Thông tin tài liệu
Trường:…………………………… Tổ: TOÁN Ngày soạn: … /… /2021 Tiết: Họ tên giáo viên: …………………………… Ngày dạy đầu tiên:…………………………… BÀI 3: CẤP SƠ NHÂN Mơn học/Hoạt động giáo dục: Tốn - GT: 11 Thời gian thực hiện: tiết I MỤC TIÊU Kiến thức – Hiểu rõ khái niệm cấp số nhân – Nắm công thức xác định số hạng tổng quát cấp số nhân – Nắm vững tính chất cấp số nhân – Biết tính tổng n số hạng cấp số nhân – Biết vận dụng cấp số nhân vào số tốn thực tiễn (ví dụ: số vấn đề Sinh học, Giáo dục dân số, ) Năng lực - Năng lực tự học: Học sinh ln chủ động, tích cực thực cơng việc thân GV giao nhiệm vụ học tập - Năng lực giải vấn đề: Phân tích tình học tập, sống; phát nêu tình có vấn đề học tập sống Biết đặt nhiều câu hỏi có giá trị, nêu nhiều ý tưởng học tập - Năng lực tự quản lý: HS làm chủ cảm xúc thân trình học tập, sống hành ngày; hợp tác nhóm, trưởng nhóm phải biết phân cơng nhiệm vụ cho thành viên nhóm, thành viên nhóm phải ý thức nhiệm vụ hồn thành nhiệm vụ giao - Năng lực giao tiếp: Hoàn thiện khả lắng nghe, phân tích tiếp thu ý kiến người khác - Năng lực hợp tác: HS xác định rõ nhiệm vụ nhóm trách nhiệm thân trình hoạt động - Năng lực sử dụng ngơn ngữ: Học sinh nói viết xác ngơn ngữ Tốn học Phẩm chất: - Trách nhiệm: Không đổ lỗi cho người khác, có ý thức tìm cách khắc phục thiếu sót thân; quan tâm đến công việc chung Tìm hiểu chấp hành quy định chung tập thể; tránh hành vi vi phạm kỷ luật - Chăm chỉ: Tích cực học tập, rèn luyện để chuẩn bị cho nghề nghiệp tương lai Luôn cố gắng vươn lên đạt kết tốt học tập Ham học hỏi, thích đọc sách để mở rộng hiểu biết - Trung thực: Thật thà, thẳng thắn học tập, lao động sinh hoạt ngày; mạnh dạn nói lên ý kiến Ln giữ lời hứa; mạnh dạn nhận lỗi, sửa lỗi bảo vệ đúng, tốt II THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU - Kiến thức cấp số nhân - Máy chiếu - Bảng phụ - Phiếu học tập III TIẾN TRÌNH DẠY HỌC: 1.HOẠT ĐỘNG 1: MỞ ĐẦU a) Mục tiêu: Giúp học sinh xác định nhiệm vụ cụ thể cần giải học b) Nội dung: GV hướng dẫn, tổ chức học sinh tìm tịi kiến thức liên quan học H1- Hãy tính số hạt thóc sáu bàn cờ vua H2- Nếu xem số hạt thóc bàn cờ vua số hạng dãy số số hạng dãy số có quy tắc gì? H3- Có thể khái qt quy tắc phép nhân hay không? c) Sản phẩm: Câu trả lời HS L1- Số hạt thóc sáu bàn cờ vua là: 1, 2, 4, 8, 16, 32 L2- Quy tắc là: Các số hạng, từ số hạng thứ hai trở gấp đơi số hạng đứng trước L3- Có thể khái quát quy tắc phép nhân với số không đổi d) Tổ chức thực hiện: *) Chuyển giao nhiệm vụ: Giới thiệu toán cổ Ấn độ: Bàn cờ vua Tục truyền nhà Vua Ấn Độ cho phép người phát minh bàn cờ vua lụa chọn phần thưởng tùy thích Người xin nhà vua thưởng cho số hạt thóc đặt lên 64 bàn cị vua sau: Đặt lên ô thứ bàn cờ hạt thóc, tiếp đến ô thứ hai hạt, … vậy, số hạt thóc sau gấp đơi số hạt thóc liền trước cuối *) Thực hiện: Học sinh tính số thóc ô thấy liên quan số thóc liên tiếp nhau, hình thành phương pháp xác định số hạt thóc bàn cờ tìm hiểu nội dung học để trả lời câu hỏi nhà vua khơng có đủ số thóc để thưởng cho nhà thơng thái *) Báo cáo, thảo luận: - HS trả lời nhanh câu hỏi giáo viên - Các học sinh khác nhận xét, bổ sung để hoàn thiện câu trả lời *) Đánh giá, nhận xét, tổng hợp: - Học sinh tham gia tích cực trình bày hướng để giải vấn đề - Dẫn dắt vào Đặt vấn đề: - Làm để tính số thóc liên tiếp tính số hạt thóc đặt lên 64 bàn cờ vua? CẤP SỐ NHÂN Hoạt động 2: Hình thành kiến thức Hoạt động 2.1: Tìm hiểu định nghĩa tính chất cấp số nhân a) Mục tiêu: Học sinh biết khái niệm cấp số nhân b) Nội dung: - Học sinh làm việc nhóm thực phiếu học tập số 1, phiếu học tập số PHIẾU HỌC TẬP SỐ Hãy quan sát dãy số sau cho biết đặc điểm liên quan số hạng dãy số đó? Từ số hạng thứ n chứng tỏ quy luật dãy số 2;4;8;16;32;64;… 1;-3;9;-27;81;… PHIẾU HỌC TẬP SỐ Hãy quan sát dãy số sau cho biết đặc điểm liên quan số hạng đứng với hai số hạng liền trước liền sau dãy số? Từ hệ thức tổng quát nó? 2;4;8;16;32;64;… 1;-3;9;-27;81;… - Học sinh làm ví dụ Trong dãy số sau, dãy số cấp số nhân? Tìm số hạng đầu công bội? a 3;6;12;24;48 b 7;0;0;0;0;… c 1;1;1;1;1 d 0;0;0;0;… e 2;4;6;8;10 - Học sinh trả lời câu hỏi: Câu hỏi 1: Từ định nghĩa, nêu phương pháp chứng minh dãy số cấp số nhân? Câu hỏi 2: Từ định nghĩa, nêu phương pháp tìm cơng bội q cấp số nhân c) Sản phẩm: - Các câu trả lời cho phiếu học tập số 1, số I Định nghĩa tính chất cấp số nhân a Định nghĩa: Cấp số nhân dãy số (hữu hạn vơ hạn), kể từ số hạng thứ hai trở đi, số hạng tích số hạng đứng trước với số không đổi q (q gọi công bội) un+1 = un q n∈¥* - Nếu (un) cấp số nhân với cơng bội q ta có cơng thức: với b Tính chất Định lí 1:Trong cấp số nhân, bình phương số hạng (trừ số hạng đầu cuối) tích hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là: uk2 = uk −1.uk +1 c Đặc biệt: Khi Khi với uk = uk −1.uk +1 hay q=0 q =1 , cấp số nhân có dạng , cấp số nhân có dạng u1 = Khi - Đáp án ví dụ 1: a k ≥2 u1;0;0;0; u1; u1; u1; u1; ; u1; q với u1 = 3; q = 0;0;0;0; , cấp số nhân có dạng b c u1 = 7; q = u1 = 1; q = u1 = 0; q d e Không cấp số nhân - Đáp án câu hỏi 1,2 un+1 =q un ( un ) Xét = số cấp số nhân có cơng bội q d) Tổ chức thực hiện: Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ - Giáo viên chia lớp làm nhóm Nhóm 1, nhóm hồn thành phiếu học tập số Nhóm 3,4 hồn thành phiếu học tập số - Giáo viên đưa ví dụ yêu cầu học sinh làm việc cá nhân - Giáo viên đưa câu hỏi 1, cho học sinh làm việc cá nhân Bước 2: Thực nhiệm vụ - Các nhóm thảo luận, đưa câu trả lời phiếu học tập số số Viết câu trả lời vào bảng phụ - Giáo viên quan sát, theo dõi nhóm Giải thích câu hỏi nhóm chưa hiểu rõ - Các nhóm nộp sản phẩm cho giáo viên - Học sinh suy nghĩ làm ví dụ - Học sinh suy nghĩ trả lời câu hỏi 1, câu hỏi Bước 3: Báo cáo,thảo luận - Với phiếu học tập, giáo viên chọn nhóm treo bảng phụ thuyết trình, u cầu nhóm cịn lại nhận xét - Học sinh nhóm cịn lại đặt câu hỏi cho nhóm phụ trách phiếu học tập - Giáo viên gọi học sinh nhóm làm ví dụ, mối học sinh làm phần - Giáo viên gọi học sinh trả lời câu hỏi 1, Bước 4: Kết luận, nhận định Trên sở câu trả lời học sinh, giáo viên kết luận: Định nghĩa tính chất cấp số nhân Hoạt động 2.2: Tìm hiểu số hạng tổng quát cấp số nhân a) Mục tiêu: Học sinh biết công thức số hạng tổng quát cấp số nhân b) Nội dung: - Học sinh quan sát câu chuyện vui : “Cuộc mua bán kì lạ nhà tỉ phú nhà toán học” thảo luận theo nhóm trả lời câu hỏi Ngày Nhà toán học bán Nhà tỉ phú mua Ngày 10.000.000đ 500đ Ngày 10.000.000đ 1.000đ Ngày 10.000.000đ 2.000đ Ngày 10.000.000đ 4.000đ … 10.000.000đ … Ngày 20 10.000.000đ … … 10.000.000đ ? ?1: Nếu coi mua bán nhà toán học nhà tỉ phú dãy số mà số hạng dãy số số tiền mà nhà tỉ phú phải trả cho nhà toán học Dãy số có phải cấp số nhân khơng? ?2: Hãy tính số tiền mà nhà tỉ phú phải trả cho nhà toán học ngày thứ 5? ?3: Hãy tính số tiền mà nhà tỉ phú phải trả cho nhà toán học ngày thứ 20? ?4: Hãy tính số tiền mà nhà tỉ phú phải trả cho nhà toán học ngày thứ n? - Học sinh làm ví dụ 2: Cho cấp số nhân ( un ) biết a b u1 = 2, q = u3 = 1, q = Tính Tính u9 ? u10 u1 = 3, q = − ? 256 c Hỏi số hạng thứ cấp số nhân? c) Sản phẩm: - Đáp án câu hỏi câu chuyện vui ?1: Coi u1 = 500 u2 = 1.000 = 500 × = u1 × u3 = 2.000 = 1000 × = u2 × u4 = 4.000 = 2000 × = u3 × Vậy dãy số cấp số nhân có số hạng đầu ?2: ?3: u5 = 8.000 u1 = 500 , công bội q=2 u20 = 500.219 un = 500.2n−1 = u1.q n−1 ?4: - Công thức số hạng tổng quát cấp số nhân II Số hạng tổng quát u1 un Định lí 2: Nếu cấp số nhân có số hạng đầu cơng bội q số hạng tổng qt xác un = u1 ×q n−1 , n ≥ định cơng thức: - Đáp án ví dụ a u9 = 2.58 u3 = u1.q ⇔ = u1.22 ⇔ u1 = b ⇒ u10 = u1.q = 29 = 27 n −1 un = u1.q n −1 1 ⇔ = 3. − ÷ 256 2 n −1 1 ⇔ = − ÷ ⇔ = n −1 ⇔ n = 256 c d) Tổ chức thực hiện: Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ - Giáo viên chiếu câu chuyện vui (hoặc dùng bảng phụ) cho học sinh quan sát câu chuyện câu hỏi Cho học sinh nhóm trả lời câu hỏi - Giáo viên đưa ví dụ Bước 2: Thực nhiệm vụ - Học sinh thảo luận, đưa câu trả lời, viết câu trả lời vào bảng phụ - Giáo viên quan sát, theo dõi nhóm - Học sinh suy nghĩ cá nhân làm ví dụ Bước 3: Báo cáo,thảo luận - Các nhóm nộp sản phẩm Giáo viên treo bảng phụ gọi học sinh nhóm giải thích câu trả lời - Học sinh giải thích câu trả lời Các học sinh nhóm khác nhận xét - Giáo viên gọi học sinh lên bảng làm ví dụ Học sinh lên bảng Các học sinh khác nhận xét, bổ sung Bước 4: Kết luận, nhận định Trên sở câu trả lời học sinh, giáo viên kết luận công thức số hạng tổng quát cấp số nhân Hoạt động 2.4: Tìm hiểu tổng n số hạng đầu cấp số nhân a) Mục tiêu: Học sinh biết cơng thức tính tổng n số hạng đầu cấp số nhân b) Nội dung: - Học sinh hoàn thành phiếu học tập số PHIẾU HỌC TẬP SỐ Cho cấp số nhân Tính tổng ( un ) có số hạng đầu u1 , cơng bội q Sn = u1 + u2 + u3 + + un Yêu cầu học sinh +) Trong cơng thức tính tổng Sn chuyển số hạng từ Sn u2 đến un u1 theo +)Viết lại công thức theo q (gọi hệ thức (1)) +) Nhân vế (1) với q (gọi hệ thức (2)) Sn +) Lấy (1)-(2) ta hệ thứ nào? Từ rút - Học sinh làm ví dụ 3: Quay lại câu chuyện vui : “Cuộc mua bán kì lạ nhà tỉ phú nhà tốn học” a Tính số tiền mà nhà tỉ phú phải trả cho nhà toán học sau 20 ngày? b Tính số tiền mà nhà tỉ phú thu sau 20 ngày? c Hỏi người có lãi? c) Sản phẩm: - Các phương án trả lời cho phiếu học tập số - Nội dung định lí III Tổng n số hạng đầu cấp số nhân Định lí ( un ) Cho cấp số nhân Sn = u1 ( − q a với công bội n ) Đặt Sn = u1 + u2 + u3 + + un 1− q Khi - Đáp án ví dụ 3: S20 = q ≠1 500 ( − 220 ) 1− = 524.287.500 S20 = 10.000.000 × 20 = 200.000.000 b c Vậy nhà tốn học có lãi d) Tổ chức thực hiện: Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ u1 q - Giáo viên cho nhóm hoàn thành phiếu học tập số - Giáo viên cho học sinh nhóm làm ví dụ Bước 2: Thực nhiệm vụ - Học sinh thảo luận, đưa câu trả lời, viết câu trả lời vào bảng phụ - Giáo viên quan sát, theo dõi nhóm - Học sinh nhóm thảo luận, tìm câu trả lời cho ví dụ Bước 3: Báo cáo,thảo luận - Các nhóm nộp sản phẩm Giáo viên chọn sản phẩm nhóm để treo, gọi thành viên nhóm khác nhận xét - Các học sinh đặt câu hỏi để hiểu - Nhóm nhanh nhất, lên bảng trình bày ví dụ Bước 4: Kết luận, nhận định Trên sở câu trả lời học sinh, giáo viên kết luận đưa định lí 3 HOẠT ĐỘNG 3: LUYỆN TẬP Hoạt động 3.1: Học sinh thực hành theo nhóm trả lời phiếu học tập a) Mục tiêu: Giúp HS củng cố kiến thức, phân biệt cấp số cộng cấp số nhân HS biết áp dụng kiến thức cấp số nhân vào tập cụ thể HS thực dạng tập SGK b) Nội dung: PHIẾU HỌC TẬP SỐ Câu 1: Hãy so sánh giống khác cấp số cộng cấp số nhân Cho ví dụ cụ thể trường hợp Câu 2: Hệ thống lại cơng thức tính cấp số cộng cấp số nhân PHIẾU HỌC TẬP SỐ u ( n) −1 −9 27 −81 Cho cấp số nhân với số hạng đầu là: ; ; ; ; q a) Tìm cơng bội CSN? b) Tìm số hạng CSN? PHIẾU HỌC TẬP SỐ 3 un = 2n ( un ) Chứng minh dãy số cấp số nhân biết PHIẾU HỌC TẬP SỐ ( un ) u3 = −18 u5 = −162 Cho cấp số nhân có a) Tính số hạng đầu cơng bội cấp số nhân b) Tính tổng 2021 số hạng c) Sản phẩm: học sinh thể bảng nhóm kết làm d) Tổ chức thực Chuyển giao GV: Chia lớp thành nhóm Phát phiếu học tập theo số thứ tự nhóm HS: Nhận nhiệm vụ, GV: điều hành, quan sát, hỗ trợ HS: nhóm tự phân cơng nhóm trưởng, hợp tác thảo luận thực nhiệm Thực vụ Ghi kết vào bảng nhóm Đại diện nhóm trình bày kết thảo luận Báo cáo thảo luận Các nhóm khác theo dõi, nhận xét, đưa ý kiến phản biện để làm rõ vấn đề GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời nhóm học sinh, ghi Đánh giá, nhận xét, tổng hợp nhận tuyên dương nhóm học sinh có câu trả lời tốt Hướng dẫn HS chuẩn bị cho nhiệm vụ Hoạt động 3.2: Học sinh thực hành cá nhân a) Mục tiêu: HS biết áp dụng kiến thức cấp số nhân HS thực dạng tập cấp số nhân b) Nội dung: PHIẾU HỌC TẬP CÁ NHÂN ( un ) Câu u1 Cho cấp số nhân có số hạng đầu Khẳng định sau ? un = u1 + ( n − 1) q A q , công bội Câu Câu Câu B Sn = q −1 ∗ un = 3n − 2, ∀n ∈ ¥ ∗ = −3.2n , ∀n ∈ ¥ ∗ an = 2n − , ∀n ∈ ¥ Cho dãy số sau: ; ; ; −n ∗ bn = + , ∀n ∈ ¥ Hỏi có dãy số cấp số nhân? A B C D ( un ) u1 = Cho cấp số nhân có số hạng khơng âm số hạng đầu , số hạng thứ u5 = 80 10 Tìm số hạng thứ cấp số nhân ? u10 = 5120 u10 = 2560 u10 = −5120 u10 = 21 A B C D ( un ) u4 = 7, u7 = 175 Cho cấp số nhân biết Tìm số hạng tổng quát cấp số nhân đó? −7 n −1 n −1 n −3 u = − ( ) n n − un = −7.5 ( −1) A B C Câu u1 ( − q n ) D un = −7.5n −4 ( −1) Câu n ≥ n∈¥ , un = u1.q n −1 un − un −1 = q C Với giá trị un = −7.5n −1 ( −1) n −1 ( un ) D u1 = Cho cấp số nhân với số hạng đầu 10 số hạng đầu cấp số nhân S10 = 2044 S10 = 8188 A B n −1 u6 = 256 , số hạng thứ Tìm tổng S10 = −2044 C S10 = 4092 D Xác định x số thực dương để x − ; x ; x + lập thành cấp số nhân A x=3 B x= C x=± D x ∈∅ ( un ) Câu Cho cấp số nhân ( un ) ? A Số hạng thứ C Số hạng thứ u1 = −3 có q = −2 , cơng bội Hỏi −192 B Số hạng thứ D Số hạng thứ số hạng thứ ( un ) u1 = u2 = 48 Câu Cho cấp số nhân hữu hạn có số hạng đầu ; số hạng cuối Tổng tất số hạng cấp số nhân S = 93 S = 11 S = 96 S = 48 A B C D 1023 − ( un ) q=2 Câu Cho cấp số nhân có cơng bội , tổng 10 số hạng Tìm số ( un ) u1 hạng đầu cấp số nhân 1 u1 = − u1 = u1 = −2 u1 = 2 A B C D ( un ) u1 = 5,u5 = 405 Sn = u1 + u2 + + un = 1820 n Câu 10 Cho cấp số nhân biết tổng Tìm ? A B C D c) Sản phẩm: học sinh thể phiếu học tập kết làm d) Tổ chức thực Chuyển giao GV: Phát phiếu học tập cho học sinh HS: Nhận nhiệm vụ, GV: điều hành, quan sát, hỗ trợ Thực HS: thảo luận thực nhiệm vụ Ghi kết vào phiếu học tập Từng học sinh trình bày kết câu hỏi Báo cáo thảo luận Các học sinh khác theo dõi, nhận xét, đưa ý kiến phản biện để làm rõ vấn đề Đánh giá, nhận xét, tổng hợp GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời học sinh, ghi nhận tuyên dương học sinh có câu nhanh Hướng dẫn HS chuẩn bị cho nhiệm vụ HOẠT ĐỘNG 4: VẬN DỤNG a) Mục tiêu: Giải số toán ứng dụng cấp số nhân thực tế Ngoài ứng dụng thực tế, cấp số nhân cịn sử dụng để tích hợp liên mơn với mơn Địa lí, Sinh học, Vật lý b) Nội dung Giáo viên quay trở lại câu chuyện hạt thóc hoạt động khởi động, áp dụng công thức vừa học để tính số lượng thóc mà nhà vua phải thưởng cho nhà thông thái khối lượng u1 = 1, q = Số hạt thóc tổng 64 số hạng đầu cấp số nhân có : 1(1 − 264 ) S= = 264 − 1− 20 ( 264 − 1) 1000 gam ≈ Giả sử 1000 hạt thóc nặng 20gam, khối lượng thóc 369 tỷ Như nhà vua nhầm nghĩ thừa sức để thưởng cho nhà thông thái Sêram Trong ngày nay, toàn giới sản xuất khoảng tỷ lương thực năm Nếu đem rải số thóc lên bề mặt trái đất lớp thóc dày 9mm Nhà vua khơng thể có số thóc khổng lồ Qua đây, ta thấy đơi có việc thật nhỏ kết hợp lại tạo nên sức mạnh vô to lớn Và qua cho ta học rằng, đừng xem thường điều tưởng chừng nhỏ nhoi Câu Câu Câu PHIẾU HỌC TẬP 1, 4% Tỉ lệ tăng dân số Thành phố A Biết số dân Thành phố A 1,8 triệu người Số dân sau năm tỉnh bao nhiêu? Một người làm với mức lương khởi điểm triệu đồng tháng Cứ sau sáu tháng, lương người lại tăng thêm 5% Tính tổng số tiền lương người nhận sau mười năm làm? C1 Cho hình vng có cạnh Người ta chia cạnh hình vng thành bốn C2 phần nối điểm chia cách thích hợp để có hình vng C2 vng C3 , lại làm tiếp để hình vng C1 , C2 , C3 , , Cn , dãy hình vng Tiếp tục q trình ta nhận an Gọi Cn độ dài cạnh hình vng ( an ) Câu Từ hình q Dãy số có cấp số nhân khơng? Nếu có tìm cơng bội Tế bào E.Coli điều kiện ni cấy thích hợp 20 phút lại phân đôi lần a) Hỏi tế bào sau mười lần phân chia thành tế bào? 105 b) Nếu có tế bào sau hai phân chia thành tế bào? c) Sản phẩm: Sản phẩm trình bày nhóm học sinh d) Tổ chức thực Chuyển giao GV: Chia lớp thành nhóm Phát phiếu học tập cuối tiết HS: Nhận nhiệm vụ, làm câu hỏi theo số thứ tự nhóm Các nhóm HS thực tìm tịi, nghiên cứu thảo luận ghi kết vào bảng trả lời nhóm HS cử đại diện nhóm trình bày sản phẩm vào tiết sau Báo cáo thảo luận Các nhóm khác theo dõi, nhận xét, đưa ý kiến phản biện để làm rõ vấn đề Thực Đánh giá, nhận xét, tổng hợp GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời nhóm học sinh, ghi nhận tuyên dương nhóm học sinh có câu trả lời tốt - Chốt kiến thức tổng thể học - Hướng dẫn HS nhà tự xây dựng tổng quan kiến thức học sơ đồ tư Ngày tháng năm 2021 TTCM ký duyệt ... dãy số sau: ; ; ; −n ∗ bn = + , ∀n ∈ ¥ Hỏi có dãy số cấp số nhân? A B C D ( un ) u1 = Cho cấp số nhân có số hạng khơng âm số hạng đầu , số hạng thứ u5 = 80 10 Tìm số hạng thứ cấp số nhân. .. un ) D u1 = Cho cấp số nhân với số hạng đầu 10 số hạng đầu cấp số nhân S10 = 2 044 S10 = 8188 A B n −1 u6 = 256 , số hạng thứ Tìm tổng S10 = −2 044 C S10 = 40 92 D Xác định x số thực dương để x... phân biệt cấp số cộng cấp số nhân HS biết áp dụng kiến thức cấp số nhân vào tập cụ thể HS thực dạng tập SGK b) Nội dung: PHIẾU HỌC TẬP SỐ Câu 1: Hãy so sánh giống khác cấp số cộng cấp số nhân Cho
Ngày đăng: 19/03/2022, 08:15
Xem thêm:
