KEB EK = BE sin 600 = Xét tam giác · ′K E = tan B B′EK vuông K · KBE = 600 ta có: a vng B′E a = =2 EK a E có: ( ( BCC ′B′) , ( ABC ) ) = arctan Vậy 2.3.3.2 TÍNH GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HĨA a Phương pháp Góc hai mặt phẳng ( ABC ) ( MNP ) : 29 ( ABC ) uu r uuu r uuur n1 =  AB, AC  có vecto pháp tuyến uu r uuuu r uuur n2 =  MN , MP  , đó: uu r uu r n1.n2 = uu r uu r = n1 n2 cos ( ( ABC ) , ( MNP ) ) ; ( MNP ) có vtpt A1 A2 + B1B2 + C1C2 A12 + B12 + C12 A22 + B22 + C22 b Các ví dụ OA, OB, OC OABC Ví dụ Cho tứ diện có đơi vng góc Góc ( OBC ) AC 600 OB = a OC = a M đường thẳng mp , , Gọi trung điểm cạnh OB Tính góc hai mặt phẳng Giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với Ox ≡ OB, Oy ≡ OC , Oz ≡ OA ( bằng: ) uuur  a  MA =  − ;0; a ÷ =   − ( ABC ) a  C (0; a 2;0), A 0;0; a , M  ;0;0 ÷, B ( a;0;0 ) 2  Suy ra, ( AMC ) a ar 1;0; −2 = − x, 2 ( ) uuuu r  a r a au  MC =  − ; a 2;0 ÷ = − 1; −2 2;0 = − y 2   r u r r [ x, y ] = 3; − 6; − = 2.n ( ( ) ) , uuu r r BA = −a;0; a = −a 1;0; − = −a.u, ( uuur BC = ( − a; a ) ( 2;0 ) = −a ( 1; − r r r k = u , v  = 3; − 6; − ( Gọi ϕ ) r 2;0 ) = −a.v, ) góc (ABC) với (ACM), Suy rr n.k cos ϕ = r r = ⇒ sin ϕ = 35 35 n.k 30 Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên ( SBC ) ϕ SA = a SA vng góc với đáy Tính góc hai mặt phẳng ( SDC ) Giải: Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Khi A ( 0;0;0 ) , B ( a;0;0 ) , C ( a; a;0 ) , D ( 0; a;0 ) , S ( 0;0; a ) uur uuu r uuu r SB ( a;0; −a ) , SC ( a; a; −a ) , SD ( 0; a; −a ) , Suy Mặt phẳng ( SBC ) có VTPT : r uur uuu r n =  SB, SC  = a ;0; a Mặt phẳng ( ( SDC ) ) có VTPT : r uuu r uuu r k =  SD, SC  = 0; −a ; − a ( ) rr n.k = r r = ⇒ (· ( SBC ) , ( SDC ) ) = 600 n.k cos (· ( SBC ) , ( SDC ) ) Vậy ABC A′B′C ′ Ví dụ Cho hình lăng trụ có mặt đáy tam giác cạnh ( ABC ) AB = 2a A′ Hình chiếu vng góc lên mặt phẳng trùng với trung điểm H cạnh AB Biết góc cạnh bên mặt đáy ( BCC ′B′ ) hai mặt phẳng Chọn hệ trục tọa độ Oxyz ( ( ABC ) Mặt phẳng cho: H ( 0;0;0 ) ) ( Mặt phẳng ( BCB′) có vtpt có vtpt: r uuur uuur n =  BC , BB′ = a ( ) Tính góc là: Giải: B ( a;0;0 ) , A ( −a;0;0 ) , C 0; a 3;0 , A′ 0;0; a ( ABC ) : z = 600 r k = ( 0;0;1) , ) 3;1; −1 31 cos ( ( BCC ′B′ ) , ( ABC ) ) rr n.k = r r = n.k ⇒ tan ( ( BCC ′B′ ) , ( ABC ) ) = Vậy ( ( BCC ′B′) , ( ABC ) ) = arctan ABC A ' B ' C ' ABC a Ví dụ Cho hình lăng trụ có đáy tam giác cạnh , 2a A ' A = A ' B = A 'C tan α α cạnh bên Tính giá trị với góc hai mặt phẳng ( A ' BC ) mặt phẳng ( ABC ) Giải: Chọn hệ trục toạ độ hình vẽ:  a  a a   a a  O ( 0;0;0 ) , A  0; − ;0 ÷, B  ; ;0 ÷, C  − ; ;0 ÷   2    A ' O = A ' A2 − AO =  a 33 a 33  ⇒ A '  0;0; ÷ 3   uuuu v  a a a 33  uuuv A' B =  ; ;− ÷; BC = ( − a;0;0 )  2 uu v uuuu v uuuv  a 33 a  n1 =  A ' B, BC  =  0; ; ÷  ÷ ( A ' BC )   Véctơ pháp tuyến là: v r n = k = ( 0;0;1) ( ABC ) Véctơ pháp tuyến uu vv cos α = cos n1, n = ( Ta có: ) là: 135 ⇒ tan α = 11 32 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Đối với thân, sáng kiến kinh nghiệm hội để tiếp tục hồn thiện nữa, làm sở cho trình đổi phương pháp giảng dạy nhằm đem lại hiệu cao cho học sinh Thông qua việc áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy học sinh hứng thú học tập môn toán, em bước đầu biết gắn học lý thuyết với thực tế, em chủ động, linh hoạt, sáng tạo khơng cịn bị động, em cởi bỏ tâm lý e ngại, lười hoạt động Từ nâng cao chất lượng giáo dục nhà trường Đây tiền đề để phụ huynh học sinh quyền địa phương yên tâm gửi gắm em vào nhà trường Trong năm học 2020 – 2021 phân công dạy lớp 11B2, 11B8, 11B9, áp dụng sáng kiến vào giảng dạy lớp 11B2, 11B9, năm học 2021 – 2022 phân công dạy lớp 11C2, 11C9 áp dụng vào giảng dạy nhận thấy đa số học sinh yêu thích dạng tốn này, tích cực tìm tịi lời giải giải tốn Khi tơi thực tiết dạy đa số học sinh hiểu khơng cịn lúng túng việc chọn cách giải cho toán Kết kiểm tra cuối chương, cuối kỳ nâng cao Cụ thể sau: Lớp áp dụng: Lớp Kết kiểm tra Cuối chương: 90% điểm TB 11B2 Cuối kỳ 2: 81% HS làm BT phần “góc” khơng gian Cuối chương: 86% điểm TB 11B9 Cuối kỳ 2: 79% HS làm BT phần “góc” khơng gian Cuối chương: 91% điểm TB 11C2 Cuối kỳ 2: 83% HS làm BT phần “góc” khơng gian Cuối chương: 86% điểm TB 11C9 Cuối kỳ 2: 79% HS làm BT phần “góc” khơng gian Lớp 11A8 dạy không áp dụng: Lớp Kết kiểm tra Cuối chương: 52% điểm TB 11A8 Cuối kỳ 1: 36% HS làm BT phần “góc” khơng gian Căn kết nêu trên, bước đầu mong muốn góp phần nâng cao tỉ lệ môn kết học tập, rèn luyện học sinh Ðiều khẳng định sáng kiến tơi có hiệu việc dạy học Trong năm học sau tiếp tục áp dụng cho số lớp khối 11, đồng thời tìm tịi, thu thập thêm ví dụ, dạng tốn khác bổ sung để sáng kiến ngày hoàn thiện 33 34 Kết luận – Kiến nghị 3.1 Kết luận Hình học khơng gian nội dung khó nên học sinh dễ buông xuôi, không chịu đầu tư, học hỏi Qua trình giảng dạy, tơi nắm bắt số dạng toán nội dung mà học sinh thường hay mắc thực làm tập Từ phân tích khắc sâu cho học sinh q trình giảng dạy, giúp em nhanh chóng tìm phương án giải tập giao Với kết đối chiếu cho thấy kinh nghiệm nêu bước đầu có hiệu Do đó, tơi tổng hợp, trình bày lại với mong muốn đẩy mạnh phong trào thi đua học tập sơi nổi, góp phần nâng cao kết học tập môn kết học tập, rèn luyện học sinh Trong năm học tơi tiếp tục tìm tịi, thu thập thêm ví dụ, dạng toán khác bổ sung để sáng kiến ngày hồn thiện Thơng qua sáng kiến kinh nghiệm tơi mong muốn đóng góp phần cơng sức nhỏ bé việc hướng dẫn học sinh ứng dụng khai thác tốt tốn “góc” khơng gian Đồng thời hình thành khả tư duy, sáng tạo, kỹ giải nhanh tốn trắc nghiệm, từ tạo hứng thú cho em học toán Tuy nhiên kinh nghiệm giảng dạy chưa nhiều, trình độ thân cịn hạn chế nên tơi mong đóng góp bổ sung Hội đồng khoa học cấp bạn đồng nghiệp 3.2 Kiến nghị - Đối với nhà trường : Cần đầu tư nhiều trang thiết bị dạy học ; Tích cự tổ chức buổi thảo luận, hội thảo chuyên môn - Đối với Sở giáo dục : Chúng mong muốn tham dự nhiều buổi tập huấn chuyên môn, buổi hội thảo khoa học để trao đổi kinh nghiệm ; Ngoài sáng kiến kinh nghiệm có chất lượng đề nghị Sở phổ biến rộng rãi trường để áp dụng trình dạy học XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 12 tháng năm 2022 Tơi xin cam đoan SKKN mình, khơng chép nội dung người khác Mạc Lương Thao 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Châu Văn Điệp nhóm tác giả, Cơng phá tốn 2, Nxb ĐHQG Hà Nội [2] Đồn Quỳnh, Hướng dẫn ơn tập kỳ thi THPT Quốc Gia năm học 2017-2018, Nxb Giáo dục Việt Nam [3] Kiselev, Hình học khơng gian, Nxb Quốc gia Hà Nội [4] Lê Hồnh Phị, 10 trọng điểm bồi dưỡng HSG, Nxb ĐHQG Hà Nội [5] Nguyễn Bá Tuấn, Tuyển tập đề thi phương pháp giải nhanh toán trắc nghiệm, ĐHQG Hà Nội [6] Nguyễn Duy Hiếu, Giải tốn hình học 11, Nxb ĐH sư phạm [7] Trần Phương, Bài giảng trọng tâm ơn luyện mơn tốn tập 2, Nxb ĐH Quốc Gia Hà Nội 36 ...Sáng kiến nghiên cứu toán ? ?góc? ?? thuộc phần hình học khơng gian chương trình hình học lớp 11 áp dụng học sinh lớp 11B2, 11B9 năm học 2020 – 2021 lớp 11C2, 11C9 năm học 20212022 Trong phạm vi sáng... đó, rèn luyện tư cho học sinh giải số tốn ? ?góc? ?? không gian yêu cầu cần thiết 2 .3 Giải pháp sử dụng để giải vấn đề - Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ giải tốn thơng qua (hay nhiều) buổi học. .. thức học sinh - Trong tốn ? ?góc? ?? không gian yêu cầu học sinh thực phân tích chất đưa hướng khai thác mở rộng cho toán - Cung cấp hệ thống tập mở rộng để học sinh tự rèn luyện * Cụ thể: 2 .3. 1 GÓC GIỮA