Bai giang day so cap so cong va cap so nhan toan 11 canh dieu

LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ CS 1: TRUNG TÂM MASTER EDUCATIPM- 25 THẠCH HÃN CS 2: TRUNG TÂM 133 XUÂN 68 CS 3: TRUNG TÂM 168 MAI THÚC LOAN CS 4: TRUNG TÂM TRƯỜNG NGUYỄN TRƯỜNG TỘ TOÁN 11- CÁNH DIỀU TÀI LIỆU DÀNH CHO HỌC SINH LỚP TOÁN THẦY CƯ-TP HUẾ (Chiêu sinh thường xuyên, bổ trợ kiến thức kịp thời)  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com Mục lục BÀI 1: DÃY SỐ A TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng Tìm số hạng dãy số Phương pháp Các ví dụ Dạng Tính tăng giảm dãy số Phương pháp Các ví dụ Dạng Dãy số bị chặn Phương pháp Các ví dụ C GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA 16 BÀI 2: CẤP SỐ CỘNG 35 A TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 35 B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP 35 Dạng Nhận dạng dãy số cấp số cộng 35 Phương pháp 35 Các ví dụ rèn luyện kĩ 35 Dạng Xác định số hạng , công sai số hạng tổng quát cấp số cộng 36 Phương pháp 36 Các ví dụ rèn luyện kĩ 36 Dạng Tính tổng số hạng cấp số cộng 37 Phương pháp 37 Các ví dụ rèn luyện kĩ 37 Dạng 4: Giải phương trình ( tìm x cấp số cộng) 38 Phương pháp 38 Các ví dụ rèn luyện kĩ 38 Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 19  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com Dạng Chứng minh hệ thức cấp số cộng lập thành cấp số cộng, tốn có sử dụng yếu tố cấp số cộng 39 Phương pháp 39 Các ví dụ rèn luyện kĩ 39 C GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA 41 D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 45 BÀI 3: CẤP SỐ NHÂN 55 A TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 55 B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP 56 Dạng Chứng dãy số cấp số nhân 56 Phương pháp 56 Các ví dụ rèn luyện kĩ 56 Dạng Xác định số hạng cấp số nhân, tổng cấp số nhân 58 Phương pháp 58 Các ví dụ rèn luyện kĩ 58 GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 Dạng Các toán thực tế 70 C GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA 72 D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 75 ÔN TẬP CHƯƠNG 92 PHẦN 1: GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA 92 PHẦN 2: BÀI TẬP TỔNG ÔN CHƯƠNG 100 Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com CHƯƠNG II: DÃY SỐ CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN BÀI 1: DÃY SỐ A TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I Khái niệm Ta có khái niệm sau: -Mỗi hàm số u : 1; 2;3;; m   m  * gọi dãy số hữu hạn Do số nguyên   dương k 1  k  m  tương ứng với số uk nên ta viết dãy số dạng khai triển: u1 , u2 , u3 , , um -Số u1 gọi số hạng đầu, số um gọi số hạng cuối dãy số Ta có khái niệm dãy số vơ hạn (gọi tắt dãy số) sau: -Mỗi hàm số u : *   gọi dãy số vô hạn Do số nguyên dương n tương ứng với số un nên ta viết dãy số dạng khai triển: u1 , u2 , u3 ,  , un ,  -Dãy số cịn viết tắt  un  -Số u1 gọi số hạng thứ (hay số hạng đầu), số u2 gọi số hạng thứ hai, , số un gọi GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 số hạng thứ n số hạng tổng quát dãy số Chú ý: Dãy số khơng đổi dãy số có tất số hạng II CÁCH CHỌN MỘT DÃY SỐ Ta cho dãy số cách sau: - Liệt kê số hạng dãy số (với dãy số hữu hạn có số hạng) - Diễn đạt lời cách xác định số hạng dãy số - Cho công thức số hạng tổng quát dãy số - Cho phương pháp truy hồi III DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM - Dãy số  un  gọi dãy số tăng un 1  un với n  * - Dãy số  un  gọi dãy số giảm un 1  un với n  * Chú ý: Không phải dãy số dãy số tăng hay dãy số giảm Chẳng hạn, dãy số  un  với un  (1)n có dạng khai triển: 1,1, 1,1, 1,  không dãy số tăng, không dãy số giảm IV DÃY SỐ BỊ CHẶN - Dãy số  un  gọi bị chặn tồn số M cho un  M với n  * - Dãy số  un  gọi bị chặn duới tồn số m cho un  m với n  * - Dãy số  un  gọi bị chặn vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới; tức tồn số * m M cho m  un  M với n   Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo: 0834332133  BÀI GIẢNG TỐN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng Tìm số hạng dãy số Phương pháp Một dãy số cho bằng: - Liệt kê số hạng (chỉ dùng cho dãy hữu hạn có số hạng); - Công thức số hạng tồng quát; - Phương pháp mô tả; - Phương pháp truy hồi Các ví dụ Ví dụ Cho dãy số ( un ) xác định un  n  (1)n Tìm số hạng dãy số 2n  Lời giải Ta có un  n  (1) n  u1  0; u2  ; u3  ; u4  ; u5  2n  11 Ví dụ Cho dãy số  un  , từ dự đốn un  u1   u n 1  4un GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133  u1  ;  u n 1  un  a)  un  :  b)  un  :  Lời giải a) Ta có: u1  u   1.3 u   2.3 u   3.3 u n    n  1  * b) Ta có u1  u  3.4 u  3.42 u  3.43 u n  3.4n 1 * Ví dụ Cho dãy số  un  , từ dự đốn un  u1  ;  u n 1  2un  a)  un  :   u1  b)  un  :   un 1   u n Lời giải Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo: 0834332133  BÀI GIẢNG TỐN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com a) Ta có: u1   2  u   23  u  13  24  u  29  25  u n  2n 1   * b) Ta có u1   32  u  10  32  u  11  32  u  12  32  u n  33  n   * Dạng Tính tăng giảm dãy số Phương pháp  (un) dãy số tăng  un+1 > un,  n  N*  (un) dãy số giảm un1 un GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133  un+1 – un > ,  n  N*   ,n  N* ( un > 0)  un+1 < un với n  N*  un+1 – un< ,  n  N*  un1 un  , n  N* (un > 0) Các ví dụ Ví dụ Xét tính đơn điệu dãy số sau: a) un  2n  b) un  n 2n Lời giải a) Ta có: un  2n  3; un 1  2(n  1)   2n   un 1  un  (2n  5)  (2n  3)  Suy un1  un  dãy số cho dãy tăng un 1 n 1 n  2n n  1 n   n 1    b) Ta có: un  n ; un 1  n1  2 un 2 n n n n Giả sử: un 1 n  1 n 1  1   n   4n  3n   vô lý un n n Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU Vậy  WEB: Toanthaycu.com un 1   un1  un  dãy số cho dãy số giảm un Ví dụ Xét tính đơn điệu dãy số sau: a) un  n n 1 b) un  n 1  n n Lời giải a) Ta có: un  n n 1 n 1 ; un 1   2 n 1 (n  1)  n  2n  2 (n  1)  n  1  n  n  2n   n 1 n  un 1  un    n  2n  n   n2  1 n2  2n  2 n  n  n   n  2n  2n n  n     0n    un  dãy số giảm  n2  1 n2  2n  2  n  1 n2  2n   b) un  n 1  n n 1 n2    un 1  1 n n n 1 Khi ta có: GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133  n    n 1  n2 n  n n   (n  1) n  un1  un    1    1    n 1 n n(n  1)  n 1   n  Giả sử: un1  un   n n   ( n  1) n    n n   ( n  1) n   n2 ( n  2)  (n  1)3  n3  2n2  n3  3n2  3n   n  3n    vô lý Vậy un1  un    un  dãy số giảm Ví dụ Xét tính đơn điệu dãy số sau: a) un  2 n b) un  n 1 n 1 Lời giải a) un  1   1    un1    un 1  un    2    2     un 1  un n n 1 n  n  1  n 1  n  Vậy dãy số  un  dãy số giảm b) un  n 1  1 n 1 n 1 Khi đó: un1   2      un 1  un      un 1  un   1   n2  n    n    n  1 n   Vậy dãy số  un  dãy số tăng Ví dụ Xét tính đơn điệu dãy số sau: Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU a) un   WEB: Toanthaycu.com 2n  5n  b) un  2n  Lời giải a) un  2n  2    un 1   5n   n   5  5n   2 Khi đó: un1  un    5   2  1   un1  un         5n     5  5n     5n   5n   Vậy  un  dãy số giảm b) un  2n   un 1   n  1  Khi un 1  un   n  1    2n    4n    un 1  un   un  dãy số tăng Ví dụ Xét tính đơn điệu dãy số sau: a) un  2n  n2  b) un  n   n Lời giải * Với n  N   n  1  n   n  1  1 3  2  2  un 1  un n 1 n  n       un  dãy số tăng b) un  n   n  Do n   * nên n  n 1  un1  n 1  n  n   n   n   n  un1  1  un  n   n 1 n 1  n  un 1  un   un  dãy số giảm Ví dụ Xét tính đơn điệu dãy số sau: a) un  3n  2n  n 1 b) un  n 1 1 n Lời giải a) un  3n  2n  6  3n    un 1  3n   n 1 n 1 n 1 Khi đó: un1  un  3n   6     3n     3 n2  n 1 ( n  1)(n  2) Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 2n  3  2  un 1   a) un  2 n 1 n 1  n  1   BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com n  6  (n  1)(n  2)   1 3   un 1  un (n  1)(n  2) ( n  1)(n  2) n  N Với    un  dãy số tăng b) Ta có: un  n 1 1  n n n   n 1 1  n 1 1 Khi n tăng dễ thấy mẫu số tăng, phân số giảm nên dãy số cho dãy số giảm Ví dụ Xét tính tăng - giảm dãy số  un  3n với un  n 1 Lời giải un1 3n 1 2n 1 3n 1  n  n   Ta có: un1  n   un Do un  0, n  *  un1  un , n  *   un  tăng Ví dụ Xét tính tăng - giảm dãy số  un  với un  n 2n Lời giải Với n  *  n   GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 n 1 un 1 n  2n n  1  n1    1 Ta có: un1  n 1  un n n n u 1   n 1  1 n un Mà un  0, n  *  un1  un , n  *   un  giảm Ví dụ Xét tính tăng - giảm dãy số  un  3n với un  n Lời giải un 1 un 3n 1 3n 1 n 1   n     n  3  1   Ta có: un1    2 (n  1) un (n  1) un1  n   n 1 Khi đó: un 1       1  n  mà n   *  n  un 1 n n 1 un 1   1    1  n  mà n   *  n  un 1 n n 1 un 1  un  n  un 1  un  n  Hơn un  0, n  * nên  Do u1  u2 u2  u3    un  un 1     un  không tăng không giảm Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133  BÀI GIẢNG TỐN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com Ví dụ 10 Xét tính tăng - giảm dãy số  un  với un  n  n  Lời giải Ta có: un1  n   n  un 1  un  n   n  n  Lại có:    n 1  n 1  n   2n  n   4n    n   n  0, n  *  n   n   n , n  *  un 1  un  0, n  *   un  giảm Ví dụ 11 Với giá trị a dãy số  un  , với un  na  n 1 a) dãy số tăng b) dãy số giảm Lời giải Ta có: un  na  2a 2a a2 a  un 1    un 1  un  n 1 n 1 n2  n  1 n   a2   a   n  1 n   b) Để  un  dãy số giảm un 1  un  a2 0a2  n  1 n   GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 a) Để  un  dãy số tăng un 1  un  Dạng Dãy số bị chặn Phương pháp  (un) dãy số bị chăn trên M  R: un  M, n  N*  (un) dãy số bị chặn  m  R: un  m, n  N*  (un) dãy số bị chặn  m, M  R: m  un  M, n  N* Chú ý: +) Trong điều kiện bị chặn khơng thiết phải xuất dấu ‘’ +) Nếu dãy số tăng ln bị chặn u1 ; cịn dãy số giảm bị chặn u1 Các ví dụ Ví dụ Xét tính bị chặn dãy số sau: n2  a) un  2n  b) un  7n  5n  Lời giải 5 un  2    n   n   2  2n   n2  a) Viết lại un dạng: Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU A 10000  WEB: Toanthaycu.com B 10100 C 20000 D 20200 Lời giải Chọn A Các số tự nhiên lẻ lập thành cấp số cộng với số hạng đầu u1  cơng sai d  Do tổng 100 số hạng cấp số cộng là: S100  Bài 5: 100 1   99.2   10000 Trong dãy số  un  cho phương pháp truy hồi sau, dãy số cấp số nhân? A Dãy số  un  xác định bởi: u1  un  un 1  n  1 với n  B Dãy số  un  xác định bởi: u1  un  2un 1  với n  C Dãy số  un  xác định bởi: u1  un  un21 với n  D Dãy số  un  xác định bởi: u1  un  un 1 với n  Lời giải Chọn D Bài 6: Cho cấp số nhân  un  có u1  1 , cơng bội q   A 2016 B 2017 GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 Dãy số  un  xác định bởi: u1  un  un 1 với n  cấp số nhân với số hạng đầu u1  q  1 Khi 2017 số hạng thứ: 10 10 C 2018 D 2019 Lời giải Chọn C   Số hạng tổng quát cấp số nhân là: u n   1      10   1 Xét un   1      10  n 1 n 1  1  1        10   10   n   2017  n 1 102017 2017  n  2018 Bài 7: Trong dãy số  un  sau đây, dãy số dãy số tăng? A un  sinn B un  n(1)n C u n  n D un  2n1 Lời giải Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 93  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com Chọn D Ta có: un1  2n11  2n2 Xét hiệu un1  un  2n2  2n  3.2n  với n  * Vậy dãy số cho dãy số tăng Bài 8: Xét tính tăng, giảm bị chặn dãy số  un  sau, biết số hạng tổng quát: n2 a) un  ; b) un  n c) un  (1)n  n2 n 1 Lời giải ( n  1) ( n  1) a) Ta có: un 1   n 11 n2 Xét hiệu u n 1  u n   (n  1)3  n  n   n  3n  3n   n3  2n (n  1) n2    n2 n 1  n   n  1  n   n  1 n  3n   n  N *  n   n  1   Vì dãy số cho dãy số tăng GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 b) Ta có: un 1  n 1 Xét hiệu un 1  un  n 1     n   n 1  n 5 5 Vì dãy số cho dãy số giảm Bài 9: Cho cấp số cộng  un  Tìm số hạng đầu u1 , cơng sai d trường hợp sau: a) u2  u5  42 u4  u9  66 ; b) u2  u4  22 u1  u5  21 Lời giải a) Ta có: u2  u5  u1  d  u1  3d  42  2u1  d  42 Ta lại có: u  u  u1  d  u1  d  2u1  11 d  66 Khi ta có hệ phương trình:  99  2u1  4d  42 u1    2u1  11d  66  d  24   Vậy số hạng đầu cấp số cộng là: u1  99 24 công sai d  7 b) Ta có: u2  u4  u1  d  u1  3d  22 Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 94  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com  2u1  d  22  u1  d  11  u1  11  d Ta lại có: u1.u5  u1  u1  4d   21 Thay u1  11  2d vào biểu thức được: 11  2d 11  2d  4d   21  11  2d 11  2d   21  121  4d  21  d  d  5 Với d  u1  Với d  5 u1  21 Bài 10: Cho cấp số nhân  un  Tìm số hạng đầu u1 , cơng bội q trường hợp sau: a) u6  192 u7  384 b) u1  u2  u3  u5  u2  14 Lời giải a) Ta có u6  u1  q5  192 u7  u1  q6  384 GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 u6 u1q 192 Xét:     u7 u1  q q 384 1 Suy ra: u1  192 :    6144 2 Vậy cấp số nhân có số hạng đầu u u1  6144 công bội q  b) Ta có: u1  u2  u3  u1  u1  q  u1  q2     u1  q  q  Và u5  u2  u1  q  u1  q  14    u1q q3   14 Suy ra:   u1  q  q   u1q q   u1  q  q    u1q  q  1  q  q  14  14 Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 95  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com   q  q  1  q2  q   q     q  1 q  u1  q  1 u1  Bài 11: Tứ giác ABCD có số đo bốn góc A, B, C , D theo thứ tự lập thành cấp số cộng Biết số đo góc C gấp lần số đo góc A Tính số đo góc tứ giác ABCD theo đơn vị độ Lời giải Do A, B, C, D theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên ta có: B  A  d ; C  A  2d ; D  A  3d Mặt khác: A  B  C  D  360  A  A  d  A  2d  A  3d  360  A  6d  360  A  3d  180 Ta lại có:  A  180  A  22,5 d  45  B  67,5 , C  112,5 , D  157, 5 Bài 12: Người ta trồng theo hàng ngang với quy luật: hàng thứ có cây, hàng thứ hai có cây, hàng thứ ba có cây, hàng thứ n có n Biết người ta trồng hết 4950 Hỏi số hàng trồng theo cách bao nhiêu? Lời giải Giải sử người ta trồng n hàng Số hàng lập thành cấp số cộng với u1  , công sai d  Tổng số n hàng là: Sn  n 1  n   n  n  1 2  n  n  9900   4950  n  99 ( thảo mãn )   n  100 ( không thảo mãn ) Vậy có 99 hàng trồng theo cách Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 96 GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 A  2d  A  d  A  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com Bài 13: Một tháp có 11 tầng Diện tích mặt sàn tầng nửa diện tích mặt đáy tháp diện tích mặt sàn tầng nửa diện tích mặt sàn tầng bên Biết mặt đáy tháp có diện tích 12288 m Tính diện tích mặt sàn tầng tháp theo đơn vị mét vuông Lời giải   Diện tích mặt đáy tháp u1  12288 m Diện tích mặt sàn tầng là: u2  12 288  6144 m   Gọi diện tích mặt sàn tầng n un với n  * Dãy un lập thành cấp số nhân u1  12288 công bội q  1 quát là: un  12288   2 , có số hạng tổng n 1 Diện tích mặt tháp mặt tháp thứ 11 nên ta có: 111 1 u11  12 288   2    12 m nhiệt độ nước giảm 20% Tính nhiệt độ khay nước sau theo đơn vị độ C Lời giải Gọi un nhiệt độ khay nước sau n (đơn vị độ C ) với n  N* Ta có: u1  23; u2  23  23.20%  23 1  20%   23.80%; u3  23.80%.80%  23.(80%) ; Suy dãy un lập thành cấp số nhân với số hạng đầu u1  23 công bội q  80% có số hạng tổng quát un  23.(80%)n1 độ C Vậy sau nhiệt độ khay u6  23  (80%)5  7,5 C Bài 15: Cho hình vng C1 có cạnh Người ta chia cạnh hình vng thành bốn phần nối điểm chia cách thích hợp để có hình vng C2 (Hình 4) Từ hình vng C2 lại làm tiếp tục để có hình vng C3 Cứ tiếp tục q trình trên, ta nhận dãy hình vng C1 , C2 , C3 ,, Cn , Gọi an độ dài cạnh hình vng Cn Chứng minh dãy số  an  cấp số nhân Lời giải Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 97 GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 Bài 14: Một khay nước có nhiệt độ 23  C đặt vào ngăn đá tủ lạnh Biết sau giờ,  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com Độ dài cạnh hình vng là: a1  Độ dài cạnh hình vng thứ n là: a n  10  Độ dài cạnh hình vng thứ n  là: an 1     an   Suy ra: an 1 10  an Vậy  an  cấp số nhân với số hạng đầu a1  công bội q  10 Bài 16: Ông An vay ngân hàng tỉ đồng với lãi suất 12% / năm Ông trả nợ theo cách: Bắt đầu từ tháng thứ sau vay, cuối tháng ông trả ngân hàng số tiền a (đồng) trả hết nợ sau năm kể từ ngày vay Hỏi số tiền tháng mà ông An phải trả đồng (làm trịn kết đến hàng nghìn)? Lời giải Gọi un số tiền sau tháng ông An nợ ngân hàng Lãi suất tháng 1% Ta có: u  u1  u1 1%  a  u1 1  1%   a (đồng) u3  u1 1  1%   a  u1 1  1%   a  1%  a  u1 (1  1%)  a 1  1%   a  un  u1 (1  1%)n1  a(1  1%)n2  a(1  1%)n3  a(1  1%)n4  a Ta thấy dãy a (1  1%) n 2 ; a (1  1%) n3 ; a (1  1%) n ;; a lập thành cấp số nhân với số hạng đầu a1  a công bội q   1%  99% có tổng n  số hạng đầu là:  a  (%) n    100a 1  (99%) n2    99% Suy u n  u1 (1  1%) n1  100a 1  (99%) n 2  Sn2  Vì sau năm = 24 tháng ơng An trả xong số tiền nên n  24 u 24  Do ta có: u24  u1 (1  1%) 23  100a 1  (99%) 22    1000000000.(99%) 23  100a 1  (99%) 22    a  40006888, 25 Vậy tháng ông An phải trả 40006888,25 đồng Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 98 GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 u1  1000000000 đồng  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 99  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com PHẦN 2: BÀI TẬP TỔNG ÔN CHƯƠNG PHẦN 1: TRẮC NGHIỆM Câu 1: Khẳng định sau sai? A Dãy số có un 1  a.3n 1 B Hiệu số un 1  un  3.a C Với a  dãy số tăng D Với a  dãy số giảm Lời giải Chọn B Ta có un 1  un  a.3n1  a.3n  a.3n   1  2a.3n Câu 2: Cho dãy số  un  với un  2n  Dãy số  un  dãy số A Bị chặn B Giảm C Bị chặn D Tăng Lời giải Chọn D n  * ta có: un 1  un   n  1    2n  1   nên un 1  un dãy số  un  tăng Câu 3: Cho cấp số cộng  un  có u1  công sai d  Hỏi kể từ số hạng thứ trở A 287 B 289 C 288 D 286 Lời giải Chọn B Ta có: un  u1   n  1 d    n  1  n  ; un  2018  n   2018  n  2022 Vậy n  289 Câu 4: Xác định số hàng đầu u1 công sai d cấp số cộng  un  có u9  5u2 u13  2u6  A u1  d  B u1  d  C u1  d  D u1  d  Lời giải Chọn A u1  8d   u1  d  Ta có: un  u1   n  1 d Theo đầu ta có hpt:  u1  12d   u1  5d   4u  3d  u    d  u1  2d  5 Câu 5: Cho cấp số cộng  un  có u4  12 , u14  18 Tính tổng 16 số hạng cấp số cộng A S16  24 B S16  26 C S16  25 D S16  24 Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 100 GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 số hạng  un  lớn 2018 ?  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com Lời giải Chọn D u  3d  12 u  21  Gọi d công sai cấp số cộng Theo giả thiết, ta có  u  13 d  18 d    Khi đó, S16  Câu 6:  2u1  15d  16   42  45   24 Cho cấp số cộng  un  biết u5  18 Sn S2 n Tìm số hạng u1 công sai d cấp số cộng A u1  ; d  B u1  ; d  C u1  ; d  D u1  ; d  Lời giải Chọn A Ta có: u5  18  u1  4d  18 1  n  n  1 d   2n  2n  1 d  Sn S2 n   nu1     2nu1    4u1  2nd  2d  2u1  2nd  d 2      2u1  d   2 Câu 7: Bốn số tạo thành cấp số cộng có tổng 28 tổng bình phương chúng 276 Tích bốn số : A 585 B 161 C 404 D 276 Lời giải Chọn A Gọi số cần tìm a  3r , a  r , a  r , a  3r a  3r  a  r  a  r  a  3r  28 a  a   Ta có:    2 2  r  2  a  3r    a  r    a  r    a  3r   276 r  Bốn số cần tìm , , , 13 có tích 585 Câu 8: u5  3u3  u2  21 Cho cấp số cộng  un  thỏa  Tổng 15 số hạng đầu cấp số cộng u  u   34  A 244 B  274 C  253 D  285 Lời giải Chọn D Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 101 GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 Từ 1   suy u1  ; d   BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com Giả sử cấp số cộng có số hạng đầu u1 công sai d u5  3u3  u2  21 u1  4d   u1  2d    u1  d   21 3u1  9d  21  Khi đó,   u1  12d  34 3  u1  6d    u1  3d   34 3u7  2u4  34 u    d  3 Từ suy S15  Câu 9: 15  2.2  15  1  3    285  u1  Cho dãy số un biết  , n  * Tìm số hạng tổng quát dãy số  un  u  u n  n 1 A un  3n B un  3n 1 C un  3n 1 D un  n n 1 Lời giải Chọn A Ta có un 1  un Do dãy số  un  cấp số nhân với u1  , công bội q  u1  u2  u3  13 Câu 10: Cho cấp số nhân  un  thỏa mãn:  Tổng số hạng đầu cấp số nhân u4  u1  26  un  A S8  3280 B S8  9841 C S8  3820 D S8  1093 Lời giải Chọn A u1 1  q  q   13 q  1  u1  u2  u3  13 26   q 1   q  Ta có :     1  q  q  13 u4  u1  26 u1  q  1  26  u1  S8  11  38  1  3280 PHẦN : TỰ LUẬN Câu 11: Tìm giá trị x dương nhỏ thỏa mãn ba số sin x,sin x, cos x lập thành cấp số cộng Lời giải Theo ra, ba số sin x,sin x, cos x lập thành cấp số cộng nên suy Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 102 GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 Vậy số hạng tổng quát cấp số nhân là: un  u1 q n 1  3.3n1  3n  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com   sin x  cos x  2sin x  sin x  cos x  sin x.cos  sin cos x  sin x 2 3     x  x   k 2 x   k 2     3  sin  x    sin x    k  Z      x    x   k 2  x    k 2   Nghiệm dương x nhỏ ứng với k  Vậy x   x  2 Câu 12: Chứng minh ba số dương a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng 1 số , , theo thứ tự lập thành cấp số cộng b c c a a b Lời giải Ba số 1 , , lập thành cấp số cộng b c c a a b 1 1    c a b c a b b c b a   a    a  c  a  b  c  b  c a b c a b b b c  b  a  c  b  a, b, c lập thành cấp số cộng Câu 13: Chu vi đa giác 45 cm, số đo cạnh lập thành cấp số cộng với công sai d  3cm Biết cạnh lớn 15 cm, tính số cạnh đa giác Lời giải Gọi cạnh nhỏ đa giác u1 số cạnh đa giác n Ta có 15  u1   n  1 hay u1  18  3n   n  Tổng cạnh 45 cm, ta có 45  n 15  18  3n  hay 3n  33n  90  Giải phương trình với n  N * ; n  , ta n  Câu 14: Tìm ba số hạng liên tiếp cấp số cộng, biết rằng: a) Tổng chúng 15 tích chúng 105 b) Tổng chúng 21 tổng bình phương chúng 155 Lời giải Gọi ba số hạng liên tiếp cấp số cộng a, b, c  a  c  2b * Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 103 GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133   c b   BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com a  b  c  15 a  b  c  15  a) Theo ra, ta có  , kết hợp với * , ta a  c  2b abc  105 abc  105  b  3b  15 a  a       a  c  2b  c  10  a  b  b  c  abc  105 5a 10  a  105 c        a  b  c  21 a  b  c  21  b) Theo ra, ta có  , kết hợp với * , ta a  c  2b 2 a  b  c  155 a  b  c  155  b  3b  21 a  a       a  c  2b  c  14  a  b  b  c  a  b  c  155   2   a  14  a    155 c  Câu 15: Cho ba số a,b,c theo thứ tự ba số hạng liên tiếp cấp số cộng Chứng minh a  2bc  c  2ab a  8bc   2b  c  Lời giải Ta có a  2bc  c  2ab   a  c  a  c   2b  c  a    a  c  a  c  2b   Suy a  2bc  c  2ab   a  2bc  c  2ab  điều phải chứng minh 2 Lại có a  8bc   2b  c   a   a  c  c   a  2c   a  4ac  4c  a  4ac  4c 2 Suy a  8bc   2b  c    a  8bc   2b  c   điều phải chứng minh u1  un 1  4un  9,  n  1 Câu 16: Cho dãy số  un  xác định  a) Chứng minh dãy số   với  un  , n  cấp số nhân b) Tìm cơng thức tổng qt dãy số  un  Lời giải a) Ta có  un  , suy 1  un 1    4un    Do 1  4un     un  3    un  un  Vậy   cấp số nhân với số hạng đầu v1  u1     công bội q  v1  nên số hạng tổng quát  v1 q n 1  5.4n 1 q  b) Do   cấp số nhân với  Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 104 GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 Vì a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng suy a  c  2b  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com Suy công thức tổng quát dãy số  un  un    5.4 n 1  u1  u5  51 u2  u6  102 Câu 17: Cho cấp số nhân có  a) Tìm số hạng cơng bội b) Tính tổng 10 số hạng c) Tổng số hạng đầu 765 d) Số 12288 số hạng thứ mấy? Lời giải u1  u1q  51 u1  u5  51 u1  u1 1  q   51    Ta có    q  u2  u6  102 u1q  u1q  102 u1q 1  q   102 a) Vậy số hạng đầu u1  công bội q   q10  210   3069 b) Tổng 10 số hạng S10  u1 1 q 1 765 d) Giả sử un  12288 Theo công thức tổng quát cấp số nhân, ta có un  u1.q n 1  12288  3.2 n 1  n  13 Vậy 12288 số hạng thứ 13 cấp số nhân Câu 18: Tìm số hạng đầu công bội cấp sống nhân un  , biết  u  u  15 a)  u  8u17 b)  20  u  u  u  65 c)  u  u  u  10 d)    u4  u2    u1  u7  325 u3  u5  240  u3  u5  u6  20  Lời giải   u q   15  u5  u1  15 u1q  u1  15       a) Ta có  u4  u2   u q q    u1q  u1q        1 2 Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 105 GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133  qn  2n   765  n  Vậy tổng số hạng c) Ta có Sn  u1 1 q 1  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU Lấy 1 chia 2 , ta  WEB: Toanthaycu.com q  15   q  5q    q  q u1  1 q  Vậy   q  u  16   q   u q19  8u q16 q  u  12     u3  u5  240 u q  u q  240 u q  u q  240 q   1   u  8u 17 b) Ta có  20    u  q  q  65  u1  u3  u5  65 u1  u1q  u1q  65       c) Ta có  u1  u7  325    u  q6  325  u1  u1q  325    Lấy 2 chia 1 , ta  q6  q  q4   1 2 u  u  325   q2   q  2 Vậy   q  q  2 65       u q  q  q  10  u2  u4  u5  10 u q  u q  u q  10  1 1     d) Ta có  u3  u5  u6  20 u q  u q  u q  20   u q  q  q  20  1      1  2  u  q  u  8  u  Lấy 2 chia 1 , ta q  Vậy  q   GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 Câu 19: Tìm số hạng đầu cơng bội cấp sống nhân un  , biết   u1   S  40  a)  b)    S8  680 S8       Lời giải a) Ta có u1  u1    u    8    q    S  u q     q 1 2   q   u1 q   40 S4  40    b) Ta có  S8  680  q8   u  680  q   1  2 Lấy 2 chia cho 1 , ta q   17  q  16  q  2 Vậy   q  2  Câu 20: Tìm ba số khác tạo thành cấp số cộng có tổng 6, biết hốn đổi vị trí số hạng thứ số hạng thứ hai đồng thời giữ nguyên số hạng thứ ba ta cấp số nhân Lời giải Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 106  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com Gọi ba số cần tìm u1 , u2 , u3 với u1  u2  u3  u1 ● u1 , u2 , u3 tạo thành cấp số cộng với công sai d  nên u1 , u2  u1  d , u3  u1  2d Hơn nữa, u1  u2  u3   u1  u1  d  u1  2d   u1  d  ● u2 , u1 , u3 tạo thành cấp số nhân hay u1  d, u1 , u1  2d tạo thành cấp số nhân  u1  du1  2d  u12 u   u1  du1  d  d  u12  2   u1   u12  u12  2u1     u1  4 Với u1  , suy d  : không thỏa mãn Với u1  4 , suy d  Vậy ba số cần tìm 4, 2, GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 107