https www nbv edu vn Trang 1 Lý thuyết I Định nghĩa Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), tron Cấp số nhân, Dạy học tích hợp, Chương trình Toán 11, Năng lực toán học, Giáo dục phổ thông môn Toáng đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một s.
https://www.nbv.edu.vn/ Bài CẤP SỐ NHÂN • Chương CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương Lý thuyết I.Định nghĩa Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vơ hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số khơng đổi q Số q được gọi là cơng bội của cấp số nhân. Nếu un là cấp số nhân với cơng bội q, ta có cơng thức truy hồi: un 1 un q với n * Đặc biệt: Khi q 0, cấp số nhân có dạng u1 , 0, 0, , 0, Khi q 1, cấp số nhân có dạng u1 , u1 , u1 , , u1 , Khi u1 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0, , , , 0, II.Số hạng tổng quát Định lí 1. Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u1 và cơng bội q thì số hạng tổng qt un được xác định bởi cơng thức un u1 q n1 với n III.Tính chất Định lí 2. Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là uk2 uk 1 uk 1 , với k IV.Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân Định lí 3. Cho cấp số nhân un với cơng bội q Đặt Sn u1 u2 un Khi đó S n u1 1 q n 1 q Chú ý: Nếu q thì cấp số nhân là u1 , u1 , u1 , , u1 , khi đó Sn nu1 DẠNG 1: CHỨNG MINH MỘT DÃY (un ) LÀ CẤP SỐ NHÂN A Phương pháp giải Chứng minh n 1, un 1 un q trong đó q là một số khơng đổi. Nếu un với mọi n * thì ta lập tỉ số T un 1 un T là hằng số thì (un ) là cấp số nhân có cơng bội q T T phụ thuộc vào n thì (un ) khơng là cấp số nhân. B Bài tập tự luận Câu Xét trong các dãy số số sau, dãy số nào là cấp số nhân, (nếu có) tìm cơng bối của cấp số nhân đó: Trang https://www.nbv.edu.vn/ u1 u1 n 1 n 3n a). un (3) b). un (1) c). d). un1 un un 1 u n Lời giải a). Ta có un1 (3)2 n 3 (3)2 (không đổi). Kết luận un là cấp số nhân với công bội n 1 un (3) q b). Ta có un 1 (1) n 1.53( n1) 1.53 125 (không đổi). Kết luận un là cấp số nhân với n 3n un (1) công bội q 125 c). Ta có u2 u12 , u3 u22 16 , u4 u32 256 , suy ra u2 và u1 u4 256 u u 16 Do đó un khơng là cấp số nhân. u3 16 u1 u3 d). un 1 un u u n n 1 un 1 un 1 , n Do đó có: un un 1 u1 u3 u5 u2 n 1 (1) Và u2 u4 u6 u2 n (2) Theo đề bài có u1 u2 (3) u1 Từ (1), (2),(3) suy ra u1 u2 u3 u4 u5 u2 n u2 n 1 Kết luận un là cấp số nhân với công bội q Câu n Chứng minh rằng dãy số : 1 32 n là một cấp số nhân. Lời giải n 1 2 n 1 1 1 n 1 32 n Câu Câu n 9,n * Vậy : 1 32 n là một cấp số nhân. 1 1 theo thứ tự lập thành cấp số nhân? ; a; 125 Lời giải 1 1 Ta có: a a 25 125 625 Giá trị của a để u , n Chứng minh rằng dãy số xác Cho dãy số un được xác định bởi un 1 4un định bởi un 3, n là một cấp số nhân. Hãy xác định số hạng đầu và cơng bội của cấp số nhân đó. Lời giải Vì có un 3 (1) 1 un 1 3 (2) Theo đề un 1 4un un 1 un 3 (3). Trang https://www.nbv.edu.vn/ v Thay (1) và (2) vào (3) được: vn1 4vn , n n 1 (không đổi). Kết luận là cấp số nhân với công bội q và số hạng đầu v1 u1 Câu Cho x, 3, y theo thứ tự lập thành cấp số nhân và x y Tìm x, y. Lời giải Ta có: x y y x Thay vào x y x y x5 x 3 x5 3 x 3 x 3 Kết luận y 3 C Bài tập trắc nghiệm DÀNH CHO HỌC SINH TRUNG BÌNH - KHÁ Câu Chọn cấp số nhân trong các dãy số sau: A 1; 0, 2; 0, 04; 0,0008; C x; 2 x; 3x; 4 x; B 2; 22; 222; 2222; D 1; x ; x ; x ; Lời giải Chọn D Dãy số : 1; x ; x ; x ; là cấp số nhân có số hạng đầu u1 1; công bội q x Câu Xác định x để 3 số x 2; x 1; 3 x theo thứ tự lập thành một cấp số nhân: A Khơng có giá trị nào của x C x D x 3 B x 1 Lời giải Chọn A Ba số x 2; x 1; 3 x theo thứ tự lập thành một cấp số nhân x x x 1 x 3x ( Phương trình vơ nghiệm) Câu Xác định x để 3 số x 1; x; 2 x theo thứ tự lập thành một cấp số nhân: A x C x B x D Khơng có giá trị nào của x Lời giải Chọn C Ba số: x 1; x; 2 x theo thứ tự lập thành cấp số nhân x 1 x 1 x x x 3x x Câu Trong các dãy số un sau, dãy nào là cấp số nhân? A un n n n B un n Trang https://www.nbv.edu.vn/ u1 C * u , n n un D un 4 n 1 Lời giải Chọn đáp án D un1 n 3n ,n * , không phải là hằng số. Vậy un không phải là cấp số nhân. A un n n 1 B n 1 n 3 un1 n 3 ,n * , không phải là hằng số. Vậy un không phải là cấp n un n2 n số nhân. C Từ công thức truy hồi của dãy số, suy ra u1 2;u2 3;u3 2;u4 3; Vì u3 u nên un không phải là cấp số nhân. u2 u1 D un1 4 16 ,n * Vậy un là một cấp số nhân. n 1 un 4 2 n 1 1 Câu Dãy số nào sau đây là cấp số nhân? u u1 1 A B un 1 un 1, n un 1 3un , n u 2 D C un 1 2un 3, n u1 un sin , n n 1 Lời giải Chọn un là cấp số nhân un1 qun Câu B Cho dãy số un là một cấp số nhân với un 0, n * Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân? A u1; u3 ; u5 ; C 1 ; ; ; u1 u2 u3 B 3u1 ; 3u2 ; 3u3 ; D u1 2; u2 2; u3 2; Lời giải Giả sử un là cấp số nhân cơng bội q, thì Dãy u1 ; u3 ; u5 ; là cấp số nhân công bội q Dãy 3u1 ; 3u2 ; 3u3 ; là cấp số nhân công bội 2q Dãy 1 1 ; ; ; là cấp số nhân công bội u1 u2 u3 q Dãy u1 2; u2 2; u3 2; không phải là cấp số nhân. Chọn D Câu Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số nhân? A 128; 64; 32; 16; 8; Trang B 2; 2; 4; 4 2; https://www.nbv.edu.vn/ C 5; 6; 7; 8; D 15; 5; 1; ; Lời giải u u u Xét đáp án: 128; 64; 32; 16; 8; u1 u2 u3 Câu Trong các dãy số sau, dãy số nào không phải là một cấp số nhân? A 2; 4; 8; 16; B 1; 1; 1; 1; C 12 ; 22 ; 32 ; 42 ; D a; a ; a ; a ; a Lời giải u u Xét đáp án: 12 ; 22 ; 32 ; 42 ; u1 u2 Câu Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân? A 1; 2; 4; 8; B 3; 32 ; 33 ; 34 ; 1 C 4; 2; ; ; D ; ; ; 6 ; Lời giải 1 1 u 1 u Xét đáp án ; ; ; ; u1 u2 Câu 10 Cho cấp số nhân un với u1 2 và q 5 Viết bốn số hạng đầu tiên của cấp số nhân. A 2; 10; 50; 250 B 2; 10; 50; 250 C 2; 10; 50; 250 D 2; 10; 50; 250 Lời giải u1 2 u u q 10 u1 2 q 5 u3 u2 q 50 u4 u3 q 250 Câu 11 Trong các dãy số un cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là một cấp số nhân? A un n2 B un 3n C un n D un n Lời giải u1 n 1 Dãy un n là cấp số nhân có 3 q Câu 12 Trong các dãy số un cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là một cấp số nhân? A un 3n B un 3n C un 3n D un 7.3n Lời giải u 21 Dãy un 7.3n là cấp số nhân có q Câu 13 Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là sai? A Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân. Trang https://www.nbv.edu.vn/ B Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số cộng. C Một cấp số cộng có cơng sai dương là một dãy số tăng. D Một cấp số cộng có cơng sai dương là một dãy số dương. Lời giải Một cấp số cộng có cơng sai dương là một dãy số dương. Ví dụ dãy 5 ; 2 ; ; ; … là dãy số có d nhưng không phải là dãy số dương. Câu 14 Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số nhân? n C un 2n B un n2 A un 1 n D un n 3n Lời giải n 1 un1 n un 1 2un un là cấp số nhân có cơng bội bằng un Câu 15 Xác định x dương để x ; x ; x lập thành cấp số nhân. A x B x D khơng có giá trị nào của x Lời giải x ; x ; x lập thành cấp số nhân C x x x 3 x 3 x x x x Vì x dương nên x Câu 16 Tìm x để các số 2; 8; x; 128 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. A x 14 B x 32 C x 64 Lời giải Cấp số nhân 2; 8; x; 128 theo thứ tự đó sẽ là u1 ; u2 ; u3 ; u4 , ta có D x 68 u2 u3 8 x x 32 u u x 32 x 32 x 32 x 1024 u3 u4 128 x x 32 u2 u3 x Câu 17 Với giá trị x nào dưới đây thì các số 4; x; theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân? A x 36 B x 13 C x D x 36 Lời giải Cấp số nhân: q Nhận xét: ba số a; b ; c theo thứ tự đó lấp thành cấp số nhân ac b ; b ; theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. A b 1 B b C b D b 2 Lời giải 1 Cấp số nhân ; b ; b b 2 Câu 18 Tìm b để các số Trang https://www.nbv.edu.vn/ Câu 19 Tìm x để ba số x; 9 x; 33 x theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. A x B x D x 3; x C x Lời giải Cấp số nhân x; 9 x; 33 x 1 x 33 x x x Câu 20 Với giá trị x, y nào dưới đây thì các số hạng lần lượt là 2; x; 18; y theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân? x A y 54 x 10 B y 26 x 6 x 6 C D y 54 y 54 Lời giải x 18 x 6 2 x Cấp số nhân: 2; x; 18; y Vậy 324 18 y y x 54 18 x x; y 6;54 hoặc x; y 6; 54 Câu 21 Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là x; 12; y; 192 Mệnh đề nào sau đây là đúng? A x 1; y 144 B x 2; y 72 C x 3; y 48 D x 4; y 36 Lời giải 12 y 144 x 12 x 3 x y Câp số nhân: x; 12; y; 192 y 48 y 192 y 2304 y 12 Câu 22 Thêm hai số thực dương x và y vào giữa hai số và 320 để được bốn số 5; x; y; 320 theo thứ tự đó lập thành cấp số nhận. Khẳng định nào sau đây là đúng? x 25 x 20 x 15 A B C y 125 y 80 y 45 x 30 D y 90 Lời giải u1 q x x 20 Cấp số nhân: 5; x; y; 320 x2 y 80 y u3 u1q x3 320 u u q 25 Câu 23 Ba số hạng đầu của một cấp số nhân là x 6; x và y Tìm y , biết rằng cơng bội của cấp số nhân là A y 216 B y 216 C y 1296 D y 12 Lời giải Cấp số nhân x 6; x và y có cơng bội q nên ta có Trang https://www.nbv.edu.vn/ 36 u1 x 6, q x x u2 u1q x y 36 216 y u3 u2 q x 5 Câu 24 Hai số hạng đầu của của một cấp số nhân là x và x Số hạng thứ ba của cấp số nhân là: A x B x C x3 x x Lời giải D x3 x x Công bội của cấp số nhân là: q 4x x2 x Vậy số hạng thứ ba của cấp số nhân là: 2x 1 1 x 1 x x x Câu 25 Cho dãy số: –1;1; –1;1; –1; Khẳng định sau đúng? A Dãy số này không phải là cấp số nhân. B Số hạng tổng quát un 1n C Dãy số này là cấp số nhân có u1 –1, q –1 D Số hạng tổng quát un –1 2n Lời giải: Chọn C Ta có 1(1); 1(1) Vậy dãy số trên là cấp số nhân với u1 1; q 1 DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ – GIỎI Câu 26 Các số x y , 5 x y, 8 x y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng; đồng thời các số x 1, y 2, x y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Tính x y A x y 40 B x y 25 C x y 100 D x y 10 Lời giải x y x y x y Theo giả thiết ta có x 1 x y y x y x y x 6 y 2 y 1 y y y 0 y Suy ra x y 40 Câu 27 Ba số x; y; z theo thứ tự lập thành một cấp số nhân với công bội q khác 1; đồng thời các số x; 2 y; 3 z theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với cơng sai khác Tìm giá trị của q A q B q C q Lời giải D q 3 y xq; z xq x x xq xq x 3q 4q 1 x z y 3q 4q Nếu x y z cơng sai của cấp số cộng: x; y; z bằng 0 (vơ lí). Trang https://www.nbv.edu.vn/ q 1 Nếu 3q 4q q q 1 q 3 Câu 28 Số hạng thứ hai, số hạng đầu và số hạng thứ ba của một cấp số cộng với cơng sai khác 0 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân với cơng bội q Tìm q 3 C q D q 2 Lời giải Giả sử ba số hạng a; b; c lập thành cấp số cộng thỏa yêu cầu, khi đó b; a; c theo thứ tự đó lập A q B q 2 thành cấp số nhân cơng bội q Ta có a c 2b b bq bq 2b a bq; c bq q q Nếu b a b c nên a; b; c là cấp số cộng công sai d (vơ lí). Nếu q q q hoặc q 2 Nếu q a b c (vơ lí), do đó q 2 Câu 29 Cho Cấp số nhân có bốn số hạng: 2 ; x; 18 ; y Hãy chọn kết quả đúng: A x 6 ; y 54 B x 6; y 54 C x 6 ; y 54 D x 10 ; y 26 Lời giải: Chọn C x x 218 36 x 6 y 54 Ta có: xy 182 324 x 6 y 54 Câu 30 Tìm hai số x và y sao cho x; x y; y theo thứ tự lập thành CSC, các số x2 ; xy ; y lập thành CSN: ; 3 A ; và ; 3 B ; và và 2; 3 C 2; 3 D 2; và 2; Lời giải: Chọn A x y 2 x y Ta có x y xy 62 Với phương trình thứ 2 đặt t xy ta giải ra được t xy Từ phương trình thứ nhất ta rút ra được x y Trang https://www.nbv.edu.vn/ ; 3 Do đó ta có x; y ; hoặc x ; y Câu 31 Tìm x, y biết các số 5x y; 2x y; x y lập thành cấp số cộng và các số y 1 ; xy 1; x 1 lập thành cấp số nhân. 3 10 A 0; 0 ; ; ; ; 3 10 3 10 B 0; 0 ; ; ; ; 10 3 10 C 0; 0 ; ; ; ; 2 3 3 10 D 0; 0 ; ; ; ; 10 3 Lời giải: Chọn B Dãy số 5x y; x y; x y lập thành cấp số cộng x y x y x y y x(*) Dãy số y 1 ; xy 1; x 1 lập thành cấp số nhân 2 xy 1 y 1 x 1 xy 1 xy x y 1 2 2 Trường hợp 1. xy xy x y x y 2(**) Từ (*) và (**) x 10 10 ; y ; 3 3 Trường hợp 2. xy xy x y xy x y 0(**) Từ (*) và (**) x 0; y 3 x x0 0; 0 ; ; 3 x ; y 5 10 10 Câu 32 Xác định m để phương trình x 3 m 1 x 5m 4 x có nghiệm lập thành một cấp số nhân. A m B m = 2 hoặc m C m hoặc m 1 D m hoặc m Lời giải: Chọn A Giả sử x1 ; x2 ; x3 là ba ngiệm của phương trình x 3m 1 x 5m 4 x 1 , vì ba nghiệm lập thành một cấp số nhân nên ta có x22 x1 x3 x1 x2 x3 x23 Áp dụng định lý Vi-et cho phương trình (1) ta có: x1 x2 x3 8 x23 8 x2 2 Mà x là nghiệm của phương trình (1) nên 2 3m 1 2 Trang 10 5m 4 2 m ... un là? ?cấp? ?số? ?nhân? ?cơng bội q, thì Dãy u1 ; u3 ; u5 ; là? ?cấp? ?số? ?nhân? ?công bội q Dãy 3u1 ; 3u2 ; 3u3 ; là? ?cấp? ?số? ?nhân? ?công bội 2q Dãy 1 1 ; ; ; là? ?cấp? ?số? ?nhân? ?công bội ... Xét? ?đáp? ?án? ? ; ; ; ; u1 u2 Câu 10 Cho? ?cấp? ?số? ?nhân? ? un với u1 2 và q ? ?5 Viết bốn? ?số? ?hạng đầu tiên của? ?cấp? ?số? ?nhân. A 2; 10; ? ?50 ; 250 B 2; 10; 50 ;... Chọn un là? ?cấp? ?số? ?nhân? ? un1 qun Câu B Cho dãy? ?số? ? un là một? ?cấp? ?số? ?nhân? ?với un 0, n * Dãy? ?số? ?nào sau đây không phải là? ?cấp? ?số? ? nhân? A u1; u3 ; u5 ; C 1 ; ;