Bài 7 Giải bài toán bằng cách lập phương trình (tiếp) Câu hỏi 1 trang 28 SGK Toán lớp 8 Tập 2 Trong ví dụ trên, hay thử chọn ẩn số theo cách khác Gọi s (km) là quãng đường từ Hà Nội đến điểm gặp nhau[.]
Bài 7: Giải tốn cách lập phương trình (tiếp) Câu hỏi trang 28 SGK Toán lớp Tập 2: Trong ví dụ trên, hay thử chọn ẩn số theo cách khác: Gọi s (km) quãng đường từ Hà Nội đến điểm gặp hai xe Điền vào bảng sau lập phương trình với ẩn số s: Vận tốc(km/h) Quãng đường (km) Xe máy Thời gian (h) s Ơ tơ Lời giải Vận tốc (km/h) Quãng đường (km) Thời gian (h) Xe máy 35 s s 35 Ơ tơ 45 90 – s 90 − s 45 Ơ tơ xuất phát sau xe máy nên: s 90 − s = + 35 45 Câu hỏi trang 28 SGK Toán lớp Tập 2: Giải phương trình nhận suy đáp số toán So sánh hai cách chọn ẩn, em thấy cách cho lời giải gọn ? Lời giải s 90 − s = + 35 45 9s 7(90 − s) 2.63 = + 315 315 315 ⇔ 9s = 7(90 - s) + 126 ⇔ 9s = 756 – 7s ⇔ 16s = 756 ⇔ s = 47,25(km) Thời gian để hai xe gặp từ lúc xe máy khởi hành là: s 47,25 27 = = ( giờ) 35 35 20 So sánh hai cách chọn ẩn, cách (chọn ẩn thời gian từ lúc xe máy khởi hành đến lúc hai xe gặp nhau) cho cách giải ngắn gọn phương trình đơn giản Bài tập Bài 37 trang 30 SGK Toán lớp tập 2: Lúc sáng, xe máy khởi hành từ A để đến B Sau giờ, tơ xuất phát từ A đến B với vận tốc trung bình lớn vận tốc trung bình xe máy 20km/h Cả hai xe đến B đồng thời vào lúc 30 phút sáng ngày Tính độ dài quãng đường AB vận tốc trung bình xe máy Lời giải: * Phân tích tốn: Chọn x vận tốc trung bình xe máy (Các bạn chọn x quãng đường AB làm tương tự) Thời gian Vận tốc Quãng đường AB Xe máy 3,5 x 3,5x Ơ tơ 2,5 x + 20 2,5(x + 20) Lời giải: Gọi vận tốc trung bình xe máy x (x > 0, km/h) Thời gian xe máy từ A đến B: 9h30 – 6h = 3,5 (h) Quãng đường AB (tính theo xe máy) là: 3,5.x (km) Vận tốc trung bình tơ lớn vận tốc trung bình xe máy 20km/h ⇒ Vận tốc trung bình tơ là: x + 20 (km/h) Ơ tơ xuất phát sau xe máy 1h ⇒ thời gian ô tô từ A đến B là: 3,5 – = 2,5 (h) Quãng đường AB (tính theo tơ) là: 2,5(x + 20) (km) Vì qng đường AB khơng đổi nên ta có phương trình: 3,5x = 2,5(x + 20) ⇔ 3,5x = 2,5x + 50 ⇔ 3,5x – 2,5x = 50 ⇔ x = 50 (thỏa mãn) ⇒ Quãng đường AB: S = v.t = 3,5.50 = 175 (km) Vậy quãng đường AB dài 175km vận tốc trung bình xe máy 50km/h Bài 38 trang 30 SGK Toán tập 2: Điểm kiểm tra Toán tổ học tập cho bảng sau: Điểm số (x) Tần số (f) * * N = 10 Biết điểm trung bình tổ 6,6 Hãy điền giá trị thích hợp vào hai cịn trống (được đánh dấu *) Lời giải: Gọi x số học sinh (tần số) điểm (x ∈ Tần số hay số học sinh điểm là: 10 – (1 + + + x) = – x Điểm trung bình tổ 6,6 điểm nên: 4.1 + 5.x + 7.2 + 8.3 + 9.(4 − x) = 6,6 10 + 5x + 14 + 24 + 36 – 9x = 66 - 4x + 78 = 66 - 4x = - 12 x = (thỏa mãn điều kiện) Do tần số điểm 3; tần số điểm Ta có bảng sau: ; ≤ x ≤ 4) Điểm số (x) Tần số (f) 3 N = 10 Bài 39 trang 30 SGK Toán lớp tập 2: Lan mua hai loại hàng phải trả tổng cộng 120 nghìn đồng, tính 10 nghìn đồng thuế giá trị gia tăng (viết tắt thuế VAT) Biết thuế VAT loại hàng thứ 10%; thuế VAT loại hàng thứ 8% Hỏi khơng kể thuế VAT Lan phải trả loại hàng tiền? Ghi chú: Thuế VAT thuế mà người mua hàng phải trả, người bán hàng thu nộp cho Nhà nước Gỉa sử thuế VAT mặt hàng A quy định 10% Khi giá bán A a đồng kể thuế VAT, người mua mặt hàng phải trả tổng cộng a + 10% a đồng Lời giải: * Phân tích: Vì 120000 đồng Lan trả có 10000 đồng thuế VAT nên giá gốc hai sản phẩm khơng tính VAT 110000 đồng Giá gốc Thuế VAT Hàng thứ x 0,1.x Hàng thứ 110000 – x 0,08.(110000 – x) Thuế VAT hai mặt hàng 10 nghìn nên có phương trình: 0,1x + 0,08(110000 – x) = 10000 Lời giải Gọi giá gốc mặt hàng thứ x (0 < x < 110000 đồng) Vì 120000 đồng Lan trả có 10000 đồng thuế VAT nên tổng giá gốc hai mặt hàng bằng: 120000 – 10000 = 110000 (nghìn đồng) ⇒ Giá gốc mặt hàng thứ hai là: 110000 – x ( đồng) Thuế VAT mặt hàng thứ bằng: 10%.x = 0,1x (đồng) Thuế VAT mặt hàng thứ hai bằng: 8%.(110000 – x) = 0,08.(110000 – x) (đồng) Thuế VAT hai mặt hàng bằng: 0,1x + 0,08(110000 – x) (nghìn đồng) Theo đề bài, tổng thuế VAT hai mặt hàng 10000 đồng nên ta có phương trình: 0,1x + 0,08(110000 – x) = 10000 ⇔ 0,1x + 8800 – 0,08x = 10000 ⇔ 0,02x = 1200 ⇔ x = 60000 (thỏa mãn điều kiện) Vậy khơng kể VAT giá mặt hàng thứ 60000 đồng, giá mặt hàng thứ hai 110000 – 60000 = 50000 đồng Luyện tập trang 31- 32 Bài 40 trang 31 SGK Toán lớp tập Năm nay, tuổi mẹ gấp lần tuổi Phương Phương tính 13 năm tuổi mẹ cịn gấp lần tuổi Phương Hỏi năm Phương tuổi? Lời giải: * Phân tích: Năm Tuổi Phương Tuổi mẹ x 3x 13 năm sau x + 13 3x + 13 Sử dụng kiện 13 năm sau tuổi mẹ gấp hai lần tuổi Phương nên ta có phương trình: 3x + 13 = 2(x + 13) Lời giải: Gọi x tuổi Phương năm (x > 0; x ∈ ) Tuổi mẹ năm là: 3x Tuổi Phương 13 năm sau: x + 13 Tuổi mẹ 13 năm sau: 3x + 13 Vì 13 năm tuổi mẹ gấp lần tuổi Phương nên ta có phương trình: 3x + 13 = 2(x + 13) ⇔ 3x + 13 = 2x + 26 ⇔ 3x – 2x = 26 – 13 ⇔ x = 13 (thỏa mãn điều kiện xác định) Vậy năm Phương 13 tuổi Bài 41 trang 31 SGK Toán lớp tập 2: Một số tự nhiên có hai chữ số Chữ số hàng đơn vị gấp hai lần chữ số hàng chục Nếu thêm chữ số xen vào hai chữ số số lớn số ban đầu 370 Tìm số ban đầu Lời giải: * Phân tích: Với số có hai chữ số ta ln có: xy =10x + y Khi thêm chữ số xen vào ta số: x1y =100x + 10 + y Vì chữ số hàng đơn vị gấp lần chữ số hàng chục nên ta có y = 2x Số lớn số ban đầu 370 nên ta có phương trình: 100x + 10 + 2x = 10x + 2x + 370 Lời giải: Gọi chữ số hàng chục số cần tìm x (x ∈ ; < x ≤ 9) ⇒ Chữ số hàng đơn vị 2x ⇒ Số cần tìm A = x(2x) = 10x + 2x =12x Sau viết thêm chữ số vào hai chữ số ta số là: B = x1(2x) = 100x + 10 + 2x = 102x + 10 Theo đề số lớn số ban đầu 370, ta có B = A + 370 nên ta có phương trình 102x + 10 = 12x + 370 ⇔ 102x – 12x = 370 – 10 ⇔ 90x = 360 ⇔ x = (thỏa mãn) Vậy số cần tìm 48 Bài 42 trang 31 SGK Tốn lớp tập 2: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết viết thêm chữ số vào bên trái chữ số vào bên phải số ta số lớn gấp 153 lần số ban đầu Lời giải: Gọi số có hai chữ số cần tìm xy ( 10 xy 99; x; y ) Khi viết thêm chữ số vào bên trái chữ số vào bên phải ta số 2xy2 = 2000 +xy0 + = 2002 +10xy Theo đề bài, số gấp 153 lần số ban đầu nên ta có phương trình: 2002 + 10xy = 153xy 153xy − 10xy = 2002 143xy = 2002 xy = 14 (thỏa mãn điều kiện) Vậy số cần tìm 14 Bài 43 trang 31 SGK Tốn lớp tập 2: Tìm phân số có đồng thời tính chất sau: a) Tử số phân số số tự nhiên có chữ số; b) Hiệu tử số mẫu số c) Nếu giữ nguyên tử số viết thêm vào bên phải mẫu số chữ số tử số, ta phân số phân số Lời giải: Gọi tử số phân số cần tìm x (0 < x < 10, x ∈ ;x ) + Hiệu tử số mẫu số nên mẫu số x – + Viết thêm chữ số tử số vào bên phải mẫu số ta mẫu số là: (x − 4)x = 10.(x − 4) + x = 10x − 40 + x = 11x − 40 Phân số nên ta có phương trình : x = 11x − 40 5x 1.(11x − 40) = 5(11x − 40) 5(11x − 4)) Suy ra: 5x = 11x – 40 5x – 11x = - 40 - 6x = -40 x= −40 20 ( không thỏa mãn điều kiện) = −6 Vậy khơng có phân số thỏa mãn u cầu đề Bài 44 trang 31 SGK Toán lớp tập 2: Điểm kiểm tra Toán lớp cho bảng đây: Điểm (x) 10 Tần số (f) 0 * 10 12 có cịn trống (thay dấu *) Hãy điền số thích hợp vào trống, điểm trung bình lớp 6,06 Lời giải: Gọi x tần số điểm (x > 0; x ∈ ) Số học sinh lớp: + x + 10 + 12 + + + + = 42 + x Vì điểm trung bình 6,06 nên: 2.3 + 4.x + 5.10 + 6.12 + 7.7+ 6.8 + 9.4 + 10.1 = 6,06 42 + x ⇔ + 4x + 50 + 72 + 49 + 48 + 36 + 10 = 6,06(42 + x) ⇔ 271 + 4x = 254,52 + 6,06x 271 − 254,52 = 6,06x − 4x N=* ⇔ 16,48 = 2,06x ⇔ x = (thỏa mãn điều kiện) Tần số điểm tổng số học sinh lớp 42 + = 50 (học sinh) Vậy ta có kết điền vào sau: Điểm (x) 10 Tần số (f) 0 10 12 N = 50 Bài 45 trang 31 SGK Tốn lớp tập 2: Một xí nghiệp kí hợp đồng dệt số thảm len 20 ngày Do cải tiến kĩ thuật, suất dệt xí nghiệp tăng 20% Bởi vậy, 18 ngày, khơng xí nghiệp hồn thành số thảm cần dệt mà dệt thêm 24 Tính số thảm len mà xí nghiệp phải dệt theo hợp đồng Lời giải: * Phân tích: Ta có: Số sản phẩm dệt = suất số ngày dệt Năng suất Số ngày dệt Tổng sản phẩm Dự tính x 20 20.x Thực tế sau cải tiến x + 20%.x = 1,2x 18 18.1,2.x Thực tế dệt nhiều dự tính 24 nên ta có phương trình: 18.1,2x = 20x + 24 Lời giải: Gọi x suất dự tính xí nghiệp (sản phẩm/ngày); (x ∈ *) ⇒ Số thảm len dệt theo dự tính là: 20x (thảm) Sau cải tiến, suất xí nghiệp tăng 20% nên suất thực tế là: x + 20%.x = x + 0,2x = 1,2x (sản phẩm/ngày) Sau 18 ngày, xí nghiệp dệt được: 18.1,2x = 21,6.x (thảm) Vì sau 18 ngày, xí nghiệp khơng hồn thành số thảm cần dệt mà dệt thêm 24 nên ta có phương trình: 21,6.x = 20x + 24 ⇔ 21,6x – 20x = 24 ⇔ 1,6x = 24 ⇔ x = 15 (thỏa mãn) Vậy số thảm mà xí nghiệp phải dệt ban đầu là: 20.15 = 300 (thảm) Bài 46 trang 31-32 SGK Toán lớp tập 2: Một người lái ô tô dự định từ A đến B với vận tốc 48km/h Nhưng sau với vận tốc ấy, ô tô bị tàu hỏa chắn đường 10 phút Do đó, để kịp đến B thời gian định, người phải tăng vận tốc thêm 6km/h Tính qng đường AB Lời giải: * Phân tích: Ta ln có: Quãng đường = vận tốc.thời gian Gọi C địa điểm ô tô gặp tàu hỏa Quãng đường AC ô tô với vận tốc 48km/h 1h nên SAC = 48.1 = 48km Xét quãng đường BC, để đến B thời gian định ô tô với vận tốc 48 + = 54 (km/h) Vì tơ đến B thời gian định nên thời gian thực tế ô tô từ B đến C thời gian dự định 10 phút = (là thời gian chờ tàu hỏa) Quãng đường BC Vận tốc Thời gian Dự tính x 48 x 48 Thực tế x 48 + = 54 x 54 Ta có phương trình: x x − = 48 54 Lời giải Gọi C địa điểm ô tô gặp tàu hỏa Quãng đường AC ô tô với vận tốc 48km/h ⇒ SAC = 48.1 = 48 (km) Gọi quãng đường BC dài x (km; x > 0) Vận tốc dự tính BC là: 48 km/h ⇒ Thời gian dự tính quãng đường BC hết: x (giờ) 48 Thực tế ô tô quãng đường BC với vận tốc 48 + = 54 (km/h) ⇒ Thời gian thực tế ô tô quãng đường BC là: x (giờ) 54 Thời gian chênh dự tính thực tế thời gian ô tô đợi tàu hỏa 10 phút = (giờ) Do ta có phương trình: x x − = 48 54 9x 8x 72 − = 432 432 432 9x – 8x = 72 ⇔ x = 72 (thỏa mãn điều kiện) Nên quãng đường BC 72 (km) Vậy quãng đường AB là: SAB = SAC + SBC = 48 + 72 = 120 (km) Bài 47 trang 32 SGK Toán lớp tập 2: Bà An gửi vào quỹ tiết kiệm x nghìn đồng với lãi suất tháng a% (a số cho trước) lãi tháng tính gộp vào vốn cho tháng sau a) Hãy viết biểu thức biểu thị: + Số tiền lãi sau tháng thứ nhất; + Số tiền (cả gốc lẫn lãi) có sau tháng thứ nhất; + Tổng số tiền lãi có sau tháng thứ hai b) Nếu lãi suất 1,2% (tức a = 1,2) sau tháng tổng số tiền lãi 48,288 nghìn đồng, lúc đầu bà An gửi tiền tiết kiệm? Lời giải: a) Bà An gửi vào quỹ tiết kiệm: x đồng (x > 0) Lãi suất tháng a% tháng nên số tiền lãi sau tháng thứ bằng: a%.x Số tiền (cả gốc lẫn lãi) có sau tháng thứ nhất: x + a%.x = (1 + a%)x Số tiền lãi sau tháng thứ hai: (1 + a%)x.a% Tổng số tiền lãi sau hai tháng bằng: a%.x + (1 + a%).x.a% (đồng) (1) b) Vì sau hai tháng bà An lãi 48288 đồng với lãi suất 1,2% (tức a = 1,2) nên thay vào (1) ta có phương trình: 1,2%.x + (1 + 1,2%).x.1,2% = 48288 ⇔ 0,012x + 1,012.x.0,012 = 48288 ⇔ 0,012x + 0,012144x = 48288 ⇔ 0,024144.x = 48288 ⇔ x = 000 000 (đồng) Vậy bà An gửi tiết kiệm 000 000 đồng Bài 48 trang 32 SGK Toán lớp tập 2: Năm ngoái, tổng số dân hai tỉnh A B triệu Năm nay, dân số tỉnh A tăng thêm 1,1%, dân số tỉnh B tăng thêm 1,2% Tuy số dân tỉnh A năm nhiều tỉnh B 807200 người Tính số dân năm ngối tỉnh * Phân tích: Năm ngối Năm Tỉnh A x x + x.1,1% = 1,011.x Tỉnh B 4–x (4 – x) + (4 – x).1,2% = (4 – x).1,012 Dân số tỉnh A năm nhiều dân số tỉnh B 807200 người = 0,8072 (triệu người) nên ta có phương trình: 1,011.x - 1,012.(4 – x) = 0,8072 Lời giải: Gọi x số dân năm ngoái tỉnh A (0 < x < 4) (triệu người) Số dân năm ngoái tỉnh B: – x (triệu người) Năm dân số tỉnh A tăng 1,1 % nên số dân tỉnh A năm nay: x + 1,1% x = 1,011.x Năm dân số tỉnh B tăng 1,2 % nên số dân tỉnh B năm nay: (4 – x) + 1,2% (4 – x) = 1,012(4 – x) Vì số dân tỉnh A năm tỉnh B 807200 người = 0,8072 triệu người nên ta có phương trình: 1,011.x - 1,012(4 – x) = 0,8072 ⇔ 1,011x – 4,048 + 1,012x = 0,8072 1,011x + 1,012x = 0,8072 + 4,048 ⇔ 2,023 x = 4,8552 ⇔ x = 2,4 (thỏa mãn) Vậy dân số tỉnh A năm ngoái 2,4 triệu người, dân số tỉnh B năm ngoái – 2,4 = 1,6 triệu người Bài 49 trang 32 SGK Toán lớp tập 2: Đố: Lan có miếng bìa hình tam giác ABC vuông A, cạnh AB = 3cm Lan tính cắt từ miếng bìa hình chữ nhật có chiều dài 2cm hình hình chữ nhật có diện tích nửa diện tích miếng bìa ban đầu Tính độ dài cạnh AC tam giác ABC Lời giải: Gọi x (cm) độ dài cạnh AC (x > 2) Gọi hình chữ nhật MNPA hình vẽ Ta có: MC = AC – AM = x – (cm) Vì MN // AB nên theo định lý Talet ta có : MN MC AB MC 3(x − 2) = MN = = AB AC AC x Diện tích hình chữ nhật MNPA là: AM MN = 3(x − 2) 6(x − 2) = x x Diện tích tam giác ABC là: 1 3x AB.AC = 3.x = 2 Vì diện tích tam giác ABC gấp đơi diện tích hình chữ nhật MNPA nên ta có phương trình: 6(x − 2) x = 2 x x.x = 12 ( x − ) x = 12x − 24 3x = 24x − 48 x = 8x − 16 x − 8x + 16 = ( x − 4) = x−4=0 x=4 Vậy độ dài đoạn thẳng AC 4cm ... năm tỉnh B 80 72 00 người = 0 ,80 72 triệu người nên ta có phương trình: 1,011.x - 1,012(4 – x) = 0 ,80 72 ⇔ 1,011x – 4,0 48 + 1,012x = 0 ,80 72 1,011x + 1,012x = 0 ,80 72 + 4,0 48 ⇔ 2,023 x = 4 ,85 52 ⇔ x... An lãi 482 88 đồng với lãi suất 1,2% (tức a = 1,2) nên thay vào (1) ta có phương trình: 1,2%.x + (1 + 1,2%).x.1,2% = 482 88 ⇔ 0,012x + 1,012.x.0,012 = 482 88 ⇔ 0,012x + 0,012144x = 482 88 ⇔ 0,024144.x... trình: x x − = 48 54 9x 8x 72 − = 432 432 432 9x – 8x = 72 ⇔ x = 72 (thỏa mãn điều kiện) Nên quãng đường BC 72 (km) Vậy quãng đường AB là: SAB = SAC + SBC = 48 + 72 = 120 (km) Bài 47 trang 32