BÀI 5 cấp số NHÂN đáp án

https www nbv edu vn Trang 1 Lý thuyết I Định nghĩa Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), tron Cấp số nhân, Dạy học tích hợp, Chương trình Toán 11, Năng lực toán học, Giáo dục phổ thông môn Toáng đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một s.

https://www.nbv.edu.vn/   Bài CẤP SỐ NHÂN • Chương CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương   Lý thuyết  I.Định nghĩa Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vơ hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều  là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số khơng đổi  q   Số  q  được gọi là cơng bội của cấp số nhân.  Nếu   un   là cấp số nhân với cơng bội  q,  ta có cơng thức truy hồi:  un 1  un q  với  n  *   Đặc biệt:    Khi  q  0,  cấp số nhân có dạng  u1 , 0, 0, , 0,     Khi  q  1, cấp số nhân có dạng  u1 , u1 , u1 , , u1 ,     Khi  u1   thì với mọi  q,  cấp số nhân có dạng  0, , , , 0,   II.Số hạng tổng quát Định lí 1. Nếu cấp số nhân có số hạng đầu  u1  và cơng bội  q  thì số hạng tổng qt  un  được xác  định bởi cơng thức  un  u1 q n1  với  n    III.Tính chất Định lí 2. Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là  tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là  uk2  uk 1 uk 1 , với  k    IV.Tổng  n  số hạng đầu tiên của cấp số nhân Định lí 3. Cho cấp số nhân   un   với cơng bội  q   Đặt  Sn  u1  u2   un   Khi đó  S n  u1 1  q n  1 q   Chú ý: Nếu  q   thì cấp số nhân là  u1 , u1 , u1 , , u1 ,  khi đó  Sn  nu1   DẠNG 1: CHỨNG MINH MỘT DÃY (un ) LÀ CẤP SỐ NHÂN A Phương pháp giải Chứng minh  n  1, un 1  un q  trong đó  q  là một số khơng đổi.  Nếu  un   với mọi  n  *  thì ta lập tỉ số  T  un 1   un   T là hằng số thì  (un )  là cấp số nhân có cơng bội  q  T     T phụ thuộc vào n thì  (un )  khơng là cấp số nhân.  B Bài tập tự luận Câu Xét trong các dãy số số sau, dãy số nào là cấp số nhân, (nếu có) tìm cơng bối của cấp số nhân đó:   Trang https://www.nbv.edu.vn/   u1  u1   n 1 n 3n  a).  un  (3)  b).  un  (1)  c).    d).     un1  un un 1  u n  Lời giải a). Ta có  un1 (3)2 n 3   (3)2   (không đổi). Kết luận   un   là cấp số nhân với công bội  n 1 un (3) q    b). Ta có  un 1 (1) n 1.53( n1)   1.53  125  (không đổi). Kết luận   un   là cấp số nhân với  n 3n  un (1) công bội  q  125   c). Ta có  u2  u12  ,  u3  u22  16 ,  u4  u32  256 , suy ra  u2    và  u1 u4 256 u u   16    Do đó   un   khơng là cấp số nhân.  u3 16 u1 u3 d).  un 1 un u u  n  n 1  un 1  un 1 , n   Do đó có:  un un 1 u1  u3  u5   u2 n 1  (1)  Và  u2  u4  u6   u2 n   (2)  Theo đề bài có  u1   u2    (3)  u1 Từ (1), (2),(3) suy ra  u1  u2  u3  u4  u5   u2 n  u2 n 1  Kết luận   un   là cấp số nhân với  công bội  q    Câu n Chứng minh rằng dãy số    :   1 32 n  là một cấp số nhân.  Lời giải n 1 2 n 1 1  1  n  1 32 n Câu Câu n  9,n  *  Vậy    :   1 32 n  là một cấp số nhân.  1 1  theo thứ tự lập thành cấp số nhân?  ;  a;   125 Lời giải 1  1   Ta có:  a         a  25    125  625 Giá trị của  a  để  u  , n    Chứng  minh  rằng  dãy  số      xác  Cho  dãy  số   un    được  xác  định  bởi   un 1  4un  định bởi   un  3, n   là một cấp số nhân. Hãy xác định số hạng đầu và cơng bội của cấp số  nhân đó.  Lời giải Vì có   un  3  (1)   1  un 1  3   (2)   Theo đề  un 1  4un   un 1    un  3  (3).  Trang https://www.nbv.edu.vn/   v Thay (1) và (2) vào (3) được:  vn1  4vn , n   n 1  (không đổi). Kết luận     là cấp số  nhân với công bội  q   và số hạng đầu  v1  u1     Câu Cho x, 3, y theo thứ tự lập thành cấp số nhân và  x  y  Tìm x, y.  Lời giải   Ta có: x y   y    x Thay vào x  y  x  y    x5  x  3  x5   3 x 3   x     3  Kết luận    y  3   C Bài tập trắc nghiệm DÀNH CHO HỌC SINH TRUNG BÌNH - KHÁ Câu Chọn cấp số nhân trong các dãy số sau:  A 1;  0, 2;  0, 04;  0,0008;    C x;  2 x;  3x;  4 x;    B 2;  22;  222; 2222;    D 1;    x ;  x ;    x ;  Lời giải Chọn  D Dãy số :  1;    x ;  x ;    x ;   là cấp số nhân có số hạng đầu  u1  1;    công bội  q   x   Câu Xác định  x  để 3 số  x  2;  x  1;  3  x  theo thứ tự lập thành một cấp số nhân:  A Khơng có giá trị nào của  x   C x    D x  3 B x  1   Lời giải Chọn  A Ba  số  x  2;  x  1;  3  x   theo  thứ  tự  lập  thành  một  cấp  số  nhân   x    x    x  1    x  3x    ( Phương trình vơ nghiệm)  Câu Xác định  x  để 3 số  x  1;  x;  2 x   theo thứ tự lập thành một cấp số nhân:  A x     C x     B x     D Khơng có giá trị nào của  x   Lời giải Chọn  C Ba số:  x  1;  x;  2 x    theo thứ tự lập thành cấp số nhân    x  1 x  1  x  x   x    3x   x   Câu   Trong các dãy số   un   sau, dãy nào là cấp số nhân?  A un  n  n  n B un   n   Trang https://www.nbv.edu.vn/   u1   C  *   u  ,  n   n   un  D un   4  n 1 Lời giải Chọn đáp án D un1 n  3n   ,n  * , không phải là hằng số. Vậy   un  không phải là cấp số nhân.  A un n  n 1 B n 1  n  3 un1  n  3   ,n  * , không phải là hằng số. Vậy   un  không phải là cấp  n un n2  n   số nhân.  C Từ công thức truy hồi của dãy số, suy ra  u1  2;u2  3;u3  2;u4  3;   Vì  u3 u  nên   un  không phải là cấp số nhân.  u2 u1 D un1  4    16 ,n  *  Vậy   un   là một cấp số nhân.  n 1 un  4  2 n 1 1 Câu Dãy số nào sau đây là cấp số nhân?  u  u1  1 A    B    un 1  un  1,  n  un 1  3un ,  n  u  2  D C  un 1  2un  3,  n    u1     un  sin    ,  n   n 1   Lời giải   Chọn   un   là cấp số nhân   un1  qun  Câu B Cho dãy số   un   là một cấp số nhân với  un  0,  n  *  Dãy số nào sau đây không phải là cấp số  nhân?  A u1; u3 ; u5 ;    C 1 ;   ;   ;     u1 u2 u3 B 3u1 ; 3u2 ;  3u3 ;    D u1  2;  u2  2;  u3  2;   Lời giải Giả sử   un   là cấp số nhân cơng bội  q,  thì  Dãy  u1 ; u3 ; u5 ;  là cấp số nhân công bội  q   Dãy  3u1 ; 3u2 ;  3u3 ;  là cấp số nhân công bội  2q   Dãy  1 1 ;   ;   ;   là cấp số nhân công bội    u1 u2 u3 q Dãy  u1  2;  u2  2;  u3  2;   không phải là cấp số nhân. Chọn  D Câu Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số nhân?  A 128;    64;  32;    16;  8;     Trang B 2;  2;  4;  4 2;   https://www.nbv.edu.vn/   C 5;  6;  7;  8;   D 15;  5;  1;   ;   Lời giải u u u     Xét đáp án:  128;    64;  32;    16;  8;    u1 u2 u3 Câu Trong các dãy số sau, dãy số nào không phải là một cấp số nhân? A 2;  4;  8;  16;   B 1;    1;  1;    1;    C 12 ;  22 ;  32 ;  42 ;   D a;  a ;  a ;  a ;     a   Lời giải u u     Xét đáp án:  12 ;  22 ;  32 ;  42 ;     u1 u2 Câu Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân? A 1;  2;  4;  8;     B 3;  32 ;  33 ;  34 ;     1 C 4;  2;   ;   ;      D  ;   ;   ;  6 ;     Lời giải 1 1 u 1 u     Xét đáp án  ;   ;   ;   ;         u1   u2 Câu 10 Cho cấp số nhân   un   với  u1  2  và  q  5  Viết bốn số hạng đầu tiên của cấp số nhân.  A 2;  10;  50;    250 B 2;  10;    50;  250 C 2;    10;    50;    250 D 2;  10;  50;  250 Lời giải u1  2 u  u q  10 u1  2     q  5 u3  u2 q  50 u4  u3 q  250 Câu 11 Trong các dãy số   un   cho bởi số hạng tổng quát  un  sau, dãy số nào là một cấp số nhân?  A un  n2   B un     3n C un  n    D un  n    Lời giải u1  n  1 Dãy  un  n      là cấp số nhân có   3 q  Câu 12 Trong các dãy số   un   cho bởi số hạng tổng quát  un  sau, dãy số nào là một cấp số nhân?  A un   3n   B un   3n   C un    3n D un  7.3n   Lời giải u  21 Dãy  un  7.3n  là cấp số nhân có   q  Câu 13 Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là sai?  A Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân.  Trang https://www.nbv.edu.vn/   B Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số cộng.  C Một cấp số cộng có cơng sai dương là một dãy số tăng.  D Một cấp số cộng có cơng sai dương là một dãy số dương.  Lời giải Một cấp số cộng có cơng sai dương là một dãy số dương.  Ví dụ dãy  5 ;  2 ;  ;  ; … là dãy số có  d    nhưng không phải là dãy số dương.  Câu 14 Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số nhân?  n C un  2n   B un  n2   A un   1 n   D un  n   3n Lời giải n 1 un1  n   un 1  2un   un   là cấp số nhân có cơng bội bằng    un Câu 15 Xác định  x  dương để  x  ;  x ;  x   lập thành cấp số nhân.  A x    B x    D khơng có giá trị nào của x   Lời giải x  ;  x ;  x  lập thành cấp số nhân  C x    x   x  3 x  3  x  x   x   x     Vì  x  dương nên  x    Câu 16 Tìm  x  để các số  2;   8;   x;  128  theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.  A x  14   B x  32   C x  64   Lời giải Cấp số nhân  2;   8;   x;  128  theo thứ tự đó sẽ là  u1 ; u2 ; u3 ; u4 , ta có  D x  68    u2 u3 8 x  x  32  u  u  x  32         x  32  x  32   x  1024  u3  u4 128  x   x  32   u2 u3  x Câu 17 Với giá trị  x  nào dưới đây thì các số  4;  x;     theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân?  A x  36   B x   13   C x    D x  36   Lời giải Cấp số nhân:  q Nhận xét: ba số  a; b ; c  theo thứ tự đó lấp thành cấp số nhân   ac  b   ;   b ;    theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.  A b  1   B b    C b    D b  2   Lời giải 1 Cấp số nhân  ;   b ;      b  b  2 Câu 18 Tìm  b   để các số    Trang https://www.nbv.edu.vn/   Câu 19 Tìm x  để ba số   x;  9  x;  33  x  theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.  A x    B x    D x  3;  x    C x    Lời giải Cấp số nhân   x;  9  x;  33  x   1  x  33  x     x   x  Câu 20 Với giá trị  x, y  nào dưới đây thì các số hạng lần lượt là  2;  x;    18;  y theo thứ tự đó lập thành  cấp số nhân?  x  A     y  54  x  10 B     y  26  x  6  x  6 C  D       y  54  y  54 Lời giải  x 18  x  6  2  x  Cấp số nhân:  2;  x;    18;  y    Vậy  324  18  y  y  x  54 18  x  x; y    6;54   hoặc   x; y    6; 54  Câu 21 Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là  x;  12;  y;  192  Mệnh đề nào sau đây là đúng?  A x  1; y  144 B x  2; y  72   C x  3; y  48   D x  4; y  36   Lời giải 12 y 144   x  12  x  3 x  y Câp số nhân: x;  12;  y;  192      y  48  y  192  y  2304  y 12 Câu 22 Thêm hai số thực dương  x  và  y  vào giữa hai số   và  320  để được bốn số  5;  x;  y;  320  theo thứ  tự đó lập thành cấp số nhận. Khẳng định nào sau đây là đúng?   x  25  x  20  x  15 A  B  C         y  125  y  80  y  45  x  30 D     y  90 Lời giải u1   q  x   x  20  Cấp số nhân:  5;  x;  y;  320   x2    y  80  y  u3  u1q   x3  320  u  u q   25 Câu 23 Ba số hạng đầu của một cấp số nhân là  x  6;  x  và  y  Tìm  y , biết rằng cơng bội của cấp số nhân  là    A y  216 B y  216 C y  1296 D y  12 Lời giải Cấp số nhân  x  6;  x  và  y  có cơng bội  q   nên ta có  Trang https://www.nbv.edu.vn/   36  u1  x  6, q   x    x  u2  u1q   x       y  36  216  y  u3  u2 q  x  5 Câu 24 Hai số hạng đầu của của một cấp số nhân là  x   và  x   Số hạng thứ ba của cấp số nhân là:  A x  B x  C x3  x  x  Lời giải D x3  x  x  Công  bội  của  cấp  số  nhân  là:  q   4x x2   x    Vậy  số  hạng  thứ  ba  của  cấp  số  nhân  là:  2x 1  1  x  1  x  x  x  Câu 25 Cho dãy số:  –1;1; –1;1; –1;  Khẳng định sau đúng?  A Dãy số này không phải là cấp số nhân.  B Số hạng tổng quát  un  1n    C Dãy số này là cấp số nhân có  u1  –1, q  –1   D Số  hạng  tổng  quát  un   –1   2n Lời giải:  Chọn C Ta có  1(1);   1(1)  Vậy dãy số trên là cấp số nhân với u1  1; q  1   DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ – GIỎI Câu 26 Các  số  x  y ,  5 x  y,  8 x  y   theo  thứ  tự  đó  lập  thành  một  cấp  số  cộng;  đồng  thời  các  số  x  1,  y  2,  x  y  theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Tính  x  y   A x  y  40   B x  y  25   C x  y  100   D x  y  10   Lời giải  x  y    x  y    x  y  Theo giả thiết ta có    x  1 x  y    y    x  y  x  y  x  6         y  2  y  1 y  y    y   0   y   Suy ra  x  y  40   Câu 27 Ba  số  x;  y;  z theo  thứ  tự  lập  thành  một  cấp  số  nhân  với  công  bội  q   khác  1;   đồng  thời  các  số  x;  2 y;  3 z  theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với cơng sai khác   Tìm giá trị của  q   A q    B q    C q     Lời giải D q  3    y  xq; z  xq x   x  xq  xq  x  3q  4q  1        x  z   y  3q  4q   Nếu  x   y  z    cơng sai của cấp số cộng:  x; y; z  bằng 0 (vơ lí).  Trang https://www.nbv.edu.vn/   q  1 Nếu  3q  4q      q   q  1   q  3  Câu 28 Số hạng thứ hai, số hạng đầu và số hạng thứ ba của một cấp số cộng với cơng sai khác 0 theo thứ  tự đó lập thành một cấp số nhân với cơng bội  q  Tìm  q   3 C q     D q    2 Lời giải Giả sử ba số hạng  a; b; c  lập thành cấp số cộng thỏa yêu cầu, khi đó  b; a; c  theo thứ tự đó lập  A q    B q  2   thành cấp số nhân cơng bội  q  Ta có  a  c  2b b   bq  bq  2b      a  bq; c  bq q  q   Nếu  b   a  b  c   nên  a; b; c  là cấp số cộng công sai  d   (vơ lí).  Nếu  q  q    q   hoặc  q  2  Nếu  q   a  b  c  (vơ lí), do đó  q  2   Câu 29 Cho Cấp số nhân có bốn số hạng:  2 ; x; 18 ; y  Hãy chọn kết quả đúng:  A x  6 ; y  54   B x  6; y  54   C x  6 ; y  54   D x  10 ; y  26   Lời giải:  Chọn C x   x  218  36  x  6  y  54  Ta có:        xy  182  324 x  6     y  54 Câu 30 Tìm hai số  x  và  y  sao cho  x; x  y; y  theo thứ tự lập thành CSC, các số  x2 ; xy  ; y  lập  thành CSN:       ; 3    A  ;  và              ; 3    B  ;  và               và  2; 3    C 2;        3       D 2;   và  2;     Lời giải:  Chọn A x  y  2 x  y  Ta có     x y   xy  62  Với phương trình thứ 2 đặt  t  xy  ta giải ra được  t  xy    Từ phương trình thứ nhất ta rút ra được  x  y   Trang https://www.nbv.edu.vn/         ; 3    Do đó ta có   x; y   ;  hoặc  x ; y           Câu 31 Tìm  x, y   biết  các  số  5x  y; 2x  y; x  y   lập  thành  cấp  số  cộng  và  các  số   y  1 ; xy  1;  x  1  lập thành cấp số nhân.   3   10  A 0; 0 ;  ;   ;  ;     3  10    3   10  B 0; 0 ;  ;   ;  ;     10   3     10  C 0; 0 ;  ;  ;  ;     2   3   3   10  D 0; 0 ;  ;  ;  ;     10   3  Lời giải:  Chọn B Dãy số  5x  y; x  y; x  y lập thành cấp số cộng    x  y    x  y    x  y  y  x(*)   Dãy số   y  1 ; xy  1;  x  1 lập thành cấp số nhân  2   xy  1   y  1  x  1   xy  1   xy  x  y  1   2 2 Trường hợp 1.  xy   xy  x  y   x  y  2(**)  Từ (*) và (**)  x 10  10  ; y    ;    3  3  Trường hợp 2.  xy   xy  x  y   xy  x  y  0(**)  Từ (*) và (**)   x  0; y    3  x  x0  0; 0 ;  ;     3  x   ; y   5  10   10 Câu 32 Xác định  m   để  phương  trình  x  3 m  1 x  5m  4 x     có    nghiệm lập  thành  một  cấp số nhân.  A m    B m  = 2 hoặc  m  C m   hoặc  m     1   D m  hoặc  m     Lời giải:  Chọn A Giả sử  x1 ; x2 ; x3  là ba ngiệm của phương trình  x  3m  1 x  5m  4 x   1 , vì ba  nghiệm lập thành một cấp số nhân nên ta có  x22  x1 x3  x1 x2 x3  x23  Áp dụng định lý Vi-et cho  phương trình (1) ta có:  x1 x2 x3  8  x23  8  x2  2  Mà  x  là nghiệm của phương trình (1) nên  2  3m  1 2 Trang 10  5m  4 2    m    ...  un   là? ?cấp? ?số? ?nhân? ?cơng bội  q,  thì  Dãy  u1 ; u3 ; u5 ;  là? ?cấp? ?số? ?nhân? ?công bội  q   Dãy  3u1 ; 3u2 ;  3u3 ;  là? ?cấp? ?số? ?nhân? ?công bội  2q   Dãy  1 1 ;   ;   ;   là? ?cấp? ?số? ?nhân? ?công bội ... Xét? ?đáp? ?án? ? ;   ;   ;   ;         u1   u2 Câu 10 Cho? ?cấp? ?số? ?nhân? ?  un   với  u1  2  và  q  ? ?5  Viết bốn? ?số? ?hạng đầu tiên của? ?cấp? ?số? ?nhân.   A 2;  10; ? ?50 ;    250 B 2;  10;    50 ;...  Chọn   un   là? ?cấp? ?số? ?nhân? ?  un1  qun  Câu B Cho dãy? ?số? ?  un   là một? ?cấp? ?số? ?nhân? ?với  un  0,  n  *  Dãy? ?số? ?nào sau đây không phải là? ?cấp? ?số? ? nhân?   A u1; u3 ; u5 ;    C 1 ;   ;