BÀI TẬP TOÁN 10 Điện thoại 0946798489 Facebook Nguyễn Vương https //www facebook com/phong baovuong Trang 1 A KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1 ELIP Cho hai điểm cố định và phân biệt 1 2,F F Đặt 1 2 2 0F F c Ch[.]
BÀI TẬP TOÁN 10 Điện thoại: 0946798489 A KIẾN THỨC CẦN NHỚ ELIP Cho hai điểm cố định phân biệt F1 , F2 Đặt F1F2 2c Cho số thực a lớn c Tập hợp điểm M cho MF1 MF2 2a gọi đường elip (hay elip) Hai điểm F1 , F2 gọi hai tiêu điểm F1F2 2c gọi tiêu cự elip Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , elip có hai tiêu điểm thuộc trục hồnh cho O trung điểm đoạn nối hai tiêu điểm đó, có phương trình x2 y 1, a b (2) a2 b2 Ngược lại, phương trình có dạng (2) , với a b , phương trình elip có hai tiêu điểm F1 a b ;0 , F2 a b ;0 , tiêu cự 2c a2 b2 tổng khoảng cách từ điểm thuộc elip tới hai tiêu điểm 2a Phương trình (2) gọi phương trình tắc elip tương ứng Ví dụ Cho lục giác ABCDEF Chứng minh bốn điểm B, C , E , F thuộc elip có hai tiêu điểm A D Lời giải Lục giác ABCDEF có cạnh góc có số đo 120 Do đó, tam giác ABC , BCD, DEF , EFA (c.g.c) Suy AC BD DF AE Từ đó, ta có BA BD CA CD EA ED FA FD AD Vậy B, C , E , F thuộc elip có hai tiêu điểm A D x2 y Tìm tiêu điểm tiêu cự elip 25 16 Tính tổng khoảng cách từ điểm elip tới hai tiêu điểm Lời giải Ví dụ Cho elip có phương trình tắc Ta có: a 25, b 16 Do c a b Vậy elip có hai tiêu điểm F1 (3;0); F2 (3;0) tiêu cự F1 F2 2c Ta có a 25 , nên tổng khoảng cách từ điểm elip tới hai tiêu điểm 2a 10 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ HYPEBOL Cho hai điểm phân biệt cố định F1 F2 Đặt F1 F2 2c Cho số thực dương a nhỏ c Tập hợp điểm M cho MF1 MF2 2a gọi đường hypebol (hay hypebol) Hai điểm F1 , F2 gọi hai tiêu điểm F1 F2 2c gọi tiêu cự hypebol Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, hypebol có hai tiêu điểm thuộc trục hồnh cho O trung điểm đoạn nối hai tiêu điểm đó, có phương trình x2 y 1, a, b (4) a b2 Ngược lại, phương trình có dạng (4) , với a, b , phương trình hypebol có hai tiêu điểm F1 a b ;0 , F2 a b ;0 , tiêu cự 2c a b giá trị tuyệt đối hiệu khoảng cách từ điểm thuộc hypebol đến hai tiêu điểm 2a Phương trình (4) gọi phương trình tắc hypebol tương ứng Ví dụ Trên biển có hai đảo hình trịn với bán kính khác Tại vùng biển hai đảo đó, người ta xác định đường ranh giới cách hai đảo, tức là, đường mà khoảng cách từ vị trí đến hai đảo Hỏi đường ranh giới có thuộc nhánh hypebol hay không? Chú ý Khoảng cách từ vị trí biển đến đảo hình trịn hiệu khoảng cách từ vị trí đến tâm đảo bán kính đảo Lời giải Giả sử đảo thứ có tâm O1 bán kính R1 , đảo thứ hai có tâm O2 bán kính R2 Do hai đường trịn O1 , R1 , O2 , R2 nằm nên O1O2 R1 R2 Gọi M điểm thuộc đường ranh giới Vì M cách hai đảo nên MO1 R1 MO2 R2 MO1 MO2 R1 R2 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 BÀI TẬP TOÁN 10 Vậy đường ranh giới thuộc nhánh hypebol với tiêu Hình 7.24 điểm F1 trùng O1 , F2 trùng O2 , 2c O1O2 , 2a R1 R2 x2 y Tìm tiêu điểm tiêu cự 16 hypebol Hiệu khoảng cách từ điểm nằm hypebol tới hai tiêu điểm có giá trị tuyệt đối bao nhiêu? Lời giải Ví dụ Cho hypebol có phương trình tắc Ta có a 9, b 16 , nên c a b2 Vậy hypebol có hai tiêu điểm F1 (5;0), F2 (5;0) có tiêu cự 2c 10 Hiệu khoảng cách từ điểm nằm hypebol tới hai tiêu điểm có giá trị tuyệt đối 2a PARABOL Cho điểm F cố định đường thẳng cố định không qua F Tập hợp điểm M cách F gọi đường parabol (hay parabol) Điểm F gọi tiêu điểm, gọi đường chuẩn, khoảng cách từ F đến gọi tham số tiêu parabol Xét ( P ) parabol với tiêu điểm F , đường chuẩn Gọi H hình chiếu vng góc F Khi đó, hệ trục toạ độ Oxy với gốc O trung điểm HF , tia Ox trùng tia OF , parabol ( P) có phương trình y px( p 0) (5) Phương trình (5) gọi phương trình tắc parabol ( P) Ngược lại, phương trình dạng (5), với p , phương trình tắc parabol có tiêu p p điểm F ;0 đường chuẩn : x 2 Ví dụ Cho parabol ( P) : y x a) Tìm tiêu điểm F , đường chuẩn ( P) b) Tìm điểm ( P ) có khoảng cách tới F Lời giải a) Ta có p nên p 1 Parabol có tiêu điểm F ; đường chuẩn : x 4 b) Điểm M x0 ; y0 thuộc ( P ) có khoảng cách tới F y02 x0 MF Do MF d ( M , ) nên d ( M , ) 1 Mặt khác : x x0 y02 nên d ( M , ) x0 x0 4 Vậy x0 11 11 11 y0 y0 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 11 11 11 11 Vậy có hai điểm M thoả mãn toán với toạ độ ; ; 4 B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng Xác định phương trình tắc ba đường conic BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA, SÁCH BÀI TẬP Câu Trong phương trình sau, phương trình phương trình tắc đường elip? Đường hypebol? Đường parabol? x2 y2 1 72 72 x2 y2 b) x y2 c) d) y x a) Lời giải Dựa vào dạng phương trình tắc đường conic, ta có trường hợp b) phương trình đường elip, trường hợp c) phương trình đường hypebol, trường hợp d) phương trình đường parabol Câu Những phương trình sau phương trình tắc Hypebol? x2 y2 9 x y2 b 9 x y2 c 64 x2 y2 d 64 a 1 1 1 1 Lời giải Những phương trình phương trình tắc Hypebol: x2 y2 1 b 9 x2 y2 1 c 64 x2 y2 1 d 64 x2 y Vì chúng có dạng: 1(a 0; b 0) a b Câu Tìm tọa độ tiêu diểm đường hypebol trường hợp sau: a x2 y2 1 16 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 BÀI TẬP TOÁN 10 x2 y2 1 36 25 x2 y2 a 1 16 b Lời giải 2 a a 9; b 16 Tọa độ tiêu điểm đường Hypebol: c2 a2 b2 16 27 c 27 3 F1 (3 3; 0); F2 (3 3; 0) x2 y a 36; b 25 36 25 Tọa độ tiêu điểm đường Hypebol: c2 a2 b2 36 25 61 c 61 b F1 ( 61; 0); F2 ( 61; 0) Câu Những phương trình sau phương trình tắc Parabol? a y 2 x b y x c x2 2 y d y x Lời giải Những phương trình tắc Parabol là: b y x d y x Vì chúng có dạng y px( p 0) Câu sau: Tìm tọa độ tiêu điểm viết phương trình đường chuẩn đường parabol trường hợp 5x 2 b y 2 x a y Lời giải a y 5x p 5 Tiêu điểm parabol là: F ;0 phương trình đường chuẩn là: x 8 b y 2 x p 0 ;0 phương trình đường chuẩn là; x Tiêu điểm parabol là: F Câu Trong phương trình sau, phương trình phương trình tắc đường elip? a) x2 y2 1; 32 32 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ x2 y 1 42 32 x2 y2 c) x y2 d) b) Lời giải x y2 Phương trình tắc elip có dạng , với a b nên có trường hợp d) a b phương trình tắc đường elip Câu Trong phương trình sau, phương trình phương trình tắc đường hypebol? x2 52 x2 b) x2 c) x2 d) a) y2 42 y2 y2 y2 1 1 1 1 Lời giải x2 y2 Phương trình tắc hypebol có dạng , với a 0, b nên trường hợp b), a b c), d) phương trình tắc đường hypebol Câu Trong phương trình sau, phương trình phương trình tắc đường parabol? a) y 6 x ; b) y x c) x 6 y ; d) x y Lời giải Phương trình tắc parabol có dạng y px với p nên có trường hợp b) phương trình tắc đường parabol Câu Cho elip có phương trình: x2 y Tìm tiêu điểm tiêu cự elip 36 Lời giải Ta có: a 36, b 9, c a b 27 Tiêu điểm F1 ( 27;0) F2 ( 27;0) Tiêu cự 2c 27 Câu 10 Cho hypebol có phương trình: x2 y2 Tìm tiêu điểm tiêu cự hypebol Lời giải Ta có: a 7, b2 9, c a b2 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 BÀI TẬP TOÁN 10 Tiêu điểm F1 (4;0) F2 (4;0) Tiêu cự 2c Câu 11 Cho parabol có phương trình: y x Tìm tiêu điểm đường chuẩn parabol Lời giải Ta có: p nên p Tiêu điểm F (2;0) đường chuẩn : x 2 Câu 12 Cho cơnic có tiêu điểm F (1;1) qua điểm M (1;1) đường chuẩn : 3x y Cônic elip, hypebol parabol? Lời giải Ta có MF 2, d ( M ; ) 3 45 4 MF Suy suy elip d ( M ; ) Dựa vào dạng đường cônic mà giả thiết cho để viết phương trình Dựa vào định nghĩa ba đường cơnic BÀI TẬP BỔ SUNG Dạng Viết phương trình tắc ba đường conic BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA, SÁCH BÀI TẬP Câu 13 Lập phương trình tắc đường conic trường hợp sau: a) Elip có tiêu điểm F2 (3;0) qua điểm A(11;0) ; 12 b) Elip qua hai điểm M (0;3) N 3; ; 5 c) Hypebol có tiêu điểm F2 (2;0) qua điểm A(1;0) ; d) Parabol có tiêu điểm F (8;0) Lời giải a) Gọi elip cần lập phương trình tắc ( E ) Elip ( E ) có phương trình tắc là: x2 y2 1(a b 0) a2 b2 Do F2 (3;0) tiêu điểm ( E ) nên c 112 02 a b2 Do a 121 , suy b a c 121 112 x2 y2 1 Vậy elip ( E ) có phương trình tắc là: 121 112 b) Gọi elip cần lập phương trình tắc ( E ) Elip ( E ) có phương trình tắc là: Điểm A(11;0) nằm ( E ) nên x2 y2 1(a b 0) a2 b2 02 32 Điểm M (0;3) nằm ( E ) nên Do b a b Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 12 N 3; 5 Điểm nằm (E) nên: 12 5 144 144 81 9.225 1 1 a2 25 225 225 81 a a 225 a x2 y2 Vậy elip ( E ) có phương trình tắc là: 25 c) Gọi hypebol cần lập phương trình tắc ( H ) Hypebol ( H ) có phương trình tắc là: x y2 1(a 0, b 0) a2 b2 Do F2 (2;0) tiêu điểm ( H ) nên c 12 02 a2 b2 Do a , suy b c a Điểm A(1;0) nằm ( H ) nên x2 y2 1 d) Gọi parabol cần lập phương trình tắc ( P ) Parabol ( P ) có phương trình tắc là: Vậy hypebol ( H ) có phương trình tắc là: y px p Suy p 16 Vậy parabol ( P ) có phương trình tắc là: y 32 x Do F (8;0) tiêu điểm ( P ) nên 3 2 Câu 14 Lập phương trình tắc elip ( E ) biết ( E ) qua hai điểm P 2; vaø Q 2; Lời giải 2 x y ( E ) có phương trình tắc 1(a b 0) a b 3 3 22 27 Vì P thuộc ( E ) nên ta có: 1 4 1 b a b a 3 (2 2)2 8 Vì Q thuộc ( E ) nên ta có: 2 a b a b 1 1 Từ (1) (2) ta có: , a 16 b a 16 b x2 y2 1 Vậy phương trình tắc elip ( E ) là: 16 Câu 15 Lập phương trình tắc hypebol ( H ) , biết ( H ) qua hai điểm M (1;0) N (2; 3) Lời giải Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 BÀI TẬP TOÁN 10 x2 y 1(a 0, b 0) Vì M thuộc ( H ) nên ta có: a b2 (1)2 02 2 (2 3)2 a Vì thuộc nên ta có: N ( H ) b Vậy phương a2 b2 b2 x2 y2 trình tắc hypebol ( H ) là: 1 ( H ) có phương trình tắc Câu 16 Viết phương trình tắc parabol ( P ) , biết: a) Phương trình đường chuẩn ( P) x 0; b) ( P ) qua điểm M (1; 8) Lời giải a) Gọi phương trình tắc parabol ( P ) y px( p 0) p 1 neân p 8 Vậy phương trình tắc parabol ( P ) là: y x 2 b) Gọi phương trình tắc parabol ( P ) y px( p 0) Vì phương trình đường chuẩn ( P) là: x Vì ( P ) qua điểm M (1; 8) nên (8) p.1 p 32 Vậy phương trình tắc parabol ( P ) là: y 64 x Câu 17 Phương trình sau phương trình tắc elip? x2 y2 1 64 64 x2 y2 1 b 64 64 x2 y2 1 c 64 25 x2 y2 1 d 25 64 a a b c d Lời giải x2 y2 khơng phương trình tắc elip 64 64 x2 y2 khơng phương trình tắc elip 64 64 x2 y2 phương trình tắc elip (vì a b ) 64 25 x2 y2 khơng phương trình tắc elip 25 64 Câu 18 Cho Elip ( E ) có phương trình tắc x2 y Tìm tọa độ giao điểm ( E ) với trục 49 25 Ox , Oy tọa độ tiêu điểm ( E ) Lời giải Xét tọa độ giao điểm (E) trục Ox có: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ x 7 x 02 x 49 A1 ( 7; 0) ; A2 (7; 0) 49 25 x Xét tọa độ giao điểm (E) trục Oy có: y 5 02 y y 25 B1 (5; 0) ; B2 (5; 0) 49 25 y c 4 a2 b2 c c a2 b2 49 25 16 F1 (4; 0) ; F2 (4; 0) c Câu 19 Viết phương trình tắc elip (E), biết tọa độ hai giao điểm (E) với Ox Oy A1 (5;0) B2 (0; 10) Lời giải (E) có phương trình tắc là: x y 1(a b 0) a b Có: A1 (5;0) ( E) nên: (5)2 02 a2 25 a2 b ( 10)2 b2 10 2 a b x y2 1 Phương trình (E): 25 10 B1 (0; 10) ( E ) nên: Câu 20 Viết phương trình tắc Hypebol ( H ) , biết N ( 10; 2) nằm ( H ) hoành độ giao điểm ( H ) trục Ox Lời giải x2 y 1(a 0; b 0) a b2 Do hoanh độ giao điểm ( H ) với trục Ox Giả sử phương trình tắc Hypebol có dạng: 32 02 a2 a2 b2 Do N ( 10;2) ( H ) nên: mà a ( 10)2 22 1 a2 b ( 10)2 22 1 b hay b 36 Vậy phương trình tắc Hypebol là: ( 10)2 2 1 16 2 x y 1(a 0; b 0) 36 Câu 21 Viết phương trình tắc đường parabol, biết tiêu điểm F (6;0) Lời giải Giả sử phương trình tắc parabol ( P ) là: y px( p 0) Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ ... trình Dựa vào định nghĩa ba đường cônic BÀI TẬP BỔ SUNG Dạng Viết phương trình tắc ba đường conic BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA, SÁCH BÀI TẬP Câu 13 Lập phương trình tắc đường conic trường hợp sau: a)... Dạng Xác định phương trình tắc ba đường conic BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA, SÁCH BÀI TẬP Câu Trong phương trình sau, phương trình phương trình tắc đường elip? Đường hypebol? Đường parabol? x2 y2 1 72... hình trịn với bán kính khác Tại vùng biển hai đảo đó, người ta xác định đường ranh giới cách hai đảo, tức là, đường mà khoảng cách từ vị trí đến hai đảo Hỏi đường ranh giới có thuộc nhánh hypebol