BÀI 3 dãy số TĂNG, GIẢM dãy số bị CHẶN đáp án

https www nbv edu vn Trang 1 Lý thuyết DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN 1 Dãy Cấp số nhân, Dạy học tích hợp, Chương trình Toán 11, Năng lực toán học, Giáo Cấp số nhân, Dạy học tích hợp, Chương trình Toán 11, Năng lực toán học, Giáo dục phổ thông môn Toánphổ thông môn Toán số tăng, dãy số giảm Dãy số  nu được gọi là dãy số tăng nếu ta có 1n nu u  với mọi n  Dãy số  nu đư.

https://www.nbv.edu.vn/ Bài DÃY SỐ TĂNG, GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN • Chương CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương Lý thuyết DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN Dãy số tăng, dãy số giảm Dãy số un  gọi dãy số tăng ta có un1  un với n   * Dãy số un  gọi dãy số giảm ta có un1  un với n   * Chú ý: Không phải dãy số tăng giảm Chẳng hạn, dãy số un  với un  3n tức dãy 3, 9, 27,81, không tăng không giảm Dãy số bị chặn Dãy số un  gọi bị chặn tồn số M cho * un  M , n   Dãy số un  gọi bị chặn tồn số m cho un  m, n   * Dãy số un  gọi bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn dưới, tức tồn số m, M cho m  un  M , n   * Lưu y: + Dãy tăng bị chặn u1 + Dãy giảm bị chặn u1 DẠNG 1: XÉT TÍNH TĂNG, GIẢM CỦA DÃY SỐ A Phương pháp giải Cách 1: Xét hiệu un 1  un Nếu un 1  u n  n   * (un ) dãy số tăng Nếu un 1  u n  n  * (un ) dãy số giảm Cách 2: Khi un  n  * ta xét tỉ số Nếu un 1  (un ) dãy số tăng un Nếu un 1  (un ) dãy số giảm un un 1 un Cách 3: Nếu dãy số (un ) cho hệ thức truy hồi ta sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh u n 1  u n n  * (hoặc u n 1  u n n  * ) * Công thức giải nhanh số dạng tốn dãy số Dãy số (un ) có un  an  b tăng a  giảm a  Dãy số (un ) có un  q n Không tăng, không giảm q  Trang https://www.nbv.edu.vn/ Giảm  q  Tăng q  Dãy số (un ) có un  an  b với điều kiện cn  d  n  * cn  d Tăng ad  bc  Giảm ad  bc  Dãy số đan dấu dãy số không tăng, không giảm Nếu dãy số (un ) tăng giảm dãy số  q n un  (với q  ) không tăng, không giảm a  a  Dãy số (un ) có un 1  aun  b tăng  ; giảm  không tăng không u2  u1  u2  u1  giảm a  aun  b  ad  bc  ad  bc  un1  cu  d Dãy số (un ) có  tăng  giảm  n u2  u1  u2  u1  c, d  0, u  n  * n  aun  b  un1  cu  d Dãy số (un ) có  khơng tăng khơng giảm ad  bc  n * c, d  0, u  n   n  (un )  Nếu  dãy số  un    (vn )  (un )  Nếu  dãy số  un    (vn )  * (un ) ; un  n   Nếu  dãy số  un   * (vn ) ;  n   * (un ) ; un  n   Nếu  dãy số  un   * (vn ) ;  n   Nếu (u n )  un  n  * dãy số  u  n dãy số  (un ) m   m  *    Xét tính tăng giảm dãy số sau: 1) Dãy số  un  với un  2n3  5n  2) Dãy số  un  với un  3n  n 3) Dãy số  un  với un  4) Dãy số  un  với un  5) Dãy số  un  với un  n n 1 n 2n 3n n2 6) Dãy số  un  : Với un  7) Dãy số  un  với un  Trang  u  n dãy số  (un )m   m  * 1 Nếu (u n )  un  n  * dãy số   un B Bài tập tự luận Câu Nếu (un )  un  n  * dãy số 3n  2n  n 1 n2  n  2n  1 Nếu (un )  un  n  * dãy số   un    https://www.nbv.edu.vn/ 8) Dãy số  un  với un  n  n2  9) Dãy số  un  với un  n  1 n Lời giải 1) Dãy số  un  với un  2n  5n  Với n  N * , ta có: un 1  un    n  1   n  1  1   2n3  5n  1    2n3  6n2  6n   5n    2n3  5n   6n  6n   6n  3n   3n  3  ( ) n  Vì dãy số  un  dãy số tăng 2) Dãy số  un  với un  3n  n   Với n  N * , ta có: un 1  un  3n 1   n  1   3n  n  3.3n  n   3n  n  2.3n  3n  3n   2.3n   (đúng) (vì n  ) Kết luận dãy số  un  dãy số tăng 3) Dãy số  un  với un  n n 1 Với n  N * , ta có:  n  1 n   n  n  1  1 n un1  un     n  12  1 n   n  1  n     n 1     n  n  n   n  n  2n  n  12  1 n    n  n    n  12  1 n      n  ,  n  1  1  n  1  n     Vì n  n      2 Kết luận: dãy số  un  dãy số giảm 4) Dãy số  un  với un  n 2n Dễ thấy un  n  N * Xét tỉ số: Ta có: un un1 un n 2n 1 n  n    n  1 un 1 n 1 n 1 Thật vậy: n 4n 1   4n  n   3n  ( n  ) n 1 n 1 Kết luận:  un  dãy số giảm 5) Dãy số  un  với un  3n n2 Dễ thấy un  n  N * Xét tỉ số: un un 1 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang https://www.nbv.edu.vn/ un 3n  n  1  n 1  n 1    un 1 n 3  n  2  n 1   n 1  Nếu   1   3 3 n   n  n 1   n   3.n  3.n  n  n  1 n   n   n 1 1    2  n 1  n 1  n 1 Nếu    n   3.n   1   3 3 n  n  n  n   1 n  1  n  1 6) Dãy số  un  : Với un  3n  2n  n 1 n 1 * Với n  N ta có: Ta có: un  3n   6     un 1  un  3  n  1     3n      n   n 1  n  2  n 1    n  3n    n  1 n     n  1   n     3  n     n   n  1    n   n  1 Kết luận  un  dãy số tăng n n2  n  1 7) Dãy số  un  với un    2 2n  2n  * Với n  N , xét hiệu số: 3   n n n 1 1 n  2  un 1  un       2  n  12   2n   2n  2n  2n    5 3   2  n   n    n   2n  n  2     2n  2n  2n           5n   n  n  n  2n  Vậy dãy số  un  dãy số giảm 8) Dãy số  un  với un  n  n2  Ta có: un  n  n   Dễ dàng ta có:  n  1    n  1  Trang  n  1    n2  n2 1 n  n 1  n  1  n  n2 1   n  n2  1 n  n2   un 1  un   https://www.nbv.edu.vn/ Từ suy dãy số  un  dãy số giảm 9) Dãy số  un  với un  Ta có: un   n  1  n  Dễ dàng ta có:  un  Câu  n 1 1 n  1 n  n 1 1  n  1    n 1 1   n  1     un 1  un Vậy dãy số n 1 1 dãy số giảm Xét tính tăng giảm dãy số  un  cho hệ thức truy hồi sau: u1  u2   a)  b)  2un * un 1  2un  3, n  N un 1   u n  Lời giải u2  a)  * un 1  2un  3, n  N Vì u2  2u1    u1 , ta dự đoán un 1  un * với n  Ta có * với n  Giả sử ta có: uk  uk 1 Khi ta có: uk 1  2uk   2uk 1   uk ( uk  uk 1 ) Suy * với n  N * , suy  un  dãy số tăng u1   b)  2un un 1   u n  Từ hệ thức truy hồi cho, dễ thấy un  với n  N * Ta có: u2  2u1    u1  u1 Ta dự đoán un 1  un ** với n  N * Ta có ** n  Giả sử có uk  uk 1 Khi uk 1  2uk 2u   6  k  2  uk  uk uk  Vì uk  uk 1 nên 6   uk 1    uk uk  uk 1  uk 1  Suy ** với n  N * Vậy  un  dãy số giảm Câu u  Cho dãy số  un  xác định bởi:  un 1  un  3n  a) Tìm cơng thức số hạng tổng quát b) Chứng minh dãy số tăng Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang https://www.nbv.edu.vn/ a)Ta có: un1  un  3n   un 1  un  3n  Từ suy ra: u1  u2  u1  3.1  u3  u2  3.2  u4  u3  3.3  un 1  un    n    un  un 1   n  1  Cộng vế n đẳng thức rút gọn, ta được: un   1      n  1    n  1  un    un    n  1 n   n  1    n  1 n   n  1  n  1 3n   Vậy: un   2  n  1 3n   b) Ta có: un 1  un  3n   n   un1  un n  Kết luận dãy số  un  dãy số tăng Câu 0  an  1; n  N *  Cho dãy số  an  định bởi:  an1 1  an   ; n  N * a) Chứng minh: an  1  , n  N * 1 2n b) Xét tính đơn điệu dãy số  an  a) Ta có: Lời giải 1  an   a1    : 1 n=1 2.1 Giả sử 1 n=k  N * , nghĩa là: ak  1  ;k  N * 2k Ta cần chứng minh 1 n  k  , nghĩa chứng minh: ak 1  Ta có: ak  1  ;k  N * 2  k  1 1  2k 1 1 1 k 1 2k  ak      ak         2k 2 k 2k 2k  ak k  Theo giả thiết: ak 1 1  ak   Trang https://www.nbv.edu.vn/  2k      : 2k  ak 1    n  k 1  1  ak   k  1  k  1 2  k  1 Vậy: an  1  , n  N * 2n  1 1 b) Ta có: a  an    an     an  an  1     an 1  an   2 4 n Từ giả thiết suy ra: an 1 1  an    an 1  an   an 1  an ; n  N * Vậy:  an  tăng Câu u1  a Cho a  Xét dãy U n  xác định  Xét tính đơn điệu dãy U n  un 1   un  a  n  N * Lời giải Ta có u1  a  2a (do a  ) Giả sử uk  2a uk  a  a  uk 1   uk  a   a  2a Vậy un  2a; n  N * un 1  un   un  a   un  un2   2a  1 un  a     un  2a  un  1  a  2a  0; n  N *   un  đơn điệu tăng Câu Cho dãy số (un ) định bởi: un  Ta có: un  un 1  un  a.n  ; n  N * Định a để dãy số (un ) tăng 2n  Lời giải a.n  a  5a   ;n N * 2n  2 n    5a   n  1  5      5a  5a  1        n  1  2n    2n  5   2n    n  1   5a  un 1  un    n  14  5   n  14  5       5a  Mà: n   n  1   n  14  5   n  14  5    n   n  1   n  14  5   n  14  5     0; n  N * Nên:  un  tăng  un 1  un  0; n  N *   5a   a  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang https://www.nbv.edu.vn/ C Bài tập trắc nghiệm DÀNH CHO HỌC SINH TRUNG BÌNH - KHÁ Câu Cho dãy số (un ) biết un  3n  Mệnh đề sau đúng? A Dãy số tăng C Dãy số không tăng, không giảm B Dãy số giảm D Cả A, B, C sai Lời giải Chọn A Ta có un  3n   un 1   n  1   3n  Xét hiệu un1  un   3n     3n     n  * Vậy (un ) dãy số tăng Giải nhanh: Dãy có dạng un  an  b ; a   nên dãy số tăng Câu Cho dãy số (un ) biết un  A Dãy số tăng n5 Mệnh đề sau đúng? n2 B Dãy số giảm C Dãy số không tăng, không giảm D Có số hạng un1  n5 1 n2 Lời giải Chọn B n5 3  1  un1   n2 n2 n3 3 3    n  * Xét hiệu un1  un  n  n   n   n  3 Ta có un  Vậy (un ) dãy số giảm an  b cn  d * Mẫu n   n   ad  bc    3  nên (un ) dãy số giảm Giải nhanh: Dãy có dạng un  Câu 5n Mệnh đề sau đúng? n2 A Dãy số tăng B Dãy số giảm C Dãy số không tăng, không giảm D Dãy số dãy hữu hạn Lời giải Chọn A Cho dãy số (un ) biết un  Ta có un  Xét tỉ số 5n 5n1 *  0,  n    u  n 1 n2  n  1 un 1 5n 1 n 5n n  2n   n  n     un n  2n   n  1 5n n2  2n  2n  n  1  2n   1  1, n  * n  2n  Vậy (un ) dãy số tăng Câu Trang Trong dãy số  un  cho số hạng tổng quát un sau, dãy số tăng? https://www.nbv.edu.vn/ n A un  n B un  n 2n  C un  n2  3n  D un  (2)n n  Lời giải Chọn C  u1   n   u  u  Loại A Ta xét đáp án A un  n   2 u    u1   n  Ta xét đáp án B un     u1  u2  Loại B 2n  u   16  u1    n 1  40 Ta xét đáp án C un     u1  u2  Xét tiếp 3n  u   25  40 u1   n Ta xét đáp án D un   2  n2   u2   u1  u2  u3  Loại D  u3  8 Có thể dùng Table casio để nhập hàm loại trừ với Start 1; End 20; Step Chú ý: Nếu mà giải theo tự luận dài ta phải xét un 1  un dãy số Câu Cho dãy số (un ) biết un  5n  Mệnh đề sau đúng? A Dãy số tăng C Dãy số không tăng, không giảm B Dãy số giảm D Cả A, B, C sai Lời giải Chọn A * Trắc nghiệm: Tính vài số hạng đầu dãy số suy kết * Tự luận: Ta có un 1  un   n  1   5n   5n   5n    un 1  un Câu Mệnh đề sau đúng? 3n  A Dãy số tăng B Dãy số giảm C Dãy số không tăng, không giảm D Cả A, B, C Lời giải Chọn B 1 1 Ta có un 1  un        n  1  3n  3n  3n   3n  5 3n   Cho dãy số (un ) biết un  Vậy un 1  un   un 1  un , n  * Câu 10 Mệnh đề sau đúng? 3n B Dãy số giảm Cho dãy số (un ) biết un  A Dãy số tăng C Dãy số không tăng, không giảm D un1  10 1 n Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang https://www.nbv.edu.vn/ Lời giải Chọn B 10 10 10 10 20     0 3n 1 3n 3.3n 3n 3.3n Vậy un1  un   un1  un , n  * Ta có un1  un  Câu Cho dãy số (un ) biết u n  n  3n  Mệnh đề sau đúng? A Dãy số tăng B Dãy số giảm C Dãy số không tăng, không giảm D un1   n  12    n  1  Lời giải Chọn A Ta có un1  un   n  1   n  1   2n  3n   4n   0, n  * Vậy un1  un   un1  un , n  * Câu n Cho dãy số (un ) biết un   1  n  1 Mệnh đề sau đúng? A Dãy số tăng B Dãy số giảm C Dãy số không tăng, không giảm D Dãy số dãy hữu hạn Lời giải Chọn C Dãy khơng tăng, khơng giảm số hạng đan dấu Câu 10 Cho dãy số (un ) biết un  n  400n Mệnh đề sau đúng? A Dãy số tăng B Dãy số giảm C Dãy số không tăng, không giảm D Mọi số hạng âm Lời giải Chọn C Ta có un1  un   n  1  400  n  1  n2  400n  2n  399 399 399 2n  399  n  2 Vậy dãy số cho không tăng, không giảm Do 2n  399  n  Câu 11 Trong dãy số  un  cho số hạng tổng quát un sau, dãy số tăng? A un  3n B un  2n  C un  n 1 3n  D un  Lời giải Chọn D Ta có: 1 1 2  n   n  n   loại A n 1 n 3 3.3 3.3 1 1 2 un 1  un        loại B  n  1  2n  2n  2n   2n  3 2n  1 un1  un  Trang 10 un 1  un  n2 n 1     loại C 3n  3n   3n  5 3n   un 1  un  n  4n  14     Chọn D n4 n   n   n  3 4n  n3 ... đan dấu Dãy đáp án A B tăng, dãy đáp án C dãy giảm Câu 14 Cho dãy số (un ) biết u n  5n  n Mệnh đề sau đúng? A Dãy số tăng B Dãy số giảm C Dãy số không tăng, khơng giảm D Dãy số có số hạng... đúng? A Dãy số tăng B Dãy số giảm C Dãy số không tăng, không giảm D Cả A, B, C Lời giải Chọn B Ta có un  3n   3n   3n   3n  Khi 1  3n   3n  3n   3n  un 1  un      3n   3n ... * dãy số  u  n dãy số  (un ) m   m  *    Xét tính tăng giảm dãy số sau: 1) Dãy số  un  với un  2n3  5n  2) Dãy số  un  với un  3n  n 3) Dãy số  un  với un  4) Dãy số