(SKKN HAY NHẤT) rèn luyện tư duy, tìm tòi sáng tạo cho học sinh THPT qua một số bài toán chứng minh đẳng thức tổ hợp

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "RÈN LUYỆN TƯ DUY, TÌM TỊI SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THPT QUA MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC TỔ HỢP" LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ Trong chương trình tốn học phổ thơng phần đại số tổ hợp, số phức chương trình lạ khó em học sinh Các tốn tổ hợp mang tính tổng hợp khái qt hóa cao Vì học sinh học đến phần thường ngại, say mê, sáng tạo giảm Nếu chưa học đạo hàm, tích phân, số phức mà em vận dụng công thức sách giáo khoa em giải tốn chứng minh đẳng thức tổ hợp khó khăn Các em nên xuất phát từ đâu? Nên dùng công thức để chứng minh? Để giúp học sinh khắc phục tình trạng trên,giúp cho em có say mê, tư sáng tạo việc học phần đại số tổ hợp Tôi đọc tài liệu,nghiên cứu,phân tích,cải tiến cách dạy, tìm tịi thêm cơng thức khác, hướng dẫn em tự tìm tịi, tự phát triển công thức dựa công thức có, tập để trang bị cho em lượng kiến thức để em vận dụng làm tập cách khoa học hơn, sáng tạo hơn.Tạo hứng thú học tập đồng thời giúp em rèn luyện phương pháp giải tập khơng loại tập mà cịn vận dụng cách tư cho loại tập khác Trong khn khổ đề tài “Rèn luyện tư duy,tìm tịi sáng tạo cho học sinh THPT qua số tốn chứng minh đẳng thức tổ hợp” tơi nêu số phương pháp thường dùng để em giải toán chứng minh đẳng thức tổ hợp cách khoa học hơn, có sở có tính sáng tạo Từ để em củng cố kiến thức,rèn luyện khả nghiên cứu khoa học, đồng thời trang bị thêm kiến thức nhằm chuẩn bị tốt cho kỳ thi tốt nghiệp kỳ thi đại học,cao đẳng PHẦN II: NỘI DUNG I CƠ SỞ LÝ THUYẾT Công thức nhị thức Niu-tơn: (Quy ước ) Cơng thức tổ hợp: Các định nghĩa, tính chất Công thức liên quan đến số phức, công thức Moa- vrơ, công thức đạo hàm hàm số mũ,cơng thức tích phân Một số cơng thức khác: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ; ; ; II: THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ - Đối với học sinh THPT đa số học sinh gặp loại tốn thường khơng giải giải tốn nhiều thời gian Các em thường nên giải ?Công thức sách giáo khoa lại ít,nếu dùng định lý số tổ hợp để làm tập phức tạp mà có khơng thể giải - Một số em gặp toán mà em chưa tìm hướng giải em bỏ ngay,khơng có tính kiên trì tìm tịi,ỷ lại,chờ thầy giáo,cơ giáo chữa - Số tiết tập dành cho loại tập lại có đề thi thử Đại học số trường THPT ,và đặc biệt có số đề thi Đại học, cao đẳng,thi học sinh giỏi tỉnh III.GIẢI PHÁP THỰC HIỆN Phương pháp 1: Sử dụng công thức khai triển nhị thức Niu-Tơn,các cơng thức tổ hợp,các tính chất tổ hợp Ví dụ 1: Chứng minh: Giải: Xét khai triển (1) Thay x = ta được: Hay điều phải chứng minh Giáo viên: Nếu (1) ví dụ ta thay x = kết ? giáo viên yêu cầu học sinh phát biểu thành toán.Từ cho học sinh phát triển thành tập tổng quát với x = a LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ví dụ 2: Chứng minh đẳng thức sau: a b Giải: a.Xét khai triển Thay ta Thay ta (1) (2) Cộng vế với vế (1) (2) ta được: Suy điều phải chứng minh b.Áp dụng cơng thức: Ta có: Xét khai triển Thay ta Dođó: điều phải chứng minh Ví dụ 3: Chứng minh: Giải: Đặt: (1) Cách 1: Áp dụng cơng thức: Ta có: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Cộng vế với vế ta được: (2) Từ (1) (2) ta có: Xét khai triển Thay x = ta được: Do : Hay Cách 2: Áp dụng cơng thức: Ta có: Cộng vế với vế ta được: Xét khai triển Thay x = ta được: Do : Hay điều phải chứng minh Cách 3: Dùng đạo hàm giải ví dụ (ở phương pháp dùng đạo hàm phần sau) Có tốn để giải nhanh em càn biết phân tích dựa vào kết tập làm Ví dụ 4: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chứng minh: a, b, Giải: Hướng dẫn: a,Ta có: Theo ví dụ ta có: Cộng vế với vế ta được: b, Đặt: Cách 1: Ta có: Cách 2: Ta có: Các tổng tính thay vào ta điều phải chứng minh Ví dụ 5: Chứng minh: Giải: Áp dụng cơng thức: Ta có: Cộng vế với vế ta được: Xét khai triển LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Thay x = ta được: Do : Hay điều phải chứng minh Giáo viên: Làm cho học sinh hiểu rõ :Nếu ví dụ ta thay x số tự nhiên khác lại có tốn Từ giáo viên cho học sinh tổng quát thành toán: Bài tâp tổng qt: Chứng minh: Thơng qua ví dụ giáo viên làm cho học sinh thấy rõ ,từ tập suy nghĩ, phát triển ,mở rộng tập từ giúp cho học sinh tập làm quen với khả tư duy, sáng tạo học toán Giáo viên yêu cầu học sinh nhà tự tìm tịi tập khác từ ví dụ tìm tập tổng quát cho ví dụ coi tập Ví dụ 6: Cho n số tự nhiên Chứng minh đẳng thức sau: Giải: Cách 1: Ta có cơng thức: Nên Do đó: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Cộng vế với vế ta được: Xét khai triển (1) Thay x = ta được: Do : điều phải chứng minh Cách 2:Sử dụng đạo hàm (Phần sau) Giáo viên: Nếu khai triển (1) ví dụ ta thay x = 2; x = kết ? giáo viên yêu cầu học sinh phát biểu thành tốn Từ cho học sinh phát triển thành tập tổng quát với x = a Ví dụ 7: Chứng minh: Giải: Đặt: (1) Sử dụng cơng thức: ta có: Cộng vế với vế ta được: Xét khai triển : LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Thay x = ta được: điều phải chứng minh Ví dụ 8: Chứng minh: Giải: Xét khai triển Và Đồng hệ số điều phải chứng minh hai vế đẳng thức ta Giáo viên: Gợi ý cho học sinh suy nghĩ để tìm tốn mới, sau dẫn đến toán tổng quát, coi tập nhà Bài tâp tổng quát: Chứng minh: Đặc biệt: Khi m = n = k ta có tốn: Chứng minh: Bài tập: 1.Tính tổng: 2.Tính tổng: 3.Tính tổng: 4.Nêu tập tổng quát 5.Chứng minh: 6.Nêu tập tổng quát Tính tổng: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 8 Chứng minh: 9.Tính tổng: 10.Tính tổng: 11 Chứng minh: 12 Tính tổng: Phương pháp 2: Sử dụng đạo hàm Rất nhiều toán chứng minh đẳng thức tổ hợp dùng phương pháp đạo hàm chứng minh ngắn gọn dễ hiểu, dễ nhớ cách chứng minh Tùy vào tùng tốn cụ thể mà ta phải tính đến đạo hàm cấp một, cấp hai,v.v ví dụ giáo viên dẫn dắt, giúp học sinh lựa chọn cách giải cho phù hợp Ví dụ1: (Đây Ví dụ phần phương pháp ta dùng đạo hàm để chứng minh) Chứng minh: Giải: 10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Xét khai triển (1) Lấy đạo hàm theo x hai vế (1) ta được: Thay x = ta có điều phải chứng minh Nhận xét: - Như học sinh học đạo hàm việc dùng đạo hàm để giải toán nhanh cách giải phần trước - Ở Bài tâp tổng quát: phần phương pháp ta cần thay x = a - Nếu thay x = - ta dược kết tập phần Ví dụ 2: Chứng minh: Giải: Xét khai triển (1) Lấy đạo hàm theo x hai vế (1) ta được: Thay x = -2 ta có điều phải chứng minh Ví dụ 3: Tính tổng: Giải: Xét khai triển Suy ra: (1) Lấy đạo hàm theo x hai vế (1) ta được: Thay x = -1 ta có S = Ví dụ 4: Tính tổng: 11 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Giải: Xét khai triển (1) (2) Lấy (1( cộng (2) ta được: (3) Lấy đạo hàm theo x hai vế (3) ta được: Thay x = ta Ví dụ 5: Cho n số tự nhiên Chứng minh đẳng thức sau: Giải: Hướng dẫn Xét khai triển (1) Lấy đạo hàm theo x hai vế (1) ta được: Suy (2) Lấy đạo hàm theo x hai vế (2) ta được: (3) Thay x = vào (3) ta được: phải chứng minh) (điều Giáo viên: Nếu (3) ví dụ ta thay x = kết ? giáo viên yêu cầu học sinh phát biểu thành tốn.Từ cho học sinh phát triển thành tập tổng quát với x = a Bài tập: 1.Chứng minh đẳng thức: 12 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 2.Chứng minh đẳng thức: 3.Chứng minh đẳng thức: 4.Chứng minh đẳng thức: 5.Chứng minh đẳng thức: 6.Tính tổng: Phương pháp3:Dùng tích phân Có tập dùng nhiều phương pháp để chứng minh, số ví dụ hay só tập hai phương pháp dùng phương pháp tích phân để giải.Giáo viên đưa phương pháp sau yêu cầu học sinh lựa chọn phương pháp cho phù hợp em thiên mảng kiến thức khác nhau.Rèn luyện để em vào đề để chọn cách lấy cận tích phân Ví dụ:1 Cho n số tự nhiên Chứng minh đẳng thức sau: Giải: Xét khai triển Lấy tích phân hai vế (từ đến ) ta được: (1) Mặt khác: 13 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com (2) Từ (1) (2) ta có điều phải chứng minh Từ ví dụ giáo viên yêu cầu học sinh đọc kết tập sau: Cho n số tự nhiên Tính tổng : Giáo viên: Cho học sinh suy nghĩ để tìm tốn mới, sau dẫn dắt đến toán tổng quát thay số số tự nhiên khác Ví dụ 2: Cho n số tự nhiên Chứng minh đẳng thức sau: Giải: Cách 1: Xét khai triển Lấy tích phân hai vế (từ đến ) ta được: (1) Mặt khác: (2) Từ (1) (2) ta có điều phải chứng minh 14 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Cách 2: Tách dùng phương pháp (học sinh tự làm) Giáo viên: Nếu thay tích phân từ đến tích phân từ 1đến ta ? Từ yêu cầu học sinh suy nghĩ để dẫn đến tập tổng quát Ví dụ 3: Chứng minh đẳng thức sau: Giải: Ta có: (1) Xét khai triển: Ta có Lấy tích phân hai vế (từ đến ) ta được: (2) Từ (1) (2) ta có điều phải chứng minh Giáo viên: Nếu thay tích phân từ đến tích phân từ đến ta ? Từ rút tập tổng qt Ví dụ 4: Chứng minh đẳng thức sau: Giải: 15 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ta có: (1) Xét khai triển: Ta có Lấy tích phân hai vế (từ đến ) ta được: (2) Từ (1) (2) ta có điều phải chứng minh Giáo viên: - Nếu thay tích phân từ đến tích phân từ đến ta ? Từ rút tập tổng quát - Có tập cần kết hợp đạo hàm tích phân ví dụ sau Ví dụ 5: Chứng minh đẳng thức sau: Giải: Xét khai triển (1) Lấy đạo hàm theo x hai vế (1) ta được: Lấy tích phân hai vế (từ đến ) ta được: = 16 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mặt khác: Do đó: điều phải chứng minh Giáo viên: Yêu cầu học sinh suy nghĩ tập tổng quát,coi tập nhà Bài tập: 1.Chứng minh đẳng thức sau: 2.Tính tổng: 3.Chứng minh đẳng thức sau: 4.Chứng minh đẳng thức sau: 5.Chứng minh đẳng thức sau: 6.Nêu tập tổng quát (nếu có) tập Phương pháp4:Sử dụng số phức Số phức phần kiến thức mà học sinh cịn lúng túng mơ hồ, dạy phần phải lựa chọn phương pháp dạy để học sinh tiếp cận nhanh Tôi phân loại dạng tập để học sinh nắm bắt nội dung học hiệu Một dạng dùng số phức để chứng minh hay tính tổng đẳng thức liên quan đến tổ hợp Ví dụ : Chứng minh đẳng thức: Giải: 17 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Xét khai triển : (1) Mặt khác: (2) Từ (1) (2) được: ta có: Đồng hai vế ta Điều phải chứng minh Sau giải xong ví dụ giáo viên yêu cầu học sinh rút kết tập sau: Tính tổng: Ví dụ 2: Tính tổng: Giải: Xét khai triển : (1) Mặt khác: Từ (2) (1) (2) được: ta có: Đồng hai vế ta (3) Xét khai triển : Thay x = ta có: Thay x = -1 ta có: Do đó: (4) Cộng vế với vế (3) (4) ta được: Ví dụ : Chứng minh đẳng thức: Giải: Xét khai triển : 18 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com (1) Mặt khác: (2) Từ (1) (2) ta có: Đồng hai vế ta được: Điều phải chứng minh Sau giải xong ví dụ giáo viên yêu cầu học sinh rút kết tập sau: Tính tổng: Ví dụ : Cho n số tự nhiên ,chứng minh: Giải: Xét khai triển Thay áp dụng công thức Moa_vrơ ta được: (1) Mặt khác: Áp dụng cơng thức Moa-vrơ ta có: Do đó: (2) Từ (1) (2) ta có: 19 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Điều phải chứng minh Bài tập: 1.Chứng minh đẳng thức sau: 2.Tính tổng Chứng minh 4.Chứng minh 5.Chứng minh 6.Chứng minh 7.Tính tổng hữu hạn: 8.Chứng minh rằng: IV KIỂM NGHIỆM Trước chưa sử dụng đề tài qua trình kiểm tra em tơi thấy em khơng biết nên xuất phát từ đâu? Nên dùng công thức để chứng minh? kiểm tra có nhiều em cịn bị điểm ,điểm giỏi ít.Để kiểm tra hiệu đề tài này, sau em hướng dẫn cách sử dụng cơng thức, tính chất tổ hợp, cách sử dụng đạo hàm, 20 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com tích phân, cơng thức triển khai nhị thức Niu Tơn, số phức để chứng minh hay tính tổng tốn liên quan đến tổ hợp Các em tự tin giải tốn dạng cách thành thạo, ngồi số em giỏi cịn tự tìm tịi thêm số toàn mới, số tổng quát Tôi tiến hành kiểm tra miệng,15 phút ,1 tiết tiết lớp thực đề tài kết thu đáng khích lệ sau: 1.Năm học 2009-2010 Lớp Sỹ số Điểm từ đến Điểm từ đến Điểm Số lượng % Số lượng % Số lượng % 12I 40 22,5 10 25 21 52,5 12B 45 13,4 11 24,4 28 62,2 12K 48 14 29,2 33 68,8 2.Năm học 2012-2013 Lớp Sỹ số Điểm từ đến Điểm từ đến Điểm Số lượng % Số lượng % Số lượng % 12M 41 11 26,8 10 24,4 20 48,8 12B 44 15,9 12 27,3 25 56,8 12G 49 4,1 11 22,4 36 73,5 PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT 1.Kết luận Qua trình thực đề tài thu số học kinh nghiệm: - Luôn củng cố khắc sâu kiến thức có liên quan 21 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com - Cần rèn luyện cho học sinh sau đọc đề cần phân tích chọn lời giải tối ưu Biết linh hoạt việc lựa chọn cách giải phải để ý đến thời gian làm bài, là kiểm tra - Biết phân tích tốn tìm cách giải khác nhau, từ nhằm phát huy tính sáng tạo khái qt hóa tốn Động viên em nỗ lực tìm tịi lời giải hay, tranh luận với bạn bè giúp tiến - Rèn luyện cách trình bày cách chặt chẽ, cẩn thận sáng sủa - Làm cho em u thích mơn tốn say mê học toán Trên lầ số phương pháp để rèn luyện cho học sinh, nhiên phạm vị đề tài giải số toán Rất mong bạn đồng nghiệp góp ý kiến để có cách dạy khai thác thể loại cách tốt hiệu cao 2.Đề xuất - Nhà trường trang bị thêm tài liệu tham khảo cho thư viện nhà trường để giáo viên học sinh nghiên cứu - Các sáng kiến kinh nghiệm thầy cô hàng năm lưu giữ thư viện để giáo viên học sinh nghiên cứu,và học tập Tôi xin chân thành cảm ơn! 22 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... cách tư cho loại tập khác Trong khuôn khổ đề tài ? ?Rèn luyện tư duy ,tìm tịi sáng tạo cho học sinh THPT qua số tốn chứng minh đẳng thức tổ hợp? ?? tơi nêu số phương pháp thường dùng để em giải toán chứng. .. phải chứng minh Giáo viên: Yêu cầu học sinh suy nghĩ tập tổng quát,coi tập nhà Bài tập: 1 .Chứng minh đẳng thức sau: 2.Tính tổng: 3 .Chứng minh đẳng thức sau: 4 .Chứng minh đẳng thức sau: 5 .Chứng minh. .. giúp cho học sinh tập làm quen với khả tư duy, sáng tạo học toán Giáo viên yêu cầu học sinh nhà tự tìm tịi tập khác từ ví dụ tìm tập tổng quát cho ví dụ coi tập Ví dụ 6: Cho n số tự nhiên Chứng minh