(SKKN 2022) Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải quyết hiệu quả bài toán tìm góc trong hình học không gian

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT NHƯ XUÂN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 11 GIẢI QUYẾT HIỆU QUẢ BÀI TỐN TÌM GĨC TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Người thực hiện: Lê Khắc Luyện Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc mơn: Tốn THANH HÓA NĂM 2022 MỤC LỤC MỞ ĐẦU Trang 01 1.1 Lí chọn đề tài Trang 01 1.2 Mục đích nghiên cứu …………………………… …… Trang 01 1.3 Đối tượng nghiên cứu …………………………….….… Trang 02 1.4 Phương pháp nghiên cứu ………………………….….… Trang 02 1.5 Những điểm Sáng kiến kinh nghiệm ………… Trang 02 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Trang 02 2.1 Cơ sở lí luận Sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các sáng kiến giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Phương pháp tìm góc hai đường thẳng 2.3.2 Phương pháp tìm góc đường thẳng mặt phẳng 2.3.3 Phương pháp tìm góc hai mặt phẳng Trang 02 Trang 02 Trang 03 Trang 04 Trang 08 Trang 12 2.4 Hiệu Sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Trang 15 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Trang 15 3.1 Kết luận ….…… …………………………………… Trang 15 3.2 Kiến nghị ……………………………………………… Trang 16 TÀI LIỆU THAM KHẢO ………………………………… Trang 17 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI Trang 18 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài: Khái niệm góc yếu tố đường thẳng, mặt phẳng kiến thức quan trọng hình học khơng gian, tốn tìm góc thường xun xuất kì thi quốc gia, kì thi học sinh giỏi Nhưng q trình dạy học vừa qua tơi nhận thấy học sinh chưa hứng thú, e ngại tốn tìm góc, kết học tập chưa cao Bởi dạng toán tổng hợp nhiều loại kiến thức, tính trừu tượng cao, địi hỏi nhiều kỹ Do để học tốt nội dung này, người học khơng phải nắm vững kiến thức, có tư trừu tượng, biết vẽ hình khai thác hình vẽ mà bên cạnh cịn phải nắm vững phương pháp giải tốn rèn luyện để hình thành kỹ Mặt khác trương trình Sách giáo khoa Hình Học 11 hành, tốn tìm góc trình bày lồng ghép Chương III thơng qua quan hệ vng góc, khơng tách thành riêng trong, số tiết giảng dạy không nhiều nên giáo viên cần phải nghiên cứu để đưa phương pháp giảng dạy hiệu giúp cho học sinh nắm vững lý thuyết phương pháp giải tốn tìm góc Trong đó, giáo viên phải trọng giúp học sinh nắm vững dạng toán phương pháp giải chúng, từ gây hứng thú cho học sinh, giúp học sinh học tập tự tin hơn, khơng cịn e ngại bước khuyến khích học sinh học tập, rèn luyện hình thành kỹ năng, phát triển tư Bên cạnh đó, tơi nhận thấy chưa có nhiều đề tài, tài liệu tham khảo viết vấn đề sát với điều kiện thực tế đối tượng học sinh trường THPT Như Xuân, nhiều học sinh chưa biết tự sàng lọc tài liệu để học Ngoài ra, học sinh giải tốt tốn tìm góc Hình Học 11 giúp em giải tốt toán tính khoảng cách, sau tính thể tích mơn Hình Học 12; ba dạng toán quan trọng thường gặp chương trình tốn THPT Đặc biệt năm qua Bộ Giáo dục Đào tạo sử dụng đề môn tốn hình thức trắc nghiệm khách quan kì thi Tốt nghiệp THPT ba dạng tốn xuất nhiều đòi hỏi học sinh phải tư linh hoạt hơn, có kỹ để tính nhanh xác kết quả, điều khiến em lại thấy khó khăn, chí nhiều em cịn có ý định bỏ qua dạng tốn Vì q trình dạy học tơi ln trăn trở, nghiên cứu, tìm tịi đưa hệ thống dạng tập phương pháp giải tốt Từ năm học 2021-2022, chọn đề tài Sáng kiến kinh nghiệm “Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải hiệu tốn tìm góc hình học không gian” để giúp em học sinh hứng thú, nâng có hiệu học tập, làm tốt tốn tìm góc vận dụng giải dạng tốn khác tính khoảng cách, thể tích 1.2 Mục đích nghiên cứu: Tơi nghiên cứu đề tài nhằm tìm phương pháp giảng dạy phù hợp với điều kiện thực tế đối tượng học sinh nhà trường, giúp học sinh lớp 11 giải tốt tốn tìm góc mơn hình học, từ học sinh tháo gỡ vướng mắc, khó khăn học, khơng e ngại mơn học này, có hứng thú học nâng cao chất lượng học tập môn học; giúp người dạy có thêm kinh nghiệm giảng dạy mơn này, từ nâng cao chất lượng giảng dạy mơn hình học khơng gian nói chung tốn tìm góc mơn Hình Học 11 nói riêng, làm tiền đề để học sinh giải tốt tốn tính khoảng cách, sau tính thể tích Hình Học 12 Đồng thời, thân mong muốn Sáng kiến kinh nghiệm tài liệu tham khảo hữu ích cho người học người dạy, góp phần vào phong trào đổi phương pháp dạy học giai đoạn 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu đề tài phương pháp giải tốn tìm góc hay tìm số đo góc (góc hai đường thẳng chéo nhau, góc đường thẳng mặt phẳng, góc hai mặt phẳng) giảng dạy nội dung chương III – Quan hệ vng góc, sách giáo khoa Hình Học 11, chương trình chuẩn [1] 1.4 Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp nghiên cứu chủ yếu Sáng kiến kinh nghiệm là: Phương pháp xây dựng sở lý thuyết phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin 1.5 Những điểm Sáng kiến kinh nghiệm: Sáng kiến kinh nghiệm phát triển từ đề tài thân năm học trước, bổ sung điểm sau: - Xây dựng lại hệ thống tập theo hình thức câu trắc nghiệm khách quan để phù hợp với xu thi tốt nghiệp THPT, học sinh giỏi - Bổ sung điều chỉnh lại số hướng dẫn giải tốn ví dụ để dễ hiểu, sát với đối tượng học sinh NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận Sáng kiến kinh nghiệm: Sáng kiến kinh nghiệm áp dụng để giúp học sinh giải tốt tốn tìm góc Chương III – Quan hệ vng góc, Hình Học 11, chương trình chuẩn [1], bao gồm: Góc hai đường thẳng, góc đường thẳng mặt phẳng, góc hai mặt phẳng Các kiến thức sử dụng sáng kiến thuộc phạm vi chương trình sách giáo khoa Hình Học 11 THPT, chương trình chuẩn chủ yếu Chương III – Quan hệ vng góc, đảm bảo chuẩn kiến thức kỹ theo chương trình hành; học sinh hồn tồn có đủ kiến thức, khả để tiếp thu nội dung Sáng kiến 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm: Trước áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm giảng dạy mơn Hình Học 11, nhận thấy đa số học sinh e ngại, khơng hứng thú giải tốn tìm góc khơng gian Khi giải tốn học sinh chưa định hướng phương pháp giải rõ ràng, mơ hồ, mò mẫm; chưa biết đặt câu hỏi định hướng như: Bài toán thuộc dạng nào? Phương pháp giải dạng nào? Thực theo bước nào, bước trước, bước sau? Khai thác giả thiết sao? Cần vận dụng kiến thức liên quan nào? Vẽ hình nào, có cần vẽ thêm hình phụ khơng? Trình bày lời giải nào? Lời giải trình bày có sai sót khơng?… Chính điều làm cho học sinh lúng túng giải tốn khơng hứng thú học dẫn đến kết học tập chưa cao, đa số học sinh thường khơng giải tốn dù khơng khó cịn gặp sai lầm, lời giải sai sót Từ kéo theo việc học sinh học yếu mơn Hình Học nói chung việc giải tốn tính khoảng cách, thể tích đa diện nói riêng Bên cạnh đó, giảng dạy tốn tìm góc người dạy khơng có nghiên cứu kỹ lưỡng khiến học sinh khó tiếp thu, kết giảng dạy không cao 2.3 Các sáng kiến giải pháp sử dụng để giải vấn đề: Để giải thực trạng trên, giảng dạy học sinh giải tốn tìm góc nội dung Chương III, Hình Học 11, tơi nghiên cứu đưa dạng toán phương pháp giải, xếp cách hợp lý, sau hướng dẫn học sinh cách tỉ mỉ, có ví dụ cụ thể để học sinh nắm Đồng thời hình thành rèn luyện kỹ giải tốn thơng qua hệ thống tập luyện tập tập tự luyện lựa chọn cẩn thận Sau dạng toán bản, phương pháp giải, hệ thống ví dụ, tập mà tơi áp dụng để giúp học sinh giải tốt tốn tìm góc chương trình Hình Học 11 Trước hết, tơi phân chia thành ba dạng tốn tìm góc xếp theo thứ tự, là: Dạng 1: Tìm góc hai đường thẳng Dạng 2: Tìm góc đường thẳng mặt phẳng Dạng 3: Tìm góc hai mặt phẳng Sau đó, tơi hướng dẫn học sinh nắm vững phương pháp giải hình thành, rèn luyện kỹ giải dạng tốn Để đưa dạng tốn phương pháp giải tự nghiên cứu, đúc rút kinh nghiệm, kết hợp với tham khảo [2], [3] Cụ thể sau: 2.3.1 Phương pháp tìm góc hai đường thẳng Xét tốn: Trong khơng gian, tìm số đo góc hai đường thẳng a b Trước hết, hướng dẫn để học sinh nắm vững khái niệm góc hai đường thẳng khơng gian Trong đặc biệt lưu ý với học sinh góc hai đường thẳng nằm phạm vi từ 0o đến 90o Sau đó, hướng dẫn học sinh sử dụng hai phương pháp chủ yếu sau để tìm góc hai đường thẳng Phương pháp 1: Quy góc hai đường thẳng thuộc mặt phẳng Bước 1: Chọn điểm I thích hợp Bước 2: Qua I kẻ đường thẳng a’// a, b’// b (Hình 1) Suy ra: (·a, b)  (·a ', b ') Bước 3: Tìm số đo góc (·a ', b ') - Xét tam giác thích hợp có đỉnh I, hai cạnh thuộc a’ b’ - Tính cạnh tam giác - Sử dụng hệ thức lượng tam giác vuông, tam giác thường (định lí cơsin, định lí sin) để tìm số đo góc Iµ tam giác - Suy số đo góc (·a, b) Chú ý: Vì 0o  (·a, b)  90o nên: + Nếu 0o  Iµ  90o (·a, b)  Iµ ; + Nếu Iµ  90o (·a, b)  180o  Iµ Lưu ý: Việc chọn điểm I thích hợp chìa khóa để giải tốn Giáo cần lưu ý với học sinh, ưu tiên xem xét chọn điểm I thuộc hai đường thẳng a, b Khi phải chọn điểm I khơng thuộc hai đường thẳng a, b cần để ý mối quan hệ song song để chọn điểm I (như I trung điểm, trọng tâm; I thuộc đường trung bình, cạnh hình bình hành,…) Ví dụ Cho hình chóp S ABC có tất cạnh a Gọi I , J trung điểm cạnh SA, BC Tìm số đo góc hai đường thẳng IJ SB A 30 B 90 C 45 D 60 Hướng dẫn: Qua I kẻ đường thẳng song song với SB Lời giải: Gọi M trung điểm AB MI đường trung bình tam giác SAB nên IM // SB Suy (·SB, IJ )  (·IM , IJ ) a Xét tam giác MIJ , có MI  MJ  Mặt khác: JA  JS  a  Tam giác JSA cân J  JI  SA Khi IJ  SJ  SI  a  MI  MJ  IJ nên tam giác MIJ vuông cân · M  MIJ  45 · ·  45 Chọn phương án C Vậy  SB, IJ   ·IM , IJ   MIJ Ví dụ Cho hình chóp S ABC có SA  SB  SC  AB  a; AC  a BC  a Tìm số đo góc hai đường thẳng SC AB A 30 B 120 C 150 D 60 Hướng dẫn: Qua trung điểm cạnh SA kẻ đường thẳng tương ứng song song với SC AB Lời giải: Gọi M , N , P trung điểm cách cạnh SA, SB AC  MP //SC  ·SC ; AB   ·MP; MN  MN // AB  Xét tam giác MNP , có AB a SC a MN   ; MP   2 2 Khi đó:  Mặt khác: SAC có SA2  SC  AC nên vuông S , AC a  2 BA2  BC AC a BP    a  BP  2 PS  PB SB a Suy PN    a  NP  4 MN  MP  NP · ·     NMP Khi cos NMP  120  90 2.MN MP ·  60 Chọn phương án D Vậy ·SC; AB   ·MP; MN   180o  NMP SP  Ví dụ Cho hình lăng trụ tam giác ABC ABC  có AB  a AA  a Tìm số đo góc hai đường thẳng AB BC  A 60 B 30 C 45 D.135 Hướng dẫn: Qua B kẻ đường song song với AB Lời giải: Gọi E điểm đối xứng với A qua B Ta có ABEB hình bình hành nên BE // AB ' , ·AB; BC   ·BE ; BC  Xét tam giác EBC ' Ta có AE  2a, BC   AE  EAC  vng C Khi C E  AE  AC 2  a 3, BE  AB  a BC   BB2  C B2  a Suy tam giác EBC ' ·   60 Do ·AB; BC    ·BE ; BC    EBC Chọn phương án A Phương pháp 2: Sử dụng tích vơ hướng hai vectơ Trước hết, giáo viên hướng dẫn học sinh nắm vững cơng thức tích vơ hướng hai vectơ chung gốc Sau đó, áp dụng giải Bài toán gốc Cụ thể sau: * Cơng thức tích vơ hướng hai vectơ chung gốc: uuur uuur Cho tam giác ABC , ta có: AB AC  BC  AB  AC 2 (1.1) Chứng minh: uuur uuur BC  AB  AC BC  AB  AC ·  AB AC  AB AC  AB AC.cos BAC AB AC · * Bài tốn gốc: Cho tứ diện ABCD Tính cos ( AB, CD) theo độ dài cạnh tứ diện cho Lời giải: Ta có: uuu r uuur uuu r uuur AB.CD AB.CD uuu r uuur cos (·AB, CD)  cos( AB, CD)  uuu r uuur  AB CD AB CD Mặt khác, áp dụng cơng thức tích vơ hướng hai vectơ chung gốc ta có: r uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur uuu AB.CD  AB.( AD  AC )  AB AD  AB AC BD  AB  AD BC  AB  AC   2 AC  BD  AD  BC AC  BD  AD  BC Suy ra: cos (·AB, CD)  AB.CD  (1.2) Sau đó, hướng dẫn học sinh vận dụng kết Bài toán gốc giải toán tìm số đo góc hai đường thẳng a buuutheo bước sau: r uuur Bước 1: Tìm vectơ phương AB, CD tương ứng hai đường thẳng a, b cho tứ diện ABCD tính độ dài cạnh thuận lợi Khi đó: (·a, b)  (·AB, CD) Bước 2: Tính độ dài cạnh tứ diện ABCD Bước 3: Áp dụng Bài tốn gốc nói tìm cos (·AB, CD) suy số đo góc (·a, b) Lưu ý: Giáo viên cần hướng dẫn để học sinh nắm vững cách chứng minh, quy luật công thức, từ nhớ biết vận dụng cơng thức (1.1) (1.2) Nếu làm toán trắc nghiệm, học sinh cần nhớ cơng thức (1.2) vận dụng để tìm lời giải Ví dụ Giải tốn Ví dụ 1, 2, Phương pháp - Đối với Ví dụ (Hình 2): Cho hình chóp S ABC có tất cạnh a Gọi I , J trung điểm cạnh SA, BC Tìm số đo góc hai đường thẳng IJ SB Lời giải: Xét tứ diện SBIJ ta có: SI  a a a a , BJ  , BI  , SJ  , SB  a 2 2 Mặt khác: a  Tam giác JSA cân J  JI  SA a Suy IJ  SJ  SI  2 2 a a 3a 3a    SI  BJ  BI  SJ 4 4 ·  Do đó: cos SB, IJ    2 SB.IJ a 2a · Vậy  SB, IJ   45 JA  JS  - Đối với Ví dụ (Hình 3): Cho hình chóp S ABC có SA  SB  SC  AB  a; AC  a BC  a Tìm số đo góc hai đường thẳng SC AB Lời giải: Xét tứ diện SABC ta có: cos·SC , AB   a  3a  2a  a  SA2  BC  AC  SB 2 2 2a.a · Vậy  SC , AB   60 SC AB  - Đối với Ví dụ (Hình 4): Cho hình lăng trụ tam giác ABC ABC  có AB  a AA  a Tìm số đo góc hai đường thẳng AB BC  Lời giải: Xét tứ diện ABBC' ta có: BB  a , AC' = a , AB  BC   a , AB = BC' = a Do đó: 2a  3a  a  a BB'  AC'  AB  B'C' ·   cos  AB' , BC'   2 AB'.BC' 2a 3.a Vậy ·AB' , BC'   60 Kết luận mục 2.3.1 Mục 2.3.1 trình bày hai phương pháp tìm số đo góc hai đường thẳng Khi vận dụng, giáo viên cần hướng lưu ý với học sinh: Phương pháp phù hợp với cách giải tự luận giải toán trắc nghiệm Trước toán nên nghĩ tới phương pháp trước Tuy nhiên, Phương pháp bế tắc Phương pháp giải pháp hiệu quả, cần gắn toán vào tứ diện tìm độ dài cạnh nó; giải tốn trắc nghiệm vận dụng ln cơng thức (1.2), giải tự luận cần phải trình bày để dẫn đến cơng thức 2.3.2 Phương pháp tìm góc đường thẳng mặt phẳng Xét tốn: Tìm số đo góc đường thẳng a mặt phẳng (P) Phương pháp 1: Sử dụng đường cao hình chóp Xem xét gắn tốn vào hình chóp (giả sử có đỉnh S) xác định chân đường cao H Khi thường xảy ba trường hợp sau: Trường hợp 1: Tìm góc cạnh bên mặt đáy hình chóp Đường thẳng a cạnh bên, mặt phẳng (P) chứa mặt đáy hình chóp Khi giải tốn theo bước (Hình 6): Bước 1: - Tìm hình chiếu vng góc H đỉnh S lên (P) - Tìm giao điểm I a (P) · Bước 2: Suy (·a, ( P))  SIH Bước 3: Tìm độ dài hai cạnh tam giác vuông SIH Áp dụng hệ thức sau để tìm · góc SIH : · sin SIH  SH HI SH · ·   , cos SIH , tan SIH SI SI IH Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình chữ nhật có AB  2a; AD  a Tam giác SAB thuộc mặt phẳng vng góc với đáy a) Tìm số đo góc đường thẳng SB mặt phẳng  ABCD  A 30 B 60 C 45 D 90 b) Gọi I trung điểm BC Tính tan góc đường thẳng SI mặt phẳng  ABCD  A 15 B 15 C 15 D 15 Hướng dẫn: Gọi H trung điểm cạnh AB H chân đường cao hình chóp S.ABCD Lời giải: a) Gọi H trung điểm cạnh AB ta có: SH  AB Mặt khác  SAB    ABCD   SH   ABCD    AB   SAB    ABCD  ·  60 Suy ·SB;  ABCD    SBH Chọn phương án B · b) Ta có ·SI ;  ABCD    SIH Tam giác SAB cạnh 2a nên SH  a a a HI  HB  BI  a     2 · tan SIH  2 SH a 15 a 3:  Chọn phương án D HI Trường hợp 2: Tìm góc cạnh bên mặt phẳng chứa đường cao hình chóp Đường thẳng a cạnh bên, mặt phẳng (P) chứa đường cao SH hình chóp Khi giải tốn theo bước (Hình 8): Bước 1: - Tìm chân đường cao H hình chóp - Tìm giao tuyến (P) mặt đáy hình chóp (giả sử AH) - Tìm giao điểm B a mặt đáy hình chóp Bước 2: Kẻ BK  AH K, BK  SH · nên BK   SHA Suy (·a, ( P))  BSK Bước 3: Tìm độ dài hai cạnh tam giác vuông BSK (vuông K) · Áp dụng hệ thức sau để tìm góc BSK : · sin BSK  KB SK BK · ·   , cos BSK , tan BSK SB SB SK Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD, hình chiếu vng góc đỉnh S lên mặt đáy điểm H thuộc cạnh AB cho uuur uuur HB  2 HA Biết AB  3, AD  SH  Tính tan góc đường thẳng SA mặt phẳng  SHD  A 185 B 185 C 185 D 185 Hướng dẫn: Mặt phẳng  SHD  chứa đường cao SH hình chóp Lời giải: Kẻ AE  DH E  AE   SHD   ·SA;  SHD    ·ASE Theo giả thiết suy ra:  SA  SH  AH  AH  1, HB     SB  SH  HB  2 AH AD  Mặt khác AE  37 AH  AD AE Vậy tan ·ASE  SA  185 Chọn phương án B Trường hợp 3: Tìm góc đường cao mặt bên hình chóp Đường thẳng a chứa đường cao SH hình chóp, mặt phẳng (P) chứa mặt bên hình chóp Khi giải tốn theo bước (Hình 10): Bước 1: - Tìm chân đường cao H hình chóp - Tìm giao tuyến (P) mặt đáy hình chóp (giả sử AB) Bước 2: - Kẻ HE  AB E - Kẻ HF  SE F  HF  SE nên HF   SAB   HF  AB · ·  HSE Suy (·a, ( P))  HSF Khi  Bước 3: Tìm độ dài hai cạnh tam giác vuông SHE (vuông H) · Áp dụng hệ thức sau để tìm góc HSE : · sin HSE  HE SH HE · ·   , cos HSE , tan HSE SE SE HS Nhận xét: Nếu giải toán trắc nghiệm khơng cần xác định điểm F Ví dụ Cho hình chóp S.ABC, có đáy ABC tam giác cạnh 2a Cạnh bên SA  a vng góc với đáy Tính góc SA mặt phẳng  SBC  A 30 B 60 C 45 D 90 Hướng dẫn: SA đường cao hình chóp Lời giải: 10 Từ A kẻ AK vng góc với BC K Ta có: SA  BC AK  BC  BC   SAK  Kẻ AH  SK , H  SK Mà BC  AH , suy AH   SBC   ·SA;  SBC    ·ASH  ·ASK Tam giác SAK vng A, có SA  AK  a  Tam giác SAK vuông cân A nên ·ASK  45 Vậy ·SA;  SBC    45 Chọn phương án C Nhận xét: Phương pháp sử dụng thuận tiện gắn tốn vào hình chóp rơi vào ba trường hợp Tuy nhiên, lúc làm Khi đó, giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng Phương pháp sau (khi học sinh có kỹ sử dụng Phương pháp 1) Phương pháp 2: Sử dụng khoảng cách để tìm góc Đây phương pháp nâng cao cho đối tượng học sinh khá, giỏi sau em có kỹ sử dụng Phương pháp 1, có kỹ giải tốt tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Như vậy, để hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp này, giáo viên trước phải hướng dẫn em làm tốt Phương pháp tốn tính khoảng cách Nội dung Phương pháp 2: Bước 1: - Tìm giao điểm I a (P) - Lấy điểm S khác I đường thẳng a cho tính SI d ( S , ( P )) Bước 2: Tính SI d ( S , ( P)) Lưu ý: Có thể phải dùng phương pháp đổi điểm để tính d ( S , ( P)) Bước 3: - Tính sin (·a, ( P)) theo công thức: sin (·a, ( P))  d ( S ,( P)) (2.1) SI - Từ suy số đo góc (·a, ( P)) Lưu ý: Giáo viên hướng dẫn học sinh dễ dàng chứng minh cơng thức (2.1) sau (Hình 12): Gọi H hình chiếu vng góc S lên (P) Trong tam giác SHI vuông H ta có: SH d ( S , ( P )) · sin (·a, ( P))  sin SIH   SI SI Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD có AB  a 3; AD  a , tam giác SBD tam giác vuông cân đỉnh S nằm 11 mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính sin góc đường thẳng SA mặt phẳng  SBC  21 21 C 14 17 d ( A, ( SBC )) Hướng dẫn: sin (·SA, ( SBC ))  Tính AS d ( A, ( SBC )) cách đổi điểm O chân đường cao hình chóp, với O  AC  BD A 42 14 B D 42 Lời giải: Gọi O tâm hình chữ nhật ABCD, ta có SO  BC , mà  SBD    ABC  nên SO   ABC  Ta có SA   SBC   S , lấy A  SA , suy ra: sin (·SA, ( SBC ))  d ( A, ( SBC )) AS Tính AS d ( A, ( SBC )) : BD  AB  AD  2a  SO  d  A;  SBC    2d  O;  SBC   BD  a  AS  SO  OA2  a Kẻ OE  BC , E  BC OF  SE , F  SE  OF   SBC   d  O;  SBC    OF  SO.OE a a 21  7 SO  OE 2a 21 Suy d  A;  SBC    d  A;  SBC   42 Vậy sin ·SA;  SBC    Chọn phương án D  AS Kết luận mục 2.3.2 Như vậy, để học sinh giải tốt tốn tìm góc đường thẳng mặt phẳng, giáo viên cần rèn luyện cho học sinh thành thạo kỹ sử dụng Phương pháp ba trường hợp thường gặp Sau đó, hướng dẫn nâng cao để học sinh sử dụng Phương pháp 2, trước giáo viên phải rèn luyện cho học sinh kỹ tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, kỹ đổi điểm tính khoảng cách 2.3.3 Phương pháp tìm góc hai mặt phẳng Xét tốn: Tìm số đo góc hai mặt phẳng cắt (P) (Q) Phương pháp: Xem xét gắn toán vào hình chóp (giả sử có đỉnh S) xác định chân đường cao H Khi thường xảy hai trường hợp sau: 12 Trường hợp 1: Tìm góc mặt bên mặt đáy hình chóp Xét Bài tốn gốc 1: Cho hình chóp S.ABC Tìm góc mặt phẳng  SAB  mặt phẳng đáy  ABC  Bước 1: - Tìm giao tuyến AB  SAB   ABC  - Tìm hình chiếu vng góc H đỉnh S lên (ABC) Bước 2: - Kẻ HE  AB, E  AB  AB   SEH  · - Suy ra: · SAB  ;  ABC    SEH Bước 3: Tìm độ dài hai cạnh tam giác vuông SEH · Áp dụng hệ thức sau để tìm góc SEH : · sin SEH  SH HE SH · ·   , cos SEH , tan SEH SE SE EH Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi, có AB  2a góc · BAD  120o Hình chiếu vng góc S xuống mặt phẳng đáy  ABCD  trùng a với giao điểm I hai đường chéo SI  Tính góc tạo mặt phẳng  SAB  mặt phẳng  ABCD  A 30 B 45 C 60 D 90 Hướng dẫn: Gọi H hình chiếu vng góc I AB Lời giải: Gọi  góc hai mặt phẳng  SAB  mặt phẳng  ABCD  Gọi H hình chiếu vng góc I AB  AB  HI  AB   SHI   AB  SI · Do   ·SH ; IH   SHI · · Do BAD  120o  BAI  60o  ABC cạnh 2a a ·  IA sin 60o  nên IA  a  IH  IA sin IAB SI    30o Chọn phương án A Do tan   IH  Ta có:  13 Trường hợp 2: Tìm góc hai mặt bên hình chóp Xét Bài tốn gốc 2: Cho hình chóp S.ABC Tìm góc mặt phẳng  SAC   SBC  Bước 1: - Tìm giao tuyến SC  SAC   SBC  - Tìm hình chiếu vng góc H đỉnh S lên (ABC) Bước 2: - Chọn điểm M thích hợp thuộc AC , kẻ MN  HC , N  BC Khi MN  SH  MN   SHC   MN  SC - Kẻ MK  SC , K  SC  SC   MKN    · · - Suy ra:  SAC  ;  SBC    MK , KN  Bước 3: Tìm góc ·MK , KN  cách xét tam giác MKN Ví dụ 10 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB  a; AD  a 3, cạnh bên SA   ABCD  Biết mặt phẳng  SBC  tạo với mặt đáy góc 60o Tính cơsin góc hai mặt phẳng  SBC   SCD  C 4 Hướng dẫn: Kẻ DE  AC  E  BC  I DH  SC H A 14 B D 10 Lời giải: Do SA   ABCD  BC  AB  BC   SBA  ·  60o ; AC  2a  SA  AB tan 60o  a Do · SBC  ;  ABC    SBA Kẻ DE  AC  E  BC  I , mặt khác DE  SA  DE   SAC   DE  SC Kẻ DH  SC H  SC   EHD  · Ta có: DI  DC sin ICD , · · tan ICD   ICD  60o a DC 2a ; DE   DI a a  IE  DE  DI   CI  EI DI  ; SA a · · sin ICH    IH  IC sin IHC  SC 7 Suy DI  a sin 60o  2a a 42 ; ED  21 EH  HD  ED  2 ·     cos · SBC  ;  SCD    Do cos EHD 2.EH HD 4 Suy EH  EI  IH  Chọn phương án B 14 Kết luận mục 2.3.3 Qua mục 2.3.3 ta thấy việc tìm góc hai mặt phẳng tương đối phức tạp Vì vậy, vào đối tượng học sinh trường THPT Như Xuân, đưa phương pháp tìm với hai trường hợp cụ thể nêu trên, việc tìm chân đường cao hình chóp thuận lợi 2.4 Hiệu Sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Khi áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm giảng dạy, học sinh hứng thú học tập mơn hình học khơng gian nói chung tốn tìm góc nói riêng, em khơng cịn e ngại tự tin học tập Đa số học sinh nắm vững dạng toán tìm góc, phương pháp giải biết vận dụng; trước tốn có định hướng rõ ràng, khơng cịn mị mẫm, lúng túng; tìm hướng giải, biết cách trình bày gặp sai lầm, thiếu sót, điểm số nâng cao Ngoài ra, sở học sinh nắm vững dạng tốn tìm góc có kỹ giải tốn giúp em nắm vững kiến thức quan hệ song song, quan hệ vng góc; em biết vận dụng để giải dạng toán khác làm tiền đề để học sinh học tốt mơn hình học khơng gian lớp 12, có tốn tính khoảng cách, tính thể tích, từ kết học tập nâng cao Bản thân áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm giảng dạy, thấy hiệu tiết dạy nâng cao, truyền tải nội dung kiến thức có hệ thống, bản, hợp lý, đầy đủ, đảm bảo mạch kiến thức, tiến độ nội dung chương trình Bản thân cảm thấy tự tin, hứng thú giảng dạy nội dung này, cảm nhận thấy tiết dạy lôi cuốn; học sinh sôi nổi, ý, chủ động, tích cực Đối với đồng nghiệp nhà trường, Sáng kiến kinh nghiệm tài liệu tham khảo hướng thiết thực để khắc phục tượng e ngại dạy học mơn hình học khơng gian nói chung tốn tìm góc nói riêng, từ nâng cao chất lượng dạy học mơn hình học khơng gian, góp phần vào phong trào đổi phương pháp giảng dạy nhà trường ngành giáo dục KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận: Qua Sáng kiến kinh nghiệm này, rút số kinh nghiệm giảng dạy mơn hình học không gian là: - Người dạy phải nghiên cứu để hệ thống dạng toán đưa phương pháp giải phù hợp nhất, dễ vận dụng - Hướng dẫn học sinh nắm vững kiến thức bản, dạng toán phương pháp giải - Hướng dẫn học sinh cách vẽ hình để hình vẽ trực quan nhất, cách khai thác hình vẽ - Hình thành kỹ rèn luyện kỹ giải dạng tốn thơng qua hệ thống tập chọn lựa kỹ có xếp phù hợp 15 Giáo viên tìm phương pháp tốt để hướng dẫn học sinh cách phân tích, tư tìm lời giải, hướng dẫn học sinh lập luận trình bày chặt chẽ - Giao cho học sinh hệ thống tập rèn luyện có chọn lọc kiểm tra, chỉnh sửa việc làm tập học sinh - Thường xuyên kiểm tra ơn tập cho học sinh Bên cạnh người dạy phải có số kỹ sau: - Kỹ nêu vấn đề hướng dẫn học sinh giải vấn đề - Kỹ giúp học sinh biết quy lạ quen, biết phán đoán Sáng kiến kinh nghiệm áp dụng rộng rãi trường THPT phù hợp với tất đối tượng học sinh Đặc biệt, Sáng kiến kinh nghiệm có tác dụng thiết thực xu hướng đổi đề theo hình thức trắc nghiệm (dạng tốn tìm góc, tính khoảng cách, thể tích xuất nhiều) nên cần ý địi hỏi rèn luyện cho học sinh kỹ tính nhanh xác kết Dựa Sáng kiến kinh nghiệm này, người dạy áp dụng cách làm dạng tốn khác, chương khác hay môn học khác 3.2 Kiến nghị: - Các tổ chuyên môn đẩy mạnh, nâng cao chất lượng việc báo cáo kết Sáng kiến kinh nghiệm thành viên tổ theo định kỳ - Nhà trường khuyến khích, tạo điều kiện nhiều để ngày nâng cao chất lượng viết Sáng kiến kinh nghiệm Sáng kiến kinh nghiệm hiệu triển khai áp dụng rộng rãi toàn trường - Sở Giáo dục Đào tạo cần giới thiệu, phổ biến, triển khai Sáng kiến kinh nghiệm có chất lượng tốt đến nhà trường để trao đổi áp dụng vào thực tế XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 10 tháng năm 2021 Tôi xin cam đoan Sáng kiến kinh nghiệm viết, khơng chép nội dung người khác Lê Khắc Luyện 16 TÀI LIỆU THAM KHẢO Hình Học 11, Trần Văn Hạo - Nguyễn Mộng Hy - Khu Quốc Anh Nguyễn Hà Thanh, Phan Văn Viện, Nhà xuất Giáo dục, năm 2015 Bài tập Hình Học 11, Nguyễn Mộng Hy – Khu Quốc Anh – Nguyễn Hà Thanh, Nhà xuất Giáo dục, năm 2007 Đề thi THPT Quốc gia mơn Tốn, Bộ Giáo dục Đào tạo, năm 2015; 2016; 2017; 2018; 2019 Đề thi tốt nghiệp THPT mơn Tốn, Bộ Giáo dục Đào tạo, năm 2020, 2021 17 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Lê Khắc Luyện Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên Toán - Trường THPT Như Xuân TT Tên đề tài SKKN Kết Cấp đánh đánh giá giá xếp loại xếp loại (Phòng, Sở, (A, B, Tỉnh ) C) Năm học đánh giá xếp loại Khai thác tính chất hàm số ngược nhằm trang bị cho học Sở GD&ĐT sinh THPT phương pháp Thanh Hóa giải phương trình C 2005-2006 Vận dụng số phức vào giải Sở GD&ĐT số toán số thực Thanh Hóa C 2008-2009 Hướng dẫn học sinh lớp 12 vận dụng hiệu tính biến Sở GD&ĐT thiên hàm số vào giải Thanh Hóa phương trình, bất phương trình hệ phương trình C 2013-2014 Giúp học sinh nắm vững kiến thức Chương I – Giải Tích 12 Sở GD&ĐT thơng qua phân tích sửa Thanh Hóa chữa sai lầm học sinh C 2017-2018 Một số giải pháp giúp học sinh lớp 11 phát huy sáng tạo Sở GD&ĐT học tập nội dung Thanh Hóa phương trình bậc sinx cosx C 2019-2020 18 ... kinh nghiệm giảng dạy mơn Hình Học 11, tơi nhận thấy đa số học sinh e ngại, không hứng thú giải tốn tìm góc khơng gian Khi giải toán học sinh chưa định hướng phương pháp giải rõ ràng, mơ hồ, mò... nhằm tìm phương pháp giảng dạy phù hợp với điều kiện thực tế đối tượng học sinh nhà trường, giúp học sinh lớp 11 giải tốt tốn tìm góc mơn hình học, từ học sinh tháo gỡ vướng mắc, khó khăn học, ... dạy học tơi ln trăn trở, nghiên cứu, tìm tịi đưa hệ thống dạng tập phương pháp giải tốt Từ năm học 2021-2022, chọn đề tài Sáng kiến kinh nghiệm ? ?Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải hiệu tốn tìm góc hình