Bài 1 Sự xác định đường tròn Tính chất đối xứng của đường tròn Bài 1 trang 156 SBT Toán lớp 9 tập 1 Cho hình chữ nhật ABCD có AD = 12cm, CD = 16cm Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đư[.]
Bài 1: Sự xác định đường trịn Tính chất đối xứng đường trịn Bài trang 156 SBT Tốn lớp tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD có AD = 12cm, CD = 16cm Chứng minh bốn điểm A, B, C, D thuộc đường tròn Tính bán kính đường trịn Lời giải: Xét hình chữ nhật ABCD Do hai đường chéo AC BD giao O nên O trung điểm AC BD (tính chất hình chữ nhật) OA = OC = AC BD , OB = OD = 2 Mà AC = BD (tính chất hình chữ nhật) OA = OC = OB = OD = AC Vậy bốn điểm A, B, C, D nằm đường trịn tâm O bán kính R = Xét tam giác ADC vuông D (do ABCD hình chữ nhật) Áp dụng định lí Py-ta-go ta có: AC2 = AD2 + CD2 = 122 + 162 = 400 AC = 400 = 20 (cm) AC Vậy bốn điểm A, B, C, D nằm đường trịn bán kính AC 20 R= = = 10 (cm) 2 Bài trang 156 SBT Toán lớp tập 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, xác định vị trí tương đối điểm A(1; -1), B( − ; (O; 2) ), C(1; 2) đường tròn Lời giải: Gọi R bán kính đường trịn (O; 2) Ta có: R = Trên mặt phẳng tọa độ Oxy có: Sửa lại hình vẽ hệ trục tọa độ khơng có Ox, Oy Đặt tên điểm H, I, K hình vẽ Điểm A(1; -1) nên OH = |xA| = 1, AH = |yA| = |- 1| = Xét tam giác AHO vuông H, ta có OA2 = AH2 + OH2 = 12 + 12 = (định lý Py – ta – go) OA = < R = Do đó, A nằm đường trịn (O; 2) Điểm B( − ; ), nên OK = |xB| = 2 , BK = |yB| = 2 Xét tam giác BKO vng K, ta có OB2 = BK + OK = ( ) ( ) 2 + 2 = (định lý Py – ta – go) OB = = = R Do đó, B nằm đường trịn (O; 2) Điểm C(1; 2) nên OI = |xC| = 1, CI = |yC| = Xét tam giác CIO vuông I, ta có OC2 = OI + CI = (1) + ( ) = OC = hay = R Do đó, C nằm ngồi đường trịn (O; 2) Bài trang 156 SBT Toán lớp tập 1: Hãy nối ô cột trái với ô cột phải để khẳng định đúng: Lời giải: (1) nối với (6) (2) nối với (5) (3) nối với (4) Bài trang 156 SBT Toán lớp tập 1: Cho góc nhọn xOy hai điểm D, E thuộc tia Oy Dựng đường tròn tâm M qua D E cho tâm M nằm tia Ox Lời giải: Cách dựng: - Dựng góc nhọn xOy hai điểm D, E thuộc tia Oy - Dựng đường trung trực DE cắt Ox M - Dựng đường trịn tâm M bán kính MD Chứng minh: Theo cách dựng ta có: M Ox Do đường trung trực DE cắt Ax M nên MD = ME (tính chất đường trung trực) Do đó, E nằm đường trịn tâm M bán kính MD Vậy ta có đường trịn tâm M qua D E với tâm M nằm tia Ox Bài trang 156 SBT Toán lớp tập 1: Trong câu sau, câu ? Câu sai ? a) Hai đường trịn phân biệt có hai điểm chung b) Hai đường trịn phân biệt có ba điểm chung phân biệt c) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nằm tam giác Lời giải: a) Đúng hai đường trịn phân phân biệt có tối đa hai điểm chung b) Sai hai đường trịn có ba điểm chung phân biệt chúng trùng c) Sai tam giác vng có tâm đường trịn ngoại tiếp nằm cạnh huyền, tam giác tù giao điểm ba đường trung trực (tâm ngoại tiếp tam giác) nằm tam giác Bài trang 157 SBT Tốn lớp tập 1: a) Quan sát hình lọ hoa giấy kẻ vng (hình dưới) vẽ lại hình vào b) Quan sát đường trịn xoắn ốc (hình dưới) vẽ lại hình vào Tính bán kính cung trịn tâm B, C, D, A biết cạnh hình vng ABCD đơn vị dài Lời giải: a) Cách vẽ: - Kẻ lưới ô vuông dựng điểm A, B, C, D hình vẽ - Từ điểm A, B, C, D dựng cung trịn bán kính bán kính cạnh vng nhỏ hình - Dùng thước thẳng kẻ đường thẳng miệng đáy lọ hoa: b) Cách vẽ: - Dựng hình vng ABCD kích thước 1x1: - Lần lượt dựng nửa đường tròn tâm B có bán kính qua A: cung trịn tâm C có bán kính 2, cung trịn tâm D có bán kính 3, cung trịn tâm A có bán kính 4: Nối đường thẳng cịn lại để hồn thiện hình vẽ: Bài trang 157 SBT Tốn lớp tập 1: (h.73) Có chi tiết máy (mà đường viền ngồi đường trịn) bị gãy Làm để xác định bán kính đường viền ? Lời giải: Lấy ba điểm A, B, C phân biệt đường viền Dựng đường trung trực AB BC Hai đường trung trực cắt O OA, OB, OC bán kính đường viền Bài trang 157 SBT Tốn lớp tập 1: Cho hình vng ABCD, O giao điểm hai đường chéo, OA = Vẽ đường trịn tâm A bán kính 2cm Trong năm điểm A, B, C, D, O, điểm nằm đường tròn ? Điểm nằm đường tròn ? Điểm nằm ngồi đường trịn ? Lời giải: Xét đường tròn (A; 2) OA = < R = nên O nằm đường tròn (A; 2) Xét tam giác ABD vng A (do ABCD hình vuông) OA đường cao (do hai đường chéo hình vng AC vng góc với BD) Áp dụng hệ thức lượng ta có: 1 = + OA AB2 AD Mà AB = AD (do ABCD hình vng) 1 = + = OA AB2 AB2 AB2 AB2 = 2OA = ( ) 2 =4 AB = = AD = AB = 2cm Suy ra: AB = AD = = R nên B, D nằm đường trịn (A; 2) Xét hình vng ABCD, có AC giao BD điểm O nên suy O trung điểm AC BD OA OC AC 2 AC 2 Suy AC = 2 > R = nên C nằm ngồi đường trịn (A; 2) Bài trang 157 SBT Toán lớp tập 1: Cho tam giác nhọn ABC Vẽ đường trịn (O) có đường kính BC, cắt cạnh AB, AC theo thứ tự D, E a) Chứng minh CD ⊥ AB , BE ⊥ AC b) Gọi K giao điểm BE CD Chứng minh AK vng góc với BC Lời giải: Xét tam giác BCD Có D nằm đường trịn đường kính BC (do đường trịn đường kính BC cắt AB D) Do đó, tam giác BCD nội tiếp đường trịn đường kính BC Do đó, tam giác BCD vuông D CD ⊥ BD hay CD ⊥ AB Xét tam giác BCE Có E nằm đường trịn đường kính BC (do đường trịn đường kính BC cắt AC E) Do đó, tam giác BCE nội tiếp đường trịn đường kính BC Do đó, tam giác BCE vuông E BE ⊥ CE hay BE ⊥ AC b) Xét tam giác ABC Do CD ⊥ AB nên CD đường cao Do BE ⊥ AC nên BE đường cao Mà CD giao BE K nên K trực tâm tam giác ABC Do đó, AK đường cao AK ⊥ BC Bài 10 trang 157 SBT Toán lớp tập 1: Cho tam giác ABC cạnh 3cm Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC bằng: (A) cm (B) 2cm (C) cm (D) cm Hãy chọn câu trả lời Lời giải: Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Suy O giao ba đường trung trực tam giác ABC Vì tam giác ABC nên O trọng tâm tam giác ABC Kẻ AH ⊥ BC H Ta có: O AH Xét tam giác ABH vuông H Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có: AH = AB.sin C = 3.sin 60o = 3 (cm) Xét tam giác ABC, có AH đường cao đồng thời trung tuyến nên: 2 3 OA = AH = = (cm) 3 Vậy bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC OA = (cm) Chọn đáp án (C) Bài 11 trang 158 SBT Toán lớp tập 1: Cho hình vng ABCD a) Chứng minh bốn đỉnh hình vng nằm đường trịn Hãy vị trí tâm đường trịn b) Tính bán kính đường trịn đó, biết cạnh hình vng 2cm Lời giải: a Gọi I giao điểm hai đường chéo AC BD Ta có: IA = IB = IC = ID (do ABCD hình vng) Vậy bốn điểm A, B, C, D nằm đường trịn có tâm I b) Xét tam giác ABC vuông A (do ABCD hình vng) Áp dụng định lí Py-ta-go ta có: AC2 = AB2 + BC2 = 22 + 22 = AC = = 2 (cm) Mà: IA = IB = IC = ID = đường chéo) AC (do ABCD hình vng I giao điểm hai IA = AC 2 = = (cm) 2 Vậy đường tròn qua bốn điểm A, B, C, D có tâm I bán kính IA = cm Bài 12 trang 158 SBT Toán lớp tập 1: Cho tam giác ABC cân A, nội tiếp đường tròn (O) Đường cao AH cắt đường trịn D a) Vì AD đường kính đường trịn (O) ? b) Tính số đo góc ACD c) Cho BC = 24cm, AC = 20cm Tính đường cao AH bán kính đường trịn (O) Lời giải: a) Xét tam giác ABC cân A AH đường cao đồng thời đường trung trực BC Vì O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên O nằm đường trung trực BC hay O thuộc AD Suy AD đường kính (O) b) Xét tam giác ACD Do ABC nội tiếp đường tròn (O) nên A, C nằm đường tròn tâm O Mặt khác, đường cao AH cắt đường tròn D nên D nằm đường tròn tâm O Do đó, tam giác ACD nội tiếp đường trịn (O) Mà AD đường kính Do đó, tam giác ACD vuông C ACD = 90o c) Xét tam giác ABC cân A AH đường cao đồng thời đường trung tuyến Do đó, H trung điểm BC HB = HC = BC 24 = = 12 (cm) 2 Xét tam giác AHC vng H Áp dụng định lí Py-ta-go ta có: AC2 = AH2 + HC2 AH2 = AC2 − HC2 = 202 − 122 = 256 AH = 256 = 16 (cm) Xét tam giác ACD vuông C Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có: AC2 = AH.AD AD = AC2 202 = = 25 (cm) AH 16 Vậy bán kính đường trịn (O) là: R = AD 25 = = 12,5 (cm) 2 Bài 13 trang 158 SBT Toán lớp tập 1: Tam giác ABC cân A, BC = 12cm, đường cao AH = 4cm Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Lời giải: Xét tam giác ABC cân A AH đường cao đường trung tuyến Do đó, H trung điểm BC HB = HC = BC 12 = = (cm) 2 Kéo dài đường cao AH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D Gọi O tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Vì tam giác ABC cân A nên AH đường trung trực BC Do đó, AD đường trung trực BC Khi O thuộc AD hay AD đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Xét tam giác ACD nội tiếp đường tròn (O) Mà AD đường kính Do đó, tam giác ACD vng C Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông ta có: CH2 62 CH = HA.HD HD = = = (cm) HA Ta có: AD = AH + HD = + = 13 (cm) Vậy bán kính đường trịn O là: R = AD 13 = = 6,5 (cm) 2 Bài 14 trang 158 SBT Toán lớp tập 1: Cho đường trịn (O) hai điểm A, B nằm bên ngồi đường trịn Dựng đường kính COD cho AC = BD Lời giải: Cách dựng: - Dựng đường tròn (O) - Dựng A’ đối xứng với A qua tâm O đường tròn - Dựng đường thẳng x trung trực A’B - Gọi giao điểm đường thẳng x đường tròn (O) D - Dựng đường kính COD Chứng minh: Ta có: OA = OA’ (do A’ đối xứng với A qua O) OD = OC (cùng bán kính đường trịn) Do tứ giác ACA’D hình bình hành AC = A’D Lại có: A’D = BD (tính chất đường trung trực) AC = BD Bài tập bổ sung Bài 1.1 trang 158 SBT Tốn lớp tập 1: Xét tính – sai khẳng định sau: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) a) Nếu BC đường kính đường trịn BAC = 90o b) Nếu AB = AC AO vng góc với BC c) Nếu tam giác ABC khơng vng điểm O nằm bên tam giác Lời giải: a) Đúng Vì tam giác nội tiếp đường trịn có cạnh đường kính góc đối diện đường kính góc vng Vậy tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) mà BC đường kính BAC = 90o b) Đúng Kẻ đường cao AH tam giác ABC Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Vì tam giác ABC cân A nên AH đường trung trực BC Khi O thuộc đường thẳng AH nên AO vng góc với BC c) Sai Vì tam giác ABC khơng vng nghĩa tam giác ABC tam giác nhọn tam giác tù Trong tam giác nhọn, tâm O nằm bên tam giác Trong tam giác tù, tâm O nằm bên tam giác Bài 1.2 trang 158 SBT Toán lớp tập 1: Cho tam giác ABC vuông A, điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC Gọi M, N, P, Q theo thứ tự trung điểm cạnh DE, DC, BC, BE Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q thuộc đường tròn Lời giải: ... (t? ?nh ch? ?t đường trung trực) AC = BD Bài t? ??p bổ sung Bài 1. 1 trang 15 8 SBT Toán lớp t? ??p 1: X? ?t tính – sai khẳng định sau: Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) a) Nếu BC đường kính đường trịn... đường trịn (O; 2) Bài trang 15 6 SBT Toán lớp t? ??p 1: Hãy nối ô c? ?t trái với ô c? ?t phải để khẳng định đúng: Lời giải: (1) nối với (6) (2) nối với (5) (3) nối với (4) Bài trang 15 6 SBT Toán lớp t? ??p 1: ... vng có t? ?m đường trịn ngoại tiếp nằm cạnh huyền, tam giác t? ? giao điểm ba đường trung trực (t? ?m ngoại tiếp tam giác) nằm tam giác Bài trang 15 7 SBT Toán lớp t? ??p 1: a) Quan s? ?t hình lọ hoa giấy