Bai giang day so cap so cong va cap so nhan toan 11 ctst

LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ CS 1: TRUNG TÂM MASTER EDUCATIPM- 25 THẠCH HÃN CS 2: TRUNG TÂM 133 XUÂN 68 CS 3: TRUNG TÂM 168 MAI THÚC LOAN CS 4: TRUNG TÂM TRƯỜNG NGUYỄN TRƯỜNG TỘ TOÁN 11 CTST TÀI LIỆU DÀNH CHO HỌC SINH LỚP TOÁN THẦY CƯ-TP HUẾ (Chiêu sinh thường xuyên, bổ trợ kiến thức kịp thời)  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO  WEB: Toanthaycu.com CHƯƠNG 2: DÃY SỐ CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN BÀI 1: DÃY SỐ A TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM Dãy số ? Khái niệm dãy số: Hàm số u xác định tập hợp số nguyên dương * gọi dãy số vô hạn (hay gọi tắt u :    dãy số), nghĩa n  un  u  n  Dãy số kí hiệu  un  Dạng khai triển dãy số  un  là: u1 ; u2 ;; un ; Chú ý: a) u1  u 1 gọi số hạng đầu, un  u  n  gọi số hạng thứ n (hay số hạng tổng quát) dãy số b) Nếu un  C với n , ta nói  un  dãy số không đổi Hàm số u xác định tập hợp M  1; 2;3;; m gọi dãy số hữu hạn Dạng khai triển dãy số u1 , u2 ,, um , u1 số hạng đầu um số hạng cuối Cách xác định dãy số GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 Thơng thường dãy số cho cách sau: Cách 1: Liệt kê số hạng (với dãy số hữu hạn) Cách 2: Cho công thức số hạng tổng quát un Cách 3: Cho hệ thức truy hồi, nghĩa Cho số hạng thứ u1 (hoặc vài số hạng đầu tiên); Cho cơng thức tính un theo un 1 (hoặc theo vài số hạng đứng trước nó) Cách 4: Cho cách mô tả Dãy số tăng, dãy số giảm Cho dãy số  un  Dãy số  un  gọi dãy số tăng un 1  un , n  * Dãy số  un  gọi dãy số giảm un 1  un , n  * Dãy số bị chặn Dãy số ( un ) gọi dãy số bị chặn tồn số M cho un  M , n  * Dãy số  un  gọi dãy số bị chặn tồn số m cho un  m, n  * Dãy số  un  gọi dãy số bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn dưới, nghĩa tồn số M Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133  BÀI GIẢNG TỐN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO  WEB: Toanthaycu.com m cho m  un  M , n  * B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng Tìm số hạng dãy số Phương pháp Một dãy số cho bằng: - Liệt kê số hạng (chỉ dùng cho dãy hữu hạn có số hạng); - Cơng thức số hạng tồng quát; - Phương pháp mô tả; - Phương pháp truy hồi Các ví dụ Ví dụ Cho dãy số ( un ) xác định un  n  (1)n Tìm số hạng dãy số 2n  Lời giải Ta có un  n  (1) n  u1  0; u2  ; u3  ; u4  ; u5  2n  11 Ví dụ Cho dãy số  un  , từ dự đốn un  u1   u n 1  4un b)  un  :  GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133  u1  ;  u n 1  un  a)  un  :  Lời giải a) Ta có: u1  u   1.3 u   2.3 u   3.3 u n    n  1  * b) Ta có u1  u  3.4 u  3.42 u  3.43 u n  3.4n 1 * Ví dụ Cho dãy số  un  , từ dự đốn un  u1  ;  u n 1  2un  a)  un  :   u1  b)  un  :   un 1   u n Lời giải a) Ta có: Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO  WEB: Toanthaycu.com u1   2  u   23  u  13  24  u  29  25  u n  2n 1   * b) Ta có u1   32  u  10  32  u  11  32  u  12  32  u n  33  n   * Dạng Tính tăng giảm dãy số Phương pháp  (un) dãy số tăng  un+1 > un,  n  N*  un+1 – un > ,  n  N*  un  ,n  N* ( un > 0)  un+1 < un với n  N*  un+1 – un< ,  n  N*  un1 un GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133  (un) dãy số giảm un1  , n  N* (un > 0) Các ví dụ Ví dụ Xét tính đơn điệu dãy số sau: a) un  2n  b) un  n 2n Lời giải a) Ta có: un  2n  3; un 1  2(n  1)   2n   un 1  un  (2n  5)  (2n  3)  Suy un1  un  dãy số cho dãy tăng b) Ta có: un  Giả sử: Vậy n 2n ; un 1  un 1 n 1 n  2n n  1 n       2n1 un 2n 1 n n n un 1 n  1 n 1  1   n   4n  3n   vô lý un n n un 1   un1  un  dãy số cho dãy số giảm un Ví dụ Xét tính đơn điệu dãy số sau: Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO a) un  n n 1 b) un   WEB: Toanthaycu.com n 1  n n Lời giải a) Ta có: un  n n 1 n 1 ; un 1   2 n 1 (n  1)  n  2n  2 (n  1)  n  1  n  n  2n   n 1 n  un 1  un    n  2n  n   n2  1 n2  2n  2 n  n  n   n  2n  2n n  n     0n    un  dãy số giảm  n2  1 n2  2n  2  n  1 n2  2n   b) un  n 1  n n 1 n2    un 1  1 n n n 1  n    n 1  n2 n  n n   (n  1) n   1    1    n 1 n n(n  1)  n 1   n  Khi ta có: un1  un   Giả sử: un1  un   n n   (n  1) n    n n   (n  1) n   n2 ( n  2)  (n  1)3  n3  2n2  n3  3n2  3n   n  3n    vô lý Vậy un1  un    un  dãy số giảm a) un  2 n b) un  GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 Ví dụ Xét tính đơn điệu dãy số sau: n 1 n 1 Lời giải a) un  1   1    un1    un 1  un    2    2     un 1  un n n 1 n  n  1  n 1  n  Vậy dãy số  un  dãy số giảm b) un  n 1  1 n 1 n 1 Khi đó: un1   2      un 1  un      un 1  un   1   n2  n    n    n  1 n   Vậy dãy số  un  dãy số tăng Ví dụ Xét tính đơn điệu dãy số sau: a) un  2n  5n  b) un  2n  Lời giải a) un  2n  2    un 1   5n   n   5  5n   Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO  WEB: Toanthaycu.com 2  2  1       5  5n     5  5n       5n   5n     un1  un     Khi đó: un1  un   Vậy  un  dãy số giảm b) un  2n   un 1   n  1  Khi un 1  un   n  1    2n    4n    un 1  un   un  dãy số tăng Ví dụ Xét tính đơn điệu dãy số sau: 2n  a) un  n 1 b) un  n   n Lời giải 2n  3  2  un 1   a) un  2 n 1 n 1  n  1  1 * Với n  N   n  1  n   n  1  1 3  2  2  un 1  un n 1 n 1  n  1    un  dãy số tăng b) un  n   n  n  n 1  un1  n 1  n  n   n   n   n  un1  1  un  n   n 1 n 1  n GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 Do n   * nên  un 1  un   un  dãy số giảm Ví dụ Xét tính đơn điệu dãy số sau: a) un  3n  2n  n 1 b) un  n 1 1 n Lời giải a) un  3n  2n  6  3n    un 1  3n   n 1 n 1 n 1 Khi đó: un1  un  3n   6     3n     3 n2  n 1 ( n  1)(n  2) n  6  (n  1)(n  2)   1 3   un 1  un (n  1)(n  2) ( n  1)(n  2) n  N Với    un  dãy số tăng b) Ta có: un  n 1 1  n n n   n 1 1  n 1 1 Khi n tăng dễ thấy mẫu số tăng, phân số giảm nên dãy số cho dãy số giảm Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133  BÀI GIẢNG TỐN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO Ví dụ Xét tính tăng - giảm dãy số  un   WEB: Toanthaycu.com 3n với un  n1 Lời giải Ta có: un1  un1 3n 1 2n 1 3n 1   n  n   2n  un Do un  0, n  *  un1  un , n  *   un  tăng Ví dụ Xét tính tăng - giảm dãy số  un  với un  n 2n Lời giải Ta có: un1  un 1 n 1 n  2n n  1      1 n 1 n 1 un n n n * Với n    n   u 1   n 1  1 n un Mà un  0, n  *  un1  un , n  *   un  giảm Ví dụ Xét tính tăng - giảm dãy số  un  3n với un  n Lời giải Khi đó: GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 un 1 un 3n 1 3n 1 n 1   n     n  3  1   Ta có: un1    2 (n  1) un (n  1) un1  n   n 1 un 1   1    1  n  mà n  *  n  un 1 n n 1 un 1       1  n  mà n  *  n  un 1 n n 1 un 1  un  n  un 1  un  n  Hơn un  0, n  * nên  Do u1  u2 u2  u3    un  un 1     un  khơng tăng khơng giảm Ví dụ 10 Xét tính tăng - giảm dãy số  un  với un  n  n  Lời giải Ta có: un1  n   n  un 1  un  n   n  n  Lại có:    n 1  n 1  n   2n  n   4n    n   n  0, n  *  n   n   n , n  *  un 1  un  0, n  *   un  giảm Ví dụ 11 Với giá trị a dãy số  un  , với un  na  n 1 Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO  WEB: Toanthaycu.com a) dãy số tăng b) dãy số giảm Lời giải Ta có: un  na  2a 2a a2 a  un 1    un 1  un  n 1 n 1 n2  n  1 n   a) Để  un  dãy số tăng un1  un  a2   a   n  1 n   b) Để  un  dãy số giảm un1  un  a2 0a2  n  1 n   Dạng Dãy số bị chặn Phương pháp  (un) dãy số bị chăn trên M  R: un  M, n  N*  (un) dãy số bị chặn  m  R: un  m, n  N*  (un) dãy số bị chặn  m, M  R: m  un  M, n  N* Chú ý: +) Trong điều kiện bị chặn khơng thiết phải xuất dấu ‘’ +) Nếu dãy số tăng ln bị chặn u1 ; cịn dãy số giảm bị chặn u1 Các ví dụ Ví dụ Xét tính bị chặn dãy số sau: n2  2n  b) un  7n  5n  GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 a) un  Lời giải 5 a) Viết lại un dạng: un  2    2n   2n  3 2  2n  3 n2    n   u0     un  2 Với  n   u1  2  n   2n    un   Xét: un 1 (n  1)  2n    un 2( n  1)  n  Nhận thấy un  un 1    n  2n   2n  3   n  1 2n  4n  1 un  4n  3n  4n3  6n  4n   4n  4n3  n  2n  4n   n  6n   n  4n    10n  n  * Do đó: un 1  un    u2  Vậy 2  un    un  bị chặn Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO  WEB: Toanthaycu.com 24 (5n  7)  7n  5 24 7 b) Viết lại un dạng un    n   un  5n  5n  5(5n  7) Do đó,  un    un  bị chặn Ví dụ Xét tính bị chặn dãy số sau: a) un  2n  b) un  n  n  1 Lời giải  n   u     n   u1  1  un  1 a) Với  n   2n   0,  u  n   Xét un 1 2n     n  n 1 un 2(n  1)  Do đó, suy ra: un  un1    u2  1 Vậy 1  un    un  bị chặn 5 b) Ta dễ dàng thấy: un  bị chặn  Vì n(n  1)   un  Vậy ta  un  GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133  bị chặn , bị chặn Ví dụ Xét tính bị chặn dãy số sau: a) un  b) un  2n  n 1 n2  Lời giải a) Với n   u0  1n  N * : 2n   nên un  đó: un  1 n Xét un 1 2n     n  n 1 un 2(n  1)  Do đó, suy un  un 1    u2  u1  Vậy 1  un    un  bị chặn b) Với n   u0  1 n  N * : n   n   nên un  un  1 n Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO Và n   , n 1 n2   WEB: Toanthaycu.com  1 , 1  un    un  bị chặn Ví dụ Xét tính bị chặn dãy số sau: a) un  2n n2  b) un  2n  n  n2  n  Lời giải 2n  n  N  un  a) Vì  n    Mặt khác, un    n2   2 n 1   2  Vậy  un    un  bị chặn n 1  2n  2n   n    b) Vì  n  N  un  n  n   n(n  1)     2n  2n  n  n   7 Mặt khác, un   2 2 n n4 n n4 n n4 Vậy  un    un  bị chặn Ví dụ Cho dãy số  un  , với un  3n  (1) n 4n  (1) n 1 GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 a) Tính số hạng dầu tiên dãy, nêu nhận xét tính đơn điệu dãy số b) Tính u2n u2 n 1 Chứng minh  un  3n  4n  Lời giải 13 16 19 a) Ta có: u1  ; u2  1; u3  ; u4  ; u5  ; u6  , nhận xét thấy dãy số không tăng không 13 15 21 23 giảm 6n   u n  8n  b) Ta có  6n  u n 1  8n   Tổng quát, với n  2k (k  1, k  Z )  un  3n  3n    un  4n  4n  u  3n   n 3n   Vói n  2k  1(k  0, k  Z )  un  3n  3n  3n    un  4n  un  4n    4n  4n  n   Vậy với n  un  3n  4n  Ví dụ Xét tính bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn dãy số ( un ) cho bởi: Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133  BÀI GIẢNG TỐN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO  WEB: Toanthaycu.com Chọn A  x  y   8 x  y   5 x  y  Theo giả thiết ta có   x 1 x  y    y  22   x  y  x  y  x  6     3 y 13 y  y    y   0   y    y  2   Suy x  y  40 Câu 49: Ba số x ; y; z theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội q khác 1; đồng thời số x ; y; z theo thứ tự lập thành cấp số cộng với công sai khác Tìm giá trị q A q  B q  C q   D q  3 Lời giải Chọn A  y  xq; z  xq x     x  xq  xq  x 3q  4q  1     3q  4q       x  3z  2 y  Nếu x   y  z   công sai cấp số cộng: x; y; z (vơ lí) q    1 Nếu 3q  4q 1     q  q  q   tự lập thành cấp số cộng a, b  8, c  64 theo thứ tự lập thành cấp số nhân Tính giá trị biểu thức P  a  b  2c A P  184 C P  B P  64 92 D P  32 Lời giải Chọn B Ta có ac  b  ac  b 1        a  2b  16  c  2 a  c  b  8    2  ac  64a  b  8 3  a c  64  b  8   Thay (1) vào (3) ta được: b  64a  b  16b  64  4a  b  4  a  c   a  b  16  c     Kết hợp (2) với (4) ta được:  5   a  b  4 c  60    b   Thay (5) vào (1) ta được:  c  36  c  8 c   4c  60  9c  424c  3600    100  c  36 c   c   2 Với c  36  a  4, b  12  P  12  72  64 Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 79 GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 Câu 50: Cho dãy số tăng a, b, c c   theo thứ tự lập thành cấp số nhân; đồng thời a, b  8, c theo thứ  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO  WEB: Toanthaycu.com Câu 51: Số hạng thứ hai, số hạng đầu số hạng thứ ba cấp số cộng với công sai khác theo thứ tự lập thành cấp số nhân với cơng bội q Tìm q A q  B q  2 C q   D q  Lời giải Chọn B Giả sử ba số hạng a; b; c lập thành cấp số cộng thỏa yêu cầu, b; a; c theo thứ tự lập thành cấp số nhân cơng bội q Ta có b  a  c  2b  bq  bq  2b     a  bq; c  bq q  q   Nếu b   a  b  c  nên a; b; c cấp số cộng cơng sai d  (vơ lí) Nếu q  q    q  q  2 Nếu q   a  b  c (vơ lí), q  2 Câu 52: Cho bố số a, b, c, d biết a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân công bội q  ; cịn b, c, d theo thứ tự lập thành cấp số cộng Tìm q biết a  d  14 b  c  12 A q  18  73 24 B q  19  73 24 C q  20  73 24 D q  21  73 24 Lời giải Chọn B GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 Giả sử a, b, c lập thành cấp số cộng cơng bội q Khi theo giả thiết ta có: b  aq, c  aq   1 aq  d  2aq b  d  2c     a  d  14  2 a  d  14   a q  q   12 3 b  c  12  Nếu q   b  c   d (vơ lí) Nếu q  1  b  a; c  a  b  c  (vơ lí)  0, q   1, từ (2) (3) ta có: d  14  a a  Vậy q  12 q  q2 thay vào (1) ta được: 12q 14q  14q 12 24q    12q  7q 13q   q  q2 q  q2 q  q2  q  112q 19q  6   q  Vì q  nên q  19  73 24 19  73 24 Câu 53: Gọi S   11  111   111 ( n số 1) S nhận giá trị sau đây? A S  10 n  81 10n 1   n  81  C S  10  10n 1   81  B S  10   10 n  1   n D S  10        Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 80  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO  WEB: Toanthaycu.com Lời giải Chọn D    1 10  n Ta có S  9  99  999   99    10  9  10 n so   Câu 54: Biết S   2.3  3.32  11.310  a  A P  n 21.3b b Tính P  a  4 B P  C P  D P  Lời giải Chọn C Từ giả thiết suy 3S   2.32  3.33   11.311 Do 2 S  S  3S    32   310 10.311  Vì S   1 311 21.311 21 11.311     S   311 1 2 4 21.311 21.3b 1 11  a  a  , b  11   P    4 4 Câu 55: Một cấp số nhân có ba số hạng a, b, c (theo thứ tự đó) số hạng khác cơng bội q  Mệnh đề sau đúng? A 1  a bc B 1  b ac C 1  c ba D 1   a b c Lời giải Ta có ac  b2  1  b2 ac Câu 56: Bốn góc tứ giác tạo thành cấp số nhân góc lớn gấp 27 lần góc nhỏ Tổng góc lớn góc bé bằng: A 56 B 102 C 252 D 1680 Lời giải Chọn C Giả sử góc A, B, C, D (với A  B  C  D ) theo thứ tự lập thành cấp số nhân thỏa yêu cầu với công bội q Ta có  q   A  B  C  D  360  A1  q  q  q3   360     A   A  D  252   D  27 A  Aq  27 A      D  Aq  243 Câu 57: Người ta thiết kế tháp gồm 11 tầng Diện tích bề mặt tầng diện tích mặt tầng bên diện tích mặt tầng nửa diện tích đế tháp (có diện tích 12 288 m2 ) Tính diện tích mặt A m2 B m2 C 10 m2 D 12 m2 Lời giải Chọn A Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 81 GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 Chọn B  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO  WEB: Toanthaycu.com Diện tích bề mặt tầng (kể từ 1) lập thành cấp số nhân có cơng bội q  u1  12 288  144 u11  u1q10  Khi diện tích mặt 6144 6 210 Câu 58: Một du khách vào chuồng đua ngựa đặt cược, lần đầu đặt 20000 đồng, lần sau tiền đặt gấp đôi lần tiền đặt cọc trước Người thua lần liên tiếp thắng lần thứ 10 Hỏi du khác thắng hay thua bao nhiêu? A Hòa vốn B Thua 20000 đồng D Thua 40000 đồng C Thắng 20000 đồng Lời giải Chọn C Số tiền du khác đặt lần (kể từ lần đầu) cấp số nhân có u1  20 000 cơng bội q  Du khách thua lần nên tổng số tiền thua là: S  u1  u2   u9  u1 1  p  1 p  10220000 Số tiền mà du khách thắng lần thứ 10 u10  u1 p9  10240000 Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 Ta có u10  S9  20 000  nên du khách thắng 20 000 82  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO  WEB: Toanthaycu.com BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1: n Ba số hạng dãy số  un  1 1 1 3 B ; ; C ; ; D ; ; 26 25 28 Cho dãy số  un  với un  A 1 ; ; 27 n Lời giải Chọn B Câu 2: 1 1 ; ; ; ; ; Số hạng tổng quát dãy số 32 33 34 35 1 1 A un   n 1 B un  n 1 C un  n 3 3 Cho dãy số: D un  3n 1 Lời giải Chọn C Câu 3: n 1 Phát biểu sau đúng? n2 A Dãy số tăng bị chặn B Dãy số giảm bị chặn C Dãy số giảm bị chặn D Dãy số giảm bị chặn Cho dãy số  un  với un  Lời giải Chọn B GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 n 1  1 n2 n2 1 un 1    1  un , n  * n3 n2 un  Vậy dãy số  un  dãy số giảm un   số  un  Câu 4: 1  1, n  * Vậy dãy số  un  bị chặn un    , n  * Vậy dãy n2 n2 bị chặn Vậy dãy số  un  bị chặn Cho cấp số cộng  un  có số hạng đầu u1 , cơng sai d Khi đó, với n  ta có A un  u1  d B un  u1   n  1 d C un  u1   n  1 d D un  u1   n  1 d Lời giải Chọn B Câu 5: Cho cấp số cộng  un  có u1  u2  1 Khi A u3  B u3  C u3  5 D u3  Lời giải Chọn C Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 83  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO  WEB: Toanthaycu.com u2  u1  d  1   d  d  4 u3  u1  2d    4   5 Câu 6: Cho cấp số cộng  un  có số hạng đầu u1  1 cơng sai d  Khi S5 A 11 B 50 C 10 D 25 Lời giải Chọn D S5  Câu 7:     1    1  3  25 Có số thực x để x  1; x ; x  theo thứ tự lập thành cấp số nhân? A B C D Lời giải Chọn B  x   x  1 q Do x  1; x; x  tạo thành cấp số nhân Gọi công bội q Ta có:   x   xq y ra: x 2x    x2  x2 1 2x 1 x Câu 8:  x  3 Một tam giác có số đo góc lập thành cấp số nhân có cơng bội q  Số đo góc tam giác A    ; ; B  2 4 ; ; C  2 4 ; ; D  2 4 ; ; Lời giải Chọn D Gọi góc tam giác là: u; 2u;4u Ta có: u  2u  4u    u  Vậy góc tam giác   2 4 , , BÀI TẬP TỰ LUẬN Câu 9: Xét tính tăng, giảm dãy số  un  với un  3n  2n Lời giải n un  3n    3     n Ta có: un 1    n 2 2 n 1 n  1 3     n  un , n  * n 1 2 Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 84 GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 x  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO  WEB: Toanthaycu.com Vậy dãy số  un  dãy số tăng Câu 10: Xét tính bị chặn dãy số  un  với un  2n  n2 Lời giải un  2n   2 n2 n2 Ta có: un  2, n  * Vậy dãy số  un  bị chặn un  , n  * Vậy dãy số  un  bị chặn Suy ra, dãy số  un  bị chặn Câu 11: Tìm số hạng đầu u1 cơng sai d cấp số cộng  un  , biết: 5u  10u5  u  u  60 a)  b)  72 152  S  14; u4  u12  1170 Lời giải GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 5u1  10u1  40d  5u1  10u5  15u  40d  u 8  a)      2u1  3d     14  d  3  S  14  2u1  3d    u1  6d  u1  14d  60 2u1  20d  60    u  u  60 b)  215    2 2 u4  u12  1170  u1  3d    u1  11d   1170  u1  3d    u1  11d   1170 u1  30  10d   2  u1  3d    u1  11d   1170 Suy ra: (30  10d  3d )2  (30  10d  11d )2  1170 d   900  420d  49d  900  60d  d  1170  50d  360d  630     d  21  Khi d  u1  Khi d  2 21 u1  12 Câu 12: Tìm số hạng đầu u1 công bội q cấp số nhân  un  , biết: u  96 a)  ; b) u6  192 u4  u2  72  u5  u3  144 Lời giải Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 85  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO  WEB: Toanthaycu.com  u1  q  96  u5  96 q  a)    u6  192 u1  u1.q  192  u1.q  u1  q  72  u4  u2  72 q  b)    u5  u3  144 u1  u1.q  u1  q  144 Câu 13: Giả sử quần thể động vật thời điểm ban đầu có 110000 cá thề, quần thể có tỉ lệ sinh 12% năm, xuất cư 2% /năm, tử vong 8% / năm Dự đoán số cá thể quần thể sau hai năm Lời giải Số cá thể quần thể qua năm tạo thành cấp số nhân có cơng bội là: q   0,12  0, 02  0, 08  1, 02 Số cá thể sau hai năm là: 110000.1,022  114444 (cá thể) Câu 14: Một đàn organ có tần số âm phim liên tiếp tạo thành cấp số nhân Cho biết tần số phim La Trung lả 400 Hz tần số phím LaCao cao 12 phím 800 Hz (nguổn: https:// vi.wikipedia.org/wiki/Organ) Tìm cơng bội cẩp số nhân nói (làm trịn kết đến hàng phần nghìn) Lời giải Ta có: q12  800  Suy ra: q  1, 06 400 nhiêu người (làm tròn kết đến hàng trăm nghìn)? Lời giải Ước tính dân số Việt Nam năm 2040 là: 97,6.(1  0,0114)20  122, (triệu người) BÀI TẬP TỔNG ÔN CHƯƠNG PHẦN 1: TRẮC NGHIỆM Câu 1: Khẳng định sau sai? A Dãy số có un 1  a.3n 1 C Với a  dãy số tăng B Hiệu số un 1  un  3.a D Với a  dãy số giảm Lời giải Chọn B Ta có un 1  un  a.3n1  a.3n  a.3n   1  2a.3n Câu 2: Cho dãy số  un  với u n  n  Dãy số  un  dãy số A Bị chặn B Giảm C Bị chặn D Tăng Lời giải Chọn D n  * ta có: un 1  un   n  1    2n  1   nên u n 1  u n dãy số  un  tăng Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 86 GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 Câu 15: Dân số Việt Nam năm 2020 khoảng 97,6 triệu người (theo Niên giảm thống kê năm 2020) Nếu trung bình năm tăng 1,14% ưởc tính dân số Việt Nam năm 2040 khoảng bao  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO Câu 3:  WEB: Toanthaycu.com Cho cấp số cộng  un  có u1  công sai d  Hỏi kể từ số hạng thứ trở số hạng  un  lớn 2018 ? B 289 A 287 C 288 Lời giải D 286 Chọn B Ta có: un  u1   n  1 d    n  1  n  ; un  2018  n   2018  n  2022 Vậy n  289 Câu 4: Xác định số hàng đầu u1 công sai d cấp số cộng  un  có u9  5u2 u13  2u6  A u1  d  B u1  d  C u1  d  D u1  d  Lời giải Chọn A u1  8d   u1  d  Ta có: un  u1   n  1 d Theo đầu ta có hpt:  u1  12d   u1  5d   4u  3d  u    d  u1  2d  5 Câu 5: Cho cấp số cộng  un  có u4  12 , u14  18 Tính tổng 16 số hạng cấp số cộng A S16  24 B S16  26 C S16  25 D S16  24 Chọn D u  3d  12 u  21  Gọi d công sai cấp số cộng Theo giả thiết, ta có  d  u1  13d  18 Khi đó, S16  Câu 6:  2u1  15d  16   42  45   24 Cho cấp số cộng  un  biết u5  18 Sn S2 n Tìm số hạng u1 cơng sai d cấp số cộng A u1  ; d  B u1  ; d  C u1  ; d  D u1  ; d  Lời giải Chọn A Ta có: u5  18  u1  4d  18 1  n  n  1 d   2n  2n  1 d  Sn S2 n   nu1     2nu1    4u1  2nd  2d  2u1  2nd  d 2      2u1  d    Từ 1   suy u1  ; d  Câu 7: Bốn số tạo thành cấp số cộng có tổng 28 tổng bình phương chúng 276 Tích bốn số : A 585 B 161 C 404 D 276 Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 87 GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 Lời giải  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO  WEB: Toanthaycu.com Lời giải Chọn A Gọi số cần tìm a  3r , a  r , a  r , a  3r a  3r  a  r  a  r  a  3r  28 a  a    Ta có:  2 2  r  2  a  3r    a  r    a  r    a  3r   276 r  Bốn số cần tìm , , , 13 có tích 585 Câu 8: u5  3u3  u2  21 Cho cấp số cộng  un  thỏa  Tổng 15 số hạng đầu cấp số cộng 3u7  2u4  34 A 244 B  274 C  253 D  285 Lời giải Chọn D Giả sử cấp số cộng có số hạng đầu u1 công sai d u5  3u3  u2  21 u1  4d   u1  2d    u1  d   21 3u  9d  21  Khi đó,   u1  12d  34 3  u1  6d    u1  3d   34 3u7  2u4  34 u    d  3 15  2.2  15  1  3    285  u1  Cho dãy số u n biết  , n  * Tìm số hạng tổng quát dãy số  un  un 1  3un Câu 9: A u n  3n B u n  3n 1 C u n  3n 1 GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 Từ suy S15  D u n  n n 1 Lời giải Chọn A Ta có un 1  un Do dãy số  un  cấp số nhân với u1  , công bội q  Vậy số hạng tổng quát cấp số nhân là: u n  u1 q n 1  3.3n1  3n u1  u2  u3  13 Câu 10: Cho cấp số nhân  un  thỏa mãn:  Tổng số hạng đầu cấp số nhân  un  u4  u1  26 A S8  3280 B S8  9841 C S8  3820 D S8  1093 Lời giải Chọn A Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 88  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO  WEB: Toanthaycu.com u1 1  q  q   13 q  1  u1  u2  u3  13 26   q 1   q  Ta có :     1  q  q  13 u4  u1  26 u1  q  1  26  u1  S8  11  38  1  3280 PHẦN : TỰ LUẬN Câu 11: Tìm giá trị x dương nhỏ thỏa mãn ba số sin x,sin x, cos x lập thành cấp số cộng Lời giải Theo ra, ba số sin x,sin x, cos x lập thành cấp số cộng nên suy   sin x  cos x  2sin x  sin x  cos x  sin x.cos  sin cos x  sin x 2 3     x  x   k 2 x   k 2     3  sin  x    sin x    k  Z  3   x    x    k 2  x  2  k 2   Nghiệm dương x nhỏ ứng với k  Vậy x   x  2 Lời giải Ba số 1 , , lập thành cấp số cộng b c c a a b 1 1    c a b c a b b c b a     a  c b    a  c  a  b  c  b  c a b c a b b b c  b  a  c  b  a, b, c lập thành cấp số cộng Câu 13: Chu vi đa giác 45 cm, số đo cạnh lập thành cấp số cộng với công sai d  3cm Biết cạnh lớn 15 cm, tính số cạnh đa giác Lời giải Gọi cạnh nhỏ đa giác u1 số cạnh đa giác n Ta có 15  u1   n  1 hay u1  18  3n   n  Tổng cạnh 45 cm, ta có Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 89 GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 Câu 12: Chứng minh ba số dương a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng 1 , , số theo thứ tự lập thành cấp số cộng b c c a a b  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO 45  n 15  18  3n   WEB: Toanthaycu.com hay 3n  33n  90  Giải phương trình với n  N * ; n  , ta n  Câu 14: Tìm ba số hạng liên tiếp cấp số cộng, biết rằng: a) Tổng chúng 15 tích chúng 105 b) Tổng chúng 21 tổng bình phương chúng 155 Lời giải Gọi ba số hạng liên tiếp cấp số cộng a, b, c  a  c  2b * a  b  c  15 a) Theo ra, ta có  , kết hợp với * , ta abc  105 a  b  c  15  a  c  2b abc  105  b  3b  15 a  a       a  c  2b  c  10  a  b  b  c  abc  105 5a 10  a  105 c        a  b  c  21 a  b  c  21  b) Theo ra, ta có  , kết hợp với * , ta a  c  2b 2 a  b  c  155 a  b  c  155  Câu 15: Cho ba số a,b,c theo thứ tự ba số hạng liên tiếp cấp số cộng Chứng minh a  2bc  c  2ab a  8bc   2b  c  Lời giải Vì a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng suy a  c  2b Ta có a  2bc  c  2ab   a  c  a  c   2b  c  a    a  c  a  c  2b   Suy a  2bc  c  2ab   a  2bc  c  2ab  điều phải chứng minh 2 Lại có a  8bc   2b  c   a   a  c  c   a  2c   a  4ac  4c  a  4ac  4c 2 Suy a  8bc   2b  c    a  8bc   2b  c   điều phải chứng minh u1  un 1  4un  9,  n  1 Câu 16: Cho dãy số  un  xác định  a) Chứng minh dãy số   với  un  , n  cấp số nhân b) Tìm cơng thức tổng quát dãy số  un  Lời giải Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 90 GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 b  3b  21 a  a       a  c  2b  c  14  a  b  b  a  b  c  155   c  2   a  14  a    155 c   BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO  WEB: Toanthaycu.com a) Ta có  un  , suy 1  un 1    4un    Do 1  4un     un  3    un  un  Vậy   cấp số nhân với số hạng đầu v1  u1     công bội q  v1  nên số hạng tổng quát  v1.q n 1  5.4n 1 q  b) Do   cấp số nhân với  Suy công thức tổng quát dãy số  un  un    5.4 n 1  u1  u5  51 u  u  102  Câu 17: Cho cấp số nhân có  a) Tìm số hạng cơng bội b) Tính tổng 10 số hạng c) Tổng số hạng đầu 765 d) Số 12288 số hạng thứ mấy? Lời giải GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 u1  u1q  51 u1  u5  51 u1  u1 1  q   51 Ta có       q  u  u6  102 u1q  u1q  102 u1q 1  q   102 a) Vậy số hạng đầu u1  công bội q   q10  210   3069 b) Tổng 10 số hạng S10  u1 1 q 1  qn  2n   765  n  Vậy tổng số hạng c) Ta có Sn  u1 1 q 1 765 d) Giả sử un  12288 Theo công thức tổng quát cấp số nhân, ta có un  u1.q n 1  12288  3.2 n 1  n  13 Vậy 12288 số hạng thứ 13 cấp số nhân Câu 18: Tìm số hạng đầu công bội cấp sống nhân un  , biết u  u  15 a)  u  8u17 b)  20 u  u  u  65 c)  u  u  u  10 d)  u4  u2   u1  u7  325  u3  u5  240  u3  u5  u6  20  Lời giải Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 91  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO   WEB: Toanthaycu.com  u q   15  u5  u1  15 u1q  u1  15       a) Ta có  u4  u2   u q q    u1q  u1q       Lấy 1 chia 2  , ta  1  2 q  15   2q  5q    q  q u  1 q  Vậy  q   u  16   q   q  u q19  8u q16 u  12      4 u3  u5  240 u q  u q  240 u q  u q  240 q    1   u  8u17 b) Ta có  20    u  q  q  65  u1  u3  u5  65 u1  u1q  u1q  65       c) Ta có  u1  u7  325    u  q  325  u1  u1q  325    Lấy 2  chia 1 , ta  q6 1 q  q   325   q   q  2 Vậy 65  1 2 u1   q      u q  q  q  10  u2  u4  u5  10 u q  u q  u q  10  1 1     d) Ta có  u3  u5  u6  20 u q  u q  u q  20   u q  q  q  20  1       u   1  2 q  2  GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 u  Lấy 2  chia 1 , ta q  Vậy   q  Câu 19: Tìm số hạng đầu công bội cấp sống nhân un  , biết   u1    a)  38  b)  S8      S4  40  S8  680  Lời giải a) Ta có u1  u1   u    8     q    S  u q     q 1 2  b) Ta có  q   u1 q   40 S4  40    S8  680  q   u  680  q  1  2 Lấy 2  chia cho 1 , ta q   17  q  16  q  2 Vậy 4  u    q  u  8  q  2  Câu 20: Tìm ba số khác tạo thành cấp số cộng có tổng 6, biết hốn đổi vị trí số hạng thứ số hạng thứ hai đồng thời giữ nguyên số hạng thứ ba ta cấp số nhân Lời giải Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 92  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO  WEB: Toanthaycu.com Gọi ba số cần tìm u1 , u2 , u3 với u1  u2  u3  u1 ● u1 , u2 , u3 tạo thành cấp số cộng với công sai d  nên u1 , u2  u1  d , u3  u1  2d Hơn nữa, u1  u2  u3   u1  u1  d   u1  d    u1  d  ● u2 , u1 , u3 tạo thành cấp số nhân hay u1  d, u1 , u1  2d tạo thành cấp số nhân  u1  du1  2d  u12 u   u1  du1  d  d  u12     u1   u12  u12  2u1     u1  4 Với u1  , suy d  : không thỏa mãn Với u1  4 , suy d  Vậy ba số cần tìm 4, 2, GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 93