BÀI 4 cấp số CỘNG đáp án

https www nbv edu vn Trang 1 Lý thuyết 1 Cấp số cộng là một dãy số (vô hạn hay hữu Cấp số nhân, Dạy học tích hợp, Chương trình Toán 11, Năng lực toán học, Giáo dục phổ thông môn Toánhạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó và một số d khôn.

https://www.nbv.edu.vn/   Bài CẤP SỐ CỘNG • Chương CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương Lý thuyết 1. Cấp số cộng là một dãy số (vơ hạn hay hữu hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số  hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó và một số d khơng đổi, nghĩa là:  ( un ) là cấp số cộng   n  2, un  un 1  d   Số  d  được gọi là cơng sai của cấp số cộng.  2. Định lý 1: Nếu ( un ) là một cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng ( trừ số hạng  cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó trong dãy,  u u tức là  uk  k 1 k 1   Hệ quả: Ba số  a, b, c  (theo thứ tự đó) lập thành một cấp số cộng   a  c  2b   3. Định lý 2: Nếu một cấp số cộng có số hạng đầu  u1  và cơng sai d thì số hạng tổng qt  un   của nó được xác định bởi cơng thức sau:  un  u1   n  1 d   4. Định lý 3: Giả sử   un   là một cấp số cộng có cơng sai  d   n Gọi  Sn   uk  u1  u2   un   k 1 (  Sn  là tổng của  n  số hạng đầu tiên của cấp số cộng). Ta có:  Sn  n  u1  un  n  2u1   n  1 d      DẠNG 1: CHỨNG MINH MỘT DÃY SỐ  un  LÀ CẤP SỐ CỘNG.  A Phương pháp giải Để chứng minh dãy số   un   là một cấp số cộng, ta xét  A  un 1  un   •  Nếu  A  là hằng số thì   un   là một cấp số cộng với cơng sai  d  A   •  Nếu  A  phụ thuộc vào  n  thì   un   không là cấp số cộng.  Câu B Bài tập tự luận Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số cộng. Tìm số hạng đầu và cơng sai của cấp số cộng đó:  a). Dãy số   un   với  un  19n   b). Dãy số   un   với  un  3n    n c). Dãy số   un   với  un  n2  n   d). Dãy số   un   với  un   1  10n   Lời giải a). Dãy số   un   với  un  19n    Ta có  un1  un  19  n  1   19n    19  Vậy   un   là một cấp số cộng với công sai  d  19 và số hạng đầu  u1  19.1   14   Trang https://www.nbv.edu.vn/   b). Dãy số   un   với  un  3n    Ta có  un1  un  3(n  1)   (3n  1)  3  Vậy   un   là một cấp số cộng với công sai  d  3 và số hạng đầu  u1  3.1   2   c). Dãy số   un   với  un  n  n    Ta có  un 1  un   n  1   n  1    n  n  1  2n  , phụ thuộc vào  n   Vậy   un   không là cấp số cộng.  n d). Dãy số   un   với  un   1  10n   Ta có  un 1  un   1 n 1 n n n n  10  n  1   1  10n     1  10   1  10   1 , phụ    thuộc vào  n  Vậy   un   không là cấp số cộng.  Câu Định x để 3 số  10  x, x  3,  x  theo thứ tự đó lập thành 1 cấp số cộng.  Lời giải   Theo tính chất cấp số cộng ta có:  10  3x     x   2 x     17  x  x   x  x  11   x    x   Câu 11   Một tam giác vng có chu vi bằng 3a, và 3 cạnh lập thành một CSC. Tính độ dài ba cạnh của  tam giác theo a.  Lời giải Gọi x, y, z theo thứ tự tăng dần của độ dài ba cạnh của tam giác.  Chu vi của tam giác:  x  y  z  3a  (1)  Tính chất của CSC có  x  z  y  (2)  Vì tam giác vng nên có:  x  y  z  (3)  Thay (2) vào (1) được  y  3a  y  a , thay y = a vào (2) được:  x  z  2a  x  2a  z   Thay x và y vào (3) được:   2a  z   a  z  5a  4az   z  Kết luận độ dài ba cạnh của tam giác thỏa yêu cầu:  Câu 5a 3a   x 4 3a 5a , a,   4 Ba góc của một tam giác vng lập thành một CSC. Tìm số đo các góc đó.  Lời giải Gọi 3 góc A, B, C theo thứ tự đó là ba góc của tam giác ABC lập thành CSC.   A  B  C  180  A  B  90  A  30    Ta có   A  C  B   A  B  90   B  60   C  90 C  90 C  90    C Bài tập trắc nghiệm DÀNH CHO HỌC SINH TRUNG BÌNH – KHÁ Câu Trang Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng? https://www.nbv.edu.vn/   u1   A  un  :    un1  un  2, n  u1   B  un  :    un1  2un  1, n  C  un  : 1;  ;  ;  10 ;  15 ;    D  un  : 1 ;  1;  1 ;  1;  1 ;    Lời giải Chọn A Dãy số ở đáp án A thỏa  un 1  un   với mọi  n  1 nên là cấp số cộng.  Câu Trong các dãy số sau, có bao nhiêu dãy số là cấp số cộng?  a) Dãy số   un   với  un  4n  b) Dãy số     với   2n    b) Dãy số   wn   với  wn  A   n   d) Dãy số   tn   với  tn   5n   B   C 1.  Lời giải  D   Chọn D Dãy số   un   với  un  4n  có  un 1   n  1  4n   un 1  un  ,  n *  dãy số   un    là cấp số cộng với công sai  d    Dãy số     với   2n   có  v1  ,  v2  ,  v3  19  nên dãy số     không là cấp số cộng.  n n 1 n 1   có  wn1       un 1  un  ,  n *  dãy  3 3 số   wn   là cấp số cộng với công sai  d    Dãy số   wn   với  wn  Dãy số   tn   với  tn   5n  có  tn 1   5n   un 1  un  ,  n *  dãy số   wn    là cấp số cộng với công sai  d  5   Vậy có   dãy số là cấp số cộng.  Câu Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng?  A 1; 2; 4; 6; 8   B 1; 3; 6; 9; 12   C 1; 3; 7; 11; 15   D 1; 3; 5; 7; 9   Lời giải  Chọn C Dãy số   un   có tính chất  un 1  un  d  thì được gọi là một cấp số cộng.  Ta thấy dãy số:  1; 3; 7; 11; 15  là một cấp số cộng có số hạng đầu là 1 và cơng sai bằng  4   Câu Trong các dãy số sau, dãy số nào không phải cấp số cộng? A ; ; ; ;   B 1;1;1;1;1   C 8; 6; 4; 2;   2 2 Lời giải  Chọn D Định nghĩa: D 3;1; 1; 2; 4   Trang https://www.nbv.edu.vn/   Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vơ hạn) mà trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số  hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó và một số d khơng đổi.  Đáp án A: Là cấp số cộng với  u1  ; d    Đáp án B: Là cấp số cộng với  u1  1; d    Đáp án C: Là cấp số cộng với  u1  8; d    Đáp án D: Khơng là cấp số cộng vì  u2  u1   2  ; u4  u3   1   Câu Xác định  a  để 3 số   a; 2a  1; 2a  theo thứ tự thành lập một cấp số cộng?  B a   A Khơng có giá trị nào của  a C a  3   D a     Lời giải Chọn D Theo cơng thức cấp số cộng ta có:  2(2a  1)  (1  2a)  (2a)  a  Câu 3 a   Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?  A u n  3n  2017   C un  3n   B un  3n  2018   Lời giải  D u n   3  n 1   Chọn B Ta có  un 1  un  3(n  1)  2018  (3n  2018)   un 1  un    Vậy dãy số trên là cấp số cộng có cơng sai  d    Câu Dãy số nào sau đây là cấp số cộng?  A  un  : un    B  un  : un  un 1  2, n    n C  un  : un  2n    D  un  : un  2un 1 , n    Lời giải Chọn B Xét dãy số   un  : un  un 1  2, n    Ta có  un  un 1  2, n    Vậy dãy số đã cho là cấp số cộng với công sai  d  2   Câu Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là một cấp số cộng? A un  n  1, n    B u n  n , n    C un  n  1, n    D un  2n  3, n  1  Lời giải Chọn D Theo định nghĩa cấp số cộng ta có:  un1  un  d  un1  un  d ,    n  1,  d  const   Thử các đáp án ta thấy với dãy số:  un  2n  3,    n  1 thì:  un  2n   un 1  un   const    un 1   n  1   2n  Trang https://www.nbv.edu.vn/   Câu Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số cộng:    n 1 A u n    B un    C un  n  n 1 D un  5n    Lời giải Chọn D Ta có dãy  un  là cấp số cộng khi  u n 1  u n  d  ,  n   *  với  d  là hằng số.  Bằng cách tính   số hạng đầu của các dãy số ta dự đốn đáp án  D  n  1  5n  Xét hiệu  u n 1  un     ,n  *   3 5n  Vậy dãy  un   là cấp số cộng.  Câu 10 Các dãy số có số hạng tổng qt  un  Trong các dãy số sau, dãy số nào khơng phải là cấp số  cộng?  B 49 ,  43 , 37 ,  31 ,  25 C.  un   3n   A un  2n    D un   n  3  n   Lời giải Chọn C Xét dãy số  un   3n , suy ra  un1   3n 1  Ta có  un1  un  2.3n , n  *  Do đó  u n   3n   không phải là cấp số cộng.  Câu 11 Dãy số nào dưới đây là cấp số cộng?      A un  n  2n , n  *  B un  3n  1, n  *     C un  3n , n  *   D un  3n  ,  n  *    n2 Lời giải Chọn B     Với dãy số  un  n  2n , n * , xét hiệu:  un1  un  n   2n1  n  2n  2n  1, n  *  thay    đổi theo  n  nên  un  n  2n , n *  không là cấp số cộng. (A loại)    nên  u  3n  1,  n    là cấp số cộng. (B đúng)  Với dãy số  u  ,  n    , xét hiệu:  u  u  u  ,  n    không là cấp số cộng. (C loại)    Với dãy số  un  3n  1, n  * , xét hiệu:  un 1  un   n  1   3n   3, n  *  là hằng số  * n n n n 1 * n n 1 n  3n  2.3n ,  n  *   thay đổi theo  n  nên  * n 3n  ,  n  *  , xét hiệu:  n2  n  1  3n  un 1  un    ,  n  *   thay đổi theo  n  nên  n 1 n   n   n  3 Với dãy số  un  un  3n  ,  n  *   không là cấp số cộng. (D loại)  n2 Câu 12 Dãy số nào sau đây là cấp số cộng ?  A 1; 2;3; 4;5 B 1; 2; 4;8;16 C 1;  1;1;  1;1 D 1;  3;9;  27;81   Trang https://www.nbv.edu.vn/   Lời giải Chọn A  Câu 13 Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng?  u1   A  un  :  un1  un  2, n  u1   B  un  :  un 1  2un  1, n  C  un  : ;  ;  ;  10 ;  15 ;   D  un  : 1 ;  ;  1 ;  ;  1 ;     Lời giải Chọn A  Dãy số ở đáp án A thỏa  un 1  un   với mọi  n  1 nên là cấp số cộng.  DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ – GIỎI Câu 14 Tam giác  ABC  có ba cạnh  a ,  b ,  c  thỏa mãn  a ,  b2 ,  c  theo thứ tự đó lập thành một cấp số  cộng. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau A tan A ,  tan B ,  tan C  theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.  B cot A ,  cot B ,  cot C  theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.  C cos A ,  cos B ,  cosC  theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.  D sin A ,  sin B ,  sin C  theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.  Lời giải Chọn D Áp dụng định lý sin trong tam giác  ABC  ta có  a  R sin A ,  b  R sin B ,  c  R sin C   Theo giả thiết  a ,  b ,  c  theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng nên  a  c  2b    R sin A  R sin C  2.4 R sin B  sin A  sin C  2.sin B   Vậy  sin A ,  sin B ,  sin C  theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.  Câu 15 Biết bốn số  ;  x ;  15 ; y  theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị của biểu thức  x  y  bằng.  A 50   B 70   C 30   Lời giải D 80   Chọn  B  15 Ta có:  x   10  y  20  Vậy  x  y  70   Câu 16 Cho  tam  giác  ABC,  có  ba  cạnh a, b, c   theo thứ tự  đó  lập  thành một cấp  số  cộng.  Tính giá  trị  biểu thức  P  cot A P    A C cot   2 B P    C P    Lời giải  Chọn C  Nếu ba cạnh  a, b, c  lập thành cấp số cộng thì ta có:  a  c  2b    sin A  sin C  2sin B  2sin Trang AC A-C B B cos  4sin cos (1)  2 2 D P    https://www.nbv.edu.vn/    AC B  B sin  sin  90    cos AC B   Vì:  A  C  1800  B   900     *    2 AC B  B  cos  90    sin cos 2   Do đó (1) trở thành:  AC A-C AC A+C A-C B A-C A+C  sin cos  2sin cos  cos  2sin  cos  2cos   2 2 2 2 A C A C A C A C A C A C  cos cos  sin sin  cos cos  2sin sin  cos cos  3sin sin   2 2 2 2 2 2 A C  cot cot    2 Câu 17 Với giá trị nào của a, ta có thể tìm được các giá trị của x để các số:  a 5x 1  51 x , , 25x  25 x  lập thành một cấp số cộng?  A B 12 C Lời giải Chọn B  Để 3 số hạng đó lập thành cấp số cộng, ta có:   51 x  51 x    25x  25 x    a2   a   5x  51x    52 x  512 x    D 24   1   2,52 x  x   a  5.2   12   x 5 Vậy với  a  12 , thì ba số đó lập thành cấp số cộng.  Theo bất đẳng thức cơ si, ta có:  x  Câu 18 Cho  tam  giác  ABC có  độ dài  ba  cạnh  a, b, c theo  thứ  tự  đó  lập  thành  một  cấp  số  cộng.  Đẳng  thức nào sau đây là đúng?  A C A C A tan tan  B tan tan  2 2 A C A C C tan tan  D tan tan  2 2 Lời giải Chọn A  Ta có  a, b, c theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng suy ra  a  c  2b  R sin A  R sin C  R sin B  sin A  sin C  sin B A C A C B B cos  sin cos 2 2 A C B  cos  sin 2  A C   A C  cos     cos     2   2   sin    A C A C A C A C cos  sin sin  cos cos  sin sin   2 2 2 2  A C A C A C  sin sin  cos cos  tan tan  2 2 2  cos Trang https://www.nbv.edu.vn/   Các đáp án A, C, D là cấp số cộng, đáp án B khơng phải là cấp số cộng.  Câu 19 Cho  tam  giác  ABC  biết  ba  góc  tam  giác  lập  thành  cấp  số  cộng  và  sin A  sin B  sin C  A 30 , 60 ,90   3  tính các góc của tam giác  B 20 , 60 ,100   C 10 , 50 ,120   Lời giải D 40 , 600 ,800   Chọn A   Từ giả thiết bài tốn ta có hệ phương trình:   A  200  A  B  C  180 C  A      B  A   B  60    A  C  2B C  A   0 9 A  180  C  100 Ba góc của tam giác:  30 ,60 ,90 Câu 20 Cho  x ; ; y  theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Gọi  M , m  lần lượt là giá trị lớn nhất và  giá trị nhỏ nhất của biểu thức  P  3xy  y  Tính  S  M  m   A   B   C   D    2 Lời giải  Chọn A Ta có:  x ; ; y  theo thứ tự lập thành một cấp số cộng  x  y    Đặt  x  sin  , y  cos    P  3xy  y  sin cos   cos2    cos 2 sin2   2P   sin2  cos 2   2 Giả sử  P  là giá trị của biểu thức  2P   sin2  cos 2  có nghiệm.    P  1   3  12    P    2 Vậy  M  ; m    S    2 Câu 21 Gọi  S  là tập hợp tất cả các số tự nhiên  k  sao cho  C14k ,  C14k 1 ,  C14k   theo thứ tự đó lập thành một  cấp số cộng. Tính tổng tất cả các phần tử của  S   A 12   B   C 10   Lời giải  Chọn A Điều kiện:  k  , k  12   D   C14k ,  C14k 1 ,  C14k   theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng ta có  C14k  C14k   2C14k 1    Trang 14! 14! 14!  2   k !14  k  !  k   !12  k  !  k  1!13  k ! https://www.nbv.edu.vn/     14  k 13  k   k  1 k       k  113  k   14  k 13  k    k  1 k    14  k  k      k  4 (tm)    k  12k  32     k  8 (tm) Có    12 Câu 22 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số  a  thuộc đoạn   0;2018  sao cho ba số  x 1  51 x ;  a ;  25 x  25 x ,  theo thứ tự đó, lập thành một cấp số cộng? A 2008 Chọn  B 2006 C 2018   Lời giải D 2007   D Ba số  x 1  51 x ;  a ;  25 x  25 x , theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi  a   x 1  51 x    25 x  25 x   5x 1  51 x  25x  25 x  12   5 x 1  51 x Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi   x  x    x  25  25 Như vậy nếu xét  a   0;2018  thì ta nhận  a  12; 2018  Có  2007  số  a  thoả đề  Câu 23 Biết  x  thỏa mãn  x  2, x ,  x  lập thành cấp số cộng. Tính tổng bình phương các giá trị x  tìm được.  A 12   B 17   C 26   D 10   Lời giải Chọn D  Ta có:  x  2, x ,  x  lập thành cấp số cộng   2 x   x  x   x  x    x1  1; x2   x  x 2  10   Câu 24 Tìm  x  biết  x  1, x  2,1  x  lập thành cấp số cộng.  A x  4, x    B x  2, x    C x  2, x    Lời giải D x  2, x    Chọn B  Ta có:  x  1, x  2,1  x  lập thành cấp số cộng   x    x  2( x  2)  x  x    x  ; x    Vậy  x  2, x   là những giá trị cần tìm.  Trang https://www.nbv.edu.vn/   1 , ,   theo  thứ  tự  lập  thành  một  cấp  số  bc c a ab cộng thì các số nào sau đây theo thứ tự cũng lập thành một cấp số cộng?  A a , b , c   B a2 , b2 , c   C a3 , b3 , c   D a , b , c   Câu 25 Cho  các  số  dương  a , b , c   Nếu  các  số  Lời giải  Chọn B  Ta có:  1    a2  c  2b2   bc ab c a Câu 26 Cho tam giác  ABC  biết   góc của tam giác lập thành  một cấp số cộng và có một góc bằng  25  Tìm   góc cịn lại?  A 65 ;  90   B   75 ;  80   C 60 ;  95   Lời giải D 60 ;  90   Chọn C  Dựa vào Chọn ta có  u1  25   Lại có  u2  u1  d ;  u3  u1  2d Ta có tổng 3 góc của tam giác bằng  180  hay  u1  u2  u3  180  u1  u1  d  u1  2d  180  u1  d  60   Suy ra  u2  60  hay  d  35   Từ đó ta có  u3  95     bằng  30    Câu 27 Cho tứ giác  ABCD  biết  sn   góc của tứ giác lập thành một cấp số cộng và góc  A Tìm các góc cịn lại?  A 75   120 ; 165   C 70 ;  110 ; 150   B 72 ; 114 ; 156   D 80 ;  110 ; 135   Lời giải Chọn C  Dựa vào Chọn ta có  u1  30   Lại có  u2  u1  d ;  u3  u1  2d ;  u4  u1  3d   Ta có tổng 4 góc của tứ giác bằng  360   Hay  u1  u2  u3  u4  360  4u1  6d  360  d  40   Suy ra  u2  70 ; u3  110 ; u4  150   DẠNG 2: TÌM SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN, CÔNG SAI CỦA CẤP SỐ CỘNG, TÌM SỐ HẠNG THỨ K CỦA CẤP SỐ CỘNG, TÍNH TỔNG K SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN A Phương pháp giải Ta thiết lập một hệ phương trình gồm hai ẩn  u1  và d. Sau đó giải hệ phương trình này tìm được  u1  và  d   Muốn tìm số hạng thứ  k , trước tiên ta phải tìm  u1  và  d  Sau đó áp dụng cơng thức:  uk  u1   k  1 d   Muốn tính tổng của k số hạng đầu tiên, ta phải tìm  u1  và  d  Sau đó áp dụng cơng thức:  Sk  Trang 10 k  u1  uk   k  2u1  (k  1)d    ... hạng đều bằng tổng của? ?số? ?hạng đứng ngay trước nó và một? ?số? ?d khơng đổi.  Đáp? ?án? ?A: Là? ?cấp? ?số? ?cộng? ?với  u1  ; d    Đáp? ?án? ?B: Là? ?cấp? ?số? ?cộng? ?với  u1  1; d    Đáp? ?án? ?C: Là? ?cấp? ?số? ?cộng? ?với  u1  8; d    Đáp? ?án? ?D: Khơng là? ?cấp? ?số? ?cộng? ?vì ... 4; u4    Với:  t  • d  241 241 d    241 241  u1   241 ; u2   241 ; u3   ; u4   241   3 241 241 241  u1   241 ; u2   ; u3   ; u4   241   3 Ta gọi số hạng liên tiếp CSC u1 ... Chọn A Dãy? ?số? ?ở? ?đáp? ?án? ?A thỏa  un 1  un   với mọi  n  1 nên là? ?cấp? ?số? ?cộng.   Câu Trong các dãy? ?số? ?sau, có bao nhiêu dãy? ?số? ?là? ?cấp? ?số? ?cộng?   a) Dãy? ?số? ?  un   với  un  4n  b) Dãy? ?số? ?    với