Bài 4 Cấp số nhân A Các câu hỏi hoạt động trong bài Hoạt động 1 trang 98 SGK Toán lớp 11 Đại số Tục truyền rằng nhà vua Ấn Độ cho phép người phát minh ra bàn cờ Vua được lựa chọn một phần thưởng tùy t[.]
Bài 4: Cấp số nhân A Các câu hỏi hoạt động Hoạt động trang 98 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tục truyền nhà vua Ấn Độ cho phép người phát minh bàn cờ Vua lựa chọn phần thưởng tùy theo sở thích Người xin nhà vua thưởng cho số thóc số thóc đặt lên 64 bàn cờ sau: Đặt lên ô thứ bàn cờ hạt thóc, tiếp thứ hai hai hạt, … vậy, số hạt thóc sau gấp đơi số hạt thóc trước ô cuối Hãy cho biết số hạt thóc ô từ ô thứ đến thứ sáu bàn cờ Lời giải: Số hạt thóc từ ô thứ đến thứ sáu là: 1; 2; 4; 8; 16; 32 Hoạt động trang 99 SGK Toán lớp 11 Đại số: Hãy đọc hoạt động cho biết thứ 11 có hạt thóc? Lời giải: Từ câu hỏi ta thấy: Ơ thứ có = 20 = 21–1 hạt thóc Ô thứ có = 21 = 22−1 hạt thóc Ơ thứ có = 22 = 23−1 hạt thóc Ơ thứ có = 23 = 24 – hạt thóc Ơ thứ có 16 = 24 = 25−1 hạt thóc Tổng qt: Ơ thứ n có 2n−1 hạt thóc Ơ thứ 11 có: 211−1 = 210 = 1024 hạt thóc Hoạt động trang 101 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho cấp số nhân (un) với u1 = -2 q = − a) Viết năm số hạng đầu b) So sánh u 22 với tích u1.u3 u 32 với tích u2.u4 Nêu nhận xét tổng quát từ kết Lời giải: a) Ta có u1 = -2 u = u1.q = −2 u = u q = −1 =1 −1 =− 2 −1 u = u 3.q = − = 2 −1 u = u q = = − b) Ta có: u 22 = 12 = u1.u = −2 −1 =1 u 22 = u1.u 1 Lại có: u = − = 2 1 u u = = 4 u 32 = u u Do u 2k = u k −1.u k +1 ; k Hoạt động trang 101 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tính tổng số hạt thóc 11 đầu bàn cờ nêu hoạt động Lời giải: Ta có: u1 = u2 = u3 = 22 u11 = 210 Suy S = u1 + u2 + + u10 = + + 22 + + 210 Suy 2S = + 22 + + 210 + 211 Suy 2S – S = (2 + 22 + + 210 + 211) − (1 + + 22 + + 210) Suy S = 211 – = 2047 Cách tổng quát: Ta có: S = u1 + u2 + u3 + u4 + u5 + u6 + u7 + u8 + u9 + u10 + u11 = u1 + u1.q + u1.q2 +⋯+ u1.q9 + u1.q10 (1) Suy S.q = u1.q + u1.q2 +⋯+ u1.q9 + u1.q10 + u1.q11 (2) Lấy (1) trừ (2), ta được: (1− q)S = u1(1 − q11) S= u1 (1 − q11 ) 1− q Vậy tổng số hạt thóc 11 đầu S = 1(1 − 211 ) = 211 − = 2047 1− Hoạt động trang 102 SGK Tốn lớp 11 Đại số: Tính tổng 1 S = + + + + n 3 Lời giải: Cách 1: Cấp số nhân có u1 = 1, q = S tổng (n + 1) số hạng n +1 1 − n +1 u1 (1 − q n +1 ) S= = = 1 − 1− q 1− Cách 2: 1 1 Ta có: S = + + + + n 3 3 1 3S = + + + + + n −1 3 3S = + S − 2S = − 3n 3n 1 3 S = − n = 1 − n +1 2 2 B Bài tập 3 Bài tập SGK trang 103 Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh dãy số 2n , 5 5 n , 2 n − cấp số nhân Lời giải: + Ta có: u n = 2n u1 = 21 = 5 Với n * , ta có: u n +1 = 2n +1 u n +1 un n +1 2 2n +1 2n = = n = n = (không đổi) n 2 2 Vậy dãy số cho cấp số nhân với u1 = + Ta có: u n = u1 = q = 5 2n 5 = 21 Với n * , ta có: 2n 2n 2n u n +1 2n +1 5 = = n +1 : n = n +1 = n +1 = n = (không đổi) 2 un 2 n Vậy dãy số cho cấp số nhân với u1 = q = 2 n 1 1 + Ta có: u n = − suy u1 = − = − 2 2 Với n * , ta có: n +1 u n +1 un n 1 1 1 − − − 2 = − (không đổi) = = n n 1 1 − − 2 2 Vậy dãy số cho cấp số nhân với u1 = −1 −1 q = 2 Bài tập SGK trang 103 Toán lớp 11 Đại số: Cho cấp số nhân (un) với công bội q a) Biết u1 = 2, u6 = 486 Tìm q b) Biết q = , u = Tìm u1 21 c) Biết u1 = 3, q = -2 Hỏi số 192 số hạng thứ mấy? Lời giải: a) Ta có: u6 = u1.q5 486 = 2.q5 q = 243 q = b) Ta có: u4 = u1.q3 2 = u1 u1 = 21 3 c) Ta có: un = u1.qn-1 192 = 3.( −2 ) n −1 ( −2 ) n −1 = 64 n – = n = Vậy số 192 số hạng thứ Bài tập SGK trang 103 Tốn lớp 11 Đại số: Tìm số hạng cấp số nhân (un) có năm số hạng, biết: a) u3 = u5 = 27; b) u4 – u2 = 25 u3 – u1 = 50 Lời giải: a) Ta có: u1.q = u = q = q = 3 u = 27 u1.q = 27 1 Với q = ta có: u1 = Ta có cấp số nhân: u1 = , u2 = 1, u3 = 3, u4 = 9, u5 = 27 3 1 Với q = -3 ta có: u1 = Ta có cấp số nhân: u1 = , u2 = -1, u3 = 3, u4 = -9, u5 = 27 3 b) Ta có: u1q ( q − 1) = 25 u1q − u1q = 25 u − u = 25 q.50 = 25 u1 ( q − 1) = 50 u q − = 50 u − u1 = 50 u1q − u1 = 50 ( ) q = q = u1 − 1 = 50 u1 = −200 Ta có năm số hạng cấp số nhân: −200 −100 −50 −25 −25 ; ; ; ; 3 3 Bài tập SGK trang 104 Toán lớp 11 Đại số: Tìm cấp số nhân có sáu số hạng, biết tổng năm số hạng đầu 31 tổng năm số hạng sau 62 Lời giải: Giả sử có cấp số nhân: u1, u2, u3, u4, u5, u6 Theo giả thiết ta có: u1 + u2 + u3 + u4 + u5 = 31 (1) u2 + u3 + u4 + u5 + u6 = 62 (2) Nhân hai vế (1) với q, ta được: u1q + u2q + u3q + u4q + u5q = 31q u2 + u3 + u4 + u5 + u6 = 31q (3) Từ (2) (3) suy 62 = 31.q Suy q = Ta có S5 = 31 u1 (1 − 25 ) 1− = 31 31u1 = 31 u1 = Vậy ta có cấp số nhân là: 1, 2, 4, 8, 16, 32 Cách khác: Ta có: S5 = u1.(1 − q ) 1− q S5’= u2 + u3 + u4 + u5 + u6 = u1q + u2q + u3q + u4q + u5q = q.( u1 + u2 + u3 + u4 + u5) = q S5 Mà S5 = 31, S5’= 62 Khi q = S (1 − q ) u1 = =1 − q5 Vậy ta có cấp số nhân 1, 2, 4, 8, 16, 32 Bài tập SGK trang 104 Toán lớp 11 Đại số: Tỉ lệ tăng dân số tỉnh X 1,4% Biết số dân tỉnh 1,8 triệu người Hỏi với mức tăng sau năm, 10 năm số dân tỉnh bao nhiêu? Lời giải: Giả sử số dân tỉnh N Vì tỉ lệ tăng dân số 1,4% nên sau năm, số dân tăng thêm 1,4%.N Vậy số dân tỉnh vào năm sau N + 1,4%.N = 101,4%.N = 101,4 N 100 Như số dân tỉnh sau năm lập thành cấp số nhân Hiện tại: u1 = N Sau năm: u = 101,4 N 100 101,4 Sau năm: u = N ; 100 Vậy N = 1,8 triệu người Áp dụng cơng thức tính số hạng tổng qt cấp số nhân thì: 101,4 Sau năm số dân tỉnh u = 1,8 1,9 (triệu người) 100 10 101,4 Vậy sau 10 năm số dân tỉnh u11 = 1,8 2,1 (triệu người) 100 Bài tập SGK trang 104 Tốn lớp 11 Đại số: Cho hình vng C1 có cạnh Người ta chia cạnh hình vuông thành bốn phần nối điểm chia cách thích hợp để có hình vng C2 (h.44) Từ hình vng C2 lại tiếp tục để hình vng C3,… Tiếp tục q trình trên, ta nhận dãy hình vng C1, C2, C3, …,Cn,… Gọi an độ dài cạnh hình vuông Cn Chứng minh dãy số (an) cấp số nhân Lời giải: Xét dãy số (an), ta có a1 = Gọi an cạnh hình vng Cn Ta tính cạnh hình vng an+1 sau: Xét tam giác BEF vng B có: 3a a BE = BA = n , BF = BC = n 4 4 2 10 10 3a a a n hay a n +1 = Do EF = BE + BF = n + n = an 4 4 2 Vậy dãy số (an) cấp số nhân với số hạng đầu a1 = công bội q = 10 ... Ta có năm số hạng cấp số nhân: −200 −100 −50 −25 −25 ; ; ; ; 3 3 Bài tập SGK trang 1 04 Tốn lớp 11 Đại số: Tìm cấp số nhân có sáu số hạng, biết tổng năm số hạng đầu 31 tổng năm số hạng sau... −1 ( −2 ) n −1 = 64 n – = n = Vậy số 192 số hạng thứ Bài tập SGK trang 103 Toán lớp 11 Đại số: Tìm số hạng cấp số nhân (un) có năm số hạng, biết: a) u3 = u5 = 27; b) u4 – u2 = 25 u3 – u1... 2 2 Vậy dãy số cho cấp số nhân với u1 = −1 −1 q = 2 Bài tập SGK trang 103 Toán lớp 11 Đại số: Cho cấp số nhân (un) với công bội q a) Biết u1 = 2, u6 = 48 6 Tìm q b) Biết q = , u