Bài 3 Hàm số liên tục A Các câu hỏi hoạt động trong bài Hoạt động 1 trang 135 SGK Toán lớp 11 Đại số Cho hàm số f(x) = x2 và 2 2 x 2 neu x 1 g(x) 2 neu 1 x 1 x 2 neu x 1 − + − = − − + c[.]
Bài 3: Hàm số liên tục A Các câu hỏi hoạt động Hoạt động trang 135 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho hàm số f(x) = x2 − x + neu x −1 g(x) = 2 neu − x có đồ thị hình 55 − x + neu x a) Tính giá trị hàm số x = so sánh với giới hạn (nếu có) hàm số x → b) Nêu nhận xét đồ thị hàm số điểm có hoành độ x = (Hàm số y = f(x) gọi liên tục x = hàm số y = g(x) không liên tục điểm này) Lời giải: a) f (1) = 12 = = limf (x) x →1 Vì x = nên g(1) = –12 + = –1 + = Lại có: limg(x) = lim ( −x + ) = limg(x) = lim(2) = x →1+ x →1+ x →1− x →1− nên limg(x) limg(x) không tồn giới hạn limg(x) x →1− x →1+ b) Đồ thị hàm số f(x) liên tục x = x →1 Đồ thị hàm số g(x) gián đoạn x = Hoạt động trang 138 SGK Toán lớp 11 Đại số: Trong biểu thức xác định h(x) cho Ví dụ 2, cần thay số số để hàm số liên tục tập số thực ? Lời giải: Để hàm số liên tục phải liên tục x = hay limh(x) = h(1) h(1) = x →1 Vậy cần thay số số để hàm số liên tục Hoạt động trang 138 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục đoạn [a; b] với f(a) f(b) trái dấu Hỏi đồ thị hàm số có cắt trục hồnh điểm thuộc khoảng (a; b) khơng? Bạn Hưng trả lời rằng: “Đồ thị hàm số y = f(x) phải cắt trục hoành Ox điểm nằm khoảng (a; b)” Bạn Lan khẳng định: “Đồ thị hàm số y = f(x) phải cắt trục hồnh Ox điểm nằm khoảng (a; b)” Bạn Tuấn cho rằng: “Đồ thị hàm số y = f(x) khơng cắt trục hoành khoảng (a; b), chẳng hạn đường parabol hình (h.58) Câu trả lời bạn đúng, sao? Lời giải: - Bạn Lan nói f(a) f(b) trái dấu nên tồn giá trị x cho f(x) = 0, đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục hồnh điểm - Bạn Hưng sai có giá trị x cho f(x) = - Đường parabol h.58 đồ thị hàm số y2 = x suy đồ thị hàm số y = f(x) nửa nằm nửa nằm trục hoành Khi f(a) f(b) dấu, mâu thuẫn với điều kiện f(a) f(b) trái dấu Ví dụ Tuấn sai Hoạt động trang 139 SGK Toán lớp 11 Đại số: Hãy tìm hai số a b thỏa mãn < a < b < 2, cho phương trình Ví dụ có nghiệm thuộc khoảng (a; b) Lời giải: Ta có: f(x) = x3 + 2x – 5 Chọn a = ,b = thỏa mãn < a < b < 4 35 5 5 7 247 Ta thấy: f = − 0,f = nên f f 64 4 4 4 64 5 7 Vậy khoảng ; phương trình f(x) = có nghiệm 4 4 B Bài tập Bài tập trang 140 SGK Toán lớp 11 Đại số: Dùng định nghĩa xét tính liên tục hàm số f(x) = x3 + 2x – x0 = Lời giải: Hàm số f(x) = x3 + 2x – xác định R x = (x) = 33 + 2.3 − = 32 limf x →3 Ta có: limf (x) = f (3) x →3 f (3) = + 2.3 − = 32 Vậy hàm số cho liên tục điểm x0 = Bài tập trang 141 SGK Toán lớp 11 Đại số: a) Xét tính liên tục hàm số y = x3 − neu x g(x) x0 = 2, biết g(x) = x − 5 neu x = b) Trong biểu thức xác định g(x) trên, cần thay số số để hàm số liên tục x0 = Lời giải: a) Ta có: (x − 2) ( x + 2x + ) x3 − limg(x) = lim = lim x →2 x →2 x − x →2 x−2 = lim ( x + 2x + ) = 22 + 2.2 + = 12 x →2 Lại có: g(2) = limg(x) g(2) x →2 Vì limg(x) g(2) nên hàm số y = g(x) gián đoạn x = x →2 b) Để hàm số y = g(x) liên tục x0 = limg(x) = g(2) = 12 x →2 Vậy ta cần thay số số 12 Bài tập trang 141 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho hàm số 3x + neu x −1 f (x) = x − neu x − a) Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) Từ nêu nhận xét tính liên tục hàm số tập xác định b) Khẳng định nhận xét chứng minh Lời giải: a) Vẽ đồ thị hàm số: Vẽ đường thẳng y = 3x + với x < −1 qua hai điểm (−2; −4) (−1; −1) Xóa phần đồ thị nằm nửa mặt phẳng x −1 ta đồ thị hàm số y = 3x + với x < −1 Vẽ Parabol y = x2 − với x −1 có đỉnh (0; −1) qua hai điểm (−1; 0); (1; 0) Xóa phần đồ thị nằm nửa mặt phẳng x < −1, ta đồ thị hàm số y = x2 − với x −1 Ta có đồ thị hình sau: Tập xác định: D = Từ đồ thị, ta thấy: Đồ thị hàm số y = f(x) đường không liền nét mà bị đứt quãng x0 = −1 Vậy hàm số cho liên tục khoảng ( −; −1) ( −1; + ) b) +) Nếu x < −1: f(x) = 3x + liên tục (−; −1) (vì hàm đa thức nên liên tục tập xác định nó) +) Nếu x > −1: f(x) = x2 – liên tục (−1; +) (vì hàm đa thức nên liên tục tập xác định nó) +) Xét tính liên tục hàm số x = −1; Ta có: lim f (x) = lim (3x + 2) = 3(−1) + = −1 x →−1− x →−1− lim f (x) = lim ( x − 1) = (−1) − = x →−1+ x →−1+ Vì lim f (x) lim f (x) nên không tồn limf (x) x →−1− x →−1+ x →−1 Vậy hàm số gián đoạn x0 = −1 Bài tập trang 141 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho hàm số f (x) = x +1 x +x −6 g(x) = tan x + sin x Với hàm số, xác định khoảng hàm số liên tục Lời giải: +) Hàm số f (x) = x +1 xác định khi: x +x −6 x −3 D= x2 + x − x \ −3;2 Hàm số f(x) hàm phân thức nên liên tục khoảng xác định Vậy f(x) liên tục khoảng ( −, −3) ,(−3, 2) ( 2,+ ) +) Hàm số g(x) = tan x + sin x xác định cos x x (k ) + k , Hàm số g(x) hàm lượng giác nên liên tục khoảng xác định Vậy g(x) liên tục khoảng − + k; + k với k Bài tập trang 141 SGK Toán lớp 11 Đại số: Ý kiến sau hay sai? “Nếu hàm số y = f(x) liên tục điểm x0 cịn hàm số y = g(x) khơng liên tục x0, y = f(x) + g(x) hàm số không liên tục x0” Lời giải: Ý kiến Giả sử phản chứng hàm số y = f(x) + g(x) liên tục x0 Đặt h(x) = f(x) + g(x) liên tục x = x0 g(x) = h(x) − f(x) Vì y = h(x) y = f(x) liên tục x0 h(x); −f(x) hàm số liên tục x0 Theo giả sử ta có hàm số h(x) + [−f(x)] = h(x) − f(x) = g(x) phải liên tục x0 Điều trái với giả thiết y = g(x) không liên tục x0 Vậy giả sử ban đầu sai Chứng tỏ y = f(x) + g(x) không liên tục x0 Bài tập trang 141 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh phương trình: a) 2x3 – 6x + = có hai nghiệm; b) cosx = x có nghiệm Lời giải: a) Xét hàm số f(x) = 2x3 – 6x + hàm đa thức nên liên tục Ta có: f(0) = 2.03 – 6.0 +1 = f(1) = 2.13 – 6.1 +1 = –3 f(–2) = 2.(–2)3 – 6.(–2) +1 = –3 f(0).f(1) = 1.(–3) < nên phương trình có nghiệm x (0;1) f(0).f(–2) = 1.(–3) < nên phương trình có nghiệm x1 (−2;0) Mà (0;1) (−2;0) = x x1 Phương trình f(x) = có hai nghiệm b) cosx = x cosx – x = Xét hàm số g(x) = cosx – x xác định nên liên tục Ta có: g(0) = cos(0) – = – = g = cos − = − 2 2 g(0).g = 1. − = − nên phương trình cho có nghiệm thuộc 2 2 khoảng 0; 2 Vậy phương trình cho có nghiệm ... thị hàm số g(x) gián đoạn x = Hoạt động trang 138 SGK Toán lớp 11 Đại số: Trong biểu thức xác định h(x) cho Ví dụ 2, cần thay số số để hàm số liên tục tập số thực ? Lời giải: Để hàm số liên tục. .. số liên tục phải liên tục x = hay limh(x) = h(1) h(1) = x →1 Vậy cần thay số số để hàm số liên tục Hoạt động trang 138 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục đoạn [a; b] với... lớp 11 Đại số: Dùng định nghĩa xét tính liên tục hàm số f(x) = x3 + 2x – x0 = Lời giải: Hàm số f(x) = x3 + 2x – xác định R x = (x) = 33 + 2 .3 − = 32 limf x ? ?3 Ta có: limf (x) = f (3)