Đang tải... (xem toàn văn)
Bài 3 Cấp số cộng A Các câu hỏi hoạt động trong bài Hoạt động 1 trang 93 SGK Toán lớp 11 Đại số Biết bốn số hạng đầu của một dãy số là 1, 3, 7, 11 Từ đó chỉ ra một quy luật rồi viết tiếp năm số hạng c[.]
Bài 3: Cấp số cộng A Các câu hỏi hoạt động Hoạt động trang 93 SGK Toán lớp 11 Đại số: Biết bốn số hạng đầu dãy số -1, 3, 7, 11 Từ quy luật viết tiếp năm số hạng dãy theo quy luật Lời giải: Ta có: = -1 + 7=3+4 11 = + Quy luật: kể từ số thứ 2, số hạng số hạng đứng trước cộng với Năm số hạng tiếp dãy theo quy luật là: 15; 19; 23; 27; 31 Hoạt động trang 93 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho (un) cấp số cộng có sáu số hạng với u1 = − , d = Viết dạng khai triển Lời giải: Ta có: u = u1 + d = −1 +3= 3 17 u3 = u + d = + = 3 u = u3 + d = 17 26 +3= 3 u5 = u + d = 26 35 +3= 3 u6 = u5 + d = u5 + = 35 44 +3= 3 Dạng khai triển cấp số cộng là: −1 17 26 35 44 ; ; ; ; ; 3 3 3 Hoạt động trang 94 SGK Toán lớp 11 Đại số: Mai Hùng chơi trò xếp que diêm thành hình tháp mặt sân Cách xếp thể Hình 42 Hỏi: Nếu tháp có 100 tầng cần que diêm để xếp tầng đế tháp? Lời giải: Xây tầng cần que diêm để xếp tầng đế Xây tầng cần que diêm để xếp tầng đế (4 = + 1.2) Xây tầng cần que diêm để xếp tầng đế (6 = + 2.2) Xây 100 tầng cần 200 que diêm để xếp tầng đế (200 = + 99.2) Hoạt động trang 96 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cấp số cộng gồm tám số hạng 1, 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27 viết vào bảng sau: -1 11 15 19 23 27 a) Hãy chép lại bảng viết số hạng cấp số vào dòng thứ hai theo thứ tự ngược lại Nêu nhận xét tổng số hạng cột b) Tính tổng số hạng cấp số cộng Lời giải: a) -1 11 15 19 23 27 27 23 19 15 11 -1 Tổng số hạng cột 26 b) Tổng số hạng cấp số cộng là: 26.8 = 104 B Bài tập Bài tập trang 97 SGK Toán lớp 11 Đại số: Trong dãy số (un) sau đây, dãy số cấp số cộng? Tính số hạng đầu cơng sai a) un = – 2n b) u n = n −1 c) un = 3n d) u n = − 3n Lời giải: a) Ta có: u1 = – 2.1 = un+1 – un = – 2(n + 1) – + 2n = – 2n – – + 2n = – n * Suy un+1 = un – Vậy (un) cấp số cộng có u1 = 3, cơng sai d = – b) Ta có: u1 = u n +1 – u n = 1 −1 = − 2 n +1 n n +1 n − = , n * −1− +1 = 2 2 Suy u n +1 = u n + , n * 1 Vậy (un) cấp số cộng có u1 = − , cơng sai d = 2 c) Ta có un+1 – un = 3n+1 – 3n = 3n – 3n = 2.3n Vậy (un) không cấp số cộng Cách khác: un = 3n suy u1 = Giả sử n 1, xét hiệu sau: un+1 – un = 3n+1 – 3n = 3n – 3n = 2.3n un – un-1 = 3n – 3n-1 = 3n-1 = (3 – 1).3n-1 = 2.3n-1 Suy u n +1 – u n u n – u n −1 (vì 3n 3n −1 , n ) Vậy (un) không cấp số cộng d) Ta có: u1 = − 3.1 =2 Với n * ta có: u n +1 − u n = − ( n + 1) − 3n − 3n − − + 3n − = =− 2 2 Suy u n +1 = u n − , n * Vậy (un) cấp số cộng có u1 = 2, cơng sai d = − Bài tập trang 97 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tìm số hạng đầu cơng sai cấp số cộng sau, biết: u − u + u = 10 a) u1 + u = 17 u − u = b) u u = 75 Lời giải: a) Ta có : u3 = u1 + 2d ; u5 = u1 + 4d ; u6 = u1 + 5d Theo đề ta có : u1 − ( u1 + 2d ) + u1 + 4d = 10 u1 − u + u = 10 u + 2d = 10 u = 16 u1 + u1 + 5d = 17 d = −3 2u1 + 5d = 17 u1 + u = 17 Vậy số hạng đầu công sai cấp số cộng u1 = 16, d = -3 b) Ta có: u7 = u1 + 6d u3 = u1 + 2d u2 = u1 + d Do theo đề ta có: u1 + 6d − u1 − 2d = 4d = u − u = ( u1 + d )( u1 + 6d ) = 75 ( u1 + d )( u1 + 6d ) = 75 u u = 75 d = ( u1 + )( u1 + 12 ) = 75 d = d = d = u1 = u1 + 14u1 + 24 = 75 u1 + 14u1 − 51 = u = −17 Vậy u1 = 3, công sai d = u1 = -17, công sai d = số hạng đầu công sai cấp số cộng Bài tập trang 97 SGK Toán lớp 11 Đại số: Trong toán cấp số cộng, ta thường gặp năm đại lượng u1, d, n, un, Sn a) Hãy viết hệ thức liên hệ đại lượng Cần phải biết đại lượng để tìm đại lượng cịn lại? b) Lập bảng theo mẫu sau điền số thích hợp vào trống: u1 -2 d -4 n 55 un 20 15 Sn 120 27 17 Lời giải: 12 -5 72 -205 a) Ta có: un = u1 + (n – 1).d n= u n − u1 u − u1 + 1;d = n d n −1 Ta có: Sn = n.u1 + u1 = n ( u1 + u n ) n(n − 1) d= 2 2.Sn − n(n − 1).d 2n Hay u1 = Sn − n.u n n Dựa vào công thức thấy cần phải biết đại lượng để tìm đại lượng cịn lại b) Dịng đầu: Biết u1= −2; u20 = 55 Tìm d S20 Ta có u20 = u1 + 19d 55 = −2 + 19d d = S20 = 20 ( u1 + u 20 ) 20.( −2 + 55 ) = = 530 2 Dòng 2: Biết d = −4; S15 = 120 , tìm u1 u15 Ta có S15 = 15u1 + 15.(15 − 1) d 120 = 15.u1 + 105.( −4 ) 15u1 = 540 u1 = 36 Suy u15 = u1 + 14d = 36 + 14.(−4) = −20 Dòng 3: Biết u1 = 3; d = Ta có un = u1 + (n − 1)d ; un = Tìm n tính Sn 27 = + ( n − 1) S28 = 28u1 + n = 28 27 28.( 28 − 1) d = 28.3 + 378 = 140 27 Dòng 4: Biết u12 = 17 S12 = 72 Tìm u1 d S12 = 12 ( u1 + u12 ) 12 ( u1 + 17 ) 72 = u1 + 17 = 12 u1 = −5 2 u12 = u1 + 11d 17 = −5 + 11d 22 = 11d d = Dòng 5: Biết u1 = 2; d = −5 Sn = −205 Tìm n tính un Ta có: Sn = nu1 + n ( n − 1) n ( n − 1) (−5) d −205 = n.2 + 2 n = 10 −410 = 4n − 5n ( n − 1) 5n − 9n – 410 = 41 n = − ( loai ) Suy n = 10 Suy u10 = u1 + 9d = + 9.(−5) = −43 Vậy ta điền bảng sau : u1 d n un Sn -2 55 20 530 36 -20 15 120 28 140 -5 -4 27 17 12 72 -5 -43 10 -205 Bài tập trang 98 SGK Toán lớp 11 Đại số: Mặt sàn tầng một nhà cao mặt sân 0,5 m Cầu thang từ tầng lên tầng hai gồm 21 bậc, bậc cao 18 cm a) Viết cơng thức để tìm độ cao bậc tùy ý so với mặt sân b) Tính độ cao sàn tầng hai so với mặt sân Lời giải: a) Mỗi bậc thang cao 18cm = 0,18m Suy n bậc thang cao 0,18n (m) Vì mặt sàn cao mặt sân 0,5 m nên cơng thức tính độ cao bậc tùy ý so với mặt sân : hn = 0,5 + 0,18n b) Độ cao sàn tầng hai so với mặt sân ứng với n = 21 là: h21 = 0,5 + 0,18.21 = 4,28 (m) Bài tập trang 98 SGK Toán lớp 11 Đại số: Từ đến 12 trưa, đồng hồ đánh tiếng, đánh chng báo số tiếng chuông số giờ? Lời giải: Lúc đồng hồ đánh tiếng chuông Lúc đồng hồ đánh tiếng chuông Lúc 12 trưa đồng hồ đánh 12 tiếng chng Do đó, từ đến 12 trưa, đồng hồ đánh số tiếng chuông là: S = + + + + 12 Đây tổng 12 số hạng cấp số cộng có u1 = 1, u12 = 12 Do áp dụng cơng thức tính tổng cấp số cộng ta có S = Vậy đồng hồ đánh 78 tiếng chuông (1 + 12 ).12 = 78 ... = 3n+1 – 3n = 3n – 3n = 2.3n Vậy (un) không cấp số cộng Cách khác: un = 3n suy u1 = Giả sử n 1, xét hiệu sau: un+1 – un = 3n+1 – 3n = 3n – 3n = 2.3n un – un-1 = 3n – 3n-1 = 3n-1 = (3 – 1).3n-1... tổng số hạng cột b) Tính tổng số hạng cấp số cộng Lời giải: a) -1 11 15 19 23 27 27 23 19 15 11 -1 Tổng số hạng cột 26 b) Tổng số hạng cấp số cộng là: 26.8 = 104 B Bài tập Bài tập trang 97 SGK Toán. .. Hoạt động trang 96 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cấp số cộng gồm tám số hạng 1, 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27 viết vào bảng sau: -1 11 15 19 23 27 a) Hãy chép lại bảng viết số hạng cấp số vào dịng thứ hai