Bai giang day so cap so cong va cap so nhan toan 11 knttvcs

LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ CS 1: TRUNG TÂM MASTER EDUCATIPM- 25 THẠCH HÃN CS 2: TRUNG TÂM 133 XUÂN 68 CS 3: TRUNG TÂM 168 MAI THÚC LOAN CS 4: TRUNG TÂM TRƯỜNG NGUYỄN TRƯỜNG TỘ TOÁN 11 KNTT VỚI CS TÀI LIỆU DÀNH CHO HỌC SINH LỚP TOÁN THẦY CƯ-TP HUẾ (Chiêu sinh thường xuyên, bổ trợ kiến thức kịp thời)  BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS  WEB: Toanthaycu.com CHƯƠNG II: DÃY SỐ CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN BÀI 5: DÃY SỐ A TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM ĐỊNH NGHĨA DÃY SỐ a) Nhận biết dãy vô hạn - Mỗi hàm số u xác định tập số nguyên dương * gọi dãy số vố hạn (gọi tắt dãy số), kí hiệu u  u (n) - Ta thường viết un thay cho u (n) kí hiệu dãy số u  u (n)  un  , dãy số  un  viết dạng khai triển u1 , u2 , u3 , , un , Số u1 gọi số hạng đầu, un số hạng thứ n gọi số hạng tổng quát dãy số Chú ý Nếu n  * , un  c  un  gọi dãy số không đổi a) Nhận biết dãy hữu hạn - Mỗi hàm số u xác định tập M  {1; 2;3;, m} với m  * gọi dãy số hữu hạn - Dạng khai triển dãy số hữu hạn u1 , u2 ,, um Số u1 gọi số hạng đẩu, số um gọi số hạng cuối CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ Một dãy số cho bằng: GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 - Liệt kê số hạng (chỉ dùng cho dãy hữu hạn có số hạng); - Công thức số hạng tồng quát; - Phương pháp mô tả; - Phương pháp truy hồi DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN a) Nhận biết dãy số tăng giảm - Dãy số  un  gọi dãy số tăng ta có un 1  un với n  * - Dãy số  un  gọi dãy số giảm ta có un 1  un với n  * b) Nhận biết dãy số bị chặn - Dãy số  un  gọi bị chặn tồn số M cho un  M với n  * - Dãy số  un  gọi bị chặn tồn số m cho un  m với n  * - Dãy số  un  gọi bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn dưới, tức tồn số m, M cho m  un  M với n  * B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng Tìm số hạng dãy số Phương pháp Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133  BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS  WEB: Toanthaycu.com Một dãy số cho bằng: - Liệt kê số hạng (chỉ dùng cho dãy hữu hạn có số hạng); - Cơng thức số hạng tồng quát; - Phương pháp mô tả; - Phương pháp truy hồi Các ví dụ Ví dụ Cho dãy số ( un ) xác định un  n  (1)n Tìm số hạng dãy số 2n  Lời giải Ta có un  n  (1) n  u1  0; u2  ; u3  ; u4  ; u5  2n  11 Ví dụ Cho dãy số  un  , từ dự đốn un  u1  ;  u n 1  un  a)  un  :   u1   u n 1  4un b)  un  :  Lời giải a) Ta có: u1  u   1.3 GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 u   2.3 u   3.3 u n    n  1  * b) Ta có u1  u  3.4 u  3.42 u  3.43 u n  3.4n 1 * Ví dụ Cho dãy số  un  , từ dự đốn un  u1  ;  u n 1  2un  a)  un  :   u1   b)  un  :   un 1   u n Lời giải a) Ta có: Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133  BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS  WEB: Toanthaycu.com u1   2  u   23  u  13  24  u  29  25  u n  2n 1   * b) Ta có u1   32  u  10  32  u  11  32  u  12  32  u n  33  n   * Dạng Tính tăng giảm dãy số Phương pháp  (un) dãy số tăng  un+1 > un,  n  N*  un+1 – un > ,  n  N*  un  ,n  N* ( un > 0)  un+1 < un với n  N*  un+1 – un< ,  n  N*  un1 un GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133  (un) dãy số giảm un1  , n  N* (un > 0) Các ví dụ Ví dụ Xét tính đơn điệu dãy số sau: a) un  2n  b) un  n 2n Lời giải a) Ta có: un  2n  3; un 1  2(n  1)   2n   un 1  un  (2n  5)  (2n  3)  Suy un1  un  dãy số cho dãy tăng b) Ta có: un  Giả sử: Vậy n 2n ; un 1  un 1 n 1 n  2n n  1 n       2n1 un 2n 1 n n n un 1 n  1 n 1  1   n   4n  3n   vô lý un n n un 1   un1  un  dãy số cho dãy số giảm un Ví dụ Xét tính đơn điệu dãy số sau: Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133  BÀI GIẢNG TỐN 11-KNTT VỚI CS a) un  n n 1  WEB: Toanthaycu.com b) un  n 1  n n Lời giải a) Ta có: un  n n 1 n 1 ; un 1   2 n 1 (n  1)  n  2n  2 (n  1)  n  1  n  n  2n   n 1 n  un 1  un    n  2n  n   n2  1 n2  2n  2 n  n  n   n  2n  2n n  n     0n    un  dãy số giảm  n2  1 n2  2n  2  n  1 n2  2n   b) un  n 1  n n 1 n2    un 1  1 n n n 1  n    n 1  n2 n  n n   (n  1) n   1    1    n 1 n n(n  1)  n 1   n  Khi ta có: un1  un   Giả sử: un1  un   n n   (n  1) n    n n   (n  1) n   n2 ( n  2)  (n  1)3  n3  2n2  n3  3n2  3n   n  3n    vô lý Vậy un1  un    un  dãy số giảm a) un  2 n b) un  GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 Ví dụ Xét tính đơn điệu dãy số sau: n 1 n 1 Lời giải a) un  1   1    un1    un 1  un    2    2     un 1  un n n 1 n  n  1  n 1  n  Vậy dãy số  un  dãy số giảm b) un  n 1  1 n 1 n 1 Khi đó: un1   2      un 1  un      un 1  un   1   n2  n    n    n  1 n   Vậy dãy số  un  dãy số tăng Ví dụ Xét tính đơn điệu dãy số sau: a) un  2n  5n  b) un  2n  Lời giải a) un  2n  2    un 1   5n   n   5  5n   Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133  BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS  WEB: Toanthaycu.com 2  2  1       5  5n     5  5n       5n   5n     un1  un     Khi đó: un1  un   Vậy  un  dãy số giảm b) un  2n   un 1   n  1  Khi un 1  un   n  1    2n    4n    un 1  un   un  dãy số tăng Ví dụ Xét tính đơn điệu dãy số sau: 2n  a) un  n 1 b) un  n   n Lời giải 2n  3  2  un 1   a) un  2 n 1 n 1  n  1  1 * Với n  N   n  1  n   n  1  1 3  2  2  un 1  un n 1 n 1  n  1    un  dãy số tăng b) un  n   n  n  n 1  un1  n 1  n  n   n   n   n  un1  1  un  n   n 1 n 1  n GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 Do n   * nên  un 1  un   un  dãy số giảm Ví dụ Xét tính đơn điệu dãy số sau: a) un  3n  2n  n 1 b) un  n 1 1 n Lời giải a) un  3n  2n  6  3n    un 1  3n   n 1 n 1 n 1 Khi đó: un1  un  3n   6     3n     3 n2  n 1 ( n  1)(n  2) n  6  (n  1)(n  2)   1 3   un 1  un (n  1)(n  2) ( n  1)(n  2) n  N Với    un  dãy số tăng b) Ta có: un  n 1 1  n n n   n 1 1  n 1 1 Khi n tăng dễ thấy mẫu số tăng, phân số giảm nên dãy số cho dãy số giảm Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133  BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS Ví dụ Xét tính tăng - giảm dãy số  un   WEB: Toanthaycu.com 3n với un  n1 Lời giải Ta có: un1  un1 3n 1 2n 1 3n 1   n  n   2n  un Do un  0, n  *  un1  un , n  *   un  tăng Ví dụ Xét tính tăng - giảm dãy số  un  với un  n 2n Lời giải Ta có: un1  un 1 n 1 n  2n n  1      1 n 1 n 1 un n n n * Với n    n   u 1   n 1  1 n un Mà un  0, n  *  un1  un , n  *   un  giảm Ví dụ Xét tính tăng - giảm dãy số  un  3n với un  n Lời giải Khi đó: GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 un 1 un 3n 1 3n 1 n 1   n     n  3  1   Ta có: un1    2 (n  1) un (n  1) un1  n   n 1 un 1   1    1  n  mà n  *  n  un 1 n n 1 un 1       1  n  mà n  *  n  un 1 n n 1 un 1  un  n  un 1  un  n  Hơn un  0, n  * nên  Do u1  u2 u2  u3    un  un 1     un  khơng tăng khơng giảm Ví dụ 10 Xét tính tăng - giảm dãy số  un  với un  n  n  Lời giải Ta có: un1  n   n  un 1  un  n   n  n  Lại có:    n 1  n 1  n   2n  n   4n    n   n  0, n  *  n   n   n , n  *  un 1  un  0, n  *   un  giảm Ví dụ 11 Với giá trị a dãy số  un  , với un  na  n 1 Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133  BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS  WEB: Toanthaycu.com a) dãy số tăng b) dãy số giảm Lời giải Ta có: un  na  2a 2a a2 a  un 1    un 1  un  n 1 n 1 n2  n  1 n   a) Để  un  dãy số tăng un1  un  a2   a   n  1 n   b) Để  un  dãy số giảm un1  un  a2 0a2  n  1 n   Dạng Dãy số bị chặn Phương pháp  (un) dãy số bị chăn trên M  R: un  M, n  N*  (un) dãy số bị chặn  m  R: un  m, n  N*  (un) dãy số bị chặn  m, M  R: m  un  M, n  N* Chú ý: +) Trong điều kiện bị chặn khơng thiết phải xuất dấu ‘’ +) Nếu dãy số tăng ln bị chặn u1 ; cịn dãy số giảm bị chặn u1 Các ví dụ Ví dụ Xét tính bị chặn dãy số sau: n2  2n  b) un  7n  5n  GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 a) un  Lời giải 5 a) Viết lại un dạng: un  2    2n   2n  3 2  2n  3 n2    n   u0     un  2 Với  n   u1  2  n   2n    un   Xét: un 1 (n  1)  2n    un 2( n  1)  n  Nhận thấy un  un 1    n  2n   2n  3   n  1 2n  4n  1 un  4n  3n  4n3  6n  4n   4n  4n3  n  2n  4n   n  6n   n  4n    10n  n  * Do đó: un 1  un    u2  Vậy 2  un    un  bị chặn Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133  BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS  WEB: Toanthaycu.com 24 (5n  7)  7n  5 24 7 b) Viết lại un dạng un    n   un  5n  5n  5(5n  7) Do đó,  un    un  bị chặn Ví dụ Xét tính bị chặn dãy số sau: a) un  2n  b) un  n  n  1 Lời giải  n   u     n   u1  1  un  1 a) Với  n   2n   0,  u  n   Xét un 1 2n     n  n 1 un 2(n  1)  Do đó, suy ra: un  un1    u2  1 Vậy 1  un    un  bị chặn 5 b) Ta dễ dàng thấy: un  bị chặn  Vì n(n  1)   un  Vậy ta  un  GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133  bị chặn , bị chặn Ví dụ Xét tính bị chặn dãy số sau: a) un  b) un  2n  n 1 n2  Lời giải a) Với n   u0  1n  N * : 2n   nên un  đó: un  1 n Xét un 1 2n     n  n 1 un 2(n  1)  Do đó, suy un  un 1    u2  u1  Vậy 1  un    un  bị chặn b) Với n   u0  1 n  N * : n   n   nên un  un  1 n Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133  BÀI GIẢNG TỐN 11-KNTT VỚI CS Và n   , n 1 n2   WEB: Toanthaycu.com  1 , 1  un    un  bị chặn Ví dụ Xét tính bị chặn dãy số sau: a) un  2n n2  b) un  2n  n  n2  n  Lời giải 2n  n  N  un  a) Vì  n    Mặt khác, un    n2   2 n 1   2  Vậy  un    un  bị chặn n 1  2n  2n   n    b) Vì  n  N  un  n  n   n(n  1)     2n  2n  n  n   7 Mặt khác, un   2 2 n n4 n n4 n n4 Vậy  un    un  bị chặn Ví dụ Cho dãy số  un  , với un  3n  (1) n 4n  (1) n 1 GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 a) Tính số hạng dầu tiên dãy, nêu nhận xét tính đơn điệu dãy số b) Tính u2n u2 n 1 Chứng minh  un  3n  4n  Lời giải 13 16 19 a) Ta có: u1  ; u2  1; u3  ; u4  ; u5  ; u6  , nhận xét thấy dãy số không tăng không 13 15 21 23 giảm 6n   u n  8n  b) Ta có  6n  u n 1  8n   Tổng quát, với n  2k (k  1, k  Z )  un  3n  3n    un  4n  4n  u  3n   n 3n   Vói n  2k  1(k  0, k  Z )  un  3n  3n  3n    un  4n  un  4n    4n  4n  n   Vậy với n  un  3n  4n  Ví dụ Xét tính bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn dãy số ( un ) cho bởi: Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133  BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS  WEB: Toanthaycu.com u1  0,  u1 ,      q0  u2  q       u12 q  u1 u3      u      1  q u3 u5     u12 q  u12 q  q  q  16 16  Câu 46: Cho cấp số nhân un  có cơng bội q thỏa  1  1 1  u1  u2  u3  u4  u5  49          u1 u2 u3 u4 u5       u1  u3  35 Tính P  u1  4q A P  24 B P  29 C P  34 D P  39 Lời giải Chọn B Nhận xét: Nếu u1 , u2 , u3 , u4 , u5 cấp số nhân với công bội q tạo thành cấp số nhân với cơng bội Do từ giả thiết ta có q       1  5   q 1 q   u1  49    1  q  u          q      2   u1  u1q  35 q  49  q       u1 q  49  u1q  7 q 1 u1  q q  1 Với u1q  7 Thay vào 2 , ta u1   35  u1  42 Suy q   : vô lý 42 u1  28 u1  28  Với u1q  Thay vào 2 , ta u1   35  u1  28 Vậy   Khi q  q     2  u1  4q  29 u  u  u  26 Câu 47: Cho cấp số nhân un  có cơng bội q thỏa  12 22 32 Tìm q biết q  u1  u2  u3  364  A q  B q  4 C q  D q  Lời giải Chọn D Ta u  q  q 2  26 2    1  u1  u2  u3  26 u1 1  q  q   26    có  2  2 2 u  q  q  364 u1  u2  u3  364  u  q  q   364       1 1 2  Lấy 1 chia 2 , ta Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 76 GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 Phương trình 1  u1 1 1 , , , , u1 u2 u3 u4 u5  BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS 1  q  q  Đặt 1 q2  q4 t q q Với t     WEB: Toanthaycu.com  26 1  1  3q  q  q  q    q    q        364 q  q    , t  Phương trình trở thành  t  1 loaïi  3t  t 10     t   10  10 1 10 , suy q     3q  10 q    q  q  Vì q  nên q  3 q Câu 48: Các số x  y, x  y, x  y theo thứ tự lập thành cấp số cộng; đồng thời số x 1, y  2,  x  y theo thứ tự lập thành cấp số nhân Tính x  y A x  y  40 B x  y  25 C x  y  100 D x  y  10 Lời giải Chọn A   x  y   8 x  y   5 x  y  Theo giả thiết ta có      x 1 x  y    y  2  x  y  x  y  x  6     3 y 13 y  y    y   0   y    y  2   Suy x  y  40 Câu 49: Ba số x ; y; z theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội q khác 1; đồng thời số GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 x ; y; z theo thứ tự lập thành cấp số cộng với công sai khác Tìm giá trị q A q  B q  C q   D q  3 Lời giải Chọn A x   y  xq; z  xq  x  xq  xq  x 3q  4q  1     3q  4q    x  z   y    Nếu x   y  z   công sai cấp số cộng: x; y; z (vơ lí) q    q  q   1 q   Nếu 3q  4q 1    Câu 50: Cho dãy số tăng a, b, c c   theo thứ tự lập thành cấp số nhân; đồng thời a, b  8, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng a, b  8, c  64 theo thứ tự lập thành cấp số nhân Tính giá trị biểu thức P  a  b  2c A P  184 B P  64 C P  92 D P  32 Lời giải Chọn B Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 77  BÀI GIẢNG TỐN 11-KNTT VỚI CS Ta có  WEB: Toanthaycu.com ac  b  ac  b 1        a  2b  16  c  2 a  c  b  8    2  ac  64a  b  8 3  a c  64  b  8   Thay (1) vào (3) ta được: b  64a  b  16b  64  4a  b  4 Kết hợp (2) với (4) ta được:   a  c  a  2b  16  c    5  4a  b   c b   60    Thay (5) vào (1) ta được: c  36  c  8 c   4c  60  9c  424c  3600     c  36 c   c  100  Với c  36  a  4, b  12  P  12  72  64 Câu 51: Số hạng thứ hai, số hạng đầu số hạng thứ ba cấp số cộng với công sai khác theo thứ tự lập thành cấp số nhân với cơng bội q Tìm q A q  C q   B q  2 D q  Lời giải Chọn B thành cấp số nhân công bội q Ta có b  a  c  2b  bq  bq  2b     a  bq; c  bq q  q   Nếu b   a  b  c  nên a; b; c cấp số cộng công sai d  (vơ lí) Nếu q  q    q  q  2 Nếu q   a  b  c (vơ lí), q  2 Câu 52: Cho bố số a, b, c, d biết a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân công bội q  ; cịn b, c, d theo thứ tự lập thành cấp số cộng Tìm q biết a  d  14 b  c  12 A q  18  73 24 B q  19  73 24 C q  20  73 24 D q  21  73 24 Lời giải Chọn B Giả sử a, b, c lập thành cấp số cộng cơng bội q Khi theo giả thiết ta có:   b  aq, c  aq    aq  d  2aq 1    b  d  2c     2  a  d  14   a  d  14     a q  q   12 3       b  c  12 Nếu q   b  c   d (vơ lí) Nếu q  1  b  a; c  a  b  c  (vơ lí) Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 78 GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 Giả sử ba số hạng a; b; c lập thành cấp số cộng thỏa yêu cầu, b; a; c theo thứ tự lập  BÀI GIẢNG TỐN 11-KNTT VỚI CS  WEB: Toanthaycu.com  0, q   1, từ (2) (3) ta có: d  14  a a  Vậy q  12 q  q2 thay vào (1) ta được: 12q 14q  14q 12 24q    12q  q 13q   q  q2 q  q2 q  q2  q  112q 19q  6   q  Vì q  nên q  19  73 24 19  73 24 Câu 53: Gọi S   11  111   111 ( n số 1) S nhận giá trị sau đây? A S  10 n 1   81  10 n  81 B S  10   10n 1    n D S  10     10n 1   n  81  C S  10      Lời giải Chọn D   1 10   n Ta có S  9  99  999   99    10  9  10 n so   Câu 54: Biết S   2.3  3.32  11.310  a  A P  n 21.3b b Tính P  a  4 B P  C P  D P  Chọn C Từ giả thiết suy 3S   2.32  3.33   11.311 Do 2 S  S  3S    32   310 10.311  Vì S   1 311 21.311 21 11.311     S   311 1 2 4 21.311 21.3b 1 11  a  a  , b  11   P    4 4 Câu 55: Một cấp số nhân có ba số hạng a, b, c (theo thứ tự đó) số hạng khác cơng bội q  Mệnh đề sau đúng? A 1  bc a B 1  ac b C 1  ba c D 1   a b c Lời giải Chọn B Ta có ac  b2  1  ac b Câu 56: Bốn góc tứ giác tạo thành cấp số nhân góc lớn gấp 27 lần góc nhỏ Tổng góc lớn góc bé bằng: A 56 B 102 C 252 D 1680 Lời giải Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 79 GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 Lời giải  BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS  WEB: Toanthaycu.com Chọn C Giả sử góc A, B, C, D (với A  B  C  D ) theo thứ tự lập thành cấp số nhân thỏa yêu cầu với cơng bội q Ta có   A 1  q  q  q   360 q   A B C D 360           A   A  D  252    Aq  27 A   D  27 A   D  Aq  243 Câu 57: Người ta thiết kế tháp gồm 11 tầng Diện tích bề mặt tầng diện tích mặt tầng bên diện tích mặt tầng nửa diện tích đế tháp (có diện tích 12 288 m2 ) Tính diện tích mặt A m2 B m2 C 10 m2 D 12 m2 Lời giải Chọn A Diện tích bề mặt tầng (kể từ 1) lập thành cấp số nhân có công bội q  u1  12 288  144 Khi diện tích mặt u11  u1q10  6144 6 210 Lời giải Chọn C Số tiền du khác đặt lần (kể từ lần đầu) cấp số nhân có u1  20 000 cơng bội q  Du khách thua lần nên tổng số tiền thua là: S9  u1  u2   u9  u1 1  p  1 p  10220000 Số tiền mà du khách thắng lần thứ 10 u10  u1 p9  10240000 Ta có u10  S9  20 000  nên du khách thắng 20 000 Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 80 GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 Câu 58: Một du khách vào chuồng đua ngựa đặt cược, lần đầu đặt 20000 đồng, lần sau tiền đặt gấp đôi lần tiền đặt cọc trước Người thua lần liên tiếp thắng lần thứ 10 Hỏi du khác thắng hay thua bao nhiêu? A Hòa vốn B Thua 20000 đồng C Thắng 20000 đồng D Thua 40000 đồng  BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS  WEB: Toanthaycu.com GIẢI BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG SÁCH GIÁO KHOA A TRẮC NGHIỆM Câu 2.22:Khẳng định sau sai? A Một dãy số tăng bị chặn B Một dãy số giảm bị chặn C Một dãy số bị chặn phải tăng giảm D Một dãy số khơng đổi bị chặn Lời giải Chọn D 1 Câu 2.23:Cho dãy số 1, , , , (số hạng sau nửa số hạng liền trước nó) Cơng thức tồng qt dãy số cho n 1 A un    2 B un  (1)n 2n 1 C un  1 D un    2n 2 n 1 Lời giải Chọn D Câu 2.24:Cho dãy số  un  với un  3n  Khẳng định sau đúng? A Dãy số  un  cấp số cộng với công sai d  B Dãy số  un  cấp số cộng với công sai d  C Dãy số  un  cấp số nhân với công bội q  GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 D Dãy số  un  cấp số nhân với cộng bội q  Lời giải Chọn A Ta có: S100  100 [2.1  (100  1).2]  10000 un  un1  (3x  6)  [3(n  1)  6]  Suy dãy số ( un ) cấp số cộng với công sai d = Câu 2.25:Trong dãy số cho công thức truy hồi sau, dãy số cấp số nhân? A u1  1, un 1  un2 B u1  1, un1  2un C u1  1, un 1  un  D u1  1, un 1  un  Lời giải Chọn B Câu 2.26:Tổng 100 số hạng đầu dãy số  un  với un  2n  A 199 B 2100  C 10000 D 9999 Lời giải Chọn C Ta có: u1  2.1   un  un1  (2n  1)  [2(n  un1)  1]  Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 81  BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS  WEB: Toanthaycu.com Vậy ( un ) cấp số cộng với u1  công sai d=2 Suy S100  100 [2.1  (100  1).2]  10000 B TỰ LUẬN Bài 2.27 Từ đến 12 trưa, chuông đồng hồ lắc đánh tiếng, biết đánh chng báo số tiếng chuông số giờ? Lời giải Lúc đồng hồ đánh tiếng chuông Lúc đồng hồ đánh tiếng chuông Lúc 12 trưa đồng hồ đánh 12 tiếng chng Do đó, từ đến 12 trưa, đồng hồ đánh số tiếng chuông là:     11  12     11  12 Đây tổng 12 số hạng cấp số cộng có số hạng đầu u1  , công sai d  Vậy tổng số tiếng chuông đồng hồ khoảng thời gian từ đến 12 truqa là: 12.(1  12)  78 12.(1  12) S12   78 Bài 2.28 Tế bào E Coli điều kiện ni cấy thích hợp 20 phút lại phân đôi lần Hỏi sau 24 giờ, tế bào S12  ban đầu phân chia thành tế bào? GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 Lời giải Số tế bào phân chia sau 20 phút tạo thành cấp số nhân với số hạng đầu 2, công bội Sau 24 ( tức n  (24.60) : 20  72 ) tế bào ban đầu phân chia thành số tế bào là: u72  2.271  4.722.1021 u72  2.271  4.722.1021 Bài 2.29 Chứng minh rằng: a) Trong cấp số cộng  un  , số hạng (trừ số hạng đầu số hạng cuối, có) trung bình cộng hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa uk  uk 1  uk 1  k  2 b) Trong cấp số nhân, bình phương số hạng (trừ số hạng đầu số hạng cuối, có) tích hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa uk2  uk 1  uk 1  k   Lời giải a) Ta có: un 1  u1   n   d un  u1   n  1 d un 1  u1  nd Do đó: un 1  un 1  u1   n   d  u1  nd  2u1   2n   d  u1   n  1 d   2un Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 82  BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS  WEB: Toanthaycu.com un 1  un1 b) Ta có: un 1  u1  q n  Suy un  un  u1  q n 1 un 1  u1  q n      Do un 1  u n 1  u1  q n   u1  q n  u12 q n   u1q n 1   u12 Bài 2.30 Tìm ba số, biết theo thứ tự chúng lập thành cấp số cộng có tồng 21 , cộng thêm số 2;3;9 vào ba số ba số lập thành cấp số nhân Lời giải Gọi ba số cần tìm x, y, z Theo tính chất cấp số cộng ta có x  z  y Kết hợp với giả thiết x  y  z  21 , ta suy y  21  y  Gọi d công sai cấp số cộng x  y  d   d z  y  d   d Sau thêm số 2;3;9 vào ba số x, y, z ta ba số x  2, y  3, z  hay  d,10,16  d Theo tính chất cấp số nhân, ta có:   d 16  d   102  d  7d  44  Lời giải a Mỗi bậc thang cao 16 cm  0,16 m  n bậc thang cao 0,16n  m  Vì mặt sàn cao mặt sân 0,5 m nên cơng thức tính độ cao bậc n so với mặt sân là: h n   0,5  0,16n  m  b Độ cao sàn tầng hai so với mặt sân ứng với n  25 là: h 25  0,5  0,16  25  4,5  m  Bài 2.32 Một hình vng màu vàng có cạnh đơn vị dài chia thành chín hình vng nhỏ hình vng tơ màu xanh Hình 2.1 Mỗi hình vng màu vàng nhỏ lại chia thành chín hình vng con, hình vng lại tơ màu xanh Nếu q trình tiếp tục lặp lại năm lần, tồng diện tích hình vuông tô màu xanh bao nhiêu? Lời giải Diện tích vng màu xanh sau lần phân chia thứ là: Diện tích vng màu xanh sau lần phân chia thứ hai là: , số ô vuông màu xanh tạo thêm 1 , số ô vuông màu xanh tạo thêm , số ô vuông màu xanh tạo thêm 95 1 Tổng diện tích vng màu xanh :   81   84  0, 445 9 Diện tích vng màu xanh sau lần phân chia thứ năm là: Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 83 GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 Giải phương trình ta d  11 d  Suy ba số cần tìm 18,7, 4 3, 7,11 Bài 2.31 Mặt sàn tầng (tầng trệt) nhà cao mặt sân 0,5 m Cầu thang từ tầng lên tầng hai gồm 25 bậc, mổi bậc cao 16 cm a) Viết cơng thức để tìm độ cao bậc cầu thang thứ n so với mặt sân b) Tính độ cao sàn tầng hai so với mặt sân  BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS  WEB: Toanthaycu.com BÀI TẬP TỔNG ÔN CHƯƠNG PHẦN 1: TRẮC NGHIỆM Câu 1: Khẳng định sau sai? A Dãy số có un 1  a.3n 1 C Với a  dãy số tăng B Hiệu số un 1  un  3.a D Với a  dãy số giảm Lời giải Chọn B Ta có un 1  un  a.3n1  a.3n  a.3n   1  2a.3n Câu 2: Cho dãy số  un  với un  2n  Dãy số  un  dãy số A Bị chặn B Giảm C Bị chặn D Tăng Lời giải Chọn D n  * ta có: un 1  un   n  1    2n  1   nên un 1  un dãy số  un  tăng Câu 3: Cho cấp số cộng  un  có u1  cơng sai d  Hỏi kể từ số hạng thứ trở số hạng  un  lớn 2018 ? B 289 A 287 C 288 Lời giải D 286 Chọn B 2022 GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 Ta có: un  u1   n  1 d    n  1  n  ; un  2018  n   2018  n  Vậy n  289 Câu 4: Xác định số hàng đầu u1 công sai d cấp số cộng  un  có u9  5u2 u13  2u6  A u1  d  B u1  d  C u1  d  D u1  d  Lời giải Chọn A u1  8d   u1  d  Ta có: un  u1   n  1 d Theo đầu ta có hpt:  u1  12d   u1  5d   4u  3d  u    d  u1  2d  5 Câu 5: Cho cấp số cộng  un  có u4  12 , u14  18 Tính tổng 16 số hạng cấp số cộng A S16  24 B S16  26 C S16  25 D S16  24 Lời giải Chọn D u  3d  12 u  21  Gọi d công sai cấp số cộng Theo giả thiết, ta có  d  u1  13d  18 Khi đó, S16   2u1  15d  16   42  45   24 Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 84  BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS Câu 6:  WEB: Toanthaycu.com Cho cấp số cộng  un  biết u5  18 Sn S2 n Tìm số hạng u1 cơng sai d cấp số cộng A u1  ; d  B u1  ; d  C u1  ; d  D u1  ; d  Lời giải Chọn A Ta có: u5  18  u1  4d  18 1  n  n  1 d   2n  2n  1 d  Sn S2 n   nu1     2nu1    4u1  2nd  2d  2u1  2nd  d 2      2u1  d    Từ 1   suy u1  ; d  Câu 7: Bốn số tạo thành cấp số cộng có tổng 28 tổng bình phương chúng 276 Tích bốn số : A 585 B 161 C 404 D 276 Lời giải Chọn A Gọi số cần tìm a  3r , a  r , a  r , a  3r GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 a  3r  a  r  a  r  a  3r  28 a  a   Ta có:    2 2  r  2  a  3r    a  r    a  r    a  3r   276 r  Bốn số cần tìm , , , 13 có tích 585 Câu 8: u5  3u3  u2  21 Cho cấp số cộng  un  thỏa  Tổng 15 số hạng đầu cấp số cộng u  u   34  A 244 B  274 C  253 D  285 Lời giải Chọn D Giả sử cấp số cộng có số hạng đầu u1 công sai d u5  3u3  u2  21 u1  4d   u1  2d    u1  d   21 3u  9d  21  Khi đó,   u1  12d  34 3u7  2u4  34 3  u1  6d    u1  3d   34 u    d  3 15  2.2  15  1  3    285  u1  Cho dãy số un biết  , n  * Tìm số hạng tổng quát dãy số  un  u  u n  n 1 Từ suy S15  Câu 9: A un  3n B un  3n 1 C un  3n 1 D un  n n 1 Lời giải Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 85  BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS  WEB: Toanthaycu.com Chọn A Ta có un 1  un Do dãy số  un  cấp số nhân với u1  , công bội q  Vậy số hạng tổng quát cấp số nhân là: un  u1 q n 1  3.3n1  3n u1  u2  u3  13 Câu 10: Cho cấp số nhân  un  thỏa mãn:  Tổng số hạng đầu cấp số nhân  un  u4  u1  26 A S8  3280 B S8  9841 C S8  3820 D S8  1093 Lời giải Chọn A u1 1  q  q   13 q  1  u1  u2  u3  13 26   q 1   q  Ta có :     1  q  q  13 u4  u1  26 u1  q  1  26  u1  S8  11  38  1  3280 GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 PHẦN : TỰ LUẬN Câu 11: Tìm giá trị x dương nhỏ thỏa mãn ba số sin x,sin x, cos x lập thành cấp số cộng Lời giải Theo ra, ba số sin x,sin x, cos x lập thành cấp số cộng nên suy   sin x  cos x  2sin x  sin x  cos x  sin x.cos  sin cos x  sin x 2 3     x  x   k  x   k 2     3  sin  x    sin x    k  Z  3   x    x    k 2  x  2  k 2   Nghiệm dương x nhỏ ứng với k  Vậy x   x  2 Câu 12: Chứng minh ba số dương a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng 1 số , , theo thứ tự lập thành cấp số cộng b c c a a b Lời giải Ba số 1 , , lập thành cấp số cộng b c c a a b 1 1    c a b c a b b c Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 86  BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS b a     a  c b    a  WEB: Toanthaycu.com  c  a  b  c  b  c a b c a b b b c  b  a  c  b  a, b, c lập thành cấp số cộng Câu 13: Chu vi đa giác 45 cm, số đo cạnh lập thành cấp số cộng với cơng sai d  3cm Biết cạnh lớn 15 cm, tính số cạnh đa giác Lời giải Gọi cạnh nhỏ đa giác u1 số cạnh đa giác n Ta có 15  u1   n  1 hay u1  18  3n   n  Tổng cạnh 45 cm, ta có 45  n 15  18  3n  hay 3n  33n  90  Giải phương trình với n  N * ; n  , ta n  Câu 14: Tìm ba số hạng liên tiếp cấp số cộng, biết rằng: a) Tổng chúng 15 tích chúng 105 b) Tổng chúng 21 tổng bình phương chúng 155 Lời giải Gọi ba số hạng liên tiếp cấp số cộng a, b, c  a  c  2b * GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 a  b  c  15 a  b  c  15  a) Theo ra, ta có  , kết hợp với * , ta a  c  2b abc  105 abc  105  b  3b  15 a  a       a  c  2b  c  10  a  b  b  c  abc  105 5a 10  a  105 c        a  b  c  21 a  b  c  21  b) Theo ra, ta có  , kết hợp với * , ta a  c  2b 2 a  b  c  155 a  b  c  155  b  3b  21 a  a       a  c  2b  c  14  a  b  b  c  a  b  c  155   2   a  14  a    155 c  Câu 15: Cho ba số a,b,c theo thứ tự ba số hạng liên tiếp cấp số cộng Chứng minh a  2bc  c  2ab a  8bc   2b  c  Lời giải Vì a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng suy a  c  2b Ta có a  2bc  c  2ab   a  c  a  c   2b  c  a    a  c  a  c  2b   Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 87  BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS  WEB: Toanthaycu.com Suy a  2bc  c  2ab   a  2bc  c  2ab  điều phải chứng minh 2 Lại có a  8bc   2b  c   a   a  c  c   a  2c   a  4ac  4c  a  4ac  4c 2 Suy a  8bc   2b  c    a  8bc   2b  c   điều phải chứng minh u1  un 1  4un  9,  n  1 Câu 16: Cho dãy số  un  xác định  a) Chứng minh dãy số   với  un  , n  cấp số nhân b) Tìm cơng thức tổng qt dãy số  un  Lời giải a) Ta có  un  , suy 1  un 1    4un    Do 1  4un     un  3    un  un  Vậy   cấp số nhân với số hạng đầu v1  u1     công bội q  v1  nên số hạng tổng quát  v1 q n 1  5.4n 1 q  b) Do   cấp số nhân với  Suy công thức tổng quát dãy số  un  un    5.4 n 1  GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 u1  u5  51 u  u  102  Câu 17: Cho cấp số nhân có  a) Tìm số hạng cơng bội b) Tính tổng 10 số hạng c) Tổng số hạng đầu 765 d) Số 12288 số hạng thứ mấy? Lời giải u1 1  q   51 u1  u1q  51 u1  u5  51 u1     Ta có    q  u2  u6  102 u1q  u1q  102 u1q 1  q   102 a) Vậy số hạng đầu u1  công bội q  b) Tổng 10 số hạng S10  u1  q10  210   3069 1 q 1  qn  2n   765  n  Vậy tổng số hạng 765 c) Ta có Sn  u1 1 q 1 d) Giả sử un  12288 Theo công thức tổng quát cấp số nhân, ta có Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 88  BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS  WEB: Toanthaycu.com un  u1.q n 1  12288  3.2 n 1  n  13 Vậy 12288 số hạng thứ 13 cấp số nhân Câu 18: Tìm số hạng đầu cơng bội cấp sống nhân un  , biết  u  u  15 a)  u  8u17 b)  20  u  u  u  65 c)  u  u  u  10 d)    u4  u2  u3  u5  240    u1  u7  325 u3  u5  u6  20  Lời giải   u q   15  u5  u1  15 u1q  u1  15       a) Ta có  u4  u2   u q q    u1q  u1q       Lấy 1 chia 2 , ta  1  2 q  15   q  5q    q  q u  1 q  Vậy  q   u  16   q   u q19  8u q16 q  u  12       u3  u5  240 u q  u q  240 u q  u q  240 q   1   u  8u17 b) Ta có  20  Lấy 2 chia 1 , ta  q6 1 q  q   325   q   q  2 Vậy 65   1 2   u1   q     u q  q  q  10  u2  u4  u5  10 u q  u q  u q  10  1 1     d) Ta có  u3  u5  u6  20 u q  u q  u q  20   u q  q  q  20  1     GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133   u  q  q  65  u1  u3  u5  65 u1  u1q  u1q  65       c) Ta có  u1  u7  325 u  u q6  325     u1  q  325   u   1 2 q  2  u  Lấy 2 chia 1 , ta q  Vậy   q  Câu 19: Tìm số hạng đầu cơng bội cấp sống nhân un  , biết   u1     a)  38  b)  S8      S4  40  S8  680  Lời giải a) Ta có u1  u1    u     q8  38     S  u q     q 1 2  Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 89  BÀI GIẢNG TỐN 11-KNTT VỚI CS b) Ta có  q  u  q   40 S4  40    S8  680  q   u  680  q   WEB: Toanthaycu.com 1  2 Lấy 2 chia cho 1 , ta q   17  q  16  q  2 Vậy 4  u    q  u  8  q  2  Câu 20: Tìm ba số khác tạo thành cấp số cộng có tổng 6, biết hốn đổi vị trí số hạng thứ số hạng thứ hai đồng thời giữ nguyên số hạng thứ ba ta cấp số nhân Lời giải Gọi ba số cần tìm u1 , u2 , u3 với u1  u2  u3  u1 ● u1 , u2 , u3 tạo thành cấp số cộng với công sai d  nên u1 , u2  u1  d , u3  u1  2d Hơn nữa, u1  u2  u3   u1  u1  d  u1  2d   u1  d  ● u2 , u1 , u3 tạo thành cấp số nhân hay u1  d, u1 , u1  2d tạo thành cấp số nhân  u1  du1  2d  u12 u   u1  du1  d  d  u12  2   u1   u12  u12  2u1     u1  4 GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 Với u1  , suy d  : không thỏa mãn Với u1  4 , suy d  Vậy ba số cần tìm 4, 2, Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 90