Bài 3 Những hằng đẳng thức đáng nhớ CÂU HỎI Câu hỏi 1 trang 9 Toán 8 tập 1 Với hai số a, b bất kì, thực hiện phép tính (a + b)(a + b) Lời giải (a + b) (a + b) = a(a + b) + b(a + b) (Sử dụng phép nhân[.]
Bài Những đẳng thức đáng nhớ CÂU HỎI Câu hỏi trang Toán tập 1: Với hai số a, b bất kì, thực phép tính (a + b)(a + b) Lời giải (a + b).(a + b) = a(a + b) + b(a + b) (Sử dụng phép nhân đa thức với đa thức) = a.a + a.b + b.a + b.b = a2 + 2ab + b2 Vậy (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2 Câu hỏi trang Toán tập 1: Phát biểu đẳng thức (1) lời Lời giải Hằng đẳng thức (1) là: (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 phát biểu lời là: Bình phương tổng hai biểu thức bình phương biểu thức thứ cộng hai lần tích hai biểu thức cộng với bình phương biểu thức thứ hai Áp dụng trang Toán tập 1: a) Tính (a + 1)2; b) Viết biểu thức x2 + 4x + dạng bình phương tổng; c) Tính nhanh: 512; 3012 Lời giải a) Ta có: (a + 1)2 = a2 + 2.a.1 + 12 = a2 + 2.a + b) x2 + 4x + = x2 + 2.x.2 + 22 = (x + 2)2 c) 512 = (50 + 1)2 = 502 + 2.50.1 + 12 = 500 + 100 + = 600 + = 601 3012 = (300 + 1)2 = 3002 + 2.300.1 + 12 = 90 000 + 600 + = 90 600 + = 90 601 Câu hỏi trang 10 Tốn tập 1: Tính [a + (-b)]2 (với a, b số tùy ý) Từ rút (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 Lời giải Ta có: [a + (-b)]2 = a2 + 2.a.(-b) + (-b)2 = a2 – 2ab + b2 Mà [a + (-b)]2 = (a – b)2 nên (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 Câu hỏi trang 10 Toán tập 1: Phát biểu đẳng thức (2) lời Lời giải Bình phương hiệu hai biểu thức bình phương biểu thức thứ trừ hai lần tích biểu thức thứ biểu thức thứ hai cộng với bình phương biểu thức thứ hai Áp dụng trang 10 Toán tập 1: a) Tính x ; b) Tính (2x – 3y)2; c) Tính nhanh 992 Lời giải a) Ta có: x 2 x 2.x 2 x2 x b) Ta có: (2x – 3y)2 = (2x)2 – 2.2x.3y + (3y)2 = 4x2 – 12xy + 9y2 c) Ta có: 992 = (100 – 1)2 = 1002 – 2.100.1 + 12 = 10 000 – 200 + = 000 + = 001 Câu hỏi trang 10 Toán tập 1: Thực phép tính (a + b)(a – b) Lời giải Ta có: (a + b)(a – b) = a(a – b) + b(a – b) = a2 – ab + ba – b2 = a2 – b2 Câu hỏi trang 10 Toán tập 1: Phát biểu đẳng thức số (3) lời Lời giải Hiệu bình phương hai biểu thức tích tổng hai biểu thức hiệu hai biểu thức Áp dụng trang 10 Toán tập 1: a) Tính (x + 1)(x – 1); b) Tính (x – 2y)(x + 2y); c) Tính nhanh 56.64 Lời giải a) Ta có: (x + 1)(x – 1) = x2 – 12 = x2 – b) Ta có (x – 2y)(x + 2y) = x2 – (2y)2 = x2 – 4y2 c) Ta có: 56.64 = (60 – 4)(60 + 4) = 602 – 42 = 600 – 16 = 584 Câu hỏi trang 11 Toán tập 1: Ai đúng, sai ? Đức viết: x2 – 10x + 25 = (x - 5)2 Thọ viết: x2 – 10x + 25 = (5 - x)2 Hương nêu nhận xét: Thọ viết sai, Đức viết Sơn nói: Qua ví dụ rút đẳng thức đẹp! Hãy nêu ý kiến em Sơn rút đẳng thức ? Lời giải - Đức Thọ viết vì: Ta có (x – 5)2 = x2 – 2.x.5 + 52 = 52 – 2.x.5 + x2 = (5 – x)2 Do Hương nhận xét sai; - Sơn rút đẳng thức là: (x - 5)2 = (5 - x)2 BÀI TẬP Bài 16 trang 11 Toán tập 1: Viết biểu thức sau dạng bình phương tổng hiệu: a) x2 + 2x + 1; b) 9x2 + y2 + 6xy; c) 25a2 + 4b2 – 20ab; d) x x Lời giải a) x2 + 2x + = x2 + 2.x.1 + 12 = (x + 1)2 (Áp dụng đẳng thức (1) với A = x B = 1) b) 9x2 + y2 + 6xy = 9x2 + 6xy + y2 = (3x)2 + 2.3x.y + y2 = (3x + y)2 (Áp dụng đẳng thức (1) với A = 3x B = y) c) 25a2 + 4b2 – 20ab = 25a2 – 20ab + 4b2 = (5a)2 – 2.5a.2b + (2b)2 = (5a – 2b)2 (Áp dụng đẳng thức (2) với A = 5a B = 2b) d) x x 2.x x 2 x (Áp dụng đẳng thức (2) với A = x B Bài 17 trang 12 Toán tập 1: Chứng minh rằng: ) (10a + 5)2 = 100a(a + 1) + 25 Từ em nêu cách tính nhẩm bình phương số tự nhiên có tận chữ số Áp dụng để tính: 252; 352; 652; Lời giải Ta có: (10a + 5)2 = (10a)2 + 2.10a.5 + 52 = 100a2 + 100a + 25 = 100a(a + 1) + 25 752 Đặt A = a(a + 1), ta có: (10a + 5)2 = 100.A + 25 = A25 Số tự nhiên có chữ số tận số có dạng a5 , theo chứng minh ta có: a5 10a 100a a 25 100A 25 A25 Do đó, để tính bình phương số tự nhiên có chữ số tận hay có dạng a5 , ta cần tính A = a.(a + 1) viết 25 vào đằng sau kết vừa tìm Áp dụng: 252 = (10.2 + 5)2 a = ⇒ A = a(a + 1) = 2.3 = sau viết 25 vào đằng sau ta 625 Vậy 252 = 625 352 = (10.3 + 5)2 a = ⇒ A = a(a + 1) = 3.4 = 12 sau viết 25 vào đằng sau ta 1225 Vậy 352 = 1225 652 = (10.6 + 5)2 a = ⇒ A = a(a + 1) = 6.7 = 42 sau viết 25 vào đằng sau ta 4225 Vậy 652 = 4225 752 = (10.7 + 5)2 a = ⇒ A = a(a + 1) = 7.8 = 56 sau viết 25 vào đằng sau ta 5625 Vậy 752 = 5625 Bài 18 trang 11 Toán tập 1: Hãy tìm cách giúp bạn An khơi phục lại đẳng thức bị mực làm nhòe số chỗ: a) x2 + 6xy + = ( + 3y)2 b) - 10xy + 25y2 = ( - )2 Hãy nêu đề tương tự Lời giải: a) Dễ dàng nhận thấy đẳng thức (1) Xét vế trái: x2 + 6xy + = x2 + 2.x.3y + … Với A = x ; 2.AB = 6xy ⇒ B = 3y Vậy ta có đẳng thức: x2 + 2.x.3y + (3y)2 = (x + 3y)2 hay x2 + 6xy + 9y2 = (x + 3y)2 b) Nhận thấy đẳng thức (2) với : B2 = 25y2 = (5y)2 ⇒ B = 5y 2.AB = 10xy = 2.x.5y ⇒ A = x Vậy ta có đẳng thức : x2 – 10xy + 25y2 = (x – 5y)2 c) Đề tương tự: 4x2 + 4xy + = ( + y2) – 8xy + y2 = ( – )2 Bài 19 trang 12 Toán tập 1: Đố Tính diện tích phần hình cịn lại mà khơng cần đo Từ miếng tơn hình vng có cạnh a + b, bác thợ cắt miếng hình vng có cạnh a – b (cho a > b) Diện tích phần hình cịn lại bao nhiêu? Diện tích phần hình cịn lại có phụ thuộc vào vị trí cắt khơng? Lời giải: Diện tích miếng tôn ban đầu (a + b)2 Diện tích miếng tơn phải cắt : (a – b)2 Phần diện tích cịn lại (a + b)2 – (a – b)2 Ta có: (a + b)2 – (a – b)2 = (a2 + 2ab + b2) – ( a2 – 2ab + b2 ) (áp dụng HĐT số (1) HĐT số (2)) = a2 + 2ab + b2 – a2 + 2ab – b2 = 4ab Hoặc: (a + b)2 – (a – b)2 = [(a + b) + (a – b)].[(a + b) – (a – b)] (Áp dụng đẳng thức (3)) = 2a.2b = 4ab Vậy phần diện tích hình cịn lại 4ab khơng phụ thuộc vào vị trí cắt Luyện tập chung Bài 20 trang 12 Toán tập 1: Nhận xét đúng, sai kết sau : x2 + 2xy + 4y2 = (x + 2y)2 Lời giải: Kết sai Ta có: (x + 2y)2 = x2 + 2.x.2y + 4y2 = x2 + 4xy + 4y2 ≠ x2 + 2xy + 4y2 Bài 21 trang 12 Toán tập 1: Viết đa thức sau dạng bình phương tổng hiệu: a) 9x2 – 6x + b) (2x + 3y)2 + 2.(2x + 3y) + Hãy tìm đề tương tự Lời giải a) 9x2 – 6x + = (3x)2 – 2.3x.1 + 12 = (3x – 1)2 (Áp dụng đẳng thức (2) với A = 3x; B = 1) b) (2x + 3y)2 + 2.(2x + 3y) + = (2x + 3y)2 + 2.(2x + 3y).1 + 12 = [(2x + 3y) +1]2 (Áp dụng đẳng thức (1) với A = 2x + 3y ; B = 1) = (2x + 3y + 1)2 c) Đề tương tự: Viết đa thức sau dạng bình phương tổng hiệu : x2 – 12x + 36; (2x + y)2 - 2(2x + y).(1 – 2x) + (1 – 2x)2 Bài 22 trang 12 Tốn tập 1: Tính nhanh: a) 1012 ; Lời giải b) 1992 ; c) 47.53 a) 1012 = (100 + 1)2 = 1002 + 2.100 + = 10 000 + 200 + = 10 201 b) 1992 = (200 – 1)2 = 2002 – 2.200 + = 40 000 – 400 + = 39 601 c) 47.53 = (50 – 3)(50 + 3) = 502 – 32 = 500 – = 491 Bài 23 trang 12 Toán tập 1: Chứng minh rằng: (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab (a – b)2 = (a + b)2 – 4ab Áp dụng: a) Tính (a – b)2, biết a + b = a.b = 12 b) Tính (a + b)2, biết a – b = 20 a.b = Lời giải + Chứng minh (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab Ta có: VP = (a – b)2 + 4ab = a2 – 2ab + b2 + 4ab = a2 + (4ab – 2ab) + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 = VT (đpcm) + Chứng minh (a – b)2 = (a + b)2 – 4ab Ta có: VP = (a + b)2 – 4ab = a2 + 2ab + b2 – 4ab = a2 + (2ab – 4ab) + b2 = a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 = VT (đpcm) + Áp dụng, tính: a) (a – b)2 = (a + b)2 – 4ab = 72 – 4.12 = 49 – 48 = b) (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab = 202 + 4.3 = 400 + 12 = 412 Bài 24 trang 12 Tốn tập 1: Tính giá trị biểu thức 49x2 – 70x + 25 trường hợp sau: a) x = 5; b) x Lời giải: A = 49x2 – 70x + 25 = (7x)2 – 2.7x.5 + 52 = (7x – 5)2 a) Thay x = vào A, ta được: A = (7.5 – 5)2 = 302 = 900 Vậy với x = A = 900 b) Thay x vào biểu thức A, ta được: A Vậy với x A = 16 Bài 25 trang 12 Tốn tập 1: Tính: a) (a + b + c)2 ; b) (a + b – c)2 ; c) (a – b – c)2 Lời giải a) (a + b + c)2 = [(a + b) + c]2 = (a + b)2 + 2(a + b)c + c2 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac 7 5 16 b) (a + b – c)2 = [(a + b) – c]2 = (a + b)2 – 2(a + b)c + c2 = a2 + 2ab + b2 – 2ac – 2bc + c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab – 2bc – 2ac c) (a – b – c)2 = [(a – b) – c]2 = (a – b)2 – 2(a – b)c + c2 = a2 – 2ab + b2 – 2ac + 2bc + c2 = a2 + b2 + c2 – 2ab + 2bc – 2ac ... (2x + 3y)2 + 2.(2x + 3y) + Hãy tìm đề tương tự Lời giải a) 9x2 – 6x + = (3x)2 – 2.3x.1 + 12 = (3x – 1)2 (Áp dụng đẳng thức (2) với A = 3x; B = 1) b) (2x + 3y)2 + 2.(2x + 3y) + = (2x + 3y)2 +... 47. 53 a) 1012 = (100 + 1)2 = 1002 + 2.100 + = 10 000 + 200 + = 10 201 b) 1992 = (200 – 1)2 = 2002 – 2.200 + = 40 000 – 400 + = 39 601 c) 47. 53 = (50 – 3) (50 + 3) = 502 – 32 = 500 – = 491 Bài 23. .. Xét vế trái: x2 + 6xy + = x2 + 2.x.3y + … Với A = x ; 2.AB = 6xy ⇒ B = 3y Vậy ta có đẳng thức: x2 + 2.x.3y + (3y)2 = (x + 3y)2 hay x2 + 6xy + 9y2 = (x + 3y)2 b) Nhận thấy đẳng thức (2) với :