50 bài tập về giải bài toán bằng cách lập phương trình (có đáp án 2022) – toán 8

Giải bài toán bằng cách lập phương trình I Lý thuyết Giải bài toán bằng cách lập phương trình là đưa những bài trong thực tế về phương trình toán học để tìm ra đáp án thỏa mãn điều kiện ban đầu Giải b[.]

Giải tốn cách lập phương trình I Lý thuyết - Giải tốn cách lập phương trình đưa thực tế phương trình tốn học để tìm đáp án thỏa mãn điều kiện ban đầu - Giải toán cách lập phương trình gồm có bước Bước 1: Lập phương trình - Đặt ẩn tìm kiện phù hợp với ẩn; - Biểu diễn kiện toán chưa biết thông qua ẩn đại lượng biết; - Lập phương trình biểu diễn mối quan hệ đại lượng Bước 2: Giải phương trình lập Bước 3: Kiểm tra điều kiện đưa kết luận toán Chú ý: Một số ý chọn ẩn sau: + Thông thường tốn tìm đại lượng chọn ẩn đại lượng + Nếu x biểu thị chữ số  x  9;x  + Nếu x biểu thị số tuổi, số sản phẩm, số học sinh,… x  * + Nếu x biểu thị đại lượng đo lường thời gian; vận tốc; quãng đường… x  II Các dạng Dạng 1: Bài toán so sánh, thêm bớt Phương pháp giải: Vận dụng kiện toán để lập phương trình giải theo bước nêu phần lí thuyết học sinh lớp Sang kỳ hai, lớp 8A có thêm học sinh giỏi lúc số học sinh giỏi chiếm học sính lớp Hỏi lớp 8A có học sinh Ví dụ 1: Học kỳ một, số học sinh giỏi lớp 8A chiếm Lời giải: Gọi số học sinh lớp x  x  *  Vì học kỳ số học sinh giỏi chiếm học sinh lớp nên số học sinh giỏi kỳ x (học sinh) Vì học kỳ hai có thêm học sinh giỏi nên số học sinh giỏi kỳ hai (học sinh) (1) Mặt khác số học sinh giỏi kỳ hai hai x +3 số học sinh lớp nên số học sinh giỏi kỳ x (học sinh) (2) Từ (1) (2) ta có phương trình: 1 x  x3 1  x x 3 1 1    x  5 8  x 3 40  x  3: 40  x  40 (tm) Vậy lớp 8A có 40 học sinh Ví dụ 2: Hai rổ cam có tất 96 Nếu chuyển từ rổ thứ sang rổ thứ số cam rổ thứ số cam rổ thứ Tìm số cam rổ Lời giải: Gọi số cam rổ thứ x  x  * ,3  x  96  Vì tổng số cam hai rổ 96 cam nên số cam rổ thứ hai 96 – x (quả) Khi chuyển cam từ rổ thứ sang rổ thứ số cam rổ thứ x – (quả), số cam rổ thứ hai (96 – x + 4) (quả) Sau chuyển số cam rổ thứ só cam rổ thứ hai nên ta có phương trình: (x – 4) = (96 – x + 4)  x4 100  x   x   60  x  x  x  60   3  1   x  64  5  x  64  x  64 :  x  40 (tm) Số cam rổ thứ 40 (quả) Số cam rổ thứ hai 96 – 40 = 56 (quả) Dạng 2: Bài toán chuyển động Phương pháp giải: Sử dụng số kiến thức sau đây: - Công thức cần ghi nhớ: S = t.v Trong đó: S quãng đường (km, m, …); v vận tốc (km/h; m/s…); t thời gian (h; s…) - Các tốn có lực cản (ví dụ lực cản gió; dịng nước chảy…) cần ý kh vận tốc xuôi vận tốc ngược so với vận tốc thực vật vận tốc cản sau: vxuoi  vthuc  vcan vnguoc  vthuc  vcan Ví dụ 1: Một xe máy từ Thanh Hóa Hà Nội với vận tốc 42km/h từ Hà Nội Thanh Hóa với vận tốc 36km/h, thời gian nhiều thời gan 45 phút Tính qng đường từ Thanh Hóa Hà Nội Lời giải: Đổi 45 phút = 0,75h Gọi quãng đường từ Thanh Hóa Hà Nội x (km)  x   Vì xe máy từ Thanh Hóa Hà Nội với vận tốc 42km/h nên thời gian xe máy x từ Thanh Hóa Hà Nội (h) 42 Vì xe máy từ Hà Nội Thanh Hóa với vận tốc 36km/h nên thời gian xe máy x từ Hà Nội Thanh Hóa (h) 36 Lại có thời gian nhiều thời gian 0,75h nên ta có phương trình: x x   0,75 36 42    x     0,75  36 42     x    0,75  252 252   x  0,75 252  x  0,75 : 252  x  189 (thỏa mãn) Vậy quãng đường từ Thanh Hóa Hà Nội 189km Ví dụ 2: Một ca nơ xi dịng từ A đến B hết 1h 20 phút ngược dòng hết 2h 30 phút Biết vận tốc dịng nước 3km/h Tính vận tốc riêng ca nô Lời giải: Đổi 1h 20 phút = (h) 2h 30 phút = 2,5 (h) Gọi vận tốc riêng ca nô x (km/h)  x  3 Vận tốc xi dịng ca nơ x + (km/h) Vận tốc ngược dịng ca nơ x – (km/h) Vì ca nơ xi dịng hết 4 (h) nên qng đường ca nơ xi dịng là: (x + 3) 3 (km) Vì ca nơ ngược dịng hết 2,5 (h) nên qng đường ca nơ ngược dịng là: (x – 3).2,5 (km) Vì qng đường ca nơ xi dịng ngược dịng giống nên ta có phương trình:  x  3  2,5  x  3  x   2,5x  7,5  x  2,5x  7,5  4     2,5  x  11,5 3   7 x  11,5  7   x  11,5 :     x 69 (tm) Vậy vận tốc thực ca nô 69 km Dạng 3: Bài toán liên quan đến suất Phương pháp giải: Ta sử dụng công thức A = N.t với A khối lượng công việc, N suất, t thời gian Ví dụ 1: Một đội lập kế hoạch khai thác than, theo ngày phải khai thác 40 than Nhưng thực ngày đội khai thác 45 than đội hồn thành kế hoạch trước ngày vượt mức 10 than Hỏi theo kế hoạch đội phải khai thác than Lời giải: Gọi số than đội phải khai thác theo kế hoạch x (tấn) (x > 0) Theo kế hoạch đội phải khai thác ngày 40 than nên thời gian đội hoàn x thành kế hoạch (ngày) 40 Thực tế, ngày đội khai thác 45 than đội vượt xuất 10 nên số than thực tế đội khai thác x + 10 (tấn) Số ngày thực tế đội khai thác than x  10 (ngày) 45 Do số ngày thực tế số ngày dự định ngày nên ta có phương trình: x x  10  2 40 45  x.9  x  10   2 360 360  9x 8x  80  2 360 360  9x  8x  80 2 360  x  80 2 360  x  80  2.360  x  80  720  x  720  80  x  800 (tm) Vậy theo dự định đội cần khai thác 800 than Ví dụ 2: Một xí nghiệm dự định sản xuất 300 sản phẩm ngày Nhưng nhờ cải tiến kỹ thuật nên ngày xí nghiệm sản xuất thêm 100 sản phẩm xí nghiệp khơng hồn thành kế hoạch trước thời hạn ngày mà làm thêm 600 sản phẩm Tính số sản phẩm thực tế xí nghiệp dự định làm Lời giải: Gọi số sản phẩm xí nghiệm dự định làm  x  0;x  *  Vì ngày xí nghiệp dự định làm 300 sản phẩm nên thời gian dự định x 300 (ngày) Mỗi ngày xí nghiệp làm thêm 100 sản phẩm nên số sản phẩm xí nghiệp làm ngày 400 sản phẩm Do vượt mức 600 sản phẩm nên số sản phẩm thực tế xí nghiệp làm x + 600 (sản phẩm) Thời gian thực tế xí nghiệp làm x  600 (ngày) 400 Vì hồn thành cơng việc sớm ngày nên ta có phương trình x x  600  1 300 400  4x  x  600   1 1200 1200  4x 3x  1800  1 1200 1200  4x  3x  1800 1 1200  x  1800 1 1200  x  1800  1200  x  1800  1200  x  3000 (tm) Vậy theo kế hoạch xí nghiệp cần sản xuất 3000 sản phẩm Dạng 4: Bài tốn hình học Phương pháp giải: Ta cần ghi nhớ cơng thức chu vi, diện tích hình tam giác, hình chữ nhật, Một số cơng thức: - Diện tích hình chữ nhật là: S = ab (đơn vị diện tích) - Chu vi hình chữ nhật C = (a + b).2 (đơn vị độ dài) Với a, b chiều dài chiều rộng hình chữ nhật - Diện tích hình vng S  a (đơn vị diện tích) Với a độ dài cạnh hình vng - Định lý Py – ta – go tam giác vuông a  b2  c2 Với a độ dài cạnh huyền tam giác vuông, b, c độ dài hai cạnh góc vng Ví dụ 1: Một khu vườn có chiều dài chiều rộng 12m Nếu tăng chiều dài 3m giảm chiều rộng 1,5m diện tích khu vườn khơng đổi Tính chu vi khu vườn ban đầu Lời giải: Gọi chiều dài khu vườn cần tính x (m) (x > 12) Vì chiều dài chiều rộng 12m nên chiều rộng khu vườn x – 12 (m) Diện tích ban đầu khu vườn x(x – 12) m Nếu tăng chiều dài lên 3m chiều dài khu vườn x + (m) Nếu giảm chiều rộng 1,5m chiều rộng khu vườn x – 12 – 1,5 (m) Diện tích khu vườn sau thay đổi kích thước (x + 3)(x – 13, 5) m Vì diện tích khu vườn sau thay đổi diện tích khu vườn ban đầu nên ta có phương trình:  x  3 x  13,5  x  x  12  x  3x  13,5x  40,5  x  12x  x  3x  13,5x  40,5  x  12x    x  x    3x  13,5x  12x   40,5   1,5x  40,5  x  40,5:1,5  x  27 Vậy chiều dài khu vườn 27m Vì chiều rộng chiều dài 12m nên chiều rộng khu vườn 27 – 12 = 15m Chu vi khu vườn ban đầu là: (27 + 15).2 = 84m Ví dụ 2: Một tam giác vng có chu vi 60m cạnh huyền 25m Tìm cạnh góc vng tam giác cho Lời giải: Vì chu vi tam giác 60m cạnh huyền 25m nên tổng độ dài hai cạnh góc vng 60 – 25 = 35m Gọi cạnh góc vng thứ x (m), cạnh góc vng thứ 35 – x (m) Giả sử cạnh góc vng thứ lớn cạnh góc vng thứ hai nên ta có x  17,5 Áp dụng định lý Py – ta - go cho tam giác vng ta có phương trình: 35  x   x  252  1225  70x  x  x  625  2x  70x  1225  625   2x  70x  600   2x  40x  30x  600   2x  x  20   30  x  20     2x  30  x  20    2x  30    x  20   2x  30   x  20  x  15 (ktm)   x  20 (tm) Vậy cạnh góc vng thứ tam giác 20m Cạnh góc vng thứ hai tam giác 35 – 20 = 15m Dạng 5: Bài toán tính tuổi Phương pháp giải: Ta vận dụng liệu đề để lập phương trình Chú ý: Sau năm tuổi người tăng thêm hiệu số tuổi hai người không đổi Ví dụ 1: Biết cách năm tuổi anh gấp lần tuổi em Hiện nay, tuổi anh gấp lần tuổi em Tính tuổi anh, tuổi em Lời giải: Gọi tuổi em cách năm x (tuổi)  x  *  Vì tuổi anh cách năm gấp lần tuổi em nên tuổi anh cách năm 5x (tuổi) Tuổi em x + (tuổi), tuổi anh 5x + (tuổi) Vì tuổi anh gấp ba lần tuổi em nên ta có phương trình 3(x + 4) = (5x + 4)  3x  12  5x   5x  3x  12   2x   x  (thỏa mãn) Tuổi em là: + = (tuổi) Tuổi anh là: 3.8 =24 (tuổi) Ví dụ 2: Hiệu số tuổi anh em Tính tuổi người biết tuổi em cách năm nửa tuổi anh Lời giải: Gọi tuổi em x (tuổi)  x  * ;x   Vì hiệu số tuổi hai anh em tuổi nên số tuổi anh x + (tuổi) Tuổi em năm x – tuổi Vì tuổi em cách năm nửa tuổi anh nên ta có phương trình: 2(x – 4) = x +  2x   x   2x  x    x  16 (thỏa mãn) Tuổi em 16 tuổi Tuổi anh 16 + = 24 (tuổi) Dạng 6: Bài toán liên quan đến tỉ số phần trăm Phương pháp giải: Dựa vào kiện tốn để lập phương trình Chú ý: Nếu xí nghiệp cần làm x sản phẩm trình làm việc vượt mức a% số sản phẩm làm (100 + a)%.x (sản phẩm) Ví dụ 1: Trong tháng hai tổ công nhân làm 800 sản phẩm Sang tháng thứ hai tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt mức 20% nên hai tổ làm 945 sản phẩm tháng thứ hai Tính số sản phẩm tổ làm tháng Lời giải: Gọi số sản phẩm tổ I làm tháng x (sản phẩm)  x  *;x  800 Vì hai tổ làm 800 sản phẩm nên tổ hai làm 800 – x (sản phẩm) Tháng thứ hai tổ I vượt mức 15% nên số sản phẩm tổ I làm (100 + 15)%.x (sản phẩm) Tháng thứ hai tổ II vượt mức 20 % nên số sản phẩm tổ II làm (100 + 20)%.(800 – x) (sản phẩm) Vì tháng thứ hai hai tổ làm 945 sản phẩm nên ta có phương trình: (100 + 15)%x+ (100 + 20) %.(800 – x) = 945  1,15x + 1,2(800 – x) = 945  1,15x  960  1,2x  945  1,15x  960  1,2x  945  0,05x  15  x  (15) : (0,05)  x  300 (thỏa mãn) Số sản phẩm tổ I làm tháng thứ 300 (sản phẩm) Số sản phẩm tổ hai làm tháng thứ 800 – 300 = 500 (sản phẩm) Ví dụ 2: Năm 2016 tổng số dân hai tỉnh Nam Định Bắc Ninh triệu người Năm 2017 số dân tỉnh Nam Định tăng 1,2%, số dân tỉnh Bắc Ninh tăng 1,1% Tổng số dân hai tỉnh năm 2017 4045000 người Tính số dân tỉnh năm 2016 Lời giải: Gọi số dân tình Bắc Ninh năm 2016 x (dân)  x  * ;x  4000000  Vì tổng số dân hai tỉnh Nam Định Bắc Ninh năm 2016 4000000 nên số dân tỉnh nam Định 4000000 – x (dân) Vì năm 2017 số dân tỉnh Bắc Ninh tăng 1,1% nên số dân tỉnh Bắc Ninh năm 2017 (100 + 1,1)%.x (dân) Vì năm 2017 số dân tỉnh Nam Định tăng 1,2% nên số dân tỉnh Nam Định năm 2017 (100 + 1,2)%.(4000000 – x) (dân) Mà số dân hai tỉnh năm 2017 4045000 dân nên ta có phương trình: (100 +1,1%).x + (100 + 1,2)%.(4000000 – x) = 4045000 1,011x  1,012. 4000000  x   4045000  1,011x  4048000  1,012x  4045000  0,001x  4045000  4048000  0,001x  3000  x  (3000) : (0,001)  x  3000000 (thỏa mãn) Số dân Bắc Ninh 3000000 dân Số dân Nam Định 4000000 – 3000000 = 1000000 dân II Bài tập vận dụng Bài 1: Một người nông dân có mảnh ruộng hình vng, ơng ta khai hoang mở rộng mảnh ruộng thành hình chữ nhật bề thêm 8m bề thêm 12m Diện tích mảnh ruộng hình chữ nhật diện tích mảnh ruộng hình vng 3136 m Hỏi độ dài cạnh mảnh ruộng hình vng ban đầu Bài 2: Một ô tô hết quãng đường 8h Đầu tiên ô tô với vận tốc 40km/h, sau với vận tốc 60km/h Biết quãng đường AB dài 360km Hỏi ô tô hết thời gian với vận tốc 40km/h Bài 3: Một tàu thủy chạy khúc sông dài 80km hết giời 20 phút Biết vận tốc dịng nước 4km/h Tính vận tốc tàu thủy nước đứng yên Bài 4: Mẹ 24 tuổi Sau năm tuổi mẹ gấp lần tuổi Tìm tuổi hai mẹ Bài 5: Một hình chữ nhật có chiều dài chiều rộng 3cm Chu vi mảnh đất 100cm Tính diện tích hình chữ nhật Bài 6: Một người xe đạp từ A đến B cách 24km Khi từ B A người tăng vận tốc thêm 4km/h so với lúc Nếu thời gian thời gian 30 phút, tính vận tốc người từ A đến B Bài 7: Một xưởng dệt theo kế hoạch ngày phải dệt 45 khăn Trong thực tế, ngày xưởng dệt 50 khăn nên hoàn thành kế hoạch trước ngày làm thêm 15 khăn Hỏi theo kế hoạch xưởng cần dệt khăn Bài 8: Một hợp tác xã dự định tuần đánh 20 cá Nhưng vượt mức kế hoạch tấn/tuần nên hoàn thành trước kế hoạch tuần mà vượt mức 10 cá Tính số cá mà hợp tác xã dự định đánh bắt Bài 9: Một số tự nhiên có hai chữ số Biết chữ số hàng đơn vị gấp ba lần chữ số hàng chục Nếu đổi chỗ hai chữ số cho ta số lớn số cũ 54 đơn vị Tìm số ban đầu số học sinh giỏi khối Nếu số học sinh giỏi thêm 10 bạn số học sinh giảm bạn số học sinh gấp lần số học sinh giỏi Tính số học sinh khá, học sinh giỏi khối Bài 10: Số học sinh khối Bài 11: Sau nhận kế hoạch xí nghiệp; tổ sản xuất dự định ngày sản xuất 30 sản phẩm, thực ngày tổ sản xuất 40 sản phẩm Do hoàn thành sớm kế hoạch ngày làm thêm 40 sản phẩm Hỏi theo kế hoạch tổ cần sản xuất sản phẩm Bài 12: Trong tháng đầu, hai tổ công nhân sản xuất 350 chi tiết máy Sang tháng thứ II, tổ I vượt mức 20% tổ II vượt mức 30% nên hai tổ sản xuất 435 chi tiết máy Hỏi thàng đầu tổ sản xuất chi tiết máy Bài 13: Tuổi bố gấp 2,4 lần tuổi Biết năm trước tuổi bố gấp 2,75 lần tuổi Tính tuổi bố, tuổi Bài 14: Một phân số dương có mẫu số lớn tử số 11 đơn vị Nếu tăng tử số thêm đơn vị giảm mẫu số đơn vị ta phân số có giá trị phân số Tìm phân số Bài 15: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 56m Nếu tăng chiều dài thêm 4m chiều rộng thêm 4m diện tích lớn diện tích cũ 18 m Tính chiều dài chiều rộng khu vườn Bài 16: Hai thư viện có tất 15000 sách Nếu chuyển từ thư viện thứ sang thư viện thứ hai 3000 sách số sách hai thư viện Tính số sách ban đầu thư viện Bài 17: Một ô tô từ Thanh Hóa Hà Nội Sau 43km ô tô dừng lại 40 phút Để Hà Nội kịp dự định ô tô phải với vận tốc gấp 1,2 lần vận tốc cũ Tính vận tốc ban đầu ô tô biết quãng đường từ Thanh Hóa Hà Nội 163km Bài 18: Một ca nô chạy khúc sông với hai bến A B Biết xi dịng từ A đến B ca nơ chạy hết 8h ngược dịng từ B A ca nơ chạy hết 10h Tính vận tốc riêng ca nơ, biết vận tốc dịng nước 3km/h Bài 19: Một người xe máy từ nhà đến cơng ty với vận tốc 40km/h Người lại công ty làm việc 3h xe máy quay nhà với vận tốc 30km/h tổng cộng thời gian hết 6h 30 phút Tính quãng đường từ nhà đến công ty Bài 20: Một người ô tô từ A đến B với vận tốc dự định 50km/h Sau quãng đường với vận tốc dự định tơ giảm vận tốc di chuyển với vận tốc 30km/h Vì cách B 48km người hết thời gian dự định Tính quãng đường AB ... ta có phương trình: x x  10  2 40 45  x.9  x  10   2 360 360  9x 8x  80  2 360 360  9x  8x  80 2 360  x  80 2 360  x  80  2.360  x  80  720  x  720  80  x  80 0 (tm)... phẩm tháng thứ hai Tính số sản phẩm tổ làm tháng Lời giải: Gọi số sản phẩm tổ I làm tháng x (sản phẩm)  x  *;x  80 0 Vì hai tổ làm 80 0 sản phẩm nên tổ hai làm 80 0 – x (sản phẩm) Tháng thứ... nên ta có phương trình: 2(x – 4) = x +  2x   x   2x  x    x  16 (thỏa mãn) Tuổi em 16 tuổi Tuổi anh 16 + = 24 (tuổi) Dạng 6: Bài toán liên quan đến tỉ số phần trăm Phương pháp giải: Dựa